ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖƏНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ. М.Өтемісов атындағы Батыс-Қазақстан мемлекеттік университеті ЖҰМЫС ОҚУ БАҒДАРЛАМАСЫ.

Transcript

1 ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖƏНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ М.Өтемісов атындағы Батыс-Қазақстан мемлекеттік университеті ЖҰМЫС ОҚУ БАҒДАРЛАМАСЫ Нормаланған кеңістіктегі дифференциалдық есептеулер 6М06000 Математика кредит Орал - 0

2 . ƏЗІРЛЕНГЕН ЖƏНЕ ЕНГІЗІЛГЕН Профессор Коган Е.Я.. РЕЦЕНЗЕНТТЕР ф.-м.ғ.к., доцент Жумагалиева А.Е., М. Өтемісов ат. БҚМУ п.ғ.к. Насс О.В., Жангірхан ат. БҚАТУ 3. БЕКІТІЛГЕН ЖƏНЕ ҚОЛДАНЫСҚА ЕНГІЗІЛГЕН М.Өтемісов атындағы Батыс-Қазақстан мемлекеттік университеттің Оқу-əдістемелік кеңес отырысында 0 жылғы «5» қыркүйек хаттама 4. Жұмыс оқу бағдарламасы 6М06000 Математика мамандық бойынша элективті пəндер каталогына сəйкес əзірленген 5. ҚАРАЛҒАН «Жаратылыстану-математикалық» факультеттің Оқуəдістемелік кеңес отырысында 0 жылғы «3» қыркүйек хаттама

3 Түсіндірме жазба Математикалық білімдердің рөлі артып отырған қазіргі уақытта болашақ математика мамандығының магистранттарының кəсіби дайындықтарын жоғары сатыға көтеру өзекті мəселенің бірі болып табылады. Бұл мəселенің кезек күттірмеуі көптеген жағдайлардан туындап отыр. Солардың бірі: математиканың іргелі жəне қолданбалы ғылымдарда алатын жетекші орны. Берілген курс математика мамандығы бойынша оқитын магистранттарын дифференциалдық есептеулердің математикалық аппаратарын игеріп жəне осы аппараттарды математикалық жəне физикалық мазмұндағы қолданбалы есептерді шешуге жəне талдауға қолдана білуге дайындауға арналған. Нормаланған кеңістіктегі дифференциалдық есептеулер курсын оқытудағы мақсат: - Магистранттарды нормаланған кеңістіктегі дифференциалдық есептеулер пəнінің элементтерімен таныстыру. - Магистранттардың математика, жаратылыстану жəне техника саласындағы есептерді шешуде əр түрлі əдістерді қолдану білімі мен білігін қалыптастыру. - Қолданбалы жəне физикалық сипаттағы есептерді модельдеуге, талдауға жəне шешуге көмектесетін, дифференциалдық есептеулерде қажетті математикалық аппаратты меңгеру; Нормаланған кеңістіктегі дифференциалдық есептеулер курсын оқытудағы міндет: - Нормаланған кеңістіктегі дифференциалдық есептеулер ұғымдарын оқу мен меңгеру. - Математика, жаратылыстану жəне техника саласындағы əр түрлі есептерді шешуде əртүрлі кеңістіктегі дифференциалдық есептеулердің əдістерін қолдана білу. - Математикалық мəдениетті дамыту. - Есептеу дағдысын қалыптастыру.

4 Тақырыптар Пəннің тақырыптық жоспары Лекция лар МОӨЖ. Метрикалық кеңістік.. Толық метрикалық кеңістік. 3. Сызықтық кеңістік. 4. Элементтердің сызықты тəуелді жəне тəуелсіздігі. 5. Нормаланған кеңістік. 6. Банах кеңістігі. 7. Евклидтік кеңістік. 8. Гильберт кеңістігі. 9. Гильберт кеңістігінде дифференциалдау. Фурье қатары. 0. Унитарлы кеңістік.. Операторлар.. Сызықтық операторлар. 3. Үзіліссіз, шенелген сызықты операторлар. 4. Оператор нормасы. Кері оператор. 5. Сызықты функционалдарды дифференциалдау. Барлығы: 5 5 Пəннің мазмұны Тақырып: Метрикалық кеңістік. Анықтама. Х қайсыбір бос емес жиын болсын. Егер d : X X R функция анықталып: a) d ( x, x ) = 0 x = x, b) d ( x, x ) = d( x, x) (симметриялық қасиет), c) d ( x, x3 ) d( x, x ) + d( x, x3 ) (үшбұрыш теңсіздігі) шарттары орындалса, онда ол функцияны Х жиынындағы метрика немесе ара қашықтық деп атайды. Анықтама. Бос емес Х жиыны мен анықталған метрика, яғни (Х,d) қосы метрикалық кеңістік деп аталады. Мысал. X = R өлшемді кеңістік болсын. x= ( x, x,..., x ) жəне y= ( y, y,..., y ) бұл кеңістіктің кез келген екі нүктесі болса, онда ρ ( x, метрикасын мына өрнекпен анықтауға болады делік. ρ ( x, = = x y ( R, ρ) қосы метрикалық кеңістік болу үшін жоғарыда анықталған өрнек метрика болуы, яғни анықтамадағы үш аксиома орындалуы қажет. Олай болса тексерелік: 0. ρ ( x, > 0. Модуль астындағы сан əрқашан оң болғандықтан, x y > 0 болады.

5 Енді ρ ( x, = 0 x= y болатындығын дəлелдейік. Шынында да, ) = x y = 0 =,..., = =,,..., x = y x y ρ ( x, y x y = 0 x = y Айталық, = 0, яғни x y = 0. Олай болса, = x y = 0, Осылайша -шарттың орындалатындығын аламыз. 0. Дəлелдеу керек: ρ ( x, = ρ( y, x) =,..., x y = y x x y = y x. Бұдан ρ ( x, = ρ( y, x) = = болатынын аламыз. Олай болса -шарт орындалады Дəлелдеу керек: ρ ( x, ρ( x, z) + ρ( z, Мұндағы ( x, z) = x z, ρ( z, = ρ z y. = = Бұл шартты дəлелдеуде мен модульдің мынадай қасиетін қолданамын: Онда x y = a + b a + b. x z + z y болады. Осылайша 3- шарттың да орындалатыны шығады. Метрикалық кеңістіктің анықтамасындағы аксиомалардың орындалуына байланысты ( R, ρ) қосы метрикалық кеңістік болып табылады. Тақырып: Толық метрикалық кеңістік. Анықтама. Егер метрикалық кеңістіктің кез келген фундаментальды тізбегі осы кеңістіктің элементімен жинақталатын болса, (M, ρ) толық метрикалық кеңістік деп аталады. Мысал. X = R өлшемді кеңістік болсын. x= ( x, x,..., x ) жəне y= ( y, y,..., y ) бұл кеңістіктің кез келген екі нүктесі болса, онда ρ ( x, метрикасын мына өрнекпен анықтауға болады делік. (, ρ) ρ ( x, = = x y x z R жұбы толық метрикалық кеңістік болады. 3 Тақырып: Сызықтық кеңістік. Мысалдар. ) Үшөлшемді кеңістіктегі, жазықтықтағы немесе түзудегі қарапайым векторларды қосу жəне оларды санға көбейту амалдары орындалатын барлық мүмкін болатын векторлардың жиыны сызықтық кеңістік болады. ) Қандай да бір [ a, b] кесіндісінде қарапайым функцияларды қосу жəне оларды санға көбейту амалдары орындалатын үзіліссіз (нақты немесе комплекс) функциялар C[ a, b] сызықтық кеңістігін құрайды. + z y

6 3) рет үзіліссіз дифференциалданатын функциялардан құралған ( ) C [ a, b] ( N ) -кеңістігі сызықтық кеңістік болады. Яғни егер ( ) ( ) ( ) x( t), y( t) C [ a, b] жəне λ x( t) C [ a, b], ал x( t) C [ a, b] (λ - кез келген ( ) x( t) + y( t) C [ a, b болады. скаляр) болса онда [ ] ] = i p 4) < + ξ шартын қанағаттандырып, i ( ξ, ξ,...) + ( η,. η,...) = ( ξ + η, ξ + η,...), α( ξ, ξ,...) = ( αξ, αξ,...) амалдар орындалып, элементтері мынадай x= ( ξ i ) санды (нақты немесе комплекс) тізбекті құрайтын, кеңістігі сызықтық кеңістік болады. l p ( p ) 4 Тақырып: Элементтердің сызықты тəуелді жəне тəуелсіздігі Анықтама. Егер Е сызықтық кеңістігінде 0-ден өзге α, β,..., γ,сандары табылып, мына теңдік орындалса α x+ βy γz = 0, онда x, y,..., z элементтері сызықты тəуелді деп аталады. Анықтама. Егер Е сызықтық кеңістігінде α, β,..., γ,сандары табылып, мына теңдік орындалса α = β =... = γ = 0. онда x, y,..., z элементтері сызықты тəуелсіз деп аталады. 5 Тақырып: Нормаланған кеңістік. Анықтама. Х векторлық кеңістігінің əрбір элементіне теріс емес нақты сан төмендегі шарттарды: ) х 0 жəне х =0 сонда тек қана сонда егер х=0; ) λх = λ х ; 3) х+у х + у қанағаттандырса, онда ол ережені норма деп, ал өзі нормаланған кеңістік деп аталады. 6 Тақырып: Банах кеңістігі Банах кеңістігі толық метрикасы бар нормаланған векторлық кеңістік. Поляк математигі Стефан Банахтың құрметіне аталған. Мысал. үшін анықталатын евклидтік нормасы бар евклид кеңістігі банах кеңістігінің мысалы болады. деп немесе өрістерінің бірі белгіленеді. Егер жəне банах кеңістігі болса, онда олардың қосындысын алуға болады, бұл қосынды да банах кеңістігі болады. Егер банах кеңістігінің тұйықталған ішкі жиыны болса, онда фактор кеңістігі де банах кеңістігі болады.

7 7 Тақырып: Евклидтік кеңістік. Анықтама. Егер үш ін скаляр көбейтінді деп аталатын саны сəйкестікке қойылып жəне үшін төмендегі аксиомалар орындалса, онда E = {f, g, h, } сызықтық кеңістігі евклид кеңістігі деп аталады. Коши Буняковский Шварц теңсіздігі орындалады: { } Анықтама бойынша элементтің ұзындығы деп:, ал екі элементтің арасындағы бұрыштың косинусы деп: аталады. Бұдан екенін алуға болады. Мысал. 8 Тақырып: Гильберт кеңістігі. Комплекс санға көбейтілген Н сызықтық жүйесінің əрбір жұбына сəйкесінше (х, у) комплекс саны қойылып, мынадай шарттар орындалсын: а) (х,у) = ( у, х) ; б) (х +х, у) =(х, у) +(х, у); в) (λх, у) =λ(х,у), λ кез келген комплекс сан; г) (х, х) 0 мұнда (х, х) =0 болады тек х=0 болғанда. (х, у) саны скаляр көбейтінді деп аталады. Егер Н- тек нақты санға көбейтілген сызықтық жүйе болса, онда скаляр көбейтінді нақты сан болады. а)- г) аксиомаларынан төмендегідей салдарлар шығады:. (х,у + у ) = (х,у ) + (х,у );. (х, λу) = _ λ (х,у) 3. ( х, у) ( х, х) у, у Буняковский- Шварц теңсіздігі. Скаляр көбейтінді арқылы Н-қа норма енгізуге болады, яғни х ( х, х) =.

8 Осыдан кейін Н сызықтық нормаланған кеңістікке айналады. Егер Н енгізілген нормаға сəйкес шексіз өлшемді жəне толық болса, онда ол гильберт кеңістігі деп аталады. Мысал.. -өлшемді евклид кеңістігінде = { ξ ξ... } жəне х,, ξ п = { η, η,... } векторларының скаляр көбейтіндісі əдетте (х,у) = i у η п формула арқылы табылады. i=. l комплексті кеңістігіне (х,у) = ξ i ηi айналады. i= ξ i η десек, ол гильберт кеңістігіне 3. L (а,b) комплекс санды функциялар кеңістігіне ( х у) = x( t) y( t)dt енгізсек, гильберт кеңістігіне айналады. b, 9 Тақырып: Гильберт кеңістігінде дифференциалдау. Фурье қатары. Фурье қатары периодты кез келген функциясының a Бұл қатар былай да жазылуы мүмкін: қатар түрінде берілуі. амплитудасы,. Мұндағы -шы гармониялық тербелістің гармониялық тербелістің жиілігі, бастапқа фаза, -шы комплекс амплитуда. Егер гильберт кеңістігіннің əрбір элементі ортогональ базисте жіктелген болса, Фурье қатарында жіктелгенде дейді. гильберт кеңістігінде ортогональ жүйе беріліп жəне элементі жиынынан алынған болсын. элементін элементтерінің сызықтық комбинациясы түрінде алайық, яғни Бұл өрнекті -ға көбейтейік.. функциялар жүйесінің ортогональдығын ескерсек, қатардың барлық қосылғыштары 0-ге айналады, тек болғандағы қосылғыш: түрінде болады.

9 сандар тізбегі координаталар деп немесе элементі арқылы Фурье коэффициенті деп, ал жүйесінің қатары ортогональ жүйесінің элементі арқылы алынған Фурье қатары деп аталады. 0 Тақырып: Операторлар Анықтама. Е и F сызықтық жүйе болсын. D E жиынында x D əрбір элементіне y=ax F элементі сəйкес қойылатын болса, онда А операторы F мəнінде берліген дейді. D жиыны анықталу облысы деп аталады жəне D (А) деп белгіленеді. у = Ах (х D(A)) жиыны А операторының мəндер жиыны деп аталады жəне R(A) деп белгіленеді. Мысал. С (0, ) кеңістігінде Ax{t) = x (t). оператор болады. Оператордың анықталу облысы С(0, ) болады,ал мəндерінің жиыны С(0, ) алынған барлық теріс емес функциялардың бірігуі болады. Тақырып: Сызықтық операторлар Анықтама. Егер D (А) жиыны E кеңістігіндегі сызықтық көпбейнелілік болса жəне кез келген х, x D(A) үшін A {a l x + а г х г ) = a t Ax t + а г Ах г теңдігі орындалса, онда А операторы сызықтық оператор деп аталады. Мысал. Кез келген Е сызықтық жүйесінің əрбір элементіне сол элементтің өзін сəйкестікке қоятын I операторы: Ix = x; Λх=λх (х Е, λ белгіленген сан). Е п кеңістігінде сызықтық оператордың мысалы ретінде кеңістікті сызықтық түрлендіруді алуға болады. Мұндай операторлар квадрат матрицаның көмегімен берілу мүмкін, яғни {a i ); егер х ={ξ, ξ,..., ξ } жəне = { η, η,..., } болса, онда η = y η i a i = ξ Тақырып: Үзіліссіз, шенелген сызықты операторлар Анықтама. Е жəне F нормаланған сызықтық кеңістік болсын. Егер х п х 0 (х п D (А)) ұмтылғанда Ах п Ах 0.болса, онда А операторы х о D(A) нүктесінде үзіліссіз деп атайды. Егер А операторы Е кеңістігінің əрбір нүктесінде анықталған жəне үзіліссіз болса, онда бұл оператор Е кеңістігінен F кеңістігіне үзіліссіз болады. Анықтама. Егер Ax C x теңсіздігі орындалса, онда Е кеңістігінде F E анықталған сызықтық оператор шенелген деп аталады. Сызықтық оператор Е кеңістігінен F кеңістігіне шенелген болуы үшін оның шенелген болуы қажет жəне жеткілікті.

10 3 Тақырып: Оператор нормасы. Кері оператор. Анықтама. Ax C x С санының ішіндегі ең азы А операторының F E нормасы деп аталады жəне былай белгіленеді: A E F Егер F - Е-мен сəйкес келсе,онда жай ғана A деп жазылады. Анықтамадан A Ax sup A екені шығады. F = = sup E F x E x x E E Анықтама. А сызықтық оператор болсын. Егер əрбір элементі үшін теңдігі орындалатын жалғыз ғана элементі табылса, кері оператор бар дейміз. Ал анықталу облысы, мəндерінің жиыны D(A), жəне мына қатынас орындалса мұндағы, онда А кері оператор деп аталады. F 4 Тақырып: Унитарлы кеңістік Анықтама. С комплекс сандар өрісінде алынған векторлық кеңістікте векторлардың скаляр көбейтіндісі беріліп жəне мына аксиомалар орындалса, онда унитарлы кеңістік берілген дейміз: Яғни нөлден өзге вектордың скаляр квадраты теріс емес нақты сан болады. 5 Тақырып: Сызықты функционалдар Теорема. Е сызықтық кеңістігінде анықталған p - біртекті-дөңес функционал болсын, ал L Е кеңістігіндегі сызықтық көпбейнелілік болсын. Егер L кеңістігінде анықталған жəне f ( x) p( x) ( x L) шарттарын қанағаттандыратын f -нақты сызықтық функционал болса, онда барлық Е кеңістігінде анықталған жəне төмендегі шарттар орындалатын F функционалы табылады : ) F( x) = f ( x), x L; ) F( x) p( x), x E; Салдар. Егер p(x) - Е сызықтық кеңістігінде анықталған біртекті-дөңес функционал болса, онда Е кеңістігінде анықталған жəне p( x) f ( x) p( x), x E теңсіздігі орындалатындай f сызықтық функционалы табылады. Магистранттың оқытушымен өзіндік жұмыс жоспары (МОӨЖ)

11 . Метрикалық кеңістік. Юнг теңсіздігі 3. Гельдер теңсіздігі 4. Жинақтылық 5. Ашық жəне жабық жиындар 6. Сепарабельдік кеңістік 7. Сызықтық кеңістік 8. Сызықтық ішкі кеңістік 9. Элементтердің сызықты тəуелді жəне тəуелсіздігі 0. Шекті жəне шексіз кеңістіктер. Толық метрикалық кеңістік. Нормаланған кеңістік 3. Эквивалентті норма 4. Банах кеңістігі 5. Нормаланған кеңістіктің ішкі кеңістігі 6. Лебег кеңістігі 7. Евклидтік кеңістік 8. Унитарлы кеңістік 9. Коши Буняковский теңсіздігі 0. Гильберт кеңістігі. Толық ортонормаланған жүйелер. Фурье қатарлары 3. Бессель теңсіздігі 4. Парсеваль Стеклов теңдігі 5. Операторлар 6. Сызықтық операторлар 7. Үзіліссіз, шенелген сызықты операторлар 8. Оператор нормасы 9. Операторлардың қосындысы мен көбейтіндісі 30. Кері оператор 3. Оператор ядросы 3. Банах теоремасы 33. Тұйықталған оператор 34. Функционал 35. Сызықты функционал 36. Сызықты үзіліссіз оператор кеңістігі 37. Операторлардың бірқалыпты жинақтылығы Білімді бақылауға арналған материалдар.. R координаталық (арифметикалық) кеңістік. [α, α,, α] ( натурал сан) жəне "x = [α, α,, α], "y = [β, β,, β], "α О R : x Е y = [α + β, α + β,, α + β] жəне α K x = [α α, α α,, α α].

12 R сызықтық кеңістік екенін дəлелде.. Үшөлшемді векторлық кеңістікте векторларды қосу оларды санға көбейту амалдары орындалатын геометриялық векторлар кеңістігі сызықтық кеңістік болатынын дəлелде. 3. X -ші ретті симметриялы матрицалар жиыны болсын жəне қарапайым қосу, санға көбейту операциялар орындалсын. X жиыны сызықтық кеңістік екенін дəлелде. 4. M = (0; ), ρ(x, = x-y. тізбегін қарастырайық. (M, ρ) толық метрикалық кеңістік бола ма? 5. метрикасы берілген -өлшемді евклид кеңістігін қарастырайық. метрикалық кеңістігі толық болатынын көрсет. 6. Нормаланған кеңістікте барлық жинақталатын тізбектер фундаментальды тізбек болатынын дəлелде. 7. Егер X евклид кеңістігі жəне І сызықтық функционал болса, онда X де І(x) = (a, x) теңдігі орындалатын a l векторы табылатынын дəлелде. Ұсынылатын əдебиеттер тізімі Негізгі əдебиеттер: []. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теорий функций и функционального анализа. М., 97 []. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. ГИТТЛ, М.-Л., 95 [3]. Садовничий В.А. Теория операторов. М., Изд-во МГУ, 979 [4]. Треногин В.А. Функциональный анализ. М., «Наука», 980 Қосымша əдибиеттер: [5]. Кириллов А.А., Гвишиани А.Д. Теоремы и задачи функционального анализа. М., «Наука», 979 [6]. Петров В.А., Виленкин Н.Я., Граев М.И. Элементы функционального анализа в задачах. М., «Просвещение», 978 [7]. Треногин В.А., Писаревский Б.С., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М., «Наука», 984