Επιχειρησιακή Έρευνα

Transcript

1 Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 9: Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (1o μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)

2 Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (1o μέρος) Υποενότητα 1

3 Σκοποί 1 ης υποενότητας Να μάθουν οι φοιτητές να μοντελοποιούν και να επιλύουν με τη μέθοδο simplex ειδικές περιπτώσεις, όπως οι περιορισμοί ισότητας και τα αρνητικά δεξιά μέλη 3

4 Περιεχόμενα 1 ης υποενότητας Περιορισμοί ισότητας Αρνητικά δεξιά μέλη 4

5 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (1/15) Έστω ένα εργαστήριο κατασκευής κεραμικών τα οποία συνήθως χρησιμοποιούνται για τη διακόσμηση αιθουσών ή κήπων Το εργαστήριο παράγει κυρίως δύο προϊόντα Ένα αγαλματίδιο του Αριστοτέλη (προϊόν Α) Ένα αγαλματίδιο του Σωκράτη (προϊόν Β) 5

6 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (2/15) Η ζήτηση των δύο προϊόντων αναμένεται να είναι κατά την επόμενη περίοδο προγραμματισμού αρκετά μεγάλη και να υπερβαίνει την παραγωγική δυναμικότητα του εργαστηρίου Η ζήτηση του προϊόντος Α είναι συνήθως μεγαλύτερη από τη ζήτηση του προϊόντος Β 6

7 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (3/15) Για την κατασκευή ενός αγαλματιδίου τύπου Α απαιτούνται 25 κιλά πυλού, ενώ για το αγαλματίδιο τύπου Β περίπου 15 κιλά Ο υπεύθυνος του εργαστηρίου έχει αγοράσει 7500 κιλά πυλού, αλλά επειδή δεν υπάρχει αρκετός αποθηκευτικός χώρος πρέπει να καταναλωθεί όλος 7

8 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (4/15) Για την κατασκευή ενός αγαλματιδίου τύπου Α απαιτείται 1,5 ώρα εργασίας, ενώ για το αγαλματίδιο τύπου Β απαιτούνται 2,5 ώρες εργασίας Το κόστος μιας εργατοώρας είναι 2 και ο υπεύθυνος για να καλύψει το κόστος εργασίας στον τρέχοντα κύκλο παραγωγής έχει δεσμεύσει ποσό

9 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (5/15) Το υπόλοιπο κόστος παραγωγής κάθε αγαλματιδίου είναι 4,5 για το προϊόν Α και 2 για το προϊόν Β Η τιμή πώλησης του αγαλματιδίου τύπου Α είναι 18, ενώ του αγαλματιδίου τύπου Β είναι 26,5 9

10 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (6/15) Ο υπεύθυνος του εργαστηρίου, ενώ είχε ήδη προγραμματίσει την παραγωγή του, έλαβε μια έκτακτη παραγγελία για 72 τεμάχια τύπου Α από ένα νέο πελάτη, τον οποίο θέλει οπωσδήποτε να ικανοποιήσει Έτσι, τα τεμάχια τύπου Β που θα παραχθούν δε θα πρέπει να υπερβαίνουν τα τεμάχια τύπου Α, υπό την προϋπόθεση ότι θα περισσέψουν 72 τεμάχια τύπου Α για την κάλυψη της έκτακτης παραγγελίας 10

11 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (7/15) Ποιο είναι το βέλτιστο σχέδιο παραγωγής, ώστε να μεγιστοποιήσει η επιχείρηση τα κέρδη της; Μεταβλητές απόφασης x 1 : πλήθος αγαλματιδίων τύπου Α x 2 : πλήθος αγαλματιδίων τύπου Β 11

12 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (8/15) Το κέρδος ανά τεμάχιο προκύπτει αν αφαιρέσουμε από την τιμή πώλησης το κόστος εργασίας και τα υπόλοιπα κόστη παραγωγής: Προϊόν Α 18 1,5 2 4,5 = 10,5 / ανά τεμάχιο Προϊόν Β 26,5 2,5 2 2 = 19,5 / ανά τεμάχιο 12

13 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (9/15) Αντικειμενική συνάρτηση Max z = 10,5x ,5x 2 13

14 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (10/15) Περιορισμοί: 1 ος περιορισμός (κατανάλωση όλου του πυλού) 25x x 2 = ος περιορισμός (κόστος εργασίας) 3x 1 + 5x

15 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (11/15) Περιορισμοί: 3 ος περιορισμός (αγαλματίδια τύπου Β λιγότερα ή ίσα με αγαλματίδια τύπου Α, αφού ικανοποιηθεί η έκτακτη παραγγελία για αγαλματίδια τύπου Α) x 2 x x 1 + x 2-72 x 1 - x 2 72 Αρνητικό δεξιό μέλος 15

16 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (12/15) Γενική μορφή Maximize z = 10,5x ,5x 2 με περιορισμούς: 25x x 2 = x 1 + 5x x 1 x 2 72 x 1, x

17 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (13/15) Τυποποιημένη μορφή Maximize z = 10,5x ,5x 2 + 0s 2 + 0e 3 Mα 3 με περιορισμούς: 25x x 2 = x 1 + 5x 2 + s 2 = 1060 x 1 x 2 e 3 + α 3 = 72 Περιορισμός ισότητας x 1, x 2, s 2, e 3, α 3 0 Η τεχνητή μεταβλητή α 3 εισήχθηκε διότι η ανάθεση μηδενικών τιμών στις μεταβλητές απόφασης θα οδηγούσε σε e 3 =

18 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (14/15) Το μοντέλο, όμως, δεν είναι ακόμα έτοιμο για να εφαρμοστεί η μέθοδος simplex Αν αναθέσουμε μηδενικές τιμές στις μεταβλητές απόφασης θα παραβιαστεί ο 1 ος περιορισμός Άρα θα πρέπει να εισαχθεί μία ακόμα τεχνητή μεταβλητή για τον 1 ο περιορισμο 18

19 δεξιά μέλη 1ο παράδειγμα (15/15) Τυποποιημένη μορφή Maximize z = 10,5x ,5x 2 + 0s 2 + 0e 3 Mα 1 Mα 3 με περιορισμούς: 25x x 2 + α 1 = x 1 + 5x 2 + s 2 = 1060 x 1 x 2 e 3 + α 3 = 72 x 1, x 2, s 2, e 3, α 1, α 3 0 Σημείωση: Οι τεχνητές και οι βοηθητικές μεταβλητές δεν έχουν συνεχή αρίθμηση, αλλά έχουν δείκτες που παραπέμπουν στους περιορισμούς στους οποίους ανήκουν 19

20 δεξιά μέλη 2ο παράδειγμα (1/3) Έστω ότι το εργαστήριο κατασκευής κεραμικών έχει κάποια αποθήκη και επομένως η απαίτηση να καταναλωθεί όλος ο πυλός δεν ισχύει 20

21 δεξιά μέλη 2ο παράδειγμα (2/3) Το πρόβλημα παίρνει την ακόλουθη γενική μορφή: Maximize z = 10,5x ,5x 2 με περιορισμούς: 25x x x 1 + 5x x 1 x 2 72 x 1, x

22 δεξιά μέλη 2ο παράδειγμα (3/3) Τυποποιημένη μορφή Maximize z = 10,5x ,5x 2 + 0s 1 +0s 2 + 0e 3 Mα 3 με περιορισμούς: 25x x 2 + s 1 = x 1 + 5x 2 + s 2 = 1060 x 1 x 2 e 3 + α 3 = 72 x 1, x 2, s 1, s 2, e 3, α

23 Τέλος Υποενότητας 1

24 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Πατρών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 24

25 Σημειώματα

26 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: 26

27 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γρηγόριος Μπεληγιάννης. «Επιχειρησιακή Έρευνα. Ειδικές περιπτώσεις επίλυσης με τη μέθοδο simplex (1o μέρος)». Έκδοση: 1.0. Πάτρα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

28 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 28