2η Εργαστηριακή Άσκηση Εξάρτηση της ηλεκτρικής αντίστασης από τη θερμοκρασία Θεωρητικό μέρος

Transcript

1 2η Εργαστηριακή Άσκηση Εξάρτηση της ηλεκτρικής αντίστασης από τη θερμοκρασία Θεωρητικό μέρος Όπως είναι γνωστό από την καθημερινή εμπειρία τα περισσότερα σώματα που χρησιμοποιούνται στις ηλεκτρικές ηλεκτρονικές εφαρμογές είναι στερεά. Οι ιδιότητες των στερεών σωμάτων καθορίζονται σε μεγάλο ποσοστό από τη χημική τους σύσταση, τους χημικούς δεσμούς ανάμεσα στα άτομά τους και την κρυσταλλική κατασκευή του πλέγματός τους. Στα ομοιοπολικά στερεά (π.χ. αδάμαντας) οι δεσμοί έχουν αυστηρά κατευθυνόμενο χαρακτήρα, ο οποίος καθορίζει τη σχετική τοποθέτηση των συνδεόμενων ατόμων. Στα ιοντικά στερεά αντιθέτως οι δεσμοί δεν έχουν σαφή προσανατολισμό, λόγω συμμετρικής σφαιρικής ηλεκτρονικής κατανομής (π.χ. χλωριούχο νάτριο) και επομένως η κρυσταλλική ανάπτυξη εξαρτάται μόνο από τα φορτία και τις σχετικές διαστάσεις των ατόμων. Από την άποψη της ηλεκτρικής συμπεριφοράς τα ηλεκτρόνια των σωμάτων ανήκουν σε τρεις διαφορετικές κατηγορίες. Η μια είναι τα ελεύθερα ηλεκτρόνια που διαθέτουν αρκετή ενέργεια ώστε να έχουν αποσπασθεί από τους δεσμούς του σώματος (ηλεκτρόνια αγωγιμότηας). Η δεύτερη κατηγορία είναι τα ηλεκτρόνια σθένους των ατόμων που σχηματίζουν τους δεσμούς και τα οποία μπορούν να κινηθούν μόνο προς τις οπές γειτονικών τους δεσμών ή να ανταλλάξουν θέσεις με άλλα ηλεκτρόνια σθένους γειτονικών δεσμών. Υπάρχουν τέλος και τα ηλεκτρόνια των εσωτερικών στοιβάδων των ατόμων, που είναι λιγότερο ενεργά και δε συμμετέχουν σε μηχανισμούς αγωγιμότητας. Στα ιοντικά στερεά τα ηλεκτρόνια σθένους είναι εντοπισμένα στα διάφορα ιόντα του πλέγματος, ενώ στα ομοιοπολικά βρίσκονται κυρίως στο χώρο ανάμεσα στα άτομα που συμμετέχουν στους δεσμούς. Στα μεταλλικά όμως στερεά ένα μεγάλο πλήθος από τα ηλεκτρόνια σθένους περιφέρεται ελεύθερα μεταξύ των ατόμων και τα συγκρατεί σε πυκνή τοποθέτηση μη κατευθυνόμενου χαρακτήρα. Συγκεκριμένα, όλα σχεδόν τα μέταλλα κρυσταλλώνονται είτε στο κυβικό χωροκεντρωμένο πλέγμα (χρώμιο, βολφράμιο κ.α), είτε στο κυβικό εδροκεντρωμένο πλέγμα (χαλκός, αλουμίνιο, νικέλιο, κ.α), είτε στην εξαγωνική δομή μεγίστης πυκνότητας (μαγγάνιο, κοβάλτιο, ψευδάργυρος, κ.α). Στην πραγματικότητα οι παραπάνω κατηγορίες στερεών και οι δεσμοί ανάμεσά τους αποτελούν ακραίες καταστάσεις. Συνήθως, η κατασκευή των σωμάτων αποτελεί μια ενδιάμεση κατάσταση. Π.χ. οι δεσμοί στον ημιαγωγό GaAs είναι ένα μίγμα ομοιοπολικών ιοντικών δεσμών σε ποσοστό 50-50%. Αντίστοιχα, στο InP οι δεσμοί του θα πρέπει να θεωρούνται ως μίγμα 68% ομοιοπολικού και 32% ιοντικού χαρακτήρα. Σε ένα διάγραμμα τιμών ενέργειας, οι ενεργειακές στάθμες των ηλεκτρονίων σθένους των ατόμων του σώματος, καθώς διαφέρουν λίγο μεταξύ τους σχηματίζουν μια ενεργειακή ζώνη, τη ζώνη σθένους. Αντίστοιχα, οι ενεργειακές τιμές των ελεύθερων ηλεκτρονίων σχηματίζουν τη ζώνη αγωγιμότητας. Η απόσταση ανάμεσα στις δύο ζώνες ονομάζεται ενεργειακό διάκενο (ή αλλιώς απαγορευμένη ενεργειακή ζώνη). Η ενέργεια αυτή ισούται με hv Εg, όπου h η σταθερά του Planck και v η

2 συχνότητα της ακτινοβολίας και εκφράζει την ελάχιστη ενέργεια που απαιτείται ώστε να διεγερθεί ένα ηλεκτρόνιο σθένους και να μεταπηδήσει στη ζώνη αγωγιμότητας. Τυχόν περίσσεια ενέργειας μεταφέρεται στα ελεύθερα ηλεκτρόνια ως κινητική ενέργεια Εκ και γίνεται αντικληπτή με την αύξηση της θερμοκρασίας του σώματος. Ένα τυπικό διάγραμμα ενεργειακών ζωνών στην περίπτωση των ημιαγωγών (χωρίς προσμίξεις) απεικονίζεται παρακάτω. Τα σώματα με μεγαλύτερο (πρακτικά πάνω από 2.5 ev) ενεργειακό διάκενο χαρακτηρίζονται ως μονωτές. Στην περίπτωση των μεταλλικών αγωγών η ζώνη αγωγιμότητας επικαλύπτει εν μέρει τη ζώνη σθένους. Στο ίδιο σχήμα απεικονίζεται και μια χαρακτηριστική ενεργειακή στάθμη, που ονομάζεται ενέργεια Φέρμι (E F ) και πρακτικά παριστά την ενέργεια που έχει το ενεργότερο από τα ηλεκτρόνια του σώματος, όταν αυτό βρίσκεται στη θεμελιώδη του κατάσταση, δηλαδή στη θερμοκρασία του απολύτου μηδενός. Στην περίπτωση ενός ενδογενούς ημιαγωγού, η στάθμη αυτή ευρίσκεται ακριβώς στο μέσον μεταξύ του πυθμένα της ζώνης αγωγιμνότητας και της κορυφής της ζώνης αθένους. Ec Ζώνη αγωγιμότητας Ε Ev Εg Ζώνη σθένους E F Εσωτερικές ενεργειακές ζώνες Σχ. 1: Κατανομή ενεργειακών σταθμών σε έναν ενδογενή ημιαγωγό. Στους εξωγενείς ημιαγωγούς, οι οποίοι είναι υλικά με μεγάλο ενεργειακό διάκενο, έχουν εισαχθεί στοιχεία τα οποία ονομάζονται δότες (π.χ. P, Sb, Ar, - ημιαγωγός τύπου n) ή αποδέκτες (B, Ga, Al, In, - ημιαγωγός τύπου p) και μπορούν να δημιουργήσουν επιπλέον ηλεκτρόνια αγωγιμότητας ή οπές αγωγιμότητας στο ενεργειακό διάκενο πέραν αυτών που οφείλονται στην ενογενή ημιαγωγιμότητα. Τα ηλεκτρόνια των στοιχείων δοτών μπορούν να ενεργοποιηθούν και να μεταπηδήσουν στη ζώνη αγωγιμότητας και να γίνουν ηλεκτρόνια αγωγιμότητας.

3 Επιπλέον ηλεκτρόνια της ζώνης σθένους του ημιαγωγού μπορούν να ενεργοποιηθούν και να μεταπηδήσουν στη ζώνη των στοιχείων αποδεκτών και να δημιουργήσουν οπές αγωγιμότητας στη ζώνη σθένους. Τα ενεργειακά επίπεδα των δοτών ευρίσκονται λίγο κάτω από το επίπεδο της ζώνης αγωγιμότητας, ενώ τα ενεργειακά επίπεδα των αποδεκτών ευρίσκονται λίγο πάνω από το επίπεδο της ζώνης σθένους. Τα επίπεδα δοτών ζώνης αγωγιμότητας και αποδεκτών ζώνης σθένους είναι περίπου το 1% του ενεργειακού διακένου μεταξύ ζώνης σθένους και ζώνης αγωγιμότητας. Η συνάρτηση Φέρμι εκφράζει την πιθανότητα της κατάληψης από ηλεκτρόνια της στάθμης με ενέργεια Ε και δίνεται από τη σχέση: η οποία μπορεί να απλοποιηθεί στη σχέση P(E) = 1/1+e (E-E F )/KT (1), P(E) = 1/e (E-E F )/KT (2), καθώς στην πράξη η διαφορά Ε-EF είναι σημαντικά μεγαλύτερη από το γινόμενο kt. Κάθε στερεό έχει γενικά διαφορετική ενέργεια Φέρμι, ανάλογα με το πλήθος n των ελεύθερων ηλεκτρονίων ανά μονάδα όγκου του σώματος. Η τιμή της δίνεται από τη σχέση: E F = (h 2 /8m)(3n/π) 2/3 (3), όπου h είναι η σταθερά δράσης του Planck, δηλαδή 6,63x10-34 Js και m είναι η μάζα του ηλεκτρονίου. Στο παρακάτω σχήμα δίνεται γραφικά ο ορισμός που δόθηκε για τη στάθμη Φέρμι. Στη θερμοκρασία 0Κ έχουν καταληφθεί όλες οι στάθμες ενέργειας μέχρι την E F, οπότε η πιθανότητα κατάληψης είναι 1. Σε υψηλότερες θερμοκρασίες, που ενδιαφέρουν και στις τεχνικές εφαρμογές πολλά από τα ενεργότερα ηλεκτρόνια διεγείρονται εγκαταλείποντας τις στάθμες που κατείχαν κάτω από την E F και προωθούνται λίγο πιο πάνω από αυτήν. Έτσι, η κατανομή των ηλεκτρονίων στις διάφορες τιμές ενέργειας διαφοροποιείται για τις τιμές κοντά στην E F και η καμπύλη αποκτά μια ουρά, που επεκτείνεται σε τιμές όσο μεγαλύτερη είναι η θερμοκρασία. Οι καμπύλες πάντως παραμένουν συμμετρικές και η πιθανότητα για την κατάληψη της στάθμης E F είναι για όλες τις θερμοκρασίες περίπου 0.5. Είναι φανερό επομένως ότι με την αύξηση της θερμοκρασίας ενός σώματος αυξάνει ταυτόχρονα και η πιθανότητα να υπάρχουν ηλεκτρόνιά του σε ανώτερες στάθμες ενέργειας. Αυτό εξηγεί γιατί η αγωγιμότητα ενός ημιαγωγού αυξάνει με την αύξηση της Τ. Όσον αφορά τα μέταλλα όμως η αγωγιμότητά τους μειώνεται, καθώς με την ανύψωση της Τ προκαλείται παράλληλα αύξηση του πλάτους των ταλαντώσεων των ατόμων, που παρενοχλούν τα ηλεκτρόνια καθώς κινούνται υπό την επίδραση του ηλεκτρικού πεδίου μειώνοντας την κινητικότητά τους.

4 kt 1 1 kt 2 T 2 T=0K P(E) T 1 0 E F E Σχ. 2: Η επίδραση της θερμοκρασίας στην πιθανότητα P(E) να έχουν καταλάβει τα ηλεκτρόνια ενός σώματος μια ενεργειακή στάθμη Ε, για δύο διαφορετικές τιμές θερμοκρασίας του σώματος (T2>T1). Η πιθανότητα αυτή μηδενίζεται πρακτικά σε απόσταση 4kT πάνω από την E F (ή αλλιώς σε περίπου 0.1 ev στη συνηθισμένη θερμοκρασία). Θερμοηλεκτρικό ζεύγος. Όταν μεταξύ των άκρων ενός μεταλλικού αγωγού υπάρχει θερμοκρασιακή διαφορά, η ενεργειακή κατανομή στα ηλεκτρόνια θα είναι διαφορετική και θα είναι ενεργότερα εκείνου του θερμότερου άκρου. Με την αποκατάσταση της δυναμικής ισορροπίας ένα μέρος από το πλήθος των ενεργών ηλεκτρονίων θα κινηθεί προς το ψυχρότερο άκρο του μετάλλου, με αποτέλεσμα την εκδήλωση διαφοράς δυναμικού κατά μήκος του τεμαχίου, της τάσης Σήμπεκ (Seebeck). Η μεταβολή της τιμής της τάσης ανά βαθμό διαφοράς θερμοκρασίας (n=dv/dt) ονομάζεται συντελεστής Σήμπεκ του σώματος. Κάθε σώμα έχει διαφορετικό συντελεστή Σήμπεκ αφού είναι διαφορετικές οι συγκεντρώσεις και οι ενεργειακές κατανομές των ηλεκτρονίων τους. Η μέτρηση της απόλυτης τιμής της τάσης Σήμπεκ δεν είναι δυνατή και γι αυτό το λόγο η έκφρασή της γίνεται συμβατικά σε σχέση με το χαλκό. Το φαινόμενο Σήμπεκ εφαρμόζεται κυρίως στην κατασκευή των θερμοστοιχείων για τη μέτρηση σχετικά υψηλών θερμοκρασιών, στις οποίες δε μπορούν να χρησιμοποιηθούν τα κοινά θερμόμετρα που βασίζονται π.χ. στη διαστολή των υγρών ή στη μεταβολή της αγωγιμότητας με τη θερμοκρασία (θερμίστορ). Τα θερμοστοιχεία αποτελούνται από ένα θερμοηλεκτρικό ζεύγος, δηλαδή δύο σύρματα διαφορετικών υλικών Α και Β που έχουν συνδεθεί στο ένα άκρο τους. Το άκρο αυτό τοποθετείται στο σημείο που επιδιώκεται να μετρηθεί η θερμοκρασία Τ Μ, ενώ τα ελεύθερα άκρα των δύο συρμάτων βρίσκονται σε χώρο με γνωστή θερμοκρασία, τη

5 θερμοκρασία σύγκρισης Τ Σ και συνδέονται με ένα βολτόμετρο. Η αναπτυσσόμενη τάση μεταξύ τους είναι: V= n AB (Τ Μ -Τ Σ ) (4), ενώ για τα δύο σύρματα ισχύει: n AB = n A - n B (5). Κατά το αντίστροφο φαινόμενο, που ονομάζεται Peltier επιδιώκεται η επίτευξη διαφορετικής θερμοκρασιακής κατανομής σε ένα ζεύγος μεταλλικών αγωγών με την εφαρμογή κατάλληλης διαφοράς δυναμικού. Τα αποτελέσματα της μεθόδου αξιοποιούνται στην κατασκευή ψυκτικών μέσων. Πειραματικό μέρος 1. Ένα θερμοηλεκτρικό ζεύγος αποτελείται από δύο σύρματα, το ένα είναι χάλκινο και το άλλο είναι από άγνωστο υλικό. Το ένα άκρο του ζεύγους βρίσκεται σε θερμοκρασία περιβάλλοντος, ενώ το άλλο θερμαίνεται και η αναπτυσσόμενη θερμοκρασία παρατηρείται μέσω κατάλληλου θερμοστοιχείου. α) Να μετρηθεί η διαφορά δυναμικού μεταξύ των δύο άκρων συναρτήσει της θερμοκρασίας του δεύτερου άκρου και να γίνει το ανάλογο διάγραμμα. β) Δίνεται ότι ο συντελεστής Σήμπεκ του χαλκού στην περιοχή C είναι 0 V/K. Ποιο είναι το υλικό του δεύτερου σύρματος; 2. Να κατασκευαστούν τα διαγράμματα R-T για δύο μέταλλα. Τι παρατηρείτε; 3. Ομοίως, να κατασκευαστεί το διάγραμμα R-T για τον ημιαγωγό λεπτού υμένα SnO 2. Τι παρατηρείτε; Με τι τύπου ημιαγωγιμότητα πιστεύετε ότι συνδέεται η στοιχειομετρία του οξειδίου και γιατί; 4. Να παρασταθούν γραφικά οι κατανομές των ενεργειακών σταθμών α) για ένα μέταλλο, β) έναν ημιαγωγό πρόσμιξης τύπου n και γ ) έναν ημιαγωγό πρόσμιξης τύπου p. 5. Να συγκρίνετε το πλήθος του ηλεκτρονίων ενός μετάλλου σε θερμοκρασία δωματίου που έχουν ενέργεια κατά 0.5 ev ανώτερη από την ενέργεια Φέρμι, με το πλήθος τους όταν το μέταλλο έχει θερμοκρασία C. Να συγκρίνετε επίσης τα συνολικά πλήθη των ηλεκτρονίων στις δύο παραπάνω περιπτώσεις που έχουν ενέργεια μεγαλύτερη από E F ev. Δίνεται η σταθερά Boltzmann k = 8.63 x 10-5 ev/k.