3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή A y B : f( {y} ΟΡΙΣΜΟΣ: Κάθε απεικόνιση f: A B ονομάζεται και ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ με πεδίο ορισμού D(f Α και πεδίο τιμών R(f B R(f { y B: A με f(y} ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ: A : ανεξάρτητη μεταβλητή y B : εξαρτημένη μεταβλητή Αν Α, Β R τότε η f ονομάζεται πραγματική συνάρτηση 32 ΕΙΔΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 321 ΤΑΥΤΟΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f: A R με f( 322 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ f: A R με f( α +α 1 +α 2 2 + + α n n 323 ΣΥΜΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: f: A R ονομάζεται συμμετρική ως προς το α (ή την ευθεία ya αν ισχύουν: (i α- A α+ A και (ii f(α- f(α+ ΟΡΙΣΜΟΣ: f: A R ονομάζεται συμμετρική ως προς το σημείο α (ή την ευθεία yή ΑΡΤΙΑ αν: (i - A A και (ii f(- f( ΟΡΙΣΜΟΣ: f: A R ονομάζεται ΠΕΡΙΤΤΗ αν: (i - A A και (ii f(- -f(

324 ΑΜΦΙΜΟΝΟΣΗΜΑΝΤΗ (1-1 ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται αμφιμονοσήμαντη ή ένα προς ένα (1-1 αν και μόνο αν y R(f ένα και μόνο ένα A : f( y 325 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται: (α αύξουσα αν 1, 2 D(f: 1 < 2 f( 1 f( 2 (β γνησίως αύξουσα αν 1, 2 D(f: 1 < 2 f( 1 <f( 2 (γ φθίνουσα αν 1, 2 D(f: 1 < 2 f( 1 f( 2 (δ γνησίως φθίνουσα αν 1, 2 D(f: 1 < 2 f( 1 >f( 2 Όλες οι παραπάνω συναρτήσεις λέγονται μονότονες 326 ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Αντίστροφη συνάρτηση μίας αμφιμονοσήμαντης συνάρτησης f ορίζουμε τη συνάρτηση f --1 : R(f D(f για την οποία f --1 (y D(f και y R(f : f(y 3 327 ΣΥΝΘΕΣΗ ΔΥΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Σύνθεση δύο πραγματικών συναρτήσεων f και g με R(f D(g ορίζουμε τη συνάρτηση g f( g( f( με πεδίο ορισμού D(g f { D(f : f( D(g } ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν R(f D(g τότε D(g fd(f 328 ΦΡΑΓΜΕΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται άνω φραγμένη αν Μ R: f( M D(f ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται κάτω φραγμένη αν Μ R: f( M D(f ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται φραγμένη αν είναι και άνω και κάτω φραγμένη 4

329 ΚΥΡΤΕΣ & ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται κυρτή σε ένα διάστημα Δ D(f αν 1, 2 Δ, t (,1 f( (1-t 1 +t 2 (1-tf( 1 +t f( 2 ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f: A R ονομάζεται κοίλη σε ένα διάστημα Δ D(f αν 1, 2 Δ, t (,1 f( (1-t 1 +t 2 (1-tf( 1 +t f( 2 5 33 ΟΡΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 331 ΟΡΙΣΜΟΙ ΟΡΙΣΜΟΣ: Όριο της f( στην τιμή α Ο αριθμός L είναι το όριο μιας συνάρτησης f( όταν το προσεγγίζει το α αν και μόνο αν ε> δ>: f(-l <ε -α <δ [ L-ε<f(< L+ε α-δ<<α+δ] Με άλλα λόγια: Για οποιοδήποτε θετική ποσότητα ε μπορούμε να βρούμε μια περιοχή (διάστημα κοντά στο α για το οποίο το f( (L-ε, L+ε ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: f ( L 6 ΟΡΙΣΜΟΣ: Πλευρικά Όρια Ο αριθμός L είναι το όριο από δεξιά (αριστερά μιας συνάρτησης f( όταν το προσεγγίζει το α αν και μόνο αν ε> δ>: f(-l <ε α<<α+δ (α-δ<<α ΚΥΡΤΗ ΚΟΙΛΗ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: + f ( f ( L (Αριστερό L (Δεξί

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: f ( f ( L f ( L + ΟΡΙΣΜΟΣ: Όρια στο Άπειρο Ο αριθμός L είναι το όριο μιας συνάρτησης f( όταν το προσεγγίζει το + (- αν και μόνο αν ε> δ>: f(-l <ε >δ (<-δ ΟΡΙΣΜΟΣ: Ο αριθμός L είναι το όριο μιας συνάρτησης f( όταν το προσεγγίζει το α αν και μόνο αν Π(L Π(α: f( Π(L Π(α Π(L: Περιοχή γύρω από το L και Π(α: Περιοχή γύρω από το α 7 332 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Έστω λ 1, λ 2 R και f ( L1 g ( L, 2 1 ( λ 1 f ( + λ 2 g ( λ 1 f ( +λ 2 g ( a λ 1 L 1 +λ 2 L 2 2 ( f ( g ( ( f g ( f ( f ( 3 g ( a g ( L 1 /L 2 a 4 ( f ( n [ f ( ] n n L 1 a 5 f ( f ( L a 1 6 g f ( g ( f ( a αν L 1 D(g L 1 L 2 g(l 1 αν και μόνο 7 Αν f( g( τότε f ( g ( ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Οι ιδιότητες 1&2 μπορούν να γενικευτούν για n συναρτήσεις: 8 8 n i f i ( i 1 λ i n i 1 n n 9 f i ( 1 i 1 n λ i f i ( i 1 n f i ( L i i 1 λ i L i

9 1 333 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ ΠΟΥ ΤΕΙΝΟΥΝ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ 1 ( f ( + g ( + όταν f ( + και g ( L R - όταν f ( και g ( L R + όταν f ( g ( + - όταν f ( g ( απροσδιόριστο όταν f ( + και g ( 2 ( f ( g ( + όταν f ( + και g ( L > + όταν f ( και g ( L < - όταν f ( και g ( L > - όταν f ( + και g ( L < απροσδιόριστο όταν f ( ± και f ( 1 g ( f ( a g ( 3 όπως στο γινόμενο ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Αν g ( + ή - τότε 1 a g ( ± ΕΙΔΙΚΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ: f ( g ( τότε a f ( g ( ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: απροσδιόριστο Αν f( και g( είναι πολυωνυμικές συναρτήσεις και f ( g ( τότε (-α είναι παράγοντας και των δύο συναρτήσεων οπότε f ( ( a f g ( ( f ( a g ( ( a g ( g (

11 12 334 ΒΑΣΙΚΑ ΟΡΙΑ 1 ( sin( ( cos( sin( a α R cos( a α R ( tg ( (a sin( 2 1 3 4 5 k X 1 1 b b α b +, b>1 + tg α R\{ κπ+π/2, κ Ζ } 335 ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Η ευθεία D: yα+β είναι ασύμπτωτη της συνάρτησης f( αν ( f ( a β ή ( f ( a β + ΟΡΙΣΜΟΣ: Η ευθεία D: γ είναι ασύμπτωτη της συνάρτησης f( αν f ( ± f ( ± + ή 6 b, b>1 + ± b b, <b<1 +, <b<1 1 1 + e 7 ( ln( ln(α ( ln( +, ( ln( + - + ln( 8 1 1 1

13 14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1: f(3+1/(-2 34 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 341 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μία συνάρτηση f λέγεται συνεχής στο σημείο α D(f αν και μόνο αν f ( f ( a a ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Μία συνάρτηση f λέγεται συνεχής σε ένα διάστημα Α D(f αν και μόνο αν η f είναι συνεχής σε κάθε σημείο Α ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2: f(+2+1/ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Αν υπάρχουν τα πλευρικά όρια μόνο τότε έχουμε συνέχεια από δεξιά ή αριστερά 342 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ 1 Έστω λ 1,λ 2 R και f(, g( συνεχείς συναρτήσεις Τότε και οι συναρτήσεις: λ 1 f(+λ 2 g(, f(g( και f(/g( είναι συνεχείς 2 Όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις είναι συνεχείς

15 16 ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν f( είναι συνεχής στο [α,β] τότε η συνάρτηση αυτή παίρνει όλες τις τιμές μεταξύ f(α και f(β, δηλαδή Μ (min{f(α,f(β}, ma{ f(α,f(β } γ (α,β: f(γμ ή (min{ f(α,f(β}, ma{ f(α,f(β } R(f ΠΟΡΙΣΜΑ: Αν f( είναι συνεχής και μονότονη στο D(f[α,β] τότε R(f [min{ f(α,f(β }, ma{ f(α,f(β } ] ΠΟΡΙΣΜΑ: Αν f( είναι ορισμένη και συνεχής στο D(f[α,β] με f(αf(β< τότε γ (α,β: f(γ ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν f( είναι ορισμένη και συνεχής στο D(f[α,β] τότε είναι και φραγμένη 35 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (Ι 351 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ p: τιμή ενός προϊόντος ή αγαθού (price q: ποσότητα ενός αγαθού (quantity d: ζήτηση ενός αγαθού (demand s: προσφορά ενός αγαθού (supply R: ολικά έσοδα μίας επιχείρησης C: ολικό κόστος μίας επιχείρησης (cost ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ dd(p: συνάρτηση ζήτησης ενός αγαθού ss(p: συνάρτηση προσφοράς ενός αγαθού RR(q : συνάρτηση ολικών εσόδων CC(q : συνάρτηση ολικού κόστους ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Το πεδίο ορισμού συνήθως είναι [,+ Η συνάρτηση ζήτησης [d(p] είναι φθίνουσα Η συνάρτηση προσφοράς [s(p] είναι αύξουσα

17 18 352 ΣΗΜΕΙΟ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Τιμή ισορροπίας ενός αγαθού είναι η τιμή p D(d D(s για την οποία d(p s(p q Η ποσότητα q λέγεται ποσότητα ισορροπίας και το σημείο (p, q σημείο ισορροπίας ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Το σημείο ισορροπίας ορίζεται στο σημείο που τέμνονται η συνάρτηση ζήτησης και η συνάρτηση προσφοράς 353 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΕΣΟΔΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Η συνάρτηση ολικών εσόδων ονομάζεται το συνολικό ποσό που αποκτάται από την πώληση q μονάδων ενός αγαθού και ορίζεται ως R(q ποσότητα τιμή p q Συνήθως η τιμή καθορίζεται από την ποσότητα είναι δηλαδή συνάρτηση της ποσότητας και έτσι έχουμε p p(q και R(q p(q q ΟΡΙΣΜΟΣ: Η συνάρτηση μέσων εσόδων ορίζεται ως ΑR(q R(q/q [είναι το έσοδο που έχουμε από κάθε μονάδα του αγαθού που πουλήσαμε ] 354 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ Ή ΕΞΟΔΩΝ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 ΟΡΙΣΜΟΣ: Η συνάρτηση ολικού κόστους C(q ονομάζεται η συνολική δαπάνη που απαιτείται για την παραγωγή q μονάδων ενός αγαθού ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: C(q είναι αύξουσα

19 2 H ποσότητα C C( ονομάζεται σταθερό ή πάγιο κόστος ΟΡΙΣΜΟΣ: Η συνάρτηση μέσου κόστους ΑC(q ονομάζεται η δαπάνη που αντιστοιχεί κατά μέσο όρο για την παραγωγή κάθε μονάδας ενός αγαθού και ορίζεται ως AC(qC(q/q 355 ΝΕΚΡΟ ΣΗΜΕΙΟ ΟΡΙΣΜΟΣ: Νεκρό σημείο ονομάζουμε το σημείο ( q, C(q με q D(C D(R στο όποιο τα έσοδα και το κόστος είναι ίσα δηλαδή C(q R(q ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Στο νεκρό σημείο δεν έχουμε ούτε κέρδος ούτε ζημιά 36 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 361 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγωγος μίας συνάρτησης f( στο σημείο D(f ονομάζεται το όριο f ( f ( L R ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: '( f ή df ( d ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΑ: αν δ- τότε ΕΡΜΗΝΕΙΑ f ( f ( + δ f ( δ ' δ

21 22 + δ : Μεταβολή της f όταν το f ( f ( αυξάνει κατά δ f + δ f ( δ ( αυξάνει κατά δ f ( + δ f ( δ δ : Μέση μεταβολή της f όταν το : Μέση μεταβολή της f όταν το αυξάνει απειροελάχιστα f '( ονομάζεται και οριακός ή στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής ΟΡΙΣΜΟΣ: Παράγωγος συνάρτηση f '( μίας συνάρτησης f( ονομάζεται η συνάρτηση f '( f ( + δ f ( δ D(f δ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι: Η παράγωγος f '( μας δίνει την κλίση της εφαπτομένη στο σημείο (,f( 362 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ ΟΡΙΣΜΟΣ: Συνάρτηση Οριακών εσόδων MR(q ονομάζουμε την παράγωγο της συνάρτησης ολικών εσόδων R(q δηλαδή dr( q MR( q R'( q dq ΕΡΜΗΝΕΙΑ: οριακός ρυθμός μεταβολής των εσόδων ΟΡΙΣΜΟΣ: Συνάρτηση Οριακού κόστους ΜC(q ονομάζουμε την παράγωγο της συνάρτησης ολικού κόστους C(q δηλαδή dc( q MC( q C'( q dq ΕΡΜΗΝΕΙΑ: οριακός ρυθμός μεταβολής του κόστους ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (IΙ: Κάθε παραγωγίσιμη συνάρτηση είναι και συνεχής

23 24 363 ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 1 f(c R f '( 2 f(α+β f '( α 3 f( k f '( k k-1 4 f(e f '( e 5 f(sin( f '( cos( 364 ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ 1 [λ 1 f(+λ 2 g(] λ 1 f (+λ 2 g ( 2 [f(g(] f (g(+ f (g ( f ( g( ' f '( g( f ( g'( [ g( ] 3 2 1 g( 4 2 ' g'( [ g( ] 5 [g f(] g ( f( f ( 6 [f -1 (] 1/ f ( f -1 ( [Από (3 για f(1] 37 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΑΝΩΤΕΡΑΣ ΤΑΞΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Εάν f ( είναι παραγωγίσιμη σε ένα σημείο τότε η παράγωγος της λέγεται παράγωγος δευτέρας τάξης 2 d f ( d ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: f ( ή f (2 ( ή 2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Με όμοιο τρόπο μπορούμε να ορίσουμε και της παραγώγους 3 ης, 4 ης,, n τάξης ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: f (n ( ή ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ: n d f ( 1 [λ 1 f(+λ 2 g(] (n λ 1 f (n (+λ 2 g (n ( 2 [f(g(] (n n k n f k ( k n ( g d ( n k n! όπου k k!( n k! n (

38 ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΟΡΙΩΝ ΚΑΙ Ο ΚΑΝΟΝΑΣ L HOPITAL ΚΑΝΟΝΑΣ L HOPITAL: Έστω f( και g( συνεχείς στο διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμες στο (α,β και [α,β]: αν f ( g( ή f '( f ( g( ± και υπάρχει το όριο g'( f ( f '( ( τότε g g'( ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (Ι: Ο κανόνας ισχύει και για f ( f '( ( ± δηλαδή ± g ± g'( ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ: Αν έχουμε απροσδιόριστη μορφή του { f ( + g( }, δηλαδή f ( + και g ( - τότε μετασχηματίζουμε το παραπάνω όριο σε μορφή / θέτοντας F(1/f( και G(1/g( έτσι ώστε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του L Hopital Δηλαδή { f ( + g( } F( + G( F( G( 25 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙΙ: Αν έχουμε απροσδιόριστη μορφή του { f ( g( }, δηλαδή f ( και g ( ± τότε μετασχηματίζουμε το παραπάνω όριο σε μορφή / θέτοντας F(1/f( έτσι ώστε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του L Hopital g( f + F( Δηλαδή { ( g( } ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙV: Αν έχουμε απροσδιόριστη μορφή του g ( β με g ( f, δηλαδή ( ( (i αβ (ii α1 και β± (iii α και β± (iv α± και β τότε μετασχηματίζουμε το παραπάνω όριο σε g ( f ( e { g ( ln f ( } f 26 α και έτσι ώστε να εφαρμόσουμε τον κανόνα του L Hopital

27 28 39 ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΜΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Διαφορικό μιας συνάρτησης f( και για απόκλιση από το ίση με d ορίζεται η συνάρτηση df( f (d ΕΡΜΗΝΕΙΑ: Το διαφορικό εκφράζει μια προσέγγιση της μεταβολής της f όταν το αυξηθεί κατά d (δηλαδή γίνει +d Η προσέγγιση βασίζεται στην εφαπτομένη στο σημείο (, f( Όσο πιο μικρό είναι το d τόσο πιο καλή είναι η προσέγγιση Στην πράξη αν ζητηθεί το διαφορικό της f( υπολογίζουμε την παράγωγο της ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: df(f (d f ( df(/d ΟΡΙΣΜΟΣ: Η εξίσωση της εφαπτομένης της f( στο σημείο (, f( δίδεται ως εξής: L(: yf( +f ( (- ΟΡΙΣΜΟΣ: Διαφορικό n τάξης μιας συνάρτησης f( και για απόκλιση από το ίση με d ορίζεται η συνάρτηση d n f( f (n (d n 31 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙΙ 311 ΟΡΙΑΚΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Οριακή συνάρτηση ενός οικονομικού μεγέθους ή συνάρτησης (ζήτησης, προσφοράς, εσόδων, κέρδους κλπ ονομάζεται η πρώτη τους παράγωγος ΕΡΜΗΝΕΙΑ:Τα οριακά μεγέθη χρησιμοποιούνται ως προσέγγιση της μεταβολής της f( όταν το μεταβάλλεται κατά μία μονάδα 312 ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Τα οριακά μεγέθη επηρεάζονται από τις μονάδες μέτρησης τους Για αυτό ορίζουμε εναλλακτικά την ελαστικότητα ΟΡΙΣΜΟΣ: Ελαστικότητα μιας συνάρτησης yf( ονομάζεται η συνάρτηση: df ( E ( f '( f ( d f ( dy y d

ΕΡΜΗΝΕΙΑ: Είναι ο λόγος της ποσοστιαίας μεταβολής της yf( [dy/y] προς την ποσοστιαία μεταβολής της [d/] ΕΡΜΗΝΕΙΑ (II: Εάν η αυξηθεί κατά 1% τότε η yf( αυξάνει κατά Ε( dy y df ( f ( ΕΡΜΗΝΕΙΑ (III: Ε( d / d / [Συν οριακού μεγέθους]/[συν μέσου μεγέθους] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Η Ε( είναι ελεύθερη μονάδων ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ (ΙΙ: Η Ε(dln(y/dln( 29 [Θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού] 312 ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω f( είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β Αν f( είναι αύξουσα ή φθίνουσα στο διάστημα (α,β τότε f ( ή f ( για κάθε [α,β] ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Για τις γνησίως αύξουσες ή φθίνουσες στο διάστημα (α,β τότε f (> ή f (< για κάθε [α,β] 3 311 ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑ του Rolle: Αν f( είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β και f(αf(β τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα (α,β τέτοιο ώστε f ( ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν f( είναι συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β τότε υπάρχει (α,β τέτοιο ώστε f ( f ( β f ( a β α 313 ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση f( παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ή μέγιστο για D(f αν μπορούμε να ορίσουμε μια περιοχή Π( γύρω από το τέτοια ώστε: f( f( ή f( f( για κάθε Π( Συνήθως Π( ( -ε, (, +ε για ε>

ΟΡΙΣΜΟΣ: Μια συνάρτηση f( παρουσιάζει ολικό ελάχιστο ή μέγιστο για D(f αν: f( f( ή f( f( για κάθε D(f ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat: Έστω f( παραγωγίσιμη στο D(f και η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ή μέγιστο για τότε f ( ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω f( παραγωγίσιμη στο (α, (,β: (α αν f (< για < και f (> για > τότε η f παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο για (β αν f (> για < και f (< για > τότε η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο για ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω f( δύο φορές παραγωγίσιμη f ( και f ( τότε (α αν f ( < τότε τοπικό μέγιστο στο (β αν f ( > τότε τοπικό ελάχιστο στο 31 314 ΚΥΡΤΕΣ & ΚΟΙΛΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω f( συνεχής στο [α,β] και δύο φορές παραγωγίσιμη στο (α,β τότε f( είναι κυρτή (ή κοίλη στο [α,β] αν f ( ( ή f ( για κάθε [α,β] ΟΡΙΣΜΟΣ: Το σημείο (,f( λέγεται σημείο καμπής μιας συνεχούς στο [α,β] συνάρτησης f( αν υπάρχει ε> τέτοιο ώστε η f( είναι κυρτή στο ( -ε, και κοίλη (, -ε ή αντίστροφα [δηλαδή είναι το σημείο που αλλάζει η κυρτότητα] ΘΕΩΡΗΜΑ: Αν f( δύο φορές παραγωγίσιμη σε ένα σημείο D(f το οποίο είναι θέση σημείου καμπής τότε f ( ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω f( τρεις φορές παραγωγίσιμη στο σημείο D(f Το είναι θέση σημείου καμπής αν f ( και f ( 32