ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Έστω συνάρτηση ζήτησης με τύπο Q = 200 4P. Να βρείτε: α) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή αυξάνεται από 10 σε 12. 1ος τρόπος Αν P 0 10 τότε Q 0 200 410 160 και αν P 1 12 τότε Q 1 200 412 152. Συνεπώς με αντικατάσταση στη σχέση που μας δίνει την ελαστικότητα ως προς την τιμή προκύπτει: Q / PP / Q Q Q 1 0 P 0 152 160 10 1/ 4 0, 25 D 0 0 P P Q 12 10 160 1 0 0 2ος τρόπος (δεν συμπεριλαμβάνεται στο σχολικό βιβλίο) Η ελαστικότητα ως προς την τιμή είναι το γινόμενο της κλίσης της ευθείας (ή εναλλακτικά της πρώτης παραγώγου ) της συνάρτησης ζήτησης ως προς την τιμή επί το λόγο P / Q. Συνεπώς στη συγκεκριμένη συνάρτηση Q 200 4P παίρνουμε Q / P 4 και συνεπώς: D 410 /160 1/ 4 0, 25 Παρατηρούμε ότι και στις δύο εναλλακτικές μεθόδους επίλυσης, ο λόγος P / Q υπολογίζεται με βάση το σημείο στο οποίο μας ενδιαφέρει η εύρεση της ελαστικότητας, δηλαδή στο αρχικό σημείο (P=10, Q=160). β) Να υπολογιστεί η μεταβολή και η ποσοστιαία μεταβολή της συνολικής δαπάνης των καταναλωτών μεταξύ των δύο σημείων. Στην τιμή P 0 10 η ζητούμενη ποσότητα ισούται με υπολογίζεται ως Q 0 160 και συνεπώς η δαπάνη ά P 0 Q 0 10160 1600 Αντίστοιχα στην τιμή P 1 12 η ζητούμενη ποσότητα ισούται με Q 1 152 και συνεπώς η δαπάνη υπολογίζεται ως ά P 1 Q 1 12152 1824 Συνεπώς η μεταβολή της δαπάνης ισούται με 1824 1600 224 και η ποσοστιαία μεταβολή της ισούται με: % μεταβολή δαπάνης τελική δαπάνη αρχική δαπάνη 100 1824 1600 100 14% αρχική δαπάνη 1600 economicstudies.webnode.gr Σελίδα 1

γ) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή ισούται με 10. Λειτουργούμε ακριβώς όπως στο 2 ο τρόπο του πρώτου ερωτήματος. Θα καταλήξουμε σε D 410 /160 1/ 4 0, 25 Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε ως δεύτερο σημείο όποιο θέλουμε, αφού έχοντας τον αλγεβρικό τύπο της ζήτησης μπορούμε να υπολογίσουμε οποιοδήποτε σημείο της. Για παράδειγμα σε P = 0 έχουμε Q = 200 οπότε: 200 160 10 D 0, 25 0 10 160 δ) Το σημείο της ζήτησης στο οποίο η συνολική δαπάνη των καταναλωτών μεγιστοποιείται. Ποια είναι η μέγιστη συνολική καταναλωτική δαπάνη; Η ΣΔ μεγιστοποιείται στο μέσο της ζήτησης. Συνεπώς: P διάγραμμα 2.14 25 Μ 100 Q σε Ρ = 0: Q = 200, οπότε Q M = 100 σε Q = 0: Ρ = 50, οπότε Ρ M = 25 maxσδ = 2550 1250 ε) Τα σημεία της ζήτησης στα οποία η συνολική δαπάνη των καταναλωτών ισούται με 2400. Ποιο από τα σημεία ανήκει σε ανελαστική περιοχή της ζήτησης; Έχουμε 2400 P (200 4P) P 1 20 ή P 2 30, οπότε Q 1 120 ή Q 2 80. Το σημείο που βρίσκεται σε ανελαστική περιοχή ζήτησης είναι το (P=20, Q=120), αφού βρίσκεται κάτω από το μέσο Μ. economicstudies.webnode.gr Σελίδα 2

2. Δίνεται ο επόμενος πίνακας που αφορά τη ζήτηση για ένα αγαθό. α) Να υπολογίσετε την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο Α του πίνακα. ΣΗΜΕΙΑ P Q Α 4 100 Β 5 90 Αφού μας ζητούν την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο Α θα πρέπει να χρησιμοποιήσουμε αυτό το σημείο ως αρχικό και το Β ως τελικό. Συνεπώς: Q P 90 100 4 0, 4 D P Q 5 4 100 β) Αν υποθέσουμε ότι η συνάρτηση ζήτησης που προκύπτει από τον πίνακα είναι ευθεία να βρείτε την αλγεβρική σχέση που την περιγράφει. Με βάση τη συνάρτηση που θα βρείτε, να υπολογίσετε τη μέγιστη δυνατή τιμή για την οποία θα υπάρχει ζήτηση. Η ευθεία συνάρτηση ζήτησης περιγράφεται από τη γενική σχέση: Q a P με 0 Συνεπώς από τα στοιχεία του πίνακα μπορούμε να καταλήξουμε σε ένα απλό σύστημα δύο εξισώσεων για να υπολογίσουμε τις ακριβείς τιμές των παραμέτρων a,. Συγκεκριμένα: 100 a 4 10 10 και 100 a 40 a 140 90 a 5 Επομένως η συνάρτηση ζήτησης περιγράφεται από τη σχέση: Q 140 10 P Με δεδομένη τη συνάρτηση ζήτησης και γνωρίζοντας ότι η ζητούμενη ποσότητα δεν μπορεί να είναι αρνητική, θέτουμε Q 0 και υπολογίσουμε τη μέγιστη τιμή για την οποία έχει νόημα η συγκεκριμένη συνάρτηση ζήτησης. Έχουμε λοιπόν: 0 140 10P P 14 economicstudies.webnode.gr Σελίδα 3

3. Έστω ότι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή για ένα αγαθό ισούται με ε d = -1,5. Όταν η τιμή του αγαθού μειώνεται κατά 5% να υπολογιστεί: α) Η ποσοστιαία μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας. Σε αυτήν την περίπτωση, όπου έχουμε ποσοστιαίες μεταβολές τιμής και ποσότητας, θα χρησιμοποιήσουμε τη σχέση: Q% D P% Συνεπώς η μεταβολή της ζητούμενης ποσότητας υπολογίζεται ως εξής: 1,5 Q%/ P% 1,5 Q%/ 5% Q% 7,5% β) Η ποσοστιαία μεταβολή της δαπάνης των καταναλωτών. και Σε εφαρμογές αυτής της μορφής είναι πολύ χρήσιμη η έκφραση των τελικών τιμών και ποσοτήτων σε σχέση με τις αρχικές ως εξής: P 1 P 0 5% P 0 P 0 0, 05 P 0 0,95 P 0 [ή εναλλακτικά P 1 P 0 1 5% P 0 1 0, 05 0,95 P 0 ] Q 1 Q 0 7,5%Q 0 Q 0 0, 075Q 0 1, 075Q 0 [ή εναλλακτικά Q 1 Q 0 1 7,5% Q 0 1 0, 075 1, 075Q 0 ] Η τελική δαπάνη των καταναλωτών μπορεί να εκφραστεί με τη σχέση: P 1 Q 1 0,95Q 0 1, 075P 0 1, 02125P 0 Q 0 Τέλος ο υπολογισμός της ποσοστιαίας μεταβολής της δαπάνης γίνεται με βάση τη σχέση: % μεταβολή δαπάνης τελική δαπάνη αρχική δαπάνη 100% αρχική δαπάνη οπότε με αντικατάσταση προκύπτει: % μεταβολή δαπάνης 1, 02125P 0 Q 0 P 0 Q 0 100% 1, 02125 1 100% 2,125%. P 0 Q 0 1 economicstudies.webnode.gr Σελίδα 4

4. Αν Q = 2000-0,5P είναι η συνάρτηση ζήτησης για ένα αγαθό, να βρεθεί το σημείο στο οποίο η ελαστικότητα ως προς την τιμή είναι μοναδιαία. α τρόπος Q P 0 2000 0,5P 1 2000 0,5P 0 P 0 Αφού D 1 1 1 P Q 0 P 1 P 0 2000 0,5P 0 που μετά τις απαραίτητες πράξεις μας δίνει P 0 2000 και συνεπώς με αντικατάσταση στον τύπο της ζήτησης Q 0 1000. β τρόπος (με τη χρήση της κλίσης) Η ελαστικότητα μπορεί να υπολογιστεί με την κλίση (στην ουσία με την παράγωγο ως προς την τιμή), οπότε D 1 Q / PP / Q 1 1 0,5P / Q Q 0,5P. Όμως επειδή Q 2000 0,5P με αντικατάσταση παίρνουμε 0,5P 2000 0,5P P 2000. Συνεπώς η ζητούμενη ποσότητα σε επίπεδο τιμής 2000 μονάδων θα ισούται με Q 2000 0,5 2000 1000. γ τρόπος (γεωμετρικά ο πιο δημοφιλής τρόπος για μαθητές Λυκείου) Η ελαστικότητα της ζήτησης για την τιμή είναι μονάδα (σε απόλυτο) στο μέσο της ευθείας (γραμμικής) ζήτησης. Συνεπώς αρκεί να προσδιορίσουμε το μέσο της ζήτησης: P 4000 διάγραμμα 2.15 2000 Μ 1000 2000 Q σε Ρ = 0: Q = 2000, οπότε Q M = 1000 σε Q = 0: Ρ = 4000, οπότε Ρ M = 2000 economicstudies.webnode.gr Σελίδα 5

5. Ο επόμενος πίνακας δίνει τη ζητούμενη ποσότητα που αντιστοιχεί σε διάφορα επίπεδα τιμών και εισοδήματος. α) Αν η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο Α ισούται με ε D = -1, τότε ποια είναι η ζητούμενη ποσότητα στο σημείο Γ; ΣΗΜΕΙΑ P Q Y Α 10 100 10000 Β 10 110 12000 Γ 12 X 10000 Δ 12 88 12000 Ε 15 70 12000 Η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή έχει νόημα όταν οι άλλοι προσδιοριστικοί παράγοντες της ζήτησης είναι σταθεροί (ceteris paribus). Ένας από τους παράγοντες αυτούς είναι και το εισόδημα, το οποίο είναι σταθερό για τα σημεία Α και Γ. Συνεπώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ελαστικότητα τιμής μεταξύ αυτών των σημείων οπότε: 1 1 x 100 10 10x 1000 200 x 80 D 12 10 100 β) Με βάση την εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης στο σημείο Γ, να χαρακτηρίσετε το αγαθό που αφορούν τα στοιχεία του πίνακα. Πρέπει να υπολογίσουμε την εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης ανάμεσα σε σημεία όπου η τιμή του αγαθού παραμένει σταθερή. Τέτοια σημεία είναι τα Α και Β ή τα Γ και Δ. Αφού μας ζητείται να χαρακτηρίσουμε το αγαθό με βάση το τι συμβαίνει στο σημείο Γ θα χρησιμοποιήσουμε τις μεταβολές ανάμεσα στα σημεία Γ και Δ. και συνεπώς: Y Q / Y Y / Q 8 / 200010000 / 80 0,5 Αυτή η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης μας οδηγεί στο χαρακτηρισμό του αγαθού ως κανονικό, αφού είναι θετική αλλά μικρότερη της μονάδας. economicstudies.webnode.gr Σελίδα 6

Παρατήρηση: Δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την εισοδηματική ελαστικότητα όταν μεταβάλλεται η τιμή, όπως δεν μπορούμε να υπολογίσουμε και την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν μεταβάλλεται το εισόδημα. Τα στοιχεία του πίνακα μπορούν να μας δώσουν ουσιαστικά δύο καμπύλες ζήτησης για το αγαθό, όπως παρουσιάζονται στο διάγραμμα 2.16, όπου τα σημεία Α και Γ ανήκουν στην καμπύλη ζήτησης D 1 και τα σημεία Β, Δ και Ε στην καμπύλη ζήτησης D 2. διάγραμμα 2.16 Ρ D 2 15 D 1 Ε 14 13 12 Γ Δ 11 10 Α Β 0 Q 70 80 100 110 6. Αν η αύξηση του εισοδήματος κατά 10% οδηγεί σε μείωση της ζητούμενης ποσότητας του αγαθού Α κατά 8% και σε αύξηση της ζητούμενης ποσότητας του αγαθού Β κατά 5%, να υπολογίσετε τις εισοδηματικές ελαστικότητες των δύο αγαθών και να τα χαρακτηρίσετε με βάση αυτές. Για το αγαθό Α Η εισοδηματική ελαστικότητα, όταν γνωρίζουμε ποσοστιαίες μεταβολές εισοδήματος και ποσότητας, υπολογίζεται με τη σχέση: Για το αγαθό Β Αντίστοιχα προκύπτει ότι: Q% 8% 0,8 Y % 10% Q% 5% 0,5 Y % 10% Συνεπώς η αρνητική εισοδηματική ελαστικότητα του Α μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για κατώτερο αγαθό, ενώ η θετική εισοδηματική ελαστικότητα του Β μας οδηγεί στο συμπέρασμα ότι πρόκειται για κανονικό αγαθό (αλλά όχι ανώτερο ή πολυτελείας, αφού 0 Y 1). economicstudies.webnode.gr Σελίδα 7

7. Έστω ότι αρχικά ζητείται ποσότητα 100 τεμαχίων σε τιμή 10 ευρώ. Η τιμή αυξάνεται σε 12 ευρώ με ελαστικότητα ζήτησης ε D =-2. Στη συνέχεια το εισόδημα αυξάνεται κατά 80% με ε Υ =1/2. Ποια θα είναι η τελική (μετά την ολοκλήρωση όλων των μεταβολών) ζητούμενη ποσότητα; Όπως γνωρίζουμε, η χρήση της ελαστικότητας για την τιμή απαιτεί σταθερούς όλους τους προσδιοριστικούς παράγοντες της ζήτησης και συνεπώς σταθερό εισόδημα και η χρήση της ελαστικότητας για το εισόδημα απαιτεί, αντίστοιχα, σταθερούς όλους τους άλλους προσδιοριστικούς παράγοντες της ζήτησης και επιπλέον σταθερή τιμή. Συνεπώς, θα υπολογίσουμε την επίδραση στην ποσότητα από τις μεταβολές τιμής και εισοδήματος με τη σειρά που δίνονται στην εκφώνηση. Αρχικά υπολογίζουμε την επίδραση της αύξησης της τιμής: 2 Q 100 10 12 10 100 Q 60 Στη συνέχεια υπολογίζουμε την επίδραση της αύξησης του εισοδήματος: 1/ 2 Q% Q% 40% 80% και συνεπώς Q 601 40% 84 Παρατήρηση: Ο υπολογισμός της επίδρασης της τιμής γίνεται με αρχική ποσότητα το 100, ενώ ο υπολογισμός της επίδρασης του εισοδήματος γίνεται με αρχική ποσότητα το 60. 8. Ένα αγαθό ισορροπεί αρχικά στην αγορά σε σημείο όπου (Q 0 =100, P 0 =10). Σε αυτό το σημείο η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή είναι ε D = -0,8 και η εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης ε Υ =1,2. Η προβλεπόμενη αύξηση του εισοδήματος των καταναλωτών, με βάση τις εκτιμήσεις παραγόντων της αγοράς, θα είναι 5% στο άμεσο μέλλον. α) Αν η επιχείρηση, που παράγει το συγκεκριμένο προϊόν, επιθυμεί να αυξήσει την τιμή του προϊόντος της πριν την αύξηση του εισοδήματος των καταναλωτών, έτσι ώστε μετά την αύξηση του εισοδήματος να παραμείνει η ζητούμενη ποσότητα στο επίπεδο των Q 0 =100, όπου βρίσκεται και σήμερα, τότε ποια τιμή θα επιλέξει; Η αύξηση της τιμής θα προηγηθεί της αύξησης του εισοδήματος. Έστω P 1 η νέα τιμή που επιβάλλει η επιχείρηση και Q 1 η νέα ποσότητα που θα προκύψει. Με βάση την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή θα έχουμε: Q P 0,8 Q 100 1 10 D P Q P 1 10 100 Q 1 8P 1 180 (1) Μετά την αύξηση του εισοδήματος κατά 5% η εισοδηματική ελαστικότητα μας δίνει economicstudies.webnode.gr Σελίδα 8

1, 2 1, 2 Q% Q% 6% (2) Y 5% Αν υποθέσουμε ότι η νέα (και τελική) ζητούμενη ποσότητα είναι η Q 2 τότε προκύπτει ότι Q% Q Q 2 1 100 6% Q 2 1 0, 06 Q 2 1, 06 Q 1, 06 Q. 2 1 Q 1 Q 1 Q 1 Όμως η τελική ποσότητα Συνεπώς: Q 2 η επιχείρηση επιθυμεί να ισούται με την αρχική Q 0 100. 100 1, 06Q 1 Q 1 94,34 και με αντικατάσταση η (1) γίνεται: 94,34 8P 1 180 8P 1 85, 66 P 1 10, 7 Το διάγραμμα 2.17 μας δίνει μια σχηματική αναπαράσταση των μεταβολών της ισορροπίας: Ρ διάγραμμα 2.17 Ρ 1 Β Γ 10 Α D 2 D 1 Q 1 100 Q Από το σημείο Α μετακινήθηκε στο Β και τέλος στο Γ, σύμφωνα με την παραπάνω ανάλυση. β) Αν η επιχείρηση αυξήσει την τιμή μετά την αύξηση του εισοδήματος με σκοπό να επαναφέρει τη ζητούμενη ποσότητα στο επίπεδο Q=100, τότε ποια τιμή θα επιλέξει, με δεδομένο ότι η ελαστικότητα ως προς την τιμή στο σημείο όπου P=10 θα συνεχίσει να ισούται με ε D = -0,8 και μετά την αύξηση του εισοδήματος; Σε αυτήν την περίπτωση η αύξηση του εισοδήματος προηγείται και συνεπώς με την εισοδηματική ελαστικότητα ζήτησης μπορούμε να υπολογίσουμε ότι: 1, 2 Q% 1, 2 Q% 1, 2 Q% 6% Y % 5% Αν Q 1 η νέα ποσότητα τότε: Q 1 Q 0 1 6% Q 1 1001 0, 06 Q 1 1001, 06 106 Η μεταβολή της τιμής στη συνέχεια σε P 1 θα μεταβάλλει και την ποσότητα σε Q 2, η οποία, όμως, σύμφωνα με την επιχείρηση πρέπει να ισούται με Q 2 Q 0 100. Άρα θα έχουμε 0,8 0,8 100 106 10 60 0,8 P 10, 7. D 1 P 1 10 106 106P 1 1060 economicstudies.webnode.gr Σελίδα 9

Ρ διάγραμμα 2.18 Ρ 1 Γ 10 Α Β D 2 D 1 100 106 Q Το διάγραμμα 2.18 περιγράφει τις μεταβολές της ισορροπίας που αρχικά βρισκόταν στο σημείο Α, έπειτα μετακινήθηκε στο Β και τέλος κατέληξε στο Γ. Παρατηρούμε τη διαφορετική ροή της μεταβολής των σημείων σε σχέση με το προηγούμενο ερώτημα. 9. Δίνονται οι επόμενοι πίνακες που αφορούν την ατομική ζήτηση δύο καταναλωτών για ένα συγκεκριμένο αγαθό. Με την προϋπόθεση ότι αυτοί οι καταναλωτές είναι και οι μοναδικοί: ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗΣ Α ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗΣ Β P Q A P Q B 50 100 5 80 10 90 10 60 α) Να κατασκευάσετε τον αντίστοιχο πίνακα αγοραίας ζήτησης. Η αγοραία ζήτηση υπολογίζεται με την οριζόντια άθροιση των ατομικών καμπύλων ζήτησης, δηλαδή με τον υπολογισμό της συνολικής ζητούμενης ποσότητας σε κάθε επίπεδο τιμών. Συνεπώς σε επίπεδο P 5 η συνολικά ζητούμενη ποσότητα ισούται με: Q A Q B 100 80 180 και σε επίπεδο P 10 η συνολικά ζητούμενη ποσότητα ισούται με: Q A Q B 90 60 150 Τελικά η αγοραία ζήτηση δίνεται από την πρώτη και την τελευταία στήλη του πίνακα: P Q A Q B Q ΣΥΝ 5 100 80 180 10 90 60 150 economicstudies.webnode.gr Σελίδα 10

β) Να υπολογίσετε τη γραμμική συνάρτηση που αποδίδει την καμπύλη ζήτησης. Η γραμμική συνάρτηση ζήτησης δίνεται από τη γενική σχέση Q a P με 0. Σύμφωνα με τα δεδομένα του πίνακα αγοραίας ζήτησης που κατασκευάσαμε, μπορούμε να υπολογίσουμε την ακριβή αλγεβρική της μορφή, με την επίλυση του επόμενου συστήματος: οπότε: 180 a 5 a 210 και β 6 150 a 10 Q D 210 6 P γ) Να υπολογίσετε την ελαστικότητα της αγοραίας ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο όπου P=5. Η ελαστικότητα στο σημείο όπου P 5, προκύπτει από τη σχέση: Q P 0 D P Q 0 αν αντικαταστήσουμε τα δεδομένα του πίνακα αγοραίας ζήτησης. Συνεπώς: 150 180 5 1 D 10 5 180 6 Παρατήρηση: Η εύρεση της ελαστικότητας ζήτησης ως προς την τιμή έχει νόημα επιστημονικά για μικρές μεταβολές της τιμής. Στη συγκεκριμένη εφαρμογή και γενικότερα σε εφαρμογές επιπέδου της Γ Λυκείου, οι μεταβολές των τιμών είναι σημαντικές, για να διευκολυνθούν οι αλγεβρικοί υπολογισμοί. economicstudies.webnode.gr Σελίδα 11

10. Οι επόμενοι πίνακες αφορούν την ατομική και συνολική ζήτηση δύο καταναλωτών Κ και Μ. Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση ζήτησης του Μ είναι ευθεία και ότι η ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο Α ισούται με ε D = -0,8. α) Να συμπληρώσετε τους πίνακες. ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗΣ Κ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗΣ Β ΣΥΝΟΛΙΚΑ P Q P Q P Q Α 10 100 Α 10 80 Α 10 φ Β 11 x Β 11 64 Β 11 ω Γ 12 y Γ 12 z Γ 12 128 Για να συμπληρώσουμε τον πίνακα πρέπει να υπολογίσουμε τις τιμές των x, y, z,,. Συγκεκριμένα: Για τον υπολογισμό του Στην τιμή P 10 η συνολικά ζητούμενη ποσότητα ισούται με: 100 80 180 Για τον υπολογισμό του z Η συνάρτηση ζήτησης του καταναλωτή Μ υπολογίζεται με την επίλυση του συστήματος: 80 a 10 16 και a 240 64 a 11 οπότε η συνάρτηση ζήτησης αποδίδεται με τη σχέση Q d 240 16P και με αντικατάσταση για P 12, η ζητούμενη ποσότητα ισούται με Για τον υπολογισμό του y z Q d 240 1612 48 Με δεδομένα τα στοιχεία που υπολογίσαμε παραπάνω προκύπτει ότι: y z 128 y 48 128 y 80 Για τον υπολογισμό του Αφού d 13/ 9 στο σημείο A αντικαθιστούμε στη σχέση υπολογισμού της ελαστικότητας και έχουμε: 13 180 10 9 1600 234 154 9 1110 180 Για τον υπολογισμό του x Με βάση τα παραπάνω προκύπτει ότι: x 64 x 64 154 x 90 β) Να υπολογίσετε την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή του καταναλωτή Κ στο σημείο Α καθώς και τη μέγιστη δαπάνη του ίδιου καταναλωτή. Μας ζητούν να υπολογίσουμε την ελαστικότητα ζήτησης ως προς την τιμή στο σημείο A και συνεπώς θα πάρουμε ως αρχικό σημείο το A και ως τελικό το B. Έχουμε: economicstudies.webnode.gr Σελίδα 12

90 100 10 d 1110 100 1 Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να πάρουμε ως αρχικό το σημείο A και ως τελικό το σημείο. Θα καταλήγαμε στο ίδιο αποτέλεσμα αφού: 80 100 10 d 12 10 100 1 Όπως γνωρίζουμε από τη θεωρία στο σημείο με μοναδιαία ελαστικότητα ως προς την τιμή, σε ευθείες συναρτήσεις ζήτησης, μεγιστοποιείται η δαπάνη των καταναλωτών. Αυτό το σημείο είναι στη συγκεκριμένη περίπτωση το A. 11. Δίνεται η συνάρτηση ζήτησης Q = 10-2P η οποία και αποδίδεται με το επόμενο διάγραμμα. τι μή Β διάγραμμα 2.19 2,5 Α 0 συνολ ική δαπά νη 5 ποσότητα Γ 0 5 ποσότητα Ζητείται: α) Να αποδώσετε αλγεβρικά τη συνάρτηση της συνολικής δαπάνης των καταναλωτών. Η συνολική δαπάνη των καταναλωτών υπολογίζεται με τη σχέση: P Q Συνεπώς αντικαθιστώντας τη συγκεκριμένη συνάρτηση ζήτησης, δηλαδή τη σχέση Q D 10 2P, προκύπτει η συνάρτηση: economicstudies.webnode.gr Σελίδα 13

P 10 2P 10P 2P 2 Επίσης θα μπορούσαμε να εκφράσουμε τη συνολική δαπάνη των καταναλωτών σε σχέση με τη ζητούμενη ποσότητα, αφού: Επομένως: Q 10 2P 2P 10 Q P 5 Q Q Q 2 P Q 5 Q 5Q 2 2 β) Να συμπληρώσετε το επόμενο διάγραμμα με κατάλληλη καμπύλη για τη δαπάνη των καταναλωτών. 2 τιμή Β διάγραμμα 2.20 2,5 Α 0 5 Γ 10 ποσότητα δαπάνη 0 5 10 ποσότητα Η γραφική απεικόνιση της συνάρτησης που υπολογίσαμε, δηλαδή της σχέσης: Q 2 δαπάνη 5Q 2 προϋποθέτει γνώσεις από τη θεωρία των συναρτήσεων. Συγκεκριμένα πρόκειται για συνάρτηση της μορφής y ax 2 x, με 1/ 2 0 (αρνητικό). Για να αποφύγουμε την εμπλοκή μαθηματικών σχέσεων που δεν ανήκουν στο άμεσο γνωστικό πεδίο των Αρχών Οικονομικής Θεωρίας μπορούμε να ακολουθήσουμε μια διαφορετική μέθοδο, το θεωρητικό υπόβαθρο της οποίας θα δανειστούμε από τη σχέση δαπάνης και ελαστικότητας ζήτησης ως προς την τιμή. economicstudies.webnode.gr Σελίδα 14

Γνωρίζουμε ότι η δαπάνη των καταναλωτών σε ευθείες συναρτήσεις ζήτησης ακολουθεί τη μεταβολή της ποσότητας για όσο η ζήτηση είναι ελαστική ( D 1). Αντίθετα η δαπάνη των καταναλωτών σε ευθείες συναρτήσεις ζήτησης ακολουθεί τη μεταβολή της τιμής για όσο η ζήτηση είναι ανελαστική ( D 1 ). Συνεπώς η δαπάνη των καταναλωτών μεγιστοποιείται στο σημείο όπου D 1, το οποίο γνωρίζουμε ότι είναι το μέσον της ευθείας που περιγράφει τη συγκεκριμένη ζήτηση. Πρέπει, λοιπόν, να υπολογίσουμε το μέσον της συνάρτησης ζήτησης που μας έχει δοθεί, η οποία είναι η ευθεία Q D 10 2P. Αφού στο σημείο Γ η τιμή ισούται με P 0, αντικαθιστώντας παίρνουμε ζητούμενη ποσότητα Q D 10 2 0 10. Επομένως το μέσον θα αντιστοιχεί στο μισό της απόστασης ΟΓ, δηλαδή σε σημείο όπου P 10 / 2 5, δηλαδή στο σημείο Α. Γνωρίζοντας επιπλέον ότι η συνάρτηση της δαπάνης θα είναι καμπύλη (με βάση την αλγεβρικής της μορφή που υπολογίσαμε προηγουμένως), μπορούμε να καταλήξουμε στο διάγραμμα 20. γ) Να βρείτε τη δαπάνη στο σημείο όπου P=4. Υπάρχει άλλη τιμή για την οποία η δαπάνη ισούται με αυτήν που υπολογίσατε για την P=4; Αν υπάρχει να την υπολογίσετε και σε κάθε περίπτωση να δικαιολογήσετε την απάντηση σας. Αν P 4 τότε Q d 10 2 4 2, οπότε η δαπάνη σε αυτήν την τιμή θα ισούται με: ά P Q 2 4 8 Εναλλακτικά θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τη συνάρτηση δαπάνης που υπολογίσαμε ώστε: Q2 22 ά 5Q 5 2 8 2 2 Για να βρούμε αν υπάρχει και άλλη τιμή για την οποία η δαπάνη ισούται με 8 μονάδες αντικαθιστούμε στη συνάρτηση δαπάνης και έχουμε: οπότε: και τελικά Q2 Q2 2 ά 5Q 8 5Q Q 10Q 16 0 2 2 100 416 36 Q 1 8 Q 10 6 ή 1,2 2 Q 2 Συνεπώς υπάρχουν δύο επίπεδα ζητούμενης ποσότητας τα οποία δίνουν δαπάνη ίση με 8 χρηματικές μονάδες. Με αντικατάσταση στη συνάρτηση ζήτησης μπορούμε να υπολογίσουμε και τις αντίστοιχες τιμές: Αν Q D 8 τότε 8 10 2P P 1 και Αν Q D 2 τότε 2 10 2P P 4 2 economicstudies.webnode.gr Σελίδα 15

Η αιτία της ύπαρξης δύο τιμών που δίνουν δαπάνη 8 χρηματικών μονάδων, είναι η μορφή της συνάρτησης δαπάνης, αφού πρόκειται για καμπύλη στην οποία κάθε επίπεδο δαπάνης (εκτός της μέγιστης) αντιστοιχεί σε δύο επίπεδα ποσοτήτων και κατά συνέπεια δύο διαφορετικών τιμών (διάγραμμα 2.21). δαπάνη διάγραμμα 2.21 8 0 2 5 8 10 ποσότητα 12. Η τιμή μειώνεται κατά 20% όταν η ελαστικότητα της ζήτησης για την τιμή είναι -2. Ποια είναι η ποσοστιαία μεταβολή της συνολικής δαπάνης των καταναλωτών; d 2 Q% 2 Q% 40% 20% Q 2 (1 40%)Q 1 1, 4Q 1 και P 2 (1 20%)P 1 0,8P 1 Οπότε: ποσοστιαία μεταβολή δαπάνης P 2 Q 2 P 1 Q 1 100% 0,8P 1 1, 4Q 1 P 1 Q 1 100% 12% P 1 Q 1 P 1 Q 1 13. Όταν η τιμή αυξάνεται κατά 20% τότε η συνολική δαπάνη μειώνεται κατά 16%. Ποια είναι η ελαστικότητα της ζήτησης για την τιμή; P 2 (1 20%)P 1 1, 2P 1 2 (116%) 1 0,84 1 P 2 Q 2 0,84P 1 Q 1 1, 2P 1 Q 2 0,84P 1 Q 1 Q 2 0, 7Q 1 Οπότε Q% Q Q 2 1 100% 30% και τελικά 30% 1, 5. d 20% Q 1 economicstudies.webnode.gr Σελίδα 16

14. Δίνεται ο επόμενος πίνακας ζήτησης: P Q Y Α 4 500 8000 Β 4 600 10000 Γ 5 480 10000 Δ 5 450 8000 Ε 6 400 10000 α) Σε πόσες καμπύλες ζήτησης ανήκουν τα σημεία του πίνακα; Τα σημεία Α και Δ ανήκουν σε ζήτηση με εισόδημα 8000, ενώ τα σημεία Β, Γ, Ε ανήκουν σε άλλη ζήτηση με εισόδημα 10.000. Συνεπώς οι καμπύλες ζήτησης του πίνακα είναι δύο. β) Πόσες ελαστικότητες ζήτησης (σημείου) για την τιμή μπορείτε να υπολογίσετε σε ζήτηση με εισόδημα 8000; Για να υπολογίσουμε μία ε d χρειαζόμαστε σταθερούς τους προσδιοριστικούς παράγοντες της ζήτησης και συνεπώς σταθερό εισόδημα. Επίσης έχει σημασία η σειρά με την οποία χρησιμοποιούμε τα σημεία στον τύπο υπολογισμού και συνεπώς θα παίρνουμε ένα ζευγάρι σημείων (που έχει σταθερούς τους άλλους προσδιοριστικούς παράγοντες) ΔΥΟ φορές (πχ. από Μ σε Ν και από Ν σε Μ). Τελικά στη συγκεκριμένη περίπτωση έχουμε d,, d, γ) Με βάση τη δαπάνη των καταναλωτών που μπορείτε να υπολογίσετε, να εκτιμήσετε την ακριβή αλγεβρική μορφή της ζήτησης για εισόδημα 10.000. Η ΣΔ για τα σημεία Β, Γ, Ε είναι σταθερή και ίση με 2400. Συνεπώς η ζήτηση για τα σημεία αυτά είναι ισοσκελής υπερβολή και ισούται με Q 2400 P Προσοχή: Η ΣΔ πρέπει να είναι σταθερή σε ΤΡΙΑ σημεία ώστε να μας επιτρέπει να εκτιμήσουμε ότι η ζήτηση είναι ισοσκελής υπερβολή. Υπάρχει το ενδεχόμενο μια ευθεία ζήτηση να έχει σε δύο σημεία της σταθερή ΣΔ, αλλά ποτέ σε τρία σημεία. δ) Ποια είναι η τοξοειδής ελαστικότητα ζήτησης μεταξύ των σημείων Β και Ε; 400 600 6 4 1 6 4 400 600 economicstudies.webnode.gr Σελίδα 17

Προσοχή: Η τοξοειδής ελαστικότητα στην ισοσκελή υπερβολή θα είναι πάντα μοναδιαία (όχι η ελαστικότητα σημείου όπως λανθασμένα γράφει το σχολικό βιβλίο). 14. Δίνεται ο επόμενος πίνακας ζήτησης: P Q Y P ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΤΟΥ Α 8 50 4000 6 Β 10 45 4000 6 Γ 10 48 4000 7 Δ 12 40 4000 7 Ε 15 46 5000 7 α) Σε πόσες καμπύλες ζήτησης ανήκουν τα σημεία του πίνακα; Οι προσδιοριστικοί παράγοντες ζήτησης που εμφανίζονται στον πίνακα είναι το εισόδημα και η τιμή του υποκατάστατου. Συνεπώς το ζεύγος των προσδιοριστικών παραγόντων πρέπει να παραμένει αμετάβλητο, ώστε τα σημεία να ανήκουν στην ίδια ζήτηση. Τελικά οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι: τα σημεία Α και Β ανήκουν σε μία ζήτηση τα σημεία Γ και Δ ανήκουν σε άλλη ζήτηση το σημείο Ε ανήκει σε μία τρίτη ζήτηση β) Πόσες ελαστικότητες ζήτησης (σημείου) για την τιμή μπορείτε να υπολογίσετε; Με το σκεπτικό της προηγούμενης απάντησης και, επιπλέον, με τη γνώση ότι η ε d από ένα σημείο προς ένα άλλο σημείο, διαφέρει αν πάρουμε τα σημεία αντίστροφα, μπορούμε να υπολογίσουμε 4 ελαστικότητες (από Α σε Β, από Β σε Α, από Γ σε Δ και από Δ σε Α). γ) Ποια είναι η ε d όταν η τιμή αυξάνεται από 8 σε 10; 45 50 8 D 10 8 50 0, 4 δ) Πόσες ελαστικότητες εισοδήματος μπορείτε να υπολογίσετε; Θα έπρεπε να έχουμε σταθερή τιμή και τιμή υποκατάστατου μεταξύ δύο σημείων, κάτι που δεν προκύπτει για κανένα ζευγάρι σημείων του πίνακα και συνεπώς δεν μπορούμε να υπολογίσουμε καμία εισοδηματική ελαστικότητα. economicstudies.webnode.gr Σελίδα 18

ε) Αν είχαμε ακόμα ένα σημείο Ζ στον πίνακα με P = 15, Q = 46, Y = 6000, P ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΤΟΥ = 7, να βρείτε την εισοδηματική ελαστικότητα όταν το εισόδημα αυξάνεται από 5000 σε 6000. Σε αυτήν την περίπτωση η εισοδηματική ελαστικότητα μπορεί να υπολογιστεί, αφού η τιμή του αγαθού και η τιμή του υποκατάστατου παραμένουν αμετάβλητες σε σχέση με το σημείο Ε. Συνεπώς: 46 46 5000 0 6000 5000 46 economicstudies.webnode.gr Σελίδα 19