2 Συντεταγµένες στο επίπεδο

HTML
DOWNLOAD

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2 Συντεταγµένες στο επίπεδο"

Ἀρίστων Αθανασιάδης
9 χρόνια πριν
Προβολές:

1 Συντεταγµένες στο επίπεδο Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Σύστηµα συντεταγµένων Ένα σύστηµα δυο κάθετων αξόνων µε κοινή αρχή Ο και µοναδιαία διανύσµατα, i και j λέµε ότι αποτελεί ένα καρτεσιανό σύστηµα αξόνων (ορθοκανονικό όταν τα µοναδιαία είναι ισοµήκη). Ο οριζόντιος άξονας x x ονοµάζεται άξονας των τετµηµένων και ο κατακόρυφος άξονας y y ονοµάζεται άξονας των τεταγµένων. Οι προβολές τυχαίου σηµείου, έστω Κ, του επιπέδου ορίζουν στους δύο άξονες x x, y y τα διανύσµατα OM και ON αντίστοιχα. Τα διανύσµατα αυτά είναι συγγραµµικά προς τα µοναδιαία i και j και εποµένως υπάρχουν πραγµατικοί αριθµοί x και y τέτοιοι ώστε να ισχύουν: OM = x i και ON = y j Ο αριθµός x ονοµάζεται τετµηµένη του σηµείου Κ και ο αριθµός y ονοµάζεται τεταγµένη του σηµείου Κ. Η τετµηµένη και η τεταγµένη ονοµάζονται συντεταγµένες του Κ. Γραµµικός συνδυασµός Οποιοδήποτε διάνυσµα του επιπέδου γράφεται ως γραµµικός συνδυασµός των µοναδιαίων διανυσµάτων i και j και µάλιστα µε µοναδικό τρόπο. Για το διάνυσµα OM του διπλανού σχήµατος ισχύει: OM = x i y j α=οκ+ολ= +

τα µοναδιαία είναι ισοµήκη). Ο οριζόντιος άξονας x x ονοµάζεται άξονας των τετµηµένων και ο κατακόρυφος άξονας y y ονοµάζεται άξονας των τεταγµένων.

2 6. Σύστηµα συντεταγµένων Συντεταγµένες διανύσµατος Τα διανύσµατα x i και y j λέγονται συνιστώσες του OM και οι πραγµατικοί αριθµοί x και y λέγονται συντεταγµένες του OM και γράφουµε: OM = α= (x,y). Εποµένως, το διάνυσµα που έχει αρχή την αρχή των αξόνων έχει συντεταγµένες ίσες µε τις συντεταγµένες του τέλους του. Ισότητα διανυσµάτων ύο διανύσµατα είναι ίσα, αν και µόνο αν, έχουν ίσες τις οµώνυµες συντεταγµένες τους. Συντεταγµένες γραµµικού συνδυασµού διανύσµατος Για τα διανύσµατα: = α =(x 1, y 1) και β (x,y ) ισχύουν: α+ β = (x x,y y ) λα = λx, λy λ R ( ) 1 1 λα+µβ= ( λ x +µ x, λ y +µ y ) 1 1 όπου λ,µ είναι πραγµατικοί αριθ- µοί. Συντεταγµένες διανύσµατος συναρτήσει των συντεταγµένων των άκρων του Έστω το διάνυσµα A(x 1, y 1) και Β α=αβ =(x,y) µε (x,y ),τότε ισχύει: ΑΒ = (x x,y y ) 1 1 ηλαδή, κάθε µια απο τις συντεταγ- µένες ενός διανύσµατος είναι ίση µε τη διαφορά των οµώνυµων συντεταγ- µένων των άκρων ( τέλους - αρχής ).

Ισότητα διανυσµάτων ύο διανύσµατα είναι ίσα, αν και µόνο αν, έχουν ίσες τις οµώνυµες συντεταγµένες τους.

3 Σύστηµα συντεταγµένων 7. Συντεταγµένες του µέσου ενός ευθύγραµµου τµήµατος συναρτήσει των συντεταγµένων των άκρων του. Έστω A ( x 1, y 1) και ( x ), y του επιπέδου και ( ) B σηµεία M x,y το µέσον του. Αποδεικνύεται ότι: x + x y + y x M =, ym = M M 1 1 Μέτρο διανύσµατος Συντελεστής διεύθυνσης διανύσµατος Συντελεστή διεύθυνσης διανύσµατος ονοµάζουµε το πηλίκο της τεταγµένης y προς την τετµηµένη x και γράφουµε: y λ = = εφθ, αν x 0 x Για τα διανύσµατα τα παράλληλα στον άξονα y y δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης. Συνθήκη παραλληλίας διανυσµάτων Για τα διανύσµατα α =(x 1, y 1) και β = (x,y ) του επιπεδου ισχύει η ισοδυναµία: x1 y1 α// β det ( α, β) = 0 = 0 x y Αν τα διανύσµατα έχουν συντελεστές διεύθυνσης λ τότε: β α // β λ λ =. α β λ, α

Αποδεικνύεται ότι: x + x y + y x M =, ym = M M 1 1 Μέτρο διανύσµατος Συντελεστής διεύθυνσης διανύσµατος Συντελεστή διεύθυνσης διανύσµατος ονοµάζουµε το πηλίκο της τεταγµένης y προς την

4 8. Σύστηµα συντεταγµένων Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Κατηγορία - Mέθοδος 1 Ο γραµµικός συνδυασµός διανυσµάτων γίνεται και γραµµικός συνδυασµός µεταξύ των συντεταγµένων τους. Έτσι, µπορούµε να υπολογίσουµε κάποιες παραµέτρους, που µας δίνονται µε τα διανύσµατα. Το ίδιο µπορούµε να κάνουµε και όταν µας ζητούν να γράψουµε ένα διάνυσµα ως γραµµικό συνδυασµό γνωστών διανυσµάτων. Παράδειγµα 1 1. ίνεται το διάνυσµα α = ( λ 4λ+, λ λ ). Να βρείτε τις τιµές της παραµέτρου λ για τις οποίες είναι: α. α= 0 β. α 0 και α //x x γ. α 0 και α //yy α. Eίναι το διάνυσµα µηδενικό, αν και µόνο αν κάθε µία απο τις συντεταγµένες του είναι ίση µε το 0. ηλαδή, 4 0 λ λ+ = α= 0 λ λ = 0 λ = 1ηλ= λ = λ= 0 ηλ= β. α 0 και α//x x λ 4λ+ 0 και (λ = 0 ή λ = ) λ = 0 γ. α 0 και //yy 4 0 α λ λ+ = και (λ 0 και λ ) λ = 1 λ λ = 0 (λ 1 και λ ) και λ λ 0 και (λ = 1 και λ = ) και Παράδειγµα ίνεται το διάνυσµα α= 10 i + 4 j. Να γράψετε το διάνυσµα αυτό ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων u και ν, όπου u = i j και ν= i+ 4 j Θα προσδιορίσουµε πραγµατικούς αριθµούς λ και κ τέτοιους ώστε να ισχύει: α = λu+ κv Είναι: α=λ u+κν 10 i+ 4 j =λ( i j) +κ (i+ 4 j) λ+κ= 10 κ= και λ = 4 λ + 4 κ = 4 Εποµένως, α = 4u + v. Παράδειγµα ίνονται τα σηµεία Α(0,), Β(1, -4) και Γ(,5). Να προσδιορίσετε τις συντεταγµένες σηµείου Μ του επιπέδου για το οποίο ισχύει: ΑΒ = ΜΓ

Το ίδιο µπορούµε να κάνουµε και όταν µας ζητούν να γράψουµε ένα διάνυσµα ως γραµµικό συνδυασµό γνωστών διανυσµάτων. Παράδειγµα 1 1. ίνεται το διάνυσµα α = ( λ 4λ+, λ λ ).

5 Σύστηµα συντεταγµένων 9. Έστω Μ(x,y), τότε είναι ΑΒ = (1, 7) και ΜΓ = ( x,5 y), οπότε AB = M Γ (1, 7) = (x 4, y 10) 5 Εποµένως, M, Κατηγορία - Mέθοδος α β 5 x = x 4 = 1 x = 5 y 10 = 7 y = y = Όταν µας δίνεται παραλληλία διανυσµάτων ή όταν µας ζητούν να αποδείξουµε ότι κάποια έστω ακαιβ διανύσµατα είναι παράλληλα χρησιµοποιούµε τις σχέσεις: i. α=λβ, λ R ii. det ( αβ, ) = 0 iii. λ =λ,όπου λ α β, λ είναι οι συντελεστές διεύθυνσης των διανυσµάτων. Παράδειγµα 1 Να προσδιορίσετε τον πραγµατικό αριθµό x, ώστε τα διανύσµατα α =(4,x) και β = (x,1) να είναι: i. οµόρροπα ii. αντίρροπα. Είναι α// β det( α, β) = 0 4 x x 1 = 0 4 x = 0 x = 4 x = ή x - Είναι α β α=λβ, µελ> 0 και α β α=λβµελ<, 0 i. Άν x = τότε α = (4,) = (,1) = β. Αρα α β. ii. Άν x = - τότε α = (4, ) = β. Ά ραα β. = Κατηγορία - Mέθοδος Στις ασκήσεις που αναφέρονται σε συνευθειακά σηµεία, θεωρούµε δύο από τα έξι διανύσµατα που ορίζουν τα σηµεία αυτά και χρησιµοποιούµε τη συνθήκη παραλληλίας,ή ότι η ορίζουσα των συντεταγµένων τους είναι ίση µε το µηδέν.

διανυσµάτων ή όταν µας ζητούν να αποδείξουµε ότι κάποια έστω ακαιβ διανύσµατα είναι παράλληλα χρησιµοποιούµε τις σχέσεις: i. α=λβ, λ R ii. det ( αβ, ) = 0 iii.

6 0. Σύστηµα συντεταγµένων Παράδειγµα 1 ίνονται τα µη µηδενικά διανύσµατα α και β και τα διανύσµατα: ΟΑ = α+ β, ΟΒ = α+ 4β και ΟΓ = 4α+ β Να αποδείξετε οτι τα σηµεία Α, Β και Γ είναι συνευθειακά. Για τα διανύσµατα ΑΒ και ΒΓ έχουµε: ΑΒ=ΟΒ ΟΑ=α+ 4 β (α+ β ) = α+β και ΒΓ = ΟΓ Ο = 4 α+ β ( α+ 4 β ) = α β Από τα παραπάνω προκύπτει ότι ΒΓ = ( α+ β ) = ΑΒπου σηµαίνει ότι τα σηµεία Α,Β και Γ είναι συνευθειακά. ( Οι φορείς τους είναι παράλληλες ευθείες µε κοινό σηµείο ) Γ. ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση 1 Στο επόµενο σχήµα να γράψετε τους συντελεστές διεύθυνσης των διανυσµάτων: ΑΒ, Γ και ΕΓ Είναι Α (, 4 ), Β ( 5, 5 ), Γ ( 5, ), ( 7, 1 ) και Ε (, 0 ) οπότε AB = (,1), Γ = (, ), ΕΓ = (,) και οι συντελεστές διεύθυνσης είναι: 1 λ =, λ = = 1 και λ = = 1 ΑΒ Γ ΕΓ Άσκηση ίνονται τα σηµεία Α (, 0 ), Β ( -1, ) και Γ ( -, - ). Να υπολογίσετε το µήκος των πλευρών και το µήκος της διαµέσου που άγεται από την κορυφή Α του τριγώνου ΑΒΓ. Στο σχήµα που ακολουθεί παραστήσαµε τα σηµεία Α, Β και Γ. Είναι: ΑΒ = ( 1, 0) = (,) ΒΓ = ( + 1, ) = (, 5) ΑΓ = (, 0) = ( 5, ) Οπότε τα αντίστοιχα µήκη είναι: ΑΒ = ( ) + = 1 ΒΓ = ( ) + ( 5) = 9

συνευθειακά. ( Οι φορείς τους είναι παράλληλες ευθείες µε κοινό σηµείο ) Γ.

7 Σύστηµα συντεταγµένων 1. ΑΓ = ( 5) + ( ) = 4 Οι συντεταγµένες του µέσου Μ της πλευράς 1 1 ΒΓ είναι:, +, Μ = 1 Άρα, ΑΜ = 4, και το µήκος του είναι: ΑΜ = ( 4) + = 16 + =. 4 Άσκηση ίνεται ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και σηµείο Μ τέτοιο ώστε να ισχύει: ΑΜ = λ ΜΒ, λ R-{ -1} Να προσδιορίσετε τις συντεταγµένες του Μ συναρτήσει των συντεταγµένων των σηµείων Α και Β. Έστω Μ(x,y) και Α (x 1,y 1 ), B (x,y ) τότε είναι: ΑΜ = (x x1, y y 1) και ΜΒ = (x x,y y) οπότε: ΑΜ = λ ΜΒ ( 1 x x, y y1 ) = λ (x x, y y) x x = λ (x x) και y1 1 y = λ( y y) x1+ λx y1+ λy x = και y =, µε λ λ 1+ λ Σχόλιο: Για λ = 1 παίρνουµε τις συντεταγµένες του µέσου Μ του τµήµατος ΑΒ.. ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ 1. Να προσδιορίσετε διάνυσµα που να έχει µέτρο 15 και να είναι i. αντίρροπο µε το διάνυσµα α= (, 4) ii. οµόρροπο µε το διάνυσµα β= (4,) (Υπ: Έστω u = (x,y) το ζητούµενο διάνυσµα.τότε u α u = λα µε λ < 0 και u β u = λβ µε λ > 0 i. u = ( 75,100) ii. u = (100,75) ). Σ ένα σύστηµα συντεταγµένων, οι τετµηµένες των σηµείων Α και Β είναι ρίζες της εξίσωσης x (λ 6λ + 11) x 00 = 0. Να βρείτε το λ, ώστε το µέσο του ΑΒ να έχει τετµηµένη ίση µε. (Υπ: Χρησιµοποιήστε τον τύπο που δίνει το άθροισµα των ριζών τριωνύµου.είναι λ = 5 ή λ = 1)

Έστω Μ(x,y) και Α (x 1,y 1 ), B (x,y ) τότε είναι: ΑΜ = (x x1, y y 1) και ΜΒ = (x x,y y) οπότε: ΑΜ = λ ΜΒ ( 1 x x, y y1 ) = λ (x x, y y) x x = λ (x x) και y1 1 y = λ( y y) x1+ λx y1+ λy x = και y =,

8 . Σύστηµα συντεταγµένων. ίνονται τα σηµεία Α(,0) και Β(4,). Να υπολογιστούν οι συντεταγµένες της κορυφής Γ του παραλληλογράµµου ΟΑΒΓ όπου Ο το σηµείο Ο(0, 0). (Απ: Γ(1, )) 4. Να αποδειχθεί ότι τα σηµεία Α(-1,), Β(,0) και Γ(-,5) είναι συνευθειακά. (Υπ: είξτε ΑΒ// ΑΓ ) 5. Να βρείτε τον πραγµατικό αριθµό x, ώστε τα διανύσµατα α = (x, ) και β = (,x) να είναι οµόρροπα. (Απ: x = ) 6. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε: Α(0,4), Β(-,0), Γ(5,0)και σηµείο Σ της ΒΓ είναι τέτοιο ώστε ΣΓ ΒΣ 4 = 0. α. Να εκφράσετε το διάνυσµα AΣ ΑΓ. ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων ΑΒ και β. Να βρείτε τις συντεταγµένες του AΣ (Απ: α. ΑΣ = ΑΒ+ ΑΓ β. x =,y = ) Ε. ΤΟ ΞΕΧΩΡΙΣΤΟ ΘΕΜΑ α. Να προσδιορίσετε τα διανύσµατα α= ( λ, µ + 1) και β = ( λ, µ + ) ώστε τα διανύσµατα α+β, α β να είναι συγγραµµικά προς τα διανύσµατα γ= (, 4) και αντίστοιχα. δ= ( 1, 5) β. ιάνυσµα µε αρχή την αρχή των συντεταγµένων, έχει τετµηµένη - και συντελεστή διεύθυνσης -1. Να βρείτε σε ποιό τεταρτηµόριο ανήκει το πέρας του. (Υπ.: α. Χρησιµοποιείστε τη συνθήκη παραλληλίας, β. Πρέπει να έχει ετερόσηµες συντεταγµένες)

(Απ: x = ) 6. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε: Α(0,4), Β(-,0), Γ(5,0)και σηµείο Σ της ΒΓ είναι τέτοιο ώστε ΣΓ ΒΣ 4 = 0. α. Να εκφράσετε το διάνυσµα AΣ ΑΓ. ως γραµµικό συνδυασµό των διανυσµάτων ΑΒ και β.

Σχετικά έγγραφα

1.3 ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΜΗΜΑΤΩΝ

1 1.3 ΜΕΤΡΗΣΗ ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΜΗΜΑΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Μονάδες µήκους : Το µέτρο (m), τα πολλαπλάσια αυτού και οι υποδιαιρέσεις του 2. Απόσταση των σηµείων Α και Β : Ονοµάζουµε το µήκος του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ