ΜΡΟΣ Β 4. ΣΤΟΙΧΙΑ ΚΑΙ ΜΒΑΔΟΝ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 375 4. ΣΤΟΙΧΙΑ ΚΑΙ ΜΒΑΔΟΝ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ Το ορθό ρίσμα και τα στοιχεία του κύος Τριγωνικό ρίσμα Στη Στερεοµετρία τα αραάνω στερεά σώµατα ονοµάζονται ορθά ρίσµατα. Τα ορθά ρίσµατα θα τα λέµε αλά ρίσµατα. Τα ρίσματα έχουν δύο έδρες αράλληλες, ου είναι ίσα ύγωνα και τις άλλες έδρες τους ου είναι ορθογώνια αραλληλόγραµµα και ονοµάζονται αράλευρες έδρες. Οι δύο αράλληλες έδρες τους λέγονται άσεις του ρίσµατος. Οι αράλευρες έδρες σχηµατίζουν την αράλευρη ειφάνεια του ρίσµατος. Οι λευρές των εδρών του ρίσµατος ονοµάζονται ακµές. Η αόσταση των δύο άσεων, ου είναι ίση µε το ύψος µιας αράλευρης έδρας, λέγεται ύψος του ρίσµατος. Αν οι άσεις του ρίσµατος είναι τρίγωνο, εντάγωνο κ.ο.κ, τότε αντίστοιχα το ρίσµα λέγεται τριγωνικό, ενταγωνικό κ.ο.κ. μαδόν ειφάνειας ορθού ρίσματος Το εµαδόν της αράλευρης ειφάνειας ενός ρίσµατος ισούται µε το γινόµενο της εριµέτρου της άσης του εί το ύψος του ρίσµατος. ηλαδή: (ερίµετρος άσης) (ύψος) Το ικό εµαδόν ενός ρίσµατος () είναι το άθροισµα του εµαδού της αράλευρης ειφάνειας και των εµαδών των δύο άσεων. ηλαδή: + Κύλινδρος Η αράλευρη ειφάνεια λέγεται κυρτή ειφάνεια του κυλίνδρου. Η αόσταση των δύο άσεων λέγεται ύψος του κυλίνδρου.
376 ΜΡΟΣ Β 4. ΣΤΟΙΧΙΑ ΚΑΙ ΜΒΑΔΟΝ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ μαδόν ειφάνειας κυλίνδρου Το εµαδόν της αράλευρης ειφάνειας ενός κυλίνδρου ισούται µε την ερίµετρο της άσης (ου είναι ίση µε ρ) εί το ύψος του κυλίνδρου. ηλαδή : (ερίµετρος άσης) (ύψος) ή ρ υ Το ικό εµαδόν ενός κυλίνδρου, ισούται µε το εµαδόν της αράλευρης ειφάνειας και τα εµαδά των δύο άσεων. ηλαδή: + ρ.υ+ρ ΡΩΤΗΣΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ Να κυκλώσετε τη σωστή αάντηση σε καθεµιά αό τις αρακάτω ροτάσεις. 1. Ένα ρίσµα µε άση εντάγωνο έχει: α) A: 5 έδρες Β: 6 έδρες Γ: 7 έδρες. ) A: 8 κορυφές Β: 10 κορυφές Γ: 1 κορυφές. γ) A: 10 ακµές Β: 15 ακµές Γ: 1 ακµές. α) Ένα ρίσµα µε άση εντάγωνο έχει 7 έδρες,δηλαδή το Γ ) και γ) ίσης έχει 10 κορυφές και 15 ακμές, δηλαδή το Β και στις δύο εριτώσεις.. ίνεται ρίσµα µε άση τετράγωνο λευράς 10cm και ύψους 8cm. α) Το εµαδόν της αράλευρης ειφάνειας του είναι: A: 400cm Β: 30cm Γ: 800cm. ) Το ικό εµαδόν του είναι: A: 600cm Β: 50cm Γ: 1λίτρο. α) (ερίµετρος άσης) (ύψος)(4.10).840.830 cm,δηλαδή το Β ) + 30+.10 30+0050 cm, δηλαδή το Β. 3. Ένας κύλινδρος έχει διάµετρο άσης 10cm και ύψος 8cm. α) Το εµαδόν της κυρτής ειφάνειας του είναι: A: 40 cm Β: 60 cm Γ: 80 cm. ) Το ικό εµαδόν του είναι: A: 100 cm Β: 110 cm Γ: 10 cm. α) Το εµαδόν της κυρτής ειφάνειας του είναι: (ερίµετρος άσης) (ύψος) ή ρ υ.5.880.δηλαδή το Γ. ) Το ικό εµαδόν του είναι: + 80+.5 80+50130 cm.
ΜΡΟΣ Β 4. ΣΤΟΙΧΙΑ ΚΑΙ ΜΒΑΔΟΝ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 377 Α Σ Κ Η Σ Ι Σ ΑΣΚΗΣΗ 1 Να συµληρώσετε τον αρακάτω ίνακα όου φαίνεται η ερίµετρος της άσης, το ύψος και το εµαδόν της αράλευρης ειφάνειας ορθού ρίσµατος. ερίμετρος άσης 8 7 4 5 0,5 ύψος υ 5 10 6,8 10 μαδόν 40 70 4 14 5 (ερίµετρος άσης) (ύψος)8.540 (ερίµετρος άσης) (ύψος) 707.υ υ10. (ερίµετρος άσης) (ύψος) 4Π Β.6 Π4 (ερίµετρος άσης) (ύψος) 4Π.6 Π 4. (ερίµετρος άσης) (ύψος) 145.υ υ,8. (ερίµετρος άσης) (ύψος) 5Π.10 Π 0,5 Χρησιμοοιήσαμε κατά κύριο λόγο τον τύο: (ερίµετρος άσης) (ύψος) ΑΣΚΗΣΗ Να ρείτε το εµαδόν της αράλευρης ειφάνειας τριγωνικού ρίσµατος του οοίου η άση είναι τρίγωνο µε λευρές α3dm, 5dm, γ6dm και ύψος 0,8cm. (ερίµετρος άσης) (ύψος) Αφού μετατρέψουμε τα dm σε cm. (30+50+60).0,811 cm Χρησιμοοιούμε τον τύο: (ερίµετρος άσης) (ύψος) ΑΣΚΗΣΗ 3 Έστω α,, γ τα µήκη των λευρών της άσης ενός ορθού τριγωνικού ρίσµατος,υ το ύψος του και το εµαδόν της αράλευρης ειφάνειας. Να συµληρώσετε τον αρακάτω ίνακα. α 3 3 5 3 5 5 γ 4 13 5 υ 5 4 4 8 5 45 40 80 80 45 Δ Β α Γ
378 ΜΡΟΣ Β 4. ΣΤΟΙΧΙΑ ΚΑΙ ΜΒΑΔΟΝ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ (ερίµετρος άσης) (ύψος)(+3+4).545. (ερίµετρος άσης) (ύψος) 40(3+5+).υ 10υ40 υ4 (ερίµετρος άσης) (ύψος) 80(+5+γ).4 7+γ0 γ13. (ερίµετρος άσης) (ύψος) 80(3++5).8 8+10. (ερίµετρος άσης) (ύψος) 45(α++).5 α+49 α5. Χρησιμοοιούμε τον τύο: (ερίµετρος άσης) (ύψος) Και αντικαθιστώντας κάθε φορά τα δεδομένα ειλύουμε τις εξιςσώσεις ου ροκύτουν. ΑΣΚΗΣΗ 4 Θέλουµε να άψουµε τους τοίχους ενός δωµατίου ου έχει σχήµα ορθογωνίου αραλληλειέδου µε διαστάσεις: λάτος 4m, µήκος 5m και ύψος 3m. Πόσα κιλά χρώµα ρέει να αγοράσουµε, αν είναι γνωστό ότι ένα κιλό χρώµατος καλύτει ερίου 9m. (ερίµετρος άσης) (ύψος) (4+4+5+5).354 m. Οότε θα χρειαστούν Χρησιμοοιούμε τον τύο: (ερίµετρος άσης) 54 6 kg. (ύψος) 9 ΑΣΚΗΣΗ 5 Nα υογίσετε το ικό εµαδόν ορθού ρίσµατος µε ύψος υ 0 cm και άσεις ισόλευρα τρίγωνα λευράς 4 cm. + (ερίµετρος άσης) (ύψος) + 4 3 ( 4 + 4 + 4 ).0 +. 40 + 8 4 40 + 13,86 53,86 cm ΑΣΚΗΣΗ 6 3 H σκηνή ενός κάµινγκ είναι κατασκευασµένη αό ύφασµα (µαζί µε το δάεδό της) και έχει διαστάσεις ου φαίνονται στο σχήµα. Πόσα τετραγωνικά µέτρα ύφασµα χρειάστηκαν για την κατασκευή της; Χρησιμοοιούμε τους τύους, + Και το εμαδόν ισεύρου τριγώνου λευράς α. α E 4 3
ΜΡΟΣ Β 4. ΣΤΟΙΧΙΑ ΚΑΙ ΜΒΑΔΟΝ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ 379 1,6 + 0,5 + 1,7 + 1,7 + 0,5 6 m ( ερίμετρος άσης)(. ύψος) 6. 1m υ 0,8 ( + Β ). ( 0,5 ). + 0,8,5. m + 1 +. 16 m ΑΣΚΗΣΗ 7 Παρατηρούμε ότι η σκηνή είναι ρίσμα με άσεις εντάγωνα και ρίσκουμε τη ερίμετρο κάθε άσης Το ύψος του ρίσματος είναι m Βρίσκουμε το εμαδόν της αράλευρης ειφάνειας με τον τύο (ερίµετρος άσης) (ύψος) Η άση του ρίσματος χωρίζεται σε δύο τραέζια και ρίσκουμε το εμαδόν της. Βρίσκουμε το ικό εμαδό με τον τύο + Να ρεθεί το εµαδόν της αράλευρης ειφάνειας και το ικό εµαδόν ενός κυλίνδρου, όταν: α) Έχει ακτίνα άσης 3 cm και ύψος 5 cm. ) Έχει διάµετρο άσης 4 cm και ύψος 6 cm. γ) Έχει ερίµετρο άσης 15,7 cm και ύψος 3 cm. δ) Έχει εµαδόν άσης 50,4 cm και ύψος dm. α) ρ υ.3.530 cm. ρ.υ+ρ 30+.3 48 cm. ) ρ υ..64 cm. ρ.υ+ρ 4+. 4+83 cm. γ) ρ υ15,7.350,4 cm. ρ.υ+ρ 50,4+.3,14.,5 50,4+39,5541,65 cm. δ) ρ υ.4.0160 cm. ρ.υ+ρ 160+..4 19cm α) Χρησιμοοιούμε τους τύους, ρ υ, ρ.υ+ρ. )Χρησιμοοιούμε τους τύους,ρ υ, ρ.υ+ρ. γ) Χρησιμοοιούμε τους τύους, ρ υ, ρ.υ+ρ. αλλά και για να ρούμε την ακτίνα ρ αό την ερίμετρο άσης έχουμε ρ15,7 6,8ρ15,7 ρ,5 cm. δ) Αό το εμαδόν της άσης ου είναι ρ 50,4 3,14ρ 50,4 ρ 16 ρ4cm. Χρησιμοοιούμε τους τύους, ρ υ, ρ.υ+ρ ΑΣΚΗΣΗ 8 Να συµληρώσετε τον αρακάτω ίνακα ου συνδέει την ακτίνα της άσης και το ύψος ενός κυλίνδρου µε το εµαδόν της αράλευρης ειφάνειας και το ικό εµαδόν. ακτίνα άσης (cm) 3 10 10 1 ύψος κυλίνδρου (cm) 5 4 1 9 εμαδόν (cm ) 94, 50,4 6,8 15,6 56,5 Ολικό εμαδόν (cm ) 150,7 75,5 690,8 753,6 6,8
380 ΜΡΟΣ Β 4. ΣΤΟΙΧΙΑ ΚΑΙ ΜΒΑΔΟΝ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΚΥΛΙΝΔΡΟΥ ρ υ.3.594, cm ρ.υ+ρ 30+.3 150,7 cm. 50,4 ρ. υ υ 4cm ρ.3,14. + ρ. υ + ρ 50,4 +.3,14. 50,4 + 5,1 75,5 cm 6,8 ρ. υ ρ 10cm υ.3,14.1 + 6,8 +.3,14.1 6,8ρ + ρ. υ + ρ 753,6 15,6 +.3,14. ρ ρ. υ υ ρ 68 ρ + ρ. υ E 6,8 + 6,8 69,08 cm ρ. υ + ρ 6,8.3,14.1. υ +.3,14.1 100 ρ 10 cm ρ. υ + ρ 15,6.3,14.10 cm 6,8 6,8υ + 6,8 6,8υ 6,8 6,8 6,8υ 56,5 υ 9 cm ΑΣΚΗΣΗ 9.3,14.1.9 56,5 cm Στην ρώτη στήλη Χρησιμοοιούμε τους τύους ρ υ, ρ.υ+ρ. Στην δεύτερη στήλη ειλύουμε ρώτα τον τύο ρ υ ως ρος υ για να το υογίσουμε και κατόιν ρίσκουμε το.στην τρίτη σήλη ειλύουμε ρώτα τον τύο ρ υ ως ρος ρ για να το υογίσουμε και κατόιν ρίσκουμε το.στην τέταρτη στήλη ειλύουμε ρώτα τον τύο ρ.υ+ρ. ως ρος ρ για να το υογίσουμε και κατόιν ειλύοντας τον τύο ρ υ ως ρος υ και αντικαθιστώντας το ρ το υογίζουμε. Στην έμτη στήλη ειλύουμε ρώτα τον τύο ρ.υ+ρ. ως ρος υ για να το υογίσουμε και κατόιν αντικαθιστώντας στον ρ υ το υ υογίζουμε το. Το κυλινδρικό κουτί µιας κονσέρας έχει ύψος 1 cm και ακτίνα άσης 3 cm. Το υλικό των άσεων κοστίζει 0,5 το τετραγωνικό µέτρο, ενώ το υλικό της κυρτής ειφάνειας κοστίζει 0,3 το τετραγωνικό µέτρο. Πόσο κοστίζει το υλικό για να κατασκευάσουµε 1000 κουτιά; ρ υ.3,14.3 6,08 cm. ρ.3,14.3 56,5 cm 1000.6,086.080 cm Το (1000 κουτιά)1000.56,556.50 cm ή 5,65 m Το συνικό κόστος του υλικού θα είναι:0.3.,608+0,5.5,650 6,784+,869,6084 ή 9,61 Χρησιμοοιούμε τους τύους, ρ υ, ρ.υ+ ρ.