Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγμα μεγέους από την κατανομή με σππ 3 p (,, >, > 0 α Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m X είναι επαρκής για την παράμετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕΔ του α Το στήριγμα S { : p(, > 0} {, + } εξαρτάται από το και για αυτό γράφουμε την σππ στην εξής μορφή: 3 p (, Ι (,, (,+ όπου, > Ι (, + ( : 0, Η από κοινού σππ του δείγματος Χ,,Χ γράφετε τότε: Ορίζουμε τη συνάρτηση: 3 p (, Ι (,+ (, ( f(, ( :, 0, > ( όπου ( m Οι συναρτήσεις K και L με τιμές K( Ι (,+ ( και L( f(, ( είναι ίσες διότι παίρνουν μόνο τις τιμές 0 και και επιπλέον K ( αν και μόνο αν L ( Επομένως 3 p (, { f(, ( } G( (, H ( Έτσι από το παραγοντικό κριτήριο Neym η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : ( m είναι επαρκής για το Για να αποδείξουμε την πληρότητα της Τ, χρειάζεται να γνωρίζουμε την κατανομή της Για την συνάρτηση κατανομής F X (, της τμ Χ με σππ p(,, έχουμε: 3 FX (, p( u, du u du, > και F X (,0 αν Συνεπώς αν F Τ (t, είναι η συνάρτηση κατανομής της Τ τότε:
F( t, PT ( t PT ( > t PX ( > t PX ( > t,,, PX ( > t T ( [( FX ( t, ], t > t Παραγωγίζοντας ως προς t λαμβάνουμε την σππ της Τ: (, ft t t, t > Έστω τώρα Ε(h(T, 0 > 0 και για τυχούσα μετρήσιμη πραγματική συνάρτηση h: Έχουμε ότι: Ε(h(T, 0 > 0 + + + h( t f (, t dt 0 h( t t dt 0 h( t t dt 0 T Παραγωγίζοντας την τελευταία ισότητα ως προς λαμβάνουμε ότι h( 0 > 0 h( 0 > 0, δηλαδή h(y0 y (0, + Για το σύνολο (,0] ισχύει ότι PT ( 0 0 > 0, δηλαδή το (,0] έχει μέτρο μηδέν Άρα h0 σχεδόν παντού και συνεπώς η Τ( Χ : Χ ( m X είναι πλήρης κ Τότε: + + + κ κ κ κ T β Έστω Uψ(Τ αε του E( ψ( Τ ψ( t f (, t dt ψ( t t dt ψ( t t dt, > 0 Παραγωγίζοντας την τελευταία ισότητα ως προς προκύπτει: ( + κ ( + κ κ ψ (, > 0 ψ ( > 0 κ + + ( + κ κ ( + κ Άρα η στατιστική συνάρτηση U( X ψ ( T( X T( X X( κ η μοναδική ΑΕΕΔ του, ως συνάρτηση μόνο της επαρκούς και πλήρους στατιστικής συνάρτησης Τ κ είναι Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγμα από την κατανομή G, p με σππ p p (, e, > 0, > 0, p Γ( p όπου p γνωστό α Να υπολογιστεί η πληροφορία Ι( κατά Fsher μιας παρατήρησης για το β Να βρεεί ΑΕΕΔ της και να συγκριεί η διασπορά της με το κάτω φράγμα της ανισότητας Crmer-Ro
γ Να βρεεί ΑΕΕΔ της / και να συγκριεί η διασπορά της με το κάτω φράγμα της ανισότητας Crmer-Ro α Άρα: l p (, l Γ( p pl + ( p l p l p (, + p l p (, 3 Χ ( l p (, p ( p p p p Ι Ε Ε 3 Ε Χ 3 3 β Το στήριγμα S { : p(, > 0} {0, + } δεν εξαρτάται από το Επιπλέον: p e c e Γ( p p Q( T( (, ( h( p ανήκει δηλαδή στην ΕΟΚ και συνεπώς η ΤΤ( Χ : και πλήρης για το Ακόμα έχουμε ότι: Ε(Τ Τ EX ( p Ε p T( X X είναι επαρκής X * X Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η αε Τ ( Χ του είναι και ΑΕΕΔ ως p p συνάρτηση της επαρκούς και πλήρους Τ Επειδή οι Χ,,Χ είναι ανεξάρτητες (άρα και ασυσχέτιστες έπεται ότι: V( X * p V( Τ ( p ( p p Το κάτω φράγμα Crmer-Ro δίνεται από την * LB V ( T I( p γ Ισχύει ότι αν X ~ G, p X ~ G, p και άρα 3
+ E ft (, t dt κ κ T t 0 + + / y t p κ + p p p y ( p κ κ Γ κ t e dt t e dt y e dy κ p p p κ, t Γ( p Γ( p Γ( p Γ( p 0 0 0 αφού: + p κ y y e dy p 0 Γ( κ Για κ έχουμε E Γ( p, T Γ( p ( p αφού: Γ ( ( Γ( Τελικά: p E, T p και άρα η στατιστική συνάρτηση είναι ΑΕΕΔ του / T Ακόμα: p V ( p V ( p E E T T T T ( Γ( p ( p ( p Γ p ( p ενώ: d d 4 p LB < V I( p p T Άσκηση 3: Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγμα από την κατανομή b(n,, (0, α Να δειχτεί ότι η στατιστική συνάρτηση X Ν είναι ΑΕΕΔ του β Να βρεεί η ΕΜΠ του γ Έστω το τυχαίο δείγμα Χ,,Χ από την κατανομή b(3, Αν το δείγμα αυτό έδωσε τις μετρήσεις 3, 0, 3, 4, 5 να βρεεί ο ΕΜΠ της P(X0 4
α Το στήριγμα S { : p(, > 0} {0,,, N} δεν εξαρτάται από το Επιπλέον: N l N N N Q( T( p (, ( ( e c( e h ( ανήκει δηλαδή στην ΕΟΚ και συνεπώς η Τ Τ( Χ : και πλήρης για το Ακόμα έχουμε ότι: Ε(Τ Τ EX ( N Ε N Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι η αε συνάρτηση της επαρκούς και πλήρους Τ * Τ ( Χ X N X N T( X X είναι επαρκής του είναι και ΑΕΕΔ ως β Έχουμε: Ακόμα: N N ( (, L N l( l + N l( + l, N d l( 0 d Ν d N ( N l d ( < 0 Ν Επομένως η ˆ X είναι η ΕΜΠ του Ν γ Από τις μετρήσεις 3, 0, 3, 4, 5 παίρνουμε ότι ˆ Ν 0466 Έτσι υποέτοντας ότι Χ~b(3,0466 έχουμε: 3 0 3 0 PX ( 0 0466 ( 0466 057 0 Άσκηση 4: Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγμα από την κατανομή N(μ,σ 5
Να βρεεί η ΕΜΠ του σ όταν: α μ γνωστό β μ άγνωστο γ Έστω πήραμε τις εξής μετρήσεις για το Χ: 0, 5, 3 03, 4, 5 08, 6 3, 7 4, 8 53, 9 07, 0 45 Να βρεεί ο ΕΜΠ της P(X>09 α Έχουμε: ( μ σ L( σ e, ( πσ ( μ l( σ l π l σ, σ ( ( d μ μ l( σ + 0 σ dσ σ σ σ Παρατηρούμε ότι για σ ( ( μ είναι: 3 d l( σ < 0 d σ ( μ Επομένως η ˆ ( μ είναι η ΕΜΠ του σ β Έχουμε: ( μ σ e L( μσ,, ( πσ l( μσ, l π l σ ( μ σ, 6
( d μ l ( 0 μ dμ σ ( μ ( d l( + 0 σ dσ σ σ ( σ Η λύση αυτή αντιστοιχεί πράγματι σε μέγιστο αφού ο πίνακας Hesse για σ ( είναι ο: ( l( μσ, Η 3 0 μ και μσ 0 ( ο οποίος είναι αρνητικά ορισμένος Επομένως η ΕΜΠ του σ όταν μ άγνωστο είναι: γ Από τις 0 μετρήσεις προκύπτει ότι: Άρα Χ ~ Ν(09,855 και επομένως: ˆ σ ( ˆ μ 09 ( ˆ σ 855 X 09 09 09 PX ( > 09 P( > Φ (0 05 855 855 Άσκηση 5: Ο αριμός Ν(t των εκπεμπόμενων σωματιδίων α από μια ραδιενεργό πηγή σε χρόνο t ωρών ακολουεί την P(t, >0 Αν Χ,,Χ είναι οι ενδιάμεσοι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών εκπομπών, να βρεούν α Η ΕΜΠ του β Η εκτιμήτρια ροπών του γ Η ΕΜΠ της πιανότητας σε χρόνο ωρών να μην έχουμε εκπομπή σωματιδίου 7
α Είναι γνωστό από τις πιανότητες ότι τα Χ,,Χ είναι ανεξάρτητες και ισόνομες τμ που ακολουούν την Εκ( Οπότε: ( e, L l( l, d l( 0 d Ακόμα: d l( < 0 για d Επομένως η ˆ είναι η ΕΜΠ του X β Έχουμε Ε(Χ/ και λύνοντας ως προς παίρνουμε ότι Άρα η εκτιμήτρια ροπών του είναι η γ Είναι t οπότε η Ν( ακολουεί την P( ˆ Η ζητούμενη πιανότητα είναι: ˆ 0 ˆ ˆ ( X PN ( ( 0 e e e 0! Άσκηση 6: Ο χρόνος ζωής Χ σε ώρες μιας λυχνίας ακολουεί κατανομή με συνάρτηση πυκνότητας p (, e, > 0, > 0 Αν Χ,,Χ είναι οι χρόνοι ζωής λυχνιών, τότε: α Να βρεεί η ΕΜΠ του β Ποια α ήταν η εκτίμηση σας για τον μέσο χρόνο ζωής, αν είχατε τις παρατηρήσεις:, 57, 3 60, 4 3, 5 84, 6 3, 7 8, 8 5, 9 7, 0 4; γ Με βάση τα δεδομένα του β ερωτήματος και την υπόεση περί της κατανομής του χρόνου ζωής, να εκτιμήσετε την πιανότητα ο χρόνος ζωής μιας λυχνίας να είναι μεγαλύτερος των 0 ωρών δ Εκτιμήστε μη παραμετρικά, δηλαδή χωρίς την υπόεση περί κατανομής, την πιανότητα στο ερώτημα γ 8
α Έχουμε: Ακόμα για : L ( e, l( l l +, d l( + 0 d d 8 l( < 0 d Επομένως η ˆ είναι η ΕΜΠ του β Ο μέσος χρόνος ζωής της λυχνίας υπολογίζεται ως εξής: + + y / + 3 y ΕΧ ( e d e d y e dy Γ (3, 0 0 0 εφόσον Γ(3! Άρα η ΕΜΠ της Ε(Χ είναι η γ Έχουμε τα εξής : ˆ 444 + + + 0 y 0 0 0 0 P( X > 0 e d e d ye d + e Για ˆ έχουμε: 0 0 ˆ PX ˆ( > 0 + e 005 ˆ δ Με σκεπτικό ανάλογο αυτού της άσκησης, η μη παραμετρική εκτίμηση γίνεται 0 βάσει της διωνυμικής κατανομής PX> ˆ( 0 0 0 Άσκηση 7: Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγμα από την κατανομή U(, Να βρεούν: α Ένα επαρκές στατιστικό για το (, β Η ΕΜΠ του (, γ Η εκτιμήτρια ροπών του (, δ Χρησιμοποιώντας τις παρακάτω 0 παρατηρήσεις 76 68 5 73 59 45 67 44 84 6 57 70 89 4 75 63 49 80 53 86 να εκτιμηούν οι παράμετροι (, με την μέοδο των ροπών και την μέοδο μεγίστης πιανοφάνειας 9
α Η σππ της U(, είναι:, (, p (,, I (,, (, 0, (,, (, όπου Ι (, ( : 0, (, Οπότε η από κοινού σππ του δείγματος είναι: p (,, (, ( I, (,, ( Ορίζουμε την συνάρτηση:, b f(, b: 0, > b Τότε f (, ( f( (, I(, ( για κάε (,,, με ( m και ( m οπότε α έχουμε p(,, f (, ( f( (, G(T(,, H(, ( όπου G(T(,, f (, ( f( (, και H ( Από το παραγοντικό ( κριτήριο Neym, συμπεραίνουμε ότι η T( ( T(, T ( ( X(, X ( είναι επαρκής εκτιμήτρια του (, β Η συνάρτηση πιανοφάνειας είναι: L(, I(, ( f (, ( f( (,, ( ( η οποία δεν παραγωγίζεται παντού ως προς και Έτσι για να μεγιστοποιηεί α πρέπει να ελαχιστοποιηεί η διαφορά - και ταυτόχρονα το γινόμενο f (, f(, να πάρει την μέγιστη τιμή του που είναι Όμως ( ( f (, ( f( (, αν-ν ( και ( Συνεπώς η ΕΜΠ του (, είναι η ( X, X ( ( γ Θεωρούμε το σύστημα E( X EX ( 0
( + + Επειδή E( X και Ε ( X V( X + [ E( X ] + η λύση του παραπάνω συστήματος δίνει την εκτιμήτρια ροπών του (, που είναι: 3 3 X ( X X, X + ( X X δ Οι εκτιμήσεις των και με την μέοδο μεγίστης πιανοφάνειας είναι: ˆ ( ( 4 ˆ ( ( 89 ενώ οι εκτιμήσεις των και με την μέοδο των ροπών είναι: 3 0 ( ( 4007 0 3 0 ( + ( 8983 0 Άσκηση 8: Έστω X ~ G(, και Χ,,Χ τυχαίο δείγμα Έστω T X και R l X Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T ( T, R είναι επαρκής για την * παράμετρο (, Είναι η T T, R επαρκής για την (, ; ( l Q(, T ( + Q (, T ( Γ( Γ( f (,, e e ( C(, e h( Άρα η κατανομή ανήκει στη διπαραμετρική εκετική οικογένεια κατανομών και συνεπώς η στατιστική συνάρτηση T ( T, R ( X, l X είναι επαρκής για την παράμετρο (, * Από γνωστό πόρισμα η T T, R είναι επίσης επαρκής για την (,
Άσκηση 9: Έστω η διακριτή τμ X ~ f (, ( + (, 0,, όπου Ω (0, Να βρεεί η ΕΜΠ της με την βοήεια τδ Χ,,Χ Στην συνέχεια να ( βρεεί η ΕΜΠ της α ( και να εξετάσετε αν είναι αμερόληπτη Έχουμε: Ακόμα για : + ( ( (, L l( l + l( + l ( +, d l( 0 d + d l( < 0 d + + Επομένως η ˆ είναι η ΕΜΠ του + ( ˆ Από γνωστό πόρισμα η ΕΜΠ της α ( είναι η ˆ ( α ( ˆ Θα εξετάσουμε τώρα αν η T X X είναι αε της α( Έχουμε ET ( E( X E( X E( X Όμως: ( EX k ( + ( + k αφού Άρα η Τ είναι αε της α( k + ( ( ( + ( ( + ( α( e Άσκηση 0: Έστω Χ ~ f (, γνωστή παράμετρος Έστω τδ Χ,,Χ α Να βρείτε την ΕΜΠ της β Να εξετάσετε αν η ΕΜΠ είναι αμερόληπτη, > 0, > 0 άγνωστη παράμετρος και α > 0
γ Με βάση το αποτέλεσμα του β να υποδείξετε μια ΑΕΕΔ της δ Να βρείτε το κατώτερο φράγμα Crmer-Ro και να το συγκρίνετε με τη διασπορά της ΑΕΕΔ που βρήκατε στο γ α Έχουμε: Ακόμα: Επομένως η ˆ β Έστω U της και εν συνεχεία της α (, L e α l( l + l + l d l( 0 d είναι η ΕΜΠ του d l( < 0 d, Θα βρούμε την Ε(U Προηγουμένως α βρούμε την κατανομή Επειδή η συνάρτηση y g( α είναι - και + συνεχώς παραγωγίσιμη στο S { : f(, > 0} {0, + } με αντίστροφη g - (y y /α α έχουμε για την σππ της: dg ( y y y fy ( y f( g ( y y e y e, y > 0Άρα η Υ Χ α ~ G(,p dy και συνεπώς η τμ Ζ X ~ G(,p Επειδή τώρα η στατιστική συνάρτηση U φ( Z α έχουμε: Z + + p p + z p z ω p z φ Z z Γ( p Γ( p 0 0 0 EU ( E[ φ( Z] ( z f ( zdz z e dz z e dz p + p p ω ω e dω ( p Γ 0 Γ( p Γ( 3
και συνεπώς η στατιστική συνάρτηση U γ Θέτουμε * Τ, δηλαδή * Τ U Τότε δεν είναι αε της * ET ( *, δηλαδή η Τ είναι αε Q( T( της Εξ άλλου f (, e ( C( e h(, δηλαδή η δοείσα κατανομή ανήκει στην εκετική οικογένεια κατανομών και συνεπώς η στατιστική συνάρτηση Ζ * Τ T( X είναι επαρκής και πλήρης για την Άρα η αμερόληπτη ως συνάρτηση της επαρκούς και πλήρους στατιστικής συνάρτησης Ζ είναι ΑΕΕΔ δ Έχουμε: Άρα α l f (, (l + l + ( l α α α α α I( Ε l f(, Ε Χ Ε Χ +Χ Ε Χ +Ε Χ { } { } Όπως είδαμε όμως στο β η τμ Χ α α ~ G(, και άρα Ε{ Χ } /, ενώ α { } { } ( α Ε Χ V X + Ε Χ + Τελικά Ι ( και συνεπώς το κατώτατο φράγμα Crmer-Ro είναι LB I( Εξ άλλου: * * VT ( E ( T ET ( * * Βρήκαμε ήδη ότι ET ( ενώ: + + * Z Z z z ( 0 0 z E ( T E f ( z dz z e dz Γ + ( ( ω ( ω e dω Γ( ( 0 * Συνεπώς VT ( > LB ( z ω Άσκηση : Το πλάτος ενός παλμού είναι τμ Χ ~ Ν ( μ, 4 Στην έξοδο του μηχανήματος μπορούμε να παρατηρήσουμε μόνο αν το Χ υπερβαίνει την τιμή 40 ή όχι Αν το Χ σε 00 παρατηρήσεις υπερέβη την τιμή αυτή 80 φορές, ποια η εκτίμηση με την μέοδο μεγίστης πιανοφάνειας της παραμέτρου μ; 4
, αν Χ > 40 Έστω Y Σύμφωνα με την εκφώνηση μια μή παραμετρική εκτίμηση 0, αν Χ 40 για το ˆ 80 pˆ P( X > 40 00 Όμως : X μ 40 μ 40 μ 40 μ μ 40 p P( X > 40 P > P Z > Φ Φ (085 08 40 "-" ˆ 40 ˆ 40 Συνεπώς : ˆ μ Φ Φ μ μ Φ pˆ 08 Φ 08 085 ˆ μ 47 Άσκηση : Ένα ερώτημα σχετικό με την μελέτη του μηχανισμού ήχο-εντόπισης νυχτερίδων είναι η απόσταση νυχτερίδας και εντόμου όταν η νυχτερίδα πρώτοαντιληφεί το έντομο Λόγω τεχνικών δυσκολιών στην μέτρηση της απόστασης, μόνο παρατηρήσεις λήφηκαν, από τις οποίες έχουμε X 4836 και S 3705 α Τι υποέσεις πρέπει να κάνουμε για να μπορέσουμε να κατασκευάσουμε ένα διάστημα εμπιστοσύνης (ΔΕ; β Ποιο το βασικό αποτέλεσμα που χρησιμοποιείται για την κατασκευή ΔΕ στην πάνω περίπτωση; γ Κατασκευάστε ένα 95% ΔΕ για το μ α Πρέπει να υποέσουμε ότι η μεταβλητή απόσταση έχει την κανονική κατανομή X μ β ~ t s/ ( X μ ( X μ ( X μ X μ Απόδειξη: σ / σ / Αλλά Ζ ~ Ν (0, και s/ s/ s σ / σ / σ ( s X μ Z Y ~ X, με Ζ, Υ ανεξάρτητες τμ Άρα ~ t εξ ορισμού σ s/ Y s s γ ± t0 (005 ± 8 Άσκηση 3: Οι ερευνητές της προηγούμενης άσκησης έλουν με το πείραμα τους να στηρίξουν την υποψία τους ότι μ<55 α Διατυπώστε την μηδενική και την εναλλακτική υπόεση β Έστω ότι πιστεύουν ότι η πληυσμιακή διασπορά είναι σ 8 308 Ποιο το έλεγχο-στατιστικό και ποια η p-τιμή αν X 4836 και ; 5
γ Απορρίπτεται η μηδενική υπόεση σε επίπεδο σημαντικότητας α 0; α Η 0 : μ55 Η : μ<55 ( X μ β Ζ - σ / p-τιμή Φ(Ζ 05 γ Όχι Άσκηση 4: α Δείξτε ότι ο πληυσμιακός μέσος μ ικανοποιεί την σχέση: E( X μ m E( X (εδώ μ Ε(Χ Δηλαδή αν προβλέψουμε την μεταβλητή Χ με το μ το μέσο τετραγωνικό σφάλμα είναι το μικρότερο δυνατό β Έστω ότι ο μέσος μ εκτιμάται με τον δειγματικό μέσο τυχαίου δείγματος Χ,,Χ, και έστω Χ + μία άλλη μεταβλητή ισόνομη και ανεξάρτητη των Χ,,Χ Ποια η κατανομή X Χ+ του ; s + γ Με χρήση του προηγούμενου αποτελέσματος κατασκευάστε ένα (-α00% διάστημα εμπιστοσύνης για το Χ + (λέγεται διάστημα πρόβλεψης α [ μ μ ] EX ( E( X + ( μ + μ μ + μ μ + μ μ EX ( ( EX ( ( EX ( ( EX ( β X Χ X Χ + + σ + σ + X Χ + s s + s + σ σ + 6
Αλλά ~ 0, σ X Χ+ Ν σ + και συνεπώς X Χ + Z ~ N(0, Επίσης σ + ( s X Χ+ Z Y ~ X, με Ζ, Υ ανεξάρτητες τμ Άρα ~ t σ Y s + γ X ± t ( / s + 7