1. Η χειρότερη περίπτωση είναι όταν γίνου 10 επαναλήψεις, δηλαδή για n = 0.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "1. Η χειρότερη περίπτωση είναι όταν γίνου 10 επαναλήψεις, δηλαδή για n = 0."

John Prodromoy
4 χρόνια πριν
Προβολές:

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6 ΛΥΣΕΙΣ 1. Η χειρότερη περίπτωση είναι όταν γίνου 10 επαναλήψεις, δηλαδή για n = 0. 2.

Εντολή Αλγορίθμου Αριθμός Πράξεων Ανάθεση τιμών στα a,b 2 έλεγχος i 101 αύξηση i 100 Ανάθεση τιμής στο a 100 Ανάθεση τιμής στο b (2x100) 200 εκτύπωση a,b 2 Σύνολο 506 4.

1 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 6 ΛΥΣΕΙΣ 1. Η χειρότερη περίπτωση είναι όταν γίνου 10 επαναλήψεις, δηλαδή για n = Εντολή Αλγορίθμου Αριθμός Πράξεων Ανάθεση τιμών στα x,y 2 έλεγχος i 6 αύξηση i 5 εκτύπωση i 5 υπολογισμός z (2x5) 10 εκτύπωση x,y,z 3 Σύνολο Εντολή Αλγορίθμου Αριθμός Πράξεων Ανάθεση τιμών στα a,b 2 έλεγχος i 101 αύξηση i 100 Ανάθεση τιμής στο a 100 Ανάθεση τιμής στο b (2x100) 200 εκτύπωση a,b 2 Σύνολο Στον αλγόριθμο αυτό υπάρχουν δύο βρόχοι επανάληψης (ένας βρόχος για κάθε διάσταση του πίνακα). Ο 1 ος και ο 2 ος βρόχος εκτελούν Ν επαναλήψεις ο καθένας. Για κάθε επανάληψη του εσωτερικού βρόχου γίνονται δύο απλές πράξεις (ανάγνωση και εκτύπωση) μοναδιαίου κόστους n καθεμία. Επομένως η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου θα εκφράζεται με Ν*Ν*2 = 2Ν 2, και άρα ο αλγόριθμος έχει τετραγωνική πολυπλοκότητα. Είναι φανερό ότι οι βρόχοι επανάληψης είναι εκείνοι που καθορίζουν την επιβάρυνση στο κόστος εκτέλεσης του αλγορίθμου. Ευάγγελος Χρ. Ζιούλας (Καθηγητής Πληροφορικής) 1

5. Για τον υπολογισμό της επίδοσης του αλγορίθμου, χρειάζεται να μετρηθεί ο αριθμός των συγκρίσεων και ο αριθμός των ανταλλαγών που θα πραγματοποιηθούν για την ταξινόμηση.

Συνολικά γίνονται 9 πράξεις σύγκρισης, αφού σε κάθε ένα πέρασμα γίνονται 3 συγκρίσεις. Ο συγκεκριμένος πίνακας Α έχει n=4 θέσεις.

2 5. Για τον υπολογισμό της επίδοσης του αλγορίθμου, χρειάζεται να μετρηθεί ο αριθμός των συγκρίσεων και ο αριθμός των ανταλλαγών που θα πραγματοποιηθούν για την ταξινόμηση. Αριθμός Συγκρίσεων Η εκτέλεσή του αλγορίθμου περιλαμβάνει 3 συνεχόμενα περάσματα πάνω στα στοιχεία του πίνακα και σε κάθε πέρασμα συγκρίνονται ζευγάρια στοιχείων. Συνολικά γίνονται 9 πράξεις σύγκρισης, αφού σε κάθε ένα πέρασμα γίνονται 3 συγκρίσεις. Ο συγκεκριμένος πίνακας Α έχει n=4 θέσεις. Γενικεύοντας την καταγραφή των πράξεων της σύγκρισης, παρατηρούμε ότι συνολικά θα χρειαστούν (n-1)*(n-1) = (n-1) 2 συγκρίσεις για έναν πίνακα n θέσεων. Αριθμός Ανταλλαγών Για να υπάρξει κριτήριο για την τυποποίηση της επίδοσης του αλγορίθμου, θα πρέπει να μετρηθεί ο αριθμός των ανταλλαγών που γίνονται στη χειρότερη περίπτωση. Επομένως η χειρότερη περίπτωση για έναν πίνακα 4 θέσεων, είναι τα στοιχεία του να βρίσκονται ταξινομημένα κατά φθίνουσα τάξη έτσι ώστε όλα να πρέπει να αλλάξουν θέση. Επομένως, για έναν πίνακα 4 στοιχείων που είναι τοποθετημένα σε αντίθετη διάταξη (χειρότερη περίπτωση), θα γίνουν συνολικά 3+2+1=6 ανταλλαγές. Αν γενικεύσουμε το παράδειγμα για πίνακα n θέσεων θα χρειασθούν στη χειρότερη περίπτωση (n-1)+(n-2) ανταλλαγές στοιχείων. Η πολυπλοκότητα του παραπάνω αλγορίθμου υπολογίζεται από το άθροισμα του κόστους των συγκρίσεων και των ανταλλαγών που είναι: Η τάξη της πολυπλοκότητας του αλγορίθμου υπολογίζεται από το μεγαλύτερο όρο του πολυωνύμου, ο οποίος είναι το n 2, και έτσι προκύπτει ότι ο παραπάνω αλγόριθμος έχει τετραγωνική πολυπλοκότητα. 6. Α) Απλός βρόχος με αριθμό πράξεων n, άρα η πολυπλοκότητα είναι γραμμική Ο(n). Β) Απλός βρόχος με αριθμό πράξεων n/2, άρα η πολυπλοκότητα είναι γραμμική Ο(n). Γ) Διπλός εμφωλευμένος βρόχος με αριθμό πράξεων n*n = n 2, άρα η πολυπλοκότητα είναι τετραγωνική Ο(n 2 ). Δ) Διπλός εμφωλευμένος βρόχος με αριθμό πράξεων (n/2)*n = n 2 /2, άρα η πολυπλοκότητα είναι τετραγωνική Ο(n 2 ). Γενικά, ισχύει ότι κάθε απλός βρόχος έχει γραμμική πολυπλοκότητα, κάθε διπλός βρόχος έχει τετραγωνική πολυπλοκότητα κοκ. Ευάγγελος Χρ. Ζιούλας (Καθηγητής Πληροφορικής) 2

3 7. Απαιτείται ένας μονοδιάστατος πίνακας Α (Ν θέσεων), στον οποίο είναι αποθηκευμένα τα διάφορα ποσά των δωρεών. Τα στοιχεία του πίνακα πρέπει να προσπελαστούν ώστε να αθροισθούν τα επιμέρους ποσά σε ένα συνολικό ποσό sum. Αλγόριθμος Δωρεές Δεδομένα // Α, Ν // sum 0 Για i από 1 μέχρι Ν sum sum + Α[i] Τέλος_επανάληψης Εκτύπωσε sum Τέλος Δωρεές Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία γραμμική διαδικασία και άρα η πολυπλοκότητα του είναι Ο(n). 8. Έστω ότι τα δεδομένα αποθηκεύονται σε δύο δομές μονοδιάστατων πινάκων Α και Β, όπου η 1 η αποθηκεύει τις ταινίες και η 2 η τα έτη παραγωγής. Για την επίλυση σαρώνουμε τα στοιχεία του 2ου πίνακα και ελέγχουμε ποια από αυτά περιλαμβάνουν την τιμή Αν η τιμή είναι 1960, τότε επιστρέφουμε στο χρήστη το αντίστοιχο στοιχείο του 1 ου πίνακα, αλλιώς προχωράμε παρακάτω. Αλγόριθμος Ταινίες Δεδομένο // Α, Β, Ν // Για i από 1 μέχρι Ν Αν Β[i] = 1960 τότε Εμφάνισε Α[i] Τέλος_αν Τέλος_επανάληψης Τέλος Ταινίες Ο αλγόριθμος αυτός είναι μία γραμμική διαδικασία και άρα η πολυπλοκότητα του είναι Ο(n). 9. Α) Το κομμάτι του αλγορίθμου είναι ένας απλός βρόχος n=100 επαναλήψεων. Άρα, για το κομμάτι αυτό η πολυπλοκότητα είναι γραμμική O(n). B) To κομμάτι είναι ένας απλός βρόχος, όπου εκτελούνται n-1 επαναλήψεις. Άρα, η πολυπλοκότητα είναι γραμμική Ο(n). Γ) Ο αριθμός των επαναλήψεων του απλού βρόχου είναι (n-1)/3. Άρα, η πολυπλοκότητα είναι και πάλι γραμμική O(n). 10. Εντολή Αλγορίθμου Αριθμός Πράξεων Ανάθεση τιμών στα x,c 2 έλεγχος i 11 μείωση i 10 υπολογισμός x 10 υπολογισμός y 30 εκτύπωση x,y 2 Σύνολο 66 Ευάγγελος Χρ. Ζιούλας (Καθηγητής Πληροφορικής) 3

4 11. Ο αλγόριθμος της Δυαδικής Αναζήτησης για έναν πίνακα Α 10 στοιχείων είναι: Δεδομένα // Α,key // start 1 end 10 found Ψευδής Όσο (start end) και (found = Ψευδής) επανάλαβε μέσο (start + end) div 2 Αν Α[μέσο] = key τότε found Αληθής Εμφάνισε "Βρέθηκε στη θέση", μέσο αλλιώς_αν Α[μέσο] > key τότε end μέσο - 1 αλλιώς start μέσο + 1 Τέλος_Αν Τέλος_Επανάληψης Αν (found = Ψευδής) τότε Εμφάνισε "Στοιχείο δεν βρέθηκε" Τέλος_Αν Στο κυρίως σώμα του αλγορίθμου Δυαδικής Αναζήτησης υπάρχει μία επαναληπτική δομή. Ανάλογα με το αποτέλεσμα της σύγκρισης Α[μέσο] = key θα εκτελεσθεί ένας από τους τρεις κλάδους που έχουν σταθερό κόστος. Επομένως το ερώτημα είναι πόσες φορές θα επαναληφθεί η εντολή Αν μέσα στο βρόχο. Σε κάθε επανάληψη το σχετικό διάστημα end-start συνεχώς υποδιπλασιάζεται. Ο μέγιστος αριθμός υποδιπλασιασμών είναι log(end-start). Έτσι προκύπτει ότι η πολυπλοκότητα του αλγορίθμου είναι O(logn). Άρα, σε ένα πίνακα 10 θέσεων, η δυαδική αναζήτηση στη χειρότερη περίπτωση τερματίζει με 4 προσπάθειες. Ευάγγελος Χρ. Ζιούλας (Καθηγητής Πληροφορικής) 4

Σχετικά έγγραφα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα

5.1. Προσδοκώμενα αποτελέσματα Όταν θα έχεις ολοκληρώσει τη μελέτη αυτού του κεφαλαίου θα έχεις κατανοήσει τις τεχνικές ανάλυσης των αλγορίθμων, θα μπορείς να μετράς την επίδοση των αλγορίθμων με βάση