ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 21 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. www.cms.org.cy"

Ευστοργιος Παπαντωνίου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΔ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2013 Β & Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΓΛΙΚΑ PAPERS IN BOTH GREEK AND ENGLISH

3 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2013 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ

5 ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 36, Γραφ. 102, Στρόβολος 2003 Λευκωσία, Κύπρος Τηλ , Φαξ: Ιστοσελίδα: IΔ' ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Κυριακή, 21/04/2013 ΔΟΚΙΜΙΟ Β, Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 60 λεπτά Να συμπληρώσετε προσεκτικά το φύλλο απαντήσεων, επιλέγοντας μόνο μία απάντηση για κάθε ερώτηση. Η συμπλήρωση να γίνει με μαύρισμα στο αντίστοιχο κυκλάκι. Κάθε σωστή απάντηση βαθμολογείται με 4 μονάδες. Για κάθε λανθασμένη απάντηση αφαιρείται 1 μονάδα. Απάντηση σε άσκηση με μαύρισμα σε περισσότερα από ένα κυκλάκια θεωρείται λανθασμένη. Επειδή η διόρθωση θα γίνει ηλεκτρονικά, οποιοδήποτε σημάδι ή σβήσιμο καθιστά την απάντηση λανθασμένη. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το χώρο δίπλα από τις ασκήσεις για βοηθητικές πράξεις. Συστήνεται όπως σημειώνετε τις απαντήσεις στο ειδικό έντυπο απαντήσεων στα τελευταία πέντε λεπτά της εξέτασης αφού βεβαιωθείτε ότι οι απαντήσεις είναι τελικές. Παραδείγματα συμπλήρωσης απαντήσεων: 1. Βρείτε το αποτέλεσμα 2+3=? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 Σωστή συμπλήρωση: Λανθασμένη συμπλήρωση: 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E

cy IΔ' ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ Κυριακή, 21/04/2013 ΔΟΚΙΜΙΟ Β, Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΧΡΟΝΟΣ: 60 λεπτά Να συμπληρώσετε προσεκτικά το φύλλο απαντήσεων, επιλέγοντας μόνο μία απάντηση για κάθε ερώτηση.

7 Β & Γ Λυκείου 14 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος Ποιος από τους παρακάτω αριθμούς δεν είναι ακέραιος Α. Β. Γ. Δ. Ε. 2. Η παράσταση 3 31 παίρνει ελάχιστη τιμή όταν Α. 3 και 2 Β. 3 και Γ. 3 και 8 Δ. 3 και 8 Ε. 3 και 0 3. Η περίμετρος του τριγώνου που σχηματίζεται από την ευθεία και τους άξονες των και είναι Α. Β. Γ. Δ. Ε Η τιμή της παράστασης είναι Α. Β. Γ. Δ. Ε. 5. Αν ισχύει η σχέση για κάποια οξεία γωνία, τότε τιμή του είναι Α. Β. Γ. Δ. Ε. 6. Το σημείο τομής των ευθειών και που φαίνονται στο διπλανό σχήμα είναι Α. 2, 3 Β. 1 3,1 5 Γ. 2, 3 Δ., Ε., 7. Αν οι αριθμοί, είναι ομόσημοι με 0 τότε για την εξίσωση (με όλους τους συντελεστές θετικούς) τι από τα παρακάτω ισχύει: Α. έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες Β. είναι αδύνατη στο. Γ. έχει διπλή ρίζα Δ. έχει θετικό γινόμενο ριζών. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα. Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 1

Αν ισχύει η σχέση για κάποια οξεία γωνία, τότε τιμή του είναι Α. Β. Γ. Δ. Ε. 6. Το σημείο τομής των ευθειών και που φαίνονται στο διπλανό σχήμα είναι Α. 2, 3 Β. 1 3,1 5 Γ. 2, 3 Δ., Ε., 7.

8 Β & Γ Λυκείου 14 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος Αν για το πολυώνυμο ισχύει για κάθε και 0 0 τότε ποια είναι η τιμή του 15; Α. 30 Β. 35 Γ. 42 Δ. 45 E. Τίποτε από τα προηγούμενα. 9. Δύο πλευρές ενός τριγώνου έχουν μήκος 4 και 5. Η τρίτη πλευρά του τριγώνου έχει μήκος όπου ένας θετικός ακέραιος.πόσες διαφορετικές τιμές μπορεί να πάρει το ; Α. 4 Β. 5 Γ. 6 Δ. 7 Ε Πέντε φιλόσοφοι συζητούν και διατυπώνουν τους εξής ισχυρισμούς: Ο Ανδρέας λέει: «μόνο ένας από μας λέει ψέματα» Ο Βασίλης λέει: «ακριβώς δύο από μας λένε ψέματα» Ο Γιώργος λέει: «ακριβώς τρεις από μας λένε ψέματα» Ο Δημήτρης λέει: «ακριβώς τέσσερις από μας λένε ψέματα» και Ο Ευαγόρας λέει: «και οι πέντε λέμε ψέματα». Ποιός από τους πέντε λέει την αλήθεια; Α. Ο Ανδρέας Β. Ο Βασίλης Γ. Ο Γιώργος Δ. Ο Δημήτρης Ε. Ο Ευαγόρας 11. Στο διπλανό σχήμα δίνεται κύκλος με κέντρο. Στην προέκταση της ακτίνας παίρνουμε σημείο έτσι ώστε. Η ευθεία είναι εφαπτομένη του κύκλου στο, και η γωνία 30. Πόσες μοίρες είναι η γωνία ; Α. 120 Β. 130 Γ. 100 Δ. 150 Ε Στο διπλανό σχήμα δίνονται τα σημεία, 0 0, και, έτσι ώστε 5 και. Από ποιο σημείο περνά η ευθεία. Α. 5, 4 Β. 5,4 Γ. 5,5 Δ. 4, 10 Ε. 4,4 13. Ποιος από τους αριθμούς 20, 30, 40, 50 και 60 είναι ο μεγαλύτερος; Α. 20 Β. 30 Γ. 40 Δ. 50 Ε. 60 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 2

9 Β & Γ Λυκείου 14 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος Στο τρίγωνο του διπλανού σχήματος με πλευρές 8, 12 και 15, το είναι το έγκεντρο του τριγώνου (σημείο τομής των διχοτόμων του). Αν // και // ποια είναι η περίμετρος του τριγώνου ; Α. 12 Β. 18 Γ. 10 Δ. Ε Ένα ισοσκελές τρίγωνο έχει μήκος ίσων πλευρών 10. Ποιο είναι το μήκος της τρίτης πλευράς του τριγώνου ώστε το εμβαδόν του να γίνεται μέγιστο; Α. 10 Β. 12 Γ Δ Ε Καταγράφουμε τους φυσικούς αριθμούς σε σειρά ώστε να σχηματίζουν μια αλυσίδα ψηφίων ως ακολούθως Ποιο είναι το ψηφίο στην 2013 θέση σε αυτή την αλυσίδα; Α. 6 Β. 7 Γ. 8 Δ. 9 Ε Οι αριθμοί και είναι μη μηδενικοί ακέραιοι τέτοιοι ώστε 100. Ποια είναι η τιμή της παράστασης ; Α Β Γ Δ Ε Στον κύκλο, του διπλανού σχήματος, οι χορδές, είναι κάθετες και το σημείο τομής τους. Ποια είναι η τιμή της παράστασης ; Α. 2 Β. 2 1 Γ. 4 Δ. 3 Ε. 19. Το σημείο, βρίσκεται σε απόσταση 8 μονάδων από την αρχή του ορθογωνίου συστήματος αξόνων και πάνω στην ευθεία. Ποια είναι η τιμή της παράστασης Α. 64 Β. 48 Γ. 32 Δ. 16 Ε Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : με τύπο Α. 1,0,1 Β. 2, 1,0 Γ. 3, 1,0 Δ. 1,,0 Ε. 1,,0 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 3

Ποιο είναι το μήκος της τρίτης πλευράς του τριγώνου ώστε το εμβαδόν του να γίνεται μέγιστο; Α. 10 Β. 12 Γ. 10 2 Δ. 10 3 Ε. 20 16.

10 Β & Γ Λυκείου 14 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος Η συνάρτηση έχει τις ιδιότητες: (α) 0 2 και (β) για κάθε πραγματικούς αριθμούς και. Ποια είναι η τιμή του 2013; Α. 0 Β. 2 Γ Δ Ε Στην ακολουθία πραγματικών αριθμών,,, είναι 0, 1 και, 3,4,5,6,. Η τιμή του όρου είναι Α. 0 Β. 1 Γ. 1 Δ. 2 Ε Το πλήθος των αρνητικών λύσεων της εξίσωσης x 6x 95x x ισούται με: Α. 0 Β. 1 Γ. 2 Δ. 3 Ε Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο, ακτίνα 6 και η διάμετρό του ΑΒ. Στην ακτίνα ΟΒ παίρνουμε σημείο Γ, ώστε ΟΓ=2.Χορδή ΕΖ περνά από το Γ έτσι ώστε 60. Το μήκος του ΕΖ είναι : Α. 10 Β. 6 Γ. 4 3 Δ Ε. τίποτε από τα προηγούμενα 25. Στο διπλανό σχήμα υπάρχουν 24 επίπεδα που χαρακτηρίζονται με τα γράμματα Α, Β, Γ, Δ,, Ω. Στο επίπεδο Α υπάρχει μόνο μια τελεία. Σε κάθε ένα από τα επίπεδα Β, Δ, Ζ,, Ω περιέχονται διπλάσιες τελείες απ ότι στο επίπεδο που είναι ακριβώς από πάνω. Κάθε ένα από τα επίπεδα Γ, Ε, Η,, Ψ περιέχει ακριβώς τον ίδιο αριθμό τελειών όπως και το επίπεδο ακριβώς από πάνω. Να βρείτε πόσες τελείες περιέχει το επίπεδο Ω. Α Β Γ Δ Ε Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 4

Το πλήθος των αρνητικών λύσεων της εξίσωσης x 6x 95x x ισούται με: Α. 0 Β. 1 Γ. 2 Δ. 3 Ε. 4 24. Δίνεται κύκλος με κέντρο Ο, ακτίνα 6 και η διάμετρό του ΑΒ.

11 CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD 2013 ENGLISH VERSION

CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 36 Stasinou street, Off. 102, 2003 Strovolos Nicosia, Cyprus Tel. 22378101, Fax: 22379122 Email: cms@cms.org.

13 CYPRUS MATHEMATICAL SOCIETY 36 Stasinou street, Off. 102, 2003 Strovolos Nicosia, Cyprus Tel , Fax: Website: 14 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD Sunday, 21/04/2013 EXAMS PAPER 11 th, 12 th, 13 th Grade B, C Lyceum TIME: 60 minutes Fill carefully the answer sheet, by choosing only one answer to each question. The selection must be made by shading the right answer. Every right answer is graded with 4 points. For each wrong answer 1 point will be lost. If a question is answered by shading more than one answer, the answer will be considered wrong. The correction will be electronically, so any mark will be taken wrong. You can use the space next to the questions to make extra notes. It is recommended that you complete the answer sheet in the last five minutes of the exam, with your final answer. Choose only one of the five proposed answers (A, B, C, D or E) and fill the box for right answer. Example of filling the table of answers: 41. Find the result 2+3=? (A) 6 (B) 5 (C) 4 (D) 3 (E) 2 These fillings are correct and these are incorrect 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E 1. A B C D E

cy 14 th CYPRUS MATHEMATICAL OLYMPIAD Sunday, 21/04/2013 EXAMS PAPER 11 th, 12 th, 13 th Grade B, C Lyceum TIME: 60 minutes Fill carefully the answer sheet, by choosing only one answer to each

15 Β & Γ Λυκείου 14 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος Which of the following numbers is not an integer? Α. Β. Γ. Δ. Ε. 2. The expression 3 31 has a minimum value when Α. 3 and 2 Β. 3 and Γ. 3 and 8 Δ. 3 and 8 Ε. 3 and 0 3. The perimeter of the triangle formed by the straight line 3 4 1, the x axis and the y axis is equal to Α. Β. Γ. Δ. Ε The value of the expression is Α. Β. Γ. Δ. Ε. 5. If the relation is true for an acute angle, then the value of sin is Α. Β. Γ. Δ. Ε. 6. The point of intersection of the lines and lying in the next figure is Α. 2, 3 Β. 1 3,1 5 Γ. 2, 3 Δ., Ε., 7. If the numbers 0 and have the same sign then what is true for the equation , (with all the coefficients being positive real), from the following: Α. It has two real and unequal roots Β. it is impossible to be solved in. Γ. it has a double root Δ. it has a positive product of roots Ε. None of the previous. Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 1

Β. Γ. Δ. Ε. 5. If the relation is true for an acute angle, then the value of sin is Α. Β. Γ. Δ. Ε. 6. The point of intersection of the lines and lying in the next figure is Α. 2, 3 Β. 1 3,1 5 Γ.

16 Β & Γ Λυκείου 14 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος For the polynomial we have for every and 0 0. Then what is the value of 15? Α. 30 Β. 35 Γ. 42 Δ. 45 Ε. None of the previous. 9. Two of the sides of a triangle have lengths 4 and 5. The third side of the triangle has length where is a positive integer. How many different values of are possible? Α. 4 Β. 5 Γ. 6 Δ. 7 Ε Five philosophers are arguing and they state the following claims: Andreas says: Only one of us is lying Basil says : exactly two of us are lying George says: exactly three of us are lying Dimitris says: exactly four of us are lying and Evagoras says: all of us five are lying Which one of the five is telling the truth? Α. Andreas Β. Basil Γ. George Δ. Dimitris Ε. Evagoras 11. In the adjacent figure, it is given a circle with centre. In the extension of the radius consider a point so that. The straight line is tangent to the circle at, and the angle 30. How many degrees is the angle? Α. 120 Β. 130 Γ. 100 Δ. 150 Ε In the adjacent figure we are given the points, 0 0, and, so that 5 and. From which of the following points does the straight line goes through? Α. 5, 4 Β. 5,4 Γ. 5,5 Δ. 4, 10 Ε. 4,4 13. Which of the following numbers: the greatest? 20, 30, 40, 50 and 60 is Α. 20 Β. 30 Γ. 40 Δ. 50 Ε. 60 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 2

Five philosophers are arguing and they state the following claims: Andreas says: Only one of us is lying Basil says : exactly two of us are lying George says: exactly three of us are lying Dimitris

17 Β & Γ Λυκείου 14 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος In the triangle, in the adjacent figure, with sides 8, 12 and 15, is the incentre (point of intersection of its bisectors). If // and // then what is the perimeter of the triangle ; Α. 12 Β. 18 Γ. 10 Δ. Ε An isosceles triangle has 10. What is the length of the third side so that its area takes the maximum value? Α. 10 Β. 12 Γ Δ Ε We write the natural numbers in a row so that they form a sequence of numbers as following What is the digit at the 2013 th position in this sequence? Α. 6 Β. 7 Γ. 8 Δ. 9 Ε The numbers and are non zero integers so that 100. What is the value of the expression? Α Β Γ Δ Ε In the circle, at the adjacent figure, the chords, are perpendicular with being the point of their intersection. What is the value of the expression? Α. 2 Β. 2 1 Γ. 4 Δ. 3 Ε. 19. The point, lies at a distance of 8 units from the origin of a system of perpendicular axes and also lies on the line. What is the value of the expression Α. 64 Β. 48 Γ. 32 Δ. 16 Ε What is the domain of the function : described by the formula Α. 1,0,1 Β. 2, 1,0 Γ. 3, 1,0 Δ. 1,,0 Ε. 1,,0 Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 3

12 Γ. 10 2 Δ. 10 3 Ε. 20 16. We write the natural numbers in a row so that they form a sequence of numbers as following 123456789101112131415.

18 Β & Γ Λυκείου 14 η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιος A function has the properties: (a) 0 2 and (b) for every real numbers and we have. What is the value of 2013? Α. 0 Β. 2 Γ Δ Ε In the sequence of real numbers,,, we have 0, 1 and, 3,4,5,6,. Then the value of the term is Α. 0 Β. 1 Γ. 1 Δ. 2 Ε The number of negative roots of the equation x 6x 95x x is equal to: Α. 0 Β. 1 Γ. 2 Δ. 3 Ε A circle with centre Ο and radius 6 and diameter ΑΒ is given. On the radius ΟΒ consider a point Γ, so that ΟΓ=2. A chord ΕΖ goes through Γ and 60. Then the length of ΕΖ is: Α. 10 Β. 6 Γ. 4 3 Δ Ε. none of the previous answers 25. In the adjacent figure there are 24 levels characterized by the letters (of the Greek alphabet) Α, Β, Γ, Δ,, Ω. At level Α there is only one dot. At each of the levels Β, Δ, Ζ,, Ω there is the double number of dots that are contained in the immediately above level. Each of the levels Γ, Ε, Η,, Ψ contains exactly the same number of dots as the level immediately above. Find the number of dots that are contained at level Ω. Α Β Γ Δ Ε Κυπριακή Μαθηματική Εταιρεία Σελίδα 4

The number of negative roots of the equation x 6x 95x x is equal to: Α. 0 Β. 1 Γ. 2 Δ. 3 Ε. 4 24. A circle with centre Ο and radius 6 and diameter ΑΒ is given.

Σχετικά έγγραφα

Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ & Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ IΘ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ 2018 22 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 2018 Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ & Α ΛΥΚΕΙΟΥ www.cms.org.cy ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΓΓΛΙΚΑ PAPERS IN BOTH GREEK AND ENGLISH ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ