ΑΣΚΗΣΗ 1: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Transcript

1 ΑΣΚΗΣΗ 1: ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΒΑΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ ΤΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ (A) ΜΕΤΡΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΣΤΕΡΕΟΥ (B) ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΕΠΙΤΑΧΥΝΣΗΣ ΤΗΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ (Γ) ΜΕΤΡΗΣΗ ΜΕΓΕΘΩΝ ΣΕ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗ 1 Σκοπός Στην άσκηση αυτή οι φοιτητές εκπαιδεύονται επάνω στη χρήση οργάνων ακριβείας με τα οποία μπορούν να μετρήσουν διάφορες ποσότητες της μηχανικής. Εξοικειώνονται με τη χρήση του παχυμέτρου (γνωστού και ως διαστημομέτρου) για τη μέτρηση μήκους, τον ζυγό ακριβείας για τη ζύγιση μαζών και το χρονόμετρο για τη μέτρηση του χρόνου. Στο πρώτο μέρος της άσκησης, υπολογίζονται οι τιμές του όγκου και της πυκνότητας διαφόρων σωμάτων. Στο δεύτερο μέρος της άσκησης προσδιορίζεται η επιτάχυνση της βαρύτητας και συγκρίνεται η τιμή της με την αντίστοιχη τιμή από την βιβλιογραφία. Στο τρίτο μέρος της άσκησης, μελετάται η ροπή αδρανείας κάποιων σωμάτων ως προς έναν άξονα περιστροφής, η οποία προσδιορίζεται σαν συνάρτηση της μάζας των σωμάτων και της απόστασής τους από τον άξονα περιστροφής. ΛΕΞΕΙΣ-ΚΛΕΙΔΙΑ παχύμετρο, βερνιέρος, σταθερά του βερνιέρου, απόλυτο σφάλμα, μετάδοση σφάλματος, απλό εκκρεμές, επιτάχυνση της βαρύτητας, γωνιακή ταχύτητα, γωνιακή επιτάχυνση, ροπή αδρανείας, κινητική ενέργεια 2 Μέτρηση πυκνότητας στερεού 2.1 Μέτρηση του μήκους Το μήκος είναι ένα θεμελιώδες φυσικό μέγεθος και αποτελεί βασικό στοιχείο των διαστάσεων των σωμάτων. Μονάδα μήκους στο SI είναι το μέτρο ( ) και στο σύστημα CGS το εκατοστόμετρο ( ). Έχουν αναπτυχθεί αρκετά όργανα μέτρησης μήκους με πιο κοινό την μετροταινία με ελάχιστη υποδιαίρεση το. Όταν οι μετρήσεις απαιτούν μεγαλύτερη ακρίβεια στη μέτρηση του μήκους, τότε χρησιμοποιούμε όργανα που φέρουν βερνιέρο, όπως το παχύμετρο (ή διαστημόμετρο) και το μικρόμετρο. 2.2 Παχύμετρο Το παχύμετρο (ή διαστημόμετρο) είναι ένα όργανο που χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του μήκους μέχρι περίπου τα. Όπως φαίνεται στο Σχ. 1.1, το παχύμετρο αποτελείται από ένα κανόνα που φέρει την κύρια κλίμακα με διαιρέσεις σε (ή και σε ίντσες). Η ελάχιστη υποδιαίρεση της κύριας κλίμακας είναι το. Στον κανόνα είναι προσαρμοσμένος ένας άλλος μικρότερος κανόνας που καλείται βερνιέρος και κινείται παράλληλα με την κύρια κλίμακα (Σχήμα 1.1). 1

2 Σχήμα 1.1: Το παχύμετρο. Το παχύμετρο είναι κατασκευασμένο κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να μπορούμε να μετρήσουμε εξωτερικές διαστάσεις, εσωτερικές διαστάσεις και βάθος. Η κύρια κλίμακα του παχυμέτρου διαθέτει δύο σταθερές σιαγόνες (η πάνω αριστερά και η κάτω αριστερά στο σχήμα) και το στέλεχος του βερνιέρου διαθέτει δύο αντίστοιχες κινητές σιαγόνες (η πάνω δεξιά και η κάτω δεξιά στο σχήμα). Όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.2, οι δύο κάτω σιαγόνες (μια σταθερή και μια κινητή) χρησιμοποιούνται για τη μέτρηση των εξωτερικών διαστάσεων ενός σώματος ενώ οι αντίστοιχες δυο πάνω σιαγόνες για την μέτρηση εσωτερικών διαστάσεων (π.χ. κοιλοτήτων). Επίσης ο άξονας που προεξέχει από το τέλος του στελέχους της κύριας κλίμακας δεξιά, χρησιμοποιείται για τη μέτρηση του βάθους.. Σχήμα 1.2: Τρόποι μέτρησης με το παχύμετρο. Βερνιέρος Ο βερνιέρος είναι μια ιδιαίτερη κλίμακα που χρησιμοποιείται σε πολλά όργανα και βελτιώνει την ακρίβεια του αντιστοίχου οργάνου κατά 10 έως 1000 φορές. Η κλίμακα αυτή κινείται πάνω στην κύρια κλίμακα του οργάνου. Η λειτουργία του βερνιέρου στηρίζεται στο ότι οι υποδιαιρέσεις του είναι μικρότερες από τις υποδιαιρέσεις της κύριας κλίμακας κατά όπου είναι ένα πολλαπλάσιο του 10 π.χ. 1/10, 1/100 ή1/1000, ανάλογα με την ακρίβεια του παχυμέτρου. Η ακρίβεια ενός οργάνου που φέρει βερνιέρο προσδιορίζεται από το λόγο της ελάχιστης υποδιαίρεσης της κύριας κλίμακας δια του αριθμού των χαραγών του βερνιέρου. Ο λόγος αυτός 2

3 ονομάζεται σταθερά του βερνιέρου η οποία πρέπει να είναι γνωστή πριν το όργανο χρησιμοποιηθεί σε συγκεκριμένη μέτρηση. Διαδικασία μέτρησης με παχύμετρο Για τη μέτρηση των εξωτερικών διαστάσεων ενός σώματος, απομακρύνουμε τις σιαγόνες με μετακίνηση του βερνιέρου πιέζοντας την ασφάλεια του και τοποθετούμε το αντικείμενο ανάμεσα στις σιαγόνες. Πλησιάζουμε τις σιαγόνες μέχρι να έλθουν σε επαφή με το σώμα, όπως φαίνεται στο Σχ Προσδιορίζουμε τις ακέραιες υποδιαιρέσεις της κύριας κλίμακας που είναι πριν από το μηδέν του βερνιέρου και καταγράφουμε αυτό το νούμερο ως. Επίσης καταγράφουμε το νούμερο το οποίο περιγράφει την οστή ένδειξη της κλίμακας του Βερνιέρου που συμπίπτει με μια και μοναδική γραμμή της κύριας κλίμακας. Το μετρούμενο μήκος τότε ισούται με σε χιλιοστά. Χρησιμοποιώντας τις άλλες σιαγόνες ανάλογα και με τον ίδιο ακριβώς τρόπο, μετράμε εσωτερικές διαστάσεις και βάθη, πάντα στην ίδια κλίμακα. Για παράδειγμα το Σχήμα 1.3 δείχνει σε μεγέθυνση μια μέτρηση με παχύμετρο. Ο συγκεκριμμένος βερνιέρος έχει 20 υποδιαρέσεις (προσέξτε και τα μισά ανάμεσα από τα 10 νούμερά του) ενώ η κύρια κλίμακα έχει ελάχιστη υποδιάρεση το και έτσι η σταθερά του βερνιέρου ισούται με. Από την κύρια κλίμακα διαβάζουμε ενώ στον βερνιέρο βλέπουμε ότι συμπίπτει η υποδιαίρεση (το 6). Επομένως η μέτρηση στο σχήμα αυτό αντιστοιχεί σε μήκος. Σχήμα 1.3: Μια μέτρηση με παχύμετρο (ένδειξη ( )). Η σταθερά του βερνιέρου (η ακρίβεια) προσδιορίζεται από το λόγο της ελάχιστης υποδιαίρεσης της κύριας κλίμακας δια του αριθμού των χαραγών του βερνιέρου: 2.3 Μέτρηση της μάζας Την μάζα ενός σώματος την μετράμε με τη βοήθεια του ζυγού ακριβείας ο οποίος συνήθως έχει ελάχιστη υποδιαίρεση το 1/100 του γραμμαρίου. Είναι σημαντικό να μηδενίζουμε πάντοτε την ένδειξη του οργάνου πριν από κάθε μέτρηση (πιέζοντας το κουμπί με την ένδειξη TARE ). Όταν ζυγίζουμε υγρά, μηδενίζουμε το ζυγό έχοντας επάνω του άδειο το δοχείο που πρόκειται να χρησιμοποιήσουμε. Ακολούθως γεμίζουμε το δοχείο με το υγρό ώστε να μετρήσουμε μόνο τη μάζα του υγρού και όχι του υγρού μαζί με το δοχείο του. Ο ζυγός βασίζεται στην απόκλιση ενός πολύ ευαίσθητου μικροελατηρίου και έτσι πάντοτε προσέχουμε να τοποθετούμε με φροντίδα τα διάφορα σώματα επάνω του ώστε να μην καταστραφεί το ελατήριο. 2.4 Πυκνότητα Ο ορισμός της πυκνότητας ενός σώματος μάζας είναι ο εξής (1) 3

4 Η πυκνότητα είναι μια πολύ σημαντική ιδιότητα των υλικών. Τυπικές τιμές πυκνότητας για διάφορα σώματα σε και δίνονται στον παρακάτω Πίνακα 1. Ο φοιτητής πρέπει να θυμάται ότι το νερό έχει πυκνότητα και συγκρινόμενο με αυτό ο αέρας είναι περίπου 1000 φορές αραιότερος ενώ το ελαφρύτερο μέταλλο, το αλουμίνιο, είναι 2.7 φορές πυκνότερο. Πίνακας 1: Πυκνότητα διάφορων υλικών Πυκνότητα Πυκνότητα Υλικό - Ουσία ( ) ( ) Αέρας Πάγος Νερό Αλουμίνιο Al Αλουμίνα Al 2 O Ζιρκονία ZrO Σίδηρος Χάλυβας Πλατίνα Πειραματική διάταξη Χρησιμοποιούνται παχύμετρο για τις μετρήσεις μήκους και ζυγός για τη ζύγιση των μαζών. Μελετώνται σώματα από διάφορα υλικά και με διαφορετικές γεωμετρίες. 2.6 Πειραματική διαδικασία 1. Προσδιορίστε την σταθερά του παχυμέτρου σας. 2. Μετρήστε τις διαστάσεις 2 διαφορετικών αντικειμένων και καταγράψτε τις τιμές. 3. Ζυγίστε τα ίδια 2 αντικείμενα και καταγράψτε τις τιμές. 4. Ποιό είναι το απόλυτο σφάλμα στη μέτρηση της διάστασης και της μάζας; 2.7 Εργαστηριακή Αναφορά Ζητούνται τα ακόλουθα: (1) Υπολογίστε όγκο και κατόπιν την πυκνότητα για τα 2 αντικείμενα. (2) Υπολογίστε επίσης την μετάδοση σφάλματος στον όγκο και στην πυκνότητα για ένα αντικείμενο. (3) Καταγράψτε τα τελικά αποτελέσματα στον παρακάτω πίνακα. Α/Α βάθος εξωτερική διάμετρος εσωτερική διάμετρος όγκος μετάδοση σφάλματος πυκνότητα μετάδοση σφάλματος Προσδιορισμός της επιτάχυνσης της βαρύτητας 3.1 Θεωρία Το απλό εκκρεμές αποτελείται από ένα βαρίδι μάζας, θεωρητικά σημειακό, που αναρτάται από ένα αβαρές νήμα. Όταν το βάρος είναι σε θέση ισορροπίας, το νήμα είναι κατακόρυφο. Όταν το 4

5 βάρος μετακινηθεί κατά μια μικρή γωνία ( ) από τη θέση ισορροπίας, τότε το εκκρεμές εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο που δίνεται από τη σχέση: (2) όπου είναι το μήκος του νήματος και η επιτάχυνση της βαρύτητας. Είναι αυτονόητο ότι όταν μεταβάλλεται το θα μεταβάλλεται και το. Μπορούμε να καταγράψουμε μια σειρά από διαφορετικές τιμές της περιόδου για διαφορετικές τιμές του νήματος. Το μετριέται με μια μετροταινία, ενώ το μετριέται με χρονόμετρο. Συνήθως αφήνουμε το εκκρεμές να ταλαντεύεται για μια σειρά από διαδοχικές περιόδους, ταλαντώσεις (π.χ. 10), και μετρούμε έτσι με μεγαλύτερη ακρίβεια το χρόνο μιας περιόδου (γιατί;). Η εξίσωση (2) μπορεί να ξαναγραφεί με την εξής μορφή: (3) η οποία είναι της μορφής (4) με, και. Η σχέση (4) είναι γραμμική. Αν απεικονήσουμε τις τιμές σε ένα δισδιάστατο διάγραμμα, η κλίση της ευθείας γραμμής θα μας δώσει την τιμή α και κατ επέκταση την τιμή g της επιτάχυνσης της βαρύτητας. 3.2 Πειραματική διάταξη Η πειραματική διάταξη αποτελείται από κατακόρυφη βάση στήριξης, αβαρές νήμα, βαρίδι γνωστού βάρους, μετροταινία και ψηφιακό χρονόμετρο. 3.3 Πειραματική διαδικασία Να μετρηθούν οι τιμές του για πέντε διαφορετικές τιμές του. 3.4 Εργαστηριακή Αναφορά Ζητούνται τα ακόλουθα: (1) Να συμπληρώσετε στο παρακάτω πίνακα τα δεδομένα σας: (2) Να κατασκευαστεί το διάγραμμα σε χιλιοστομετρικό χαρτί (με το χέρι). Να χαραχθεί η ευθεία που θα περνά από το μηδέν (, ). (3) Να υπολογιστεί από την κλίση της ευθείας η τιμή του. Να συγκριθεί με τη θεωρητική τιμή της και να δικαιολογηθούν οι αποκλίσεις, εάν υπάρχουν. (4) Αν αλλάξει η μάζα του βαριδίου, ποιά θα είναι η επίδραση στην τιμή της επιτάχυνσης της βαρύτητας; 5

6 4 Μέτρηση μεγεθών σε περιστροφή - γωνιακη ταχύτητα και επιτάχυνση ροπή αδράνειας 4.1 Στοιχεία θεωρίας Η στιγμιαία γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που περιστρέφεται διαγράφοντας κύκλο ή ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα δίνεται από την: (5) όπου είναι το γωνιακό άνοιγμα κατά τη διάρκεια ενός μικρού χρόνου και το έχει μονάδες. Η στιγμιαία γωνιακή επιτάχυνση ενός περιστρεφόμενου σώματος δίνεται από την (6) έχει μονάδες και είναι αριθμητικά ίση με την κλίση σε ένα διάγραμμα συναρτήσει του. Όταν ένα στερεό περιστρέφεται γύρω από ένα σταθερό άξονα, όλα τα μέρη από τα οποία αποτελείται έχουν την ίδια γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση. Εννοείται ότι τα διάφορα μέρη του σώματος δεν έχουν σε όλες τις περιπτώσεις την ίδια γραμμική ταχύτητα και γραμμική επιτάχυνση. Όταν ένα στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από έναν σταθερό άξονα, η γωνιακή του ταχύτητα και η γωνιακή επιτάχυνση συνδέονται με τη γραμμική ταχύτητα,, και την εφαπτομενική γραμμική επιτάχυνση, με τις σχέσεις: (7) (8) όπου είναι η απόσταση από τον άξονα περιστροφής. Η ροπή αδράνειας ενός συστήματος σωματίων με μάζα το καθένα ορίζεται ως εξής: (9) όπου είναι η απόσταση του καθενός από τον άξονα περιστροφής. Π.χ. εάν τοποθετήσουμε δυο ίσες σημειακές μάζες στις δυο άκρες μιας ράβδου αμελητέας μάζας και μήκους, τότε (10) Ο 2 ος νόμος του Νεύτωνα για την περιστροφή για ένα στερεό με ροπή αδράνειας γράφεται ως (11) όπου είναι η ροπή δύναμης που ασκείται στο σώμα. Π.χ. για ένα κυκλικό δίσκο ακτίνας όπου εφαρμόζεται μια δύναμη εφαπτομεικά στην περιφέρειά του, η ροπή ισούται με. Σε αυτή την άσκηση εφαρμόζεται μέσω νήματος και τροχαλίας (και τα δυο θεωρούνται ιδανικά, γιατί;) η δύναμη του βάρους ενός βαριδίου μάζας και η Εξ. (11) γίνεται 6

7 (12) από όπου μπορούμε να υπολογίσουμε την πειραματική τιμή του. 4.2 Πειραματική διάταξη Στο Σχήμα 1.4 φαίνεται η πειραματική διάταξη. Η μακριά και λεπτή ράβδος περιστρέφεται γύρω από άξονα που περνά από το κέντρο της πάνω σε βάση στήριξης, η οποία είναι συνδεδεμένη με αντλία αέρα και οριζοντιωμένη. Στο ένα άκρο της ράβδου είναι προσαρμοσμένη μια "σημαία" με γνωστό γωνιακό άνοιγμα (αναγράφεται επάνω στη σημαία η τιμή ) με τη βοήθεια της οποίας γίνεται η μέτρηση της γωνιακής ταχύτητας. Γύρω από τη κυλινδρική κεφαλή της βάσης στήριξης τυλίγεται το νήμα που θα ασκήσει τη ροπή που χρειάζεται για την περιστροφική κίνηση της ράβδου. Στις άκρες της ράβδου αναρτούμε δυο μάζες η καθεμία οι οποίες θεωρούνται σημειακές. Για τον υπολογισμό της μεταξύ τους απόστασης λάβετε υπόψη ότι τα ασπρόμαυρα βήματα επάνω στη ράβδο έχουν μήκος, ενώ η πρώτη απόσταση από το κέντρο είναι. Θεωρούμε τη μάζα της κυλινδρικής κεφαλής και της ράβδου αμελητέες σε σχέση με τις δυο αναρτημένες μάζες οπότε και για την ροπή αδράνειας του όλου συστήματος (κεφαλή-ράβδος-δυο μάζες) θα θεωρήσουμε μόνο την Εξ. (10). Το νήμα τεντώνεται οριζόντια και προσαρμόζεται στην περιφέρεια της πλαστικής τροχαλίας. Στην άλλη άκρη του νήματος κρεμιέται το κατάλληλο κάθε φορά βάρος, το οποίο κινούμενο προς τα κάτω ασκεί μια σταθερή ροπή γύρω από τον κατακόρυφο άξονα περιστροφής της ράβδου. Το επίπεδο του πλαστικού δίσκου της τροχαλίας πρέπει να είναι κατακόρυφο ενώ η σημαία πρέπει να είναι πάντα οριζόντια.. Η μέτρηση της γωνιακής ταχύτητας γίνεται ηλεκτρονικά με τη βοήθεια του φωτοκύτταρου (Σχ. 1.4). Η συσκευή αυτή καταγράφει το χρόνο που χρειάζεται για να περάσει η σημαία μέσα από το άνοιγμα του φωτοκυττάρου το οποίο έχει σχήμα "πλαγίου Π", διακόπτοντας μια κατακόρυφη φωτεινή δέσμη για χρόνο. Η γωνιακή ταχύτητα τότε ισούται με. Σχήμα 1.4: Σχηματική αναπαράσταση διάταξης για τη μέτρηση της γωνιακής ταχύτητας. 4.3 Πειραματική διαδικασία Η αντλία του αέρα (air blower) ρυθμίζεται στο 2.5-3, όχι παραπάνω. 7

8 Πριν από κάθε μέτρηση τοποθετείται η ράβδος, έτσι ώστε η σημαία να βρίσκεται ακριβώς πριν από το (φωτοκύτταρο) και συγκρατιέται στο άλλο της άκρο από τη διάταξη εκκίνησης. Για τη μέτρηση της γωνιακής ταχύτητας ω: Τοποθετούμε το διακόπτη του στη δεύτερη θέση ( ) και πατάμε το <RESET>. Γίνεται εκκίνηση της περιστροφής της ράβδου, οπότε ξετυλίγεται το νήμα γύρω από την κυλινδρική κεφαλή και το βάρος πέφτει κατακόρυφα. Από το χρόνο που καταγράφεται στη φωτεινή οθόνη του, μπορούμε να υπολογίσουμε τη γωνιακή ταχύτητα από τη σχέση όπου είναι το γωνιακό άνοιγμα της σημαίας. Καταγράφουμε για 7 περιστροφές το χρόνο και πατάμε καθε φορά μετά το πέρασμα της σημαίας το <RESET>. Για την μέτρηση της γωνιακής επιτάχυνσης α: Καταγράφουμε για 7 περιστροφές με χρονόμετρο τον συνολικό χρόνο από την έναρξη της πρώτης μέχρι και το πέρας της 7ης περιόδου. Επαναλάβετε τα βήματα 3 και 4 παραπάνω για βάρος και στο νήμα. 4.4 Εργαστηριακή Αναφορά Ζητούνται τα ακόλουθα: (1) Να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα για κάθε περιστροφή (1-7). (2) Kάνοντας τη γραφική παράσταση (σε χιλιοστομετρικό χαρτί - με το χέρι) να προσδιορίσετε από την κλίση την αντίστοιχη γωνιακή επιτάχυνση. (3) Να βρεθεί η πειραματική τιμή της ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα κάθετο στο κέντρο της χρησιμοποιώντας την σχέση (12) όπου η ακτίνα της κυλινδρικής κεφαλής στήριξης (προσοχή! Δεν είναι το μισό μήκος της ράβδου), το χρησιμοποιούμενο βάρος στο νήμα και η επιτάχυνση της βαρύτητας. (4) Να συγκρίνετε την τελική τιμή που βρέθηκε για το με τη θεωρητική τιμή (10) για τη ράβδο. Χρησιμοποιείστε για το μήκος της ράβδου την απόσταση μεταξύ των δυο βαριδίων και μάζα ). 8