Αναλυτικός υπολογισµός των πεδίων τάσεων και παραµορφώσεων γύρω από τυπικές πεταλοειδείς διατοµές ΝΑΤΜ

Αναλυτικός υπολογισµός των πεδίων τάσεων και παραµορφώσεων γύρω από τυπικές πεταλοειδείς διατοµές ΝΑΤΜ Ο. Αγγελοπούλου & Σ. Καρανάσιου Αγρονόµος Τοπογράφος Μηχανικός Ε.Μ.Π. Μ. Σακελλαρίου Αναπληρωτής Καθηγητής Ε.Μ.Π. Λέξεις κλειδιά: σήραγγα ΝΑΤΜ, αναλυτική λύση, σύµµορφη απεικόνιση, κατανοµή τάσεων, προκαλούµενες παραµορφώσεις, προκαλούµενες µετατοπίσεις. ΠΕΡΙΛΗΨΗ: Σε τυπική πεταλοειδή διατοµή σήραγγας διανοιγόµενης µε τη Νέα Αυστριακή Μέθοδο αναπτύσσεται µεθοδολογία για τον υπολογισµό του τασικού πεδίου και του πεδίου παραµορφώσεων λόγω της διάνοιξης. Το πρόβληµα θεωρείται επίπεδο εντός γραµµικού ελαστικού, οµογενούς και ισότροπου µέσου και προκύπτει αναλυτική λύση για ΝΑΤΜ µε την τεχνική της σύµµορφης απεικόνισης της θεωρίας των µιγαδικών συναρτήσεων. Πραγµατοποιήθηκαν εφαρµογές για τέσσερα τασικά πεδία και τα αποτελέσµατα αναφέρονται στην κατανοµή των τάσεων γύρω από τη σήραγγα, στις προκαλούµενες λόγω διάνοιξης παραµορφώσεις και µετατοπίσεις στις θέσεις οροφής και δαπέδου και στη σύγκριση των αποτελεσµάτων των προκαλούµενων µετατοπίσεων µε τις µετατοπίσεις που προκύπτουν από την εφαρµογή των εξισώσεων Kirsch για κυκλική διατοµή.. ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Η διάνοιξη σηράγγων µε τη Νέα Αυστριακή Μέθοδο χρησιµοποιείται ευρέως τα τελευταία χρόνια κατά την κατασκευή συγκοινωνιακών έργων υποδοµής (έργα οδοποιίας, κατασκευή metro) και για το λόγο αυτό οι µελέτες που αναφέρονται σε αυτή παρουσιάζουν έντονο ενδιαφέρον. Στην παρούσα εργασία θεωρείται συγκεκριµένη τυπική διατοµή µε δεδοµένη και γνωστή γεωµετρία, η οποία αποτελείται από διαδοχικά κυκλικά τόξα µε έναν άξονα συµµετρίας και ικανοποιεί τις αρχές και τις απαιτήσεις της µεθόδου διάνοιξης σηράγγων ΝΑΤΜ. Η ακριβής γεωµετρία της υπό µελέτη διατοµής παρουσιάζεται στο ακόλουθο σχήµα: 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25

Σχήµα. Τυπική διατοµή ΝΑΤΜ Σκοπός της παρούσας εργασίας είναι ο υπολογισµός των τάσεων, των ανηγµένων παραµορφώσεων και των µετατοπίσεων που προκαλούνται από τη διάνοιξη της σήραγγας. Για τον προσδιορισµό των παραπάνω µεγεθών επιλύεται το πρόβληµα µε βάση τη θεωρία ελαστικότητας, όπου το συνεχές µέσο θεωρείται γραµµικά ελαστικό, ισότροπο και οµογενές. Το πρόβληµα που πραγµατεύεται η παρούσα εργασία είναι πρόβληµα επίπεδης παραµόρφωσης, εφόσον µελετάται η διατοµή σε ενδιάµεση θέση της σήραγγας, µακριά από τα στόµια, όπου η µελέτη ανάγεται σε πρόβληµα επίπεδης έντασης. Η σήραγγα θεωρείται ότι είναι µία οριζόντια κυλινδρική οπή διατοµής αυτής που φαίνεται στο Σχήµα µε τον άξονά της παράλληλο στον άξονα z του ορθογώνιου συστήµατος συντεταγµένων x, yz,. Η διάστασή της κατά τον άξονα z είναι πολύ µεγάλη σε σύγκριση µε τις εγκάρσιες διαστάσεις της κατά το επίπεδο xy. Το µέσον είναι µη φραγµένο, το επίπεδο xy δηλαδή, είναι ο άπειρος χώρος. Η επίλυση του προβλήµατος είναι εφικτή µέσω των παραδοχών της θεωρίας γραµµικού ελαστικού, οµογενούς και ισότροπου µέσου. Ως «µέσον» νοείται η βραχοµάζα εντός της οποίας διανοίγεται η σήραγγα. Πολύ σηµαντική είναι η παραδοχή ελαστικής συµπεριφοράς χωρίς θεώρηση κριτηρίου αστοχίας. Η βασική τοποθέτηση του προβλήµατος δίνεται στο Σχήµα 2. Η σήραγγα φορτίζεται µε δυνάµεις κάθετες κατά µήκος του άξονα z και σταθερές ανά µονάδα µήκους. Το εξωτερικό πεδίο των αρχικών τάσεων (επί τόπου τάσεις) δίνεται από τις κύριες συνιστώσες P, kp και η P σχηµατίζει γωνία β µε τον κατακόρυφο άξονα κατά την αντίθετη φορά αυτής των δεικτών του ρολογιού. Οι τάσεις λόγω της διάνοιξης ανακατανέµονται. Σε σύστηµα πολικών συντεταγµένων ( ρ, θ ) οι εξ ανακατανοµής τάσεις είναι η ακτινική σ, η εφαπτοµενική σ και η διατµητική τ. Οι ρ θ ρθ µετατοπίσεις κατά την ακτινική και εφαπτοµενική διεύθυνση είναι αντίστοιχα οι u, u µε θετική ρ θ φορά αυτή που φαίνεται στο Σχήµα 2. 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25 2

Σχήµα 2. Καθορισµός προβλήµατος (σήραγγα σε µεγάλο βάθος) 2. ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ Μαθηµατικό εργαλείο για τους υπολογισµούς είναι η σύµµορφη απεικόνιση ως τεχνική της θεωρίας των µιγαδικών συναρτήσεων. Στα προβλήµατα της θεωρίας ελαστικότητας, όπου εφαρµόζεται η θεωρία των µιγαδικών συναρτήσεων, η γεωµετρία του προβλήµατος που εκφράζεται στο επίπεδο z µετασχηµατίζεται µέσω συνάρτησης σύµµορφης απεικόνισης z = ω( ζ ) σε µία απλούστερη γεωµετρία στο επίπεδο ζ. Χρησιµοποιείται η απεικόνιση στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου και προτιµάται λόγω της απλής και γνωστής του γεωµετρίας. Αυτή ακριβώς είναι και η χρησιµότητα της σύµµορφης απεικόνισης εφόσον δίνει τη δυνατότητα να χρησιµοποιηθούν οι βασικές εξισώσεις της µιγαδικής ανάλυσης σε ένα µετασχηµατισµένο απλοποιηµένο πρόβληµα γνωστής γεωµετρίας. Σύµφωνα µε τη µέθοδο Kolosov-Muskhelishvili για µία µιγαδική συνάρτηση, αναλυτική µέσα στον µοναδιαίο κύκλο, λαµβάνεται σχετικά εύκολα η τιµή της σε µία θέση ζ, όταν είναι γνωστές οι τιµές της στο σύνορο του κύκλου ή ακόµη όταν είναι γνωστή µία προσεγγιστική της σειρά. Τότε, οι ζητούµενοι συντελεστές της σειράς υπολογίζονται µέσω γνωστών σχέσεων και προκύπτει µία γενική διαδικασία επίλυσης για κάθε περίπτωση. Πρακτικά, η µέθοδος Kolosov-Muskhelishvili βασισµένη στη θεωρία των µιγαδικών συναρτήσεων οδηγεί στην επίλυση προβληµάτων επίπεδης παραµόρφωσης βάσει των εξισώσεων: σ + σ = 2 ϕ ( z) + ϕ ( z) = 4Re ϕ( x y z) ( ) σ σ + 2iτ = 2 z ϕ z + χ ( x y xy z) (2) 2 Gu ( + iv) = κϕ( z) zϕ ( z) χ ( z) (3) όπου το µέτρο ελαστικότητας σε διάτµιση ισούται µε G=Ε/2*(+ν), κ=3-4ν για επίπεδη παραµόρφωση και κ=(3-ν)/(+ν) για επίπεδη τάση. Από τις παραπάνω σχέσεις, αφού προσδιοριστούν οι συναρτήσεις ϕ ( z) και χ ( z), εύκολα υπολογίζονται οι τιµές των τάσεων σ, x σ, τ. Το πραγµατικό µέρος των συναρτήσεων δίνει τις ορθές τάσεις. Από τη σχέση () δίνεται y xy το άθροισµα τους και από την (2) λαµβάνεται η διαφορά τους. Η επίλυση αυτού του συστήµατος των ορθών τάσεων δίνει τις ζητούµενες τιµές τους. Παράλληλα, το φανταστικό µέρος των συναρτήσεων δίνει το µετασχηµατισµό των διατµητικών τάσεων, όπως φαίνεται από τη σχέση (2). () 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25 3

Εποµένως, η επίλυση του προβλήµατος ανάγεται στην εύρεση του κατάλληλου µετασχηµατισµού z = ω( ζ ) και των συναρτήσεων ϕ( ζ ) και χ ( ζ ), η οποία είναι ιδιαίτερα δύσκολη και επίπονη διαδικασία και εξαρτάται από τη γεωµετρία της οπής γύρω από την οποία αναπτύσσονται οι τάσεις. Όσο πιο πολύπλοκη είναι η γεωµετρία της οπής τόσο πιο δύσκολη είναι η εύρεση της συνάρτησης απεικόνισης. Οι διαθέσιµες λύσεις για προβλήµατα οπών µορφής διάφορης της κυκλικής σε άπειρα ελαστικά µέσα, που φορτίζονται µε κύριες τάσεις στο άπειρο σύνορο του µέσου, είναι περιορισµένες και η παρούσα εργασία αναπτύσσει και προτείνει µία πρωτότυπη αναλυτική λύση για την τυπική διατοµή ΝΑΤΜ. 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗΣ Στην παρούσα εργασία θεωρείται δεδοµένη και παρουσιάζεται στη συνέχεια µία συνάρτηση σύµµορφης απεικόνισης, η οποία µετασχηµατίζει τον άπειρο χώρο γύρω από την οπή από ένα µιγαδικό επίπεδο z (z = x+ iy) στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου ενός άλλου µιγαδικού i επιπέδου, του επιπέδου ζ ( ζ = ρe θ ). ζ ρθ επίπεδο σε σηµεία στο zxy (, ) επίπεδο. ιατηρώντας σταθερή την ακτίνα ρ και µεταβάλλοντας τη γωνία θ ορίζεται ένας κύκλος ακτίνας ρ στο επίπεδο ζ, ο οποίος µετασχηµατίζεται σε µία κλειστή καµπύλη στο επίπεδο z. Επίσης, διατηρώντας σταθερή τη γωνία θ και µεταβάλλοντας την ακτίνα ρ ορίζεται µία ακτινική γραµµή στο επίπεδο ζ και αυτή η ευθεία γραµµή µετασχηµατίζεται σε µία καµπύλη κάθετη στην πρώτη οικογένεια κλειστών καµπυλών στο επίπεδο z. Συνολικά δηλαδή, η συνάρτηση z = ωζ ( ) µετασχηµατίζει τους οµόκεντρους κύκλους και τις ακτινικές γραµµές του επιπέδου ζ σε ένα ορθογώνιο καµπυλόγραµµο πλέγµα στο επίπεδο z. Η συνάρτηση απεικόνισης µετασχηµατίζει συνεχώς σηµεία από το (, ) Σχήµα 3. Σύµµορφη απεικόνιση άπειρου χώρου γύρω από οπή σε µοναδιαίο κύκλο 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25 4

Η συνάρτηση απεικόνισης που χρησιµοποιείται σε αυτή την εργασία εµπνεύστηκε από το cardeloid σχήµα των Bjorkman & Richards (979). Στην παρούσα εργασία, η επεξεργασία πραγµατοποιείται µε βάση τη συνάρτηση απεικόνισης που προτείνει ο Gerçek (997) για ανοίγµατα µε τοξοειδή οροφή. Γίνεται εφαρµογή για διατοµή διπλά τοξοειδή (σήραγγα τύπου ΝΑΤΜ). Η εφαρµογή της σύµµορφης απεικόνισης εδώ έχει νόηµα γιατί το µέσον, δηλαδή ο βράχος, θεωρείται ως συνεχές. Η διατοµή της σήραγγας προσοµοιώνεται µε την οπή της θεωρίας και ο άπειρος χώρος γύρω από τη σήραγγα µε το R z, το οποίο θα απεικονιστεί σύµµορφα στο εξωτερικό του µοναδιαίου κύκλου. Η συνάρτηση αυτή που µετασχηµατίζει σύµµορφα τον άπειρο χώρο γύρω από τη σήραγγα στο εσωτερικό του µοναδιαίου κύκλου είναι της µορφής: 3 k z = ωζ ( ) = R a ζ k ζ + k = (4) όπου R είναι ένας πραγµατικός αριθµός που αφορά στην κλίµακα του σχήµατος και οι µιγαδικές συνιστώσες της παραπάνω εξίσωσης είναι a = a + i b k k k για k =, 2, 3. Λαµβάνονται µόνο οι τρεις πρώτοι όροι της σειράς. Το γεγονός αυτό δε σχετίζεται και δεν επηρεάζει την ακρίβεια της λύσης. Οι όροι αυξάνονται σε σχήµατα που έχουν πιο έντονες γωνίες, οι οποίες δεν είναι στρογγυλοποιηµένες. Οι τιµές του πραγµατικού και του φανταστικού µέρους των παραπάνω συντελεστών καθορίζουν το σχήµα της οπής. Οι συντελεστές a,b είναι οι συντελεστές που πρέπει να k k προσδιοριστούν για να καθοριστεί η συγκεκριµένη συνάρτηση. Οι συντελεστές a, b,a, b 3 2 2 δεσµεύονται µε τον εξής τρόπο: a = b = και a = b. 3 2 2 Από τη συνάρτηση απεικόνισης προκύπτουν οι εξής παραµετρικές εξισώσεις, από τις οποίες υπολογίζονται οι ζητούµενοι συντελεστές: 2 3 x = R + b ρ ( cosθ sinθ) + 2 a ρ cos 2θ + a ρ 2 3 ( sin 3θ + cos 3 ) ρ 2 3 y = R b ρ ( cosθ + sinθ) + 2 a ρ sin 2θ + a ρ 2 3 ( sin 3θ cos 3 ) ρ θ (5) θ (6) Από τη δεδοµένη γεωµετρία της διατοµής εισάγονται οι συντεταγµένες ( x, y ) και η τιµή της αντίστοιχης γωνίας θ, για διάφορα προεπιλεγµένα σηµεία επί του συνόρου της διατοµής, και επιλύεται σύστηµα που δίνει τις τιµές των ζητούµενων συντελεστών. Τα σηµεία επιλέγονται βάσει λογικών κριτηρίων και µετά από µία σειρά δοκιµών που αφορούν στη θέση και στο πλήθος των σηµείων που απαιτούνται για την προσέγγιση του σχήµατος της συγκεκριµένης διατοµής, το τελικό αποτέλεσµα προκύπτει από ένα δείγµα περίπου 6 σηµείων κατάλληλα κατανεµηµένων. Η επίλυση του γραµµικού συστήµατος µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων δίνει την συνάρτηση απεικόνισης που προσεγγίζει κατά τον βέλτιστο τρόπο την τυπική διατοµή ΝΑΤΜ και έχει συντελεστές τους εξής: a =b 3 =, a 2 =b 2 =.47, a 3 =.29, b =.4. 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25 5

Σχήµα 4. Σύγκριση της προκύπτουσας, από την προτεινόµενη µέθοδο, διατοµής µε τη δεδοµένη διατοµή ΝΑΤΜ 4. ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΤΑΤΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ Όπως έχει ήδη αναφερθεί, η σήραγγα βρίσκεται σε κατάσταση επίπεδης παραµόρφωσης σε άπειρο χώρο, όπου επιβάλλεται αρχικό τασικό πεδίο Ρ, kρ. Το σύνορό της θεωρείται ελεύθερο τάσεων. Πρόκειται για ένα πρόβληµα ισορροπίας (στατικό) µε συνοριακές συνθήκες Neumann. Οι τάσεις που εξετάζονται είναι οι συνολικές, διότι πρέπει να ελεγχθεί η αντοχή του βράχου. Ωστόσο, οι ανηγµένες παραµορφώσεις και οι µετατοπίσεις είναι οι προκαλούµενες, διότι αυτές µετρώνται. Για τον υπολογισµό των εντατικών µεγεθών σε συγκεκριµένες εφαρµογές, για διαφορετικούς λόγους τάσεων k στο άπειρο, θεωρούνται σταθερές οι τιµές του µέτρου ελαστικότητας Ε, του λόγου Poisson ν, της αρχικής τάσης P και της γωνίας β. Λαµβάνονται ίσες µε Ε=GPa, ν=.3, Ρ=MPa, β= ο αντίστοιχα. 4. Τάσεις Η διάνοιξη της σήραγγας διαταράσσει το αρχικό τασικό πεδίο, δηλαδή προκαλεί ανακατανοµή των τάσεων. Από τις σχέσεις Kolosov-Muskhelishvili [(), (2)] υπολογίζονται οι συνολικές ορθές τάσεις σ, σ και διατµητικές τ για κάθε γωνία θ ανά µία µοίρα στο διάστηµα [ ο, 36 ο ] και y x xy κάθε ακτίνα ρ ανά. στο διάστηµα [,.] από το σύνορο της σήραγγας έως το θεωρούµενο άπειρο (παραµετρικές εξισώσεις (5), (6)). Οι προκαλούµενες ορθές τάσεις, λόγω της διάνοιξης, δίνονται από τις σχέσεις κατά τον κατακόρυφο και τον οριζόντιο άξονα αντίστοιχα: σ = σ P y y (7) σ = σ k P x x (8) 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25 6

4.2 Παραµορφώσεις Οι σχέσεις για τον υπολογισµό των προκαλούµενων παραµορφώσεων προκύπτουν µε αντικατάσταση των σχέσεων (7), (8) στις εξισώσεις ανηγµένων παραµορφώσεων τάσεων (Νόµος του Hooke) και είναι οι εξής: ε = ( ν 2 ) ( σ k P) ν ( + ν x x ) ( σ P E y ) (9) ε = ν σ ν + ν σ y y x E ( 2 ) ( P) ( ) ( k P) () Στα πλαίσια της εργασίας αυτής ενδιαφέρουν οι τιµές των µεγεθών στις θέσεις της οροφής (θ = 5 π /4) και του δαπέδου (θ = π /4) επί του άξονα συµµετρίας της διατοµής της σήραγγας. Το πλεονέκτηµα που παρουσιάζουν οι υπολογισµοί επί του άξονα συµµετρίας είναι ότι σε αυτές τις χαρακτηριστικές θέσεις το τοπικό σύστηµα ( r, q) ταυτίζεται µε το σύστηµα των καρτεσιανών συντεταγµένων. 4.3 Μετατοπίσεις Στην παρούσα εργασία ενδιαφέρει κυρίως ο προσδιορισµός των προκαλούµενων µετατοπίσεων στον άξονα συµµετρίας, δηλαδή στην οροφή και στο δάπεδο της κατασκευής. Σηµειώνεται ότι στις θέσεις αυτές, επί του άξονα συµµετρίας, µπορούν πρακτικά να προσδιοριστούν οι µετατοπίσεις. Είναι τα σηµεία ελέγχου για τον Μηχανικό που παρακολουθεί τη σύγκλιση οροφής και δαπέδου στη σήραγγα. Στις θέσεις αυτές πραγµατοποιούνται οι µεγαλύτερες συγκλίσεις ή αποκλίσεις του έργου λόγω συµµετρίας. Οι προκαλούµενες µετατοπίσεις υπολογίζονται µε ολοκλήρωση των εξισώσεων παραµορφώσεων µετατοπίσεων (). Η διαδικασία δεν είναι πάντα εύκολη και στην εργασία αυτή ο υπολογισµός πραγµατοποιείται µε τη µέθοδο της αριθµητικής ολοκλήρωσης, σύµφωνα µε τον κανόνα του τραπεζίου (2), που θεωρείται µία προσεγγιστική, αλλά ικανοποιητικής ακρίβειας µέθοδος. ε = u/ x xx, ε = v/ y yy () β α 9 hi f ( x) dx = ( f + f i i i= 2 ) (2) Το αρνητικό πρόσηµο στη σχέση (2) επιβάλλεται, γιατί τα µεγέθη της παραµόρφωσης και της µετατόπισης είναι ετερόσηµα, γιατί οι συναρτήσεις που περιγράφουν τα µεγέθη είναι αντίστροφες. Η σχέση (2) δίνει τις τιµές των προκαλούµενων µετατοπίσεων στον άξονα συµµετρίας της διατοµής, δηλαδή στην οροφή και στο δάπεδο. Πρέπει να σηµειωθεί ότι όλες οι παραπάνω σχέσεις των προκαλούµενων τάσεων, παραµορφώσεων και µετατοπίσεων ισχύουν για τον υπολογισµό των µεγεθών στην οροφή και στο δάπεδο, επί του άξονα συµµετρίας της διατοµής. Για τις υπόλοιπες θέσεις οι σχέσεις τροποποιούνται κατάλληλα. 4.4 Εφαρµογές σε τασικά πεδία και αποτελέσµατα Πραγµατοποιούνται εφαρµογές σε τέσσερα διαφορετικά αρχικά τασικά πεδία, δηλαδή για τέσσερις διαφορετικούς λόγους τάσεων k στο άπειρο, όπου αυξάνεται σταδιακά το µέγεθος της οριζόντιας συνιστώσας της αρχικής τάσης. Η αύξηση αυτή εκφράζεται µέσω της τιµής του λόγου k, ο οποίος 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25 7

παίρνει τις εξής τιµές: k=, k=/3, k=, k=3. Η εφαρµογή της θεωρίας σε διαφορετικά αρχικά τασικά πεδία παρουσιάζει ιδιαίτερο πρακτικό, αλλά και θεωρητικό ενδιαφέρον ανάλογα µε το πεδίο. Το αρχικό τασικό πεδίο µε λόγο k= αντιστοιχεί στο µοντέλο της µονοαξονικής θλίψης και έχει θεωρητική αξία Αποτελεί την πιο απλοποιηµένη µορφή τασικού πεδίου από την οποία, µε την αρχή της επαλληλίας, µπορούν να προκύψουν τα πιο σύνθετα προβλήµατα µε τέτοιο τρόπο, ώστε να µπορεί να ελέγχει ο µελετητής την εξέλιξη των φαινοµένων. Το δεύτερο πεδίο που µελετάται έχει λόγο τάσεων k=/3. Τέτοιας µορφής τασικά πεδία συναντώνται συχνά στη φύση και κυρίως σε ιζηµατογενή εδάφη µε οριζόντια επιφάνεια, δηλαδή χωρίς έντονο ανάγλυφο. Το τασικό πεδίο µε λόγο τάσεων k= αντιστοιχεί στο υδροστατικό µοντέλο και βρίσκει εφαρµογή σε κατακόρυφο φρέαρ και σε διάνοιξη σε έντονο ανάγλυφο. Το τελευταίο τασικό πεδίο έχει λόγο τάσεων k=3. Το πεδίο αυτό συναντάται σε περιοχές µε έντονη τεκτονική δραστηριότητα, όπου συγκεντρώνονται «παγωµένες» τάσεις. Στα διαγράµµατα που ακολουθούν απεικονίζεται η διακύµανση των τιµών των ορθών και των διατµητικών τάσεων συναρτήσει της γωνίας q σε ακτίνια. Για τις τιµές της µεταβλητής ρ, στο σύνορο και στο θεωρούµενο άπειρο, παρουσιάζεται η κατανοµή όλων των τάσεων περιµετρικά της διατοµής για τα τέσσερα διαφορετικά τασικά πεδία. Στα διαγράµµατα, η φορά διαγραφής της γωνίας q ταυτίζεται µε αυτήν του σχήµατος που ακολουθεί: Σχήµα 5. Φορά διαγραφής της γωνίας θ 4,5 3 σθ, σρ, τρθ 2-2 4 6 8 τρθ - θ σθ, σρ, τρθ,5 -,5 2 4 6 8 - τρθ - θ -2 -,5 Σχήµα 6. ιάγραµµα τάσεων στο σύνορο της διατοµής και στο θεωρούµενο άπειρο για k= 4,5 σθ, σρ, τρθ 3 2-2 4 6 8 τρθ - θ σθ, σρ, τρθ,5 -,5 2 4 6 8 - τρθ - θ Σχήµα 7. ιάγραµµα τάσεων στο σύνορο της διατοµής και στο θεωρούµενο άπειρο για k=/3 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25 8

ρ= ρ=, σθ, σρ, τ 4 3 2 τ - θ σθ, σρ, τ,5,5 τ - θ 2 4 6 8 2 4 6 8 Σχήµα 8. ιάγραµµα τάσεων στο σύνορο της διατοµής και στο θεωρούµενο άπειρο για k= ρ= ρ=, σθ, σρ, τ 8 6 4 2 2 4 6 8 τ - θ σθ, σρ, τ 4 3 2 - -2 2 4 6 8 τ - θ Σχήµα 9. ιάγραµµα τάσεων στο σύνορο της διατοµής και στο θεωρούµενο άπειρο για k=3 Κατανοµή συνολικών τάσεων σθ Κατανοµή ορθής τάσης σθ γύρω από την οπή ρ= ρ=,9 ρ=,8 ρ=,7 ρ=,6 ρ=,5 ρ=,4 ρ=,3 ρ=,2 ρ=, ρ= ρ=,9 ρ=,8 ρ=,7 ρ=,6 ρ=,5 ρ=,4 ρ=,3 ρ=,2 ρ=, Σχήµα. ιάγραµµα κατανοµής ορθής τάσης σ θ από το σύνορο της διατοµής έως το θεωρούµενο άπειρο για k= και για k= αντίστοιχα. 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25 9

Από τα παραπάνω εξάγεται το συµπέρασµα ότι αύξηση της οριζόντιας αρχικής τάσης προκαλεί αύξηση των τάσεων στην οροφή της σήραγγας. Προσδιορίστηκαν η max και η min τιµή των τάσεων στο σύνορο της οπής και γύρω από αυτήν. Μεγαλύτερη συγκέντρωση τάσεων παρατηρήθηκε στη θέση µεγαλύτερης καµπυλότητας, εκτός από το τασικό πεδίο µε λόγο τάσεων k=3, στο οποίο η µεγαλύτερη τιµή της τάσης εµφανίστηκε στην οροφή. Επίσης, η κατανοµή των τάσεων προέκυψε συµµετρική ως προς τον κατακόρυφο άξονα, όπως αναµενόταν λόγω της συµµετρίας του προβλήµατος. Στο σύνορο της σήραγγας, το οποίο θεωρήθηκε ελεύθερο τάσεων και χωρίς επένδυση, προέκυψαν µηδενικές οι τιµές της ακτινικής ορθής τάσης και της διατµητικής τάσης. Τιµή στο σύνορο είχε µόνο η εφαπτοµενική τάση λόγω της διαταραχής που προκαλεί η διάνοιξη στο πεδίο. Εξαιτίας της διαταραχής αυτής, το άθροισµα των ορθών τάσεων είναι µεγαλύτερο από το αρχικό τασικό πεδίο και επανέρχεται κατά την αποµάκρυνση από το σύνορο. Στο άπειρο επαληθεύονται οι συνοριακές συνθήκες, δηλαδή οι τιµές των ορθών τάσεων είναι σταθερές και το άθροισµά τους ισούται µε το αρχικό τασικό πεδίο, ενώ η διατµητική τάση στον άξονα συµµετρίας της οπής είναι µηδέν. Αυτό σηµαίνει ότι η επιρροή του τασικού πεδίου στην κατασκευή του έργου, λόγω της ανακατανοµής των τάσεων που προκαλείται από τη διάνοιξη, σταµατά. Ο ρυθµός µεταβολής των τάσεων φθίνει σε απόσταση r».3 για όλα τα τασικά πεδία χωρίς αυτό να σηµαίνει ότι σταµατά η επιρροή τους. Αξίζει να σηµειωθεί ότι στο υδροστατικό τασικό πεδίο οι κατανοµές των ορθών τάσεων, λόγω της ισότητάς τους, από την απόσταση r».3 µέχρι το άπειρο είναι κυκλικές. Η επιρροή του τασικού πεδίου σταµατά σε απόσταση r». 2 που αντιστοιχεί σε απόσταση 22m περίπου στο επίπεδο (x, y). Η απόσταση αυτή συµπτίπτει µε την απόσταση όπου η απόκλιση από το αρχικό τασικό πεδίο είναι ± 4% κατά Bray, η οποία αντιστοιχεί σε 5R, όπου R η ακτίνα του κύκλου που προσοµοιώνει ακριβέστερα τη σήραγγα. Στη συνέχεια, παρουσιάζονται συγκεντρωτικά σε µορφή πίνακα οι τιµές των προκαλούµενων µετατοπίσεων επί του άξονα της διατοµής όπως υπολογίστηκαν µε την προτεινόµενη µέθοδο για όλα τα πεδία που εξετάζονται. Πίνακας. Τιµές προκαλούµενων µετατοπίσεων Αρχικό Τασικό Πεδίο Προκαλούµενη Μετατόπιση Οροφής Προκαλούµενη Μετατόπιση απέδου k= 7.6mm 8.2mm k=/3 7.mm 7.9mm k= 5.9mm 7.2mm k=3 2.5mm 5.mm Για την περίπτωση οπής κυκλικού σχήµατος εφαρµόζοντας τις εξισώσεις Kirsch µε τις παραδοχές ότι το µέσον είναι οµογενές, ισότροπο και γραµµικά ελαστικό, υπολογίζονται οι προκαλούµενες από τη διάνοιξη µετατοπίσεις. Έστω ότι ίδια τάξη µεγέθους προκαλούµενων µετατοπίσεων µε τη δεδοµένη διατοµή ΝΑΤΜ δίνει εκείνη η κυκλική οπή που έχει το ίδιο εµβαδόν µε τη δεδοµένη διατοµή ΝΑΤΜ. Η κυκλική οπή που ικανοποιεί το παραπάνω κριτήριο προσδιορίστηκε πως είναι εκείνη που έχει ακτίνα R=4.3m. Στη θέση του δαπέδου οι αποκλίσεις είναι έντονες µεταξύ των δύο µεθόδων κι ενδεχοµένως για να λειτουργήσει το κριτήριο αυτής της σύγκρισης να απαιτείται ο προσδιορισµός ενός άλλου βέλτιστου κύκλου, ο οποίος να προσεγγίζει καλύτερα την καµπυλότητα του δαπέδου της διατοµής. 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25

Πίνακας 2. Τιµές προκαλούµενων µετατοπίσεων σε κυκλική οπή (εξισώσεις Kirsch) Αρχικό Τασικό Πεδίο Προκαλούµενη Μετατόπιση Οροφής k= 7.8mm k=/3 7.mm k= 5.6mm k=3.mm Ο υπολογισµός των προκαλούµενων µετατοπίσεων ενδιαφέρει ιδιαίτερα το µηχανικό, γιατί είναι το µέγεθος που µετράται άµεσα και είναι χρήσιµη η εκ των προτέρων γνώση της τάξης µεγέθους της αναµενόµενης µετατόπισης στον άξονα συµµετρίας της σήραγγας. ιαπιστώθηκε πως οι µεγαλύτερες µετατοπίσεις εµφανίζονται στη θέση του δαπέδου. Η καµπυλότητα στο δάπεδο της τυπικής διατοµής ΝΑΤΜ είναι µικρότερη από την καµπυλότητα στην οροφή και για αυτό οι προκαλούµενες µετατοπίσεις στο δάπεδο είναι µεγαλύτερες από αυτές στην οροφή. Επίσης, είναι πολύ σηµαντικό το συµπέρασµα που προέκυψε από τη σύγκριση των αποτελεσµάτων των τεσσάρων διαφορετικών τασικών πεδίων. Παρατηρήθηκε ότι η αύξηση της οριζόντιας επιβαλλόµενης τάσης στο άπειρο έχει ως αποτέλεσµα τη µείωση της µετατόπισης στην οροφή και στο δάπεδο. Στα πλαίσια της εργασίας αυτής πραγµατοποιήθηκε σύγκριση των αποτελεσµάτων των µετατοπίσεων για τη διατοµή ΝΑΤΜ µε τις µετατοπίσεις που προκύπτουν µε εφαρµογή των εξισώσεων Kirsch σε κατάλληλη κυκλική διατοµή. Φαίνεται πως οι προκαλούµενες από τη διάνοιξη µετατοπίσεις στη θέση της οροφής της συγκεκριµένης σήραγγας ΝΑΤΜ, όπως προέκυψαν από τη µεθοδολογία, απέχουν ελάχιστα από τα αποτελέσµατα που αναφέρονται στον βέλτιστο κύκλο µέσω των εξισώσεων Kirsch, µε τις αποκλίσεις να αυξάνονται όσο ο λόγος των τάσεων του αρχικού τασικού πεδίου αυξάνεται. Η σύγκριση των αποτελεσµάτων µε τις προκαλούµενες µετατοπίσεις σε κυκλική οπή (εξισώσεις Kirsch) αποδεικνύει την ορθότητα και την ακρίβεια της µεθοδολογίας. Συνεπώς, η µεθοδολογία µπορεί πρακτικά να χρησιµοποιηθεί για την εκτίµηση των αναµενόµενων προκαλούµενων µετατοπίσεων κατά τη διάνοιξη µιας σήραγγας ΝΑΤΜ µε ικανοποιητική ακρίβεια, αφού στηρίζεται στην πραγµατική γεωµετρία του σχήµατος της οπής και όχι σε µια προσεγγιστική, όπως αυτή του κύκλου. Αξίζει ακόµα, να σηµειωθεί ότι το τασικό πεδίο είναι ανεξάρτητο του λόγου Poisson και εξαρτάται µόνο από τη γεωµετρία της φόρτισης και της διατοµής. Αντιθέτως, τα µεγέθη των παραµορφώσεων και των µετατοπίσεων εξαρτώνται από το µέτρο ελαστικότητας και από το λόγο Poisson. Σηµαντικό πλεονέκτηµα της εργασίας αποτελεί το γεγονός ότι η έρευνα αναφέρεται σε συγκεκριµένο τύπο τυπικής διατοµής ΝΑΤΜ, η οποία χρησιµοποιείται ευρέως για την κατασκευή υπόγειων συγκοινωνιακών έργων υποδοµής. Τέλος, ένα από τα σηµαντικότερα συµπεράσµατα της εργασίας είναι ότι λόγω της µοναδιαίας τάσης που εφαρµόζεται και του µέτρου ελαστικότητας που επιλέγεται, η λύση διατυπώνεται σε γενικευµένη µορφή. 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25

5. ΑΝΑΦΟΡΕΣ Αγγελοπούλου Ο. Φ. 24. Υπολογισµός τάσεων, παραµορφώσεων και µετατοπίσεων σε σήραγγα διατοµής ΝΑΤΜ µε σύµµορφη απεικόνιση (εφαρµογή σε τασικά πεδία µε λόγο τάσεων k=, k=/3) ιπλωµατική Εργασία, Σχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών. Αθήνα: Ε.Μ.Π. Αγατζά-Μπαλοδήµου Α.Μ. 999. Θεωρία Σφαλµάτων και Συνορθώσεις Ι Σηµειώσεις Μαθηµάτων. Αθήνα: Ε.Μ.Π. άσιος Γ., Κυριάκη Κ. 994. Μερικές ιαφορικές Εξισώσεις. Αθήνα: Ε.Μ.Π. Καββαδάς Μ. 2. Σηµειώσεις Σχεδιασµού Υπογείων Έργων. Αθήνα: Ε.Μ.Π. Καδιανάκης Ν., Καρανάσιος Σ., Φελλούρης Α. 993. Ανάλυση ΙΙ Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών. Αθήνα: Ε.Μ.Π. Καδιανάκης Ν., Καρανάσιος Σ. 2. Γραµµική Άλγεβρα-Αναλυτική Γεωµετρία και Εφαρµογές. Αθήνα: Ε.Μ.Π. Καρανάσιου Σ. Σ. 24. Υπολογισµός τάσεων, παραµορφώσεων και µετατοπίσεων σε σήραγγα διατοµής ΝΑΤΜ µε σύµµορφη απεικόνιση (εφαρµογή σε τασικά πεδία µε λόγο τάσεων k=, k=3) ιπλωµατική Εργασία, Σχολή Αγρονόµων και Τοπογράφων Μηχανικών. Αθήνα: Ε.Μ.Π. Μαρκέτος Ε.Γ. 98. Τεχνική Μηχανική Τόµος II. Αθήνα: Εκδόσεις Συµµετρία. Σακελλαρίου Μ. 23. Σηµειώσεις.Μ.Π.Σ. Σχεδιασµός και Κατασκευή Υπογείων Έργων. Αθήνα: Ε.Μ.Π. Bjorkman G.S., Richards R. 978. Optimum shapes for unlined tunnels and cavities. Engineering Geology. Τεύχος 2: 7-79. Bray J.W. 98-982. Αδηµοσίευτες Σηµειώσεις. London UK.: Imperial College of Science and Technology. Brown E.T. 986. Analytical and Computational Methods In Engineering Rock Mechanics. London: Imperial College of Science and Technology. Churchill R.V., Brown J.W., Verhey R.F. 948. Complex Variables and Applications. International Student Edition. England A.H. 97. Complex Variable Methods in Elasticity. London: Wiley. Exadaktylos G.E., Stavropoulou M.C., 22. A closed-form elastic solution for stresses and displacements around tunnels. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, Τεύχος 39: 95-96. Gerçek H. 997. An elastic solution for stresses around tunnels with conventional shapes. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences, paper No.96. Hoek E., Brown E.T. 98. Underground Excavations in Rocks. London: Institute of Mining and Metallurgy. Mindlin R.D. 939. Stress Distribution around a tunnel. American Society of Civil Engineers Transactions, paper No.282. Muskhelishvili N.I. 954. Some basic problems of the mathematical theory of elasticity. Leyden, The Netherlands: Noordhoff International Publishing Company B.V. Savin G.N. 96. Stress Concentration Around Holes. Oxford UK: Pergamon. Verruijt A. 23. Complex Variable Solutions of Elastic Tunneling Problems. http://geo.verruijt.net. 2o Πανελλήνιο Συνέδριο Οδοποιίας, Βόλος, 8-2 Μαΐου 25 2