Εκ μέσης καρδίας αφιερώνω το παρόν πόνημα στους γονείς μου Χρήστο και Γεωργία στην αδελφή μου Κατερίνα και στο καθηγητή μου για την αμέριστη

Τ.Ε.Ι. ΚΑΒΑΛΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΔΙΚΤΥΑ ΟΥΡΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥΣ ΕΞΥΠΗΡΕΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΚΤΥΩΝ Η/Υ» Νέα έργα σσ Δίσκος εκτυπωτής CPU δισκέτα Ολοκληρωμένη εργασία Της σπουδάστριας ΙΒΡΟΥ ΒΑΣΙΛΙΚΗΣ Επιβλέπων Δρ. ΓΕΡΟΝΤΙΔΗΣ ΙΩΑΝΝΗΣ Αναπληρωτής Καθηγητής ΚΑΒΑΛΑ 2005

Εκ μέσης καρδίας αφιερώνω το παρόν πόνημα στους γονείς μου Χρήστο και Γεωργία στην αδελφή μου Κατερίνα και στο καθηγητή μου για την αμέριστη συμπαράστασή τους στην πορεία της εργασίας μου 1

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελίδα ΠΡΟΛΟΓΟΣ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Τα στοιχεία ενός μοντέλου ουράς Συμβολισμός του Kendall 6 1.2 Η εκθετική κατανομή και η Posson διαδικασία αφίξεων 14 1.3 Δίκτυα ουρών 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΟΙ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ 2.1 Διαδικασίες διακριτού χρόνου 23 2.2 Διαδικασίες συνεχούς χρόνου 25 2.3 Ασυμπτωτική συμπεριφορά 29 2.4 Κατάσταση στατιστικής ισορροπίας 32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΔΙΚΤΥΑ ΟΥΡΩΝ ΜΟΡΦΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ (PRODUCT FORM QUEUEIG ETWORKS) 3.1 Μέτρα λειτουργικότητας 37 3.2 Δίκτυα τύπου Jackson 40 3.3 Δίκτυα τύπου Gordon/ewell 44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΟΥΡΑΣ 4.1 Ο αλγόριθμος της συνέλιξης (The convoluton algorthm) 51 4.2 Η ανάλυση της μέσης τιμής (Mean value analyss) 55 2

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ο ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 5.1 Εφαρμογές για συστήματα πολύ-επεξεργαστών 61 5.2 Εφαρμογές ουρών με τα μοντέλα M/M/1 και M/M/S 65 5.3 Εφαρμογές σε συστήματα επικοινωνίας 71 5.4 Εφαρμογή δικτύου ουράς σε γλώσσα προγραμματισμού C++ 79 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 86 3

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η εργασία αυτή πραγματεύεται θέματα που σχετίζονται με τα δίκτυα ουρών αναμονής. Με τον όρο «δίκτυα ουρών αναμονής» εννοούμε πολλούς σταθμούς εξυπηρέτησης που είναι κατάλληλοι να παρουσιάζουν την κατασκευή συστημάτων με μεγάλο αριθμό πόρων από μοντέλα που συνίσταται από έναν ή περισσότερους εξυπηρέτες. Η εργασία αυτή αποτελείται από πέντε κεφάλαια. Στο πρώτο κεφάλαιο, θα δούμε τα βασικά στοιχεία ενός μοντέλου ουράς καθώς επίσης θα γίνει και μια γενική αναφορά στο διαχωρισμό των δικτύων ουράς. Στο δεύτερο κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με τις Μαρκοβιανές διαδικασίες διακριτού και συνεχούς χρόνου και τη κατάσταση στατιστικής ισορροπίας. Στο τρίτο κεφάλαιο, θα γνωρίσουμε πως αναλύονται τα δίκτυα ουράς αναμονής. Στο τέταρτο κεφάλαιο, θα αναπτύξουμε κάποιους υπολογιστικούς αλγόριθμους, που μας επιτρέπουν την επίλυση προβλημάτων δικτύων ουράς. Στο τέλος του πονήματος αυτού παρουσιάζονται εφαρμογές με αναλυτικούς πίνακες για την καλύτερη κατανόηση του θέματος. Καβάλα, Απρίλιος 2005 4

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 5

1.1 Τα στοιχεία ενός μοντέλου ουράς Συμβολισμός του Kendall Η μελέτη των ουρών αναμονής είναι ένας από τους πρώτους κλάδους της επιχειρησιακής έρευνας που αναπτύχθηκαν, και έχει ένα ευρύ πεδίο εφαρμογών σε προβλήματα που συναντάμε καθημερινά. Πολλές από τις καθημερινές μας αποφάσεις επηρεάζονται από τη λειτουργία συστημάτων ούρων αναμονής : περιμένουμε στα ταμεία των supermarkets, τραπεζών καθώς σε υπηρεσίες εξυπηρέτησης του κοινού, σε υπηρεσίες πληροφοριών του τηλεφωνικού δικτύου, σε διασταυρώσεις οδικών αρτηριών περιμένοντας να δοθεί το πράσινο φως στη κατεύθυνση που κινούμαστε, σε αεροδρόμια με μεγάλη κίνηση όπου αεροπλάνα περιμένουν τη σειρά τους για χρήση του αεροδιάδρομου και σε νοσοκομεία όπου οι ασθενείς αναμένουν την εισαγωγή τους για επεμβάσεις ή νοσηλεία (Υψηλάντης, 2002). Αρχικά αναπτύχθηκε για ανάλυση της στατιστικής συμπεριφοράς των συστημάτων μεταγωγής τηλεφώνου/telephone swtchng systems αλλά έχει εφαρμογές σε πολλά προβλήματα της δικτύωσης υπολογιστών. Την θεωρία των ουρών αναμονής την συνέλαβε στις αρχές της δεκαετίας του 1900 ένας Δανός υπάλληλος τηλεφωνικών υπηρεσιών ονομαζόμενος A. K. Erlang όταν άρχισε να διαβάζει για την συμφόρηση και την αναμονή των πελατών στις τηλεφωνικές υπηρεσίες. Ύστερα από αυτό, ένας αριθμός από ποσοτικά μοντέλα αναπτύχθηκαν για να βοηθήσουν τους επιχειρηματίες να καταλάβουν τις ουρές αναμονής και να λαμβάνουν καλύτερες αποφάσεις για την επίλυσή τους (Ragsdale, 2001). Σε κάθε σύστημα ουράς αναμονής διακρίνουμε τέσσερα βασικά χαρακτηριστικά: Διαδικασία αφίξεων πελατών Διαδικασία εξυπηρέτησης Σταθμοί εξυπηρέτησης Πολιτική εξυπηρέτησης 6

Αφίξεις «πελατών» στο σύστημα Πελάτες Εξυπηρέτηση Αναχωρήσεις «πελατών» από το σύστημα Σχήμα 1.1 Σύστημα ουράς αναμονής Διαδικασία αφίξεων πελατών Σε κάθε σύστημα ουράς αναμονής υπάρχουν «πελάτες» οι οποίοι προσέρχονται για εξυπηρέτηση. Με το γενικό όρο «πελάτης» εννοούμε τα πρόσωπα, αντικείμενα ή συμβάντα που εισέρχονται στο σύστημα για εξυπηρέτηση. Το πλήθος των αφίξεων που λαμβάνει χώρα σε ένα δεδομένο χρονικό διάστημα παρουσιάζεται σαν μια τυχαία μεταβλητή. Συνήθως υποθέτουμε ότι η διαδικασία αφίξεων στο σύστημα μιας ουράς είναι τύπου Posson. Η χρήση της πιθανοτικής κατανομής τύπου Posson εκφράζεται με το ρυθμό άφιξης, ο οποίος συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα και παρουσιάζει το μέσο όρο των αφίξεων σε κάθε χρονική στιγμή (Υψηλάντης, 2002). Στο πίνακα που ακολουθεί αναφέρονται οι «πελάτες» διαφόρων συστημάτων ουρών αναμονής : 7

Σύστημα ουράς «πελάτης» Εξυπηρέτηση αναμονής Ταμείο τράπεζας Πελάτης τράπεζας Ταμιακή τακτοποίηση Διόδια εθνικής οδού Αυτοκίνητα Πληρωμή διοδίων Νοσοκομείο Ασθενείς Επέμβαση ή νοσηλεία Διάδρομος αεροδρομίου Αεροπλάνα προσερχόμενα για απογείωση ή προσγείωση Απογείωση ή προσγείωση Οι αφίξεις σε ένα σύστημα ουράς αναμονής χαρακτηρίζονται από τα εξής βασικά χαρακτηριστικά: Μέγεθος του πληθυσμού : ο πληθυσμός από τον οποίο προέρχονται από τις αφίξεις των πελατών θεωρείται είτε άπειρος (πρακτικά πολύ μεγάλου μεγέθους) όπως πελάτες τραπεζών ή πεπερασμένος όπως στην περίπτωση των μηχανών ενός εργοστασίου που αναμένουν επισκευή. Στα πιο πολλά προβλήματα ουρών αναμονής, εκτός αν ειδικά αναφερθούμε σε πεπερασμένο πληθυσμό, θα θεωρούμε ότι ο πληθυσμός από τον οποίο προέρχονται οι «πελάτες» του συστήματος είναι άπειρος. Διαδικασία αφίξεων : οι «πελάτες» αφικνούνται στο σύστημα είτε σύμφωνα με κάποια γνωστή και σταθερή συχνότητα (ένας ασθενής κάθε 15 λεπτά) ή όπως στις περισσότερες περιπτώσεις σε τυχαίους χρόνους. Οι αφίξεις θεωρούνται τυχαίες όταν είναι ανεξάρτητες η μία από την άλλη και η χρονική στιγμή πραγματοποίησής τους δεν μπορεί να προβλεφθεί ακριβώς. Στη δεύτερη περίπτωση ο ρυθμός των αφίξεων μετριέται με το μέσο αριθμό αφίξεων ανά μονάδα του χρόνου ( «πελάτες» ανά ώρα). 8

Διαδικασία εξυπηρέτησης Ο χρόνος που απαιτείται για την εξυπηρέτηση του πελάτη (από τη στιγμή που υπάρχει μονάδα εξυπηρέτησης ελεύθερη) μπορεί να είναι σταθερός (π.χ. σε ένα αυτόματο πλυντήριο αυτοκινήτων) ή όπως συμβαίνει και στα περισσότερα συστήματα ουρών αναμονής, να παρουσιάζει τυχαίες διακυμάνσεις. Για τις πιο πολλές περιπτώσεις συστημάτων ουράς αναμονής μπορούμε να θεωρήσουμε ότι ο χρόνος εξυπηρέτησης ακολουθεί την εκθετική κατανομή η οποία έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (Υψηλάντης, 2002) f ( x) e x, όπου x 0. Κατά συνέπεια ισχύει P (χρόνος εξυπηρέτησης X t ) = e t και P ( t X t 1 2 ) = t2 e t1 -x dx για t t 1 2, όπου με άφιξης των πελατών. συμβολίζεται η παράμετρος της κατανομής που είναι ο ρυθμός Πλήθος σταθμών εξυπηρέτησης Τα συστήματα ουρών αναμονής τα αντιμετωπίζουμε συνεχώς στην καθημερινή μας ζωή. Μπορούμε να διακρίνουμε τρεις τρόπους παρουσίασης ενός συστήματος ουράς (Ragsdale, 2001). Ο πρώτος τύπος εμφάνισης είναι αυτός που έχουμε μία ουρά αναμονής και έναν εξυπηρέτη. Στη περίπτωση αυτή οι πελάτες μπαίνουν στο σύστημα και 9

περιμένουν σε μια ουρά τύπου FIFO (δηλαδή όποιος μπαίνει πρώτος αποχωρεί και πρώτος). Στη συνέχεια βγαίνουν από το σύστημα. Αυτός ο τύπος ουράς αναμονής παρατηρείται στα συστήματα αυτόματης ανάληψης χρημάτων (ATMs). Αφίξεις πελατών Έξοδος πελατών Ουρά αναμονής εξυπηρέτης Σχήμα 1.2 Σύστημα ουράς αναμονής με μία ουρά και έναν εξυπηρέτη Ο δεύτερος τύπος εμφάνισης είναι αυτός όπου έχουμε μία ουρά αναμονής και πολλούς εξυπηρέτη. Εδώ οι πελάτες μπαίνουν στο σύστημα και βρίσκονται σε μια ουρά τύπου FIFO. Οι πελάτες περιμένουν όλοι σε μια σειρά και όταν ελευθερωθεί κάποιος εξυπηρέτη ο πρώτος πελάτης της σειράς κατευθύνεται στο διαθέσιμο εξυπηρέτη. Αυτός ο τύπος ουράς αναμονής παρατηρείται στους ελέγχους των αεροδρομίων, στα ταχυδρομεία και στις τράπεζες. 10

Έξοδος πελατών Εξυπηρέτης 1 Αφίξεις πελατών Ουρά αναμονής Εξυπηρέτης 2 Έξοδος πελατών Έξοδος πελατών Εξυπηρέτη n Σχήμα 1.3 Σύστημα ουράς αναμονής με μία ουρά και πολλούς εξυπηρέτες Ο τρίτος τύπος εμφάνισης είναι αυτός όπου παρουσιάζεται από μια σειρά απλών ουρών και από σειρά απλών εξυπηρετών. Αυτός ο τύπος παρατηρείται σε πολλά εστιατόρια όπως τα McDonald s. 11

Αφίξεις πελατών Ουρά αναμονής Ουρά αναμονής Ουρά αναμονής Εξυπηρέτης 1 Εξυπηρέτης 2 Εξυπηρέτης n Έξοδος πελατών Έξοδος πελατών Έξοδος πελατών Σχήμα 1.4 Σύστημα ουράς αναμονής με πολλές μονάδες εξυπηρέτησης και πολλές φάσεις εξυπηρέτησης Πολιτική εξυπηρέτησης Η ουρά σχηματίζεται από «πελάτες» που αναμένουν τη σειρά τους να εξυπηρετηθούν. Η σειρά με την οποία εξυπηρετούνται οι πελάτες που αναμένουν στην ουρά είναι ένα από τα κύρια χαρακτηριστικά των συστημάτων ουρών αναμονής (Υψηλάντης, 2002). Οι μέθοδοι που εφαρμόζονται είναι κυρίως οι εξής : LIFO (Last In Frst Out) : Οι πελάτες εξυπηρετούνται αντιστρόφως της σειράς προσέλευσης, δηλαδή ο πελάτης που έχει φτάσει στην ουρά τελευταίος, εξυπηρετείται πρώτος. 12

FIFO (Frst In Frst Out) : Οι πελάτες εξυπηρετούνται με βάση τη χρονολογική σειρά προσέλευσης. Τυχαία επιλογή : Οι πελάτες επιλέγονται τυχαία από τους αναμένοντες στην ουρά. Προτεραιότητες : Οι πελάτες χωρίζονται σε κατηγορίες με διαφορετικές προτεραιότητες. Επιλέγονται πρώτα οι πελάτες με την πιο υψηλή προτεραιότητα. Μεταξύ πελατών με την ίδια κλάση επιλέγεται αυτός που αναμένει τον περισσότερο χρόνο. Το πιο συνηθισμένο σύστημα επιλογής πελατών είναι το FIFΟ. Συμβολισμός του Kendall Όπως είναι γνωστό υπάρχει μια μεγάλη ποικιλία από μοντέλα ουρών. Ένα σύστημα το οποίο είναι γνωστό ως Σημειογραφία του Kendall αναπτύχθηκε για να περιγράφει λεπτομερώς τα συστήματα ουρών αναμονής. (Ragsdale, 2002) Με τον συμβολισμό του Kendall τα περιγράφουμε με τρία χαρακτηριστικά: 1. Το πρώτο χαρακτηριστικό προσδιορίζει τη διαδικασία αφίξεων με τις ακόλουθες συντομογραφίες. M = Η διαδικασία αφίξεων είναι τύπου Posson D = Καθοριστικοί χρόνοι (όχι τυχαίοι). G = Γενική διαδικασία αφίξεων 2. Το δεύτερο χαρακτηριστικό προσδιορίζει τη διαδικασία εξυπηρέτησης χρησιμοποιώντας τις εξής συντομογραφίες. M = Χρόνοι Μαρκοβιανής εξυπηρέτησης (ακολουθεί την εκθετική κατανομή) G = Χρόνοι γενικής εξυπηρέτησης (ακολουθεί μια μη εκθετική κατανομή) D = Καθοριστικοί χρόνοι εξυπηρέτησης (όχι τυχαίοι). 13

3. Τέλος το τρίτο χαρακτηριστικό προσδιορίζει τον αριθμό των εξυπηρετών που είναι διαθέσιμοι. Παρακάτω παρουσιάζονται μερικά παραδείγματα της χρήσης του Kendall. Έστω ότι έχουμε μια ουρά τύπου M/M/1 αυτό μπορούμε να το ερμηνεύσουμε ως εξής: οι αφίξεις των πελατών ακολουθούν μια εκθετική κατανομή, όπως και η εξυπηρέτηση των πελατών ακολουθεί εκθετική κατανομή και υπάρχει ένας εξυπηρετητής διαθέσιμος για αυτή την εργασία. Στη περίπτωση όμως που θα είχαμε μια M/G/3 ουρά θα παρουσιάζαμε ένα μοντέλο στο οποίο οι αφίξεις θα ακολουθούσαν μια εκθετική κατανομή, η εξυπηρέτηση μια γενική κατανομή και θα είχαμε 3 εξυπηρέτες. Πρέπει να αναφέρουμε ότι υπάρχει μια επεκτεινόμενη έκδοση του συμβολισμού του Kendall, η οποία αποτελείται από 6 χαρακτηριστικά για την καλύτερη περιγραφή του συστήματος ουράς αναμονής. 1.2 Η εκθετική κατανομή και η Posson διαδικασία αφίξεων Η τυχαία μεταβλητή X έχει την εκθετική (Exponental) κατανομή με παράμετρο λ αν η αθροιστική συνάρτηση κατανομής έχει την μορφή F( x) 1e x, όπου x 0 και συμβολίζεται Exp( ). Οι παράμετροι θέσης και διασποράς της εκθετικής κατανομής είναι EX ( ) 1 1 και V( X). 2 14

Το φυσικό νόημα της εκθετικής κατανομής είναι ότι εκφράζει το χρονικό διάστημα μεταξύ δύο γεγονότων μιας Posson διαδικασίας t () με παράμετρο και είναι η αντίστοιχη της γεωμετρικής στη συνεχή περίπτωση. Επίσης χαρακτηρίζεται από την έλλειψη μνήμης, δηλαδή P ( X s t X s ) = P ( X t ), για κάθε st, 0, όπου η αριστερή πλευρά είναι: P (άφιξη που καθυστέρησε χρόνο s θα συμβεί σε χρόνο λιγότερο από s t ). Συνοψίζοντας η τυχαία μεταβλητή X που ακολουθεί την εκθετική κατανομή εκφράζει το χρόνο μεταξύ δύο διαδοχικών γεγονότων μιας Posson διαδικασίας t (), ενώ η τυχαία μεταβλητή t () πραγματοποιούνται στο χρονικό διάστημα (0, ). εκφράζει το πλήθος των γεγονότων που Επομένως, μπορούμε να πούμε ότι η εκθετική κατανομή χρησιμοποιείται για τη μοντελοποίηση εντελώς τυχαίων γεγονότων, όπως οι χρόνοι μεταξύ αστοχιών, ή οι χρόνοι μεταξύ αφίξεων πελατών. Συχνά χρησιμοποιείται ως η μόνη λύση όταν δεν υπάρχουν ενδείξεις για την κατανομή που πρέπει να χρησιμοποιηθεί (Καραπιστόλης, 2001). Η κατανομή Posson είναι μια διακριτή κατανομή πιθανοτήτων με πολλές πρακτικές εφαρμογές. Αποτελεί προέκταση της διωνυμικής κατανομής σε περιπτώσεις που το μέγεθος του δείγματος (παρατηρήσεις ή επαναλήψεις του πειράματος) είναι πολύ μεγάλο και θα μπορούσαμε να πούμε ότι τείνει στο άπειρο. Συνήθως χρησιμοποιείται για να περιγράψει καταστάσεις ουρών, δηλαδή άφιξη πελατών σε τράπεζες ή πολυκαταστήματα, αριθμούς κλήσεων σε τηλεφωνικά κέντρα. Στην περίπτωση αυτή ισχύουν οι προϋποθέσεις (επιτυχίας ή αποτυχίας) εφαρμογής της διωνυμικής κατανομής, αλλά με τη βασική διαφορά ότι η πιθανότητα επιτυχίας σε μια παρατήρηση είναι πολύ μικρή και ο αριθμός των παρατηρήσεων άπειρος. t 15

Παρακάτω θα παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα σε μια τράπεζα. Μια τράπεζα αναδιοργανώνει το κεντρικό της κατάστημα με αντικείμενο την καλύτερη εξυπηρέτηση των πελατών. Η αύξηση του κύκλου εργασιών έχει οδηγήσει σε μεγάλη προσέλευση πελατών και αύξηση του χρόνου αναμονής τους. Το πρόβλημα που αντιμετωπίζει η τράπεζα είναι διπλό. Από τη μια την ενδιαφέρει το είδος του πελάτη, δηλαδή εταιρεία ή ιδιώτης και από την άλλη η συχνότητα άφιξης των πελατών κυρίως τις ώρες αιχμής. Το ποσοστό των πελατών που αφορούν εταιρείες είναι 30% και από την ηλεκτρονική συσκευή ασφαλείας που παρακολουθεί τις αφίξεις πελατών, έχει εκτιμηθεί ότι τις ώρες αιχμής εισέρχονται στο κατάστημα, κατά μέσο όρο, 5 πελάτες ανά λεπτό. Η τράπεζα προγραμματίζει τη δημιουργία διαφορετικών τμημάτων εξυπηρέτησης των πελατών ανάλογα με την κατηγορία που ανήκουν και την αύξηση του προσωπικού και των θέσεων εργασίας για την εξυπηρέτηση μεγαλύτερου αριθμού πελατών (Χαλκιάς, 2003). Επομένως η συχνότητα άφιξης των πελατών σε συνδυασμό με το μέσο χρόνο που απαιτείται για την εξυπηρέτηση ενός πελάτη, θα οδηγήσει τους υπεύθυνους να αποφασίσουν πόσα νέα σημεία εξυπηρέτησης χρειάζονται. Συμπερασματικά, η κατανομή Posson χρησιμοποιείται αντί της διωνυμικής κατανομής στις περιπτώσεις που το p είναι πολύ μικρό και το n έτσι ώστε το γινόμενο n* του 10). Μία διακριτή τυχαία μεταβλητή Posson παίρνει τις τιμές 1, 2, 3, παίρνει τιμές μέχρι το άπειρο. p πολύ μεγάλο, να είναι ένας σχετικά μικρός αριθμός (μικρότερος n Y όπου n που ακολουθεί την κατανομή τείνει στο άπειρο άρα και η Y Για να εφαρμόσουμε την κατανομή Posson το μόνο που χρειαζόμαστε είναι η τιμή του μέσου όρου που συμβολίζεται με. Η πιθανότητα να έχουμε Y k επιτυχίες (αφίξεις) δίνεται από τη σχέση : k e P( Y k) k! 16

Όπου P( Y k) = πιθανότητα k επιτυχιών e Y = μέσος αναμενόμενος αριθμός επιτυχιών = η βάση των νεπέριων λογαρίθμων ( 2,71828) = αριθμός επιτυχιών ανά παρατήρηση Η διακύμανση της κατανομής Posson ισούται με. έτσι έχουμε : και V( Y) ( ) 2 2 E Y. Τέλος θα πρέπει να τονίσουμε ότι η Posson κατανομή τείνει γρήγορα προς τη συμμετρία όσο το μέγεθος n του δείγματος αυξάνεται. Αυτή η τάση προς τη συμμετρία σημαίνει ότι η κατανομή Posson τείνει προς την κανονική κατανομή. Η κανονική κατανομή είναι ευκολότερη στη χρήση της και δίνει με πολύ καλή προσέγγιση τις τιμές των πιθανοτήτων της Posson κατανομής. 1.3 Δίκτυα ουρών Τα δίκτυα ουρών συνίσταται από πολλούς σταθμούς εξυπηρέτησης που είναι κατάλληλοι να παρουσιάζουν την κατασκευή πολλών συστημάτων με μεγάλο αριθμό πόρων από μοντέλα που συνίσταται από έναν εξυπηρέτη. Σε ένα δίκτυο ουράς μπορεί να είναι συνδεδεμένοι το λιγότερο δύο εξυπηρέτες. Ένας σταθμός, για παράδειγμα ένας κόμβος, σε ένα δίκτυο αναπαριστά ένα πόρο του αληθινού συστήματος. Οι εργασίες αρχικά μπορούν να μεταφέρονται μεταξύ σε δύο οποιουσδήποτε κόμβους του συστήματος. Επομένως μια εργασία, η οποία έχει φύγει από έναν κόμβο μπορεί να επιστρέψει στον κόμβο από τον οποίο έφυγε (Bolch, Grener, de Meer and Trved, 1998). Τα δίκτυα ουράς χωρίζονται σε δύο κύριες κατηγορίες : στα ανοικτά δίκτυα ουρών και στα κλειστά δίκτυα ουρών. Ένα δίκτυο ουράς ονομάζεται ανοικτό 17

όταν εργασίες εισέρχονται στο δίκτυο από το εξωτερικό περιβάλλον του συστήματος αλλά στο τέλος μπορούν να αποχωρήσουν από αυτό. Οι εργασίες που εισέρχονται στο δίκτυο μπορούν να πάνε σε οποιονδήποτε κόμβο, αλλά μπορούν να αποχωρήσουν και από οποιονδήποτε κόμβο. Από την άλλη μεριά, ένα δίκτυο ουρών ονομάζεται κλειστό, όταν δεν υπάρχει ούτε είσοδος ούτε έξοδος εργασιών. Ο αριθμός των εργασιών σε ένα κλειστό δίκτυο ουρών είναι πάντα σταθερός. Τέλος ένα δίκτυο μπορεί να θεωρηθεί επίσης κλειστό όταν μια εργασία που αποχωρεί από αυτό αντικαθίσταται αμέσως από μία άλλη από το εξωτερικό περιβάλλον. Παρακάτω θα παρουσιάσουμε ένα ανοικτό δίκτυο ουράς αναμονής και ένα κλειστό δίκτυο ουράς αναμονής. Νέα έργα Δίσκος CPU εκτυπωτής Ολοκληρωμένη εργασία δισκέτα Σχήμα 1.5 Ανοικτό δίκτυο ουράς 18

Μ 2 Μ 1 Μ 3 Μ n Σχήμα 1.6 Κλειστό δίκτυο ουράς Στην παρούσα εργασία θα χρησιμοποιήσουμε τον παρακάτω συμβολισμό σχετικά με τα δίκτυα ουρών: K ( k, k,..., k ) κατάσταση δικτύου 1 2 πλήθος κόμβων πλήθος εργασιών /πελατών (κλειστό δίκτυο ουρών) k πλήθος εργασιών στον κόμβο, για κλειστά δίκτυα έχουμε 1 k K m πλήθος εξυπηρετών του κόμβου ρυθμός εξυπηρέτησης κόμβου 1/ p j μέσος χρόνος εξυπηρέτησης κόμβου πιθανότητα μία εργασία να πάει από το κόμβο στο κόμβο j 19

p 0 j πιθανότητα μία εργασία που μπαίνει στο δίκτυο από έξω να εισέλθει στο κόμβο j p 0 πιθανότητα μία εργασία που εγκαταλείπει το δίκτυο να εξέλθει από το κόμβο 0 ρυθμός άφιξης των εργασιών από έξω στο κόμβο συνολικός ρυθμός άφιξης από έξω, για ανοικτά δίκτυα συνολικός ρυθμός άφιξης των εργασιών στο κόμβο Στα ανοικτά δίκτυα ο συνολικός ρυθμός άφιξης των εργασιών στο κόμβο δίνεται από τον ακόλουθο τύπο : 0 j p j j1, για 1,2,..., ενώ για τα κλειστά δίκτυα ο ρυθμός αυτός δίνεται ως εξής : p j j j1. Στη συνέχεια θα παρουσιάσουμε το σχετικό ρυθμό άφιξης στο κόμβο οποίος συμβολίζεται με το 0 0j e / p ( p / 0 0 ), τότε έχουμε : j j, ο. Επειδή για τα ανοιχτά δίκτυα ισχύει 0 j j j1 e p e p ενώ για τα κλειστά δίκτυα ο σχετικός ρυθμός άφιξης είναι ο εξής : e e p. j j j1 20

Με δεδομένο τον παραπάνω τύπο μπορούμε να βρούμε τη σχετική εκμετάλλευση (relatve utlzaton) του κόμβου : x e. 21

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 OΙ ΜΑΡΚΟΒΙΑΝΕΣ ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ 22

2.1 Διαδικασίες διακριτού χρόνου Μαρκοβιανή διαδικασία είναι κάθε στοχαστική διαδικασία { X ( t) : t T } με την ιδιότητα ότι, δεδομένης της τιμής της τυχαίας μεταβλητής Xt () (παρόν), οι τυχαίες μεταβλητές { X ( u) : u t } (μέλλον) είναι στοχαστικά ανεξάρτητες από τις τυχαίες μεταβλητές { X ( s) : s t } (παρελθόν) και αυτό για κάθε χρονική στιγμή tt. Έτσι οι Μαρκοβιανές διαδικασίες αποτελούν κατάλληλα στοχαστικά μοντέλα για την περιγραφή και μελέτη στοχαστικών συστημάτων, η μελλοντική εξέλιξη των οποίων εξαρτάται αποτελεσματικά από την παρούσα κατάστασή τους κάθε φορά και όχι από τη συγκεκριμένη παρελθούσα ιστορία τους. Η ιδιότητα αυτή αναφέρεται ως Μαρκοβιανή ιδιότητα από το όνομα του Ρώσου μαθηματικού A. A. Markov (1856 1922), ο οποίος πρώτος εισήγαγε την αντίστοιχη έννοια, γενικεύοντας έτσι την έννοια της ανεξαρτησίας σε μια οικογένεια τυχαίων μεταβλητών. Οι Μαρκοβιανές διαδικασίες με διακριτό (πεπερασμένο ή αριθμήσιμο) χώρο καταστάσεων αναφέρονται γενικότερα ως Μαρκοβιανές αλυσίδες. (Φακινός, 1999) Στη περίπτωση στοχαστικών διαδικασιών διακριτού χρόνου με διακριτό χώρο καταστάσεων, η Μαρκοβιανή ιδιότητα εκφράζεται από τον εξής ορισμό : Μια ακολουθία τυχαίων μεταβλητών { S Xn : n 0 }, με διακριτό χώρο καταστάσεων, λέγεται Μαρκοβιανή αλυσίδα αν και μόνο αν αυτή έχει τη Μαρκοβιανή ιδιότητα : P( X j X, X... X ) P( X j X ) ( n, j S) n1 0 1 n n1 n 0 Ισοδύναμα, η { X n } είναι Μαρκοβιανή αλυσίδα αν και μόνο αν δεδομένης της τυχαίας μεταβλητής X n, η τυχαία μεταβλητή X n 1 είναι στοχαστικά ανεξάρτητη από τις τυχαίες μεταβλητές X0, X1,..., X n 1 και αυτό για κάθε n 0. Η δεσμευμένη πιθανότητα P( X n1 j X n ) λέγεται πιθανότητα μετάβασης (πρώτης τάξης) από τη κατάσταση στη κατάσταση j στο ( n 1) οστό 23

βήμα και συμβολίζεται με pj ( n, n 1). Ο συμβολισμός δηλώνει το γεγονός ότι γενικά οι πιθανότητες μετάβασης είναι συναρτήσεις όχι μόνο των καταστάσεων, j αλλά και της χρονικής στιγμής (βήματος) κατά την οποία γίνεται η μετάβαση. Όταν οι πιθανότητες αυτές είναι στάσιμες, δηλαδή ανεξάρτητες του βήματος, τότε έχουμε τον συμβολισμό, για κάθε n 0, P P( X j X ) P( X j X ) (, j S) j n1 n 1 0 και η { X n } λέγεται χρονικά ομογενής. Στη συνέχεια θα ασχοληθούμε με χρονικά ομογενείς Μαρκοβιανές αλυσίδες διακριτού χρόνου, οι οποίες για συντομία θα αναφέρονται ως Μαρκοβιανές αλυσίδες. Επίσης ως χώρο καταστάσεων S θα θεωρούμε συνήθως το ένα πεπερασμένο υποσύνολό του οπότε και η Μαρκοβιανή αλυσίδα θα αναφέρεται ως πεπερασμένη. Οι πιθανότητες μετάβασης γράφονται συνοπτικά με τη μορφή ενός πίνακα : 0 ή p00 p0n P ( pj ) pm0 p mn ο οποίος λέγεται πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης (πρώτης τάξης). Επειδή η γραμμή του P είναι δεσμευμένη συνάρτηση πιθανότητας ( pj, j S ) της τυχαίας μεταβλητής X n 1 δοθέντος ότι Xn ο P είναι ένας τετραγωνικός πίνακας μη αρνητικών στοιχείων όπου το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής του είναι ίσο με τη μονάδα. Τέτοιοι πίνακες αναφέρονται ως στοχαστικοί πίνακες. Μία Μαρκοβιανή αλυσίδα { X n } είναι πλήρως ορισμένη όταν δίνεται ο πίνακας P και η αρχική κατανομή, δηλαδή η συνάρτηση πιθανότητας p P( X ) ( S) (0) 0 24

της αρχικής τυχαίας μεταβλητής X 0. πράγματι τότε, από τον ορισμό της δεσμευμένης πιθανότητας σε συνδυασμό με την Μαρκοβιανή ιδιότητα, για κάθε n 0 και,,...,, S 0 1 n2 n1 έχουμε ότι: P( X, X,... X, X ) 0 0 1 1 n1 n1 n n P( X, X,... X ) P( X X, X,... X ) 0 0 1 1 n1 n1 n n 0 0 1 1 n1 n1 P( X, X,... X ) p 0 0 1 1 n1 n1 n1 n Έτσι, όταν ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης και η αρχική κατανομή είναι γνωστά, τότε προσδιορίζεται η πιθανότητα οποιασδήποτε πεπερασμένης πραγματοποίησης (,,...,, 0 1 n1 n ) και επομένως η χρονική εξέλιξη της Μαρκοβιανής αλυσίδας είναι από πιθανοθεωρητικής άποψης γνωστή. 2.2 Διαδικασίες συνεχούς χρόνου Στην προηγούμενη παράγραφο μελετήσαμε Μαρκοβιανές αλυσίδες διακριτού χρόνου όπου μεταβάσεις μεταξύ καταστάσεων είναι δυνατές μόνο σε ακέραιο αριθμό βημάτων, δηλαδή σε συγκεκριμένες και συχνά ισαπέχουσες χρονικές στιγμές. Στη παράγραφο αυτή θα αναπτύξουμε τη γενική θεωρία των Μαρκοβιανών αλυσίδων συνεχούς χρόνου, δηλαδή των Μαρκοβιανών διαδικασιών με διακριτό χώρο καταστάσεων και συνεχή παραμετρικό χώρο. Υποθέτοντας ότι ο τελευταίος είναι το σύνολο 0 θα χρησιμοποιήσουμε το συμβολισμό { X ( t) : t 0 } ή για συντομία το συμβολισμό { Xt} () για την αντίστοιχη στοχαστική διαδικασία. Εδώ μετάβαση από μια κατάσταση σε μια άλλη είναι δυνατή σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή και επομένως ο χρόνος παραμονής σε δεδομένη κατάσταση μπορεί να είναι οσοδήποτε μικρός. Λόγω αυτού του γεγονότος υπάρχουν Μαρκοβιανές αλυσίδες συνεχούς χρόνου οι οποίες επιδεικνύουν αρκετά ιδιάζουσα στοχαστική συμπεριφορά, όπως μηδενικό χρόνο παραμονής σε κάποιες καταστάσεις είτε άπειρο πλήθος 25

μεταβάσεων μέσα σε πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Τέλος, ας σημειωθεί ότι οι Μαρκοβιανές αλυσίδες συνεχούς χρόνου αποτελούν τη γενίκευση της διαδικασία γέννησης θανάτου όπου μεταβάσεις είναι δυνατές και σε μη γειτονικές καταστάσεις. (Φακινός, 1999) Στη περίπτωση στοχαστικών διαδικασιών συνεχούς χρόνου με διακριτό χώρο καταστάσεων, η Μαρκοβιανή ιδιότητα εκφράζεται από τον επόμενο ορισμό : μια στοχαστική διαδικασία { X ( t) : t 0 }, με διακριτό χώρο καταστάσεων S, λέγεται Μαρκοβιανή αλυσίδα αν και μόνο αν αυτή έχει τη Μαρκοβιανή ιδιότητα : P( X( s t) j X( u), 0 u s) P( X( s t) j X( s)) ( s, t 0, j S) Ισοδύναμα, η Xt () είναι Μαρκοβιανή αλυσίδα αν και μόνο αν δεδομένης της τιμής της τυχαίας μεταβλητής Xt (), οι τυχαίες μεταβλητές { X ( u) : u t } και οι τυχαίες μεταβλητές { X ( v) : v t } είναι στοχαστικά ανεξάρτητες. Η δεσμευμένη πιθανότητα P( X ( s t) j X ( s) ) λέγεται πιθανότητα μετάβασης από την κατάσταση p ( s, s t) j τη χρονική στιγμή s t και συμβολίζεται με. Όταν οι πιθανότητες αυτές είναι στάσιμες, δηλαδή εξαρτώνται από το διάστημα [ s, s t ] μόνο μέσω του μήκους του t και όχι από τα συγκεκριμένα άκρα του, τότε έχουμε το συμβολισμό για κάθε s 0 : p P( X ( s t) j X ( s) ) P( X ( t) j X (0) ) (, js, t 0) j και η { Xt} () λέγεται χρονικά ομογενής. Θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με χρονικά ομογενείς Μαρκοβιανές αλυσίδες συνεχούς χρόνου, οι οποίες θα αναφέρονται απλά ως Μαρκοβιανές αλυσίδες. Επίσης ως χώρο καταστάσεων S θα θεωρούμε το 0 ή ένα πεπερασμένο υποσύνολό του οπότε και η Μαρκοβιανή αλυσίδα θα αναφέρεται ως πεπερασμένη. 26

Μια Μαρκοβιανή αλυσίδα { Xt () } είναι πλήρως ορισμένη όταν δίνεται ο πίνακας P() t ( t 0) και η αρχική κατανομή, δηλαδή η συνάρτηση πιθανότητας p (0) P( X (0) ) ( S) της αρχικής τυχαίας μεταβλητής X (0). Πράγματι τότε, από τον ορισμό δεσμευμένης πιθανότητας σε συνδυασμό με τη Μαρκοβιανή ιδιότητα, για κάθε n 0,,,...,, S 0 1 n1 n και 0 t1 t2... tn και στη περίπτωση διακριτού χρόνου, ότι ισχύει η σχέση :, αποδεικνύεται, όπως ακριβώς P( X (0), X ( t ),..., X ( t ) ) 0 1 1 p (0) p ( t ) p ( t t )... p ( t t ) 0 0 1 1 1 2 2 1 n1 n n n1 n n Σε ότι ακολουθεί θα ασχοληθούμε αποκλειστικά με Μαρκοβιανές αλυσίδες για τις οποίες επιπλέον ισχύει : q q ( S) j j αποκλείοντας έτσι την περίπτωση των λεγόμενων στιγμιαίων καταστάσεων ( q ). Τέτοιες Μαρκοβιανές αλυσίδες λέγονται γνήσια κλιμακωτές; Και γι αυτές αποδεικνύεται ότι ισχύει η λεγόμενη ισχυρή Μαρκοβιανή ιδιότητα. Αυτή ορίζεται από τη σχέση P( X ( s t) j X ( u), 0 u s) P( X ( s t) j X ( s)) όταν ο συγκεκριμένος χρόνος s αντικατασταθεί από μια μη αρνητική τυχαία μεταβλητή Σ η οποία είναι ο χρόνος Markov για την { Xt () }. Ας σημειωθεί ότι οι Μαρκοβιανές αλυσίδες διακριτού χρόνου έχουν πάντοτε την ισχυρή Μαρκοβιανή ιδιότητα. 27

Έστω τώρα T ο χρόνος συνεχούς παραμονής της { Xt () } σε δεδομένη κατάσταση, πριν αυτή μεταβεί σε κάποια άλλη κατάσταση. Λόγω της Μαρκοβιανής ιδιότητας και της χρονικής ομοιογένειας της διαδικασίας είναι : P( t T t h T t) P( X ( t h) X ( t) ) 0( h) P( X ( h) X (0) ) 0( h) 1 p ( h) 0( h) j q h 0( h) Η παραπάνω σχέση εκφράζει το αξιοσημείωτο γεγονός ότι για q > 0, ο χρόνος παραμονής στην κατάσταση έχει εκθετική ( q ) κατανομή. Μόλις ο χρόνος αυτός λήξει, η Μαρκοβιανή αλυσίδα μεταβαίνει σε κάποια άλλη κατάσταση j με πιθανότητα p j η οποία είναι ανάλογη του αντίστοιχου ρυθμού p j και σύμφωνα με την : έχουμε q q ( S) j j qj pj ( j) q όταν q = 0, τότε pj ( t) 1 για κάθε t 0 και η είναι κατάσταση απορρόφησης. Σ αυτή την περίπτωση θέτουμε T. Διαδοχικοί χρόνοι παραμονής της Μαρκοβιανής αλυσίδας στις διάφορες καταστάσεις είναι ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές λόγω της ισχυρής Μαρκοβιανής ιδιότητας. Κατ αντιστοιχία με το διάγραμμα πιθανοτήτων μετάβασης, στην περίπτωση συνεχούς χρόνου για καλύτερη εποπτεία ορίζουμε το λεγόμενο διάγραμμα ρυθμών μετάβασης. Αυτό είναι ένα δίκτυο, οι κορυφές του οποίου αντιστοιχούν στις καταστάσεις ενώ οι δυνατές μεταβάσεις μεταξύ 28

διαφορετικών καταστάσεων σημειώνονται με βέλη δίπλα στα οποία αναγράφονται οι αντίστοιχοι ρυθμοί μετάβασης. Τέλος μια Μαρκοβιανή αλυσίδα { Xt () } λέγεται κανονική αν και μόνο αν για κάθε t 0 είναι : j p ( t) 1 ( S) j δηλαδή αν και μόνο αν για οποιοδήποτε αρχική κατάσταση, το πλήθος των μεταβάσεων σε κάθε πεπερασμένο χρονικό διάστημα [ 0,t ] είναι πεπερασμένο με πιθανότητα 1. διαφορετικά η { Xt () και τότε υπάρχει θετική πιθανότητα : } λέγεται μη κανονική ή αποκλίνουσα 1 p ( t) 0 j j άπειρου πλήθους μεταβάσεων μέσα στο [ 0,t ] όταν X(0). Η σχέση : j p ( t) 1 ( S) j αναφέρεται ως εξίσωση κανονικότητας. 2.3 Ασυμπτωτική συμπεριφορά Στις προηγούμενες παραγράφους ασχοληθήκαμε με τις διαδικασίες συνεχούς και διακριτού χρόνου. Στο σημείο αυτό θα ασχοληθούμε με τους πίνακες μετάβασης στις Μαρκοβιανές διαδικασίες. Στη περίπτωση που έχουμε διαδικασίες διακριτού χρόνου οι πίνακες μετάβασης διαχωρίζονται σε στοχαστικούς και σε υποστοχαστικούς. Για τον στοχαστικό πίνακα έχουμε: 29

' ' P1 1 όπου ' 1 1 1.. 1 Επίσης για τους στοχαστικούς πίνακες ισχύει : lm P n n * ' P 1 u (απεριοδικήσυμπεριφορά) ναδιασπάται σε d υπακολουθίες(περιοδικήσυμπεριφοράμε περίοδο d) Για την καλύτερη κατανόηση του στοχαστικού πίνακα παρουσιάζουμε το εξής παράδειγμα: ' 1u 1 u1 u2 u 3 1 u u u 1 u1 u2 u3 u1 u2 u3 1 2 3 Στη συνέχεια θα αναφερθούμε στον υποστοχαστικό πίνακα μετάβασης για τον οποίο ισχύει: ' P1 1 επομένως ένας πίνακας ονομάζεται υποστοχαστικός αν μία τουλάχιστον γραμμή του δεν αθροίζει στη μονάδα. Επίσης για τους υποστοχαστικούς πίνακες ισχύει : lm P n 0 n 30

αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η μέγιστη ιδιοτιμή του είναι μικρότερη της μονάδας. Παραπάνω αναφέραμε δύο έννοιες αυτή της περιοδικής συμπεριφοράς και αυτή της απεριοδικής συμπεριφοράς. Απεριοδική περίπτωση Στη περίπτωση αυτή ισχύει : lm p( n) p(0)lm P p(0) 1 u u n n ' n Steady stateasymptotc dstrbuton Στη περίπτωση όμως που το p(0) u τότε θα έχουμε : p(0) P up u(στάσιμηκατανομή-statonarydstrbuton) όπου u είναι το ιδιοδιάνυσμα του P που αντιστοιχεί στην ιδιοτιμή λ=1. Περιοδική περίπτωση Ο πίνακας μετάβασης P λέγεται περιοδικός με περίοδο μπορεί να πάρει τη μορφή : d αν και μόνο αν 0 P0 0 P 0 0 P 1 P 2 0 0 Γιατί όμως αυτός ο πίνακας λέγεται περιοδικός; Για να το κατανοήσουμε θα παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα. Έστω ότι έχουμε έχουμε: d =3. Στη συνέχεια αν τον υψώσουμε στο τετράγωνο θα 31

P 2 0 P0 0 0 P0 0 0 0 P0 P1 0 0 P 0 0 P PP 0 0 1 1 1 2 P2 0 0 P2 0 0 0 P2 P0 0 P 3 0 0 P0 P1 0 P0 0 P0 PP 1 2 0 0 PP 0 0 0 0 P 0 PP P 0 1 2 1 1 2 0 0 P2 P0 0 P2 0 0 0 0 P2 P0 P 1 έτσι έχουμε μια ακολουθία της μορφής : n 3 k r, r 0,1, 2 p n 3k r p 2.4 Κατάσταση στατιστικής ισορροπίας Για να κατανοήσουμε καλύτερα την έννοια της κατάστασης της στατικής ισορροπίας θα παρουσιάσουμε ένα παράδειγμα. Μπορούμε να εξετάσουμε ποιες είναι οι μελλοντικές τάσεις για τις πιθανότητες των διαφόρων καταστάσεων και να εκτιμήσουμε ποια θα είναι η μακροπρόθεσμη συμπεριφορά του συστήματος σε σχέση με την κατανομή των μεριδίων της αγοράς σε δύο καταστήματα ΑΛΦΑ, ΒΗΤΑ και ΔΕΛΤΑ (Υψηλάντης, 2002). Ας υποθέσουμε ότι είμαστε σε θέση να υπολογίσουμε το πίνακα μεταβάσεως, από την ανάλυση των στοιχείων που συγκεντρώσαμε σε συνδυασμό με παράλληλη έρευνα αγοράς που πραγματοποιήσαμε. Έστω ότι τα αποτελέσματα αυτής της ανάλυσης συγκεντρώνονται στο παρακάτω πίνακα μετάβασης. 32

0.8 0.1 0.1 P 0.1 0.7 0.2 0.2 0.2 0.6 Ο παρακάτω πίνακας δείχνει τα αποτελέσματα υπολογισμών που δείχνουν τις πιθανότητες για τις καταστάσεις του συστήματος από τη χρονική στιγμή έως και t =20. t =1 Χρονική περίοδος Μερίδιο αγοράς ΑΛΦΑ Μερίδιο αγοράς ΒΗΤΑ Μερίδιο αγοράς ΔΕΛΤΑ 1 0,4000000 0,3000000 0,3000000 2 0,4100000 0,3100000 0,2800000 3 0,4150000 0,3140000 0,2710000 4 0,4176000 0,3155000 0,2669000 5 0,4190100 0,3159900 0,2650000 6 0,4198070 0,3160940 0,2640990 7 0,4202748 0,3160663 0,2636589 8 0,4205582 0,3160057 0,2634361 9 0,4207344 0,3159470 0,2633186 10 0,4208459 0,3159000 0,2632540 11 0,4209176 0,3158654 0,2632170 12 0,4209640 0,3158409 0,2631951 13 0,4209943 0,3158240 0,2631816 14 0,4210142 0,3158126 0,2631732 15 0,4210272 0,3158048 0,2631679 16 0,4210358 0,3157997 0,2631644 17 0,4210415 0,3157962 0,2631622 18 0,4210452 0,3157939 0,2631607 19 0,4210477 0,3157924 0,2631597 20 0,4210494 0,3157914 0,2631591 33

Όπως βλέπουμε από τη μελέτη πιθανοτήτων που περιέχονται στον πίνακα, οι μεταβολές που σημειώνονται στα αντίστοιχα μερίδια της αγοράς γίνονται όλο και μικρότερες από περίοδο σε περίοδο. Αν λάβουμε δε υπόψη, μόνο τα τέσσερα πρώτα δεκαδικά ψηφία θα δούμε ότι μετά την περίοδο 8 οι τιμές των πιθανοτήτων πρακτικά δεν αλλάζουν. Άρα μπορούμε να πούμε ότι το σύστημα φθάνει σε μια κατάσταση ισορροπίας όπου τα τελικά μερίδια της αγοράς θα είναι 42,1% για το ΑΛΦΑ και 31,6% για το ΒΗΤΑ και 26,3% για το ΔΕΛΤΑ. Πως όμως μπορεί να είμαστε σίγουροι ότι μια κατάσταση ισορροπίας πράγματι ισχύει και ποιες είναι οι τιμές των πιθανοτήτων όταν το σύστημα φτάσει σε κατάσταση ισορροπία. Εξ ορισμού η απαραίτητη συνθήκη για να έχουμε κατάσταση ισορροπίας είναι να μην μεταβάλλονται οι τιμές των πιθανοτήτων που αντιστοιχούν στις πιθανές καταστάσεις του συστήματος από περίοδο σε περίοδο. Δηλαδή αν η πιθανότητα για την κατάσταση 1 είναι Π 1, αυτή να παραμείνει η ίδια και τη επόμενη χρονική στιγμή, παρόλο ότι θα γίνουν μεταβάσεις από άλλες καταστάσεις στην κατάσταση 1. Θέλουμε επομένως το αποτέλεσμα των μεταβάσεων από κατάσταση σε κατάσταση να είναι μηδενικό για όλες τις καταστάσεις. Ας θεωρήσουμε λοιπόν: ισορροπίας. = το διάνυσμα των πιθανοτήτων που αντιστοιχεί στην κατάσταση Τότε και την επόμενη χρονική στιγμή μετά τον υπολογισμό των μεταβάσεων από κατάσταση σε κατάσταση το διάνυσμα πιθανοτήτων θα παραμείνει το ίδιο. Το διάνυσμα όμως των πιθανοτήτων μετά την εφαρμογή του πίνακα μεταβάσεων όπως είδαμε προηγουμένως, δίνεται από τη σχέση p p* P Αναλυτικότερα η σχέση αυτή γράφεται: 34

p p... p ( p, p,..., p ) ( p, p,..., p ]* p p... p p p... p 11 12 1 1 2 1 2 21 22 2 1 2 όπου p1, p2, κοκ είναι οι πιθανότητες να βρεθεί το σύστημα τελικά στην κατάσταση 1, 2 κοκ. Εφ όσον αναφερόμαστε σε κατάσταση ισορροπίας, οι τιμές των πιθανοτήτων p1, p2, κοκ παραμένουν σταθερές από περίοδο σε περίοδο έστω και αν σημειώνονται μεταπηδήσεις από κατάσταση σε κατάσταση. Η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφεί σαν ένα σύστημα ν εξισώσεων με ν αγνώστους: p 1 = p 11 *p 1 + p 21 *p 2 + p ν1 *p 1 p 2 = p 12 *p 1 + p 22 *p 2 + p ν2 *p ν p ν = p 1ν *p 1 + p 2ν *p 2 + p νν *p ν Αν επίσης λάβουμε υπ όψη την εξίσωση: p 1 + p 2 + + p ν = 1 (το άθροισμα των πιθανοτήτων των καταστάσεων είναι 100%) και απαλείψουμε μια από τις αρχικές ν εξισώσεις (οποιαδήποτε) επειδή είναι γραμμικά εξαρτημένες τότε η λύση του συστήματος που προκύπτει ορίζει τις πιθανότητες ισορροπίας που αντιστοιχούν στις διάφορες καταστάσεις όταν το σύστημα φτάσει σε συνθήκες ισορροπίας (μακροπρόθεσμα). 35

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΙΚΤΥΑ ΟΥΡΩΝ ΜΟΡΦΗΣ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ (PRODUCT FORM QUEUEIG ETWORKS) 36

3.1 Μέτρα λειτουργικότητας Στα προηγούμενα κεφάλαια ασχοληθήκαμε με τις Μαρκοβιανές διαδικασίες και με τα είδη των δικτύων ουρών αναμονής. Στη συνέχεια θα περιγράψουμε τα μέτρα λειτουργικότητας των δικτύων ουρών. Ένα από τα σημαντικότερα μέτρα είναι οι οριακές πιθανότητες, (Bolch, Grener, de Meer, Trved, 1998) (,,... ) k1 k2 k3 k πιθανότητα η ασυμπτωτική κατάσταση του συστήματος να είναι (,,... ) k1 k2 k3 k. Οι πιθανότητες αυτές ικανοποιούν την συνθήκη κανονικότητας, η οποία για κλειστά δίκτυα με συνολική χωρητικότητα K πελατών είναι kj K j1 ενώ για ανοικτά δίκτυα έχουμε ( k, k, k... k ) 1 1 2 3 ( k1, k2, k3... k ) 1. ( k) περιθώρια (margnal) πιθανότητα ο κόμβος να έχει ασυμπτωτικά k k πελάτες, όπου για ανοικτά δίκτυα έχουμε ( k) ( k1, k2, k3... k) k k. Από την άλλη μεριά, στα κλειστά δίκτυα ουρών, λαμβάνοντας υπόψη ότι υπάρχουν k kπελάτες έχουμε τον τύπο 37

έτσι ώστε το ( k) ( k) ( k, k, k... k ) k jk & kk j1 1 2 3 είναι άθροισμα των πιθανοτήτων των δυνατών καταστάσεων (,,... ) k1 k2 k3 k, 0 k K που ικανοποιούν με τη συνθήκη j1 k K ενώ ο κόμβος χαρακτηρίζεται από ένα σταθερό αριθμό k πελατών. Οι οριακές πιθανότητες που περιγράψαμε, μας επιτρέπουν να ορίσουμε και άλλα ενδιαφέροντα μέτρα λειτουργικότητας τόσο για τα ανοικτά, όσο και για τα κλειστά δίκτυα ουρών. Στα κλειστά δίκτυα θα λαμβάνουμε ως δεδομένο ότι ( k) 0 όταν k K. Ένα άλλο μέτρο λειτουργικότητας είναι η εκμετάλλευση (utlzaton) του κόμβου Έτσι έχουμε τον τύπο και εκφράζει την πιθανότητα ο κόμβος να είναι απασχολημένος. 1 (0) ( k) k1 m. Το τρίτο μέτρο λειτουργικότητας είναι η διακίνηση (throughput) του κόμβου το κόμβο και αναπαριστά το ρυθμό με τον οποίο οι εργασίες εγκαταλείπουν ( k) m k1. Θα πρέπει να σημειώσουμε ότι για έναν κόμβο σε ισορροπία, οι ρυθμοί άφιξης και διακίνησης είναι ίσοι. Επίσης, στη περίπτωση που θεωρήσουμε έναν κόμβο με πεπερασμένο χώρο, ο νέος πελάτης που έρχεται στον κόμβο αυτό μπορεί να χαθεί αν ο χώρος είναι γεμάτος, δηλαδή δεν θα έχει τη δυνατότητα εισόδου στο σύστημα. Στη περίπτωση αυτή η διακίνηση του κόμβου θα είναι μικρότερη από το ρυθμό άφιξης των πελατών. 38

Ένα άλλο σημαντικό μέτρο είναι η ολική διακίνηση (overall throughput), η οποία αναπαριστά, για ένα ανοιχτό δίκτυο, το ρυθμό με τον οποίο οι πελάτες εγκαταλείπουν το σύστημα 1. Η ολική διακίνηση σε ένα κλειστό δίκτυο ορίζεται σαν η διακίνηση για συγκεκριμένο κόμβο ένα κλειστό δίκτυο είναι για τον οποίο ισχύει e 1. Έτσι η ολική διακίνηση για e. Ένα άλλο μέτρο λειτουργικότητας είναι το μέσο μήκος της ουράς στον κόμβο που δίνεται από το τύπο Q ( k m ) ( k) W km όπου W είναι ο μέσος χρόνος αναμονής στον κόμβο. Εάν ο ρυθμός εξυπηρέτησης είναι ανεξάρτητος του πλήθους των πελατών που υπάρχουν στον κόμβο, τότε ο μέσος χρόνος αναμονής για τον κόμβο είναι W 1 T όπου T είναι ο μέσος συνολικός χρόνος απόκρισης του κόμβου, δηλαδή ο μέσος συνολικός χρόνος παραμονής του πελάτη στον κόμβο. Τέλος, ένα άλλο σημαντικό μέτρο λειτουργικότητας είναι ο μέσος αριθμός των πελατών στον κόμβο 39

K k ( k) T k1. Η σχέση αυτή είναι ο λεγόμενος κανόνας του Lttle. 3.2 Δίκτυα τύπου Jackson Ο όρος «μορφή γινομένου» εισήχθη από τους Jackson και Gordon/ ewell οι οποίοι μελέτησαν τα ανοιχτά και κλειστά δίκτυα ουρών με εκθετική κατανομή των χρόνων άφιξης και εξυπηρέτησης. Η πειθαρχία των ουρών σε όλους τους κόμβους θεωρούμε ότι είναι FCFS. Το πιο σημαντικό αποτέλεσμα στη θεωρία των δικτύων ουρών αναμονής είναι γνωστό με την ονομασία μορφή γινομένου (Product Form) σύμφωνα με το οποίο οι στάσιμες πιθανότητες των καταστάσεων μπορούν να εκφραστούν σαν γινόμενο παραγόντων που περιγράφουν την κατάσταση για κάθε κόμβο (Bolch, Grener, de Meer, Trved, 1998). Το αποφασιστικό βήμα της ανάλυσης των δικτύων ουρών αναμονής επιτεύχθει από τον Jackson. Αυτός εξέτασε τα ανοιχτά δίκτυα ουρών και ανακάλυψε λύσεις της μορφής γινομένου. Τα ανοιχτά δίκτυα που εξετάζουμε πληρούν τις ακόλουθες υποθέσεις. Υπάρχει ένα μόνο είδος πελατών στο δίκτυο. Ο συνολικός αριθμός πελατών στο δίκτυο είναι απεριόριστος. Για καθένα από τους Ν κόμβους του δικτύου οι αφίξεις νέων πελατών από το εξωτερικό περιβάλλον είναι τύπου Posson. Ένας πελάτης μπορεί να εγκαταλείψει το δίκτυο από οποιονδήποτε κόμβο. Όλοι οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν την εκθετική κατανομή. Η πειθαρχία εξυπηρέτησης για κάθε κόμβο είναι FCFS. Ο κόμβος αποτελείται από m 1 όμοιους σταθμούς εξυπηρέτησης και με ρυθμό εξυπηρέτησης, 1,2,...,. Ο ρυθμός άφιξης 0, όπως και ο ρυθμός εξυπηρέτησης, μπορούν να εξαρτώνται από τον 40

αριθμό k των πελατών κάθε κόμβου. Στην περίπτωση αυτή έχουμε εξαρτώμενους ρυθμούς εξυπηρέτησης και άφιξης. Σημειώνουμε ότι ένας σταθμός εξυπηρέτησης με περισσότερους από ένα εξυπηρέτες και με σταθερό ρυθμό εξυπηρέτησης είναι ισοδύναμος με ένα σταθμό εξυπηρέτησης με ακριβώς ένα εξυπηρέτη και εξαρτώμενο ρυθμό εξυπηρέτησης k k m ( k) m k m θεώρημα Jackson Εάν σε ένα ανοιχτό δίκτυο ουρών αναμονής ισχύει m για όλους τους κόμβους 1,..., (ο ρυθμός αφίξεων βρίσκεται από το τύπο o j p j j1 ), τότε η στάσιμη πιθανότητα της κατάστασης του δικτύου μπορεί να εκφραστεί σαν γινόμενο των πιθανοτήτων καταστάσεων των μεμονωμένων κόμβων, δηλαδή ( k, k,..., k ) ( k ) ( k )... ( k ) 1 2 1 1 2 2 (3.1) Οι κόμβοι του δικτύου μπορούν να θεωρηθούν σαν ανεξάρτητες ουρές τύπου M/M/m με ρυθμό άφιξης και ρυθμό εξυπηρέτησης. Προκειμένου να αποδείξει το θεώρημα αυτό ο Jackson διαπίστωσε ότι η παραπάνω εξίσωση (3.1) ικανοποιεί τις εξισώσεις της ολικής ισορροπίας (Global Balance). Έτσι, οι περιθώριες πιθανότητες ( k ) τύπο για συστήματα της μορφής M/M/m μπορούν να υπολογιστούν από τον γνωστό 41

k ( m) (0) k! ( k ) m k m (0) m! k k m m (3.2) όπου το (0) προσδιορίζεται από τη συνθήκη k 0 ( k ) 1 έτσι ώστε ( m ) ( m ) m 1 k m 1 (0) ( ), 1 k 0 k!!(1 ) m m (3.3) Απόδειξη Αρκεί να αποδείξουμε ότι η εξίσωση (3.1) ικανοποιεί τις παρακάτω εξισώσεις ολικής ισορροπίας a ( k ) ( k1,..., k ) 1 1 1 1 ( k ) ( k,..., k 1,..., k ) o ( k 1) 1 pj ( k1,..., k 1,..., k ) 1 j1 ( k 1) p ( k,..., k 1,..., k 1,..., k ) 1 j1 j j j j 1 j (3.4) η δείκτρια (ndcator) συνάρτηση ( k ) δίνεται από το τύπο 0 k 0 ( k ) 1 k 0 (3.5) Η εξίσωση k k m ( k) m k m (3.6) 42

μας δίνει τον παράγοντα του εξαρτημένου ρυθμού εξυπηρέτησης. Για την απόδειξη θα χρησιμοποιήσουμε τις ακόλουθες σχέσεις ( k1,..., k 1,..., k ) 1( k1)... ( k 1)... ( k ), ( k,..., k,..., k ) ( k )... ( k )... ( k ) ( k 1) 1 1 1 ( k1,..., k 1,..., k ) ( k ) ( k,..., k,..., k ) 1 (3.7) ( k1,..., k j 1,..., k 1,..., k ) j ( k ) ( k,..., k,..., k,..., k ) ( k 1) 1 j j j j Αν διαιρέσουμε την εξίσωση (3.4) με (,,..., ) k1 k2 k και χρησιμοποιήσουμε τις εξισώσεις (3.7), τότε έχοντας υπ όψη ότι ( k ) ( k ) ( k ) παίρνουμε a ( k ) 1 p o ( k ) ( k ) p j j j 1 1 1 j1 1 1 j1 (3.8) Ο πρώτος όρος της (3.8) μπορεί να γραφεί 1 p j o 1 j1 1 ενώ ο τελευταίος όρος γράφεται ( k ) ( k ) o pj j ( k ) 1 j1 1 1 Αντικαθιστώντας τα αποτελέσματα αυτά στο δεξί μέλος της εξίσωσης (3.8) παίρνουμε το αριστερό της μέλος. 43

Ο αλγόριθμος του θεωρήματος του Jackson μπορεί να υπολογιστεί με τα ακόλουθα τρία βήματα: 1. Για όλους τους κόμβους, 1,2,..., υπολογίζουμε τους ρυθμούς άφιξης για τα ανοιχτά δίκτυα ουρών από τη σχέση o j p j j1. 2. Θεωρούμε κάθε κόμβο ως ένα σύστημα ουρών αναμονής τύπου M/M/m. Ελέγχουμε αν ισχύει η συνθήκη εργοδικότητας 1 και υπολογίζουμε τις πιθανότητες και τα μέτρα λειτουργικότητας για κάθε κόμβο. 3. Χρησιμοποιούμε τη συνθήκη (3.1) για να υπολογίσουμε τις στάσιμες πιθανότητες του κάθε κόμβου. Σημειώνουμε ότι σε ένα δίκτυο τύπου Jackson με ανάδραση (feedback) ενώ οι διαδικασίες αφίξεων στους κόμβους δεν είναι γενικώς είναι τύπου Posson, εντούτοις οι κόμβοι συμπεριφέρονται σαν ανεξάρτητοι τύπου M/M/m. Η ιδιότητα αυτή είναι που προσδιορίζει τη σημαντικότητα του θεωρήματος του Jackson. 3.3 Δίκτυα τύπου Gordon/ ewell Οι Gordon και ewell μελέτησαν τα κλειστά δίκτυα ουρών για τα οποία έκαναν τις ίδιες υποθέσεις όπως στα ανοιχτά δίκτυα ουρών, εκτός από το γεγονός ότι δεν εισέρχονται η αποχωρούν πελάτες από το σύστημα ( 0). Ο περιορισμός αυτός σημαίνει ότι το πλήθος K των πελατών του συστήματος είναι πάντα σταθερό (Bolch, Grener, de Meer, Trved, 1998) o o K k 1. 44

Συνεπώς το πλήθος των δυνατών καταστάσεων του συστήματος είναι πεπερασμένο και δίνεται από πλήθος των συνδυασμών των αντικειμένων ανά ( 1) K 1 1 ( K1) οι οποίοι περιγράφουν το πλήθος των τρόπων κατανομής των K πελατών στους κόμβους. Σύμφωνα με το θεώρημα των Gordon/ ewell η πιθανότητα των καταστάσεων του δικτύου όταν αυτό βρίσκεται σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας δίνεται από τη μορφή γινομένου 1 ( k,..., k ) F ( k ) (3.9) 1 GK ( ) 1 Εδώ το GK ( ) είναι γνωστό ως σταθερά κανονικοποίησης. Προσδιορίζεται από τη συνθήκη σύμφωνα με την οποία το άθροισμα των πιθανοτήτων των καταστάσεων του δικτύου ισούται με 1,. (3.10) 1 k K 1 G( K) F ( k ) Τα F( k ) είναι συναρτήσεις που αντιστοιχούν στις πιθανότητες των καταστάσεων ( k ) για τον κόμβο και δίνονται από το τύπο e F( k) k 1 k (3.11) όπου η συνάρτηση k δίνεται από το τύπο 45

k! k m km k m! m k m 1 m 1 (3.12) Στις εφαρμογές υπάρχει δυνατότητα χρησιμοποίησης μιας πιο γενικής μορφής της συνάρτησης F( k ). Σε μια τέτοια γενικευμένη μορφή, ο ρυθμός εξυπηρέτησης εξαρτάται από το πλήθος των πελατών του κόμβου. Έτσι έχουμε : F( k ) k e A( k ) (3.13) όπου k ( j) k 0 A( k) j1 1 k 0 (3.14) Απόδειξη Οι Gordon/ ewell απέδειξαν ότι η σχέση (3.9) πληροί τις εξισώσεις της ολικής ισορροπίας 1 j1 1 k ( k ) k,..., k 1 k k 1 p ( k,..., k 1,..., k 1,..., k ) j j j j 1 j (3.14) όπου το αριστερό μέρος περιγράφει το ρυθμό αποχώρησης από την κατάσταση k,..., 1 k ενώ το δεξί μέρος περιγράφει το ρυθμό άφιξης από τις γειτονικές καταστάσεις προς την κατάσταση αυτή. Οι συναρτήσεις k και 46

( k ) δίνονται από τις σχέσεις (3.5) και (3.6). Στη συνέχεια θα ορίσουμε τον εξής μετασχηματισμό k,..., k 1 Q k1,..., k k 1 (3.15) και k,..., k 1,.., k 1,... k 1 j k Q k1,..., k 1,..., k 1,..., k k 1 j j 1 j k (3.16) Αν αντικαταστήσουμε τις (3.15) και (3.16) στην (3.14) θα πάρουμε 1 k k Qk,..., k 1 1 k k j k j 1 j p j Q k1,..., k 1,..., k j 1,..., k j1 1 j k j 1 1 k k Η εξίσωση αυτή μπορεί να απλοποιηθεί με τη βοήθεια της σχέσης k k k. Έτσι έχουμε 47

1 j1 1 k Qk,..., k 1 k p Qk1,..., k 1,..., k 1,..., k j j j (3.17) και το Qk,..., 1 k μπορεί να γραφεί k Qk1,..., k x c 1 (3.18) όπου x e / είναι η σχετική εκμετάλευση και το c είναι σταθερά. Αντικαθιστώντας την (3.18) στην (3.17) έχουμε 1 k x... x c k k 1 j1 1 k 1 1 k k j k j j 1...... j... k p x x x x c x k p x x c k k j j j 1... j1 1 x j k k j p j 1 j1 1 x x. Η παραπάνω έκφραση μπορεί να γραφτεί και ως εξής j k pj 1 j1 x x 0. Επειδή τουλάχιστον ένα k δεν είναι μηδέν, προκύπτει ότι η παρένθεση είναι 0. Έτσι, θα θεωρήσουμε το συστήματος x σαν συνάρτηση του γραμμικού 48

x x p j j j1 όπου x e / και e e p j j j1. Συνεπώς η σχέση (3.18) ισχύει και μαζί με τις σχέσεις (3.15) και (3.11) παίρνουμε την (3.9). Έτσι το θεώρημα των Gordon/ ewell αποδίδει μια λύση μορφής γινομένου. Στη γενική μορφή λέει ότι οι πιθανότητες κατάστασης k1, k2,..., k δίνονται σαν γινόμενο των συναρτήσεων F k, 1,..., που ορίζονται από απλούς κόμβους. Είναι ενδιαφέρον να σημειώσουμε ότι αν αντικαταστήσουμε στην εξίσωση (3.9) το F k πιθανοτήτων κατάστασης αριθμός. με το k1, k2,..., k,1 L F k δεν αλλάζει όσο το, τότε η λύση των L είναι θετικός Η μέθοδος των Gordon/ ewell για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων κατάστασης μπορεί να συνοψιστεί στα ακόλουθα τέσσερα βήματα: 1. Υπολογίζουμε το ουρών. 2. Για κάθε 1... e για κάθε κόμβο 1... υπολογίζουμε τη συνάρτηση για τα κλειστά δίκτυα F k 3. Υπολογίζουμε τη σταθερά κανονικοποίησης GK από τη σχέση (3.10) 4. Υπολογίζουμε τις πιθανότητες κατάστασης του δικτύου από τη σχέση (3.9). Όλα τα υπόλοιπα μέτρα λειτουργικότητας μπορούν να προσδιοριστούν από τις περιθώριες πιθανότητες, (οι οποίες προκύπτουν από τις πιθανότητες κατάστασης με τη βοήθεια της σχέσης. ( k) ( k, k, k... k ) k K j1 1 2 3 ). 49

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΟΙ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΔΙΚΤΥΩΝ ΟΥΡΩΝ 50

4.1 Ο αλγόριθμος της συνέλιξης (The convoluton algorthm) Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούμε τους υπολογιστικούς αλγόριθμους των δικτύων ουρών. Έχουν αναπτυχθεί πολλοί αποτελεσματικοί αλγόριθμοι για τον υπολογισμό των μέτρων λειτουργικότητας μορφής γινομένου των δικτύων ουρών αναμονής. Οι πιο σημαντικοί είναι ο αλγόριθμος της συνέλιξης (the convoluton algorthm) και η ανάλυση της μέσης τιμής (mean value analyss). Ο αλγόριθμος της συνέλιξης αποτελεί μια αποτελεσματική τεχνική για τον υπολογισμό της σταθεράς κανονικοποίησης, που είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό των μέτρων λειτουργικότητας του δικτύου. Αντίθετα, η ανάλυση της μέσης τιμής είναι μια τεχνική όπου οι μέσες τιμές των μέτρων λειτουργικότητας μπορούν να υπολογιστούν χωρίς τον υπολογισμό της σταθεράς κανονικοποίησης (Bolch, Grener, de Meer, Trved, 1998). Ο αλγόριθμος της συνέλιξης είναι ένας από τους πρώτους αποτελεσματικούς αλγόριθμους για την ανάλυση των κλειστών δικτύων ουρών αναμονής μορφής γινομένου και χρησιμοποιείται μέχρι και σήμερα. Η τεχνική αυτή εκφράζει τη μέθοδο του καθορισμού της σταθεράς κανονικοποίησης συνάρτηση Gk από τη F k που είναι ίδια με τη συνέλιξη δύο κατανομών πιθανοτήτων. Μπορούμε να εκφράσουμε τη συνέλιξη με το σύμβολο το παρακάτω τρόπο. Αν AB, και C είναι διανύσματα με μήκος που καθορίζεται με K 1, τότε η συνέλιξη C A B καθορίζεται να είναι: k C k A j B k j k 0,..., K j0. Οι πιθανότητες κατάστασης για τα κλειστά δίκτυα ουρών μορφής γινομένου με κόμβους μπορούν να εκφραστούν με τον ακόλουθο τρόπο 51

1 k,..., k F k 1 G K 1 όπου F k G K k k 1 1 είναι η σταθερά κανονικοποίησης. Ο υπολογισμός του G K γίνεται επαναληπτικά πάνω στο πλήθος των κόμβων του συστήματος και στο πλήθος των πελατών του κάθε κόμβου. Έτσι για n1,2,..., έχουμε τις βοηθητικές εξισώσεις G k F k n n 1 k k 1 n οπότε η ζητούμενη σταθερά κανονικοποίησης είναι G K G K. Αν στο παραπάνω τύπο παίρναμε ως δεδομένο ότι το n 1 θα είχαμε k n k n1 k G k F k F j F k F j G k j n n n n1 j0 n 1 j0 n 1 j0 k k k k j 1& kn j 1& kn0 ενώ για n 1 θα έχουμε G1 k F1 k, k 1,..., K. 52

Η αρχική συνθήκη όμως του τύπου είναι G 0 1 n 1,..., n. Η μέθοδος της συνέλιξης για τον υπολογισμό της σταθεράς κανονικοποίησης Gn K δίνεται αναλυτικά πιο τους πιο πάνω τύπους. Ο υπολογισμός του Gn k παριστάνεται εύκολα στο παρακάτω πίνακα. 1 n-1 n. 0 1. 1 F 1 (1). 0 n1 n G F k G 1 1 1 F k n n G n 1.. 1 k k........... k-1 F 1 (k- 1). k F 1 (k). G k F k n1 1 G k F n n1 n 0.. Gn k. V G k G k...... K F 1 (K).. Gn K G K G K Στο πίνακα αυτό βλέπουμε τις τιμές των συναρτήσεων που χρειάζονται για τον υπολογισμό του Gn K. Αντικειμενικός στόχος του αλγορίθμου είναι να υπολογίσουμε την τελευταία τιμή τις τελευταίας στήλης, γιατί η τιμή αυτή είναι η ζητούμενη σταθερά κανονικοποίησης GK. Οι τιμές του G K για k 0,1,..., K1 στη τελευταία στήλη είναι εξίσου χρήσιμες για να υπολογίσουμε τα μέτρα λειτουργικότητας του συστήματος. Ο Buzen ανέπτυξε αυτούς τους αλγόριθμους για την σταθερά κανονικοποίησης G K και τις συναρτήσεις δικτύων ουρών αναμονής. F k για τον υπολογισμό των μέτρων λειτουργικότητας των 53

(Α) Η περιθώρια πιθανότητα ότι υπάρχουν ακριβώς k k πελάτες στο κόμβο δίνεται από το τύπο ( k) ( k, k, k... k ) k K j1 1 2 3. Αν αντικαταστήσουμε με το τύπο 1 k,..., k F k 1 G K 1 θα πάρουμε 1 k Fj k j Fj k j G K j1 G K j1 k jk k jk & j j1 j1 & kk & kk F k G K k G K F k (4.1) Τότε το G k μπορεί να ερμηνευτεί σαν η σταθερά κανονικοποίησης ενός δικτύου με k πελάτες από το οποίο ο κόμβος έχει αφαιρεθεί. () j j j1 kj K & j j1 & k Kk G ( k) F ( k ) (4.2) (Β) Η διακίνηση για τον κόμβο στην περίπτωση εξάρτησης από το φόρτο η όχι δίνεται από τον παρακάτω τύπο G( K 1) G( k 1) ( ) και ( K) e (4.3) G( K) G( K) 54

(Γ) Η εκμετάλλευση ενός κόμβου στην περίπτωση εξάρτησης από το φόρτο μπορεί να εκφραστεί σαν e G K k m G K (4.4) (Δ) Ο μέσος αριθμός πελατών για ένα κόμβο με ένα σημείο εξυπηρέτησης μπορεί να υπολογιστεί από τη πιο κάτω συνθήκη K k K e G K k k1 eg K 1 (4.5) (Ε) Ο μέσος χρόνος απόκρισης των πελατών ενός κόμβου μπορεί να προσδιοριστεί με τη βοήθεια του θεωρήματος του Lttle. Έτσι σε ένα κόμβο με ένα σημείο εξυπηρέτησης θα έχουμε T k K K e G K k k1 eg K 1 (4.6) 4.2 Η ανάλυση της μέσης τιμής (Mean value analyss) Η ανάλυση της μέσης τιμής αναπτύχθηκε από τους Reser και Lavenberg για την ανάλυση των κλειστών δικτύων ουρών μορφής γινομένου. Το πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι τα μέτρα λειτουργικότητας μπορούν να υπολογιστούν χωρίς τον υπολογισμό της σταθεράς κανονικοποίησης. Η μέθοδος αυτή βασίζεται σε δύο θεμελιώδεις εξισώσεις και μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε τη μέση τιμή των μέτρων που μας ενδιαφέρουν όπως είναι ο μέσος χρόνος αναμονής, η διακίνηση και ο μέσος όρος των πελατών σε κάθε κόμβο (Bolch, Grener, de Meer, Trved, 1998). Η μέθοδος της ανάλυσης της μέσης τιμής βασίζεται σε δύο απλούς 55