ii) Έαν αρχικά ο δίσκος κρατείται στην θέση, όπου η ΟΚ είναι οριζόν τια και αφεθεί ελευθερος να βρεθούν οι επιταχύνσεις a!

Ένας κυκλικός δίσκος ακτίνας R φέρει κυκλική οπή ακτίνας R/, της οποίας το κέντρο Κ βρίσκεται σε απόσταση R/ από το κέντρο Ο του δίσκου, µπορεί δε να κυλίεται σε µη λείο οριζόντιο έδαφος. i) Εκτρέπουµε τον δίσκο από την θέση ισορροπίας του, ώστε η ευθεία ΟΚ να σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση µικρή γωνία και τον αφήνουµε ελεύθερο. Με την προυπόθεση ότι ο δίσκος κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο έδαφος, να δείξετε ότι η κίνησή του είναι περιοδική και να υπολογιστεί η περίοδος της. ii) Έαν αρχικά ο δίσκος κρατείται στην θέση, όπου η ΟΚ είναι οριζόν τια και αφεθεί ελευθερος να βρεθούν οι επιταχύνσεις a O και a C του γεωµετρικού κέντρου Ο και του κέντρου µάζας του C αντιστοίχως του δίσκου την στιγµή t=0. Επίπλέον να δείξετε ότι οι δύο αυτές επιτα χύνσεις συνδέονται µε την σχέση: ( ) a C = a O + '" OC όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου την στιγµή που αφήνεται ελεύθερος. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου χωρίς την οπή, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του Ο και είναι κάθετος στο επίπεδό του περιστροφής του, είναι ίση µε MR /, όπου Μ η µάζα του. ΛΥΣΗ: i) Η δηµιουργία κυκλικής οπής στον δίσκο ισοδυναµεί µε µετατόπιση του κέντρου µάζας του από το γεωµετρικό του κέντρο Ο στην θέση C που βρίσκεται στον άξονα Οx που καθορίζει η ευθεία ΚΟ που συνδέει το κέντρο Κ της οπής µε το το κέντρο Ο του δίσκου. Εάν x είναι η συντεταγµένη του κέν τρου µάζας C, σύµφωνα µε τον ορισµό του κέντρου µάζας θα ισχύει η σχέση: (M - m)x = -R (-m) + M0 x = Rm (M - m) () όπου m η µάζα που αφαιρέθηκε από τον δίσκο µε την δηµιουργία της οπής. Η

µάζα αυτή υπολογίζεται µε βάση το γεγονός ότι η µάζα Μ του δίσκου χωρίς την οπή αντιστοιχεί σε εµβαδόν πr, ενώ η µάζα m αντιστοιχεί σε εµβαδόν πr /4, οπότε θα έχουµε την σχέση: M m = R R /4 m = M 4 Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: RM/4 x = (M - M/4) = R 6 () (3) Aς εξετάσουµε τον δίσκο σε µια τυχαία θέση στην οποία η ΟC σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Στην θέση αυτή ο δίσκος δέχεται το βάρος Σχήµα του w και την δύναµη επαφής από το οριζόντιο έδαφος που αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T. Χρειάζεται να κατανοηθεί ότι το σηµείο του δίσκου που γίνεται σηµείο επαφής Α µε το έδαφος µια µόνο στιγµή θα έχει µηδενική ταχύτητα και στην συνέχεια, όταν πάψει να αποτελεί σηµείο επαφής η ταχύτητά του θα είναι µη µηδενική. Αυτό σηµαίνει ότι ο θεµε λιώδης νόµος της στροφικής κίνησης περί τον στιγµιαίο άξονα που δίερχεται από το Α δεν µπορεί να έχει την µορφή: d L (A) = (A ) "# (4) διότι η παραπάνω σχέση ισχύει για ορισµένο σηµείο Α του δίσκου που είτε έχει διαρκώς µηδενική ταχύτητα είτε ταυτίζεται µε το κέντρο µάζας του. Παρ όλα ταύτα στην περίπτωση µικρής αρχικής εκτροπής του δίσκου µπορούµε να δεχθούµε ότι τα σηµεία του που έρχονται σε επαφή µε το έδαφος έχουν πολύ µικρή ταχύτητα, οπότε προσεγγιστικά µπορούµε να εφαρµόσουµε την παραπά νω σχέση ευελπιστώντας σε κάποιο ικανοποιητικό αποτέλεσµα. Ας δούµε λοι πόν τι θα προκύψει όταν χρησιµοποιήσουµε την σχέση (4). I A d =- w(oc)"µ (3) I A d 3Mg R MgR =- "µ # - 4 6 8 (5)

Όµως η ροπή άδράνειας Ι Α του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το στιγµιαίο κέντρο περιστροφής Α είναι ίση µε την αντίστοιχη ροπή αδράνειας Ι Α(Δ) του συµπαγούς δίσκου µάζας Μ αν από αυτήν αφαιρέσουµε την αντίστοιχη ροπή αδράνειας Ι Α(Ο) της µάζας Μ/4 άν αυτή κάλυπτε την οπή, δηλαδή ισχύει: I A = I A( ) - I A(O) (6) Όµως το θεώρηµα του Steiner επιτρέπει να γράψουµε τις σχέσεις: και I A( ) = MR + MR = 3MR I A(O) = M$ R$ # # " 4 % " % + M 4 (AK) = M 4 # " R (7) 8 + $ (AK) (8) % Από το θεώρηµα του συνηµιτόνου στο τρίγωνο ΑΟΚ παίρνουµε: (AK) = R + R / 4 - (R / )"#($ - %) (AK) = 5R /4 + R "#$ % 9R /4 oπότε η (8) γράφεται: I A(O) = M 4 # " R 8 + 9R 4 $ % = 9MR 3 (9) H (6) λόγω των (7) και (9) δίνει: I A = 3MR - 9MR 3 = 9MR 3 (0) H (5) µε βάση την (0) γράφεται: 9MR 3 d MgR =- 8 d 4g =- 9R =- " d +" = 0 µε = 4g 9R () Η () αποτελεί την τυπική διαφορική εξίσωση µιας αρµονικής κίνησης, δηλαδή στην περίπτωσή µας ο δίσκος εκτελεί στροφική αρµονική υαλάντωση περί τον στιγµιαίο άξονα περιστροφής που αντιστοιχει στην χωρίς ολίσθηση κύλισή του. Η περίοδος της ταλάντωσης αυτής δίνεται από την σχέση: T = " = 9R 4g T= 9R g () ii) Η κίνηση του δίσκου µπορεί να θεωρηθεί κάθε στιγµή ως καθαρή στροφική

κίνηση περί τον στιγιαίο άξονα περιστροφής που διέχεται από το σηµείο επα φής Α του δίσκου µε το έδαφος, οπότε για τις επιταχύνσεις των σηµείων Ο και C την χρονική στιγµή t=0 µπορούµε να γραψουµε τις σχέσεις: a O = - (AO) + ( '" AO) # a C = - (AC) + ( % $ '" AC) % a O = ( '" AO) # a C = ( % $ '" AC) % όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου την στιγµή t=0 ενώ η αντίστοιχη γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι µηδενική. Η ' θα υπολογιστεί αν την χρονική στιγµή t=0 εφαρµόσουµε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης περί το Α οπότε θα λάβουµε την σχέση: " (A ) = I A #' w(co) = I A ' 3Mg 4 (3) R$ # = I " 6 A '' (4) % H νέα ροπή αδράνειας Ι Α του δίσκου θα υπολόγιστει µε τον ίδιο τρόπο, όπως και στο πρώτο ερώτηµα του προβήµατος, οπότε θα έχουµε: I A = I A( ) - I A(O) = MR + MR - M 8 Σχήµα " $ # % 4 ' - M 4 R ( AK ) I A = 3MR - MR 3 - M 4 R + R $ # " 4 % = 37MR 3 και η (4) γράφεται: 3Mg 4 R$ # " 6% = 37MR 3 '' '= 4g 37R Έτσι τα µέτρα των επιταχύνσεων a O και a C θα είναι: (5) a O = '(AO) = 4gR 37R = 4g 37

και a C = '(AC) = 4g " 37R R + R % $ ' # 6 = 37 g Εξάλλου από το σχήµα () προκύπτει η διανυσµατική σχέση: AO + OC = AC ( ) = a O + '" OC a C ('"AO) + '"OC ( ) = ( '"AC) P.M. fysikos Ένας κοίλος κύλινδρος µάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσ θηση επί της εσωτερικής επιφάνειας ενός άλλου κοίλου κυλίνδρου µάζας m και ακτίνας R µε R >>R, ο οποίος µπορεί να στρέφεται περί τον γεωµετρικό του άξονα που είναι οριζόντιος και ακλόνητος. Να µελετηθεί η κίνηση του συστήµατος, αν ο µικρός κύλινδρος εκτρα πεί λίγο από την θέση ισορροπίας του. Δίνεται η επιτάχυνση g της βα ρύτητας. ΛΥΣΗ: Eξετάζουµε το σύστηµα των δύο κυλίνδρων κατά µια τυχαία στιγµή t που η διάκεντρός τους σχηµατίζει γωνία φ µε την κατακόρυφη διεύθυνση και δεχόµαστε ότι την στιγµή αυτή η ταχύτητα του κέντρου Ο του µικρού κυλίν δρου στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους είναι v (σχ. 3) Ο µικρός κύλινδρος δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής από τον µεγάλο κύλινδρο που Σχήµα 3 αναλύεται στην κάθετη αντίδραση N και στην στατική τριβή T, Η χωρίς ολίσ θηση κύλιση του µικρού κυλίνδρου επί της κοίλης επιφάνειας του µεγάλου εί ναι µια επίπεδη κίνηση που µπορεί να θεωρηθεί ως επαλληλία µιας µεταφορι κής κυκλικής κίνησης και µιας περιστροφής περί τον οριζόντιο γεωµετρικό του

άξονα. Εφαρµόζοντας για την περιστροφή του κυλίνδρου τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: d I = TR m R d = TR R d = T () m όπου dω / ο ρυθµός µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του κυλίνδρου. Εξάλλου ο µεγάλος κύλινδρος εκτελεί γνήσια περιστροφή περί τον σταθερό γεωµετρικό του άξονα, η οποία επηρεάζεται µόνο από την στατική τρι βή - T που δέχεται από τον µικρό κύλινδρο και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νό µο της στροφικής κίνησης θα ισχύει για τον κύλινδρο αυτόν η σχέση: d I = -TR m R d = -TR R d = -T () m όπου dω / ο ρυθµός µεταβολής της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής του κυλίνδρου. Aφαιρώντας από την () την () παίρνουµε την σχέση: d R - R d = T + T d R m m - R d = T " + % $ ' (3) # m m Λόγω της κυλίσεως τα σηµεία επαφης Α των δύο κυλίνδρων θα έχουν στο σύ στηµα αναφοράς του εδάφους την ίδια ταχύτητα, δηλαδή µπορούµε να γράψου µε την σχέση: d R = R + v R = R d + dv Όµως για την µεταφορική ταχύτητα v ισχύει η σχέση: (4) v = (O O )(d/) = (R - R )(d/) " R (d/) # d" v R % ( dv $ ' R # d " % $ ( (5) ' οπότε η σχέση (4) γράφεται: d R = R d + R # d " d % $ ( R ' - R d = R # d " % $ ( (6) ' Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (6) παίρνουµε: " d % R $ # ' = T " m + % $ # m ' (7) Eφαρµόζοντας για την κίνηση του κέντρου µάζας του µικρού κυλίνδρου τον

δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα κατά την διεύθυνση της εφαπτοµένης της τροχιάς του έχουµε την σχέση: T - w' = m dv T - m gµ" = m dv (5) # d " # d " T - m gµ" = m R % $ ( T = m gµ" + m R % ' $ ( (8) ' Συνδυάζοντας την (7) µε την (8) παίρνουµε: " d % ) " d %," R $ # ' = + m g(µ + m R $ # '. + % $ ' * + -. # m m " d % ) " d %, m R $ # ' = + g(µ + R $ # '. m + m * + -. " d % m R $ # ' + ( m + m )g(µ = 0 d ( + m + m )g "µ = 0 m R ( ) d ( + " #µ = 0 µε = m + m )g (9) m R Για µικρή εκτροπή του µικρού κυλίνδρου από την θέση ισορροπίας του µπορού µε µε καλή προσέγγιση να γράψουµε ηµφ φ, οπότε η (9) γράφεται: d + " = 0 (0) H (0) είναι η τυπική διαφορική εξίσωση µιας αρµονικής ταλάντωσης, δηλαδή το σύστηµα κινείται, ώστε η διάκεντρος των δύο κυλίνδρων να ταλαντεύεται αρµονικά µε τον χρόνο περί την κατακόρυφη διεύθυνση, µε γωνιακή συχνότη τα ω που δίνεται από την σχέση: = ( m + m )g = m R g " + m % $ ' R # m P.M. fysikos

Ένα στεφάνι Σ µάζας m και ακτίνας R, µπορεί να κυλίεται χωρίς ολίσθηση στο εωτερικό ενός άλλου στεφανιού Σ µάζας m και ακτίνας R, το οποίο κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω σε οριζόντιο δάπεδο µε το επίπεδό του κατακόρυφο. Την στιγµή t=0 το µικρο στεφάνι βρίσκε ται στην κατώτερη θέση του, ενώ το µεγάλο στεφάνι έχει µεταφορική ταχύτητα v 0. i) Εάν φ είναι η γωνία που σχηµατίζει η διάκεντρος των δύο στεφα νιών µε την κατακόρυφη διάµετρο του µεγάλου στεφανιού κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, να δείξετε την σχέση: d = " - " όπου ω, ω oι αντίστοιχες αλγεβρικές τιµές των γωνιακών ταχυτήτων του µικρού και του µεγάλου στεφανιού αντιστοίχως. ii) Θεωρώντας ως παραµέτρους που καθορίζουν την θέση του συστήµα τος την γωνία φ και την απόσταση x του κέντρου του µεγάλου στεφανιού από την αρχική του θέση Ο, να δείξετε ότι για µικρές εκτ ροπές του συστήµατος εκ της θέσεως ισορροπίας του οι παράµετροι φ και x ικανοποιούν τις διαφορικες εξισώσεις: R+x +g =0 και x+r = 0 όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας. iii) Eάν για t=0 είναι φ(0)=0, x(0)=0, x(0)=v 0 και (0)=0, να καθορί σετε την εξίσωση κίνησης του κέντρου του στεφανιού Σ. ΛΥΣΗ: i) Η θέση του συστήµατος των δύο στεφανιών καθορίζεται από την x- συντεταγµένη του κέντρου µάζας Ο της µεγάλου στεφανιού Σ ως προς στα θερό σύστηµα συντεταγµένων Οxy και από την γωνία φ που σχηµατίζει η διά κεντρος Ο Ο των στεφανιών µε την κατακόρυφη διάµετρο Ο Α του Σ. Λόγω της κυλίσεως του Σ επί του οριζοντίου δαπέδου ισχύει η σχέση: v = R dx / = R () όπου v η ταχύτητα του κέντρου Ο του µεγάλου στεφανιού και η γωνιακή ταχύτητα της περιστροφικής του κίνησης περί το κέντρο του. Εξάλλου η κύλι ση του µικρού στεφανιού επί της εσωτερικής επιφάνειας του µεγάλου επιβάλ λει το σηµείο επαφής τους Β στο σύστηµα αναφοράς Οxy να έχει την ίδια τα χύτητα είτε θεωρείται ως σηµείο του Σ, είτε θεωρείται ως σηµείο του Σ. H τα χύτητα του Β θεωρούµενου ως σηµείου του στεφανιού Σ υπολογίζεται µέσω της σχέσεως:

v B = v + ( " O B) v B = (dx/) i + ( () " O B) v B = R i + ( " O B) () Σχήµα 4 Για το διάνυσµα O B έχουµε την σχέση: O B = Rµ" i + R#$%" j οπότε: ( " O B) = i j k 0 0 R#µ$ R%'$ 0 = - R%'$ i + R#µ$ j (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και (3) παίρνουµε: v B = R i + - R"#$% i + Rµ% () j v B = R( - "#$%) i + Rµ% j (4) H ταχύτητα του Β θεωρούµενου ως σηµείου του στεφανιού Σ υπολογίζεται µέσω της σχέσεως: v B = v + ( " O B) (5) όπου v η ταχύτητα του κέντρου Ο του µικρού στεφανιού και η γωνιακή ταχύτητα της περιστροφικής του κίνησης περί το κέντρο του. Όµως η ταχύτη τα v υπολογίζεται από την σχέση: v = d ( OO ) = d ( x + Rµ" ) i + d ( R#$%" ) j

v = ( "x+r"#$ "$ ) i -R%µ$ "$ () j v = ( R +R"#$% "% ) i -Rµ% "% j (6) Aκόµη έχουµε: " O B) = i j k 0 0 R#µ$ R%'$ 0 = - R%'$ i + R#µ$ j (7) Συνδυάζοντας τις (5), (6) και (7) παίρνουµε: v B = ( R +R"#$% "%- R"#$% ) i + ( Rµ%-Rµ% "% ) j (8) Συγκρίνοντας την (4) µε την (8) παιρνουµε: και R +R"#$% % - R"#$% = R- R"#$% R"µ#-R"µ# #= R"µ# από τις οποίες προκύπτει η κοινή σχέση: d = " - " (9) ii) Εστιάζοντας την προσοχή µας στο µικρό στεφάνι Σ παρατηρούµε ότι αυτό δέχεται το βάρος του w και την δύναµη επαφής από το µεγάλο στεφάνι, που αναλύεται στην στατική τριβή T και στην κάθετη αντίδραση N (σχ. 4) Eφαρµό ζοντας για το στεφάνι αυτό τον γενικευµένο νόµο της στροφικής κίνησης περί το σηµείο επαφής Β, παίρνουµε την σχέση: d L (B) = (B) "# - m( v B $ v ) I B d mr d k = - mgr"µ# k - m( v B $ v ) k = - mgr"µ# k - m( v B $ v ) (0) όπου L (B) η στροφορµή περί το Β του στεφανιού Σ, (B) "# η συνολική ροπή περι το Β όλων των δυνάµεων που δέχεται το Σ και k το µοναδιαίο κάθετο διάνυσ µα στο επίπεδο Οxy. Για το εξωτερικό γινόµενο ( v B v ) έχουµε:

( v B v ) = i j k v Bx v By 0 v x v y 0 = k ( v y v Bx - v x v By ) Αντικαθιστώντας στην πιο πάνω σχέση τις συνιστώσες των ταχυτήτων v και v B από τις σχέσεις (6) και (8) αντιστοίχως, θα έχουµε: ( ) - ( v B v )= k ( ) -R"µ# "# R$ +R%'# "#-$ R%'# -( R +R"#$% % ) ( Rµ%-Rµ% % ) ' ( ( v B v )= k ( ) -" #µ$ "$-#µ$%'$ "$ + " #µ$%'$ "$- - "µ# - "µ#$%# #+ "µ# #+"µ#$%# # ' ( R ( v B v ) = -R " " #µ$ k () Η (0) λόγω της () γράφεται: mr d k = - mgr"µ# k +R "µ# k R d = - g"µ# +R "µ# () Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο την (9) και λαµβάνοντας υπ όψη την συν θήκη κυλίσεως dx/=rω του στεφανιού Σ, παίρνουµε: = " - " = " -x / R R =R"+x η οποία συνδυαζόµενη µε την () δίνει: R+x= -g"µ +R# # "µ (3) Όµως για µικρές εκτροπές του συστήµατος από την θέση ισορροπίας του µπο ρούµε να λάβουµε µε καλή προσέγγιση ηµφ φ και ω ω ηµφ 0, οπότε η (3) γράφεται: R+x +g =0 (4) Εξάλλου η κινητική ενέργεια του συστήµατος κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t δίνεται από την σχέση:

K = mv + mr + mv + 4mR = = mv + mr + + 4mR + 4mR = mv + mr + 4mR (5) Όµως από την (6) έχουµε: v = ( R +R"#$% % ) + (-Rµ% % ) = =4R +R "#$ % % +4R "#$% %+R µ % % = =4R +R " +4R #$%" " και από την (9) = ( " + ) = " + 4 +4 " οπότε η (5) γράφεται: K=mR + mr " +mr #$%" " + + mr +mr " +mr " +4mR " K=8mR +mr (+"#$%)%+mr % K=mx +mrx(+"#$)$+mr $ (6) H βαρυτική δυναµική ενέργεια του συστήµατος είναι: U = -mgr"#$ (7) η δε µηχανική του ενέργεια Ε είναι: E=K+U=mx +mrx(+"#$)$+mr $ -mgr"#$ Για µικρές εκτροπές του συστήµατος από την θέση ισορροπίας του, όπου η διάκεντρος των δύο στεφανιών είναι κατακόρυφη, µπορούµε να δεχθούµε ότι συνφ+, και συνφ, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: E=mx +mrx+mr -mgr

Όµως κατά την κίνηση του συστήµατος η µηχανικη του ενέργεια διατηρείται σταθερή, που σηµαίνει ότι ο ρυθµός µεταβολής της de/ είναι κάθε στιγµή µη δενικός, δηλαδή ισχύει: de =0 d ( mx +mrx+mr -mgr) =0 4mx dx x dx dx d +mr +mrx + mr d = 0 dx d +R +Rx + R d = 0 xx+rx+rx + R = 0 Μπορούµε να παραλείψουµε στην παραπάνω σχέση τους όρους Rx και R ως ασήµαντους έναντι των δύο άλλων, οπότε αυτή γράφεται: 4xx+Rx = 0 x+r = 0 (8) Οι σχέσεις (4) και (8) αποτελούν τις διαφορικές εξiσώσεις κίνησης του συστή µατος στην περίπτωση που η εκτροπή του από την θέση ισορροπίας του είναι πολύ µικρη. iii) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (8) παιρνουµε: R-R +g =0 + g R =0 + =0 (9) µε =g/r. H (9) είναι µια οµογενής διαφορική εξίσωση δευτέρας τάξεως µε σταθερούς συντελεστές και δέχεται λύση της µορφής: (t) = A"µ#t + B$%#t (0) όπου Α, Β προσδιοριστέοι συντελεστές. Η (0) για t=0 δίνει B=0, όποτε παίρνει την µορφή: (t) = A"µ#t (t) = A"#$%"t () Όµως εκ της (9) για t=0 λαµβανουµε: (0)=0-v 0 /R οπότε η () δίνει: -v 0 /R = A A = -v 0 /R = -v 0 /R g / R = -v 0 / gr

και η () γράφεται: (t) = (-v 0 / gr) "#$%t () Παραγωγίζοντας ως προς τον χρόνο την () παίρνουµε (t) = -A" #µ"t = v 0 gr g R #µ"t = v 0 R g R #µ"t οπότε η (8) γράφεται: x+v 0 g R µ"t = 0 x= - v 0 g R µ"t x= v 0 g R "#$t+c = v 0 "#$t+c όπου η σταθερά ολοκληρώσεως C θα βρεθεί από την αρχική συνθήκη x(0)=v 0, οπότε θα έχουµε C=v 0 / και η προηγούµενη σχέση γράφεται: x= v 0 "#$t+v 0 x= v 0 "µt+v 0 t + C' x= v 0 R g µ"t+v t 0 x = v # 0 t + R g µ"t % ( $ ' όπου η σταθερά ολοκληρώσεως C είναι µηδενική διότι x(0)=0. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: Μπορούµε να επιβεβαιώσουµε τις διαφορικές εξισώσεις κίνησης (4) και (8) του συστήµατος των δύο στεφανιών χρησιµοποιώντας την Lagrangian του συ στήµατος. Η συνάρτηση Lagrange που αντιστοιχεί στο σύστηµα είναι: (),() L = K-U L =mx +mrx(+"#$)$+mr $ + mgr"#$ Για µικρές εκτροπές του συστήµατος από την θέση ισορροπίας του, µπορούµε να δεχθούµε ότι +συνφ, οπότε η προηγούµενη σχέση γράφεται: L =mx +mrx+mr + mgr"#$ (3) Οι διαφορικές εξισώσεις Lagrange που περιγράφουν την κίνηση του συστήµα τος είναι:

και " L % t # $ x ' - " L % # $ x ' =0 t # L t $ % " ' ( - # L $ % " ' ( =0 t mrx+mr " ( 4mx+mR " ) =0 x+r=0 (4) ( ) +mgr#µ"=0 mrx+mr +mgr"µ=0 x+r+g=0 (5) Χρησιµοποιώντας λοιπόν εξισώσεις Lagrange καταλήξαµε στις ίδιες διαφορικές εξισώσεις κίνησης του συστήµατος, αφου δεχθήκαµε προσεγγίσεις που αντιστοι χούν σε µικρές εκτροπές από την θέση ισορροπίας του. P.M. fysikos