ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 1 Ευσταθής - Ασταθής ισορροπία Έστω ένα σώμα σε ισορροπία. Του δίνουμε μια μικρή ώθηση Αν το σώμα κινηθεί προς τη θέση ισορροπίας τότε η ισορροπία είναι ευσταθής. Αν το σώμα απομακρυνθεί από τη θέση ισορροπίας τότε η ισορροπία είναι ασταθής. Για παράδειγμα Ευσταθής Ασταθής U x F = du dx Δύναμη επαναφοράς U Δεν υπάρχει δύναμη επαναφοράς Αν η μετακίνηση αυξάνει τη δυναμική ενέργεια έχουμε ευσταθή ισορροπία x
Παράδειγμα 2b R 2a ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 2 Ο κύλινδρος είναι σταθερός και το δοκάρι ταλαντώνεται χωρίς να γλιστρά Ποια η συνθήκη σταθερής ισορροπίας; Λύση Εξετάζουμε αν το CM ανεβαίνει προς τα πάνω ή κατεβαίνει όταν το δοκάρι μετακινείται από τη θέση ισορροπίας. a R θ CM Rθ Έστω ότι το δοκάρι γέρνει κατά γωνία θ Τα τρία τρίγωνα είναι όμοια (ίδια γωνία θ) Οι τρεις υποτίνουσες είναι: R, a και Rθ Αθροίζουμε τις κάθετες πλευρές στα τρία τρίγωνα h CM = Rcos + R sin + acos Αλλά αφού θ μικρή τότε (ανάπτυγμα Taylor) sin " cos " 1# 2 2 # Επομένως έχουμε: h CM = R 1 " 2 & $ % 2 ' ( + R" # 2 + a 1 " 2 & $ % 2 ' ( h = R + a + ( 2 R " a)# CM 2 Διαφορετικά: Αν a<r το CM ανεβαίνει προς τα πάνω Αν a>r το CM κατεβαίνει προς τα κάτω ευσταθής ασταθής H οριζόντια απόσταση του CM ως προς το σημείο επαφής x CM = R" cos" + asin" # (R a)" Για a<r το CM αριστερά σημείου επαφής Η βαρύτητα δίνει μια ροπή επαναφοράς ως προς το σημείο επαφής
Στοιβαγμένα τούβλα ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 3 Πόσο ψηλά μπορεί να φθάσει μια στοίβα από Ν τούβλα τα οποία βρίσκονται στην άκρη ενός τραπεζιού? (καθένα έχει μάζα m και μήκος 2l) Λύση Το κύριο της άσκησης είναι ότι χρειαζόμαστε το CM των n επάνω τούβλων να τοποθετηθούν σωστά (στην περίπτωση της μέγιστης απόστασης από την άκρη του τραπεζιού) ακριβώς πάνω από την άκρη του (n+1) τούβλου (έτσι ώστε η βαρύτητα να μην παράγει ροπή). και το CM όλων να βρίσκεται πέρα από την άκρη του τραπεζιού. Ας δούμε μερικές περιπτώσεις μικρού αριθμού τούβλων: N=1 2l l Απόσταση = l N=2 l/2 l Απόσταση = l(1+1/2) N=3 Tα 2 πρώτα τούβλα είναι πρακτικά 1 τούβλο με μάζα 2m βρισκόμενη στο CM. Δηλαδή έχουμε x m 2m " = 0 m(l " x) " 2mx = 0 3mx = ml l/3 Απόσταση= l 1+ 1 2 + 1 $ " # 3% & l-x x = l 3 H θέση του CM είναι l/3 από άκρη l/2 l
ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 4 Τούβλα (συνέχεια) m (N-1)m Το κέντρο μάζας του N και (N-1)m μαζών είναι l/n από το άκρο. Με επαγωγή παίρνουμε: Απόσταση = l 1 + 1 2 + 1 3 ++ 1 $ " # N % & Ουσιαστικά, η άκρη του τραπεζιού στην περίπτωση των Ν-τούβλων θα είναι η θέση του τέλους του κατώτερου τούβλου στην περίπτωση (Ν+1) τούβλων. Κατόπιν απλά αντικαθιστούμε τα πάνω Ν τούβλα σα σημειακή μάζα Νm, όταν βρίσκουμε το CM των (Ν+1) τούβλων. Σημειώστε ότι l 1+ 1 συμπεριφέρεται όπως l lnn καθώς N " 2 + 1 3 ++ 1 $ " # N % & Αφού το lnn αποκλίνει, μπορούμε να έχουμε την στοίβα αρκετά πέρα από την άκρη. Αλλά θα χρειαστεί ένας μεγάλος αριθμός τούβλων. l ln N = d N = e d /l Αν d/l = 5 N = 149 Aν d/l =10 N = 22000 Αν θέλετε να βάλετε ένα ακόμα τούβλο, το βάζετε από κάτω. Γι αυτή την τελευταία περίπτωση, το CM όλων των τούβλων είναι πέρα από τη άκρη του τραπεζιού επειδή ένας μεγάλος αριθμός είναι στημένα στα αριστερά της στοίβας
ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 5 Νόµος παγκόσµιας έλξης
ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 6 Κοιτάζοντας τα άστρα... Η εξήγηση για τη δυναμική μεταξύ ουράνιων σωμάτων ξεκίνησε από παρατηρήσεις και πνευματικές αναζητήσεις από την αρχή της ανθρωπότητας Ø Πτολεμαίος: Είχε την λάθος γεωκεντρική θεωρία Ø Κοπέρνικος: Ø Brahe: Ø Keppler: Ø Newton: Ø Einstein: Έδωσε μια περισσότερο σωστή ηλιοκεντρική θεωρία Πολλές παρατηρήσεις και ακριβή δεδομένα Χρησιμοποίησε τα δεδομένα του Brahe και πρότεινε τρεις εμπειρικούς νόμους Βρήκε ένα παγκόσμιο νόμο που εξηγεί τους νόμους του Keppler Δημιούργησε μια νέα θεωρία που εξηγεί μερικές μικρές ανακρίβειες στη θεωρία του Newton???????: Tι έρχεται για το μέλλον?
Βαρύτητα-Νόµος παγκόσµιας βαρυτικής έλξης a r "#. = ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 7 q O Newton συνέδεσε την πτώση αντικειµένων στην επιφάνεια της γης µε την κίνηση της σελήνης γύρω από την γη. q Η σελήνη πέφτει συνεχώς προς την γη: Σελήνη v 2 = (2' R $%&"#. / T ) 2 = 0.00272m / s 2 R $%&"#. R $%&"#. όπου R γη-σελ. = 3.84x10 8 m και Τ = 27.3 ηµέρες Γη Πως συγκρίνεται αυτό µε το g? a "#$.-%&' a ()*+#, --.. = 9.81m /s2 03 1 3600 2.72 /10 Αλλά R "#$%&. R " = 3.84 '108 6.37 '10 6 ( 60 Aφού η επιτάχυνση που προκαλείται από τη βαρυτική δύναµη ελαττώνεται σαν 1/R 2 τότε και η δύναµη θα µεταβάλλεται όπως 1/R 2 F r = ma r 1 r 2
Εξάρτηση από τη µάζα ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 8 Μάζα n µόνη κοινή φυσική ιδιότητα µεταξύ γης-σελήνης. Ø Από το 3 ο νόµο του Newton F γης-σελ = -F σελ-γης? Αν η εξίσωση της δύναµης εξαρτώνταν από την µάζα τότε η εξάρτηση µπορούσε να έχει τη µορφή: (M+m) n ή (Mm) n. ü Από πειράµατα Γαλιλαίου è εξάρτηση της µορφής (Mm) n (επιτάχυνση µάζας m που προκαλείται από µάζα Μ είναι ανεξάρτητη της µάζας m) Βαρυτική δύναµη F r Mm r 2 F grav = G Mm r 2 r τεστ μάζα Αµοιβαία έλξη µεταξύ δύο οποιαδήποτε µαζών στο σύµπαν G 11 2 2 = 6.67 " 10 Nm / kg πολύ µικρή Βαρυτητικό πεδίο
ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 9 Βαρυτική µάζα Αδρανειακή µάζα Βαρυτική Ø Οι µάζες στον νόµο της παγκόσµιας βαρυτικής έλξης βαρυτικές Ø Οι µάζες στο 2 ο νόµο του Newton αδρανειακές q Ποια η σχέση µεταξύ τους? Τι λένε τα πειράµατα? F grav = G M g m g r 2 = m "#. a a = G M g r 2 m g m "#$. Ø Πείραµα: όλα τα σώµατα που κάνουν ελεύθερη πτώση πέφτουν µε g Εποµένως m g =m αδρ q Η σταθερά G είναι πάρα πολύ δύσκολο να µετρηθεί και είναι µια από τις λιγότερο γνωστές (σε ακρίβεια) σταθερές στη φυσική q Οι βαρυτικές δυνάµεις είναι προστιθέµενες: F g = F 12 + F 13 + F 14 +"+ F 1n
Μέτρηση της σταθεράς G q Δεν µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε την γη σα µια από τις µάζες αφού δεν ξέρουµε την µάζα της. q Χρειαζόµαστε δύο γνωστές µάζες. Ø Η δύναµη µεταξύ δύο «καθηµερινών» µαζών είναι πολύ µικρή. Πρέπει να µαστε έξυπνοι. καθρέπτης φωτεινή πηγή ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 10 Ø O Cavendish ήταν αρκετά έξυπνος. 100 χρόνια µετά το Newton (1798) ήταν ο πρώτος που µέτρησε το G. Βασική ιδέα: Μέτρηση της παραµόρφωσης λόγω περιστροφής υπό την επίδραση της βαρύτητας ενός λεπτού σύρµατος που συνέδεε δύο γνωστές µικρές µάζες. Το στρίψιµο του σύρµατος µετρά τη βαρυτική δύναµη F, ενώ γνωρίζουµε τα m 1, m 2 και r και άρα βρίσκουµε το G Σηµαντικό: H µέθοδος θεωρεί ότι τα 2 σφαιρικά σώµατα δρουν σα να είναι σηµειακά. Δηλαδή όλη τους η µάζα στο κέντρο της σφαίρας. Αυτό αποδεικνύεται σωστό.
ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 11 Σηµασία του πειράµατος του Cavendish q Γνωστό και σα πείραµα µέτρησης του βάρους της Γης: Αφού µετρήσαµε το G µε 2 γνωστές µάζες µπορούµε να µετρήσουµε τη µάζα της γης από mg = G Mm r 2 g = G M r 2 M = gr2 G M = 9.8 (6.37 "106 ) 2 6.67 "10 #11 = 5.97 "10 24 kg q Η µέση πυκνότητα της γης είναι ρ = Μ/(4/3 πr 3 ) è ρ αv =5.5gr/cm 3 q Αλλά η πυκνότητα της κρούστας της γης είναι < 5.5 gr/cm 3 Εποµένως το κέντρο της πρέπει να ναι περισσότερο συµπαγές. Το πείραµα του Cavendish µας δίνει πληροφορίες και για το κόρο της γης
Μεταβολές της επιτάχυνσης της βαρύτητας q Η επιτάχυνση της βαρύτητας δεν είναι σταθερή στην επιφάνεια της γης: mg = G Mm g = G M r 2 2 " 9.8m /s2 r (α) O φλοιός δεν είναι οµοιόµορφος. (β) Η γη δεν είναι σφαίρα (πιο πλατιά στον ισηµερινό) (γ) Η γη περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της (β και γ σχετίζονται) q Σε κάποια από τις αρχικές διαλέξεις είχαµε υπολογίσει το g στον ισηµερινό. Λόγω της περιστροφής της γης το g δίνεται από: ω mg v Ν mg N = mv2 R Αλλά: ' 2 2" * R = ), ( 1#µ$%& + v2 " N = m(g R ) = m(g # 2 R) 2 R = ' 2" * ), ( 86400+ 2 R = 0.034m /s 2 ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 12 Στη κορυφή ενός βουνού: g = G M (r + h) = GM 2 r 2 + h 2 + 2rh GM r 2 (1 + 2h /r) = GM r 2 " $ 1 2h # r % # ' g = g% 1" 2h & $ r & ( '
ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 13 Βαρυτική δυναµική ενέργεια q Η βαρυτική δύναµη είναι συντηρητική δύναµη q Η βαρυτική δύναµη είναι κεντρική δύναµη Ø Έχει ακτινική διεύθυνση µε φορά προς το κέντρο Ø Το µέτρο της εξαρτάται µόνο από την απόσταση r Ø Μια κεντρική δύναµη µπορεί να γραφεί F(r) r ˆ q Σωµατίδιο κινείται από το σηµείο Α στο Β υπό την επίδραση κεντρική δύναµης Ακτινικό τμήμα Τόξο q Μπορούµε να χωρίσουµε τη διαδροµή σε µια σειρά από ακτινικά τµήµατα και τµήµατα τόξου q Το έργο κατά µήκος των τµηµάτων τόξου είναι µηδέν και εποµένως το έργο εξαρτάται µόνο από την αρχική και τελική θέση r f και r i
ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 14 Βαρυτική δυναµική ενέργεια Για να βρούµε τη βαρυτική δυναµική ενέργεια, χρειάζεται να ολοκληρώσουµε τη δύναµη. F = dv dr r 2# " " dv = F dr= G Mm % # $ & ' dr r 1 r 2( r 1 r 2 = GMm r 2 dv = "GMm r r 1 # $ % 1 r2 " 1 & r 1 ' ( (-) επειδή η δύναµη είναι ελκτική Δαπανώµενο έργο για να κινηθεί η µάζα m ως την Μ q Συνήθως θεωρούµε σα σηµείο αναφοράς το σηµείο r 1 = V(r) r V (r) = GMm r, V(") = 0 r -1
ΦΥΣ 131 - Διαλ.27 15 H ειδική περίπτωση: mgh q Για την δυναµική ενέργεια βαρύτητας έχουµε µάθει να χρησιµοποιούµε τη σχέση: mgh Ø Αυτή είναι ειδική περίπτωση της γενικής εξίσωσης: G Mm κοντά στην επιφάνεια της γης, γιατί: r # V = GMm% 1 R " 1 & ( = GMm " 1 % $ 1 ' = GMm # 1 1 & % ( ) $ R + h ' R # 1 + h /R& R $ 1 + "' Επειδή ε << 1 µπορούµε να πάρουµε το ανάπτυγµα Taylor: V = GMm ) R 1" # % 1" h &, + (. = GM $ # & mh ' mgh * $ R' - " R 2 % 1 = 1 " + 1 + " Η σχέση αυτή ισχύει µόνο για h << R Στις 2 τελευταίες σελίδες κάναµε ένα µεγάλο κύκλο: ολοκληρώσαµε τη δύναµη για να πάρουµε το δυναµικό, διαφορίσαµε το δυναµικό και πολλαπλασιάσαµε µε h για να πάρουµε έργο: Fh=mgh