6. ΕΚΒΟΛΗ ΜΕ ΕΜΦΥΣΗΣΗ

6-6. ΕΚΒΟΛΗ ΜΕ ΕΜΦΥΣΗΣΗ 6.. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διεργασία εκβολής µε εµφύσηση χρησιµοποιείται στη βιοµηχανία πλαστικών για την παραγωγή σάκκων και φύλλων (φιλµ) που έχουν διαξονικό προσανατολισµό. Έχουν γίνει αρκετές προσπάθειες για τη µαθηµατική µοντελοποίηση και ανάλυση της πολύπλοκης αυτής διεργασίας, οι οποίες ακόµα δεν έχουν αποδώσει πλήρη δυνατότητα πρόβλεψης. Για τη µοντελοποίηση χρειάζεται κατάλληλη ρεολογική καταστατική εξίσωση που να περιγράφει τη συµπεριφορά του πολυµερούς σε όλες τις περιπτώσεις παραµόρφωσης, µαζί µε τις εξισώσεις διατήρησης της µάζας, ορµής, και ενέργειας. Οι Pearsn και Petrie [PEA 70a,b] έκαναν τις πρώτες προσπάθειες για την πρόβλεψη των δυνάµεων µέσα στον εµφυσούµενο ασκό, κάνοντας χρήση της προσεγγιστικής µεθόδου λεπτής µεµβράνης και θεωρώντας το ρευστό ως Νευτωνικό. Η µέθοδος αυτή χρησιµοποιείται σε όλες τις αναλύσεις της διεργασίας και παρατίθεται και εδώ. Η διεργασία φαίνεται στο Σχήµα 6., όπου πολυµερικό τήγµα εκβάλλεται µέσα από δακτυλική µήτρα, όπου µε την επιβολή εσωτερικής πίεσης και αξονικής έλασης επέρχεται διαξονική επιµήκυνση. Για την ψύξη του ασκού γίνεται εξωτερική χρήση αέρα που προσφυσάται από δακτυλικά ακροφύσια προς το µέσο και άνω τµήµα του ασκού. Έτσι ελέγχεται το ύψος πάνω από τη µήτρα εκβολής όπου επέρχεται στερεοποίηση και που καλείται γραµµή ψύξης (freezeline). Η παραµόρφωση του ασκού και οι µεταβολές στην ταχύτητα και θερµοκρασία είναι αµελητέες πέρα από τη γραµµή ψύξης στις περισσότερες περιπτώσεις. Οι διαστάσεις του ασκού καθορίζονται από τα µεγέθη του λόγου εµφύσησης (blw-up rati),

6- Flattened tube Nip rlls Guide rlls P h f r f Freeze line h air L r Plymer melt Annular die h Air supply Σχήµα 6. Σχηµατική παράσταση της διεργασίας εκβολής µε εµφύσηση. Το πολυµερικό τήγµα εκβάλλεται µέσα από δακτυλική µήτρα και ελάσσεται µε κυλίνδρους στην κορυφή. Έτσι υφίσταται διαξονική παραµόρφωση λόγω των δυνάµεων έλασης των κυλίνδρων και της πίεσης εµφύσησης P. του λόγου έλασης (draw rati), και της µείωσης πάχους (thickness reductin). Ο λόγος εµφύσησης (BUR = r f / r 0 ), ορίζεται ως ο λόγος της ακτίνας του ασκού στη γραµµή ψύξης προς την εσωτερική ακτίνα της µήτρας εκβολής, και έχει τυπικές τιµές µεταξύ και 4. Ο λόγος έλασης (D R = u f / u 0 ) ορίζεται ως ο λόγος της ταχύτητας στη γραµµή ψύξης προς τη µέση ταχύτητα εκβολής στη µήτρα, και έχει τυπικές τιµές µεταξύ 0 και 40. Η µείωση πάχους (T R = h 0 / h f ) ορίζεται ως ο λόγος ανοίγµατος της δακτυλικής µήτρας εκβολής προς το πάχος του ασκού στη γραµµή ψύξης, και έχει τυπικές τιµές µεταξύ 0 και 00.

6-3 Ο ασκός ακολούθως επιπεδοποιείται µε ένα σύνολο κυλίνδρων και περνά από άλλο σύνολο µικρότερων ρολών που σχηµατίζουν µια αεροστεγή συρραφή στο επάνω µέρος του ασκού, µε αποτέλεσµα να παράγεται κυλινδρικό φύλλο δύο πτυσσόµενων στρωµάτων που έχει το σχήµα επίπεδου διδιάστατου φύλλου. Τελικά, το φύλλο περιτυλίγεται σε µποµπίνες και πωλείται σαν επίπεδος ασκός, ή αποκόπτεται στις άκρες και περιτυλίγεται σε δύο µποµπίνες σαν επίπεδο φύλλο. Καθώς ο ασκός ελάσσεται και εµφυσείται, υφίσταται µη-οµοιόµορφη διαξονική παραµόρφωση. Ο τύπος αυτός της παραµόρφωσης είναι το κατ εξοχήν χαρακτηριστικό της διεργασίας εκβολής µε εµφύσηση, η οποία αυξάνει την αντοχή του φιλµ σε δύο διαστάσεις και επιτρέπει τον ακριβή έλεγχο των µηχανικών, οπτικών, και λοιπών ιδιοτήτων του τελικού προϊόντος. 6.. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ 6... Ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική Εκβολή µε Εµφύσηση Η ανάλυση των τάσεων και των δυνάµεων µέσα στον εµφυσούµενο ασκό ακολουθεί την κλασική εργασία των Pearsn και Petrie [PEA 70a,b], όπου το φιλµ θεωρείται σαν λεπτή µεµβράνη υπό εφελκυσµό. Για ρευστά πολυµερικά τήγµατα µεγάλου ιξώδους, οι ιξώδεις δυνάµεις υπερισχύουν των δυνάµεων αδράνειας, βαρύτητας και επιφανειακής τάσης, που θεωρούνται αµελητέες. Η παραδοχή της αξονοσυµµετρικότητας του ασκού επιτρέπει την τοποθέτηση του προβλήµατος σε τοπικό σύστηµα κινούµενων συντεταγµένων, που ορίζεται από τα µοναδιαία διανύσµατα s, t, και n, αντίστοιχα, στην κατεύθυνση της έλασης, στην εγκάρσια (αζιµουθιακή), και στην κάθετη κατεύθυνση µε το σηµείο αναφοράς τοποθετηµένο στην εσωτερική επιφάνεια του ασκού (βλ. Σχήµα 6.).

6-4 t s n u r z θ Σχήµα 6. Ορισµός καµπυλότητας του ασκού µε χρήση τοπικού συστήµατος κινούµενων συντεταγµένων µε µοναδιαία διανύσµατα s, t, και n στην κατεύθυνση έλασης, στην εγκάρσια (αζιµουθιακή) κατεύθυνση, και στην κάθετη κατεύθυνση, αντίστοιχα. Το σηµείο αναφοράς βρίσκεται στην εσωτερική επιφάνεια του ασκού. Για ασυµπίεστα υλικά, η εξίσωση διατήρησης της µάζας απαιτεί ρ π rhus = ρq = σταθερά (6.) όπου ρ είναι η πυκνότητα, Q η ογκοµετρική παροχή, u s η συνιστώσα της ταχύτητας στην κατεύθυνση έλασης, h το τοπικό πάχος του ασκού, και r η τοπική ακτίνα του ασκού. Παραγωγίζοντας την Εξ. (6.) ως προς το µήκος τόξου s, όπως φαίνεται στο Σχήµα 6., δίνει u s dus ds dh dr = (6.) h ds r ds Το αριστερό µέλος της Eξ. (6.) αποτελεί το ρυθµό εφελκυσµού στην κατεύθυνση της έλασης κατά µήκος του ασκού, ενώ οι δύο όροι του δεξιού µέλους αποτελούν αντίστοιχα τα αρνητικά µεγέθη των ρυθµών εφελκυσµού στην κατεύθυνση πάχους, n, και στην εγκάρσια κατεύθυνση, t. Η ισορροπία των κάθετων δυνάµεων δίνει

6-5 P h σ = ss + R s σ tt R t (6.3) όπου σ ss και σ tt είναι οι µέσες ανά διατοµή ολικές τάσεις στην κατεύθυνση έλασης και στην εγκάρσια κατεύθυνση αντίστοιχα, R s και R t είναι οι κύριες ακτίνες καµπυλότητας στις δύο κατευθύνσεις s και t, και P είναι η εσωτερική πίεση µετρηµένη σε σχέση µε την εξωτερική (ατµοσφαιρική) πίεση. Κάνοντας χρήση σχέσεων απλής διαφορικής γεωµετρίας, αποδεικνύεται ότι R s 3/ dr dz + = (6.4) d r dz / dr R t = r + (6.5) dz Ισορροπία δυνάµεων στην κατεύθυνση του άξονα συµµετρίας, z, δίνει, ( r ) F = π r hσ csθ + π P r (6.6) ss L όπου F είναι η εφαρµοζόµενη δύναµη έλασης σε απόσταση z=l και r L είναι η τελική ακτίνα ασκού σε απόσταση z=l. Οι Εξισώσεις. (6.) και (6.6) γίνονται αδιάστατες µε χρήση των ακόλουθων αδιάστατων µεταβλητών r* = r r, z* = z r, u* = u u σ h, σ * =, h* = (6.7) η u / r h όπου r είναι η εσωτερική ακτίνα του δακτυλίου εκβολής, u είναι η µέση ταχύτητα του ρευστού µέσα στο δακτύλιο εκβολής, η είναι το ιξώδες µηδενικού ρυθµού διάτµησης του ρευστού, και h είναι το άνοιγµα του δακτυλίου εκβολής. Οι προκύπτουσες αδιάστατες εξισώσεις γίνονται [κάνοντας χρήση των αδιάστατων µεταβλητών της Eξ. (6.7) και συνδυάζοντας τις Eξισώσεις (6.) µέχρι (6.6) χωρίς τη χρήση αστερίσκων για ευκολία] 0

6-6 / d r dr σ dr ( A + r B) + rb + tt + = 0 dz dz ur dz (6.8) / dr σ ss u( A + r B) + = 0 (6.9) dz µε τις δύο αδιάστατες σταθερές Α και Β να ορίζονται από τις παρακάτω σχέσεις A F r r L = B = Tz B(BUR) Q r (6.0) η 3 π P r B = (6.) η Q όπου Τ z είναι η αδιάστατη δύναµη έλασης ( T z F r = ). η Q Στον τρισδιάστατο χώρο και στην προκειµένη περίπτωση της διαξονικής έλασης, ο τανυστής του ρυθµού παραµορφώσεων γ = v + v T, που περιλαµβάνει όλες τις µεταβολές της ταχύτητας, έχει τη µορφή u s s γ = 0 0 un n 0 0 0 0 ut t dh h dz r = u csθ 0 0 dr dz h 0 dh dz 0 0 (6.) 0 dr r dz Για το Νευτωνικό ρευστό, η ρεολογική καταστατική εξίσωση που συνδέει τις ολικές τάσεις µε τους ρυθµούς παραµόρφωσης είναι σ = p + τ = p + µγ (6.3) όπου p είναι η υδροστατική πίεση. Επειδή ισχύει σ nn = p + τ nn = 0 (6.4) Άρα σε αδιάστατη µορφή η υδροστατική πίεση p δίνεται από dh p = ucsθ h dz (6.5)

6-7 Οι Νευτωνικές τάσεις προκύπτουν εύκολα από τους παραπάνω ρυθµούς παραµόρφωσης και δίνονται από τις (αδιάστατες) σχέσεις dr dh σ ss = ucsθ r dz h dz (6.6) dr dh σ tt = ucsθ r dz h dz (6.7) Οι Εξισώσεις (6.8) µέχρι (6.7), σε συνδυασµό, δίνουν τις γνωστές σχέσεις που διέπουν την περιγραφή της διεργασίας της εκβολής µε εµφύσηση d r dr dr r ( A + r B) = 6 + r ( A 3r B) + (6.8) dz dz dz dh dz dr = h dz r dr + dz + 4 ( A + r B) (6.9) Οι εξισώσεις αυτές επιλύονται µόνο αριθµητικά µε µεθόδους επίλυσης απλών διαφορικών εξισώσεων, π.χ. µε τη µέθοδο Runge- Kutta ή µε τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων. 6... Μη-Ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική Εκβολή µε Εµφύσηση Υποθέτοντας οµοιόµορφη θερµοκρασιακή κατανοµή στη διατοµή του ασκού και αµελητέα αξονική θερµική αγωγή και ενέργεια λόγω ιξώδους τριβής (έλλειψη τοιχωµάτων), η αδιάστατη εξίσωση διατήρησης της ενέργειας για τη θερµοκρασία απλοποιείται στην εξής µορφή (θέτοντας Τ*=Τ/Τ ο, όπου Τ ο είναι η θερµοκρασία αναφοράς, και παραλείποντας τους αστερίσκους για ευκολία) dt dz 4 [ ( T T ) + ( T T )] 4 = r γ γ (6.0) a a

6-8 όπου γ γ π r H = (6.) ρc Q csθ P 3 π r ε KT = (6.) ρc Q csθ P είναι αδιάστατοι αριθµοί µε T a την αδιάστατη θερµοκρασία του αέρα, c P την ειδική θερµική χωρητικότητα, H το συντελεστή µεταφοράς θερµότητας, ε το συντελεστή ακτινοβολίας, K τη σταθερά ακτινοβολίας Stefan-Bltzmann, και Q την ογκοµετρική παροχή στη δακτυλική µήτρα εκβολής. Η πυκνότητα, ρ, και η ειδική θερµική χωρητικότητα, c P, µεταβάλλονται µε την απόσταση κατά µήκος του ασκού, µιας και είναι συναρτήσεις της θερµοκρασίας. Για την θερµική χωρητικότητα των πολυµερών ισχύει η παρακάτω σχέση, όπως προτάθηκε από τον Haw [HAW 84] c P k + kt ( T ) = cp (6.3) k + kt όπου c P είναι η θερµική χωρητικότητα σε θερµοκρασία αναφοράς T, και k και k είναι εµπειρικές σταθερές. Η πυκνότητα ρ δίνεται από ρ ρ = (6.4) + c ( T T ) ρ όπου ρ είναι η πυκνότητα σε θερµοκρασία T, και c ρ είναι η σταθερά διαστολής. Το ιξώδες µ σε θερµοκρασία Τ είναι µια εκθετικά φθίνουσα συνάρτηση της θερµοκρασίας και δίνεται από τη σχέση του Arrhenius E µ = µ exp (6.5) R T T όπου µ ο είναι το ιξώδες σε θερµοκρασία αναφοράς Τ ο, Ε ο είναι η ενέργεια ενεργοποίησης, και R η σταθερά των ιδανικών αερίων. Τυπικές τιµές των παραπάνω παραµέτρων για την περίπτωση µηισοθερµοκρασιακής εκβολής µε εµφύσηση για πολυαιθυλένιο χαµηλής

6-9 πυκνότητας (LDPE, L8 Stamylan) δίνονται στον Πίνακα 6. όπως παρατίθενται από τον Tas [TAS 94]. Πίνακας 6.. Τιµές των παραµέτρων για το πολυαιθυλένιο χαµηλής πυκνότητας (LDPE, L8 Stamylan) [TAS 94] στους 90 0 C. Ιδιότητα (Μονάδες) Πυκνότητα, ρ (g cm -3 ) Ενέργεια ενεργοποίησης, E (J ml - ) Θερµοκρασία αναφοράς, T ref ( C, K) Ειδική θερµότητα, C P, (erg g - K - ) Ιξώδες µηδενικού ρυθµού διάτµησης, η (Pa s) Σταθερά ιδανικών αερίων, R (J ml - K - ) Συντελεστής ακτινοβολίας, ε Σταθερά Stefan-Bltzmann, K (erg s - cm - K 4 ) Εµπειρικές σταθερές, k και k (K - ) στην Eξ. (6.3) Συντελεστής διαστολής, c ρ στην Εξ. (6.4) Συντελεστής µεταφοράς θερµότητας, H (erg cm - K - ) Τιµή 0.9 57500.0 90 (463).30 0 7 365.0 8.34 0.65 5.67 0-5.454 και 0.0007 0.00069 40000.0 6..3. Οριακές Συνθήκες και Προσδιορισµός της Γραµµής Ψύξης Οι παραπάνω γενικές εξισώσεις (6.8), (6.9), (6.0), που διέπουν τη διεργασία, υπόκεινται στις εξής οριακές συνθήκες: r = r L dr στο z = 0, u = u στο z =, = 0 (6.6) r dz T = T Πρέπει εδώ να σηµειωθεί ότι ένας τρόπος επίλυσης του προβλήµατος είναι να θεωρηθεί ότι είναι γνωστή (από πειράµατα, π.χ.) η θέση της γραµµής ψύξης a priri, όπως συνήθως έχει γίνει σε διάφορες µελέτες (βλ., π.χ., [PEA 70b] [LUO 85] [CAI 88] [ALA 93]). Στην προσοµοίωση πειραµατικών δεδοµένων, η θέση της γραµµής ψύξης βρίσκεται παρατηρώντας πού η ακτίνα και η ταχύτητα του ασκού

6-0 σταθεροποιούνται. Σε άλλες περιπτώσεις µη-ισοθερµοκρασιακών προσοµοιώσεων (βλ., π.χ., [SID 96]) έχουν γίνει προβλέψεις πέρα από τη γραµµή ψύξης θεωρώντας µια κατάλληλη θερµοκρασία στερεοποίησης, και απειρίζοντας το ιξώδες όπου έχει ξεπεραστεί η θερµοκρασία αυτή (µ + ). Αυτό έχει σαν συνέπεια να γίνονται σταθερές οι προς επίλυση µεταβλητές (δηλ. η ακτίνα, ταχύτητα, και θερµοκρασία του ασκού). Η µέθοδος αυτή όµως προσθέτει µία παραπάνω προσαρµοζόµενη παράµετρο (τη θερµοκρασία ψύξης, T f ) στο αριθµητικό σχήµα. Είναι πιο κατάλληλο να διαλέξει κανείς τη θέση της γραµµής ψύξης a priri, σε συνέπεια µε τα πειραµατικά δεδοµένα, παρά να εισάγει µια άλλη άγνωστη µεταβλητή (τη θέση γραµµής ψύξης, L) µαζί µε µια άλλη προσαρµοζόµενη παράµετρο (T f ). Οι παραπάνω εξισώσεις που διέπουν τη διεργασία εκβολής µε εµφύσηση ισχύουν στην περιοχή του υγρού τήγµατος. Κοντά στη γραµµή ψύξης, οι προσοµοιώσεις προβλέπουν σταθερή ακτίνα του ασκού λόγω της δεύτερης οριακής συνθήκης ( z = L r, dr dz = 0 ), δίνοντας έτσι τη φαινοµενική εικόνα της στερεοποίησης, όπως φαίνεται και πειραµατικά. Όµως, η ταχύτητα και η θερµοκρασία δεν είναι σταθερές κοντά στη γραµµή ψύξης, και δεν µπορούν να τεθούν σαν σταθερές µε άλλη παρόµοια προς την ακτίνα οριακή συνθήκη, γιατί αυτό θα έκανε το σύστηµα των εξισώσεων υπερπροσδιορισµένο. 6.3. ΜΕΘΟ ΟΣ ΕΠΙΛΥΣΗΣ Η επίλυση των παραπάνω εξισώσεων που διέπουν τη διεργασία µπορεί να γίνει είτε µε την αριθµητική µέθοδο Runge-Kutta 4ης τάξης για συνήθεις διαφορικές εξισώσεις είτε µε τη µέθοδο των πεπερασµένων στοιχείων (Finite Element Methd, FEM), που είναι πιο γενική και ισχύει και για συνήθεις και για µερικές διαφορικές εξισώσεις. ίνεται εδώ σε συντοµία η επίλυση µε τη FEM, µιας και

6- αυτή έχει χρησιµοποιηθεί σε όλα τα λογισµικά πακέτα που έχουν αναπτυχθεί από το συγγραφέα για τις διεργασίας µορφοποίησης πλαστικών και σύνθετων υλικών. Οι άγνωστοι του προβλήµατος είναι η επιφανειακή ταχύτητα u, η ακτίνα r, και η θερµοκρασία T, κατά µήκος του ασκού. Οι µεταβλητές αυτές προσεγγίζονται από πολυώνυµα δευτέρου βαθµού, που λέγονται συναρτήσεις σχήµατος πεπερασµένων στοιχείων (finite element shape functins), φ i, για κάθε στοιχείο: 3 i uz () = uiφ () z i= 3 i rz () = ri φ () z i= 3 i Tz () = Ti φ () z i=, i=,3 (6.7), i=,3 (6.8), i=,3 (6.9) Οι διαφορικές εξισώσεις που σχετίζονται µε κάθε άγνωστη µεταβλητή (Eξ. 6.8, 6.9, και 6.0) γράφονται κατά Galerkin χρησιµοποιώντας σαν συντελεστές βάρους τις ίδιες συναρτήσεις σχήµατος µε αυτές που χρησιµοποιούνται για τις παραπάνω µεταβλητές, τα δε προκύπτοντα υπόλοιπα των εξισώσεων µε εφαρµογή των κατάλληλων οριακών συνθηκών είναι R r = 0, (6.30) R r i i dr dφ = + dz dz 0 A r B ( + ) dr tt dr i rb + dz dz ru + σ φ dz = 0 / i=,,nn, (6.3) R u = 0, (6.3) i dr Ru = ss ( A + r B) + / σ dz dz = 0, i=,,nn, (6.33) 0 R T = 0, (6.34)

6- [ ] R [ T ] T d i i i z= φ 4 4 i T = φ r ( T T ) ( T T ) dz z a + a = = γ γ φ 0 0, dz 0 i=,,nn, (6.35) όπου ΝΝ είναι ο συνολικός αριθµός των κόµβων όλων των πεπερασµένων στοιχείων. Όλα τα οριακά υπόλοιπα στην έξοδο από τη µήτρα εκβολής µηδενίζονται προκειµένου να τεθούν οι δεδοµένες οριακές συνθήκες της ακτίνας, ταχύτητας, και θερµοκρασίας στην αρχή του ασκού. Οι τάσεις στις εξισώσεις αντικαθίστανται από τις σχέσεις (6.6) και (6.7) που εκφράζουν τη Νευτωνική ρεολογική καταστατική εξίσωση. Τα υπόλοιπα κατά Galerkin υπολογίζονται µε αριθµητική ολοκλήρωση κατά Gauss-Legendre. Τα υπόλοιπα που πρέπει να τείνουν προς το µηδέν, δίνουν ένα σύστηµα 3 NN µη-γραµµικών εξισώσεων µε τις µεταβλητές, q={r,r,,r NN,u,u,,u NN,T,T,,T NN } T, σαν αγνώστους. Οι εξισώσεις επιλύονται µε την επαναληπτική µέθοδο Newtn-Raphsn, δηλ., ( n ) ( n) ( n) [ J] { q + q } = { R( q )} (6.36) όπου R είναι το διάνυσµα των ζυγισµένων κατά Galerkin υπολοίπων και [J] είναι η Ιακωβιανή µήτρα των µερικών παραγώγων των υπολοίπων σε σχέση µε τις τιµές των µεταβλητών ανά κόµβο {q (n) } για την n οστή επανάληψη. Ο ορισµός της Ιακωβιανής παραγώγου είναι J ij Ri = u j (6.37) και οι όροι της υπολογίζονται αριθµητικά σύµφωνα µε τον ορισµό της παραγώγου και την αντικατάστασή της µε διαφορές, δηλ. Ri u j Ri. u Η εφαρµογή της µεθόδου επίλυσης γίνεται µε λογισµικό κώδικα πεπερασµένων στοιχείων (F-BLOW), γραµµένο ειδικά για προσοµοιώσεις της διεργασίας εκβολής µε εµφύσηση [BEA 99]. Το πρόγραµµα είναι γενικό και ισχύει τόσο για Νευτωνικά όσο και για µη- Νευτωνικά ιξωδοελαστικά ρευστά. Για ιξωδοελαστικές j

6-3 προσοµοιώσεις, γίνεται πρώτα η Νευτωνική επίλυση για χαµηλές παροχές (χαµηλά επίπεδα ιξωδοελαστικότητας) και κατόπιν αυξάνεται η παροχή (αυξάνοντας εποµένως και το επίπεδο ιξωδοελαστικότητας) κάνοντας χρήση συνέχειας της λύσης των µεταβλητών. Σύγκλιση του µη-γραµµικού συστήµατος των εξισώσεων θεωρείται ότι επιτεύχθηκε όταν η τετραγωνική ρίζα των µέσων αποκλίσεων είναι κάτω από 0-4. Ένα παράδειγµα της όλης διεργασίας της επαναληπτικής επίλυσης δίνεται στον Πίνακα 6.. Πίνακας 6.. ιεργασία σύγκλισης αριθµητικού σχήµατος για το λογισµικό F-BLOW [BEA 99] που χρησιµοποιείται σε προσοµοιώσεις εκβολής µε εµφύσηση. Περίπτωση πολυαιθυλενίου χαµηλής πυκνότητας (LDPE, L8 Stamylan) [TAS 94]. Ο χρόνος CPU δίνεται για υπολογισµούς σε σταθµό εργασίας (IBM-RISC 6000/590). Οι αριθµοί σε παρένθεση στην τελευταία στήλη αναφέρονται σε πραγµατικό χρόνο σε δευτερόλεπτα. # στοιχείων # κόµβων # µεταβλητών # επαναλήψεων Χρόνος CPU (s/επανάληψη) Ολικός χρόνος CPU (s) 46 93 3 6 48. 9 (403) 6.4. ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΖΗΤΗΣΗ 6.4.. Ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική Εκβολή µε Εµφύσηση Για την αξιοπιστία των αριθµητικών επιλύσεων έχει τεθεί µια πρότυπη λύση µε δεδοµένο σύνολο παραµέτρων για την ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική εκβολή µε εµφύσηση. Αυτές είναι: αδιάστατη δύναµη T z =.9, αδιάστατη πίεση B=0., αδιάστατο µήκος γραµµής L/r =5.0, µε επιλύσεις που έχουν πλήρως τεκµηριωθεί από τους Pearsn και Petrie [PEA 70b], και τους Lu και Tanner [LUO 85]. Το πρόβληµα έχει επιλυθεί αριθµητικά και µε τη µέθοδο Runge-Kutta (R-K) 4ης τάξης και µε τη µέθοδο πεπερασµένων στοιχείων (FEM),

6-4 κάνοντας χρήση του λογισµικού πακέτου F-BLOW [BEA 99]. Τα αποτελέσµατα δίνονται στο Σχήµα 6.3 για την ακτίνα και την ταχύτητα του ασκού κατά µήκος της γραµµής εµφύσησης. 4 Viscelastic Ws=0.00 Newtnian 9 8 Dimensinless Radius, r / r 3 7 6 5 4 3 Dimensinless Velcity, u / u 0 3 4 5 Dimensinless Distance, z / r Σχήµα 6.3 Προβλέψεις της ακτίνας και ταχύτητας του ασκού για την ισοθερµοκρασιακή Νευτωνική εκβολή µε εµφύσηση. Σύγκριση επιλύσεων µε τη µέθοδο Runge-Kutta (συνεχής γραµµή) και πεπερασµένων στοιχείων (FEM) (σύµβολα). εδοµένα: αδιάστατη δύναµη Τ z =.9, αδιάστατη πίεση B=0., αδιάστατο µήκος L/r =5.0. Οι Pearsn και Petrie [PEA 70a,b] έχουν επιλύσει το σύστηµα των εξισώσεων (6.8) και (6.9) για διάφορες ρεαλιστικές τιµές του λόγου εµφύσησης (ΒUR), µείωσης πάχους (h 0 /h f ), και ύψους γραµµής ψύξης (X=z/L). Αν τεθεί αυθαίρετα µία από τις παραµέτρους Χ, Β, ή Τ z, λαµβάνονται επιλύσεις του προβλήµατος σαν καµπύλες στο επίπεδο (ΒUR, h 0 /h f ), πάνω στο οποίο περιορίζονται οι άλλες δύο παράµετροι. Αυτό φαίνεται στο Σχήµα 6.4, όπου δίνεται µια σειρά λύσεων για συγκεκριµένο ύψος της γραµµής ψύξης Χ = 0.

6-5 Οποιοδήποτε σηµείο στο επίπεδο (ΒUR, h 0 /h f ), που φυσικά σηµαίνει συγκεκριµένες τιµές του λόγου µεγέθυνσης και της µείωσης πάχους, είναι η τοµή δύο καµπυλών, µιας µε σταθερό Β και µιας µε σταθερό Τ z. Σηµειωτέον ότι το Σχήµα 6.4 αντιστοιχεί µόνο για µια συγκεκριµένη τιµή του Χ. Όµως όλες οι συνθήκες λειτουργίας βρίσκονται από το Σχήµα αυτό. Σχήµα 6.4 Υπολογιστικά αποτελέσµατα για εκβολή µε εµφύσηση Νευτωνικού ρευστού σε ισοθερµοκρασιακές συνθήκες για την περίπτωση Χ=0 (από τους Pearsn και Petrie, 970a). Αν, για παράδειγµα, η πίεση έχει τεθεί αυθαίρετα, λαµβάνουµε το Σχήµα 6.5, όπου µπορεί κανείς να δεί την επίδραση της αύξησης του ύψους της γραµµής ψύξης για σταθερό Τ z. Λόγω του µεγάλου αριθµού παραµέτρων που εµφανίζονται στο µοντέλο, δεν είναι δυνατή η παρουσίαση όλων των αποτελεσµάτων σε ένα και µοναδικό σχήµα. Οι Pearsn και Petrie [PEA 70a,b] έχουν δώσει διάφορα σχήµατα παρόµοια µε τα Σχήµατα 6.4 και 6.5 στην πρωτότυπη εργασία τους.

6-6 Η αξονική ισορροπία δυνάµεων (Εξ. 6.6) καθορίζει τη δύναµη έλασης F σαν µια από τις παραµέτρους λειτουργίας της γραµµής. Είναι δυνατό στην πράξη να λειτουργήσει η γραµµή ελέγχοντας τη δύναµη έλασης στην κορυφή. Είναι όµως επίσης δυνατό να ελεγχθεί η ταχύτητα έλασης ή ο αδιάστατος λόγος έλασης D R = u f / u 0. Επειδή όµως ισχύει η σχέση από τη διατήρηση µάζας Σχήµα 6.5 Υπολογιστικά αποτελέσµατα για εκβολή µε εµφύσηση Νευτωνικού ρευστού σε ισοθερµοκρασιακές συνθήκες για την περίπτωση Β=0. (από τους Pearsn και Petrie, 970a). u BUR u f 0 h = = ( BUR)( DR) (6.38) h f είναι προφανές ότι δεν µπορεί να θέσει κανείς ανεξάρτητα το D R και το Τ z (F z ). Αν τα BUR και h 0 /h f τεθούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, βρίσκει κανείς σαν µέρος της λύσης µια τιµή για το Τ z. Όµως,

6-7 καθορισµός των BUR και h 0 /h f καθορίζει επίσης και το D R, µέσω της Εξ. (6.36). Με αυτή την έννοια τα D R και Τ z δεν είναι ανεξάρτητα. Παράδειγµα 6. Για την παραγωγή φιλµ πολυαιθυλενίου µε εµφύσηση, οι προδιαγραφές είναι για πάχος h f = 0.005 cm και πλάτος του επίπεδου φιλµ w = 0 cm (πλάτος του επίπεδου φιλµ νοείται η µισή περίµετρος). Η µήτρα εκβολής έχει εσωτερική ακτίνα r 0 = 5 cm και άνοιγµα h 0 = 0.5 cm. Ο ρυθµός παραγωγής είναι m = 3.6 kg/hr, ενώ το ιξώδες είναι µ = 30000 Pa s. Θεωρούµε Νευτωνική ισοθερµοκρασιακή ροή µέχρι τη γραµµή ψύξης. Η πυκνότητα του τήγµατος είναι ρ = 897 kg/m 3. Να προσδιοριστούν αποδεκτές συνθήκες λειτουργίας της γραµµής εµφύσησης. Επίλυση: Για την επίλυση του προβλήµατος καθορίζουµε τιµές για µία από τις παραµέτρους Χ, Τ z, και Β, και βρίσκουµε τις τιµές για τις άλλες δύο. Ας καθορίσουµε L = 00 cm, ή Χ = L/r 0 = 0. Από τα γεωµετρικά δεδοµένα προκύπτει h h f 0.5 = = 0.005 5 0 και BUR =. 7 π r = Από το Σχήµα 6.4 βρίσκουµε Β = 0.5 Τ z = 0.70 Αντιστρέφοντας τους ορισµούς για το Β και το Τ z βρίσκουµε P = 46.5 Pa F z =.78 N Ο λόγος έλασης είναι D R = h f h = 9.7 ( BUR)

6-8 Είτε το D R είτε το F z πρέπει να µένουν σταθερά στις δεδοµένες τιµές. Παρατηρούµε ότι η απαιτούµενη Ρ είναι πολύ µικρή, και ερευνούµε την απόκριση του συστήµατος σε αλλαγή του Ρ µε καθορισµένες τις τιµές Χ και Τ z. Ας θεωρήσουµε ότι το Ρ αλλάζει σε Ρ = 38.6 Pa, έτσι ώστε το Β = 0.5. Βρίσκουµε από το Σχήµα 6.4 ότι (µε την προϋπόθεση ότι το Τ z κρατείται σταθερό στα 0.7) h BUR =.5 = 7 h Η πιο σπουδαία µεταβολή είναι η µείωση του λόγου πάχους, που θα παρήγαγε φιλµ πάχους h f = 0.0074 cm, δηλ. σχεδόν 50% παχύτερο από την απαιτούµενη τιµή. Ο λόγος µεγέθυνσης αυξάνεται κάπως, µε αντίστοιχη αύξηση στο πλάτος του επίπεδου φιλµ από w = 0 cm στα 4 cm. Προφανώς το σύστηµα δεν µπορεί να δέχεται τέτοιες µεγάλες µειώσεις στην πίεση εµφύσησης ( 7%). Ας υποθέσουµε ότι ελέγχαµε το λόγο έλασης (στα 9.7) αντί να κρατάµε σταθερό το F z (Τ z ). Τότε θα βρίσκαµε, για Β = 0.5, Χ = 0, f D R = 9.7, h h f = 60 (µε προεκβολή από το Σχήµα) BUR = 3 Αυτές θεωρούνται πολύ µεγάλες µεταβολές στο σύστηµα µακρυά από τις προδιαγραφές. Το συµπέρασµα αυτό είναι γενικό και ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις. Γι αυτό είναι πολύ καλύτερα να ρυθµίζεται η δύναµη έλασης παρά η ταχύτητα έλασης στη διεργασία.

6-9 6.4.. Ισοθερµοκρασιακή Εκβολή µε Εµφύσηση µε το Μοντέλο Maxwell Για ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις, χρειάζεται η χρήση κατάλληλου ρεολογικού µοντέλου. Το πιο απλό ιξωδοελαστικό µοντέλο είναι το µοντέλο Maxwell άνω συναγωγής (uppercnvected Maxwell mdel ή UCM), το οποίο γράφεται στην πιο γενική του µορφή ως τ + λτ = µγ (6.39) όπου λ είναι ο χρόνος χαλάρωσης και τ δίνεται από τον τύπο τ t T T τ = + v τ v τ τ v (6.40) και καλείται παράγωγος άνω συναγωγής, που επιτρέπει την περιγραφή µετατόπισης, περιστροφής, και παραµόρφωσης ενός ειδικού όγκου ελέγχου του υλικού στον τρισδιάστατο χώρο. Η ιξωδοελαστικότητα του υλικού χαρακτηρίζεται από τον αδιάστατο αριθµό Weissenberg, Ws, που δίνεται από τη σχέση Ws u r = λ (6.4) Προφανώς, Ws=0 αντιστοιχεί στο Νευτωνικό ρευστό (ανελαστικό, πλήρως ιξώδες), ενώ µη-µηδενικές τιµές του Ws αντιστοιχούν σε διαφορετικούς βαθµούς ιξωδοελαστικότητας, που αυξάνονται µε την αύξηση του Ws. Η επίλυση του παραπάνω µοντέλου για ακριβώς τις ίδιες συνθήκες όπως αυτές του Νευτωνικού ρευστού έχει γίνει πρώτα από τους Lu και Tanner [LUO 85] και επαληθευτεί µε το λογισµικό πρόγραµµα F-BLOW [ΒΕΑ 99] για διαφορετικές τιµές του αριθµού Ws (Ws=0.,0.5,0.,0.5,0.7). Τα αποτελέσµατα δίνονται στο Σχήµα

6-0 6.6, όπου φαίνεται ότι η ιξωδοελαστικότητα έχει σαν αποτέλεσµα τη µείωση της καµπυλότητας του ασκού, ο οποίος για µεγάλους αριθµούς Ws αντιστέκεται στην παραµόρφωση και εµφυσάται σαν στερεό υλικό µε µειωµένη ακτίνα. Το ανώτατο όριο που επιτεύχθηκε σύγκλιση του αριθµητικού σχήµατος είναι για Ws=0.7. Είναι προφανές ότι σε ακόµα µεγαλύτερες τιµές του αριθµού Ws θα γινόταν εµφύσηση µε οµοιόµορφη ακτίνα και ταχύτητα (έλαση στερεού ασκού). Σχήµα 6.6 Προβλέψεις από τις ισοθερµοκρασιακές ιξωδοελαστικές 5,0 This wrk Lu and Tanner [LUO 85] 4,0 Dimensinless Radius, r / r 3,0,0,0 Ws = 0 Ws = 0. Ws = 0.5 Ws = 0. Ws = 0.5 Ws = 0.7 0,0 0,0,0,0 3,0 4,0 5,0 Dimensinless Distance, z / r προσοµοιώσεις µε το µοντέλο Maxwell άνω συναγωγής (Upper- Cnvected Maxwell, UCM) για διαφορετικούς αριθµούς Ws. Σύγκριση αποτελεσµάτων από το λογισµικό F-BLOW [BEA 99] (συνεχής γραµµή) µε τα αποτελέσµατα των Lu και Tanner [LUO 85] (διακεκοµµένη γραµµή).

6-6.4.3. Μη-Ισοθερµοκρασιακή Εκβολή µε Εµφύσηση µε το Μοντέλο Maxwell Οι µη-ισοθερµοκρασιακές προσοµοιώσεις µε το µοντέλο Μaxwell (UCM) έχουν γίνει µε τα δεδοµένα του Πίνακα 6.3. Το Σχήµα 6.7 δίνει την ακτίνα, ταχύτητα, και θερµοκρασία στον ασκό για τις συνθήκες λειτουργίας του Πίνακα 6.3.,8 86,7 Mrland - Lee hypthesis Shift relaxatin times Mrland - Lee hypthesis Shift relaxatin times 85 Mrland - Lee hypthesis Shift relaxatin times 0 Dimensinless Radius, r / r,6,5,4,3,, Dimensinless Velcity, u / u 9 8 7 6 5 4 3 Temperature, T ( C) 84 83 8 8 80,0 79 0,9 0 3 4 5 0 3 4 5 78 0 3 4 5 Dimensinless Distance, z / r Dimensinless Distance, z / r Dimensinless Distance, z / r Σχήµα 6.7 Προβλέψεις από τις µη-ισοθερµοκρασιακές ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις µε το µοντέλο Maxwell άνω συναγωγής (Upper- Cnvected Maxwell, UCM) για Ws=0.3. Σύγκριση αποτελεσµάτων από το λογισµικό F-BLOW [BEA 99] (συνεχής γραµµή) µε τα αποτελέσµατα των Lu και Tanner [LUO 85] (διακεκοµµένη γραµµή). 6.4.4. Μη-Ισοθερµοκρασιακή Εκβολή µε Εµφύσηση µε το Μοντέλο Παπ-Ζαπ - Σύγκριση µε Πειράµατα 6.4.4.. Πειράµατα του Tas [94] Σύγκριση των αριθµητικών προσοµοιώσεων κάνοντας χρήση του ιξωδοελαστικού µοντέλου Παπ-Ζαπ µε τα πειράµατα του Tas [TAS 94] για το πολυαιθυλένιο χαµηλής πυκνότητας (LDPE, L8 Stamylan) (βλ. δεδοµένα στον Πίνακα 6. και 6.4) παρουσιάζεται στο Σχήµα 6.7α,β,γ για την ακτίνα, ταχύτητα, και θερµοκρασία, αντίστοιχα.

6- Πίνακας 6.3 Τιµές των παραµέτρων για τις µη-ισοθερµοκρασιακές προσοµοιώσεις του ρευστού Maxwell άνω συναγωγής. Ιδιότητα (Μονάδες) Πυκνότητα, ρ (g cm -3 ) Ενέργεια ενεργοποίησης, E (J ml - ) Θερµοκρασία αναφοράς, T ref ( C, K) Ειδική θερµότητα, C P, (erg g - K - ) Χρόνος χαλάρωσης, λ (s) Ιξώδες µηδενικού ρυθµού διάτµησης, η (Pa s) Σταθερά ιδανικών αερίων, R (J ml - K - ) Συντελεστής ακτινοβολίας, ε Σταθερά Stefan-Bltzmann (erg s - cm - K 4 ) Εµπειρικές σταθερές, k και k (K - ) στην Eξ. (6.3) Συντελεστής διαστολής, c ρ στην Eξ. (6.4) Συντελεστής µεταφοράς θερµότητας, H (erg cm - K - ) Τιµή.0 70000.0 85 (458).00 0 7 0.3 90000.0 8.34 0.5 5.67 0-5.454 και 0.0007 0.00069 6000.0 Ακτίνα ασκού στη µήτρα εκβολής, r 0 (cm) Ταχύτητα τήγµατος στη µήτρα εκβολής, u 0 (cm s - ) Πάχος φιλµ στη µήτρα εκβολής, h 0 (cm) Αδιάστατο ύψος, L / r 0 Θερµοκρασία εισόδου, T 0 ( C, K) Αδιάστατη δύναµη, Τ z Αδιάστατη πίεση, B Θερµοκρασία αέρα, T air ( C, K).0.0 0. 5.0 85 (458).9 0. 5 (98) Είναι προφανές από το Σχήµα 6.7 ότι και για τις τρεις περιπτώσεις των πειραµάτων του Tas (πειράµατα #0, #3, and #9 [TAS 94] όπου αλλάζει η δύναµη έλασης), οι προσοµοιώσεις δεν µπορούν να προβλέψουν µε ακρίβεια το σωστό σχήµα του ασκού. Ο κύριος λόγος φαίνεται να είναι οι εξωτερικές δυνάµεις εµφύσησης αέρα ψύξης, οι οποίες δεν λαµβάνονται υπόψη στο παρόν µοντέλο

6-3 Πίνακας 6.4 Συνθήκες λειτουργίας γραµµής εκβολής µε εµφύσηση που χρησιµοποιήθηκαν στα πειράµατα µε πολυαιθυλένιο χαµηλής πυκνότητας (LDPE, L8 Stamylan) του Tas [TAS 94]. Ιδιότητα (Μονάδες) Ακτίνα ασκού στη µήτρα εκβολής, r 0 (cm) Ταχύτητα τήγµατος στη µήτρα εκβολής, u 0 (cm s - ) Πάχος φιλµ στη µήτρα εκβολής, h 0 (cm) Αδιάστατο ύψος, L / r 0 Θερµοκρασία εισόδου, T 0 ( C, K) Θερµοκρασία αέρα, T air ( C, K) Τιµή.78 0.498 0. 0.0 45 (48) 5 (98) ανάλυσης των Pearsn και Petrie για τη διεργασία της εκβολής µε εµφύσηση. Τέτοιες δυνάµεις προέρχονται από την τυρβώδη ροή του αέρα ψύξης που προσφυσάται από ακροφύσια στον ασκό για την ψύξη της επιφάνειάς του. Άλλες δυνάµεις που δεν έχουν ληφθεί υπόψη στην ανάλυση είναι οπισθέλκουσες δυνάµεις από τον αέρα στην επιφάνεια, δυνάµεις βαρύτητας, αδράνειας, και επιφανειακής τάσης. Από όλες αυτές, οι τρεις τελευταίες αποδεικνύεται ότι είναι αµελητέες στην περίπτωση εκβολής πολυµερικών τηγµάτων [PEA 70b]. Στο Σχήµα 6.7 δίνονται επίσης τα αποτελέσµατα από τις προσοµοιώσεις των Σιδηρόπουλου et al. [SID 96], οι οποίοι χρησιµοποίησαν µη-ισοθερµοκρασιακό Νευτωνικό µοντέλο. Το Σχήµα 6.7 δείχνει ότι τα αποτελέσµατα των Σιδηρόπουλου et al. [SID 96] και τα αποτελέσµατα µε το πολύπλοκο ιξωδοελαστικό µοντέλο Παπ-Ζαπ δεν διαφέρουν κατά πολύ εκτός για το πείραµα #0. Ο λόγος για τη διαφορά αυτή έγκειται στην επιλογή της θέσης της γραµµής ψύξης. Οι Σιδηρόπουλος et al. [SID 96] επέλεξαν τη θέση της γραµµής ψύξης πιο

6-4 κοντά στη µήτρα εκβολής από ότι οι προσοµοιώσεις µε το µοντέλο Παπ-Ζαπ. Ένας άλλος λόγος για τις διαφορές µεταξύ προσοµοιώσεων και πειραµατικών δεδοµένων µπορεί να οφείλεται στην ύπαρξη πολλαπλών λύσεων, που είναι δυνατές µε το παρόν µοντέλο ανάλυσης της διεργασίας. Συγκεκριµένα και άλλοι ερευνητές ([LUO 85], [CAI 88], [PET 73]) έχουν βρεί δυσκολίες στην αριθµητική επίλυση του προσεγγιστικού µοντέλου λεπτής µεµβράνης, οι οποίες δυσκολίες έχουν να κάνουν µε πολλαπλότητα και αστάθεια των επιλύσεων. 6 5 This wrk Sidirpuls et al. [SID 96] Exp. #0 [TAS 94] Exp. #3 [TAS 94] Exp. #9 [TAS 94] 6 4 This wrk Sidirpuls et al. [SID 96] Exp. #0 [TAS 94] Exp. #3 [TAS 94] Exp. #9 [TAS 94] 50 40 This wrk Sidirpuls et al. [SID 96] Exp. #0 [TAS 94] Exp. #3 [TAS 94] Exp. #9 [TAS 94] 0 30 Radius (cm) 4 3 Velcity (cm/s) 8 6 4 Temperature ( C) 0 0 00 0 90 0 4 6 8 0 4 6 8 Distance (cm) 0 4 6 8 0 4 6 8 Distance (cm) 80 0 4 6 8 0 4 6 8 Distance (cm) Σχήµα 6.7 Σύγκριση προσοµοιώσεων µε πειράµατα για την εκβολή µε εµφύσηση πολυαιθυλενίου χαµηλής πυκνότητας (LDPE, L8 Stamylan). Τα πειράµατα έχουν γίνει από τον Tas [TAS 94], ενώ οι προσοµοιώσεις από τους Σιδηρόπουλο et al. [SID 96], και τον Beaulne [BEA 99]. Οι συνθήκες λειτουργίας της γραµµής δίνονται στους Πίνακες 6. και 6.4. Η µέθοδος που χρησιµοποιήθηκε από τον Beaulne [BEA 99] για την πρόβλεψη του σχήµατος του ασκού είναι να αλλάζει τα δεδοµένα της αδιάστατης πίεσης, B, και της αδιάστατης δύναµης, Τ z, µέχρι η τελική ακτίνα, r L, και η τελική ταχύτητα, u L, στις προσοµοιώσεις να ταιριάζουν µε τις πειραµατικές τιµές. Στον Πίνακα 6.5 δίνονται τα αποτελέσµατα από τις προσοµοιώσεις για την αδιάστατη δύναµη έλασης και πίεση εµφύσησης και συγκρίνονται µε

6-5 Πίνακας 6.5 Σύγκριση των αποτελεσµάτων προσοµοίωσης µε τα πειραµατικά δεδοµένα για την πίεση εµφύσησης και τη δύναµη έλασης στην περίπτωση εκβολής µε εµφύσηση πολυαιθυλενίου χαµηλής πυκνότητας (L8 Stamylan LDPE) που έγιναν από τον Tas [TAS 94] και προσοµοιώσεις από τους Σιδηρόπουλο et al. [SID 96] # Πειρά- µατος ύναµη έλασης (N) [TAS 94] ύναµη έλασης (N) [ΒΕΑ 99] ύναµη έλασης (N) [SID 96] Πίεση εµφύσησης (Pa) [TAS 94] Πίεση εµφύσησης (Pa) [ΒΕΑ 99] Πίεση εµφύσησης (Pa) [SID 96] 0 3 9 3.80 4.30 3.50.60.86.3.05.0.30 78 85 70 98 86 68 70 50 0 τα πειράµατα και τις προηγούµενες προσοµοιώσεις µε το καθαρά Νευτωνικό ιξώδες µοντέλο. Οι προσοµοιώσεις προβλέπουν µικρότερες τιµές για τη δύναµη και µεγαλύτερες για την πίεση από ότι τα πειράµατα και για τις τρεις περιπτώσεις. Όµως, οι ιξωδοελαστικές προσοµοιώσεις προβλέπουν δυνάµεις πιο κοντά στα πειράµατα από ότι οι προσοµοιώσεις των Σιδηρόπουλου et al. [SID 96], µε το καθαρά Νευτωνικό ιξώδες µοντέλο. Και πάλι, πρέπει να αναφερθεί η αδυναµία του µοντέλου να λάβει υπόψη όλες τις ασκούµενες δυνάµεις από τον προσφυσούµενο αέρα στο φιλµ. Το µοντέλο κάνει καλύτερη πρόβλεψη για τις δυνάµεις και πιέσεις για υψηλότερους λόγους BUR. Μια άλλη διάσταση του προβλήµατος έχει να κάνει µε τη θερµοκρασιακή κατανοµή κατά µήκος του ασκού. Φαίνεται στο Σχήµα 6.7γ ότι οι προσοµοιώσεις για τα θερµοκρασιακά προφίλ βρίσκονται σε συµφωνία µε τα παρατηρούµενα πειραµατικά και για τις τρεις περιπτώσεις. Όµως, ο συντελεστής µεταφοράς θερµότητας που χρησιµοποιήθηκε στις προσοµοιώσεις για να προβλεφθούν τα προφίλ της θερµοκρασίας ικανοποιητικά, και που δίνεται στον Πίνακα 6., είναι 0 φορές µεγαλύτερος από εκείνο που χρησιµοποιήθηκε σε άλλες

6-6 προηγούµενες µη-ισοθερµοκρασιακές προσοµοιώσεις [LUO 85] [CAI 88]. Είναι πολύ πιθανό ότι ο Tas [TAS 94] χρησιµοποίησε υψηλότερες ταχύτητες αέρα ψύξης για να στερεοποιήσει τον ασκό. Ο κύριος λόγος για τις διαφορές πρόβλεψης των µη-ισοθερµοκρασιακών προσοµοιώσεων είναι και πάλι η αδυναµία του µοντέλου ανάλυσης της διεργασίας, ειδικά η εξίσωση διατήρησης της ενέργειας (6.0), να λάβει υπόψη του τη θερµότητα συναγωγής που προκύπτει από την προσφύσηση αέρα υπό συνθήκες τυρβώδους ροής γύρω από τον ασκό. Χρειάζεται καλύτερη σχέση για το συντελεστή µεταφοράς θερµότητας, H, στην Eξ. (6.), που να λαµβάνει υπόψη την ταχύτητα του αέρα γύρω από τον ασκό. Τέτοιες σχέσεις υπάρχουν για προσφύσηση αέρα ανάµεσα από κυλίνδρους και επίπεδες επιφάνειες, αλλά όχι για πολύπλοκες καταστάσεις όπως η παρούσα (τυρβώδης ροή αέρα στην ίδια κατεύθυνση µε την κίνηση ασκού µε µεταβλητή ακτίνα). 6.5. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Το µοντέλο ανάλυσης της διεργασίας εκβολής µε εµφύσηση που παρουσιάστηκε εδώ έχει αρκετές αδυναµίες, µε πιο σπουδαία την έλλειψη θεώρησης ψύξης µεταξύ της µήτρας εκβολής και της γραµµής ψύξης, καθώς επίσης και της θεώρησης Νευτωνικού ρευστού. Η εισαγωγή των δύο αυτών θεωρήσεων κάνει πιο δύσκολο το πρόβληµα αλλά δεν εισάγει µεγάλες µεταβολές στην µέχρι τώρα ανάπτυξη του µοντέλου. Η κύρια δυσκολία δεν είναι τόσο η επέκταση της θεωρίας όσο η εφαρµογή της. Η µη-ισοθερµοκρασιακή ανάλυση πρέπει να κάνει χρήση κάποιου κατάλληλου µοντέλου που να συσχετίζει τη θερµοκρασία του ασκού µε το ρυθµό απώλειας θερµότητας προς τον περιβάλλοντα αέρα. Αυτό εισάγει το συντελεστή µεταφοράς θερµότητας, όπως δείχτηκε

6-7 στην παραπάνω ανάλυση. Οι µέθοδοι που χρησιµοποιούνται σήµερα για την εκτίµηση τέτοιων παραµέτρων είναι ακόµα αναξιόπιστες, και πρέπει να βρεθούν πειραµατικά, κάτι το οποίο δεν είναι και ιδιαίτερα εύκολο. Το πεδίο ροής στη διεργασία αυτή διέπεται από διαξονικό εφελκυσµό. Η εισαγωγή µη-νευτωνικής συµπεριφοράς πρέπει απαραίτητα να γίνει µε κατάλληλο ρεολογικό µοντέλο (καταστατική εξίσωση) που να περιγράφει µε ακρίβεια τη συµπεριφορά του πραγµατικού πολυµερικού τήγµατος σε διαξονικό εφελκυσµό. Η έλλειψη όµως τέτοιων µετρήσεων για τα περισσότερα πολυµερικά τήγµατα κάνει και αυτή τη θεώρηση απραγµατοποίητη µέχρι σήµερα. Εποµένως, εν κατακλείδι, πρέπει να θεωρήσουµε ότι το µοντέλο που παρουσιάστηκε στο κεφάλαιο αυτό αποτελεί µια πρώτη προσπάθεια κατανόησης της πολύ δύσκολης αυτής διεργασίας, και είναι µάλλον ποιοτικό, αλλά οπωσδήποτε όχι ποσοτικό. Αποτελεί τη βάση εκκίνησης για πιο πολύπλοκα µοντέλα και πιο ρεαλιστικές συνθήκες προσοµοίωσης, εποµένως αποτελεί πρόσφορο έδαφος για περαιτέρω έρευνα, ιδίως σε σχέση µε τα θερµικά και ρεολογικά φαινόµενα που διέπουν τη διεργασία και το πολυµερές.

6-8 Βιβλιογραφία [ALA 93] ALAIE, S.M., PAPANASTASIOU, T.C.: "Mdeling f Nn-Isthermal Film Blwing with Integral Cnstitutive Equatins", Intern. Plym. Prc., 8, p. 5-65, 993. [BEA 99] BEAULNE, M.: Rhelgical Characterizatin f Cmplex Materials and Mdeling f Shear-Free Flws, M.A.Sc. Thesis, Dept. Chem. Eng., Univ. Ottawa, Ottawa, Ontari, Canada, 999. [CAI 88] CAIN, J.J., DENN, M.M.: Multiplicities and Instabilities in Film Blwing, Plym. Eng. Sci., 8, p. 57-54, 988. [CAO 90] CAO, B., CAMPBELL, G.A.: Viscplastic-Elastic Mdeling f Tubular Blwn Film Prcessing, AIChE J., 36, p. 40-430, 990. [CHE 87] CHEN, Z., PAPANASTASIOU, A.C.: Fiber Spinning with Mlecular Mdels, Intern. Plym. Prc.,, p. 33-40, 987. [GHA 96a] GHANEH-FARD, A., CARREAU, P.J., LAFLEUR, P.G.: Applicatin f Birefringence t Film Blwing, J. Plast. Film & Sheeting,, p. 68-86, 996. [GHA 96b] GHANEH-FARD, A., CARREAU, P.J., LAFLEUR, P.G.: Study f Instabilities in Film Blwing, AIChE J., 4, p. 388-396, 996. [GHA 97a] GHANEH-FARD, A., CARREAU, P.J., LAFLEUR, P.G.: On-Line Birefringence Measurement in Film Blwing f a Linear Lw Density Plyethylene, Intern. Plym. Prc.,, p. 36-46, 997.

6-9 [GHA 97b] GHANEH-FARD, A., CARREAU, P.J., LAFLEUR, P.G.: Study f Kinematics and Dynamics f Film Blwing f Different Plyethylenes, Plym. Eng. Sci., 37, p. 48-63, 997. [GUP 80] GUPTA, R.K.: A New Nn-Isthermal Rhelgical Cnstitutive Equatin and its Applicatins t Industrial Film Blwing Prcesses, Ph.D. Thesis, Dept. Chem. Eng., University f Delaware, Newark, Delaware, USA, 980. [HAN 75] HAN, C.D., PARK, J.Y.: Studies n Blwn Film Extrusin: II Analysis f the Defrmatin and Heat Transfer Prcess, J. Appl. Plym. Sci., 9, p. 357-377, 975. [HAW 84] HAW, J.: A Study f Tubular Film Blwing Prcess, Ph.D. Thesis, Dept. Chem. Eng., Plytech. Inst. New Yrk, NY, USA, 984. [KAN 84] KANAI, T., WHITE, J.L.: Kinematics, Dynamics and Stability f the Tubular Film Extrusin f Varius Plyethylenes, Plym. Eng. Sci., 4, p. 85-0, 984. [KUR 95] KURTZ, S.J.: Relatinship f Stresses in Blwn-Film Prcesses, Intern. Plym. Prc., 0, p. 48-54, 995. [LUO 85] LUO, X.-L., TANNER, R.I.: A Cmputer Study f Film Blwing, Plym. Eng. Sci., 5, p. 60-69, 985. [LUO 87] LUO, X.-L., TANNER, R.I.: A Pseud-Time Integral Methd fr Nn-Isthermal Viscelastic Flws and its Applicatin t Extrusin Simulatin, Rhel. Acta, 6, p. 499-507, 987. [PEA 70a] PEARSON, J.R.A., PETRIE, C.J.S: The Flw f a Tubular Film Part. Frmal Mathematical Representatin, J. Fluid Mech., 40, p. -9, 970.

6-30 [PEA 70b] PEARSON, J.R.A., PETRIE, C.J.S.: The Flw f a Tubular Film Part. Interpretatin f the Mdel and Discussin f Slutins, J. Fluid Mech., 4, p. 609-65, 970. [PET 73] PETRIE, C.J.S.: Memry Effects in a Nn-Unifrm Flw: A Study f the Behaviur f Tubular Film f Viscelastic Fluid, Rhel. Acta,, p. 9-0, 973. [SID 96] SIDIROPOULOS, V., TAIN, J.J., VLACHOPOULOS, J.: Cmputer Simulatin f Film Blwing, J. Plast. Film & Sheeting,, p. 07-9, 996. [TAS 94] TAS, P.P.: Film Blwing: Frm Plymer t Prduct, Ph.D. Thesis, Dept. Mech. Eng., Eindhven University f Technlgy, Eindhven, The Netherlands, 994. [WAG 78] WAGNER, M.H.: A Rhelgic-Thermdynamic Prcess Mdel f the Film Blwing Prcess, Rhel. Acta, 5, p. 40-54, 978.