ΘΕΜΑ 1o A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι



Σχετικά έγγραφα
Ενότητα 2. Γενικά Οργάνωση Ελέγχου (ΙΙ) Φύλλα Εργασίας Εκθέσεις Ελέγχων

«Αναδιάρθρωση της καλλιέργειας του καπνού µε άλλες ανταγωνιστικές καλλιέργειες»

«Αναδιάρθρωση της καλλιέργειας του καπνού µε άλλες ανταγωνιστικές καλλιέργειες»

Αριθµ. Απόφασης: 147 / 2015 ΠΑΡΟΝΤΕΣ: ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ ΣΕΡΡΩΝ

ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ 2014

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ υπ' αριθµ. ΣΟΧ 1/2015 για τη σύναψη ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΓΝΩΜΟ ΟΤΗΣΗ. Κώστας Χ. Χρυσόγονος Καθηγητής Συνταγµατικού ικαίου Τµήµα Νοµικής Αριστοτελείου Πανεπιστηµίου Θεσσαλονίκης

: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών

Άρθρο 2 -Καταχώρηση και τήρηση στοιχείων σε ηλεκτρονική µορφή

ΝΟΜΟΣ 3263/2004 (ΦΕΚ 179 Α ) Μειοδοτικό σύστηµα ανάθεσης των δηµοσίων έργων και άλλες διατάξεις

5. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΗΣ ΕΠΙ ΟΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ

( )( ) ( )( ) ( )( )

ΤΙΤΛΟΣ I ΕΥΡΩΠΑΪΚΑ ΣΧΟΛΕΙΑ


ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ FREDERICK

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΝΟΜΟΣ ΠΕΛΛΑΣ ΗΜΟΣ Ε ΕΣΣΑΣ

ΕΦΗΜΕΡΙΣ ΤΗΣ ΚΥΒΕΡΝΗΣΕΩΣ

Νεοελληνική Λογοτεχνία Θεωρητικής Κατεύθυνσης Α1. Β1. Ορόσημο Τηλ

ΤΟ ΝΕΡΟ ΜΕΣΑ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΗΓΕΣ-ΚΡΗΝΕΣ ΤΟΥ ΗΜΟΥ ΤΟΠΕΙΡΟΥ

4 Περίοδοι µε 3ωρα ιαγωνίσµατα ΕΚΤΟΣ ωραρίου διδασκαλίας!!! ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΙΑΓΩΝΙΣΜΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΕΙ ΩΝ ΙΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΥΠΟ ΗΣΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΕΥΑΛ ΕΤΟΥΣ 2013

ΣΥΛΛΟΓΙΚΗ ΣΥΜΒΑΣΗ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. «Για τους όρους αµοιβής και εργασίας των καθηγητών ιδιωτικών τεχνικών και επαγγελµατικών εκπαιδευτηρίων όλης της χώρας»

Του Σταύρου Ν. PhD Ψυχολόγου Αθλητικού Ψυχολόγου

Αξιολόγηση του εκπαιδευτικού έργου

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΕΚΘΕΣΗΣ ΑΥΤΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΙΔΡΥΜΑΤΟΣ ΠΟΥ ΘΑ ΠΡΕΠΕΙ ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΑΠΟ ΤΑ ΤΜΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΕΚΠΑ

ΑΠΟΣΠΑΣΜΑ. Από το υπ' αριθµ. 30/ Πρακτικό της Οικονοµικής Επιτροπής Ιονίων Νήσων

I.Επί της Αρχής του σχεδίου Νόµου: ΙΙ. Επί των άρθρων του σχεδίου Νόµου: ΕΙΣΗΓΗΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ

Ερευνητικό Έργο: «ΑΠΟΤΥΠΩΣΗ ΤΟΥ ΤΡΟΠΟΥ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑΣ ΤΩΝ ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΚΑΙ ΘΕΣΜΟΘΕΤΗΜΕΝΩΝ ΟΡΓΑΝΩΝ ΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ»

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΔΗΜΟΣ ΛΑΡΙΣΑΙΩΝ Δ/ΝΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ

ΑΠΟΦΑΣΗ 34750/2006 (Αριθμός καταθέσεως πράξεως 43170/2006) ΤΟ ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από


Αιτιολογική έκθεση Προς τη Βουλή των Ελλήνων

Α Π Ο Σ Π Α Σ Μ Α Από το Πρακτικό της 03ης Τακτικής Συνεδρίασης του ηµοτικού Συµβουλίου Σκοπέλου

ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΖΩΝΩΝ ΧΡΗΣΕΩΝ ΓΗΣ ΣΕ ΠΕΡΙΟΧΕΣ Γ.Π.Σ.

ΜΕΡΟΣ Ι ΝΙΚΟΣ ΧΡΙΣΤΟ ΟΥΛΑΚΗΣ

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd stvrentzou@gmail.com

Υπολογισμός ορίου συνάρτησης όταν x ±

ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ. Αθήνα, 28/11/01 Αριθ. Πρωτ. : ΑΣΦΑΛΙΣΕΩΝ

Οµιλητής: Κ. Μίχος Συντελεστές:. Μπάτζιος,. άβαρης

ΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΠΡΟΣΒΑΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΡΟΣΤΑΣΙΑ ΤΩΝ ΝΕΩΝ Ο ΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

ΓΕΝΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΥΠΟΧΡΕΩΤΙΚΗΣ ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΑΣΤΙΚΗΣ ΕΥΘΥΝΗΣ ΑΥΤΟΚΙΝΗΤΩΝ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΤΗΣ ΟΠΤΙΚΗΣ

ΑΔΑ: Β4ΣΚΩ10-Ρ5Ε ΟΡΘΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ 13 Α' ΜΕΡΟΣ ΑΠΟ ΤΟΝ ΠΟΛΕΜΟ ΤΟΥ 1897 ΣΤΟ ΓΟΥΔΙ

ΗΜΟΣ: Φαιστού. Προµήθεια εξαρτηµάτων άρδευσης για ένα έτος. Προϋπολογισµός: ,94 ΕΥΡΩ Χρηµατοδότηση: Εσοδα

Επίσηµη Εφηµερίδα αριθ. C 372 της 09/12/1997 σ

Πολιτική Πρόταση για μια Προοδευτική Διέξοδο Από την Κρίση

ΣΧΕ ΙΟ ΝΟΜΟΥ ΠΡΩΤΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑ ΙΟΡΓΑΝΩΣΗ ΤΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ Α ΕΙΟ ΟΤΗΣΗΣ ΓΙΑ ΤΗ ΙΑΜΟΝΗ ΑΛΛΟ ΑΠΩΝ ΣΤΗ ΧΩΡΑ ΥΠΟ ΟΡΟΥΣ ΑΥΞΗΜΕΝΗΣ ΑΣΦΑΛΕΙΑΣ

ΣΧΕΔΙΟ. ΝΟΜΟΣ. Δηµόσιες υπεραστικές οδικές µεταφορές επιβατών. Κεφ. Α - ΓΕΝΙΚΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Άρθρο 1 Σκοπός πεδίο εφαρµογής

A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας την περίληψη του κειμένου που σας δόθηκε ( λέξεις). Μονάδες 25

ΠΡΟΣΚΛΗΣΗ (συνταγείσα σύµφωνα µε το άρθρο 26 παρ. 2β του κ.ν. 2190/1920)

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΣΥΝΕ ΡΙΑΣΗ Ν. Πέµπτη 28 Ιανουαρίου 2010

Μ Ε Λ Ε Τ Η ΠΡΟΜΗΘΕΙΑ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ ΘΕΡΜΑΝΣΗΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΣΧΟΛΙΚΕΣ ΜΟΝΑ ΕΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ. Προϋπολογισµού: ,82 σε ΕΥΡΩ

Καταστατικό Ιδιωτικής Κεφαλαιουχικής Εταιρείας (ΙΚΕ) ΦΕΚ 216/Β/ που δηµοσιεύθηκε η Κ.Υ.Α. αρ. Κ2-828/

Αριθµ. Απόφασης: 739 / 2014 ΠΑΡΟΝΤΕΣ: ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΗΜΟΣ ΣΕΡΡΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΣΩΤΕΡΙΚΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΥΠΟΥΡΓΟΣ Προς: Δημάρχους της Χώρας Αθήνα, 16 Δεκεμβρίου 2013 Α.Π.:2271. Αγαπητέ κ.

Δράση 1.2. Υλοτομία και προσδιορισμός ποσοτήτων υπολειμμάτων.

ΤΑ ΕΠΙΠΕΔΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΤΩΝ ΠΟΛΥΚΥΤΤΑΡΩΝ ΟΡΓΑΝΣΙΜΩΝ ΟΙ ΖΩΙΚΟΙ ΙΣΤΟΙ 2 ο ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΝΟΝΙΣΜΩΝ ΒΙΒΛΙΟ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΑΝΤΑΓΩΝΙΣΜΟΥ Αθήνα, 13 Νοεµβρίου 2012 ΕΛΤΙΟ ΤΥΠΟΥ

ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ A1. Ο συγγραφέας ορίζει το φαινόμενο του ανθρωπισμού στη σύγχρονη εποχή. Αρχικά προσδιορίζει την

Οι Αγώνες θα διεξαχθούν τόσο στο Σύγχρονο Θέατρο όσο και στο Αρχαίο

ΕΚΘΕΣΗ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΑΡΑΝΟΜΗ ΙΑΚΙΝΗΣΗ ΑΝΘΡΩΠΩΝ

ΑΓΡΟΤΙΚΗ ΖΩΗ ΚΑΙ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΠΑΡΑΔΟΣΗ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2015 Β ΦΑΣΗ ÅÐÉËÏÃÇ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΑ Α ΠΡΩΤΗ

ΥΗΕ - Ιλαρίωνα: Τα σηµαντικότερα γεωλογικά και γεωτεχνικά προβλήµατα που αντιµετώπισε η µελέτη και η κατασκευή µέχρι τώρα.

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

Αριθμός 9769/2014 TO ΠΟΛΥΜΕΛΕΣ ΠΡΩΤΟΔΙΚΕΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΕΚΟΥΣΙΑΣ ΔΙΚΑΙΟΔΟΣΙΑΣ ΣΥΓΚΡΟΤΗΘΗΚΕ από τους Δικαστές Μυρσίνη Κοντογιάννη, Πρόεδρο

ΑΝΑΚΟΙΝΩΣΗ υπ' αριθµ. ΣΟΧ 1/2015 για τη σύναψη ΣΥΜΒΑΣΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΟΡΙΣΜΕΝΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Ο ήµος Κορδελιού-Ευόσµου

Πρακτικό 1/2012 της συνεδρίασης της Δημοτικής Επιτροπής Διαβούλευσης του Δήμου Λήμνου,

Ι Σ Ο Κ Ρ Α Τ Η Σ ΤΡΑΠΕΖΑ ΝΟΜΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ Δ.Σ.Α.

Η ΦΟΡΟΛΟΓΗΣΗ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΣΩΠΩΝ ΣΤΗΝ ΕΥΡΩΠΑΙΚΗ ΕΝΩΣΗ

Άνθρωπος και οικοσυστήµατα

ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΤΡΟΦΙΜΩΝ ΚΑΙ ΠΟΤΩΝ ZAX B. Του Χ. Κακαρούγκα (Ma)

42. διαβάζει την εφηµερίδα (α) ή να διαβάζει την εφηµερίδα (β) ii) Ορίζουµε το ενδεχόµενο

Δ Ι Η Μ Ε Ρ Ι Δ Α Μ Ε Α Φ Ο Ρ Μ Η Τ Η Ν Ε Ο Ρ Τ Η Τ Ω Ν Τ Ρ Ι Ω Ν Ι Ε Ρ Α Ρ Χ Ω Ν

ΚΟΙΝ. ΑΣΦΑΛΙΣΗΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ

ΘΕΜΑ: «Τοποθέτηση και Ορισµός Προϊσταµένων Αυτοτελών Τµηµάτων, Αυτοτελών Γραφείων και Τµηµάτων ιευθύνσεων της Κεντρικής Υπηρεσίας

ΤΙΜΟΛΟΓΙΟ ΜΕΛΕΤΗΣ Τιµαριθµική 2012Γ

Σέρρες Αριθ. Πρωτ.: 1387

Τρίτη, 2 Σεπτεμβρίου 2014 Αριθ. Τεύχους: 200 Περιεχόμενα

ΑΔΑ: Β4Λ3ΩΗΑ-5ΕΝ ΑΝΑΡΤΗΤΕΑ ΣΤΟ ΙΑ ΙΚΤΥΟ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2007

ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΕΤΟΥΣ Κυριακή

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΤΗΣ ΕΠΙΣΗΜΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙ ΑΣ ΤΗΣ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑΣ. Αρ της 25ης ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2002 ΝΟΜΟΘΕΣΙΑ ΜΕΡΟΣ Ι

4 ο ΛΥΚΕΙΟ ΛΑΜΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΚΡΙΣΗΣ ΕΚΘΕΣΗ ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕ ΘΕΜΑ. Ε ιµέλεια Εργασίας :Τµήµα Α4

Η ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑ ΜΕΤΑΠΟΙΗΣΗ, ΠΑΡΟΧΗ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟΥ ΡΕΥΜΑΤΟΣ, ΦΥΣΙΚΟΥ ΑΕΡΙΟΥ ΚΑΙ ΝΕΡΟΥ, ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ

ΤΟ ΣΥΝΤΑΓΜΑ ΤΟΥ Εξώφυλλο του Συντάγµατος του 1844 (Βιβλιοθήκη Βουλής των

Κεφάλαιο Πέμπτο Εθνοπολιτισμική Ζωή και Εμπειρίες Ελληνικότητας των Ελληνοαυστραλών Εφήβων

«Πολιτιστικές διαδροµές στα µεταλλευτικά τοπία της Kύθνου»

ÔÏÕËÁ ÓÁÑÑÇ ÊÏÌÏÔÇÍÇ

Αριθµ. Απόφασης: 445 / 2014

ΣΧΕΔΙΟ ΝΟΜΟΥ ΕΝΙΣΧΥΣΗ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΚΙΝΗΜΑΤΟΓΡΑΦΙΚΗΣ ΤΕΧΝΗΣ ΚΑΙ ΑΛΛΕΣ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ. Γενικές Αρχές και Ορισμοί. Άρθρο 1 Γενικές αρχές

ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΟΔΗΓΙΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΩΔΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΤΗΣ ΝΟΜΟΘΕΣΙΑΣ. Α. Αντικείμενο του εγχειριδίου

ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ

Η διδακτική ενότητα του σχολικού εγχειριδίου «Η ελληνική κοινωνία στα χρόνια της δουλείας- Η οικονομία» Στόχοι διδασκαλίας της συγκεκριμένης ενότητας

οικισµών του ήµου Φαιστού

Τρίτη, 23 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΡΑΣΗ - ΕΚΘΕΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟ

Transcript:

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 5 ΜΑΪΟΥ 006 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1o A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f()) =c f (), ΙR. B.α. Πότε δύο ενδεχόµενα Α,Β ενός δειγµατικού χώρου Ω λέγονται ασυµβίβαστα; Μονάδες 3 β. Πότε µια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού Α λέγεται συνεχής; Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Μια συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το Α, λέµε ότι παρουσιάζει τοπικό µέγιστο στο A, όταν f() f( ) για κάθε σε µια 0 0 περιοχή του. 0 Μονάδες β. Aν το ενδεχόµενο Α, συµπληρωµατικό του ενδεχοµένου Α, πραγµατοποιείται, τότε δεν πραγµατοποιείται το Α. Μονάδες

γ. Για κάθε 0 ισχύει:. Μονάδες δ. Το κυκλικό διάγραµµα χρησιµοποιείται για τη γραφική παράσταση µόνο ποσοτικών δεδοµένων. Μονάδες ΘΕΜΑ ο Κατά την αρχή της σχολικής χρονιάς οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός Λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των θερινών διακοπών. Σύµφωνα µε τις απαντήσεις που δόθηκαν, συντάχθηκε ο παρακάτω πίνακας: Αριθµός Βιβλίων i Αριθµός Μαθητών ν i 0 α+4 1 5α+8 4α 3 α-1 4 α Σύνολο 50 α. Να υπολογίσετε την τιµή του α. Μονάδες 3 Στη συνέχεια να βρείτε: β. Τη µέση τιµή του αριθµού των βιβλίων που διάβασαν οι µαθητές. Μονάδες 7 γ. Τη διάµεσο του αριθµού των βιβλίων που διάβασαν οι µαθητές. Μονάδες 7 δ. Την πιθανότητα ένας µαθητής να έχει διαβάσει τουλάχιστο 3 βιβλία. Μονάδες 8

ΘΕΜΑ 3o ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 006 Σε ένα χορευτικό όµιλο συµµετέχουν αγόρια και (+4) κορίτσια. α. Επιλέγουµε τυχαία ένα άτοµο, για να εκπροσωπήσει τον όµιλο σε µια εκδήλωση. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι. Μονάδες 7 β. Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι ίση µε και ο όµιλος περιλαµβάνει λιγότερα από 100 µέλη, να βρείτε τον αριθµό των µελών του οµίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι. Μονάδες 8 γ. Ποιος πρέπει να είναι ο αριθµός των αγοριών του οµίλου, ώστε να µεγιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, και ποια είναι η τιµή της πιθανότητας αυτής; ( ίνεται R) ΘΕΜΑ 4ο Έστω η συνάρτηση f() = - +k + + 10, 0. α. Aν η εφαπτοµένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σηµείο Α(1,f(1)) είναι παράλληλη στον άξονα, να αποδείξετε ότι k= και να βρείτε την εξίσωσή της. Μονάδες 5 β. Μία τυχαία µεταβλητή Χ ακολουθεί την κανονική κατανοµή µε µέση τιµή =f(1) και τυπική απόκλιση s=. Τρεις παρατηρήσεις, αντιπροσωπευτικού δείγµατος µεγέθους ν, είναι µικρότερες ή ίσες του 8. (i) Να βρείτε τον αριθµό των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστηµα (10,16).

(ii)να αποδείξετε ότι το δείγµα των παρατηρήσεων που έχει ληφθεί, δεν είναι οµοιογενές. Να βρείτε τη µικρότερη τιµή της παραµέτρου α>0, που πρέπει να προστεθεί σε κάθε µία από τις προηγούµενες παρατηρήσεις, ώστε το δείγµα των νέων παρατηρήσεων να είναι οµοιογενές. Θέµα 1 ο Α. Σχολικό βιβλίο, σελ.: 30 Β. α) Σχολικό βιβλίο, σελ.: 14 β) Σχολικό βιβλίο, σελ.: 16 Γ. α) Σωστό β) Σωστό γ) Λάθος δ) Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα ο α) Ισχύει: v 1 +v +v 3 +v 4 +v 5 =v δηλαδή α+4+5α+8+4α+α-1+α=50 ή 13α=39 α=3 β) X i v i i v i Αθρ. Συχνότ. N i 0 7 0 7 1 3 3 30 1 4 4 3 6 44 4 6 4 50 v=50 77 κ 1 77 i i v i=1 50 = v = = 1,54 γ) Η διάµεσος (δ) βρίσκεται στη θέση v+1 50 + = 1 = 5,5

η η 5 παρατ.+6 παρατ. 1+ 1 δ= = = 1 (Όλες οι παρατηρήσεις από την 8 η έως και την 30 η αντιστοιχούν στο =1) δ) Ρ(τουλάχιστο 3 βιβλία) = Ρ( 3) = 8 0,16 50 = ή 16% Θέµα 3 ο α) Το σύνολο των ατόµων του οµίλου είναι +(+4) άτοµα Ο αριθµός των αγοριών είναι Η πιθανότητα του ενδεχόµενου ο εκπρόσωπος να είναι αγόρι είναι Ρ()= +(+4) β) Ρ()= 1 19 ή 1 = + +8+16=19-10+16=0 = ή =8 +(+4) 19 i. Για = τα αγόρια είναι και τα κορίτσια 36 ii. Για =8 τα αγόρια είναι 8 και τα κορίτσια 144 Η ii απορρίπτεται αφού ο όµιλος έχει λιγότερο από 100 µέλη. Οπότε η πιθανότητα ο εκπρόσωπος να είναι κορίτσι είναι 36 0,95 38 ή 95%. γ) Θεωρούµε την συνάρτηση Ρ(X) =,0< 5 αφού για 6 ο αριθµός +(+4) των ατόµων υπερβαίνει το 100. +(+4) -[1++(+4)] + +8+16-- -8 Ρ'()= = = [+(+4) ] [+(+4) ] - +16 = [+(+4) ] Το πρόσηµο και οι ρίζες της Ρ () δίνονται από τον παρακάτω πίνακα. P () P() 0 4 5 + 0 Ma

Η πιθανότητα να είναι αγόρι µεγιστοποιείται όταν =4 και η µέγιστη τιµή της είναι 4 4 P(4)= = = 0,058 ή 5,8% 4+(4+4) 68 Θέµα 4 ο α) Έστω f()=- +κ+4 +10, 0 f ()=-4+κ+ 1 Η εφαπτοµένη της C f στο Α(1, f(1)) είναι // στον οπότε f (1)=0 δηλαδή -4+κ+=0 κ=. Η εξίσωση εφαπτοµένης της C f στο Α(1, f(1)) είναι: y=f (1)+β ή y=0+β ή y=β f(1)=14 οπότε y=14 β) Για κ= είναι f()=- ++4 +10 και f ()=-4++ =f(1)=-++4+10=14 S=- f'(4) ( = 13) = 13 13 Η κανονική καµπύλη είναι: =14 και S=

µε απλή µέθοδο των τριών έχουµε: το 0,15% των παρατηρήσεων είναι 3 το 100% >> >> >> ; =3 100 = 000 0,15 (i) To ποσοστό των παρατηρήσεων Ρ(10 16) είναι: 13,5%+34%+34%=81,5% δηλαδή 000 81,5%=1630 παρατηρήσεις (ii) CV = S = = 0,143 ή 14,3%>10% άρα το δείγµα είναι ανοµοιογενές. 14 Αν σε κάθε τιµή προστεθεί το α>0 τότε: y=+α=14+α και S y =S = CV y = 0,10 (14+α) 0,10 1,4+0,10α 0,10α 0,6 α 6 14+α Άρα η µικρότερη τιµή του α είναι το 6.