Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sc. J. TCG, I, No 1-2 25 Αναλυτικός Υπολογισμός της Ανάκλασης και Διάδοσης Κυματισμών σε Διαπερατούς μη Υπερπηδητούς Κυματοθραύστες Θ. Β. ΚΑΡΑΜΠΑΣ Ε. Β. KΟΥΤΑΝΤΟΣ Καθηγητής Τ.Ε.Ι. Σερρών Πολιτικός Μηχανικός Α.Π.Θ. Περίληψη Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται μία θεωρητική επίλυση του προβλήματος της ανάκλασης και της διάδοσης μονοχρωματικών γραμμικών διασπειρομένων κυματισμών στους κυματοθραύστες με πρανή από λιθορριπή. Η απώλεια της ενέργειας λόγω της τριβής και της θραύσης πάνω στο πρανές προσομοιώνεται με έναν όρο τριβής στην εξίσωση της ορμής. Στην ίδια εξίσωση για τον υπολογισμό της απώλειας της ενέργειας στο εσωτερικό των κυματοθραυστών χρησιμοποιείται η γραμμικοποιημένη σχέση των Duput-Formhemer καθώς και ο κανόνας του ισοδύναμου έργου του Lorentz. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται ικανοποιητικά με πειραματικά δεδομένα. 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Οι κυματοθραύστες με κεκλιμένα πρανή διαμορφωμένα από λιθορριπές και ογκολίθους (φυσικούς ή τεχνητούς) αποτελούν μία λύση στο πρόβλημα της προστασίας των λιμένων και των ακτών από τη δράση των κυματισμών. Συνήθως οι κυματοθραύστες αυτοί θεωρούνται μη διαπερατοί και ο συντελεστής διάδοσης της κυματικής ενέργειας λαμβάνεται ίσος με μηδέν, όταν δεν γίνεται υπερπήδηση από τους κυματισμούς. Στην πραγματικότητα όμως, ένα μέρος της ενέργειας των κυματισμών διαπερνά τον κυματοθραύστη λόγω ροής μέσω του πορώδους σώματος και μεταδίδεται στο εσωτερικό του λιμενικού έργου. Ένα άλλο μέρος της ενέργειας ανακλάται προς την ανοικτή θάλασσα δημιουργώντας στάσιμο κυματισμό, που μπορεί να επηρεάσει την προσέγγιση των πλοίων στον λιμένα. Ο υπολογισμός των συντελεστών ανάκλασης και διάδοσης σε κυματοθραύστες με πρανή βασίζεται σε αναλυτικές λύσεις [10], [8], αριθμητικές λύσεις [5], [11], [7] αλλά και εμπειρικές εκφράσεις [12]. Οι λύσεις είναι συναρτήσεις των χαρακτηριστικών του προσπίπτοντος κυματισμού και των χαρακτηριστικών του κυματοθραύστη συμπεριλαμβανομένων και του μεγέθους των ογκολίθων, αλλά και της διαπερατότητας. Οι ίδιοι παράμετροι εισέρχονται και στις ευρέως χρησιμοποιούμενες εμπειρικές εκφράσεις [12]. Στην εργασία αυτή παρουσιάζεται μία θεωρητική μέθοδος υπολο- Υποβλήθηκε: 28.3.2002 Έγινε δεκτή: 15.11.2002 γισμού των παραπάνω συντελεστών με βάση τις γραμμικές εξισώσεις μετάδοσης των διασπειρομένων κυματισμών. Η μέθοδος βασίστηκε στην ανάλυση των Mdsen nd Whte (1976), [8], που ισχύει για μακρούς μόνο κυματισμούς. Έγινε επέκταση της θεωρίας αυτής σε βαθύτερα νερά χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις Boussnesq. Επίσης υπολογίστηκε διαφορετικά και ο γραμμικός συντελεστής τριβής f, που προσομοιώνει την απώλεια της ενέργειας στον υδραυλικά διαπερατό κυματοθραύστη. Η τεχνική της επίλυσης (κεφάλαιο 3) βασίζεται στη θεώρηση, ότι η απώλεια της ενέργειας των κυματισμών αποτελείται από δύο συνιστώσες: την απώλεια λόγω τριβής στο εξωτερικό πρανές (που θεωρείται μη διαπερατό) και την απώλεια λόγω της ροής στο εσωτερικό του πορώδους μέσου (Σχήμα 1). Στο κεφάλαιο 4 προτείνεται μία επέκταση της θεωρίας των Mdsen και Whte (για συντόμευση M-W) για τον συντελεστή ανάκλασης σε αδιαπέρατο κεκλιμένο πρανές από λιθορριπή, ώστε η θεωρία να ισχύει και σε βαθύτερα νερά. Χρησιμοποιούνται οι τροποποιημένες εξισώσεις γραμμικών διασπειρόμενων κυματισμών για τον υπολογισμό των συντελεστών ανάκλασης και διάδοσης σε υδραυλικά διαπερατούς κυματοθραύστες με κατακόρυφα πρανή. Η σύνθεση των παραπάνω συντελεστών δίνει τους συνολικούς συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης σε κυματοθραύστες με κεκλιμένα πρανή. Η λύση συγκρίνεται με πειραματικά δεδομένα (κεφάλαιο 5). 2. ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΜΒΟΛΩΝ Α: μιγαδικό εύρος αναρρίχησης κύματος r : το εύρος του ανακλώμενου κύματος : το εύρος του προσπίπτοντος κύματος d : το βάθος στον πόδα του πρανούς d 50 : η μέση διάμετρος του υλικού θωράκισης f w : συντελεστής τριβής
26 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sc. J. TCG, I, No 1-2 f b : γραμμικός συντελεστής τριβής l s : η οριζόντια απόσταση από τον πόδα μέχρι την ίσαλο γραμμή k o : ο αριθμός κύματος n: πορώδες R I : συντελεστής ανάκλασης διαπερατού κυματοθραύστη R II : συντελεστής ανάκλασης από αδιαπέρατο πρανές Τ : η περίοδος του κύματος T I : συντελεστής διάδοσης διαπερατού κυματοθραύστη tnβ s : η κλίση του πρανούς tn U: η s μέση : ως προς το βάθος οριζόντια ταχύτητα U: u(x): µ μιγαδικό εύρος ταχύτητας u(x): τ b : διατμητική µ τάση στον πυθμένα η(x): b : µ μιγαδικό εύρος ανύψωσης µ στάθμης (x): ω : η µ κυκλική συχνότητα µ : 3. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ MADSEN 3. KAI WHITE MADSEN KAI WHITE 3.1. Συντελεστής ανάκλασης από αδιαπέρατο πρανές µ µ Η απώλεια ενέργειας λόγω τριβής προσομοιώνεται Jonsson f w, με την εισαγωγή του µ συντελεστή τριβής b κατά µ Jonsson µf w, που σχετίζει τη U: διατμητική τάση τ b στον πυθμένα με την ταχύτητα U: (1) µµ b f w µµu U f b : (1) 2 (2) Η σχέση αυτή γραμμικοποιείται εισάγοντας (=2/, µ ένα γραμμικό συντελεστή τριβής f b ) d. που ορίζεται: µ r µf w fb, U M-W (2) 2d µµ µ µµ : (3) όπου ω είναι η κυκλική συχνότητα (ω=2π/τ, με Τ την περίοδο) µκαι d το βάθος στον πόδα του πρανούς. r µ µ, l s Η λύση για το ανακλώμενο εύρος r από µ αδιαπέρατο κεκλιμένο µµ, πρανές, k o, που µ πρότειναν µ οι M-W J o, βασίστηκε J 1 σε αναλυτική επίλυση Bessel των µ εξισώσεων των γραμμικών μακρών. κυματισμών και δίνεται από: r = J f - o k 1 k J f + 1-f o k 1 k 1-f b b J f J f με fk 2kols 1fb e 2kols µµ f b όπου : r και είναι το ανακλώμενο και το προσπίπτον εύρος του κύματος, l s είναι (4) η οριζόντια απόσταση από τον πόδα μέχρι την =k ίσαλο o l s (1-f γραμμή, b ), tn k o, ο s αριθμός κύματος, και J o, J 1 είναι οι συναρτήσεις µ Bessel : μηδενικής και πρώτης τάξης αντίστοιχα. (5) Ο γραμμικός συντελεστής f w f b υπολογίζεται από τη σχέση: µ µ Jonsson : 3 (6) 1 J1 2 y d 50 µ µ. dy A 1 4 0 y R II fµ b f (4) w µ 2 : d tn 1 s 3 J1 2 y (7) R II yµ dy µ,.. 0 [2]. y όπου Ψ=k o l s (1-f b ), tnβ s είναι η κλίση του πρανούς, και Α 3.2 το μιγαδικό εύρος µ αναρρίχησης: A 1 kols M-W µ e µ (5) 2 µ. J f J f o k 1 k µ1 f Duput-Formhemer b µ Ο συντελεστής f w διαφοροποιείται µ. από τις συνηθισμένες τιμές που προτείνει µο Jonsson µµ και δίνεται µµ από τη σχέση: µ T I R I. µ µ 0.5 0.7 ( 4) d 50 d50 tn, s µ fµ w 0.25 µµ. d (6) A, µµ f µ µ, µ όπου d 50 η μέση διάμετρος του υλικού M-W. θωράκισης. Ο συντελεστής ανάκλασης R II από αδιαπέρατο κεκλιμένο πρανές με λιθορριπή δίνεται από τη σχέση: (3) l s µ Σχήμα 1. 1: µ Κυματοθραύστης µ με µ κεκλιμένα πρανή και ενεργειακά µ ισοδύναμες κατασκευές Fgure 1: Fgure Rubble-mound 1. Rubble-mound brekwter brekwter nd energy-equvlent nd energy-equvlent structures structures µ l s µµ d s : k d = 2 (8) 4. M-W µ, µ µµ M-W µ, µµ o s µ M-W
Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sc. J. TCG, I, No 1-2 27 R II r (7) Ο συντελεστής R II μπορεί να υπολογιστεί και από εμπειρικές σχέσεις, π.χ. [2]. 3.2. Συντελεστής ανάκλασης και διάδοσης σε διαπερατό ορθογωνικό κυματοθραύστη Οι M-W μελέτησαν το πρόβλημα ανάκλασης και διάδοσης σε ορθογωνική διατομή. Οι συγγραφείς χρησιμοποίησαν τη σχέση των Duput-Formhemer για τον υπολογισμό της απώλειας της ενέργειας στο εσωτερικό του πορώδους κυματοθραύστη. Από την ανάλυση μακρών γραμμικών κυματισμών προέκυψαν τιμές των συντελεστών διάδοσης T I και ανάκλασης R I. Η επίλυση αντικαθίσταται με νέα μέθοδο (κεφάλαιο 4) που βασίζεται στην ίδια ανάλυση χωρίς, όμως την παραδοχή μακρών κυματισμών. Επιπλέον, ο γραμμικός συντελεστής τριβής f υπολογίζεται με τον κανόνα του ισοδύναμου έργου χωρίς, όμως την υιοθέτηση της απλοποιητικής παραδοχής των M-W. 4. ΕΠΕΚΤΑΣΗ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ M-W ΣΕ ΒΑΘΥΤΕΡΑ ΝΕΡΑ Αναμφίβολα, η παραδοχή των μακρών κυματισμών που υιοθετήθηκε από τους M-W μπορεί να θεωρηθεί, ότι ισχύει στην περιοχή της αναρρίχησης των κυματισμών στο αδιαπέρατο πρανές. Ωστόσο, όταν το βάθος στο πόδα του πρανούς είναι μεγάλο, η εξίσωση (1) δεν ισχύει, γιατί η ταχύτητα στον πυθμένα διαφέρει σημαντικά από τη μέση U. Έτσι η εφαρμογή της θεωρίας των M-W δεν αναμένεται να δώσει ρεαλιστικά αποτελέσματα εφόσον το οριζόντιο μήκος l s δεν μπορεί να θεωρηθεί εξολοκλήρου ενεργό. Στην εργασία αυτή προτείνεται να θεωρείται ενεργό το οριζόντιο μήκος l s που ορίζεται από την ίσαλο γραμμή έως το βάθος d s όπου: k d = 2 (8) o s Η παραπάνω προσαρμογή της θεωρίας των M-W είναι εμπειρική και ελέγχθηκε μετά από σύγκριση με πειραματικά δεδομένα που πραγματοποιήθηκαν στο εργαστήριο HR Wllngford, [1], με διάφορες κυματικές συνθήκες και υλικό θωράκισης d 50 =30 mm. Το βάθος στον πόδα ήταν σχετικά μεγάλο (0.6 m) ώστε να μην ισχύει σε όλες τις περιπτώσεις η παραδοχή μακρών κυματισμών. Η εφαρμογή της τροποποιημένης μεθόδου M-W έδωσε τα αποτελέσματα που παρατίθενται στον πίνακα 1. Η συμφωνία ανάμεσα στη θεωρία και τα πειραματικά δεδομένα μπορεί να θεωρηθεί ικανοποιητική. Πίνακας 1: Συντελεστής ανάκλασης από κεκλιμένα πρανή R II : Σύγκριση της προσαρμοσμένης θεωρίας M-W με πειραματικά δεδομένα Tble 1: Reflecton coeffcent n rubble- mound brekwter. Comprson of modfed M-W theory gnst expermentl results - (s) d s (m) R II M-W - µ 1: 2 0.67 0.14 0.19 0.18 1.00 0.31 0.25 0.27 2.00 0.60 0.54 0.50 1 : 3 0.67 0.14 0.13 0.10 1.00 0.31 0.14 0.10 2.00 0.60 0.40 0.37 Οι γραμμικές εξισώσεις Boussnesq διασπειρόμενων κυματισμών σε σταθερό βάθος, μετά την εισαγωγή της σχέσης των Duput-Forchhemer για την προσομοίωση της ροής σε πορώδες μέσο, γράφονται, [6], [7], [8]: Ud n 0 t x 2 3 U d U 2 t x 3 x t S ng nu U 0 όπου n είναι το πορώδες, ζ η ανύψωση της θάλασσας και S ένας συντελεστής επιτάχυνσης, [4], που σχετίζεται με την αδρανειακή συνιστώσα της μη μόνιμης κυματικής δύναμης στο πορώδες και α και β συντελεστές των υδραυλικών χαρακτηριστικών του πορώδες μέσου που σχετίζονται με την αντίσταση σε στρωτή και τυρβώδη ροή αντίστοιχα. Ο συντελεστής S ορίζεται [3], [11]: S 1 1 n n C M (10) όπου C M είναι ο συντελεστής πρόσθετης μάζας. Οι τιμές που προτείνονται για τον συντελεστή C M στη βιβλιογραφία βρίσκονται σε μεγάλη απόκλιση από μία μέση τιμή, [3], και για το λόγο αυτό χρησιμοποιείται μία μέση σταθερή τιμή S=2. Οι συντελεστές α και β υπολογίζονται από [8]: 1 n 3 (11) o 2 2 n d50 (9)
28 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sc. J. TCG, I, No 1-2 1 n 1 o (12) 3 n d 50 R 2 Kw Kw (1 )(e e ) I 2 Kw 2 Kw (1 ) e (1 ) e (17) όπου ν το κινηματικό ιξώδες του νερού. Για τις τιμές των α ο και β ο υπάρχει επίσης μεγάλη απόκλιση στη βιβλιογραφία, [3]. Στην εργασία αυτή χρησιμοποιούνται οι τιμές α ο =1000, β ο =2.2 για να γίνει η σύγκριση με πειραματικά δεδομένα [10], [11], με σχετικά μικρούς αριθμούς Reynolds. Για την προσομοίωση πραγματικών καταστάσεων θα πρέπει να χρησιμοποιηθούν μεγαλύτερες τιμές κυρίως για το α ο. Tο ισοδύναμο μήκος w του ορθογωνικού κυματοθραύστη υπολογίζεται από τη σχέση των M-W: w j 1 m r l m h d 2 (1+R )R A j I II (13) Υποθέτοντας ότι ο κυματοθραύστης διαχωρίζεται σε j οριζόντιες ζώνες με πάχος Δh j, που τέμνει m στρώσεις, ο συντελεστής β m αντιστοιχεί στο συντελεστή β της εξ. (12) και αναφέρεται στις χαρακτηριστικές διαμέτρους του υλικού των m στρώσεων που τέμνει η j οριζόντια ζώνη, το β r αντιστοιχεί στην διάμετρο του υλικού της ισοδύναμης ορθογωνικής κατασκευής και το l m είναι το μήκος της στρώσης m. Η επίλυση που ακολουθεί είναι παρόμοια με εκείνη των M-W με τη διαφορά ότι αντί των γραμμικών εξισώσεων μακρών κυματισμών χρησιμοποιούνται οι εξισώσεις (9) των διασπειρόμενων κυματισμών. Καταρχήν ο μη γραμμικός όρος τριβής των εξ. (9) γραμμικοποιείται ως εξής: f U (14) n όπου f ένας συντελεστής τριβής σταθερός σε όλη τη κατασκευή. Χρησιμοποιώντας μιγαδικές μεταβλητές η περιοδική λύση του προβλήματος είναι της μορφής: (x,t) Re (x)e U(x,t) t (15) Re u(x)e t (16) όπου η(x) και u(x) είναι μιγαδικές συναρτήσεις του εύρους της ανύψωσης της ελεύθερης επιφάνειας και της οριζόντιας ταχύτητας. Αντικαθιστώντας τις παραπάνω σχέσεις στις εξ. (9) και ακολουθώντας τη διαδικασία των M-W καταλήγουμε στη λύση: T 4 (1 ) e (1 ) e I 2 Kw 2 Kw (18) όπου R I και Τ Ι είναι οι συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης του ισοδύναμου διαπερατού κυματοθραύστη και: n (S f) 2 d 1 3g (S f) K 2 (d ) gd 3 Για τον υπολογισμό του f αντί της απλοποίησης των M- W (που υπέθεσαν ότι το πλάτος της κατασκευής είναι αρκετά μικρότερο από το μήκος κύματος) χρησιμοποιείται η πιο ορθή μέθοδος του Mdsen [9] που βασίζεται στον κανόνα του ισοδύναμου έργου του Lorentz. Σύμφωνα με τον κανόνα αυτόν, η μέση απώλεια ενέργειας, που υπολογίζεται από τον μη γραμμικό όρο της εξ. (9), μπορεί να θεωρηθεί ίση με την μέση απώλεια που υπολογίζεται από τη γραμμικοποιημένη σχέση (14): w T w T 2 2 f U dtdx ( U )U dtdx n 0 0 0 0 Η παραπάνω σχέση οδηγεί στο συντελεστή f: 2 g f (1 d ) n d 3g όπου: και U * w T 0 0 w T 0 0 U U dtdx * * 2 U dtdx * 2 Kx K(x2w) t 2 e e e Re 2Kw 1 (1 )e (19)
Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sc. J. TCG, I, No 1-2 29 Η U * είναι συνάρτηση του συντελεστή f και άρα η επίλυση της εξ. (19) γίνεται χρησιμοποιώντας μία προσεγγιστική μέθοδο. 5. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ Η μεθοδολογία της παραγράφου 3.1. μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της εξωτερικής απώλειας της ενέργειας που σχετίζεται με τους ογκολίθους θωράκισης. Σύμφωνα με τους Mdsen nd Whte [8], η ενέργεια που παραμένει μπορεί να εκφραστεί σαν την ενέργεια που σχετίζεται με ένα προωθούμενο κυματισμό που έχει εύρος: I =R II (20) Έχοντας ήδη περιλάβει την εξωτερική απώλεια της ενέργειας, η ενέργεια που παραμένει κατανέμεται ανάμεσα στην ενέργεια που ανακλάται, διαδίδεται και αποσβένεται εσωτερικά στο πορώδες μέσο του κυματοθραύστη [8]. Συνυπολογίζοντας και τα δύο φαινόμενα το εύρος του ανακλώμενου και το εύρος του διαδιδόμενου κυματισμού δίνονται από [8]: r =R I I =R I R II t =Τ I I =Τ I R II (21) Οι τελικοί συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης Rc και Τc προκύπτουν από τις σχέσεις [8]: δεδομένα των Solltt nd Cross (1972), [10]. Ο κυματοθραύστης βρισκόταν σε βάθος 0.32 m και είχε κλίση 1:1.5, πλάτος βάσης 1.34 m, εξωτερική λιθορριπή (πλάτους 0.17 m) με χαρακτηριστικά d 50 =0.025, n=0.442. Η εσωτερική λιθορριπή βρισκόταν 0.17 m πάνω από τον πυθμένα με χαρακτηριστικά d 50 =0.012 και n=0.468. Στον κυματοθραύστη προσπίπτουν κυματισμοί με διαφορετικό ύψος Η (Η =2 ). Τα αποτελέσματα παρουσιάζονται στα σχήματα 2 έως 5. Ο συντελεστής R c μειώνεται, όσο αυξάνεται το λόγος H /L για όλες τις εξεταζόμενες τιμές του λόγου kd. Ο συντελεστής διάδοσης Τ c αυξάνεται, όσο αυξάνεται το λόγος H /L μόνο για τιμές του kd κάτω της μονάδας, ενώ για μεγαλύτερες τιμές παραμένει σχεδόν σταθερός. Τα πειραματικά δεδομένα δείχνουν μια ελαφρά μείωση του Τ c με την αύξηση του λόγου H /L. Η ασυμφωνία αυτή οφείλεται στη μη ορθή πρόβλεψη του συντελεστή ανάκλασης από αδιαπέρατο κεκλιμένο πρανές R II εφόσον η εκτίμηση του συντελεστή διάδοσης T C έχει ελεγχθεί με πειραματικά δεδομένα για διαπερατό κυματοθραύστη με κατακόρυφα πρανή [8]. Στην τελευταία αυτή περίπτωση ο συντελεστής Τ c μειώνεται όσο αυξάνεται το ύψος κύματος. Αντίθετα, είναι γνωστό [12] ότι ο συντελεστής ανάκλασης R II αυξάνεται, όσο μειώνεται το ύψος του κύματος. Το γινόμενο των δύο αυτών συντελεστών, που παρουσιάζουν διαφορετικές συμπεριφορές στη μεταβολή των κυματικών παραμέτρων, δίνει την τιμή του συντελεστή διάδοσης T C (σχέση 22). Γενικά, από τα σχήματα 2 έως 5, βγαίνει το συμπέρασμα ότι οι προβλέψεις της μεθόδου βρίσκονται σε ικανοποιητική συμφωνία με τα πειραματικά δεδομένα. Αξίζει επίσης να σημειωθεί, ότι οι τιμές των συντελεστών δεν είναι καθόλου αμελητέες, ιδιαίτερα για τους κυματισμούς μεγάλου μήκους, και άρα τα παραπάνω φαινόμενα της ανάκλασης των κυματισμών από τους κυματοθραύστες, καθώς και της διάδοσης μέσα από αυτούς, αναμένεται να επηρεάσουν το κυματικό κλίμα στο εσωτερικό, αλλά και στο εξωτερικό των λιμενικών έργων και θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη κατά το σχεδιασμό των κατασκευών αυτών. R c = r =R I R II (22) T c = t =T I R II Οι παραπάνω εξισώσεις προγραμματίστηκαν στη γλώσσα FORTRAN, που έχει τη δυνατότητα να δέχεται μιγαδικές συναρτήσεις. Τα ολοκληρώματα υπολογίζονται αριθμητικά με τον κανόνα του Smpson. Έγινε πρώτα έλεγχος των αποτελεσμάτων για μακρούς κυματισμούς σε κεκλιμένο πρανές καθώς και σε ορθογωνικό κυματοθραύστη. Τα αποτελέσματα ήταν ταυτόσημα με εκείνα της λύσης των M-W. Η μέθοδος ελέγχθηκε σε σύγκριση με τα πειραματικά 6. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Η αναλυτική μέθοδος που προτείνεται ισχύει για μονοχρωματικούς κυματισμούς στο πεδίο εφαρμογής των εξισώσεων Boussnesq και μπορεί να προβλέψει ικανοποιητικά τους συντελεστές ανάκλασης και διάδοσης σε κυματοθραύστες με κεκλιμένα πρανή. Οι τιμές των συντελεστών υπολογίζονται με βάση τα κυματικά χαρακτηριστικά και τα χαρακτηριστικά του κυματοθραύση. Οι τιμές δεν είναι αμελητέες και θα πρέπει οπωσδήποτε να λαμβάνονται υπόψη κατά το σχεδιασμό των λιμενικών έργων και των έργων προστασίας ακτών.
30 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sc. J. TCG, I, No 1-2 1.00 0.80 µ µ 1.00 0.80 Tc, Rc 0.60 0.40 Tc Tc, Rc 0.60 0.40 0.20 Rc 0.00 0.00 0.01 0.01 0.02 0.02 0.03 H/L Σχήμα 2: Συντελεστής ανάκλασης R c και διάδοσης Τ c σε κυματοθραύστη με κεκλιμένα πρανή σε σύγκριση με τα πειραματικά δεδομένα των Solltt nd Cross (1972), σε αδιάστατο βάθος kd=0.6. Fgure 2: Reflecton nd trnsmsson coeffcents n rubblemound brekwter. Comprson wth the expermentl results of Solltt nd Cross (1972),n dmensonless depth kd=0.6. 0.20 Tc 0.00 Rc 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 H/L Σχήμα 4: Συντελεστής ανάκλασης R c και διάδοσης Τ c σε κυματοθραύστη με κεκλιμένα πρανή σε σύγκριση με τα πειραματικά δεδομένα των Solltt nd Cross (1972), σε αδιάστατο βάθος kd=1.8 (υπόμνημα όπως Σχήμα 2). Fgure 4: Reflecton nd trnsmsson coeffcents n rubblemound brekwter. Comprson wth the expermentl results of Solltt nd Cross (1972),n dmensonless depth kd=1.8 (Fgure cpton s n Fgure 2). Tc, Rc 1.00 0.80 0.60 0.40 Tc, Rc 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 Tc 0.20 Tc 0.00 Rc 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 H/L 0.00 Rc 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 H/L Σχήμα 3: Συντελεστής ανάκλασης R c και διάδοσης Τ c σε κυματοθραύστη με κεκλιμένα πρανή σε σύγκριση με τα πειραματικά δεδομένα των Solltt nd Cross (1972), σε αδιάστατο βάθος kd=1.4 (υπόμνημα όπως Σχήμα 2). Fgure 3: Reflecton nd trnsmsson coeffcents n rubblemound brekwter. Comprson wth the expermentl results of Solltt nd Cross (1972),n dmensonless depth kd=1.4 (Fgure cpton s n Fgure 2). Σχήμα 5: Συντελεστής ανάκλασης R c και διάδοσης Τ c σε κυματοθραύστη με κεκλιμένα πρανή σε σύγκριση με τα πειραματικά δεδομένα των Solltt nd Cross (1972), σε αδιάστατο βάθος kd=2.12 (υπόμνημα όπως Σχήμα 2). Fgure 5: Reflecton nd trnsmsson coeffcents n rubblemound brekwter. Comprson wth the expermentl results of Solltt nd Cross (1972),n dmensonless depth kd=2.12 (Fgure cpton s n Fgure 2).
Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sc. J. TCG, I, No 1-2 31 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ [1] Bowers E. C. nd Budn G. R., 1993, Boussnesq Model: Representton of prtl reflecton nd trnsmsson wth vldton gnst physcl model of Shorehm hrbour. HR Wllngford report SR 354. [2] Bruun P., 1985, Desgn nd Constructon of Mounds for Brekwters nd Costl Protecton, Elsever, New York. [3] Burchrth H. F. nd Andersen O. H., 1995, On the one-dmensonl stedy nd unstedy porous flow equtons, Costl Eng., 24, 233-257. [4] Hll K. R., Smth G. M. nd Turcke D. J., 1995, Comprson of osclltory nd sttonry flow through porous med, Costl Eng., 24, 217-232. [5] Hnnour A. A. nd McCorquodle J. A., 1985, Rubble mounds: Numercl modellng of wve moton, Journl of Wterwy, Port, Costl, nd Ocen Eng., 111 (no 5), 800-816. [6] Krmbs Th. V. nd Koutts, C., 1992, A brekng wve propgton model bsed on the Boussnesq equtons, Costl Eng., 18, 1-19. [7] Krmbs, Th. V. nd E. C. Bowers, 1996, Representton of prtl wve reflecton nd trnsmsson for rubble mound costl structures, Hydrosoft 96, Mlys. [8] Mdsen O. S. nd Whte S. M., 1976, Reflecton nd trnsmsson chrcterstcs of porous rubble mound brekwters CERC. Mscellneous report 76-5, Fort Belvor, V. [9] Mdsen P. A., 1983, Wve reflecton from vertcl permeble wve bsorber, Costl Eng., 7, 381-396. [10] Solltt Ch. K. nd Cross R.H., 1972, Wve reflecton nd trnsmsson t permeble brekwters. MIT, R. M. Prsons Lbortory Techncl Report No. 147. [11] Sulsz W., 1985, Wve reflecton nd trnsmsson t permeble brekwters of rbtrry cross-secton, Costl Eng., 9, 371-386. [12] Vn der Meer, 1993, Conceptul desgn of rubble mound brekwters, Delft Hydrulcs. Θ. Β. Καραμπάς Καθηγητής Τ.Ε.Ι. Σερρών, Δρ Πολιτικός Μηχανικός, Τμήμα Πολιτικών Δομικών Έργων, Τέρμα Μαγνησίας, 621 24, Σέρρες Ε. Β. Κουτάντος Διπλ/χος Πολιτικός Μηχ/κός Α.Π.Θ., Μεταπτ/κός Ερευνητής, Τομέας Υδραυλικής και Τεχνικής Περιβάλλοντος, Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών, Πολυτεχνική Σχολή Α.Π.Θ., 54006 Θεσσαλονικη
32 Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sc. J. TCG, I, No 1-2 Extended summry Anlytcl Clculton of Wve Reflecton nd Trnsmsson n Permeble Brekwters wthout Overtoppng TH. V. ΚΑRAMBAS Proffesor T.E.I. of Serres Ε. V. KΟUTANDOS Cvl Engneer A.U.TH. Summry A theoretcl clculton of the lner dspersve wve reflecton nd trnsmsson coeffcent for rubble mound structures s presented n the present work. Energy dsspton due to frctonl effects on the sewrd slope ws smulted by usng frcton term n the momentum equton. In the sme equton energy loss wthn the porous structure ws smulted usng the lnerzed Duput- Formhemer reltonshp nd by pplyng the Lorentz prncple of equvlent work. The results were compred well wth expermentl dt. 1. INTRODUCTION Rubble-mound brekwters re wdely used for hrbor nd cost protecton. In most studes they re consdered to be mpermeble, so the trnsmsson coeffcent s tken to be zero when overtoppng does not occur. In relty prt of the ncomng wve energy s prtlly trnsmtted through the brekwter. Another prt of the energy s reflected bck to the open se dsturbng the shps pprochng the port. In ths specfc study, theoretcl method s presented for the clculton of trnsmsson nd reflecton coeffcents n rubble-mound brekwters. The proposed method s bsed on the nlyss of Mdsen nd Whte, [8]. Ther nlyss s extended to deeper wters usng the Boussnesq equtons. Addtonlly, n lterntve formul s proposed for the clculton of the lner frcton coeffcent f smultng energy dsspton n the permeble structure. The proposed method ws vldted by comprng the results wth vlble expermentl dt. 3. THE ANALYTICAL SOLUTION OF MADSEN AND WHITE [8] 3.1. Reflecton coeffcent n n mpermeble structure. Submtted: Mr. 28. 2002 Accepted: Nov. 15. 2002 Energy dsspton due to frcton s ntroduced by frcton coeffcent proposed by Jonsson f w whch reltes sher stress τ b n the se bed to the depth verged horzontl velocty U (eq. 1). Ths equton s lnerzed through lner frcton coeffcent f b whch s defned n eq. 2. The soluton proposed by Mdsen nd Whte [8], s depcted n eq. 3. where the lner coeffcent f b s clculted usng eq. 4. Coeffcent f w dffers from tht proposed by Jonsson nd s gven n eq. 6. Reflecton coeffcent s eventully provded by eq. 7. 3.2. Reflecton nd trnsmsson coeffcents n permeble brekwter of rectngulr cross-secton. Mdsen nd Whte [8] studed wve reflecton nd trnsmsson n permeble brekwter of rectngulr cross-secton. They used the Duput-Formhemer equton for the clculton of energy dsspton n the mn body of permeble structure. Under the ssumpton of long, lner wves they presented equtons for the clculton of trnsmsson nd reflecton coeffcents T I nd R I. In chpter 4, the proposed nlyss s extended beyond the ssumpton of lner long wves. Addtonlly, the clculton of the lnerzed frcton coeffcent f s bsed on the equvlent work ssumpton, wthout the smplfcton used n Mdsen nd Whte (M-W). 4. EXTENSION OF THE MADSEN AND WHITE (M-W) THEORY TO DEEPER WATERS When the depth n the lower prt of the brekwter s not smll eq. 1 s not vld due to the fct tht the velocty ner the se bed dffers sgnfcntly from the men velocty U. Thus, the M-W theory my be expected to provde
Τεχν. Χρον. Επιστ. Έκδ. ΤΕΕ, Ι, τεύχ. 1-2 2003, Tech. Chron. Sc. J. TCG, I, No 1-2 33 unrelstc results due to the fct tht the horzontl length l s cn not be consdered effectve. In ths study, the horzontl length l s s proposed to be consdered effectve when defned from the stll wter-lne up to depth d s specfed by eq. 8. Ths specfc emprcl modfcton of the M-W theory ws vldted gnst expermentl results t HR Wllngford [1]. The results of the M-W theory re presented n tble 1. The nlytcl results re n greement wth the correspondng expermentl results. The lner Boussnesq equtons for dspersve wves n constnt depth n conjuncton wth the Duput-Forchhemer equton re depcted ccordng to [7] nd [8] n eq. 9. The equvlent length w of the orthogonl brekwter s gven by eq. 13. The present technque s smlr to the M- W wth the dfference tht nsted of the long, lner wve equtons the lner dspersve wve equtons re used. The non-lner frcton coeffcent n eq. 9 s lnerzed ccordng to eq. 14. Usng complex numbers the perodc soluton of the problem s eq. 15 nd eq. 16. Replcng the specfc equtons n equtons 9 we come to the fnl soluton eq. 17 nd eq. 18. For he clculton of the f coeffcent overcomng the smplfyng ssumptons n the M-W theory, the method proposed by Mdsen [9] s dopted, whch s bsed on the Lorentz ssumpton of equvlent work eq. 14. The fnl equton for the frcton coeffcent f s eq. 19. the nner nd n the outer prt of port. Therefore, t s of vtl mportnce to tke these coeffcents nto ccount n the desgn of such structures. 6. CONCLUSIONS The proposed nlytcl method s bsed on the Boussnesq equtons nd cn stsfctorly descrbe the reflecton nd trnsmsson coeffcents n rubble-mound brekwters. The vlues of these coeffcents re by no mens neglgble nd therefore, the phenomen of wve reflecton nd trnsmsson my be expected to dsturb the wve feld n the nner nd the outer prt of port. It s essentl tht the coeffcents re tken nto ccount n the desgn of costl structures. 5. APPLICATION OF THE PROPOSED METHOD The forementoned equtons were coded n FORTRAN lnguge progrmmng, whch llows complex number mnpulton. Numercl ntegrton ws performed usng the Smpson s rule. Frstly, the results were compred gnst the M-W theory for the rectngulr brekwter cse. The results were dentcl. Anlytcl results were compred wth the expermentl results of Solltt nd Cross [10]. The brekwter ws n 0.32 m depth wth n nclnton 1:1.5, bse wdth of 1.34 m, outer rmour lyer (wdth 0.17 m) wth medn stone sze d 50 =0.025 m nd porosty n=0.442. Inner rmour lyer ws 0.17 m bove the se bed wth d 50 =0.012 nd n=0.468. Comprson results re presented n fgures 2 to 5. The ncomng wves were of dfferent heghts Η (Η =2 ). Anlytcl results s seen n the relevnt fgures re n stsfctory greement wth expermentl vlues. It s worth notng tht the coeffcent s by no mens neglgble, especlly n the long wve cse. Therefore, the forementoned phenomen of ncomng wve reflecton nd trnsmsson my be expected to dsturb the wve feld n Th. V. Κrmbs Professor T.E.I of Serres, Dr Cvl Engneer, Deprtment of Cvl Engneerng, Term Mgnss, 621 24 Serres Ε. V. Κoutndos Cvl Engneer, Postgrdute Resercher, Dvson of Hydrulcs nd Envronmentl Engneerng, Deprtment of Cvl Engneerng, Α.U.TH., 54006 Thesslonk