ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 ΘΕΩΡΙA 5 ΘΕΜΑ A. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ισχύει ότι α α, για κάθε πραγματικό αριθμό α. β. Η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 έχει δύο ρίζες άνισες αν Δ < 0. γ. Η απόσταση δύο αριθμών α και β στον άξονα x x είναι d(α, β)= α β δ. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x με α < x < β λέγεται κλειστό διάστημα από α μέχρι β και συμβολίζεται [α, β]. ε. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να έχει το πολύ ένα κοινό σημείο με κάθε κατακόρυφη ευθεία. x= 0 A. Έστω η εξίσωση αx + βx + γ = 0, α 0 που έχει πραγματικές ρίζες x,x. Να αποδείξετε ότι: α. x x β + = α β. x x γ = α A. Τι λέγεται συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β; ΘΕΜΑ A. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η απόσταση των αριθμών α και β ισούται με α+β.
β. Το τριώνυμο αx + βx + γ α 0 με > 0 και x, x ρίζες, είναι ετερόσημο του α, μόνο για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών. γ. Αν ρ R με ρ> 0 και x R, τότε ισχύει η ισοδυναμία: x < ρ ρ<x<ρ. δ. Για κάθε πραγματικό αριθμό α και φυσικό αριθμό ν ισχύει: ν μ α = ε. H ευθεία y=αx + β με α>0 σχηματίζει αμβλεία γωνία με τον άξονα x x. νμ A. Αν α,β 0, να αποδείξετε την ισότητα: A. Να δώσετε τον ορισμό της αριθμητικής προόδου. ΘΕΜΑ A. Α. Να συμπληρωθούν οι παρακάτω ισότητες: α ν α ν β= ν α β. x= 0 Μονάδες 0 i. α ν =..., όπου α ν είναι ο ν-οστός όρος αριθμητικής προόδου, α o πρώτος όρος και ω η διαφορά της προόδου. ii. d(α, β) =. Μονάδες x=4 Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. i. Αν α 0, η εξίσωση α x = 0 είναι αδύνατη. ii. Τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β = α + γ. iii. Η ευθεία y = αx + β έχει κλίση λ = β. Μονάδες x=6 A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει P(A ) = P(A) Μονάδες 0 A4. Να γράψετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α.
ΘΕΜΑ A 4. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. i. Η εξίσωση ii. μ ν α= μ+ν ν x =α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό, είναι αδύνατη. α για κάθε α 0 και μ, ν θετικοί ακέραιοι. iii. d(α,β) = α +β όπου d(α, β) η απόσταση των αριθμών α και β. iv. Το τριώνυμο αx + βx + γ, α 0 γίνεται ομόσημο του α, μόνο όταν Δ>0 και για τις τιμές του x που βρίσκονται μεταξύ των ριζών. v. Αν Δ>0, τότε αx + βx + γ = α(x x )(x x ), όπου x, x οι ρίζες του τριωνύμου. x=0 A. Να αποδείξετε ότι για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β ισχύει αβ=α β Μονάδες 0 A. Να αποδείξετε ότι αν τρεις αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι α+γ αριθμητικής προόδου τότε ισχύει: β= ΘΕΜΑ A 5. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για κάθε x R ισχύει x = x. β. Η εξίσωση 0x = β είναι αδύνατη για κάθε β R. γ. Αν η διακρίνουσα ενός τριωνύμου είναι αρνητική τότε το τριώνυμο είναι θετικό για κάθε x R. δ. Αν α, β ομόσημοι τότε α+β < α + β. ε. Αν γ < 0 και α < β τότε αγ > βγ. A. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x=0 α x +β x+γ= 0 με α,β,γ R, α 0 και με άθροισμα και γινόμενο ριζών S και P αντίστοιχα, μετασχηματίζεται στην μορφή x Sx + P = 0. Μονάδες 0
4 A. Πότε δύο ενδεχόμενα λέγονται ασυμβίβαστα; ΘΕΜΑ A 6. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για κάθε πραγματικό α ισχύει α α = α α β. Αν α 0 και ν άρτιος τότε ν ν α = α γ. Η εξίσωση αx + βx + γ = 0 με α 0 έχει δυο άνισες ρίζες όταν Δ 0 δ. Τα σημεία (α, β) και ( α, β) του καρτεσιανού επιπέδου, είναι συμμετρικά ως προς τον άξονα x x. ε. Αν δυο αριθμοί x, x έχουν άθροισμα S και γινόμενο P, τότε η εξίσωση δευτέρου βαθμού που έχει ρίζες τους αριθμούς x και x είναι: x Sx + P = 0 x=0 A. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β α. Να αποδείξετε ότι α + β α + β β. Πότε στην παραπάνω σχέση ισχύει το ίσον; Μονάδες 7 Μονάδες A. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α. ΘΕΜΑ A 7. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η ανίσωση ισχύει για κάθε x R. α x +β x+γ> 0 με α, β, γ R, α <0 και Δ < 0 β. Αν θ > 0, ισχύει η ισοδυναμία x<θ θ<x<θ
5 γ. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε α+γ ισχύει: β= δ. Το συμμετρικό του σημείου Α(α, β) ως προς τον άξονα x x είναι το σημείο Α (α, β). ε. Αν x, x είναι οι πραγματικές ρίζες της εξίσωσης αx +βx + γ = 0, α 0, β τότε ισχύει x +x = α x=0 A. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι ισχύει: ΡΑ Β =ΡΑ+ΡΒ ΡΑ Β. A. Τι λέγεται γεωμετρικός μέσος δύο αριθμών α και γ; Μονάδες 0 ΘΕΜΑ A 8. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο γραπτό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Ως συντελεστής διεύθυνσης ή ως κλίση μιας ευθείας ε, ορίζεται η εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η ε με τον άξονα x x. β. Η εξίσωση α x +β x +γ= 0, με α 0 με διακρίνουσα αρνητική δεν έχει πραγματικές λύσεις. γ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f είναι συμμετρική της γραφικής παράστασης της συνάρτησης f, ως προς τον άξονα y y. δ. Δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα, όταν Α Β. ε. Για δύο οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει α+β = α + β A. Πότε μία ακολουθία λέγεται γεωμετρική πρόοδος; x=0
6 A. Αν Α Β, να αποδείξετε ότι P(A) P(B) Μονάδες 0 ΘΕΜΑ A 9. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο γραπτό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. α +β = 0 α= 0 ή 0 β=. β. Η εξίσωση α x+β= 0, όταν α=0, έχει μοναδική λύση. γ. Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει α= α 0. δ. Το τριώνυμο αx +βx +γ με α 0 γίνεται ομόσημο του α μόνο όταν Δ> 0 και για τις τιμές του x που είναι μεταξύ των ριζών. ε. x>ρ x > ρ ή x < ρ (ρ > 0) Μονάδες 0 A. Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε ασυμβίβαστα μεταξύ τους ενδεχόμενα Α και Β ισχύει: Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β). x=0 A. Να δώσετε τον αλγεβρικό ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α. ΘΕΜΑ A 0. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν θ > 0, τότε: x=θ x=θ β. Αν είναι x + y =0 τότε x = 0 και y = 0. γ. Τρεις μη μηδενικοί αριθμοί α, β, γ είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου αν και μόνο αν ισχύει β = αγ δ. Για δυο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ισχύει: Ρ(Α )= Ρ(Α). ε. Αν S το άθροισμα των ριζών x, x της εξίσωσης β α 0 τότε: S =. α α x +β x +γ= 0, x= 0
7 Α. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι ισχύει: ΡΑ Β =ΡΑ ΡΑ Β. Μονάδες 0 Α. Να γράψετε τον ορισμό της ν-οστής ρίζας μη αρνητικού αριθμού α. ΘΕΜΑ A. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. α= α όπου α R β. Η έκφραση «Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β» διατυπωμένη στη γλώσσα των συνόλων σημαίνει «(Α B)» γ. Η ευθεία με εξίσωση y = αx + β τέμνει τον άξονα y y στο σημείο Β(0, β). δ. Το γινόμενο των ριζών x, x μιας εξίσωσης αx β +βx+γ=0, α 0 δίνεται από τον τύπο Ρ=. α ε. Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β). x=0 A. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α. A. Να αποδείξετε ότι αβ=α β όπου α, β R. Μονάδες 0 ΘΕΜΑ A. A. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν A, B είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης τότε ισχύει ότι: Α Β Α Β = Α β. Για κάθε α, β R ισχύει ότι: ( α β ) = ( β α ). γ. Αν α, β άρρητοι αριθμοί τότε το γινόμενο τους αβ είναι σε κάθε περίπτωση άρρητος αριθμός.
δ. Η εξίσωση x ν = α, με α < 0 και ν φυσικό περιττό αριθμό, έχει ακριβώς μία λύση την ν α. 8 ε. Αν Ω ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης, τότε ισχύει Ρ(Ω)<. x=0 A. Αν για δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης ισχύει ότι Α Β τότε να δείξετε ότι: Ρ(Α) Ρ(Β). Μονάδες 0 A.. Πότε μία ακολουθία λέγεται αριθμητική πρόοδος. ΘΕΜΑ A. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Για κάθε πραγματικό αριθμό α, β και ν θετικό ακέραιο ισχύει η σχέση: ν ν ν α β = α β β. Σε σύστημα αξόνων xoy το συμμετρικό του σημείου Μ(α, β) ως προς την αρχή των αξόνων είναι το σημείο Ν( α, β) για κάθε α, β R γ. Η εξίσωση x ν = α με α < 0, α R και ν άρτιο θετικό ακέραιο έχει ακριβώς δύο λύσεις τις x = ν α και x = ν α δ. Ο ν ος όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο α και διαφορά ω είναι: α ν = α + νω ε. Αν η εξίσωση αx +βx+γ = 0 με α, β, γ πραγματικούς αριθμούς και α 0 έχει διακρίνουσα Δ, τότε ισχύει η συνεπαγωγή: α γ < 0 Δ > 0 x=0 A. Αν θεωρήσουμε δύο αριθμούς α και β που παριστάνονται πάνω στον άξονα με τα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τι ονομάζουμε απόσταση των πραγματικών αριθμών α και β και με τι ισούται; A.. Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α και β α. Να αποδείξετε ότι α + β α + β
9 β. Πότε στην παραπάνω σχέση ισχύει το ίσον; Μονάδες 7 Μονάδες ΘΕΜΑ A 4. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Αν α > β τότε α γ > β γ, για κάθε πραγματικό αριθμό γ. β. Ο κύκλος δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης. γ. Αν για τη διακρίνουσα Δ του τριωνύμου f(x) = αx +βx + γ α 0, είναι Δ > 0, τότε το f(x) γίνεται ομόσημο του α για κάθε x R. δ. Το σημείο Μ (x, y) με x > 0 και y < 0 βρίσκεται στο ο τεταρτημόριο. ε. Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f(x) και f(x) είναι συμμετρικές ως προς τον άξονα x x. x=0 A. Δίνεται η εξίσωση: αx + βx +γ = 0, α 0 () και x, x οι πραγματικές ρίζες της. Αποδείξτε ότι η εξίσωση () μετασχηματίζεται ισοδύναμα στην εξίσωση: x Sx+P=0 όπου S και Ρ, το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της (). Μονάδες 8 A. Τι ονομάζεται συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β; Μονάδες 4 A4. Τι παριστάνει γεωμετρικά το σύμβολο α β αν α, β τυχαίοι διαφορετικοί πραγματικοί αριθμοί; Μονάδες ΘΕΜΑ A 5. Α. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη: α. Αν α +β =0 α=0 και β = 0, α, β R. β. Το σύνολο των αριθμών x για τους οποίους ισχύει x α συμβολίζεται με (,α]
0 γ. Αν η f είναι συνάρτηση από το Α στο Β, υπάρχουν x A που έχουν δύο τιμές στο Β. δ. Η ανίσωση α x +β x+γ> 0 με α, β, γ R, α > 0 και Δ < 0 ισχύει για κάθε x R. ε. Αν α, β, γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου με α, β, γ R, τότε β + γ = α. Μονάδες 0 A. Αν x,x είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx +βx + γ = 0, α 0 και Δ>0 να αποδείξετε ότι: x β γ + x = και x x =. α α A. Να γράψετε τους ορισμούς:. της αριθμητικής προόδου. της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού Μονάδες 9 Μονάδες +=6
. Δίνεται η συνάρτηση ΑΣΚΗΣΕΙΣ 0 x x 8 + + f(x) =. x Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Γ. Να αποδείξετε ότι: f( 0) = και f 5 =. Γ. Να υπολογίσετε την παράσταση +. + f(0) + f(5) Μονάδες 8 Γ4. Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω γνωρίζουμε ότι : ( f( P( ) )) P(A) =, 8 τότε να υπολογίσετε: α. τις πιθανότητες ΛΥΣΗ Γ. Πρέπει : β. την πιθανότητα P(B) ( f ( 5) ) P( Ω) = και P( A B) P( A ) και P( B ). PA ( B. ) x + x + 8 0 x 6, αφού οι ρίζες του τριωνύμου 6 και x 0 x 5 = 8 Μονάδες 4 Μονάδες x + x + 8 είναι οι αριθμοί και
Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το A = [,) (, 6]. Γ. Είναι Γ. 8 9 f 0 = = = = και 5 + 5 + 8 8 4 f( 5) = = = = =. 5 + + + = + = = = + f(0) + f(5) + + Γ4. α. Επειδή P( ) = 0 και ( ) ( ( ( ) )) ( ) f P P(A) = = = =. 8 8 8 4 Επίσης επειδή P( Ω ) =, είναι: f P = f 0 =,είναι: ( ) Ω f 5 P P(B) = = =. Οπότε έχουμε διαδοχικά: P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 5 = + P ( A B ) 8 4 5 4 5 P( A B) = + = + = 4 8 8 8 8 8 P A B = P A P A B = = =. 4 8 8 8 8 β. Είναι. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω= {,,,..., 0} που αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, με: A= { x Ω/x 4< } και B = { x Ω / x ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης f (x) = 4 x }.
Γ. Να λύσετε την ανίσωση x 4 < και να αποδείξετε ότι: A= {, 4, 5} Μονάδες 7 Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f(x) = 4 x και να αποδείξετε ότι B= {,,, 4}. Γ. Να βρείτε τις πιθανότητες : ΛΥΣΗ α. P( A ), P( B ) και P( A B). β. να πραγματοποιηθεί τουλάχιστον ένα από τα Α και Β. γ. να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β. Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες Μονάδες Γ. x 4 < < x 4 < < x < 6 και επειδή x Ω, είναι Γ. Πρέπει 4 x 0 x 4 A= {, 4, 5}. και επειδή x Ω, είναι B {,,, 4} =. =, Γ. α. Είναι Ω= {,,,..., 0}, A= {, 4, 5} και B {,,, 4} οπότε Άρα: P A ( Ω) N A = = N 0 β. Έχουμε διαδοχικά:, P( B) A B = {, 4}. ( Ω) N B 4 = = N 0 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) και P( A B) =. 0 4 5 P( A B) = + = = 0 0 0 0 γ. Το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα Α και Β είναι το ( A B) ( B A). Επειδή τα ενδεχόμενα A B και B Aείναι ασυμβίβαστα, έχουμε:
(( ) ( )) = ( ) + ( ) = P( A) P( A B) + P( B) P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 4 P A B B A P A B P B A 4 = + =. 0 0 0 0. Θεωρούμε το δειγματικό χώρο Ω= {,,...,,} που αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα, και τα ενδεχόμενα του: A= { x Ω/x } B = { x Ω/ x 4x + 0} { / η εξίσωση x x 0 έχει διπλή ρίζα} Γ = λ Ω + λ + = Γ. Να λύσετε την ανίσωση x και να δείξετε ότι : Γ. Να λύσετε την ανίσωση Γ. Να δείξετε ότι Γ4. Να βρείτε τις πιθανότητες A = {, 0,,, }. x 4x + 0 και να δείξετε ότι B = {,,} Γ= {, }. P( A ), P( B ) και P ( Γ ). Γ5. Να βρείτε τις πιθανότητες P( Β Γ ) και Ρ Α ( Β Γ) Μονάδες 7 Μονάδες 7 Μονάδες 7 Μονάδες. Μονάδες ΛΥΣΗ Γ. x x x και επειδή
Γ. 5 x Ω, είναι A = {, 0,,, }. x 4x + 0 x, αφού οι ρίζες του τριωνύμου είναι οι αριθμοί και και επειδή x Ω, είναι B = {,,}. Γ. Η εξίσωση x 4x + x + ( λ) x + = 0 έχει διπλή ρίζα, άρα = 0, οπότε : ( λ) 4 = 0 λ= ή λ= λ= ή λ=. Άρα Γ= {, }. Γ4. Είναι Γ5. Είναι Επίσης Ν Α Ρ( Α ) = = Ν Ω 5 7 4. Δίνεται η συνάρτηση, Ν Β Ρ Β = = Ν Ω 7 και Β Γ= {,,,}, άρα P Ν Γ Ρ Γ = = Ν Ω 4 Β Γ =. 7 Α ( Β Γ ) = { 0}, οπότε Ρ Α Β Γ = f ( x) = 9 x λ, λ R. Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.. 7 7 Mονάδες 7 Γ. Έστω Ω= {,,, 4,5,6,7,8,9,0} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και το ενδεχόμενό του { R:f ( 5 ) } Α = λ = λ + λ. Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο από το δειγματικό χώρο Ω, να βρείτε την πιθανότητα το στοιχείο αυτό να ανήκει στο Α. Γ. Για λ= 0, α. Να βρείτε το f ( 5) και να μετατρέψετε την παράσταση f ( 5) σε ισοδύναμη με ρητό παρονομαστή. Μονάδες 8
6 β. Να βρείτε το σημείο που η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα y y. Moνάδες 5 ΛΥΣΗ Γ. Πρέπει 9 x 0 x 9 9 x 9. Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το A = [ 9,9]. Γ. Είναι f( 5) = λ + λ, άρα 9 5 λ= λ + λ 4 λ= λ + λ λ λ+ = 0 Άρα A = {, } και επειδή {,,, 4,5,6,7,8,9,0} N( A) P( A) = = =. N( Ω) 0 5 Γ. α. Για 0 λ= είναι λ= ή λ=. Ω= είναι f 5 = 9 5 = 9 5 = 4 =, οπότε : f ( 5) + + + = = = = = +. + β. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το A = [ 9,9], άρα το 0 Α, οπότε για λ= 0 είναι f( 0) = 9 =.Συνεπώς η γραφική παράσταση της συνάρτησης f τέμνει τον άξονα y y στο σημείο K ( 0, ). 5. Έστω οι συναρτήσεις f( x) = x 4 και g x = 7 x. Γ. Να βρείτε τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων f και g. Γ. Να αποδείξετε ότι οι αριθμοί f( ),f( 8 ),f( 5), Μονάδες 4 με την σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. Μονάδες
7 Γ. Αν ο f( 8) είναι ο δεύτερος όρος της παραπάνω αριθμητικής προόδου, να βρείτε το άθροισμα των 0 πρώτων όρων της. Γ4. Να βρείτε το συμμετρικό του σημείου ( ( )) M 9, g 9 ως προς άξονες συμμετρίας τους x x, y y και ως προς κέντρο συμμετρίας την αρχή των αξόνων. Γ5. Να λύσετε την εξίσωση : 4 Μονάδες 4 f x g x =. Γ6. Να βρείτε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες τους αριθμούς ΛΥΣΗ Γ. Είναι: g( 0 ) και g ( 9). x 4 0 x 4 x 4 ή x 4. Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το f ( ] [ ) A =, 4 4, +. 7 x 0 x 7 7 x 7. Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι το A [ 7, 7] g =. Μονάδες 4 Γ. Είναι f ( ) = 4 = 4 = 9 = f( 8) = 8 4 = 8 4 = 4 = και f( 5) = 5 4 = 5 4 = = f( ) + f( 5) Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι f( 8) =. + Πράγματι είναι =, άρα οι αριθμοί f( ),f( 8 ),f ( 5), με την σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.
8 Γ. Ο δεύτερος όρος της αριθμητικής προόδου είναι α = f( 8) = και η διαφορά της άρα έχουμε : ω= f 5 f 8 = =, α =α +ω α =α ω= ( ) =, οπότε το άθροισμα των δέκα πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου είναι : 0 S = 0 ( 0 ) 5( 6 9) 5 α+ ω = = Γ4. Είναι άρα M ( 9, ). Άρα: g ( 9) = 7 9 = 7 9 = 8 =, Το συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα x x είναι το Ν( 9, ). Το συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα y y είναι το K ( 9, ). Το συμμετρικό του Μ ως προς O( 0,0) είναι το Λ( 9, ). Γ5. Για x Af Ag Γ6. Είναι οπότε, δηλαδή για x [ 7, 4] [ 4, 7] 4, είναι : 4 f x g x = x 4 7 x = ( x 4) 7 + x = x 8 x + 6 7 + x = x 7 x 8 = 0 x = 8 ή x = αδύνατη Άρα x = 8 ή x = 8. g ( 0) = 7 = και g 9 = 7 9 = 7 9 = 8 = S = g ( 0) + g ( 9) = + = 5 και άρα η ζητούμενη εξίσωση είναι η P = g 0 g 9 = = 6, x Sx + P = 0 x 5x + 6 = 0.
6. Δίνονται οι παραστάσεις: 9 A= 4 και Γ. Να αποδείξετε ότι Α=. Γ. Να αποδείξετε ότι Β=. Γ. Να λύσετε την εξίσωση Β= + + Μονάδες 0 Μονάδες 8 x = + Α+ Α Α Α. Μονάδες 7 Λύση Γ. Γ. 4 4 A 4 4 4 = = = = 4 = = = = 4 4 8 + + 4 4 Β= + = = = = + + 4 Γ. Η εξίσωση x = + + 7. Δίνεται η εξίσωση x = + Α+ Α Α Α λόγω του ερωτήματος Γ γίνεται : και λόγω του ερωτήματος Γ γίνεται : x =, οπότε x =. ( x ) λ λ +λ = λ x (), όπου x o άγνωστος και λ R η παράμετρος. Γ. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ, αν η εξίσωση έχει ως ρίζα τον αριθμό. Μονάδες 6 Γ. Να λυθεί η εξίσωση για τις διάφορες τιμές του αριθμού λ. Μονάδες
0 Γ. Αν η εξίσωση είναι αόριστη να βρεθεί η τιμή του πραγματικού αριθμού α, ώστε να ισχύει: Λύση λ α+ = 8. Γ. Η εξίσωση ( x ) Μονάδες 7 λ λ +λ = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, οπότε λ λ +λ = λ λ λ+λ = λ 6 4 Γ. Είναι Αν λ 7λ+ 4 = 0 4 λ= ή λ=. λ λ x +λ = λ x λ x λ+λ = λx x ( λ λ+ ) x =λ λ λ λ+ 0, δηλαδή λ και λ, η εξίσωση έχει μοναδική λύση την λ( λ ) λ λ λ x = = = λ λ+ λ λ λ Αν λ=, η εξίσωση γίνεται 0x = 0 ( αόριστη ) Αν λ=, η εξίσωση γίνεται 0x = ( αδύνατη ) Γ. Η εξίσωση είναι αόριστη, άρα λ=, οπότε η εξίσωση λ α+ = 8 γίνεται α+ = 8 α+ = 8 ή α+ = 8 8. Δίνεται η εξίσωση ( α+ = ή α+ = ) α= ή α=. x 4λx = 0 (), λ R. Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ R. Μονάδες 8
Γ. Αν η εξίσωση () έχει ρίζα τον αριθμό x = να βρεθεί η παράμετρος λ και η άλλη ρίζα x της εξίσωσης. Μονάδες 0 Γ. Αν λ= και x, x οι ρίζες της () να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθμού η οποία να έχει ρίζες τους αριθμούς ρ = και ρ =. x x Λύση Γ. Είναι = 4λ 4 = 6λ + 48 > 0, Μονάδες 7 άρα η εξίσωση () έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες για κάθε λ R. Γ. Η εξίσωση () έχει ρίζα τον αριθμό x =, άρα 4 λ = 0 4 + 8λ = 0 λ=, οπότε η εξίσωση γίνεται : x 4x = 0 (). Αν x η άλλη ρίζα της εξίσωσης είναι : x= = x = 6 x x. Γ. Είναι x + x = 4 και x x =. x+ x 4 Άρα S =ρ +ρ = + = = = x x x x και P=ρ ρ = = = = x x x x. Επομένως η ζητούμενη εξίσωση είναι η x + x = 0. 9. Δίνεται η εξίσωση λx ( λ+ x ) + 8= 0() με λ R και λ 0.
Γ. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση () έχει πραγματικές ρίζες. Μονάδες 0 Γ. Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης (), α. Να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων x+ x και x x Λύση συναρτήσει του λ. β. Να βρεθεί ο λ αν Γ. Η εξίσωση (x + x ) x x = 0. Μονάδες 0 λx ( λ+ x ) + 8= 0είναι δευτέρου βαθμού ( λ 0) με = λ+ λ= 4 λ + 4λ+ 4 λ= 4λ 6λ+ 6 Άρα έχει πραγματικές ρίζες. Γ. α. Αν x, x είναι οι ρίζες της εξίσωσης από τύπους Vieta έχουμε για λ 0: x β. Η σχέση λ+ λ+ + x = = λ λ = 4( λ ) 0. λx ( λ+ x ) + 8= 0, 8 και x x = λ (x + x ) x x = 0 λόγω Γ γίνεται : λ+ 8 λ+ 4 8 = 0 = 0 λ λ λ λ λ+ 4 8 λ+ 4 8 λ+ λ 4 + = 0 = 0 λ λ λ λ λ λ λ= 6 ή λ=. 0. Δίνεται η εξίσωση x +(λ )x λ = 0, (), R { } Γ. Αν x,x είναι οι ρίζες της () τότε: λ. Να βρεθούν τα x+ x και x x ως συνάρτηση του λ.
Γ. Να βρεθεί η τιμή του λ που επαληθεύει την εξίσωση: x+ x + λ 8 5 x x +λ+ + + = 5 Μονάδες..0 Μονάδες 5 Λύση Γ. Από τύπους του Vieta είναι : λ λ x+ x = = λ + και x x = = λ Γ. x+ x + λ 8 5 x x +λ+ + + = 5 Γ λ+ + λ 8 5 λ+λ+ + + = 5 λ 6 5 λ+ + + = 5 λ 5 λ + + + = 5 λ 5 λ+ + + = 5 λ = λ+ 4 λ 0 + 0 = 5 λ + 5 λ = 5 λ = 5 ή λ = 5. Άρα λ= 8 ή λ=.. Δίνεται η συνάρτηση ( κ+ )x 5, x f(x) = Γ. Να δείξετε ότι f x +κx 7, x >, όπου κ R. = κ, f ( 6) = 6κ+ 9 και f 8 = 8κ+ 57 Μονάδες 6
4 Γ. Αν οι παραπάνω τιμές f ( ),f ( 6 ) και f ( 8 ) με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό κ. Μονάδες 9 Γ. Αν κ=, να βρείτε τη διαφορά ω της προόδου. Γ4. Αν κ= και ο πρώτος όρος της παραπάνω αριθμητικής προόδου είναι α = Λύση f, να υπολογίσετε το άθροισμα S =α +α +α +... +α 0. Γ. Είναι f = ( κ+ ) 5= κ+ 5= κ, f ( 6) = 6 + 6κ 7 = 6κ+ 9 και f 8 = 8 + 8κ 7= 8κ+ 57. Γ. Επειδή οι τιμές f ( ),f ( 6 ) και f ( 8 ) με τη σειρά που δίνονται, είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, έχουμε : ( ) f 6 =f + f 8 6κ+ 9 = κ + 8κ+ 57 κ+ 58 = 0κ+ 54 κ= 4 κ=. Γ. Για κ=, είναι Οπότε f 7 = =, f ( 8) = 8( ) + 57 = 4. f 6 = 6 + 9 = 7 και ω= f ( 6) f = 7 ( 7) = 4. Γ4. Είναι α = f(, ) άρα α = 7 και ω= 4, οπότε: S =α +α +α +... +α 0 = S0 S0 () 0 Αλλά S0 = ( 0 ) 0 90 α+ ω = α+ ω και 0 S0 = ( 0 ) 0 45 α+ ω = α+ ω, Οπότε η σχέση () γίνεται : ω=4 S = 0α +90ω 0α 45ω = 0α +45ω 70 + 480 = 40 = α =-7
. Δίνεται η συνάρτηση 5 x x+ f(x) =. x Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Γ. Να αποδείξετε ότι για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της είναι Γ. Να λύσετε την ανίσωση Λύση Γ. Πρέπει : f (x) = x. f(x) f( x) + x. + > 6 x 0 x x και x. Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι A R {,} Γ. Για x Αf είναι : f =. Μονάδες 0 Μονάδες 0 x = x x x+ x x+ x x f(x) = = = = x x x x Γ. Για x R {,} είναι : Άρα f (x) = x, x R {, }. f(x) f( x) + x x x + x + > + > 6 6 x= x x = x x x x x x x + > + > 6 6 ( x ) + ( x ) > x x 6+ x > x 4 x > 8 x > x < ή x >.
. Δίνεται η συνάρτηση 6 x x f(x) =. x x Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι: x f(x) = x + για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Μονάδες 7 Γ. Να αποδείξετε ότι: f = και Γ4. Να αποδείξετε ότι: Λύση Γ. Πρέπει f = + f + f = x x 0 x και x. Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι Α f = R {, }. Γ. Είναι Γ. Είναι x( x ) x x x x x x+ x+ x+ f(x) = = = ( ) Μονάδες 6,για κάθε x R {, }. f = = = = + + ( + ) + f = = = = = +. + + Γ4. Λόγω του προηγούμενου ερωτήματος έχουμε f + f = + + = και
7 4. Δίνεται η συνάρτηση x f( x) = x 7x + 6 Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Γ. Να δείξετε ότι f( x) =, x 6 για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της. Γ. Να λύσετε την εξίσωση = 4 4 + + 4+ 4 + =. Μονάδες 8 Μονάδες 9 0 f x + =. Μονάδες 8 Λύση Γ. Πρέπει x 7x + 6 0 x και x 6. Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι Α f = R {, 6 }. Γ. Για x R {, 6} έχουμε x x = = = x 7x+ 6 x x 6 x 6 f( x) Γ. Για x R {, 6} είναι :, για κάθε x R {, 6 }. 0 x 6 0 x 0 f x + = + = = x = 0 ή x = 0 x = ή x = 7. 5. Δίνεται η συνάρτηση f ( x) = x +λx 5, με λ R.
8 Αν το σημείο (, 7) ανήκει στη γραφική παράσταση της συνάρτησης f τότε: Γ. Να βρείτε την τιμή του λ. Μονάδες 7 Γ. Αν λ=, να βρείτε τα σημεία στα οποία η γραφική παράσταση της συνάρτησης τέμνει τους άξονες x x και y y. Μονάδες 0 Γ. Αν λ=, να βρείτε τις τετμημένες των σημείων της γραφικής παράστασης της συνάρτησης που βρίσκονται κάτω από τον άξονα x x. Μονάδες 8 Λύση Γ. Το σημείο Δ(, 7) Cf, άρα Γ. Για 4 λ 5 = 7 λ= 4 λ=. λ= είναι Για y= 0 είναι Άρα η f f x = x x 5, x R. x x 5 = 0 x = ή x = 5. C τέμνει τον άξονα x x στα σημεία A (, 0) και A ( 5,0 ) Για x = 0 είναι f ( 0) = 5. Γ. Είναι Άρα η γιατί το τριώνυμο C τέμνει τον άξονα y y στo σημείο ( ) f B 0, 5. f x < 0 x x 5< 0 x,5, x x 5 έχει ρίζες τους αριθμούς και 5. 6. Δίνεται η συνάρτηση x 4x f(x) =. x + x Γ. Να προσδιορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και στη συνέχεια να αποδείξετε ότι για κάθε x που ανήκει στο πεδίο ορισμού της ισχύει: f(x) = x. Γ. Να λύσετε την εξίσωση:
9 f(4) x = f() x Μονάδες 8 Γ. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f: Α. τέμνει τον άξονα των τετμημένων (άξονα x x) σε ένα σημείο του οποίου να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες. Μονάδες 4 Β. δεν τέμνει τον άξονα των τεταγμένων (άξονα y y). Μονάδες Γ4. Να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης Λύση Π= Γ. Πρέπει 04 4 04 04 + 04 x + x 0 x x + 0 x 0 και x. Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι Α f = R { 0, }. Άρα είναι x 4x x x 4 x x+ x f(x) = = = = x, + + + για κάθε x R { 0, }. Γ. Είναι άρα η δοθείσα εξίσωση γίνεται : x x x x x x f( 4) = 4 = και f( ) = =, f(4) x = f() x x = x x = x ή x = + x x = ή x =. Γ. A. Για y= 0, δηλαδή για Αλλά 0 Α f και η x x 4x = 0, επειδή + x x 4x = 0 x = 0 ή x = ή x = Α, άρα f C f τέμνει τον άξονα xx στο σημείο x + x 0 έχουμε: : A,0. Β. 0 Α f, άρα η γραφική παράσταση της f δεν τέμνει τον άξονα yy.
0 04 4 04 04 04 Γ4. Π= = f ( 04) + επειδή f( x) = x είναι και f ( 04) = 04 = 0, άρα Π= 0. 7. Δίνεται η συνάρτηση f (x) = ( λ ) x +, όπου * λ R, της οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία με εξίσωση ε : y = ( λ ) x +. Γ. Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού λ έτσι ώστε η ευθεία με εξίσωση y= ( λ x ) + να σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία 45. Μονάδες 8 Γ. Για λ= 4, να βρείτε τα σημεία τομής της γραφικής παράστασης της f με τους άξονες x x, y y. Μονάδες 8 Γ. Αν Κ το σημείο τομής της ευθείας ε με την ευθεία δ : y = x +, να βρείτε το συμμετρικό του σημείου Κ, α. ως προς τον άξονα x x β. ως προς τον άξονα y y γ. ως προς τη διχοτόμο y= x Λύση Μονάδες 9 Γ. Η ευθεία ε : y= ( λ ) x+ σχηματίζει με τον άξονα x x γωνία άρα Αλλά λ = λ = λ = ή λ = * λ R, άρα λ= 4. λ= 0 ή λ= 4. Γ. Για λ= 4, είναι ε : y= x+, οπότε : για y= 0 είναι x για x = 0 είναι y o 45 =, άρα η ευθεία ε τέμνει τον x x στο A (, 0) =, άρα η ευθεία ε τέμνει τον y y στο B 0,.
Γ. Είναι x + = x + x = και y= 5, άρα K (,5 ), οπότε : α. το συμμετρικό του Κ ως προς προς τον άξονα x x είναι το K (, 5) β. το συμμετρικό του Κ ως προς προς τον άξονα y y είναι το K (,5) γ. το συμμετρικό του Κ ως προς τη διχοτόμο y= x είναι το K ( 5, )... 8. Σε καρτεσιανό σύστημα αξόνων θεωρούμε την ευθεία με εξίσωση δ : y= x+ 5 και το σημείο A (, ). Γ. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας (ε) που διέρχεται από το σημείο Α και είναι παράλληλη στην ευθεία (δ). Μονάδες 8 Γ. Να βρείτε τα σημεία τομής της ευθείας (ε) με τους άξονες x x και y y καθώς και την γωνία που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα x x. Μονάδες 8 Γ. Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει λ R ώστε το σημείο να ανήκει στην ευθεία (ε). B( λ λ, ) Μονάδες 9 Λύση Γ. Επειδή η ευθεία (ε) είναι παράλληλη με την δ : y = x + 5 θα έχει την ίδια κλίση με αυτή, οπότε θα είναι α=. Άρα η ζητούμενη εξίσωση είναι της μορφής y=x+β και επειδή η ευθεία διέρχεται από το σημείο A (, ), θα ισχύει =+β β =. Επομένως η εξίσωση της ευθείας (ε) είναι ε : y= x Γ. Για y= 0 είναι x =, άρα η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα x x στο σημείο Γ (, 0). Για x = 0 είναι y=, άρα η ευθεία (ε) τέμνει τον άξονα y y στο σημείο ( 0, ). Επίσης, όπως είναι γνωστό, για το συντελεστή διεύθυνσης της ευθείας y=αx +β ισχύει α = εϕω, όπου ω είναι η γωνία που σχηματίζει η ευθεία y=αx +β με τον άξονα x x.
Επομένως θα έχουμε : εϕω =, οπότε 0 ω= 45. Γ. Έστω ότι υπάρχει λ R τέτοιο ώστε το σημείο ανήκει στην ευθεία (ε). Τότε έχουμε λ =λ 5 0 B( λ λ, ) =λ λ+ λ λ+ = (αδύνατη) γιατί = = < 0. Άρα δεν υπάρχει στην ευθεία (ε). 9. Δίνονται οι συναρτήσεις Γ. Να δείξετε ότι λ R τέτοιο ώστε το σημείο f(x) = x 6x + 9 4 και B( λ λ, ) να ανήκει x 4 g(x) =. x f(x) = x 4 για κάθε x R. Γ. Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α της συνάρτησης g και να δείξετε ότι Γ. Να λύσετε την εξίσωση Γ4. Να λύσετε την ανίσωση Λύση Γ. Είναι Γ. Πρέπει g(x) = x + για κάθε x A. f( x) = g( x) 6. f( x) < 4. f(x) = x 6x+ 9 4= x 4= x 4 x 0 x x και x. Μονάδες 8 Μονάδες 7
Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g είναι Α= R {, }. Άρα για κάθε x R {, } έχουμε : x = x x 4 x 4 x x + g(x) = = = = x +. x x x Γ. Για x R {, } είναι : f( x) = g( x) 6 x 4= x + 6 x = x Γ4. Για x R είναι : x = x ( αδύνατη) ή x = x x =. f( x) < 4 x 4< 4 x < 8 8< x < 8 5< x<. Άρα x ( 5, ). 0. Έστω η συνάρτηση f x = x λ x +λ+, λ R. Γ. Να προσδιορίσετε τις τιμές του λ, ώστε η γραφική παράσταση της f να έχει δυο κοινά σημεία με τον άξονα x x. Μονάδες Γ. Αν x,x είναι οι τετμημένες των σημείων τομής της C f με τον άξονα x x, να προσδιορίσετε την τιμή του λ, ώστε ΛΥΣΗ x +x =9 Μονάδες Γ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f έχει δυο κοινά σημεία με τον άξονα x x, άρα η εξίσωση f( x) = 0 έχει δυο ρίζες πραγματικές και άνισες, οπότε > 0 λ 4 λ+ > 0 λ λ+ 4λ 8> 0 Άρα λ (, ) ( 7, + ). λ 6λ 7 > 0 λ< ή λ> 7.
4 Γ. Αν x,x από τύπους του Vieta έχουμε: Άρα x+ x =λ και x x =λ+. x +x =9 x +x x x = 9 λ λ+ = 9 λ λ+ λ 4 9= 0 λ 4λ = 0 λ= 6 ή λ=.