Κεφ αλαιο1. Αρχ ηελ αχιστη ρ αση. 1.1 Εισαγωγικ ε παρατηρ ησει

Κεφ αλαιο1 Αρχ ηελ αχιστη ρ αση Οδικ ο µα κ οσµο ε ιναιοκαλ υτερο απ ο ολου του δυνατο υ κ οσµου. Gottfried Wilhelm Leibniz 1.1 Εισαγωγικ ε παρατηρ ησει Ηνευτ ωνειαµηχανικ η,τοπνευµατικ οδηµιο υργηµατουισα ακνε υ- Οιεπιτυχ ιε τη τωνα [1642-1727],κατ εχειεξ εχουσαθ εσηστηνιστορ ιατωνφυσικ ωνεπιστηµ ων αποτελε ιτηνπρ ωτησ υγχρονηφυσικ ηθεωρ ιαγιατηνκ ινησητη νευτ ωνεια θεωρ ια υλη.επιχειρ ωντα ναεξηγ ησειτου ν οµου τουκ επλεργιατηνκ ινηση τωνπλανητ ων,ονε υτωνδιατ υπωσετηθεωρ ιαπουαφορ αστηνκ ινηση τη υλη καιεπιπλ εονεισ ηγαγετηνπρ ωτηθεµελι ωδηδ υναµητη φ υση, τηβαρυτικ ηδ υναµη.οισυν επειε τουν εουθεωρητικο υοικοδοµ ηµατο πουθεµελ ιωσεονε υτων ηταντερ αστιε. Εξηγ ηθηκανγιαπρ ωτηφορ α πολ υπλοκαφυσικ αφαιν οµενα, οπω οιπαλ ιρροιε,καιοιφυσικο ι,που τ οτεονοµ αζοντανφυσικο ιφιλ οσοφοι,µπορο υσανπλ εοννααντιµετωπ ιζουντονκ οσµοσανµιατερ αστιαµηχαν η,ηοπο ιακινε ιταιυπακο υοντα σεκ αποιου απλο υ αλλ αθεµελι ωδει ν οµου και,ακ οµηπερισσ οτερο, ναπρο λ επουνµειδια ιτερηαξιοπιστ ιατηνεξ ελιξηαυτο υτουκ οσµου.η ακρ ι ειατη νευτ ωνεια θεωρ ια ητανκαιεξακολουθε ιναε ιναιεντυπωσιακ η.βασιζ οµενοιστηνευτ ωνειαθε ωρησητουκ οσµου,οadamsκαιο LeVerrierκατ ορθωσανναπρο λ εψουντην υπαρξητουπλαν ητηποσειδ ωνακαιναυποδε ιξουντηθ εσητουκατ οπινπαρατηρ ησεωντωνδιαταραχ ωντη τροχι α τουουρανο υ. Παρ ατα υταηνευτ ωνειαθε ωρησητουκ οσµουκρ υ ειµ εσατη κ αποιαπρο λ ηµατα.ε ιµαστεπιασ ιγουροι οτιηαπ ολυτηθε ωρησητουνε υτωναγιατοχ ωροκαιτοχρ ονο εχειαν αγκηαπ οµιασχετικιστικ ηαναθε ωρηση, οπω αλλωστεκαιηεφαρµογ ητη µηχανικ η στοµικρ οκοσµο απαιτε ιµιααναθε ωρησησταπλα ισιατη κ αντοµηχανικ η. Στοπαρ ον βι λ ιοδενπρ οκειταιβ ε αιαναασχοληθο υµεµετηναναθε ωρησητη µη- χανικ η τουνε υτωνα θασυνεχ ισουµενακινο υµαστεστονευτ ωνειοκ ο- 1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΧΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΡΑΣΗΣ Σχ ηµα1.1:ησυντοµ οτερηδιαδροµ ηγιατοφω πουσυνδ εειτοσηµε ιοεκποµπ η Αµετο σηµε ιολ ηψη Βε ιναιεκε ινηπουικανοποιε ιτον οµοτη αν ακλαση (γων ιαπρ οσπτωση =γων ιααν ακλαση ) Μιαεναλλακτικ η πορε ιαπρο τη νευτ ωνειαµηχανικ η σµοµεαπ ωτεροστ οχοτηβαθ υτερηκαταν οησητη δοµ η τη νευτ ωνεια θεωρ ια. Ανηµηχανικ η, οπω την εχουµεγνωρ ισει εω σ ηµερα,ε ιναιουσιαστικ αηµελ ετητουφυσικο υκ οσµου οπω αυτ ηδιαµορφ ωθηκεαπ οτο Νε υτωναµετην εκδοση,στι αρχ ε του1687,του εργουτουphilosophiae NaturalisPrincipiaMathematica,ηαναλυτικ ηµηχανικ ηπουθαεξετ ασου- µεστοπαρ ονβι λ ιο,ε ιναιηκατεξοχ ηνµελ ετητη συνεισφορ α τουλαγκρ ανζ (Joseph-Louis Lagrange [1736-1813])καιτουΧ αµιλτον (William RowanHamilton[1805-1865]),ιδια ιτερακατ ατηντριετ ια 1834-1836. Στοβι λ ιοτο υτοδενπρ οκειταιναακολουθ ησουµετηνιστορικ ηεξ ελιξησυστηµατοπο ιηση τωννευτ ωνειωνν οµωναλλ αµιαεντελ ω διαφορετικ ηπορε ια, εναπαιγν ιδιδιαπιστ ωσεων,εµπνευσµ ενο,θα ελεγεκανε ι, απ οτηµεταφυσικ ηαναζ ητησηµια βαθ υτερη αρχ η,ηοπο ιαυπαγορε υειπιθαν ω τηνεξ ελιξητουκ οσµου. Ηδηαπ οτον1οµ.χ.αι ωναστην Ελλ αδαο Ηρωνα οαλεξανδριν ο ε ιχεδιαπιστ ωσει οτιτοφω ανακλ ω- µενοσε εναεπ ιπεδοκ ατοπτροακολουθε ιτησυντοµ οτερηδιαδροµ ηκαι διατ υπωσετην αποψη οτιηφ υσηεπιλ εγειπ αντοτεγιατοφω τησυντο- µ οτερηδιαδροµ η.ακολουθ ωντα αντ ιστροφααυτ ητηναρχ η,µπορο υµε νασυµπερ ανουµε οτι,αφο υτοσυνολικ οµ ηκο τη διαδροµ η τουανακλ ωµενουφωτ ο απ οτοσηµε ιοαστοσηµε ιοβ(βλ.σχ ηµα 1.1)ε ιναιτο µικρ οτεροδυνατ ο,θαπρ επειηδιαδροµ ηαγβναε ιναιηµικρ οτερηδυνατ η, οπω επ ιση καιηαγβ, οπουβ τοσυµµετρικ οσηµε ιοτουβω προ τοκ ατοπτρο.προφαν ω,σ υµφωναµετηνευκλε ιδειαγεωµετρ ια,η συντοµ οτερηδιαδροµ ηπουεν ωνειταδ υοσηµε ιαακαιβ ε ιναιηευθε ια. Εποµ ενω,τοτµ ηµααγαν ηκειστην ιδιαευθε ιαµετογβ.ε υκολαµπορε ιτ ωρακ αποιο,χρησιµοποι ωντα απλ αγεωµετρικ αεπιχειρ ηµατα,να εξαγ αγεισυµπερ ασµατασχετικ αµετι γων ιε πουσχηµατ ιζονταιµεταξ υ τωνδιαδροµ ωντουφωτ ο καιτουκατ οπτρουκαιναδιατυπ ωσειτον οµο τη αν ακλαση τουφωτ ο,σ υµφωναµετονοπο ιοηγων ιαπρ οσπτωση σε ενακ ατοπτροε ιναι ισηµετηγων ιααν ακλαση.αυτ ηηαρχ η, οµω,δεν φα ινεταινα εχειγενικ ηισχ υγιατηνκ ινησητουφωτ ο,δι οτι,αν ισχυεγενικ α,στηνπερ ιπτωσητη δι αθλαση τουφωτ ο θαοδηγο υσεσεµηδενικ η δι αθλαση. Σταµ εσατου17ουαι ωναογ αλλο µαθηµατικ ο PierredeFermat[1601-1665],διαφοροποι ωντα ελαφρ ω τηδιατ υπωσητη αρχ η του Ηρωνα καιυποστηρ ιζοντα οτιδενε ιναιτοµ ηκο τη διαδροµ η πουδιαν υειτο φω,αλλ αοχρ ονο τη κ ινηση τουφωτ ο αυτ οπουκαθ ισταταιελ αχι-

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 3 στο,κατ εληξεστοσωστ ον οµοτη δι αθλαση,τον οµοτουvanroijenwillebrord Snell [1591-1626] (βλ.πρ ο ληµα 1). Το 1744ογ αλλο µαθηµατικ ο Pierre-Louis MoreaudeMaupertuis [1698-1759]διατ υπωσεµιαν εα αρχ ηελαχ ιστου,σ υµφωναµετηνοπο ιαοικιν ησει τωνσωµ ατωνε ιναιτ ετοιε ωστεησυνολικ η δρ αση ναε ιναιελ αχιστη,γεγον ο τοοπο ιοθε ωρησεαπ οδειξητη σοφ ια τουθεο υ.ηποσ οτητα, οµω,τη δρ αση την οπο ιαπρ οτεινεοmaupertuisδεν ητανησωστ η,εν ωαπ οτι αποδε ιξει του ελειπεησαφ ηνειακαιηακρ ι εια. Μερικ αχρ ονιααργ οτεραοleonhard Euler[1707-1783]καιοLagrangeπροσδι ορισαντηνορθ ηµορφ ητη δρ αση καιτονεπ οµενοαι ωναοhamiltonδιατ υπωσεµεαπ ολυτησαφ ηνεια την αρχ ητη ελ αχιστη δρ αση (principleofleastaction), οπω συνηθ ιζε- ται,εσφαλµ ενα,νααναφ ερεταιγιαιστορικο υ λ ογου, η αρχ ητη στ ασι- µη δρ αση, ηαπλ α αρχ ητουχ αµιλτον.σ υµφωναµετηναρχ ητουχ α- µιλτονυπ αρχειµ ιαθεµελι ωδη συν αρτησητωνθ εσεωνκαιτωνταχυτ ητων Μιαν εααρχ ηγιατην πουχαρακτηρ ιζειτοεκ αστοτεφυσικ οσ υστηµα.αυτ ηηθεµελι ωδη συν αρτησηε ιναιηλαγκρανζιαν ησυν αρτηση, L. Γιαµηχανικ ασυστ ηµατα πουβρ ισκονταιυπ οτηνεπ ιδρασησυντηρητικ ωνδυν αµεωνηλαγκρανζιαν ησυν αρτησηε ιναιηδιαφορ αµεταξ υτη κινητικ η καιδυναµικ η εν εργεια τουσυστ ηµατο L = E κιν E δυν. Ετσιηαρχ ητουχ αµιλτονδιατυπ ωνεταιω εξ η : Ενασωµατ ιδιοπουξεκιν ααπ οτοσηµε ιοατηχρονικ ηστιγµ η,καιφτ ανειστοσηµε ιοβτηχρονικ ηστιγµ η t B,ακολουθε ι στοενδι αµεσοχρονικ οδι αστηµατηδιαδροµ ηεκε ινηγιατην οπο ιαηδρ αση,δηλαδ ηηποσ οτητα καθ ισταταιστ ασιµη. S = Ldt (1.1) Προ τοπαρ ονδενθαασχοληθο υµεµετοναδ ωσουµε εναναυστηρ ο ορισµ οτου ορου στ ασιµο.θατονθεωρ ησουµεσυν ωνυµοτου ορου ακρ οτατο.α εξετ ασουµεωστ οσοµερικ απαραδε ιγµαταγιαναπειστο υµε οτιηαρχ ηπουδιατυπ ωθηκεπαραπ ανωοδηγε ισεορθ ασυµπερ ασµατα. Παρ αδειγµα1: Εστω εναελε υθεροσωµατ ιδιοπουκινε ιταισεµ ιαδι ασταση. Οπω γνωρ ιζουµε, ενασωµατ ιδιοστοοπο ιοδενασκε ιταικαµ ια δ υναµηκινε ιταιµεσταθερ ηταχ υτητα. Ηδρ ασηγιατοσωµατ ιδιοαυτ ο, δεδοµ ενου οτι L = E κιν,ε ιναι S = 1 2 mu2 dt, (1.2) οπου uηταχ υτητατουσωµατιδ ιου.ποιαδιαδροµ ηστοχ ωροκαιτοχρ ονο ε ιναιαυτ ηπουελαχιστοποιε ιτoπαραπ ανωολοκλ ηρωµα;α δοκιµ ασουµε τι τρει διαδροµ ε πουαπεικον ιζονταιστοχωροχρονικ οδι αγραµµατου κ ινησητωνµηχανικ ων συστηµ ατων

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΧΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΡΑΣΗΣ Σχ ηµα1.2: Hδρ ασηεν ο ελε υθερουσωµατιδ ιουυπολογισµ ενησετρει διαδροµ ε.στη διαδροµ η (1)τοσωµατ ιδιοκινε ιταιισοταχ ω απ οτο (, x A )στο (t B, x B ).Στηντεθλασµ ενηδιαδροµ η(2)τοσωµατ ιδιοκινε ιταιµεσταθερ ηταχ υτητααπ οτο (, x A )µ εχριτο ενδι αµεσοσηµε ιο (t, x )καικατ οπινµεσταθερ η,αλλ αδιαφορετικ ηταχ υτητα,απ οτο (t, x )µ εχριτο (t B, x B ).Στηντυχα ιαδιαδροµ η (3)τοσωµατ ιδιοκινε ιταιµεµετα αλλ οµενηταχ υτητααπ οτο (, x A )στο (t B, x B ). Σχ ηµατο 1.2.Γιατηδιαδροµ η (1)πουαντιστοιχε ισεισοταχ ηκ ινησηµε ταχ υτητα u = x B x A t B ηδρ ασηε ιναι S 1 = 1 2 m(x B x A ) 2 t B. Γιατηδιαδροµ η (2)ηδρ ασηε ιναι S 2 = 1 [ 2 m (x x A ) 2 + (x ] B x ) 2 t t B t οπου x, t οιχωροχρονικ ε συντεταγµ ενε τουσηµε ιουθλ αση τη τεθλασµ ενη διαδροµ η. Γιατηδιαδροµ η (1)δεν εχουµεναπο υµετ ιποτε περισσ οτερο ηδιαδροµ ηαυτ ηε ιναικαθορισµ ενηκαιεποµ ενω ηδρ αση πουαντιστοιχε ισεαυτ ηε ιναικαιαυτ ηκαθορισµ ενη.ηδιαδροµ η(2)ε ιναι στηνπραγµατικ οτηταµιαολ οκληρηοικογ ενειαδιαδροµ ων,καθεµ ιααπ ο τι οπο ιε προσδιορ ιζεταιαπ οτηθ εσητουενδι αµεσουσηµε ιου (t, x ). Αναζητ ωντα,λοιπ ον,µ εσαστοπλ ηθο τωνδιαδροµ ωντηνιδια ιτερηεκε ινηδιαδροµ ηπουκαθιστ ατηδρ ασηελ αχιστη,θαπρ επειναπαραγωγ ισουµετηδρ ασηω προ τι παραµ ετρου τη καµπ υλη (βλ. Ασκηση1.1 σχετικ αµετοαναυτ οπουθαβρο υµεαντιστοιχε ισεελ αχιστο ηµ εγιστο). Ε υκολαδιαπιστ ωνουµε οτισεαυτ ητηνπερ ιπτωσητοελ αχιστοτη δρ αση παρατηρε ιται οτανοιταχ υτητε τωνδ υοτµηµ ατωντη διαδροµ η συµπ ιπτουν,οπ οτετ οτεηδρ ασηε ιναι ισηµετην S 1. Τελει ωσαµε;βρ ηκαµεµετονπαραπ ανωτρ οποτηδιαδροµ ηεκε ινηπουκαθιστ αελ αχιστη τηδρ αση; Οχιβ ε αια.εξετ ασαµεµ ονοµ ιαπολ υπεριορισµ ενηοικογ ενειαδιαδροµ ωνκαιβρ ηκαµεποιααπ οαυτ ε καθιστ ατηδρ ασηελ αχιστη.,

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 5 Πρ επει, οµω,κανε ι ναεξετ ασεικ αθεε ιδου διαδροµ η, οσοαλλοπρ οσαλληκαιανε ιναιαυτ η,ανθ ελειναβε αιωθε ι οτιβρ ηκετηδιαδροµ η εκε ινηπουκαθιστ ατηδρ ασηστ ασιµη.π ω ε ιναι, οµω,δυνατ ονναπαραµετροποι ησουµεκ αθεδυνατ ηδιαδροµ η ωστενααναζητ ησουµετοακρ οτατοτη δρ αση ω προ κ αθεπαρ αµετρο;ηαπ αντησηστοερ ωτηµα το υτοθααποτελ εσειτοκυρ ιω αντικε ιµενοτουεπ οµενουκεφαλα ιου.με τ ετοιαπρο λ ηµαταασχολε ιται ενα ιδια ιτερο κλ αδοτη αν αλυση,οκαλο υµενο λογισµ ο τωνµετα ολ ων,θεµελιωτ ε τουοπο ιουθεωρο υνταιοι αδελφο ιγι ακοµπκαιγι οχανμπερνο υλι(jakobbernoulli[1654-1705]και JohannBernoulli[1667-1748]). 1 Ασκηση1.1. Σκεφτε ιτεανυπ αρχειπερ ιπτωσηναπαρουσι αζειµ εγιστοηδρ αση ΑΣΚΗΣΕΙΣ πουαντιστοιχε ισεκ αποιαδιαδροµ ητ υπου (2). [Υπ οδειξη:τισυµ α ινει οταν x ;] Προ τοπαρ ονεµε ι α συνεχ ισουµετηνπροσπ αθει αµα γιατηνεπ ιλυσητουαρχικο υµα προ λ ηµατο.γρ αφουµετηντυχα ιαδιαδροµ η (3) ω εξ η : x 3 (t) = x A + x B x A t B (t ) + ξ(t). Στοπρ ωτοµ ερο αυτ η τη εκφραση αναγνωρ ιζεικανε ι τηνοµαλ ηκ ινησητη διαδροµ η (1).Το ξ(t)ε ιναιµιααυθα ιρετησυν αρτησηπουκαθορ ιζειτηνοποιαδ ηποτεδιαδροµ ηω απ οκλισηαποτηδιαδροµ η(1)(βλ. Σχ ηµα 1.2).Ηδρ ασητ ωραλαµ ανειτηµορφ η S 3 = 1 2 m οπου εχουµεορ ισειω ūτηνποσ οτητα (ū + ξ) 2 dt, ū x B x A t B, τηµ εση,δηλαδ η,ταχ υτητατη τυχα ια διαδροµ η καιω ξ dξ/dtτη χρονικ ηπαρ αγωγοτη απ οκλιση απ οτηνοµαλ ηκ ινηση.παρατηρο υµε, οµω, οτι, B ξdt = dξ = ξ(b) ξ(a) = 0, A αφο υητυχα ιαδιαδροµ η,σ υµφωναµετηδιατ υπωσητη αρχ η τουχ α- µιλτον,ξεκιν ακαικαταλ ηγειστασηµε ιαακαιβαντ ιστοιχα, οπω καιη ευθ υγραµµηδιαδροµ η (1),οπ οτεε ιναι ξ(b) = ξ(a) = 0. Ετσι S 3 = 1 2 mū2 dt + 1 2 m ξ2 dt. 1 ΟJakobBernoulli ητανεκε ινο οοπο ιο κατ αφερεναυπολογ ισειτηµορφ ητη κα- µπ υλη πουσχηµατ ιζειµιααλυσ ιδακρεµασµ ενηαπ οταδυοτη ακρα,αναζητ ωντα την καµπ υληεκε ινηπου εχειπιοχαµηλ ατοκ εντροβ αρου τη.

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΧΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΡΑΣΗΣ Σχ ηµα 1.3:Οιτρει τ υποιδιαδροµ ωντουπαραδε ιγµατο 2. Ηµοναδικ ηπαρ αµετρο τωνδιαδροµ ωναυτ ωνε ιναιτοµ εγιστο υψο H. Τοδε υτεροολοκλ ηρωµα, οντα θετικ αορισµ ενο,λαµ ανειτηνελ αχιστη τιµ ητου,δηλαδ ηµηδ εν, οταν ξ = 0,µε αλλαλ ογια οταν ξ =σταθερ ο = ξ(a) = 0,εν ωτοπρ ωτοολοκλ ηρωµαδενε ιναι αλλοαπ οτην S 1.Συνεπ ω,ε ιµαστεπιασ ιγουροι οτιηοµαλ ηκ ινησηε ιναιεκε ινηπουπροσδ ιδειστηδρ ασητηνελ αχιστητιµ ητη. Αυτ ητηνκ ινηση,λοιπ ον,επιλ εγει τοελε υθεροσωµατ ιδιο.ηαρχ ηελ αχιστη δρ αση οδ ηγησεστογνωστ ο, ορθ οαποτ ελεσµα.ηµ εθοδο πουεφαρµ οσαµεστηναπ οδειξ ηµα ε ιναι σεαδρ ε γραµµ ε ηµ εθοδο τηνοπο ιαθαεφαρµ οσουµεσεγενικ οτερα προ λ ηµατακ ινηση πουθαεξετ ασουµεσεεπ οµενακεφ αλαια.ε ιναιε υκολοπ αντω ναγενικε υσουµετοπαραπ ανωαποτ ελεσµαστηνπερ ιπτωση τη κ ινηση εν ο σ ωµατο στοντρισδι αστατοκ οσµο. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση1.2. ε ιξτε οτιγια ενασωµατ ιδιο,τοοπο ιοκινε ιταιστοντρισδι αστατο χ ωρο,ηδρ ασηκαθ ισταταιελ αχιστηγιατηδιαδροµ ηεκε ινηστοχ ωροκαιτοχρ ονοπου αντιστοιχε ισεευθ υγραµµηοµαλ ηκ ινηση. [Υπ οδειξη:αντ ιτου u 2 θα εχετετ ωρα u u, τοοπο ιοµπορε ιτεναγρ αψετεω (ū x + ξ x ) 2 + (ū y + ξ y ) 2 + (ū z + ξ z ) 2.] Παρ αδειγµα2:προκειµ ενουναµελετ ησουµετηνπλ ηρηµορφ ητη εκφραση γιατηδρ αση,α εξετ ασουµε ενααπλ οπρ ο ληµακ ινηση σεκ αποιοπεδ ιο:τηνκ ινησηµια µπ αλα,µ αζα m = 1,τηνοπο ιαπετ αµεκατακ ορυφαπρο ταεπ ανωµ εσαστοβαρυτικ οπεδ ιοτη Γη καιηοπο ια επιστρ εφεισταχ εριαµα Tδευτερ ολεπτααργ οτερα. Σεαυτ ητηνπερ ιπτωσηηδρ ασηγιατηδιαδροµ η z(t)ε ιναι S = T 0 ( 1 2 ( ) 2 dz gz) dt. (1.3) dt

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 7 Α υπολογ ισουµετηδρ ασηγιατου τρει τ υπου χωροχρονικ ωνδιαδρο- µ ωνπουαπεικον ιζονταιστοσχ ηµα 1.3. (i) ιαδροµ ητ υπου (1): z 1 (t) = 0. Ηαντ ιστοιχηδρ ασηε ιναι (ii) ιαδροµ ητ υπου (2): z 2 (t) = { 2H T 2H T Ηαντ ιστοιχηδρ ασηε ιναι (iii) ιαδροµ ητ υπου (3): Ηαντ ιστοιχηδρ ασηε ιναι S 1 = 0. t, για 0 t T/2 (t T/2) + H, για T/2 t T. S 2 = 2H2 T ght 2 z 3 (t) = 4H t(t t). T 2 S 3 = 8H2 3T 2gHT 3.. Ασκηση1.3. Εκτελ εστετι πρ αξει µεσκοπ οναελ εγξετετηνορθ οτητατωνπα- ΑΣΚΗΣΕΙΣ ραπ ανωεκφρ ασεωνγιατηδρ ασηστου δι αφορου τ υπου διαδροµ ων. Στησυν εχεια παραγωγ ιστετι εκφρ ασει γιατηδρ ασηω προ τηµετα λητ η Hπροκειµ ενουναελαχιστοποι ησετετηντιµ ητη δρ αση,υπολογ ιζοντα το Hεκε ινοπουκαθιστ ατηδρ αση ακρ οτατη. Παρατηρο υµε οτιητρ ιτηοικογ ενειαδιαδροµ ωναπ οαυτ ε πουεξετ α- σαµεεµπερι εχειτησωστ ηεξ ισωσηκ ινηση ηοπο ιαε ιναιδευτ ερουβαθ- µο υω προ τοχρ ονο.οιτρει οικογ ενειε διαδροµ ωνπουεξετ ασαµεδεν εξαντλο υνπροφαν ω ολε τι δυνατ ε διαδροµ ε πουσυνδ εουντοαρχικ ο µετοτελικ οσηµε ιο.μολατα υτασκοπ ο µα εδ ωδενε ιναιναανακαλ υψουµετηµοναδικ ηεκε ινηδιαδροµ ηπουκαθιστ ατηδρ ασηστ ασιµη δεν εχουµεµ αθειεξ αλλουακ οµητηνκατ αλληλητεχνικ ηγιαναπρ αξουµεκ ατι τ ετοιο.σκοπ ο µα ε ιναιναβε αιωθο υµε οτιαπ ο ολε τι διαδροµ ε που επιλ εξαµε,µεταξ υτωνοπο ιωντυχα ινειναβρ ισκεταιαυτ ηπουπρο λ επει ηνευτ ωνειαεξ ισωσηκ ινηση,ησωστ ηε ιναιεκε ινηπουθαµα οδηγ ησει στηνελ αχιστητιµ ητη δρ αση.μοναδικ ηπαρ αµετρο καιτη διαδροµ η τ υπου (2)καιτη διαδροµ η τ υπου (3)ε ιναιτοµ εγιστο υψο H.Ανπαραγωγ ισουµεω προ αυτ ητηνπαρ αµετρο,διαπιστ ωνουµε οτιηδρ αση καθ ισταταιελ αχιστη, οταν H = gt 2 8

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΧΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΡΑΣΗΣ καιστι δ υοπεριπτ ωσει.αυτ η, οµω,ε ιναιητιµ ητουπραγµατικο υµ εγι- στου υψου στοοπο ιοαν ερχεταιηµπ αλα!πρ οκειται αραγεγιααπλ ησ υ- µπτωση; Οχιακρι ω.ηδιαδροµ ητ υπου (2),ανκαιλανθασµ ενη,στην προσπ αθει ατη ναµει ωσειτηδρ αση οσοτοδυνατ ονπερισσ οτεροδι ερχεταιαπ οτοσωστ ο υψο.γιαπαρ αδειγµα,χρησιµοποι ωντα ω εξ ισωση κ ινηση µιασυν αρτησητετ αρτουβαθµο υω προ τοχρ ονολαµ ανουµε ω καλ υτερητιµ ηγιατο Hτηνπολ υκαλ ηπροσ εγγισητη πραγµατικ η τι- µ η 7gT 2 /64(βλ. Ασκ.1.4).Α δο υµετ ωρακαιτι αντ ιστοιχε τιµ ε που λαµ ανειηδρ αση, οτανηπαρ αµετρο H εχειρυθµιστε ιµετ ετοιοτρ οπο ωστεηδρ ασηναγ ινειελ αχιστη. S 2 (min) = 1 32 mg2 T 3 z(t) = gt 2 t 1 2 gt2, και S 3 (min) = 1 24 mg2 T 3. Νικητ η,λοιπ ον,σεαυτ οτοναγ ωναελαχιστοπο ιηση τη δρ αση αναδε ιχθηκεηδιαδροµ η πουαποτελε ιτηγνωστ ηµα εξ ισωσηκ ινηση.στην εκφρασηγιατηνπαραπ ανωδιαδροµ η εχουµεαντικαταστ ησειτηβ ελτιστητιµ ητου H, gt 2 /8, πουυπολογ ισαµεπροηγουµ ενω γιατηδιαδροµ ητ υπου (2). ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ασκηση1.4.Ανδεν εχετεακ οµηπειστε ι οτιµετου τρει µ ονοτ υπου διαδροµ ων πουθεωρ ησαµεπαραπ ανωπετ υχαµεναβρο υµετοελ αχιστοτη δρ αση,θεωρ ηστε εναν ακ οµητ υποδιαδροµ η τ εταρτη τ αξη ω προ τοχρ ονο, z(t) = 16H T 4 t2 (T t) 2. Υπολογ ιστετηδρ ασηγιατηδιαδροµ ηαυτ ηκαιαφο υτηνελαχιστοποι ησετεω προ την παρ αµετρο H,υπολογ ιστετηντιµ ητη Hπουτηνκαθιστ αελ αχιστη.ποιαε ιναιηελ αχιστητιµ ητη δρ αση γιατηδιαδροµ ηαυτο υτουτ υπου; Παρ αδειγµα3:προτο υεγκαταλε ιψουµεαυτ οτοπαιγν ιδιτωνυπολογισµ ων,α εξετ ασουµεµιαπαρ οµοια 2 αρχ ηελαχ ιστουσε εναδιαφορετικ ο χ ωροτη φυσικ η, ωστεναφανε ιτοε υρο τη εφαρµογ η που εχουνπαρ οµοιε αρχ ε στηφυσικ η:ηκατανοµ ητωνρευµ ατωνστου δι αφορου κλ αδου εν ο ηλεκτρικο υκυκλ ωµατο ε ιναιηοικονοµικ οτερηαπ οπλευρ α καταν αλωση θερµ οτητα.μιατ ετοιααρχ ηµπορε ικ αλλιστανααντικαταστ ησειτοδε υτερον οµοτουkirchhoff,δηλαδ ητηναρχ ηδιατ ηρηση τη εν εργεια.γιαπαρ αδειγµα,α θεωρ ησουµετοαπλο υστατοκ υκλωµα δ υοωµικ ωναντιστ ασεωνσυνδεδεµ ενωνπαρ αλληλαµεµιαιδανικ ηγενν ητρια (βλ.σχ ηµα 1.4). Οσυνολικ ο ρυθµ ο καταν αλωση θερµ οτητα 2 Οιβ ασει τη αρχ η αυτ η ε ιναιεντελ ω διαφορετικ ε απ οαυτ ε τη αρχ η ελ αχιστη δρ αση

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 9 στι δ υοαντιστ ασει ε ιναι dq dt = I2 1 R 1 + I 2 2 R 2 = I 2 1 R 1 + (I I 1 ) 2 R 2. Σχ ηµα 1.4:Ηαρχ ηοικονοµικ οτερη κατανοµ η τωνρευµ ατωνοδηγε ιστησωστ ηκατανοµ ητωνρευµ ατων. Στηνπαραπ ανω εκφρασηχρησιµοποι ησαµετηναρχ ηδιατ ηρηση τουηλε- κτρικο υφορτ ιουστονκ οµ οπουδιαχωρ ιζονταιταδ υορε υµατα.επιδι- ωκοντα στησυν εχειαναελαχιστοποι ησουµεαυτ οντορυθµ οκαταν αλωση,µετα αλλουµετηντιµ ητουρε υµατο I 1 καιβρ ισκουµε οτι I 1 R 1 (I I 1 )R 2 = 0, δηλαδ η οτιοιτ ασει στα ακρατωνδ υοαντιστ ασεωνπρ επεινασυµπ ιπτουν! Ηαρχ ηελ αχιστη δρ αση,πουε ιδαµεσταδ υοπρ ωταπαραδε ιγµατα, φα ινεταινα δουλε υει.τισχ εση εχει, οµω,αυτ ηηαρχ ηµετου ν οµου Ποιαησχ εσηµεταξ υ τουνε υτωνα;καιπ ω ε ιναιδυνατ οντοσωµατ ιδιοναγνωρ ιζειεκτων προτ ερωνποιαε ιναιηδιαδροµ ηεκε ινηπουτουεξασφαλ ιζειτηνακρ οτατητιµ ητη δρ αση ;Μ ηπω τοσωµατ ιδιοακολουθε ιµιατυχα ιαδιαδροµ η,υπολογ ιζειτηδρ ασηκαικατ οπινεπιστρ εφειπ ισωστοχρ ονογια ναδοκιµ ασεικ αποια αλληδιαδροµ η; Επιχειρ ωντα ναδιαλευκ ανουµετοζ ητηµα,θαεπανεξετ ασουµετοπαρ αδειγµα 2,εκε ινο,δηλαδ ηµετηνµπ αλαπουανε α ινεικαικατε α ινει µ εσαστοβαρυτικ οπεδ ιοτη Γη. Στηνπροσπ αθει αµα µ αλισταναε ι- µαστεαπολ υτω ακρι ε ι δενθαδοκιµ ασουµεαυτ ητηφορ αορισµ ενε οικογ ενειε διαδροµ ων,αλλ αµιατυχα ιαδιαδροµ η,τηνοπο ια, οµω,θα τµ ησουµεσεαπειροελ αχισταχρονικ αδιαστ ηµατααντικαθιστ ωντα την µεµιατεθλασµ ενηγραµµ η (βλ.σχ ηµα 1.5). Ε ιναιε υκολοναδιαπιστ ωσουµε οτιηδρ ασηπουαντιστοιχε ισεοποιαδ ηποτεδιαδροµ ηµπορε ινα προσεγγισθε ιµεοσηδ ηποτεακρ ι ειαεπιθυµο υµεαπ οτοακ ολουθο αθροισµα: S = N i=1 ( m 2 ( ) 2 dz mgz) dt (1.4) dt ] [ m (z i z i 1 ) 2 mg z i + z i 1 2 τ 2 2 τ, τη αρχ η ελ αχιστη δρ αση καιτου 2ου ν οµουτουνε υτωνα;

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΧΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΡΑΣΗΣ Σχ ηµα1.5: Hσυνεχ η διαδροµ η z(t)πουδι ερχεταιστοχρ ονο = t 0 απ οτο υψο z A = z 0 καιστοχρ ονο t B = t N απ οτο υψο z B = z N προσεγγ ιζεταιαπ οτηδιαδροµ ηπου λαµ ανειτι Nενδι αµεσε τιµ ε : z(t i ) = z i για i = 0, 1,...,N, οπου Nτ = t B, και τ = t i t i 1.Για Nαρκο υντω µεγ αλοητεθλασµ ενηδιαδροµ ηε ιναιακρι ω ιδια µετησυνεχ ηδιαδροµ η z(t). οπου Nτ = t B = T, z 0 = z A, z N = z B και τ = t i t i 1.Στηνπαραπ ανω εκφρασηαντικαταστ ησαµετηνταχ υτητακ αθεµικρο υχρονικο υ διαστ ηµατο µε u = z i z i 1 τ καιτηνολοκλ ηρωσητη θ εση γιατοαντ ιστοιχοχρονικ οδι αστηµαµε ti t i 1 z dt = ti [z i 1 + u(t t i 1 )] dt = z i + z i 1 t i 1 2 Γιαναε ιναιαυτ οτο αθροισµαακρ οτατοω προ ολε τι δυνατ ε διαδρο- µ ε,πουστηθε ωρησ ηµα παραµετροποιο υνταιµ εσωτωνενδι αµεσωνθ εσεων z 1, z 2,...,z N 1,πρ επει S/ z i = 0για ολε τι τιµ ε του i,απ ο1 εω N 1.Εκτελ ωντα τι πρ αξει καταλ ηγουµεστοακ ολουθοαποτ ελεσµα: z i z i 1 τ z i+1 z i τ gτ = 0. Κατ οπινανακατανοµ η των ορωνηπαραπ ανωσχ εσηγρ αφεται (z i+1 z i )/τ (z i z i 1 )/τ τ ηοπο ιαστο οριο N τε ινειστην τ. = g, (1.5) z(t) = g, (1.6) αφο υτοαριστερ οσκ ελο τη (1.5)ε ιναιτ οτετοπηλ ικοτη διαφορ α τη ταχ υτητα σεδ υοδιαδοχικ ε χρονικ ε στιγµ ε προ τοαντ ιστοιχοαπειροστ οχρονικ οδι αστηµα,δηλαδ ηε ιναιηεπιτ αχυνσητουσωµατιδ ιου.με

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 11 αλλαλ ογια,δε ιξαµε οτιτοακρ οτατοτη δρ αση ω προ κ αθεδυνατ η διαδροµ ηε ιναιισοδ υναµο,τουλ αχιστονγιατοπρ ο ληµαπουεξετ ασαµε, µετοδε υτερον οµοτουνε υτωνα. Ασκηση1.5. ε ιξτεµετον ιδιοτρ οπο οτιηκ ινηση x(t)πουελαχιστοποιε ιτηδρ αση ΑΣΚΗΣΕΙΣ S = t2 t 1 ( ) 1 2 mẋ2 V (x) dt, ε ιναιηφυσικ ηκ ινησηπουικανοποιε ιτηνευτ ωνειαεξ ισωση mẍ = dv/dx. Ηαρχ ηελ αχιστη δρ αση πουδιατυπ ωσαµεπαραπ ανωµπορε ιναθεωρηθε ιω µιααρχ ητελει οτητα εκφρασµ ενησεµαθηµατικ ηγλ ωσσα. Αν ητανδυνατ οναυτ ηηαρχ ηναεφαρµοστε ισε ολαταφυσικ ασυστ ηµατα, θαµπορο υσαµεναισχυριστο υµε οτιοκ οσµο µα ε ιναιτ ελειο µετην εννοια οτιαπ ο ολου του δυνατο υ κ οσµου οδικ ο µα κ οσµο ε ιναιτ ετοιο ωστεηεξ ελιξητωνδι αφορωνφυσικ ωνσυστηµ ατωνστοχ ωροκαι τοχρ ονονακαθιστ ατηδρ ασηακρ οτατη.μεαφετηρ ιατηναρχ ητη ελ αχιστη δρ αση θασχολι ασουµετοε υρο εφαρµογ η τη,θαµ αθουµενα υπολογ ιζουµεταακρ οτατατη δρ αση,θααποδε ιξουµε οτιαυτ ηηαρχ η ε ιναιισοδ υναµηµετοδε υτερον οµοτουνε υτωνα οσοναφορ ασταµηχανικ ασυστ ηµατακαιθαπροσπαθ ησουµενααπαντ ησουµεστοβαθ υτερο ερ ωτηµαπουακ οµηπαραµ ενειµετ εωρο.π ω καταφ ερνουντασωµατ ιδιαναγνωρ ιζουνποιαε ιναιηδιαδροµ ηπουκαθιστ ατηδρ ασητου στ ασιµη ωστεναεπιλ εγουνµ ονοαυτ η; Ηδρ αση, S = (E κιν E δυν )dt, Ε υρο εφαρµογ η τη αρχ η τουχ αµιλτον εν ο µηχανικο υσυστ ηµατο πουαναφ ερεταιστηναρχ ητουχ αµιλτον εχει ν οηµαυπ οτηνπρο π οθεση οτιτοµηχανικ οµα σ υστηµαµπορε ινασυσχετιστε ιµεκ αποιαδυναµικ ηεν εργεια. Στι περιπτ ωσει πουηκ ινηση πραγµατοποιε ιταισεπεδ ιοµησυντηρητικ ωνδυν αµεων, οπω γιαπαρ αδειγµα οτανολισθα ινουµεσεµιατσουλ ηθραυπ οτηνπαρουσ ιατρι ων, δενµπορο υµε,ενγ ενει,νακατασκευ ασουµεµιαδρ αση.σεθεµελιακ οβ ε- αιαεπ ιπεδοαυτ οδεναποτελε ιπρ ο ληµα,αφο υδενυπ αρχειθεµελι ωδη δ υναµητη φ υση,ηοπο ιαναε ιναιµησυντηρητικ η. Οιµησυντηρητικ ε δυν αµει, οπω ητρι η,ε ιναιαπλ ω στατιστικ οαποτ ελεσµασυντηρητικ ωνστηφ υσητου δυν αµεων,οιοπο ιε ασκο υνταισεατοµικ οεπ ιπεδοκαιεµφαν ιζονταιω µησυντηρητικ ε, οτανµετα α ινεικανε ι σεµακροσκοπικ οεπ ιπεδοαµελ ωντα τι λεπτοµ ερειε τουµικρ οκοσµου.στην πραγµατικ οτηταηαρχ ητουχ αµιλτον εχειακ οµηµεγαλ υτερηισχ υαπ ο του ν οµου τουνε υτωνα.βασιζ οµενοισεαυτ ην εχουµετηδυνατ οτητα νακατασκευ ασουµεαντ ιστοιχε συναρτ ησει δρ αση γιατονηλεκτροµαγνητισµ ο,τηθεωρ ιατη σχετικ οτητα καθ ω επ ιση καιγιαπεδ ιαπου

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΧΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΡΑΣΗΣ Τιακρι ω σηµα ινει οτι ηδρ ασηκαθ ισταται στ ασιµη ; αδυνατο υµεναεξετ ασουµεµ εσασταστεν απλα ισιατη νευτ ωνεια µηχανικ η. Παραµ ενει, οµω,ακ οµητοτεχνικ οπρ ο ληµατουπ ω θαυπολογ ισουµετοακρ οτατοτη δρ αση.ηδρ ασηε ιναισυν αρτησητη διαδροµ η πουθαακολουθ ησειτοµηχανικ οσ υστηµακαι οχισυν αρτησηκ αποιων µετα λητ ων ε ιναι, οπω λ εµε, ενασυναρτησοειδ ε (functional).μιαγε υσητουτεχνικο υαυτο υζητ ηµατο π ηραµε εµµεσα οτανπροσπαθ ησαµενα προσδιορ ισουµεµετονπιογενικ οτρ οποτηνκ ινησηπουεκτελε ι εναελε υθεροσωµατ ιδιο.μετον ιδιο,ουσιαστικ α,τρ οποθαπροσεγγ ισουµεκαιτο γενικ οπρ ο ληµα. Εστω x 0 (t)ηφυσικ ηδιαδροµ ητουµηχανικο υσυστ ηµατο,δηλαδ ηη διαδροµ ηπουκαθιστ ατηδρ ασηπουαντιστοιχε ιστηλαγκρανζιαν η 1 2 mu2 V (x) στ ασιµη. Αυτ οσηµα ινει οτι,ανπαρεκκλ ινουµεπολ υλ ιγοαπ οαυτ ηντη διαδροµ η,ηδρ ασηδενπρ οκειταινααλλ αξειαισθητ α.ποσοτικ α,ανηπαρ εκκλισ ηµα ε ιναιτ αξη ǫ, οπου ǫ ενα πολ υµικρ ο αριθµ ο,ηδιαφορ α στηδρ ασηµεταξ υτωνδ υοδιαδροµ ωνθαε ιναιτ αξη ǫ 2.Προσπαθ ωντα νακατανο ησουµεβαθ υτερατηνπαραπ ανωσυνθ ηκησχετικ αµετηστασιµ οτητατη δρ αση,α εξετ ασουµε εναπαρ αδειγµααπ οτηναν αλυση πουγνωρ ιζουµεκαλ α.μιασυν αρτηση 3 f(x)µ ια µετα λητ η µπορε ινα αναπτυχθε ιγ υρωαπ οοποιοδ ηποτεσηµε ιο, x 0,µ εσωτουαναπτ υγµατο Taylor f(x) = f(x 0 ) + (x x 0 )f (x 0 ) + 1 2 (x x 0) 2 f (x 0 ) +.... Αντοσηµε ιο x 0 αποτελε ιακρ οτατοτη συν αρτηση,τ οτεθαε ιναιf (x 0 ) = 0 ειδ αλλω πολ υκοντ αστοσηµε ιο x 0 ησυν αρτησηθαε ιναιγνησ ιω µον οτονη. Ετσι,αναποµακρυνθο υµεκατ απολ υµικρ ηαπ οσταση ǫαπ οτο ακρ οτατοσηµε ιο x 0,ητιµ ητη συν αρτηση θαε ιναι f(x 0 + ǫ) = f(x 0 ) + ǫ2 2 f (x 0 ) +... = f(x 0 ) + O(ǫ 2 ), οπουτοσ υµ ολο O(ǫ 2 )δηλ ωνειποσ οτητατ αξη τουλ αχιστον ǫ 2.Το ιδιο θασυµ α ινεικαιµετηδρ αση,µ ονοπουσεαυτ ητηνπερ ιπτωσητο ǫθα δηλ ωνειµιαπαραµετροπο ιησητη πολ υγειτονικ η στηφυσικ ηδιαδροµ η (βλ.σχ ηµα 1.6). ηλαδ η,θαπρ επειναισχ υει S(x 0 (t) + ǫη(t)) S(x 0 (t)) = O(ǫ 2 ), (1.7) οπου x 0 (t)ε ιναιηφυσικ ηδιαδροµ ηπουκαθιστ ατηδρ ασηακρ οτατηκαι η(t)ε ιναιµιααυθα ιρετησυνεχ ω παραγωγ ισιµησυν αρτησηπουδε ιχνει 3 Στοεξ η, οποτεαναφερ οµαστεσεσυναρτ ησει,θαυποθ ετουµε οτιαυτ ε εχουν ολε τι καλ ε ιδι οτητε (συν εχεια,παραγωγισιµ οτητακ.ο.κ.),πουχρειαζ οµαστεγιαναστηρ ιξουµετοεπιχε ιρηµ αµα.σεαντ ιθετηπερ ιπτωση, οτανθελ ησουµεναελ εγξουµεπαθολογικ ε καταστ ασει,θαε ιµαστεπροσεκτικο ικαισαφε ι στηδιατ υπωσ ηµα.

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 13 Σχ ηµα1.6:ηφυσικ ηδιαδροµ η x 0 (t)ε ιναιαυτ ηγιατηνοπο ιαηδρ ασηδενµετα αλλεται παρ αµ ονοσεδε υτερητ αξηω προ ǫ,ανηδιαδροµ ηµετα ληθε ικατ α ǫη(t),δηλαδ ησε πρ ωτητ αξηω προ ǫ. η( ) = η(t B ) = 0. Οπαρ αγοντα ǫ, οντα οσοδ ηποτεµικρ ο,εξασφαλ ιζειτηγειτν ιασητη καινο υργια διαδροµ η µετηφυσικ ηδιαδροµ η.επειδ ηηδρ ασηε ιναι ( ) 1 S(x(t)) = 2 mẋ2 V (x) dt, = ǫ 1 t A tb [mẋ 0 η V (x 0 )η]dt + O(ǫ 2 ). (1.8) V (x 0 + ǫη) = V (x 0 ) + ǫηv (x 0 ) + O(ǫ 2 ). µεποιοτρ οποηκαινο υργιαδιαδροµ ηαποκλ ινειαπ οτηφυσικ η.ηµοναδικ ηαπα ιτησηπουπρ επειναικανοποιε ιταιαπ οτησυν αρτηση η(t),σ υµφωναµετηναρχ ητουχ αµιλτον,ε ιναιη υπολογ ιζουµε οτιηδιαφορ ατωνδρ ασεωνπουαντιστοιχο υνστι δ υοελαφρ ω διαφορετικ ε διαδροµ ε θαε ιναισε ορου α υξουσα τ αξη ω προ ǫ, [ 1 tb ] S(x 0 + ǫη) S(x 0 ) = 2 m(ẋ 0 + ǫ η) 2 dt V (x 0 + ǫη)dt t [ A tb ] 2 m(ẋ 0) 2 dt V (x 0 )dt Στου παραπ ανωυπολογισµο υ αναπτ υξαµετησυν αρτησητη δυναµικ η εν εργεια κατ αtaylor Μεολοκλ ηρωσηκατ απαρ αγοντε τοπρ ωτοολοκλ ηρωµατη τελευτα ια σειρ α αποκτ ατηµορφ η mẋ 0 ηdt = mẋ 0 η t B mẍ 0 ηdt = mẍ 0 ηdt,

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΧΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΡΑΣΗΣ αφο υ η( ) = η(t B ) = 0. Γιαναε ιναιστ ασιµηηδρ αση,πρ επειο ορο τ αξη ǫτη σχ εση (1.8)ναε ιναιταυτοτικ αµηδενικ ο.αυτ οσηµα ινει οτι πρ επει [mẍ 0 + V (x 0 )] ηdt = 0, (1.9) Ισοδυναµ ιατη αρχ η τουχ αµιλτονµετο δε υτερον οµοτου Νε υτωνα Κβαντοµηχανικ ηκαι αρχ ητουχ αµιλτον κ ατιπουπρ επειναισχ υειγιακ αθεε ιδου διαδροµ ηγειτονικ ηστηφυσικ η διαδροµ η,δηλαδ ηγιακ αθεσυν αρτηση η(t). Ε ιναιδιαισθητικ απροφαν ε,ανκαιθατοαποδε ιξουµεµεαπ ολυτηαυστηρ οτηταστησυν εχεια, οτι ηποσ οτηταµεταξ υτωντετρ αγωνωναγκυλ ωνπρ επειναε ιναιταυτοτικ α µηδ εν,δηλαδ η mẍ 0 = V (x 0 ). Με αλλαλ ογια,καταλ ηγουµεστοδε υτερον οµοτουνε υτωνακαιεπι ε- αι ωνουµε οτιηδιαδροµ ηπουκαθιστ ατηδρ ασηστ ασιµηε ιναιεκε ινηπου ακολουθε ιτοσωµατ ιδιουπακο υοντα στον οµοτη δυναµικ η τουνε υτωνα mẍ = F(x). Ε ιναιε υλογο οτιηπαραπ ανωαπ οδειξηθαµπορο υσεναλειτουργ ησεικαι µεαντ ιστροφηφορ α,δηλαδ ηξεκιν ωντα απ οτον οµοτουνε υτωνακαι καταλ ηγοντα στηναρχ ηελ αχιστη δρ αση.στηνκλασικ ηθε ωρηση,λοιπ ον, οπουτοσωµατ ιδιο εχεικαθορισµ ενηθ εσησεκ αθεχρονικ ηστιγµ η καιοικιν ησει τουυπαγορε υονταιαπ οτησχ εσηαιτ ιου αιτιατο υ(κινητ ηριαδ υναµη καθορισµ ο τροχι α ),ηαρχ ηελ αχιστη δρ αση δενε ιναικ αποιο τελεολογικ ο ν οµο,αλλ ααπορρ εειαπ οτοδε υτερον οµοτουνε υτωνα,αφο υαποδεικν υεταιισοδ υναµηµεαυτ ον.ηεφαρµογ ητη αρχ η ελ αχιστη δρ αση µεταξ υεν ο αρχικο υκαιεν ο τελικο υσηµε ιουτη τροχι α µπορε ιναεστιαστε ισε ενααπειροελ αχιστοτµ ηµατη διαδροµ η,οπ οτεηαναζ ητησηακροτ ατουσεαυτ ητηνπερ ιπτωσησχετ ιζεται αµεσα µετηδιαφορικ ηαλλαγ ητη δυναµικ η εν εργεια,δηλαδ ητηδ υναµηπου υπαγορε υειστοσωµατ ιδιοπ ω νακινηθε ι. Ηκ αντοµηχανικ ηθε ωρησηεν ο σωµατιδ ιουε ιναιδιαφορετικ ηαπ ο εκε ινητη κλασικ η µηχανικ η.κβαντοµηχανικ ατοσωµατ ιδιοπα υεινα ε ιναιµιαοντ οτηταµεσυγκεκριµ ενηθ εσηκαιταχ υτητα.ηκαλ υτερηδυνατ ηπεριγραφ ητουσωµατιδ ιουδ ινεταιαπ οτηνκυµατοσυν αρτηση,µια µιγαδικ ησυν αρτησητη οπο ια τοµ ετροανυψωθε ιστοτετρ αγωνοδ ινειτηνπιθαν οτητααν ιχνευση τουσωµατιδ ιουστηνεκ αστοτεθ εση.γνωρ ιζουµε οτιαυτ ηηκυµατοσυν αρτηση, οταντοσωµατ ιδιοακολουθε ιµια υποτιθ εµενηδιαδροµ ηστοχ ωροκαιτοχρ ονο,ε ιναιαν αλογητη ποσ οτητα Z j = e ıs[xj(t)]/, οπου S[x j (t)]ε ιναιηδρ ασηπουαντιστοιχε ιστηδιαδροµ η x j (t)και ε ιναι ησταθερ ατουplanck,ηοπο ια εχειτοτροµακτικ αµικρ οµ εγεθο 1.054 10 34 Joule s. 4 Ηποσ οτητα Z j µπορε ιναπαρασταθε ιστοµιγαδικ οεπ ι- 4 Στοσηµε ιοαυτ ουπ αρχειπλ ηρη αναλογ ιαµετηνκυµατικ ηπεριγραφ ητουφωτ ο, σ υµφωναµετηνοπο ιατοφω µπορε ιναπεριγραφε ιω µιαδιαταραχ ηµεµ εγεθο αν α-

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 15 Σχ ηµα 1.7: Εναελε υθεροσωµατ ιδιοπουξεκιν ααπ οτοσηµε ιο (t 1, x 1 )καιφτ ανειστο σηµε ιο (t 2, x 2 )περιγρ αφεταιαπ οτηνκυµατοσυν αρτηση Ψ = K N N j=1 Z j/n (µεγ αλο β ελο ).Οπαρ αγοντα K N ε ιναιαπλ ω κατ αλληληπολλαπλασιαστικ ησταθερ απουκανονικοποιε ιτι κυµατοσυναρτ ησει. Ταµοναδια ιαµιγαδικ αδιαν υσµατα Z j αναπαριστο υντι κυµατοσυναρτ ησει τη εκ αστοτεδιαδροµ η πουσυνδ εειτοαρχικ οµετοτελικ οσηµε ιοπερν ωντα απ οτοενδι αµεσοσηµε ιο (t, x ), οπου t = (t 1 + t 2 )/2. Θ ελοντα νααπλοποι ησουµεταπρ αγµαταθεωρο υµε οτιοιδιαδροµ ε πουσυνδ εουντο ενδι αµεσοσηµε ιοµεταακρα ιασηµε ιατη διαδροµ η αντιστοιχο υνσεοµαλ ε κιν ησει οπω οιδιαδροµ ε τ υπου (2)στοΣχ ηµα 1.2.Γιατοσχεδιασµ ο εχουνληφθε ι N = 500 ενδι αµεσα x µε x 1 x x 2,εν ωοιπαρ αµετροιτουπρο λ ηµατο εχουνληφθε ι ετσι ωστε m(x 2 x 1 ) 2 /(t 2 t 1 ) = 12π (σωµατ ιδιοµεεξαιρετικ αµικρ ηµ αζα). Τα 500 διαν υσµατα Z j /Nε ιναισχεδιασµ ενατο εναπ ισωαπ οτο αλλοσχηµατ ιζοντα τηδιπλ η αυτ ησπε ιρα.οιδιαδροµ ε πλησ ιοντη κλασικ η διαδροµ η (στοµ εσοτουδιαγρ αµµατο ) εχουν Z i Z cl καικυριαρχο υνστονυπολογισµ οτη Ψ,επειδ ητααντ ιστοιχαδιαν υσµαταε ιναιπερ ιπουσυγγραµικ α,εν ωγιατι διαδροµ ε µακρι ααπ οτηνκλασικ ητα διαν υσµατ ατου σχηµατ ιζουνκ υκλου καιδενσυνεισφ ερουνσηµαντικ αστησυνολικ η κυµατοσυν αρτηση.αντοσωµατ ιδιοε ιχεπολ υµεγαλ υτερηµ αζα (κλασικ οσωµατ ιδιο), γιαπαρ αδειγµαανηπαρ αµετρο πουλ α αµεδεν ηταν 12αλλ α 12 10 30,οιπεριελ ιξει στι δ υοσπε ιρε τουσχ ηµατο θα ηταντ οσοπολλ ε, 10 30 φορ ε περισσ οτερε απ ο οσε ε ιναιτ ωρασχεδιασµ ενε, ωστετοδι ανυσµατη συνολικ η κυµατοσυν αρτηση θα ξεκινο υσεκαιθακατ εληγεστοκ εντροτωνδ υοσπειρ ων. πεδο ω ενα δι ανυσµα µοναδια ιου µ ηκου, στραµµ ενο κατ α γων ια S[x j (t)]/ ω προ τον αξονατωνπραγµατικ ωναριθµ ων.επειδ ηηκ αντοµηχανικ ηε ιναιγραµµικ ηθεωρ ια,ηκυµατοσυν αρτησητουσωµατιδ ιου θαε ιναικ αποιο γραµµικ ο συνδυασµ ο ολωντωνεπ ιµ ερου λ υσεων. ηλαδ η Ψ = A j Z j = A j e ıs j/, (1.10) λογοτη ποσ οτητα e ı dφ, οπου φηφ ασητουµετ ωπουκ υµατο καθ ω αυτ οακολουθε ι µιασυγκεκριµ ενηδιαδροµ η.

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΧΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΡΑΣΗΣ Τελικ αποιαδιαδροµ η ακολουθε ι ενα σωµατ ιδιο; Απ οδειξητου θεωρ ηµατο οτι fηdx = 0γιακ αθε ησυνεπ αγεται οτι f = 0 οπου jοδε ικτη πουκαθορ ιζειτηνκ αθεδιαδροµ ηκαι Aκ αποιασταθερ α κανονικοπο ιηση. Γιαδιαδροµ ε,ωστ οσο,γιατι οπο ιε ηδρ αση Sµετα αλλεταιπολ υ γρ ηγορασεσχ εσηµετηνποσ οτητα,ανπαραλλ αξουµελ ιγοτηδιαδροµ η, τα µιγαδικ α διαν υσµατα Z j προστιθ εµενα διαγρ αφουν κ υκλου (βλ. Σχ ηµα1.7)καιτοσυνολικ οτου αθροισµαε ιναιπερ ιπουµηδενικ ο.γιατι διαδροµ ε, οµω,πουπαρεκκλ ινουνελαφρ ω απ οτηδιαδροµ ηπουοδηγε ισεστ ασιµηδρ αση(α τηνονοµ ασουµεκλασικ ηδιαδροµ η)τα Z j ε ιναι σχεδ ον ισαµεεκε ινοτη κλασικ η διαδροµ η Z cl καιεποµ ενω ηγων ια µεταξ υαυτ ωντωνµιγαδικ ωνδιανυσµ ατωνπουαντιστοιχο υνσεγειτονικ ε διαδροµ ε ε ιναιαµελητ εα.τααντ ιστοιχαδιαν υσµατα, οντα σχεδ ον συγγραµµικ α,δ ινουν,ανπροστεθο υν, εναµηµηδενικ οδι ανυσµα,οπ οτεη πιθαν οτηταναπαρατηρ ησουµε ενασωµατ ιδιοπουακολο υθησεπερ ιπου τηνκλασικ ηδιαδροµ ηε ιναιιδια ιτεραµεγ αλη.ηκ αντοµηχανικ η,λοιπ ον, απ αντησηστοερ ωτηµαανηαρχ ηελ αχιστη δρ αση ε ιναιαπλ ω απ ορροιατουδυναµικο υν οµουτουνε υτωνα ηµιαβαθ υτερηαρχ ηπουκαθορ ιζειτι κιν ησει τωνσωµ ατωνε ιναιµ αλλοντοδε υτερο. Τασωµατ ιδια πρ αγµατιαπλ ωνονταισε ολοτοχ ωροκαιδοκιµ αζουνκ αθεαπ ιθανηδιαδροµ ηχωρ ι οµω ναδιασπ ωνταισεµικρ οτεραµ ερη. Οτανκ αθεσωµατ ιδιοκαταφθ ανειστοτελικ οσηµε ιοπαρατ ηρηση,απλ ω συµ αλλειµε τονεαυτ οτου αλλοτεενισχυτικ α(ανακολο υθησετηνκλασικ ηδιαδροµ η) και αλλοτεκαταστροφικ α(ανακολο υθησετροχι ε πουθαοδηγο υσανσε απελπισ ιακαιτον ιδιοτοννε υτωνα). Π ω µπορο υµε, οµω,ναε ιµαστε β ε αιοι οτιπρ αγµατικ ατιτ ετοιοσυµ α ινει;ηβε αι οτητ αµα πηγ αζει απ οτογεγον ο οτιταυποατοµικ ασωµατ ιδια, οτανβρ ισκονταιεγκλω ισµ ενασεκ αποιοπηγ αδιδυναµικο υπουκλασικ αδεντου επιτρ επεινα δραπετε υσουναπ οαυτ ο,καταφ ερνουνναδραπετε υσουν,ακολουθ ωντα προφαν ω απαγορευµ ενε διαδροµ ε. Προτο υκλε ισουµεαυτ οτοκεφ αλαιοκαιαρχ ισουµεστοεπ οµενοκεφ αλαιοναµαθα ινουµεπ ω νααντιµετωπ ιζουµεπρο λ ηµαταλογισµο υ µετα ολ ων,θααποδε ιξουµετηµαθηµατικ ηπρ οτασηπουεµφαν ιστηκε στοπρ ο ληµαπουπροσπαθ ησαµεναεπιλ υσουµε. ηλαδ η,ανηfε ιναι συνεχ η στοδι αστηµα [A, B]καιε ανισχ υει B A f(x)η(x)dx = 0 γιαοποιαδ ηποτεσυνεχ ησυν αρτηση η(x)στο ιδιοδι αστηµα,ηοπο ιασυνεπ ω δενµπορε ινααπειρ ιζεται,τ οτεηf(x)πρ επειναε ιναιταυτοτικ α µηδ εν. Απ οδειξη: Εστω οτιυπ αρχεικ αποιοσηµε ιο x 0 εντ ο τουδιαστ ηµατο [A, B]στοοπο ιοηf(x)λαµ ανειµηµηδενικ ητιµ η, εστωθετικ η. 5 Τ οτε,η f(x),επειδ ηε ιναισυνεχ η,θαλαµ ανεικαθαρ αθετικ ε τιµ ε καισεµ ια κλειστ ηπεριοχ η [x 1, x 2 ]γ υρωαπ οτοσηµε ιο x 0,ηοπο ιαπεριλαµ ανεται τιµ ε. 5 Ηαπ οδειξηε ιναι ιδιακαι οτανηfστηνπεριοχ ηαυτ ηλαµ ανεικαθαρ ααρνητικ ε

1.1. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ 17 στοδι αστηµα [A, B].Ανεπιλ εξουµετησυνεχ ησυν αρτηση { (x x1 )(x η(x) = 2 x), για x 1 x x 2 0, για x < x 1 και x > x 2, τ οτετοολοκλ ηρωµατη f(x)η(x)σε ολοτοδι αστηµα [A, B]ε ιναι x2 x 1 f(x)η(x)dx πουε ιναι ενα καθαρ αθετικ ο αριθµ ο δεδοµ ενου οτιηη(x)εκκατασκευ η καιηf(x)εξυποθ εσεω λαµ ανουνστοδι αστηµα [x 1, x 2 ]θετικ ε τιµ ε. 6 Καταλ ηγουµε,λοιπ ον,σε ατοπο. Ενα αλλο,γεωµετρικ ο αυτ ητηφορ α,τρ οπο νααντιληφθο υµετην ιανυσµατικ ηερµηνε ια παραπ ανωπρ οτασηπεριγρ αφεταιστησυν εχεια. Θεωρο υµετοολοκλ ηρωµα B A f(x)η(x)dx ω εναεσωτερικ ογιν οµενο (f, η)µεταξ υτωνδ υοσυναρτ ησεων (βλ.μαθηµατικ οπαρ αρτηµα).ηποσ οτητααυτ η εχει ολαταχαρακτηριστικ αεν ο εσωτερικο υγινοµ ενου: (i)ε ιναιµηδ εν,ανηµ ιααπ οτι δ υοσυναρτ ησει ε ιναιηµηδενικ η,(ii)τοεσωτερικ ογιν οµενοµια συν αρτηση µετονεαυτ ο τη ε ιναιθετικ αορισµ ενοκαι(iii)ε ιναιγραµµικ οε ιτεω προ τηνπρ ωτη ε ιτεω προ τηδε υτερησυν αρτηση,π.χ. (αf 1 + βf 2, η) = α(f 1, η) + β(f 2, η). Γιαναε ιναι,λοιπ ον,τοεσωτερικ ογιν οµενοτουδιαν υσµατο συν αρτηση fµεοποιοδ ηποτεδι ανυσµα-συν αρτηση ηµηδ εν,δενµπορε ι παρ ατοπρ ωτοδι ανυσµαναε ιναιµηδενικ ο,αφο υµ ονο εναµηδενικ οδι ανυσµαε ιναιδυνατ οναε ιναικ αθετοσεκ αθε αλλοδι ανυσµα.τηνπρ οταση αυτ ηθατηνεφαρµ οσουµεσεγενικ απρο λ ηµαταµετα ολ ωνσεεπ οµενα κεφ αλαια. τουπαραπ ανω θεωρ ηµατο 6 Στηναπ οδειξηυποθ εσαµεµ ονοτησυν εχειατη η(x). Ε αναπαιτο υντανεπιπλ εον η η(x)να εχεικαιτη n-οστ ηπαρ αγωγ οτη συνεχ η,τ οτελαµ ανοντα στοενλ ογωδι αστηµατην η(x) = (x x 1 ) n+1 (x 2 x) n+1 θακαταλ ηγαµεκαιπ αλιστοσυµπ ερασµα οτι η f(x)πρ επειναε ιναιταυτοτικ αµηδενικ η.

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΧΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΡΑΣΗΣ 1.2 Προ λ ηµατα 1. Ενα κολυµ ητ η βρισκ οµενο στηνπαραλ ια,σεαπ οσταση ααπ ο τηνακτ η,αντιλαµ ανεται οτικ αποιο λου οµενο,οοπο ιο βρ ισκεταισεαπ οσταση βαπ οτηνακτ η,κινδυνε υειναπνιγε ι.ανηπαρ αλληληµετηνακτ ηαπ οστασηµεταξ υτουκολυµ ητ ηκαιτουανθρ ωπουπουκινδυνε υειε ιναι γκαιηταχ υτητατουκολυµ ητ ηστηναµ- µουδι ακαιστηθ αλασσαε ιναι u 1, u 2 αντ ιστοιχα,βρε ιτετηνσυντο- µ οτερησεχρ ονοδιαδροµ ηπουπρ επειναεπιλ εξειοκολυµ ητ η για ναφτ ασειτον ανθρωποπουκινδυνε υει.επι ε αι ωστε οτιγιατην καλ υτερηαυτ ηδιαδροµ ηισχ υειον οµο δι αθλαση τουsnell u 1 u 2 = sin θ 1 sin θ 2, οπου θ 1, θ 2 ε ιναιοιγων ιε πρ οσπτωση καιδι αθλαση,δηλαδ ηοι γων ιε πουσχηµατ ιζουνοιδ υοευθ υγραµµε διαδροµ ε (εκτ ο και εντ ο τη θ αλασσα )µετηνκ αθετηστηνακτογραµµ η.ηπαραπ ανω εκφρασηε ιναιταυτ οσηµηµετον οµοτη δι αθλαση τουφωτ ο (ν ο- µο τουsnell),δι οτιηταχ υτητατουφωτ ο σε εναµ εσοµεδε ικτη δι αθλαση nε ιναι u = c/n, οπου cηταχ υτητατουφωτ ο στοκεν ο. Ετσιηπαραπ ανω εκφραση,εφαρµοζ οµενησεµιαφωτειν ηδιαδρο- µ ηπουαλλ αζειοπτικ οµ εσοδ ινει n 1 sin θ 1 = n 2 sin θ 2. h(t) = 4at(T t) T 2. 2. Οτανεπιχειρ ησαµεναελαχιστοποι ησουµετηδρ ασηγιαµιαµπ αλα πουανε α ινεικαικατε α ινειµ εσαστοβαρυτικ οπεδ ιοτη Γη,καταλ ηγοντα στοαρχικ οσηµε ιοµ εσασεχρ ονο T,µ ιααπ οτι οικογ ενειε διαδροµ ωνπουδοκιµ ασαµε ηταντη µορφ η Αναζητ ωντα τοελ αχιστοτη αντ ιστοιχη δρ αση ω προ τηνελε υθερηπαρ αµετρο a,καταλ ηξαµεκαιστοσωστ ο υψο καιστησωστ ηεξ ισωσηκ ινηση. Σ υµφωναµε οσαµ αθαµεω τ ωρασχετικ α µετηνκ αντοµηχανικ ηθε ωρησητωνσωµατιδ ιων,ανηδρ ασηµετα αλλεταιραγδα ιασυγκριτικ αµετηνκ αντοµηχανικ ηποσ οτητα = 1.054 10 34 Joule s,τ οτεε ιναιεξαιρετικ ααπ ιθανοναπραγ- µατοποιηθε ιηαντ ιστοιχηδιαδροµ η,µεαποτ ελεσµαναµηνπαρατηρε ιται.υπολογ ιστετηδιαφορ α υψου µεταξ υτη κλασικ ασωστ η διαδροµ η καιµια παραπλ ησια µετησωστ ηδιαδροµ η,τη παραπ ανωµορφ η,πουδιαφοροποιε ιτηδρ ασηακρι ω κατ α. 3.Ξεκιν ωντα απ οτηναρχ ηελ αχιστη δρ αση,καταλ ηξαµεστοδε υτερον οµοτουνε υτωναγια ενασωµατ ιδιοπουκινε ιταισεµ ιαδι ασταση.επαναλ α ετετηδιαδικασ ιαγια ενασωµατ ιδιοπουκινε ιται στοντρισδι αστατοχ ωρο. 4.Υλικ οσωµατ ιδιοκινε ιταισεµ ιαδι αστασηµ εσασεπηγ αδιδυναµικο υπου εχειτηµορφ ητουακ ολουθουσχ ηµατο.ανηαρχικ ηκαιη

1.2. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 19 τελικ ηθ εσητουσωµατιδ ιουε ιναι x(0) = b < aκαι x(t) = b > a αντ ιστοιχα,υπολογ ιστετηδρ ασηω συν αρτησητωνχρ ονωνστου οπο ιου τοσωµατ ιδιοδι ερχεταιαπ οτασηµε ια aκαι a.τικ ινηση εκτελε ιτοσωµατ ιδιοσταενδι αµεσαδιαστ ηµατασταθερο υδυναµικο υ ωστεοιεπ ιµ ερου δρ ασει ναε ιναιελ αχιστε ;Γιαποιε τιµ ε τωνδ υοαυτ ωνχρ ονωνελαχιστοποιε ιταιηολικ ηδρ αση;ποιο ε ιναι ολ ογο τωνταχυτ ητωντουσωµατιδ ιουστατρ ιααυτ αδιαστ ηµατα; 5.Γρ αψτετηνελ αχιστητιµ ητη δρ αση εν ο ελε υθερουσωµατιδ ιου σετρει διαστ ασει ω συν αρτησητη αρχικ η καιτη τελικ η θ εση x 1, x 2 τουσωµατιδ ιουκαιτωναντ ιστοιχωνχρ ονων t 1, t 2 καιεπι ε- αι ωστε οτιηορµ ηκαιηεν εργειατουσωµατιδ ιουδ ινονταιαπ οτι σχ εσει p = S = S x 2 x 1 και E = S t 2 = S t 1. ε ιξτεακ οµη οτιηδρ ασητουελε υθερουσωµατιδ ιουικανοποιε ιτην καλο υµενηεξ ισωσηhamilton-jacobi S t + 1 2m ( S) 2 = 0. 6.Υλικ οσηµε ιοµ αζα mκινε ιταισεµ ιαευθε ιαυπ οτηνεπ ηρειαδυνα- µικο υαρµονικο υταλαντωτ η.γρ αψτετηλαγκρανζιαν ησυν αρτηση τουαρµονικο υταλαντωτ η.υποθ εστε οτιδενγνωρ ιζετετηνκ ινηση πουεκτελε ιτουλικ οσηµε ιο,αλλ α εχετεδιαπιστ ωσει οτιηκ ινησηε ιναιπεριοδικ ηµεπερ ιοδο T ( οχικατ αν αγκηηµιτονοειδ η ).Προσδιορ ιστετηφυσικ ηκ ινησηβρ ισκοντα γιαποιατιµ ητωνπαραµ ετρων a 1, a 2,...ηδρ ασηκαθ ισταταιστ ασιµηγιαδιαδροµ ε τη µορφ η x(t) = a j cos(jωt), j=0 για 0 t T, οπου ω = 2π/T.

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. ΑΡΧΗ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΡΑΣΗΣ 7.Σε ενανκ οσµοµονοδι αστατοδ υο ιδιασωµατ ιδιααλληλεπιδρο υνµε δυν αµει νευτ ωνειουτ υπου,δηλαδ ητοδυναµικ οαλληλεπ ιδρασ η του εχειτηµορφ η V (x 1 x 2 ).Τηχρονικ ηστιγµ η t = 0τασωµατ ιδιαβρ ισκονταιστι θ εσει x 1 (0) = a, x 2 (0) = a. Υστερααπ ο χρ ονο t = Tτασωµατ ιδια εχουνανταλλ αξειθ εσει καιβρ ισκονται στι θ εσει x 1 (T) = a, x 2 (T) = a. (α) ε ιξτε οτιηδρ ασητουσυστ ηµατο καθ ισταταιελ αχιστηανσε κ αθεχρονικ ηστιγµ ηε ιναι x 1 (t) = x 2 (t). [Υπ οδειξη: οκιµ αστεδιαδροµ ε οπου x 1 (t) = f(t) + h(t), x 2 (t) = f(t) + h(t).] (β)σεποιοσυµπ ερασµακαταλ ηγετεσχετικ αµετηνκ ινησητουσυστ ηµατο στοντρισδι αστατοχ ωρο x 1, x 2, t;σχεδι αστετηνεπιφ α- νειαεπ ανωστηνοπο ιακινε ιταιτοσ υστηµα.ποιαπληροφορ ιααντλο υ- µεαπ οτοε ιδο κ ινηση τουενλ ογωσυστ ηµατο σχετικ αµετηνκ ινησητουκ εντρουµ αζα τωνσωµατιδ ιων; (γ)γρ αψτετηδρ ασητωνσωµατιδ ιωνσεσυντεταγµ ενε κ εντρουµ αζα X = (x 1 +x 2 )/2καισχετικ η θ εση ξ = x 2 x 1. Εχετε ηδηβρει τοελ αχιστοτη δρ αση ω προ τησυντεταγµ ενητουκ εντρουµ αζα.η ξξεκιν ατηχρονικ ηστιγµ η t = 0απ οτηντιµ η 2aκαικαταλ ηγειστηντιµ η +2a υστερααπ οχρ ονο T.Α θεωρ ησουµετ ωραδ υο πολ υµικρ αχρονικ αδιαστ ηµατα (, + t), (t B, t B + t)κατ ατα οπο ιαησχετικ ηθ εσηε ιναιαντ ιστοιχα ξ A = ξ0 και ξ B = ξ0. ε ιξτε οτιδεδοµ ενουτουσυνολικο υδιαστ ηµατο πουθαδιανυθε ισταδ υο αυτ αχρονικ αδιαστ ηµαταηαντ ιστοιχηδρ ασηκαθ ισταταιελ αχιστη οταν dξ/dt A = dξ/dt B.Τιπληροφορ ιααντλο υµεαπ οαυτ οτοσυ- µπ ερασµα οσοναφορ αστοχρ ονοπουχρει αζονταιταδ υοσωµατ ιδιαγιανασυγκρουστο υνκαιναπερ ασουντο εναµ εσααπ οτο αλλο;μπορο υµεαπ οτηναν αλυσητη κ ινηση ναεξαγ αγουµεκ αποιο συµπ ερασµασχετικ αµετοανδιατηρε ιται η οχιηεν εργειατωνσω- µατιδ ιων;