ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

Transcript

1 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες του δηλ. από δεξιά του ΣΧΗΜΑΤΙΚΑ Όταν το τότε το ί έ ά στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το Αν έουµε µία συνάρτηση, τις περισσότερες φορές αναζητούµε την τιµή που πλησιάζουν, προσεγγίζουν οι τιµές της συνάρτησης, όταν το. Αν πράγµατι υπάρει τέτοια τιµή και έστω ότι είναι τότε γράφουµε Η τιµή δηλ. το όριο άλλοτε υπάρει και άλλοτε δεν υπάρει Όταν υπάρει συµβαίνουν δύο περιπτώσεις η περίπτωση : έ ή 2η περίπτωση : έ ή σήµα σήµα 2 ΣΗΜΕΙΩΣΗ Από τα πιο πάνω γίνεται φανερό ότι για να µιλήσουµε για όριο µιας συνάρτησης στο θα πρέπει η συνάρτηση να ορίζεται τουλάιστον σε κάποιο από τα διαστήµατα της µορφής α, U,β ή 2 α, ή 3,β Όταν το προσεγγίζει την τιµή από αριστερά δηλ. και η τιµές της προσεγγίζουν όσο θέλουµε ένα πραγµατικό αριθµό τότε γράφουµε: Όταν το προσεγγίζει την τιµή από δεξιά δηλ. και η τιµές της προσεγγίζουν όσο θέλουµε ένα πραγµατικό αριθµό τότε γράφουµε:

2 ό ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ά ά ό. Όταν µια συνάρτηση ορίζεται αριστερά και δεξιά του και υπάρει το όριό της τότε θα πρέπει ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ύ ί ά έ ή ί ορισµού της συνάρτησης ή αν δεν ανήκει στο πεδίο ορισµού της να είναι άκρον του διαστήµατος του πεδίου ορισµού της. 2 Αποδεικνύεται ότι όταν υπάρει το όριο τότε αυτό είναι µοναδικό 3 Αν µια συνάρτηση ορίζεται δε διάστηµα της µορφής,, ό ό αν υπάρει δεν εξαρτάται από τα άκρα α και β. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΠΟΥ ΙΣΧΥΟΥΝ ΑΠΟ ΤΟΝ ΟΡΙΣΜΟ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ.... ΟΡΙΟ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Από τη γραφική παράσταση παρατηρούµε ό ΟΡΙΟ ΤΑΥΤΟΤΙΚΗΣ Από τη γραφική παράσταση παρατηρούµε ό 2

3 ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ. ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ ΘΕΩΡΗΜΑ ο ό ά έ ό ά έ α β α β ΘΕΩΡΗΜΑ 2ο Αν δύο συναρτήσεις, έουν όριο στο και ισύει κοντά στο τότε και κοντά στο κοντά στο α β α β Από το διπλανό σήµα ενώ κοντά στο το Άρα δεν µεταφέρεται η γνήσια διάταξη στα όρια. κοντά στο α β 3

4 ΘΕΩΡΗΜΑ 3ο Αν υπάρουν τα όρια των συναρτήσεων και στο τότε.. ά ά.. ό.. ό ά ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ α. Οι ιδιότητες τονίζεται ιδιαίτερα ότι ισύουν µόνο αν υπάρουν τα όρια των συναρτήσεων και β. Οι ιδιότητες και 3 του προηγουµένου θεωρήµατος ισύουν και για περισσότερες από δύο συναρτήσεις αλλά πεπερασµένο το πλήθος. Ειδικά για την ιδιότητα 3 θα έουµε ότι ισύει:,ν Ν και για παράδειγµα διότι: γ. Εστω πολυώνυµο Ρ α α α α. Τότε Ρ Ρ δ. Αν Ρ και δύο πολυώνυµα τότε : Ρ Ρ Ρ ερόσον 0 4

5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΟΡΙΩΝ ΟΡΙΟ ΡΗΤΗΣ ΣΝΑΡΤΗΣΗΣ Παίρνουµε ωριστά τα όρια αριθµητή και του παρονοµαστή και εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ. Για λόγους συντοµίας δεν τις εφαρµόζουµε πάντα. Αλλά στην ουσία αντικαθιστούµε όπου το εκτελούµε τις επιτρεπτές πράξεις και βρίσκουµε το όριο. Αν κατά την εκτέλεση των πράξεων καταλήξουµε σε απροσδιοριστία της µορφής 0/0 κάνουµε παραγοντοποίηση σε αριθµητή και παρονοµαστή, κατόπιν κάνουµε απλοποίηση και ύστερα µε αντικατάσταση όπου το βρίσκουµε το όριο ο Παράδειγµα Να βρεθεί το ΛΥΣΗ ο Παράδειγµα ί ΛΥΣΗ Κάνοντας αντικατάσταση βρίσκουµε 0/0. Παραγοντοποιούµε και έουµε ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ριζικά 2 ης τάξης Αντικατάσταση όπου το κα αν καταλήξουµε σε 0/0κάνουµε άρση της απροσδιοριστίας πολλαπλασιάζοντας µε τη συζυγή παράσταση ή µε τις συζυγείς παραστάσεις αν έουµε ριζικά σε αριθµητή και παρονοµαστή. Πρέπει να προκύψει κοινός παράγοντας το 0 ), απλοποιούµε και αντικαθιστούµε όπου το ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ί 5

6 3 ΡΙΖΙΚΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Εφαρµόζουµε τη ταυτότητα Newton ο Παράδειγµα ά ί Με αντικατάσταση όπου το 3 έουµε 0. Από την ταυτότητα 0 α β α βα αββ έω α β α β α αββ αν α 2 2 και β 5τότε α β Αρα ΡΙΖΙΚΑ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΤΑΞΗΣ Ασολούµεθα µε το ριζικό ανώτερης τάξης και µετά µε το άλλο ο παράδειγµα 2 Κάνουµε διάσπαση αν ρειασθεί, προσθαφαιρώντας κατάλληλο αριθµό 2 ο παράδειγµα 3 Αν τα ριζικά έουν την ίδια υπόρριζη ποσότητα τα µετατρέπουµε σε ριζικά της ίδιας τάξης και µετά κάνουµε αντικατάσταση 3 ο παράδειγµα 6

7 ο παράδειγµα ί Ο παράδειγµα ί ο παράδειγµα ί Θέτω τ τότε τ και τ Αρα τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ 2 3 7

8 5 ΙΣΟΣΥΓΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ ο Αν κοντά στο 0 ισύει gx και τότε και 2ο Αν κοντά στο και 0 τότε µε 0, οπότε από το κριτήριο παρεµβολής και 0 ή. ύ ί ί ί ο παράδειγµα Δίνεται η συνάρτηση f:r R η οποία ικανοποιεί τη σέση ί Αν 2 τότε από τη δοθείσα έω Αλλά και Αρα και Παρόµοια αν 2 διαιρούµε µε το 2 και θα αλλάξει η φορά αλλά το όριο θα παραµείνει το ίδιο. 2 ο παράδειγµα Αν κατά την αντικατάσταση προκύψει ηµ ( ± ) τότε παίρνουµε το απόλυτο της παράστασης που έουµε να βρούµε το όριο. Παρόµοια αν έουµε συν ( ± ). Η συνηθέστερη µορφή των συναρτήσεων που λύνονται µε το κριτήριο αυτό είναι 8

9 ό έ ύ ηµ α ηµ α ηµ α ή 0 και 0 από κριτήριο παρεµβολής και ηµ α 0 Παρόµοια και για το συν α 3 ο παράδειγµα ί ό Επειδή 4 0 από κριτήριο παρεµβολής και 4 0 ΟΡΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Αν µε αντικατάσταση όπου το 0 καταλήξουµε σε απροσδιοριστία 0 0 κάνουµε παραγοντοποίηση παράγειγµα ο 2 Αν η παράσταση περιέει και παραστάσεις του τότε α Αν το x0 τότε προσπαθούµε µε κατάλληλους µετασηµατισµούς να δηµιουργήσουµε παραστάσεις της µορφής ηµα, εφα παράδειγµα 2ο α α β Αν το τότε κάνουµε το µετασηµατισµό οπότε του το 0 παράδειγµα 3 ά ό ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για τα όρια παρατάσεων που παρουσιάζεται η παράσταση συν πολλαπλασιάζουµε µε συν. Για συν και συν πολλαπλασιάζουµε µε συν και συν αντίστοια 9

10 ο παράδειγµα ί 2ηµ ηµ 2 ηµ 2ηµ ηµ 2 ηµ ο παράδειγµα ί συν ηµ συν συν ηµ συν συν ηµ συν ηµ ηµ ηµ συν ηµ συν ο παράδειγµα ί Θέτω 2 οπότε του 2 το 0 και ακόµη 2 6 Αρα ηµ ηµ ηµ 5 55 OΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟ ΣΧΕΣΗ ΟΡΙΟΥ Θέτουµε τη σέση µε gx και λύνουµε ως προς fx και παίρνουµε τα όρια 2 Αν οι σέσεις είναι δύο και ζητείται το όριο δύο συναρτήσεων, δουλεύουµε µε τον ίδιο τρόπο αλλά έουµε να λύσουµε σύστηµα ο παράδειγµα ά ύ ό ί 5 Θέτω Αρα

11 2 ο Παράδειγµα έ ή, ύ ύ, Θέτω h 3f 2gκαι z 5f 4gκαι έω ότι Αρα ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗ ΤΙΜΗ 2 και 5 43 και Βασική όταν έουµε απόλυτες τιµές είναι να απαλλαγούµε από αυτές 2 Θέτουµε την τιµή στην παράσταση που είναι µέσα στο απόλυτο. Αν βρούµε θετική τιµή φεύγει το απόλυτο, αν βρούµε αρνητική τιµή φεύγει το απόλυτο και αλλάζουµε το πρόσηµο της παράστασης που είναι στο απόλυτο, αν βρούµε µηδέν 0 τότε παίρνουµε πλευρικά όρια. ο Παράδειγµα ί Η 3 2 για είναι ίση µε το µηδέν. Άρα x Άρα δεν υπάρει το όριο του 2 ο Παράδειγµα ί συν συν συν συν συν συν ηµ συν ηµ. Παίρνουµε τα πλευρικά όρια και έουµε συν όταν το 0 τότε κοντά στο 0 το ηµ 0 και εποµένως ηµ ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ συν

12 ηµ συν όταν 0 τότε 0 και ηµ0 ηµ συν ηµ συν ηµ συν Αρα δεν υπάρει το 0 συν Παρατήρηση Όταν για την εύρεση του ορίου έουµε την παράσταση συν συνήθως πολλαπλασιάζουµε µε την συζυγή παράσταση συν. Παρόµοια όταν έουµε την παράσταση συν ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όταν έουµε όριο σύνθετης συνάρτησης fgx, Θέτουµε gxu και του x0 τότε το u u0 Παράδειγµα Αν για τη συνάρτηση : ισύει να βρεθεί το Θέτω 7 3. Αρα Θέτω 2 2 και του 0 τότε 2. Εποµένως Παράδειγµα 2 2

13 ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ή Όταν το προσεγγίζει το µε οποιονδήποτε τρόπο δηλ είτε.είτε το, τότε οι τιµές της συνάρτησης αυξάνονται απεριόριστα και είναι µεγαλύτερες από τον οποιονδήποτε θετικό αριθµό Μ. Στην περίπτωση αυτή έουµε Μ Όταν το προσεγγίζει το µε οποιονδήποτε τρόπο δηλ είτε.είτε το, τότε οι τιµές της συνάρτησης ελαττώνονται απεριόριστα και είναι µικρότερες από τον οποιονδήποτε αρνητικό αριθµό Μ µε Μ0. Τότε στην περίπτωση αυτή έουµε Μ ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ 3

14 ΙΣΧΥΟΥΝ ΟΙ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ. Αν,τότε 0 ά και αν τότε 0 ά 2. Αν,τότε και αν,τότε 3. Αν ή τότε Αν 0 και 0 ά, τότε 5. Αν 0 και 0 ά, τότε 6. Αν ή τότε 0 0 κ 7. Αν τότε 0 0.,ό ή.,, ό ή ό έ έ.., Εποµένως θεωρώντας τη συνάρτηση..,, ά ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ, είναι ένα νέο σύνολο που ονοµάζεται συµπαγές και περιλαµβάνει όλα τα στοιεία του και ακόµη περιλαµβάνει ως στοιεία το αλλά δεν ισύουν όλες οι ιδιότητες του ΑΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΤΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ό ό ά, ί ό ά ό ά ί ά Aπροσδιόριστη πράξη είναι η πράξη εκείνη της οποίας το αποτέλεσµα δεν είναι πάντα το ίδιο. Δηλ. γνωστό Ακόµη ισύουν ανάλογο του κριτηρίου παρεµβολής για το πεπερασµένο όριο ό ό 4

15 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α ύ ό και 0 και εποµένως και ακόµη Αρα 2 0 και 0 και εποµένως και 2 2. Αρα αλλά δεν ξέρουµε αν το πηγαίνει στο 0 από θετικές η από αρνητικές τιµές Γι αυτό παίρνουµε πλευρικά όρια και έουµε 0 και επειδή τότε 0. 2 Αρα 2 0 και επειδή τότε 0. 2 Αρα 2 Αρα δεν υπάρει το και εποµένως και και επειδή τότε 0. 2 και

16 0 και επειδή τότε 0. 2 και άρα δεν υπάρει το παρά µόνο τα πλευρικά όρια. 23 ΑΣΚΗΣΗ 2 ί συν συν συν συν συν συν ηµ συν ηµ. Παίρνουµε τα πλευρικά όρια και έουµε συν όταν το 0 τότε κοντά στο 0 το ηµ 0 και εποµένως ηµ ηµ ηµ συν ηµ συν ηµ συν ηµ συν 2 όταν 0 τότε κοντά στο 0 ηµ 0 και εποµένως ηµ ηµ και εποµένως ηµ συν ηµ συν 2 ΑΣΚΗΣΗ 3, ί Θέτω α 2α5 2α5 α 2α5 α 2α5 α 2α60α 2 2α60α ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Δουλεύουµε όπως στα άλλα όρια και στο τέλος προσέουµε τις απροσδιόριστες πράξεις η διακρίνουµε περιπτώσεις αν έουµε απροσδιοριστία ΣΗΜΕΙΩΣΗ Στην άσκηση 3 θα µπορούσαµε από την αρή να απαιτήσουµε το να είναι ρίζα του παρονοµαστή και να προσδιορίσουµε την τιµή του α, η οποία θα ήταν δεκτή αν δεν µηδένιζε τον αριθµητή για να έουµε όριο το. Όπως 2α 5 0 2α 6 0 α 3 και για και α 3 ο αριθµητής είναι είναι ίσος µε 2 3 6

17 Άσκηση 4, Θέτω ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ί, µέ 0. Εποµένως 2. Αρα και Άσκηση 5 ύ για κάθε, ί ό Εποµένως ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ.Αλλά διότι Όταν το αυξάνεται απεριόριστα, οι τιµές της προσεγγίζουν την τιµή. Σε αυτή τη περίπτωση γράφουµε Όταν το αυξάνεται απεριόριστα, οι τιµές της αυξάνονται απεριόριστα. Σε αυτή τη περίπτωση γράφουµε Όταν το αυξάνεται απεριόριστα, οι τιµές της ελαττώνονται απεριόριστα. Σε αυτή τη περίπτωση γράφουµε Ο Ο Όταν το ελαττώνεται απεριόριστα, οι τιµές της προσεγγίζουν την τιµή. Σε αυτή τη περίπτωση Όταν το ελαττώνεται απεριόριστα, οι τιµές της αυξάνονται απεριόριστα. Τότε γράφουµε Όταν το ελαττώνεται απεριόριστα, οι τιµές της ελαττώνονται απεριόριστα. Τότε γράφουµε Ο Απαραίτητη προϋπόθεση για το όριο του είναι η συνάρτηση να ορίζεται σε διάστηµα της µορφής α,, ενώ του σε διάστηµα της µορφής, ΒΑΣΙΚΕΣ ΟΡΙΑ 7

18 .,.., ά, ό,.,. Όριο πολυωνυµικής συνάρτησης Ε ά ύ, Πεδίο ορισµού της συνάρτησης είναι Α,. Εποµένως έει νόηµα το όριο στο τότε α α α α α α α α α α α α α α α α 0α 0α 0α 0 α ΔΗΛΑΔΗ το όριο της πολυωνυµικής συνάρτησης ισούται µε το όριο του µεγιστοβάθµιου όρου της π ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Ακριβώς τα ίδια ισύουν για το όριο στο 2. Όριο ρητής συνάρτησης Ε ά ύ, 3 3,, ό ό ώ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Αν αριθµητής και παρονοµαστής έουν τον ίδιο βαθµό, τότε το όριο ισούται µε το πηλίκο των συντελεστών των µεγιστοβαθµίων όρων Αν ο βαθµός του αριθµητή είναι µεγαλύτερος από το βαθµό του παρονοµαστή, τότε το όριο είναι Αν ο βαθµός του αριθµητή είναι µικρότερος από το βαθµό του παρονοµαστή, τότε το όριο είναι µηδέν ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια

19 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Για τα πεδία ορισµού των παραπάνω συναρτήσεων, µπορούµε να το αποφύγουµε ως εξής ί ό ή ί 2 23, έ έ ά ά 2 23 έ ό ί ό ί έ ί ή Το ίδιο µπορούµε να κάνουµε σε όλες τις περιπτώσεις, γιατί η εύρεση του πεδίου ορισµού είναι ορισµένες φορές επίπονη και δυσκολότερη από την ίδια την εύρεση του ορίου ΑΣΚΗΣΗ 2 ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ Στην αρή λύνουµε την άσκηση αδιαφορώντας για τις τιµές τις παραµέτρου, θεωρώντας ότι είναι ένας οιοσδήποτε πραγµατικός αριθµός, που µας επιτρέπει τις πράξεις κ 4 Να βρεθεί το κ κ 4 κ κ Οπότε διακρίνουµε τις περιπτώσεις α µε κ διαφορετικό του µηδενός 0 Αν κ κ Αν κ κ Αν κ κ β Αν κ0,µε κ κ 0, 0U, τότε κ κ 00, οπότε κ κ 0 κ και η αρική γίνεται τότε η δοθείσα γίνεται κ 4 κ 4 κ κ κ κ κ κ κ κ κ 4 κ 4 4 ΟΡΙΟ ΑΡΡΗΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ριζικά δεύτερης τάξης Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων και αν καταλήξουµε σε απροσδιοριστία πολλαπλασιάζουµε µε την συζυγή παράσταση Παράδειγµα Να βρεθεί το αν 9

20 ΠΑΡΑΤΗΣΗΣΗ αφού το τότε το θεωρείται αρνητικό κοντά στο οπότε Παράδειγµα 2 Να βρεθεί το αν 2 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ ί ύ ό ό ί τότε θα καταλήγαµε σε απροσδιοριστία Το όριο στην περίπτωση αυτή βρίσκεται ως εξής Αν τα ριζικά είναι ανώτερης τάξης τότε εφαρµόζουµε την ταυτότητα Newton, ή, ό Παράδειγµα Να βρεθεί το 2 Αν εφαρµόσουµε τις ιδιότητες των ορίων καταλήγουµε σε απροσδιοριστία της µορφής. Οπότε εφαρµόζω την ταυτότητα για ν 3 και έω αβ 2 α β α και αν θεωρήσω ότι α αββ και β θα έω 2 2 2

21 2 2 2 Αλλά ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ οπότε Παράδειγµα 2 Να βρεθεί το 2 Αν εφαρµόσουµε τις ιδιότητες των ορίων καταλήγουµε σε απροσδιοριστία της µορφής. Οπότε εφαρµόζω την ταυτότητα για ν 3 και έω αβ 2 α β α αββ και αν θεωρήσω ότι α και β 2 2 θα έω Αρα τελικά Αλλά και εποµένως και 0 ΡΙΖΙΚΑ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΤΑΞΕΩΝ 2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ί

22 Διότι και 0 ΙΣΟΣΥΓΚΛΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ Ισύει και εδώ το κριτήριο παρεµβολής δηλαδή ό ΑΚΟΜΗ ΙΣΧΎΟΥΝ ό Παράδειγµα Αν για τη συνάρτηση :0, ισύει: ό να βρεθεί το και έουµε: και απο κριτήριο παρεµβολής 2 Παράδειγµα 2 ά : ύ έ ά 22

23 ί αν θέσω όπου το και από. Εποµένως και από τις δύο σέσεις τελικά έω ότι. Άρα το ζητούµενο όριο γίνεται ΟΡΙΟ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΏΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Να βρεθούν τα παρακάτω όρια..... Αν ηµ ηµ αφού και εποµένως θεωρείται θετικό. Αρα τελικά ισύει: ηµ και επειδή 0 και 0 από κριτήριο παρεµβολής και ηµ 0 Αν τότε το θεωρείται αρνητικό και εποµένως ηµ ηµ ηµ και επειδή 0 και 0 από κριτήριο παρεµβολής έουµε ότι: ηµ 0 2. συν συν και τελικά ισύει συν και επειδή 0 και 0 και συν 0 3. ηµ ηµ και αν θέσω τ τότε όταν το τ 0 και έουµε ηµ ηµτ τ. Εποµένως και ηµ 23

24 4. εφ ηµ συν ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ηµ συν Στις παρακάτω εφαρµογές δουλεύουµε µε στόο να απαλλαγούµε από τις τριγωνοµετρικές παραστάσεις. Και ακόµη παίρνουµε υπόψη µας τις ιδιότητες. ό.. Η δυσκολία κάθε φορά είναι να δούµε ποια από τις τρεις παραπάνω περιπτώσεις θα εφαρµόσουµε. Γι αυτό κάνουµε το εξής: Δηµιουργούµε το πηλίκο των µεγιστοβαθµίων όρων. Αν αυτό τείνει στο µηδέν παίρνουµε την. Αν τείνει στο την 2 και αν τείνει στο την 3 Παράδειγµα ά ί Το πηλίκο των µεγιστοβαθµίων όρων ως προς είναι και 0.Εποµένως 2ηµ5 3 2ηµ5 3 2ηµ5 3 2 ηµ Παρατήρηση Επειδή το τότε σε περιοή του το 0. Άλλος τρόπος επίλυσης είναι να διαιρέσουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε Παράδειγµα 2 ά ί Το πηλίκο των µεγιστοβαθµίων όρων ως προς είναι και.εποµένως ρησιµοποιούµε την περίπτωση 2 Από την γνωστή σέση ηµ έω ηµ ηµ και Επειδή το τότε σε περιοή του το 0. έω ηµ. Οµως Άλλος τρόπος επίλυσης είναι να διαιρέσουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε δηλ µε το µικρότερο βαθµό Παράδειγµα 3 ό ό 24

25 ά ί Το πηλίκο των µεγιστοβαθµίων όρων ως προς είναι και.εποµένως ρησιµοποιούµε την περίπτωση 3 Από την γνωστή σέση ηµ έω ηµ ηµ Επειδή το τότε σε περιοή του το 0. Αρα ηµ ηµ. Οµως. Αρα και Άλλος τρόπος επίλυσης είναι να διαιρέσουµε αριθµητή και παρονοµαστή µε δηλ µε το µικρότερο βαθµό Παράδειγµα 4 ά ί Παρατηρούµε ότι είναι του ίδιου βαθµού ως προς ο αριθµητής και ο παρονοµαστής. Σε αυτή τη περίπτωση διαιρούµε µε και έω 2ηµ 2ηµ 2ηµ

26 . Δίνεται η συνάρτηση f για την οποία ισύει ψ ψ για κάθε,ψ µε 0 0 και 0 να δειθεί ότι ι 0 ιι 2. Αν για τη συνάρτηση f ισύει ψ ψ για κάθε, ψ και ισύει ότι. Να δειθούν ότι Ι 0 ΙΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3. Αν για τις πραγµατικές συναρτήσεις, ισύει 0. Να υπολογίσετε τα όρια: Ι. ΙΙ. ΙΙΙ. Αν 2ηµ γιακάθε. Να δειθεί ότι 0 4. Αν η συνάρτηση f είναι ορισµένη στο και ισύει, να δειθεί ότι: 2 5. Αν για κάθε ισύει 3 2 να βρεθούν Ι. ΙΙ. ΙΙΙ. ΙΙΙ. ηµ 6. Αν για κάθε ισύει 2ηµ4 8 να υπολογισθούν Ι. ΙΙ. 7. Nα βρεθεί ο α και ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μβ, γ, µε β, γ ώστε να 26

27 υπάρουν τα και ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ για τη συνάρτηση µε τύπο ƒ 2ηµ, αηµβγ, συν,. Αν 0 να δειθεί ότι, 9. Δίνεται η πραγµατική συνάρτηση τέτοια ώστε l, µε l. Να δειθεί ότι: α Αν η είναι άρτια, l β Αν η f είναι περιττή, l 0. Να υπολογισθούν τα παρακάτω όρια ηµ εφ ηµ α ηµ εφ β π γ ηµηµηµ2. Δίνεται η συνάρτηση τέτοια ώστε 2 2 για κάθε,2. Να βρεθεί το 2 2. α 2,, 2 2 Αν ƒ, να βρεθούν τα α, β R ώστε να υπάρει το β2 ηµ 2, 2,3 3. Να υπολογισθούν τα όρια 2 3 α 5 β γ δ 3 α 2 α 2 4. Αν µια συνάρτηση είναι ορισµένη στο 0, και για κάθε 0 ισύει 2 x 3, να αποδείξετε ότι: Α 3 και Β ηµ 3 27

28 5. Αν η συνάρτηση ƒ µε πεδίο ορισµού το 0, και σύνολο τιµών το 2, ικανοποιεί τη συνθήκη για κάθε 0 Ι. Να δειθεί ότι ΙΙ. να βρεθεί το 6. Αν για τη συνάρτηση ƒ :RR µε πεδίο ορισµού το R και σύνολο τιµών το,00, ισύει α β αβ αβ για κάθε α, β R και 7. Αν για τη συνάρτηση ƒ ισύει 8. Αν για τη συνάρτηση ƒ ισύει και 7 να βρεθεί το να βρεθεί το 2 4 ηµ2 3 να βρεθεί ο αr ώστε 9. Αν για τη συνάρτηση ƒ ισύει 4 συν π να βρεθεί το 3 ηµα 4 ηµ 20. Αν για την συνάρτηση µε πεδίο ορισµού το 0, ισύει αβ αβ βαγια κάθε α, βr και επιπλέον ισύει ξ 2 να βρεθεί το όπου ξ η τετµηµένη σηµείου ξ που η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέµνει την διοτόµο ψ 2. Δίδονται οι συναρτήσεις,g ορισµένες σε ένα σύνολο Α για τις οποίες ισύει g 0 Να δειθεί ότι συν g ηµ g

29 22. Nα βρείτε τα παρακάτω όρια αν υπάρουν α α Ι., α 0 λ ΙΙ., λr ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Αν α 2 β , να βρείτε τα α, βr ώστε Στους παρακάτω ισυρισµούς υπάρει κάποιο λάθος. Ποιο είναι αυτό I. Αν κοντά στο 3 ισύει g και g 0 τότε 0 II. Αν υπάρει το g, τότε g g ΙΙΙ. Αν 5,τότε 5 η 5 ΙV για κάθε,6 ισύει g και g τότε 25. Ποιους από τους παρακάτω ισυρισµούς είναι αληθείς και ποιοι είναι ψευδείς; Δικαιολογήστε την απάντησή σας I. Αν, τότε µε 0 II. Για κάθε συνάρτηση που ορίζεται κοντά στο ισύει III. Αν 0 IV. Αν 0 τότε σε κάθε σύνολο κοντά στο είναι 0 V. Αν 0 τότε 0 VI. Αν κοντά στο 2 ισύει g, µε g 8 και 6 τότε 6 29

30 26. Να υπολογισθεί το 2 ηµ 4ηµ Τα µαθηµατικά αν κοιτατούν σωστά αρακτηρίζονται από ύψιστη οµορφιά ψυρή και αυστηρή σαν εκείνη των γλυπτών που δεν απευθύνεται στις ασθενέστερες πλευρές της φύσης µας, που της λείπουν η γοητεία της ζωγραφικής και της µουσικής, και όµως αγνή και ικανή για µια απρόσβλητη τελειότητα, τέτοια που µόνο τα µεγαλύτερα έργα τένης έουν να δείξουν. Το αληθινό πνεύµα της απόλαυσης, την ανάταση, την αίσθηση πως είναι κανείς κάτι παραπάνω από άνθρωπος, αυτό το κριτήριο της απαράµιλλης ανωτερότητας, το βρίσκουµε στα µαθηµατικά, όι λιγότερο από ότι στην ποίηση Bertrand Russel. Αν 2 συν4 ηµ 2 και g 2 ηµ, να δειθεί ότι g 0 και αν ηµ κ τότε g ηµg κ. Aν εφ g 2 και 2 να βρεθει το g συν 29. Δίνεται η συνάρτηση : 0, R για την οποία ισύει µε 0, Να αποδείξετε ότι 0 για κάθε 0 Να υπολογίσετε τα όρια και 30

31 30. Να βρείτε τους αριθµούς α,β, αν για τη συνάρτηση µε τύπο 3. β, αν α 2, αν α υπάρει το µ κ 2 4 Να βρεθεί το κ 3 µ, κ 3