ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών)

Transcript

1 ΣΧΟΛΗ ΕΜΦΕ ΤΟΜΕΑΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Ηµιαγωγοί και Ηµιαγώγιµες οµές (7 ο Εξάµηνο Σπουδών) η Σειρά Ασκήσεων 19/1/7 Ι. Σ. Ράπτης 1. Ηµιαγωγός, µε ενεργειακό χάσµα 1.5, ενεργό µάζα ηλεκτρονίων m.8m, ενεργό µάζα οπών m.5m, και σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r 1, έχει εµπλουτισθεί, ανοµοιογενώς, µε προσµίξεις τύπου «ότες». (α) Να υπολογίσετε την ενεργειακή διαφορά του ελαχίστου της ζώνης αγωγιµότητας από την ενδοχασµατική ενεργειακή κατάσταση των δοτών. (β) Να υποθέσετε ότι οι προσµίξεις κατανέµονται κατά βάθος ( µε συγκέντρωση N(N (-a, όπου Ν , και a 4(µm) -1, και να εξηγείσετε, µε ποιοτικά επιχειρήµατα ή µε έναν υπολογισµό τάξης µεγέθους, ότι όλες οι προσµείξεις µπορούν να θεωρηθούν ιονισµένες. (γ) Θεωρήστε, µε βάση το προηγούµενο συµπέρασµα, ότι η συγκέντρωση ηλεκτρονίων αλλάζει, µε το βάθος, σύµφωνα µε τη σχέση ( N (-a, όπου η ενδογενής πυκνότητα φορέων, και υπολογίστε την κατά βάθος κατανοµή οπών (, σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας. (δ) Υπολογίστε το ηλεκτρικό πεδίο Ε Ε(, που προκύπτει ως αποτέλεσµα της ανοµοιογενούς κατανοµής φορέων σε θερµοδυναµκή ισορροπία. (ε) Σχεδιάστε, σε ένα ποιοτικό σχεδιάγραµµα τις συναρτήσεις (, (, (, (, (, (, και το ηλεκτρικό πεδίο του ερωτήµατος (γ). (α) 1.6 m m ε m 1 ( 15 4µ x (β) Οι προσµείξεις κατανέµονται σύµφωνα µε την σχέση ( ) 15 ( x ) 1, 1 oπότε: για x max για x1µ 1 ( x 1) 1.8 % του, max Αν δεχθούµε ότι έχουµε ολικό ιονισµό, τότε µπορούµε να εκτιµήσουµε την τιµή της στάθµης rm, (στο πλαίσιο της υπόθεσης του ολικού ιονισµού). Επειδή το σύστηµα βρίσκεται σε θερµοδυναµική ισορροπία, η στάθµη rm είναι ίδια σε όλη την έκταση του συστήµατος, εποµένως µπορούµε να εκτιµήσουµε την απόσταση της στάθµης rm από την ζώνη αγωγιµότητας, (που είναι αυτή η ενεργειακή ζώνη που µεταβάλλει τιµή, συναρτήσει του βάθους), για διαφορετικά σηµεία κατά βάθος του ηµιαγώγιµου υλικού. ηλαδή. ax l l ax l Ενδεικτικά: x 5m ( 1 ) 6 g x 1µ 5m ( 1 ) 4 g Στη συνέχεια µπορούµε να ελέγξουµε την αυτοσυνέπεια του αποτελέσµατος µε την αρχική παραδοχή του ολικού ιονισµού, δηλαδή : 1

2 m x m 99.8% 5 ( ) m x 5 ( 1) x m x µ m 99.9% Άρα η προσέγγιση του ολικού ιονισµού είναι ασφαλής αφού δίνει αυτοσυνεπή αποτελέσµατα. (γ) Αν δεχτούµε ότι ( από το νόµο δράσης των µαζών ax ( P( ( ax Οπότε, για η συγκέντρωση οπών, σε δύο διαφορετικά βάθη, υπολογίζονται: 1 5 ( x ) ( x ) 15 ( x 1 6 1) ( x 1) ( x 1) 1.8 (δ) Η ανοµοιογενής κατανοµή φορέων, κατά βάθος, δηµιουργεί, σε πρώτη φάση, προσανατολισµένη διάχυση φορέων, που έχει ως αποτέλεσµα την δηµιουργία, µέσω του φορτίου χώρου, την δηµιουργία ηλεκτρικού πεδίου, που προκαλεί αντίθετα προσανατολισµένη ολίσθηση φορέων. Από την απαίτηση αλληλοαναίρεσης των ρευµάτων διάχυσης και ολίσθησης, σε θερµοδυναµική ισορροπία, (σε συνδυασµό µε την σχέση st, για τους συντελεστές διάχυσης και ευκινησίας), προκύπτει η έκφραση υπολογισµού του ηλεκτρικού πεδίου ax ax 1 d( ( a) a ax ax q ( dx q q Η προηγούµενη έκφραση για το ηλεκτρικό πεδίο δίνει µία περίπου σταθερή τιµή για το βάθος του πρώτου ενός µικροµέτρου ( x 1µ m ), αφού, σε όλη αυτή την έκταση, είναι << (, οπότε a m 1 q. Σε µεγαλύτερο βάθος το µ m ηλεκτρικό πεδίο µειώνεται..

3 . Hµιαγώγιµο υλικό της οικογένειας I, µε ενεργειακό χάσµα Ε g 1., σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r 11, και ενδογενή συγκέντρωση φορέων 5 -, φέρει οµοιόµορφη συγκέντρωση πρόσµειξης Αλουµινίου (l, στήλη III του Περιοδικού Πίνακα) ίση προς 5 17 (άτοµα l)/, σε όλο του τον όγκο. Στην µία επιφάνεια του ανωτέρω υλικού εµφυτεύουµε, επιπλέον, Αρσενικό (s, στήλη του Περιοδικού Πίνακα), µε οµοιόµορφη συγκέντρωση ίση προς (άτοµα s)/, σε µία περιοχή µέχρι βάθος.5µm. (α)να εξηγήσετε ότι το τελικό αποτέλεσµα είναι µία επαφή -, και να υπολογίσετε το εσωτερικό δυναµικό της επαφής. (β) Να υπολογίσετε το συνολικό πλάτος της περιοχής απογύµνωσης καθώς και τα επί µέρους πλάτη των περιοχών απογύµνωσης εκατέρωθεν της επαφής. (γ) Να σχεδιάσετε ένα ενεργειακό διάγραµµα, υπό κλίµακα, του πρώτου 1 µm του συστήµατος, από την πλευρά του υλικού που βρίσκεται η επαφή -, στο οποίο να φαίνονται όλα τα µεγέθη των ερωτηµάτων (α) και (β). ΤΚ. (α) Στα πρώτα.5 µm, ( x.5µ m ) συµβαίνει αντιστάθµιση των προσµείξεων (Αποδέκτες και ότες), οπότε (σε συνδυασµό µε την παραδοχή του ολικού ιονισµού), έχουµε τελικά περιοχή τύπου, µε συγκέντρωση φορέων πλειονότητας 16 5 Στο υπόλοιπο υλικό, (σε βάθος x >.5µ m ), οι φορείς προσδιορίζονται από τις προσµείξεις αλουµινίου (Αποδέκτες), οπότε (σε συνδυασµό µε την παραδοχή του ολικού ιονισµού), έχουµε τελικά περιοχή τύπου, µε συγκέντρωση φορέων πλειονότητας Το δυναµικό επαφής υπολογίζεται από τη σχέση 16 5m / 5 5 l l q / m (β) Τα επί µέρους πλάτη των περιοχών απογύµνωσης εκατέρωθεν της επαφής υπολογίζονται από τη σχέση 14 εrε x µ m 19 q 1.6 ( ) Όµοια, x.18µ m, και το συνολικό πλάτος απογύµνωσης w x x.15 m µ (γ) o 748. m.5 µm x w 1 µm () 1. () x

4 . Ηµιαγώγιµο υλικό, της οικογένειας III- µε ενεργειακό χάσµα Ε g 1. και σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r 14, έχει µέσες ενεργές µάζες, (της πυκνότητας καταστάσεων), οπών και ηλεκτρονίων, m.15m και m.6m, αντίστοιχα. (α) Εξηγείστε γιατί η νόθευση ενός υλικού III-, µε προσµίξεις ατόµων της οµάδας I, µπορεί να λειτουργίσει ως εµπλουτισµός µε φορείς τύπου ή τύπου. (β) Να υπολογιστούν οι ενεργειακές στάθµες οτών και Αποδεκτών, σε αυτό το υλικό, και οι ενεργές πυκνότητες καταστάσεων στις στάθµες σθένους και αγωγιµότητας, σε θερµοκρασία δωµατίου. Σχεδιάστε ένα ενεργειακό διάγραµµα, σηµειώνοντας τις αποστάσεις όλων των ενεργειακών επιπέδων από το µέγιστο της ζώνης σθένους (γ) Στο υλικό υπάρχουν προσµίξεις οι οποίες λειτουργούν ως δότες. Εξηγείστε γιατί, στις χαµηλές θερµοκρασίες, η συγκέντρωση ηλεκτρονίων της ζώνης αγωγιµότητας προέρχεται κυρίως από τον ιονισµό των δοτών. (δ) εχτείτε ότι, στις χαµηλές θερµοκρασίες, η συγκέντρωση ηλεκτρονίων () της ζώνης αγωγιµότητας προέρχεται κυρίως από τον ιονισµό των δοτών (µε συγκέντρωση Ν ), σύµφωνα µε τη σχέση NN / x. Προσδιορίστε τη µέγιστη συγκέντρωση προσµίξεων Ν,max για την οποία εξασφαλίζεται ολικός ιονισµός τους ήδη από τη θερµοκρασία υγρού αζώτου (Τ8Κ). (ε) Εκτιµήστε τη συγκέντρωση ενδογενών ηλεκτρονίων, σε θερµοκρασία δωµατίου, και το επίπεδο rm του υλικού, αν Ν 1.98x 15 -, κάνοντας εύλογες προσεγγίσεις. (στ) Εκτιµήστε από ποιά θερµοκρασία και πάνω ο ηµιαγωγός συµπεριφέρεται ως ενδογενής, αν Ν 1.98x (α) Ανάλογα µε το αν η πρόσµειξη τηw στήλης I θα αντικαταστήσει άτοµο της στήλης III ή άτοµο της στήλης θα λειτουργήσει ως ότης ή ως Αποδέκτης, αντίστοιχα. (β) 1.6 m ε m r 1.6 m m, όµοια. 4m ε m r 1 m kg m , ff 4.4 π π s Επίσης, (γ) m m m m 1 1, εποµένως, σε χαµηλές θερµοκρασίες, διεγείρονται κατά προτεραιότητα ηλεκτρόνια από την στάθµη οτών, παρά από την ζώνη Σθένους, αφού η τελευταία απέχει από την ζώνη αγωγιµότητας πάνω από φορές περισσότερο από ότι η στάθµη Σθένους. (δ) Σύµφωνα µε την εκφώνηση έστω ότι, για Τ8Κ, οπότε, crtcal,

5 15 (ε) 1.98 και Αν υποθέσουµε ότι, έχουµε kt l 19 Αλλά (από (β)) 1.1, οπότε 15. m ενώ, (στ) ισχύει:, και, αν το υλικό συµπεριφέρεται ως ενδογενής, θα πρέπει να l 85m T 9K

6 4. α) Υποθέστε ότι οι ενεργές µάζες πυκνότητας καταστάσεων ηλεκτρονίων και οπών του πυριτίου (S) και του γερµανίου (G) είναι της ίδιας τάξης µεγέθους, τα ενεργεικά τους χάσµατα είναι 1.17 και.66, αντίστοιχα, και η ενδογενής συγκέντρωση φορέων του πυριτίου, σε θερµοκρασία δωµατίου είναι 1.5x -. (α) Εξηγείστε γιατί προσµείξεις Sb, σε συγκέντρωση 1 -, καθιστούν, σε θερµοκρασία Κ, ηµιαγωγό τύπου το πυρίτιο αλλά όχι το γερµάνιο. (β) Υποθέστε ότι έχετε επαφή - πυριτίου µε συγκεντρώσεις ολικά ιονισµένων προσµείξεων Ν Α και N, αντίστοιχα σε κάθε πλευρά. Να δείξετε ότι, για την περιοχή θερµοκρασιών όπου ισχύει η παραδοχή του ολικού ιονισµού των προσµείξεων, το εσωτερικό δυναµικό (ή δυναµικό διάχυσης, ή δυναµικό επαφής),, µίας επαφής - ενός ηµιαγώγιµου υλικού, ικανοποιεί µία σχέση της µορφής T ( B l T ), και να προσδιορισθούν οι συντελεστές Α και g Β.συναρτήσει, των συγκεντρώσεων N και N, των ενεργών µαζών m και m, των παγκοσµίων σταθερών (φορτίο ηλεκτρονίου), k (σταθερά του Bolzma) και (σταθερά του Plack), και της θερµοκρασίας Τ. (γ) Με βάση το ερώτηµα (β), εξηγήστε αν το εσωτερικό δυναµικό,, εξαρτάται από τις ιδιότητες του ηµιαγώγιµου υλικού, από τις ιδιότητες των προσµείξεων, ή και από τα δύο. Με βάση την υπόθεση του προβλήµατος ότι οι ενεργές µάζες πυκνότητας καταστάσεων είναι ίδιες, τόσο για τα ηλεκτρόνια των δύο υλικών (S, G) όσο και για τις οπές, έχουµε ότι και οι ενεργές πυκνότητες (κβαντικών) καταστάσεων ικανοποιούν τις σχέσεις : ( S) ( G) και ( S) ( G) Εποµένως: ( G) ( S) ( G) ( G) 5 14 ( G) ( S) 1.5 ( G) 4 ( S) ( S) Τελικά: 1 ( G) >> ( Sb) >> ( S) Άρα: G : ενδογενής, ενώ, S : εξωγενής (β) [Βλ. Και πρόβληµα.6 (β)] q l BT, όπου το Β: συνάρτηση των ενεργών µαζών [ ] g / ηλεκτρονίων και οπών, και παγκόσµιων σταθερών (γ) Από (β) η τάση επαφής είναι συνάρτηση : () του υλικού (κυρίως, µέσω του ενεργειακού χάσµατος µέσω των ενεργών µαζών m,, m () των προσµείξεων, µέσω των,. g και δευτερευόντως

7 5. Επαφή - µε διατοµή.1 mm, κατασκευάζεται από ηµιαγώγιµο υλικό µε σχετική διηλεκτρική σταθερά ε r, ενεργειακό χάσµα Ε g 1.17, ενδογενή συγκέντρωση φορέων.x 9 -, σε θερµοκρασία δωµατίου, ευκινησίες φορέων µ 5 /s, µ 15 /s, ίδιο µέσο ελεύθερο χρόνο µεταξύ κρούσεων, (της τάξης του -1 s), καθώς και ίδιο χρόνο ζωής, τ τ.5 µs, (από την διέγερση-δηµιουργία, µέχρι της επανασύνδεση) των φορέων µειονότητας. Θεωρείστε ότι το πηλίκο των ενεργών µαζών αγωγιµότητας είναι όσο και το πηλίκο των ενεργών µαζών πυκνότητας καταστάσεων. Η επαφή κατασκευάζεται νοθεύοντας τις περιοχές και, µε προσµίξεις συγκεντρώσεων Ν 5x 15 -, N 1.5x 16 - αντίστοιχα, οι οποίες θεωρούνται ολικά ιονισµένες. (α) Να υπολογιστεί η ενεργός πυκνότητα καταστάσεων για τις ζώνες σθένους (N ) και αγωγιµότητας (Ν ). (β) Να σχεδιαστεί το ενεργειακό διάγραµµα της επαφής, σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας, (Ε () -, - (), δυναµικό επαφής). (γ) Να υπολογιστεί το εύρος της περιοχής απογύµνωσης (άντλησης), σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας. (δ) Να υπολογιστεί το ρεύµα που διαρρέει την επαφή όταν είναι πολωµένη ευθέως µε τάση.5. (α) Θα προσδιορίσουµε τις,, υπολογίζοντας το γινόµενό τους και το πηλίκο τους, ως εξής: επίσης (1) m µ τ m, αλλά, όπου οι µέσοι ελεύθεροι χρόνοι µεταξύ κρούσεων, (της m µ τ m τάξης του -1 s) είναι ίσοι ( τ τ ), σύµφωνα µε την εκφώνηση, οπότε m m µ µ και, τελικά, µ µ.19 () Από τις (1) και () παίρνουµε : 5 και m / 7.5 (β) l l 66. m q.5 / Επίσης: l m 46. ( ) ( ) και l m 6. 5 ( ) ( ) ενώ m g l m ( ) ( ) 4 m

8 o 66. m 46. m () 65 m 565 m 6.5 m () 1.17 () () (γ) Πλάτος της περιοχής απογύµνωσης w 14 m ε ε w.4µ m q (δ) Για τον υπολογισµό του ρεύµατος πρέπει να υπολογιστεί η τιµή της πυκνότητας ρεύµατος κορεσµού Js τ τ Υπολογίζουµε τις συγκεντρώσεις των φορέων µειονότητας, σε κατάσταση θερµοδυναµικής ισορροπίας : και καθώς και τους συντελεστές διάχυσης (συναρτήσει των συντελεστών ευκινησίας, από την σχέση του st) m / µ s µ / 7.5 s Οπότε: J s τ 1 6 και το ρεύµα κορεσµού τ IS JS s mm s 5.46 Για την συγκεκριµένη τιµή,.5, της ευθείας πόλωσης, το ρεύµα γίνεται 5m 16 5m I ( ) µ

9 6. Θεωρείστε γνωστό ότι σε έναν ηµιαγωγό µε συγκέντρωση προσµίξεων τύπου ίση µε N d, η συγκέντρωση ιονισµένων δοτών, (σε χαµηλές θερµοκρασίες, όπου k B T<< Ε - Nd d ), δίδεται από τη σχέση N d, όπου Ε το επίπεδο rm και d η ( d ) x kbt στάθµη ενέργειας δοτών, µε αναφορά την ανώτατη ενέργεια της στάθµης σθένους. Συνδυάζοντας τη σχέση αυτή µε το γεγονός ότι, στην ίδια περιοχή χαµηλών θερµοκρασιών, <<N d /, να υπολογίσετε : (α) τη συγκέντρωση ηλεκτρονίων (), και (β) το επίπεδο rm ( ), συναρτήσει της θερµοκρασίας και των N c, N d, c, d. (γ) Σε ποιά τιµή τείνει, για την παραπάνω περίπτωση, το επίπεδο rm, στο όριο Τ ; Σύµφωνα µε την προσέγγιση της εκφώνησης του προβλήµατος (1) Η συνθήκη ουδετερότητας του συστήµατος, σε συνδυασµό µε το νόµο δράσης των µαζών δίνει: / µε φυσικώς αποδεκτή λύση την 1 4 Επειδή, στην περιοχή χαµηλών θερµοκρασιών, ισχύει <<, η προηγούµενη σχέση δίνει, οπότε από (1): () αλλά γενικά ισχύει () Πολλαπλασιάζοντας τις () και () : 1 (β) Για τον υπολογισµό της συνδυάζουµε την τελευταία (προσεγγιστική) µε την, (γενικώς ισχύουσα), σχέση (), εξισώνοντας τα δεύτερα µέλη και λύνοντας ως προς : l (γ) Στο όριο T παίρνουµε ( T ). Γενικά, όµως, επειδή <, η στάθµη rm είναι χαµηλότερη από το όριο αλλά, (στις περισσότερες των περιπτώσεων), και από την ενεργειακή στάθµη των δοτών.