, y 1. y y y y = x ( )

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΓΡΑΜΜΗΣ Μία εξίσωση µε αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µίας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C και µόνο αυτές την επαληθεύουν. Αν έχουµε για παράδειγµα την εξίσωση 3 y= x, τότε σηµεία όπως το Α(,), ή το Β(-,-8), είναι σηµεία που την επαληθεύουν. Γίνεται εποµένως αντιληπτό πως µε τις εξισώσεις των διαφόρων γραµµών, µπορούµε να µελετήσουµε µε αλγεβρικές µεθόδους τις ιδιότητες των γραµµών αυτών. Πετυχαίνουµε δηλαδή µια «αλγεβροποίηση» της Γεωµετρίας, η οποία καθιστά πιο εύκολη τη λύση των προβληµάτων. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η ευθεία γραµµή είναι η απλούστερη και πιο συχνά εµφανιζόµενη γραµµή, για αυτό και θα τη µελετήσουµε διεξοδικά παρακάτω. Έστω τον άξονα Ο xy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και (ε) µία ευθεία που τέµνει xx ' στο σηµείο Α.(όπως στα σχήµατα).

2 Τη γωνία ω που διαγράφει ο άξονας xx ', όταν στραφεί γύρω από το Α κατά τη θετική φορά µέχρι να συµπέσει µε την ευθεία (ε), τη λέµε γωνία που σχηµατίζει η (ε) µε τον άξονα xx '. Αν η (ε) είναι παράλληλη στον xx ', τότε λέµε ότι ω=0. Εποµένως σε κάθε περίπτωση για τη γωνία ω ισχύει ότι ω ή π 0 < 80 0 ω < σε rad Ως συντελεστή διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) ορίζουµε τον αριθµό λ = εφω. Προφανώς Αν π 0< ω <, τότε λ =εφω > 0 π Αν < ω < π, τότε λ =εφω < 0 Αν ε xx', τότε δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης λ Αν ε // xx', τότε λ =εφ0= 0. Αν τώρα Α ( x, y ) και ( x, y ) παράλληλη στον κατακόρυφο άξονα Β είναι δύο σηµεία µιας ευθείας (ε) που δεν είναι yy ', τότε ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας αυτής είναι ίσος µε το συντελεστή διεύθυνσης του διανύσµατος ΑΒ, δηλαδή y x λ =. y x ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΑΣ - ΚΑΘΕΤΟΤΗΤΑΣ ΕΥΘΕΙΩΝ Αν ε,ε είναι δύο ευθείες µε συντελεστές διεύθυνσης λ,λ αντίστοιχα, τότε θα ισχύουν όπως ακριβώς και στα διανύσµατα οι ακόλουθες συνθήκες ε ε = // ε λ λ ε λ λ =

3 ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Με βάση όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, µία ευθεία στο επίπεδο καθορίζεται πλήρως όταν γνωρίζουµε α) Ένα σηµείο της και το συντελεστή διεύθυνσης της, ή β) ύο σηµεία της. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΠΟΥ ΙΕΡΧΕΤΑΙ ΑΠΟ ΕΝΑ ΣΗΜΕΙΟ ΤΗΣ ΚΑΙ ΕΧΕΙ ΓΝΩΣΤΟ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗ Η εξίσωση ευθείας που διέρχεται από το σηµείο Α ( x 0, y 0 ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, δίνεται από τον τύπο Απόδειξη y y = λ ( x ) 0 x 0 Έστω Ο xy ένα σύστηµα συντεταγµένων του επιπέδου και µια ευθεία (ε) που διέρχεται από το σηµείο Α ( x 0, y 0 ) και έχει γνωστό λ. Ένα σηµείο ( x, y) Μ διαφορετικό από το Α, είναι σηµείο της ευθείας (ε), αν και µόνο αν το ΑΜ είναι παράλληλο προς την ευθεία (ε). Ως γνωστόν για το ΑΜ ( x x y ) ίσος µε: y y x x 0 0, εποµένως θα έχουµε ΑΜ y y 0, y 0 ο συντελεστής διεύθυνσης λ είναι ( x ) 0 // ε = λ y y0 = λ x0 x x0 που προφανώς αποδεικνύει το ζητούµενο µας. Αν (ε)// yy ', τότε η εξίσωση της ευθείας είναι η x= x0. 3

4 Αν η ευθεία (ε) διέρχεται από τα σηµεία Α ( x, y ) και ( x, y ) συντελεστής διεύθυνσης της (ε) είναι ο γράφεται λ = y x y x y y y y = x x Β µε x x, τότε ο, οπότε η προηγούµενη εξίσωση ( ) x x. Παράδειγµα Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που διέρχεται από τα σηµεία Α ( 3,4) και (, ) Β. Ο συντελεστής διεύθυνσης της ΑΒ είναι Λύση λ = διέρχεται η ευθεία και από το Α, η εξίσωσή της θα είναι = =, εποµένως αφού y 4= ( x+ 3) y= x + 4 y= x 4

5 ΕΙ ΙΚΕΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΕΙΣ ) Η εξίσωση ευθείας που τέµνει τον ' διεύθυνσης λ είναι η yy στο ( 0, β) ( x ) y= λ x β y β = λ 0 + Α και έχει συντελεστή η οποία είναι η γνωστή εξίσωση ευθείας που γνωρίζουµε από το Γυµνάσιο. ) Αν τώρα η ευθεία (ε) διέρχεται από την αρχή των αξόνων και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε η εξίσωση της θα είναι y=λ x 5

6 Ιδιαίτερη αναφορά πρέπει να γίνει στην τελευταία περίπτωση, όταν α) λ =, οπότε προκύπτει η ευθεία πρώτου και τρίτου τεταρτηµορίου y= x, η οποία είναι και η διχοτόµος του β) λ =, οπότε προκύπτει η ευθεία y= x, η οποία είναι και η διχοτόµος του δεύτερου και τέταρτου τεταρτηµορίου. 3) Αν µιλάµε τέλος για ευθεία που διέρχεται από το Α ( x 0, y 0 ) και είναι οριζόντια, δηλαδή έχει λ = 0, τότε η εξίσωση της θα είναι y= y 0. 6

7 ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ- ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Για να βρούµε την εξίσωση µιας ευθείας χρειαζόµαστε α) Ένα σηµείο και το συντελεστή διεύθυνσης β) ύο σηµεία της. ) Ο συντελεστής διεύθυνσης,εφόσον δεν δίνεται, µπορεί να δοθεί έµµεσα µε έναν από τους ακόλουθους τρόπους λ = λ α) Αν η ευθεία που ζητάµε είναι παράλληλη προς µία άλλη γνωστή ευθεία τότε β) Αν είναι κάθετη σε άλλη ευθεία, τότε λ λ = γ) Αν περνάει από σηµεία τότε υπολογίζεται εύκολα από γνωστό τύπο. 3) Σε άσκηση που ζητείται ο προσδιορισµός της µεσοπαραλλήλου παραλλήλων ευθειών, αρκεί να ακολουθήσουµε την εξής διαδικασία Θεωρούµε σηµεία Α, Β πάνω στις παράλληλες και βρίσκουµε το µέσο Μ του τµήµατος ΑΒ. Γνωρίζοντας επίσης και το συντελεστή διεύθυνσης των παραλλήλων ευθειών, είναι πλέον εύκολο να προσδιορίσουµε την εξίσωση της µεσοπαραλλήλου 4) Όλες οι ευθείες που διέρχονται από το σηµείο Α ( x 0, y 0 ) έχουν εξίσωση ( x ) y y = λ ή x= x0 0 x 0 Τονίζουµε δηλαδή ότι δεν ορίζεται για κάθε ευθεία ο συντελεστής διεύθυνσης λ και γι αυτό δεν πρέπει να παραλείπουµε την δεύτερη εξίσωση, η οποία αποτελεί πολλές φορές λύση του προβλήµατος που αντιµετωπίζουµε. 5) Όταν θέλουµε να δείξουµε ότι 3 σηµεία ( x, y ), Β( x, y ), Γ( x y ) συνευθειακά, έχουµε µία από τις ακόλουθες επιλογές Α είναι 3, 3 7

8 α) είχνουµε ότι ΑΒ= λ ΑΓ ή κάτι αντίστοιχο και εφόσον υπάρχει ένα κοινό σηµείο το Α, τα 3 σηµεία θα είναι συνευθειακά. β) είχνουµε ότι λ ΑΒ =λαγ ή λ ΑΒ =λβγ γ) Κατασκευάζουµε την εξίσωση ευθείας που ορίζεται από σηµεία και επαληθεύουµε ότι το τρίτο σηµείο ανήκει σ αυτήν δ) είχνουµε ότι det (, ΑΓ) = 0 ΑΒ. 6) Για να βρούµε την εξίσωση της διχοτόµου µιας γωνίας που ξέρουµε τις εξισώσεις των πλευρών τους, αξιοποιούµε τον τύπο του εσωτερικού γινοµένου ως εξής Βρίσκουµε το σηµείο τοµής Κ των ευθειών Παίρνουµε τυχαία σηµεία Α, Β των ευθειών αυτών Βρίσκουµε τις συντεταγµένες και τα µέτρα των διανυσµάτων ΚΑ, ΚΒ Θεωρούµε σηµείο ( x 0, y 0 ) στη διχοτόµο της γωνίας και έχουµε τη συνεπαγωγή γων. Κˆ = γων. Κˆ Κ ΚΑ Κ ΚΑ = Κ ΚΒ Κ ΚΒ, απ όπου υπολογίζουµε την εξίσωση της διχοτόµου πάνω στην οποία ανήκει το. Θέλοντας τώρα να βρούµε τη δεύτερη διχοτόµο της γωνίας των ευθειών Μπορούµε επίσης να εργαστούµε σκεπτόµενοι ότι η νέα διχοτόµος είναι κάθετη στην προηγούµενη και επιπλέον διέρχεται και αυτή από το σηµείο Κ που έχουµε ήδη προσδιορίσει. 8

9 Β Τρόπος (πιο εύχρηστος) Χρησιµοποιούµε τη γνωστή από τη Γεωµετρία ιδιότητα της διχοτόµου που αναφέρει Ένα σηµείο ( x 0, y 0 ) ανήκει στη διχοτόµο µιας γωνίας αν και µόνο αν ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας. Ο τύπος της απόστασης σηµείου από ευθεία θα δοθεί σε επόµενη ενότητα και είναι αρκετά χρήσιµος στην περίπτωσή µας, αφού παρέχει άµεσα τις εξισώσεις και των διχοτόµων. Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο Λ Α Θ Ο Σ. εν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης για την ευθεία που διέρχεται από τα σηµεία Α(-3,4) και Β(,4) Σ Λ. ύο κάθετες ευθείες έχουν συντελεστές διεύθυνσης µε γινόµενο Σ Λ.3 Ισχύει η ισοδυναµία y = 3 y= 0x 3 Σ Λ.4 Η ευθεία µε εξίσωση x + 3y+ 6= 0 σχηµατίζει αµβλεία γωνία µε τον οριζόντιο άξονα Σ Λ.5 Η εξίσωση 4x 5y = 0 παριστάνει ευθείες που διέρχονται από την αρχή των αξόνων Σ Λ 9

10 .6 Κάθε ευθεία του επιπέδου αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης Σ Λ.7 Έστω δ //ε και //ε δ. Αν (, δ ) 0 Σ detδ =, τότε ε //ε Λ.8 Η εξίσωση x + y = 3,αποτελεί τετράγωνο Σ Λ.9 Η ευθεία y = x 5, έχει συντελεστή διεύθυνσης Σ Λ.0 Η εξίσωση της ευθείας που περνά από το Α(-,) και είναι κάθετη στην x y+6=0, είναι η x + y= 3 Σ Λ. Το σηµείο Α(-,) ανήκει στην ευθεία µε εξίσωση ( x y) λ ( x y ) = 0, λ R Σ Λ 0

11 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ. Τα σηµεία Α(-6,-), Β(8,7) και Γ(-0,6) αποτελούν κορυφές ισοσκελούς τριγώνου ορθογωνίου τριγώνου ισοπλεύρου τριγώνου Τίποτα από τα προηγούµενα.3 ίνεται ένα σηµείο Μ µιας ευθείας, η οποία είναι παράλληλη µε το διάνυσµα v = ( 3,4). Ξεκινώντας από το σηµείο Μ θα ξαναβρεθούµε σε σηµείο της ευθείας, όταν κινηθούµε 3 µονάδες αριστερά και 4 µονάδες κάτω κινηθούµε 3 µονάδες αριστερά και 4 µονάδες δεξιά κινηθούµε 3 µονάδες αριστερά και 4 µονάδες πάνω κινηθούµε 3 µονάδες δεξιά και 4 µονάδες κάτω.4 Ο συντελεστής διεύθυνσης της ευθείας x= 3 y είναι ο - δεν ορίζεται.5 Ο συντελεστής διεύθυνσης µιας ευθείας (ε) που διέρχεται από τα σηµεία Α ( x, y ) και ( x, y ) Β ορίζεται πάντα όταν y y x = xκαι y y x x x x x 0.6 Θεωρούµε την ευθεία (ε): x + y= 5. Η εξίσωση της ευθείας που περνά από το σηµείο Α(,-) και είναι κάθετη στην (ε) είναι η y = x+ 3 y= x x + y= 5 y = x x + y+ = 0

12 .7 Στο διπλανό σχήµα η εξίσωση της ευθείας ΟΑ είναι y = 3 x. Η γωνία ΑΒ Ο ^ είναι Η ευθεία y= λ x+ 3, όπου λ R είναι κάθετη στον για λ 0, περνά από το σηµείο περνάει από την αρχή των αξόνων για λ= είναι κάθετη στην xx ' για κάποια τιµή του λ R y= x Α, 5 λ είναι κάθετη στον yy ' για κάποια τιµή του λ R.9 Αν µία ευθεία τέµνει τον άξονα yy ' στο σηµείο (0,4) και ορίζεται από τα σηµεία (-,3) και (6,β), τότε η τιµή του β είναι Η κατακόρυφη ευθεία που περνά από το σηµείο Μ(-5,) έχει εξίσωση x 5= 0 y = y = x 5 x + 5= 0 y += 0

13 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ. Να βρείτε την εξίσωση ευθείας που περνά από το Α(,-4) και α) Είναι παράλληλη προς το διάνυσµα δ = ( 0,5) β) Σχηµατίζει µε τον άξονα xx ' γωνία 50 γ) Είναι κάθετη στην ευθεία 5 x + 3y+ 4= 0.. ίνεται τρίγωνο ΑΒΓ µε Α(,6), Β(,) και Γ(7,-). Να βρείτε τις εξισώσεις α) Των τριών πλευρών του β) Των τριών διαµέσων του γ) Των τριών υψών του..3 ίνεται η ευθεία µε εξίσωση y = x+ 3και το σηµείο Μ(,). Να βρείτε τις συντεταγµένες του συµµετρικού του σηµείου Μ ως προς την ευθεία αυτή..4 Μία κορυφή ενός τετραγώνου είναι το σηµείο τοµής των ευθειών x 3y+ 0= 0 και 3 x + 5y 7= 0, ενώ µία διαγώνιος του βρίσκεται επί της ευθείας x + 7 y 6= 0. Να βρεθούν οι εξισώσεις των πλευρών του τετραγώνου καθώς και η εξίσωση της άλλης διαγωνίου του..5 Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ έχει συντεταγµένες (,) και οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται το ύψος Β και η διάµεσος ΓΜ έχουν εξισώσεις y = x+ και y = x αντίστοιχα. Να βρεθούν οι συντεταγµένες των κορυφών Β και Γ. 3

14 .6 Να αποδείξετε ότι το σηµείο ( x, y) y = +συν θ, µε θ R, βρίσκεται για κάθε θ R πάνω σε ευθεία. Μ µε x = 3+συν θ και.7 Σε τρίγωνο ΑΒΓ έχουµε: Α(-8,), Β(7,4) και Η(5,) το ορθόκεντρό του. Να βρείτε α) Την εξίσωση της ΒΓ β) Τις συντεταγµένες του Γ γ) Τις εξισώσεις των πλευρών του..8 Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας που περνά από το µέσο της απόστασης του σηµείου Κ(,-) από την ευθεία 3 x y+ 5= 0 και είναι παράλληλη µε αυτήν..9 Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας που περνά από το σηµείο Α(3,0) και η οποία τέµνει τις ευθείες µε εξισώσεις y = x και y = x 3 στα σηµεία Β και Γ αντίστοιχα, έτσι ώστε το Α να είναι µέσο του ΒΓ..30 Μια ορθή γωνία έχει κορυφή το σηµείο Κ(,3) και τέµνει τους άξονες xx ' και στα σηµεία Α και Β αντίστοιχα, όπως στο σχήµα που ακολουθεί. Να δείξετε ότι το µέσο Μ του τµήµατος ΑΒ ανήκει σε σταθερή ευθεία, ανεξάρτητη των σηµείων Α και Β. yy '.3 Η κορυφή Α τριγώνου ΑΒΓ είναι το σηµείο (,) ενώ οι ευθείες πάνω στις οποίες βρίσκονται δύο διάµεσοί του είναι οι x 3 y+ = 0 και y =. Να βρεθούν οι συντεταγµένες των κορυφών Β και Γ. 4

15 ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ. ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η εξίσωση Αx +Βy+Γ= 0, Α + Β 0. ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε ευθεία του επιπέδου έχει εξίσωση της µορφής Αx +Βy+Γ= 0µε Α 0 ή Β 0 () και αντιστρόφως, κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή. Απόδειξη Έστω (ε) µια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο. α) Αν η ευθεία ε τέµνει τον ' yy στο ( 0, β) Σ και έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, θα έχει ως γνωστόν εξίσωση y = λ x+ β, η οποία µετασχηµατίζεται στη µορφή λ x + ( ) y+ β = 0, που επαληθεύει το ζητούµενο µας. β) Αν η ευθεία (ε) είναι κατακόρυφη και διέρχεται από το Α ( x 0, y 0 ), τότε θα έχει εξίσωση x0 x =, η οποία µετασχηµατίζεται στη µορφή: x + 0 y+ ( x0 ) = 0 ικανοποιεί το ζητούµενό µας., που επίσης ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ Έστω η εξίσωση Αx +Βy+Γ= 0µε Α 0 ή Β 0. α) Αν Β 0, τότε η εξίσωση γράφεται Α εξίσωση ευθείας µε λ =. Β Α y = x Β Γ Β, που προφανώς αποτελεί β) Αν Β = 0, τότε λόγω της υπόθεσης, θα είναι Α 0 και η εξίσωση γράφεται Γ x =, που συνιστά εξίσωση ευθείας κάθετης στον xx '. Α 5

16 ΙΑΝΥΣΜΑ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ - ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ΠΡΟΤΑΣΗ Η ευθεία µε εξίσωση Αx +Βy+Γ= 0 είναι παράλληλη στο διάνυσµα = ( Β Α, ) δ. ΠΡΟΤΑΣΗ Η ευθεία µε εξίσωση Αx +Βy+Γ= 0 είναι κάθετη στο διάνυσµα ( Α Β) η =,. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Σε άσκηση µε παραµετρική εξίσωση ευθείας, όταν ζητείται να δείξουµε ότι κάποια εξίσωση αποτελεί εξίσωση ευθείας, θα ξεκινάµε δίνοντας τις συνθήκες ώστε η εξίσωση να µην αποτελεί ευθεία. Συγκεκριµένα µια εξίσωση της µορφής Αx +Βy+Γ= 0, δεν παριστάνει ευθεία αν και µόνο αν Α = Β=0 Στις ασκήσεις επιλύοντας την παραπάνω συνθήκη θα καταλήγουµε σε κάτι αδύνατο. Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δείξουµε στον υπολογισµό της οξείας γωνίας ευθειών, όπως στη λυµένη εφαρµογή 3 της αντίστοιχης παραγράφου του σχολικού βιβλίου. Όταν δίνεται σηµείο Α που οι συντεταγµένες του φέρουν παράµετρο και ζητείται να προσδιοριστεί η γραµµή στην οποία κινείται, τότε κάνουµε απαλοιφή της παραµέτρου, όπως στο παράδειγµα που ακολουθεί. 6

17 Παράδειγµα Α Να προσδιοριστεί η εξίσωση ευθείας στην οποία κινείται το σηµείο (, λ+ 5) λ. Λύση Θέτουµε όπου x = λ και y = λ+ 5. Λύνουµε και τις αυτές εξισώσεις ως x+ προς λ και έχουµε λ = x+ λ = και λ = 5 y, απ όπου και προκύπτει x+ = 5 y x+ = 0 y x+ y 9= 0. Παράδειγµα ίνονται οι ευθείες : λ + ( λ ) 0 ε x y και ε : 4x + λ y+ λ 0. = Να βρείτε για ποια τιµή του λ R ισχύει Η α) ε //ε και β) ε ε. Λύση ε είναι παράλληλη προς το δ = ( λ, λ) και δ = ( λ, 4) =. Έτσι θα είναι ε // ε δ // δ detδ, δ α) λ 4λ+ 4= 0 λ λ ( ) = 0 = 0 4( λ ) ( λ ) = 0 λ = λ 4 + λ = 0 β) ε ε δ δ δ δ = 0 λ λ + 3λ = 0 λ ( λ ) 4( λ) ( λ+ 3) = 0 λ = 0η λ = 3 = 0 λ λ+ 4λ = 0 7

18 Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο Λ Α Θ Ο Σ.3 Αν Α Β η εξίσωση Α x +Β y+γ= 0, παριστάνει πάντοτε ευθεία γραµµή. Σ Λ.33 Η εξίσωση Α x +Β y+γ= 0, µε Α 0, είναι πάντα εξίσωση ευθείας. Σ Λ.34 Το διάνυσµα u = (,4) είναι παράλληλο προς την ευθεία µε εξίσωση x + 3y 7= 0. Σ Λ.35 ύο ευθείες παράλληλες προς τα διανύσµατα δ = ( Α, Β) και ' = ( Α, Β) είναι µεταξύ τους κάθετες. Σ Λ δ θα.36 Η εξίσωση της ευθείας Α x +Β y+γ= 0, µπορεί να γραφεί υπό τη µορφή δ v+γ= 0, όπου = ( Α, Β) =. δ και v ( x, y) Σ Λ.37 Η ευθεία που διέρχεται από το σηµείο Α(-,) και είναι παράλληλη στο µοναδιαίο διάνυσµα j έχει εξίσωση x =. Σ Λ.38 Έστω ευθεία (ε) µε θετικό συντελεστή διεύθυνσης. Τότε κάθε ευθεία κάθετη στην (ε) παριστάνει φθίνουσα συνάρτηση. Σ Λ 8

19 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ.39 Η εξίσωση 4x + 8xy+ α y = 9, παριστάνει ευθείες παράλληλες όταν α=0 α= α=,5 α=4 α=6.40 Η εξίσωση της ευθείας ΑΒ µε Α(004,0) και Β(0,004) είναι 004 x 004y= x + 004y= x + y= x 004y= τίποτα από τα προηγούµενα..4 Η ευθεία που σχηµατίζει µε τον άξονα xx ' αµβλεία γωνία είναι η y = x 7 y = + 6, λ 0 λ x λ x+ y 5= 0 x 6 y= 0..4 Έστω (ε) Α x +Β y+γ= 0( Α 0 ή Β 0) Το διάνυσµα = ( Β, Α) Το διάνυσµα = ( Β, Α) Το διάνυσµα = ( Β, Α) Το διάνυσµα = ( Α, Β), τότε v είναι παράλληλο στην (ε) v είναι κάθετο στην (ε) v είναι παράλληλο στην (ε) v είναι κάθετο στην (ε).43 Οι ευθείες x + y+ = 0 και x+ λ y = 0 τέµνονται για κάθε λ R είναι και οι δύο κάθετες στην y= x είναι µεταξύ τους κάθετες όταν λ=- είναι παράλληλες για λ= τέµνονται στο (-,0) για λ= 9

20 .44 Οι ευθείες y = 0, x = 3y, 3x+ y= 7 ορίζουν τρίγωνο ισοσκελές ισόπλευρο ορθογώνιο αµβλυγώνιο οξυγώνιο.45 Στο παρακάτω σχήµα η ευθεία (ε) έχει εξίσωση y = 3 x+ y = x+ y = x 3 y = x+ 3 3 y = x 3 x y.46 Αν το σηµείο (3,κ) ανήκει στην ευθεία µε εξίσωση + =, τότε 3 κ=0 κ= κ=3 κ=5 κ=.47 Η ευθεία µε εξίσωση 3 y = x, έχει συντελεστή διεύθυνσης ίσο µε κανένα από τα προηγούµενα. 7 0

21 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ.48 Να υπολογίσετε την τιµή του α R, ώστε η ευθεία µε εξίσωση α x 3y= 4, να διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών µε εξισώσεις x y= 0 και 3x + 4 y= Θεωρούµε την εξίσωση ( ) x ( ) λ + 3λ+ 4 y 8λ 7= 0, λ R Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία (ε) για κάθε τιµή του λ R, η οποία διέρχεται από σταθερό σηµείο το οποίο και να προσδιορίσετε..50 Να βρείτε για ποιες τιµές του µ R η εξίσωση α) ευθεία β) ευθεία παράλληλη στον xx ' γ) ευθεία παράλληλη στον yy ' ( µ ) x ( µ + 5) y+ µ = 0, παριστάνει δ) ευθεία η οποία διέρχεται από την αρχή των αξόνων. αυτών..5 Θεωρούµε τις ευθείες (ε): ( ) x ( ηµα) y κ (η): ( ) x ( ηµβ) y λ συνβ + = συνα + =, καθώς και. Να υπολογίσετε την οξεία γωνία των ευθειών.5 Θεωρούµε τις ευθείες µε εξισώσεις ( ε ): α x+ β y και ( ): β x+ ( α β) y= = ε, µε α, β R, α β και β 0. α) Βρείτε τη σχέση µεταξύ των α, β ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες β) Βρείτε τη σχέση µεταξύ των α, β ώστε οι ευθείες να ταυτίζονται γ) στην περίπτωση που οι ευθείες τέµνονται να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής τους κινείται σε σταθερή ευθεία.

22 .53 Να βρεθεί η εξίσωση ευθείας η οποία τέµνει τον yy ' στο σηµείο (0,-3) και σχηµατίζει γωνία π µε τον άξονα 3 xx '..54 Οι κορυφές ενός τριγώνου είναι τα σηµεία Α(3,3), Β(-,-) και Γ(-,5). Να βρεθεί η οξεία γωνία που σχηµατίζει η διάµεσος Β µε την ευθεία ΑΒ..55 Να προσδιοριστούν οι γεωµετρικοί τόποι επάνω στους οποίους κινούνται τα σηµεία Α(-+5λ,+λ) και Β(6+7µ,3+µ). Ακολούθως να προσδιορίσετε το κοινό σηµείο των παραπάνω γεωµετρικών τόπων..56 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση y 3xy x = 0 παριστάνει ζεύγος ευθειών. Ποια η σχετική θέση των ευθειών που βρήκατε;.57 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x συν + y ηµ + συνθ = 0, θ [ 0, π] είναι εξίσωση ευθείας γραµµής που διέρχεται από σταθερό σηµείο για κάθε τιµή της παραµέτρου θ. θ θ.58 Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x y 4λ y λ x 3λ = 0, παριστάνει δύο ευθείες κάθετες µεταξύ τους για κάθε τιµή του λ. Ποιος είναι ο γεωµετρικός τόπος του σηµείου τοµής των ευθειών αυτών; x y x y.59 Αν οι ευθείες ε : + =, ε : + = α β γ δ διέρχονται από το ίδιο σηµείο, να δείξετε ότι αδ +βγ = 0. x y και ε3 : + = α + γ β + δ

23 ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ.3 ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΑΠΟ ΕΥΘΕΙΑ Έστω ε µια ευθεία του καρτεσιανού επιπέδου µε εξίσωση Αx +Βy+Γ= 0 και ένα Μ εκτός της ευθείας αυτής. Χωρίς να παραθέσουµε την απόδειξη, θα σηµείο ( x ) 0 0, y0 υπολογίσουµε την απόσταση του σηµείου αυτού από την ευθεία ε. Συγκεκριµένα θα ισχύει ότι ( Μ ) Αx +Βy 0 0 d 0, ε =. Α +Β +Γ Παράδειγµα Να υπολογίσετε την απόσταση του σηµείου Μ (,) από την ευθεία (ε): x 3 y+ 4= 0. Λύση: Θα είναι ( Μ, ε) d = 6+ 4 = =. + ( 3) 0 0 3

24 ΕΜΒΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ Έστω Α ( x, y ), Β( x y ) και ( ), Γ x 3, y 3 τρία µη συνευθεικά σηµεία του καρτεσιανού επιπέδου. Ζητάµε να υπολογίσουµε το εµβαδό του τριγώνου ΑΒΓ. Χωρίς απόδειξη θα χρησιµοποιούµε τον ακόλουθο τύπο ( ΑΒΓ ) = det( ΑΒ, ΑΓ) Παράδειγµα Να υπολογιστεί το εµβαδό του τριγώνου που ορίζεται από τα σηµεία ( 0, ), Β(,0), Γ( 3, 8) Α.. Λύση: Με βάση τα Α, Β, Γ εύκολα βρίσκουµε ότι: ΑΒ = (, ) και ΑΓ = ( 3, 9) το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ θα είναι ( ΑΒΓ ) = det( ΑΒ, ΑΓ), όπου det ( ΑΒ, ΑΓ) = = 9+ 3= ( ΑΒΓ) = = 6 τ.µ. 3 9, άρα, οπότε βιβλίου. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Να προσεχθούν οι εφαρµογές, της παραγράφου του σχολικού 4

25 Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο - Λ Α Θ Ο Σ.60 Η απόσταση του σηµείου ( x ) Μ από την ευθεία (ε): Α x +Β y+γ= 0, 0 0, y0 δίνεται από τον τύπο Α x0 +Β y0 +Γ d( Μ 0, ε ) = Α +Β Σ Λ.6 Έστω ένα σηµείο Μ και ε η ευθεία που ορίζουν τα σηµεία Α και Β. Θα ισχύει η ισοδυναµία d ( Μ,ε) = 0 Α, Β, Μ συνευθειακά Σ Λ Α.6 Το διάνυσµα = ( Β, Α) x+β y+ Γ = 0. δ είναι παράλληλο προς την ευθεία µε εξίσωση δ Σ Λ.63 Η απόσταση του σηµείου ( x ) δίνεται από τον τύπο Α x Μ από την ευθεία (ε): Α x +Β y+γ= 0, 0 0, y0 ( Μ ε) Α + 0 +Β y0 +Γ = d 0, Β Σ Λ.64 Τα σηµεία Α(-,0), Β(,3) και Γ(4,-) ορίζουν τρίγωνο εµβαδού 8τ.µ. Σ Λ 5

26 .65 Το εµβαδόν του τριγώνου που ορίζεται από την ευθεία x + 5y= 0 και τους δύο άξονες είναι 5τ.µ. Σ Λ.66 Η απόσταση του σηµείου ( 0,0) Σ Ο από την ευθεία y = x+ είναι ίση µε. Λ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ.67 Η απόσταση του σηµείου Μ(3,-) από την ευθεία x y+ = 0 είναι ίση µε τίποτα από τα προηγούµενα. εµβαδόν.68 Τα σηµεία Ο(0,0), Α(κ,0) και Β(0,λ) µε κ,λ>0 ορίζουν τρίγωνο που έχει κλ κλ κ ( κ + λ) ( κ λ) ( κ + λ) κ λ..69 Το εµβαδόν τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία Α(0,0), Β(α,0) και Γ(α,β) είναι α β α β α β α β α β..70 Θεωρούµε τις ευθείες µε εξισώσεις y = x και y = x+ 3. Η µεταξύ τους απόσταση θα είναι ίση µε

27 .7 Αν Α,Β,Γ είναι τρία σηµεία του επιπέδου και (ΑΒΓ) το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ, τότε η ( ΑΒ, ΑΓ) det είναι ίση µε (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) (ΑΒΓ) ή (ΑΒΓ) 0 (ΑΒΓ).7 Η απόσταση των παραλλήλων ευθειών ε : y = λ x+ β και ε : y = λ x+ β είναι ίση µε: β β β + β β + β β β β β. + λ 7

28 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ.73 Να βρεθεί η απόσταση του σηµείου Μ της τοµής των ευθειών x + 3y 5= 0 και x y+ 7= 0, από την ευθεία (ε) 3 x 5y+ = ίνεται το σηµείο Α(,), οι ευθείες ( ): x+ 5y+ 0 ( ): x+ 5y+ 5 0 = ε καθώς και = ε και έστω Β, Γ πάνω σε κάθε µία από αυτές αντίστοιχα. α) Να δείξετε ότι ( ε )//ε ( ) β) Να βρείτε την εξίσωση της µεσοπαράλληλης των ( ε )(, ε )..75 Να δείξετε ότι το σηµείο Α(,) ισαπέχει από τις ευθείες 3 x + 4 y=, 5 x y+ 0= 0και 4 x 3y= ίνονται τα σηµεία (, ), Β(,) Α και ( λ λ ) Γ +, +, λ R α) Να δείξετε ότι για κάθε λ R, τα παραπάνω σηµεία είναι κορυφές τριγώνου β) Να προσδιορίσετε τις τιµές του λ R ώστε το τρίγωνο να έχει εµβαδό 5 ίσο µε..77 Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σηµείο (5,6) και είναι παράλληλες προς τις ευθείες: x + 3y 8= 0 και 5 x 4 y 3= 0. Να βρεθεί στη συνέχεια το εµβαδόν του παραλληλογράµµου που σχηµατίζεται από τις ευθείες αυτές. 8

29 .78 Θεωρούµε τα σηµεία Α(,3), Β(,5), Γ(µ,µ+3), όπου µ R. α) Βρείτε την εξίσωση της ευθείας ΑΒ και το µήκος του τµήµατος ΑΒ β) Υπολογίστε την απόσταση του σηµείου Γ από την ευθεία ΑΒ για κάθε τιµή του µ. Υπολογίστε επίσης το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ για κάθε τιµή του µ γ) Μπορείτε να δικαιολογήσετε γεωµετρικά γιατί η απόσταση του Γ από το ΑΒ και το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ παραµένουν σταθερά καθώς το µ µεταβάλλεται στοr ;.79 Θεωρούµε τα σηµεία Β(4,), Γ(6,) και Α το σηµείο τοµής της ευθείας y= x και της µεσοκάθετης στο ευθύγραµµο τµήµα ΒΓ Α α) Να βρεθεί η εξίσωση της µεσοκάθετης στη ΒΓ και µετά το µήκος του ύψους β) Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας ΑΓ και µετά το µήκος του ύψους ΒΕ γ) Υπολογίστε το εµβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ..80 Να αποδείξετε ότι τα σηµεία (,), (3,4),(7,) και (5,8) ορίζουν ένα παραλληλόγραµµο του οποίου να υπολογίσετε το εµβαδόν. x y.8 ίνεται η ευθεία µε εξίσωση ε : + =. Αν Ο είναι η αρχή των αξόνων, να α β αποδείξετε ότι d = + ( Ο, ε) α β..8 Να βρεθεί η εξίσωση των διχοτόµων των γωνιών, των ευθειών µε εξίσωση 3x + 4xy 5y = 0. 9

30 .83 Θεωρούµε την εξίσωση ( ) x ( ) λ + 3λ+ 4 y 8λ 7= 0, λ R. α) Να δείξετε ότι η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία (ε) για κάθε τιµή του λ R, που διέρχεται από σταθερό σηµείο το οποίο και να βρείτε β) Να βρείτε τις τιµές του λ, όταν η παραπάνω ευθεία εφάπτεται στον κύκλο µε κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=..84 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου που έχουν σταθερό άθροισµα αποστάσεων από τις ευθείες x + y= 0 και x y= Σε χάρτη µε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων η θέση ενός λιµανιού προσδιορίζεται από το σηµείο Α(,6) και η θέση ενός πλοίου µε το σηµείο Π(λ-,+λ), όπου λ R. α) Για ποιες τιµές του λ το σηµείο Π έχει τετµηµένη µικρότερη από την τετµηµένη του Α; ευθύγραµµα β) Να εξετάσετε αν το πλοίο θα περάσει από το λιµάνι Α, όταν κινείται γ) Ποια είναι η ελάχιστη απόσταση της πορείας του πλοίου από το λιµάνι;.86 Έστω τρίγωνο ΑΒΓ, όπου Β (, ) και Γ (, 4) είναι ίσο µε τ.µ, να προσδιορίσετε το γεωµετρικό τόπο της κορυφής Α.. Αν το εµβαδόν του τριγώνου 30

31 .87 Σε χάρτη µε καρτεσιανό σύστηµα αξόνων ένα πλοιάριο ξεκινά από ένα λιµάνι Α και κατευθύνεται στο λιµάνι Ο. Το ραντάρ θέσης για κάθε χρονική στιγµή t δίνει συντεταγµένες για το πλοιάριο ( t 40, t 30), όπου t 0. α) Που βρίσκεται στο χάρτη το λιµάνι Α; β) Πόσο απέχει το λιµάνι Α από το Ο; γ) Είναι σωστή η πορεία του πλοιαρίου; Ποια είναι η εξίσωση της;.88 Θεωρούµε τις ευθείες µε εξισώσεις: ( ) ( ε ) β x ( α β) : + y=, µε α, β R και α β. ε : α x+ β y= καθώς και α) Βρείτε τη συνθήκη µεταξύ των α, β ώστε οι ευθείες να είναι παράλληλες β) Στην περίπτωση που οι ευθείες τέµνονται να αποδείξετε ότι το σηµείο τοµής τους κινείται σε σταθερή ευθεία..89 Να δείξετε ότι η εξίσωση 4x + y 4xy 8x+ 4y+ 3= 0 παριστάνει δύο παράλληλες ευθείες και στη συνέχεια να βρείτε το εµβαδόν του τραπεζίου που σχηµατίζουν οι ευθείες αυτές µε τους άξονες. θ θ θ θ.90 ίνονται τα σηµεία Α ηµ, συν και Β συν, ηµ, όπου π, π θ. Να βρείτε α) την εξίσωση της ευθείας ΑΒ β) την τιµή του θ για την οποία το τρίγωνο ΟΑΒ έχει το µέγιστο εµβαδό. 3

32 .9 Σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Oxy, η εξίσωση της ευθείας ( ) x ( ) λ + λ+ y λ 3= 0,λ R παριστάνει τη φωτεινή ακτίνα που εκπέµπει ένας περιστρεφόµενος φάρος Φ. α) Βρείτε τις συντεταγµένες του φάρου Φ β) Τρία πλοία βρίσκονται στα σηµεία Κ (,), Λ(,5) και Μ (,3) εξισώσεις των φωτεινών ακτίνων που διέρχονται από τα πλοία Κ,Λ,Μ. Να βρείτε τις γ) Να προσδιορίσετε ποιο από τα πλοία Κ και Λ βρίσκεται πλησιέστερα στη φωτεινή ακτίνα που διέρχεται από το πλοίο Μ δ) Να υπολογίσετε το εµβαδό της θαλάσσιας περιοχής που ορίζεται από το φάρο Φ και τα πλοία Λ και Μ..9 α) Να βρείτε τη σχετική θέση των ευθειών x+ y 5= 0 και x 3y 0 β) Να εξετάσετε αν η ευθεία 685x+ 750y= ανήκει στην οικογένεια ευθειών ( ) x+ y 4+ λ x 3y 4 = 0, λ R Η ευθεία y= x+ 3είναι η µεσοπαράλληλος δύο ευθειών ε, ε οι οποίες απέχουν µεταξύ τους απόσταση ίση µε 8. Να βρεθούν οι εξισώσεις των ευθειών αυτών. 3

33 .94 ίνονται οι ευθείες ε : x+ y= 0 και ε : x y 4= 0 α) Να βρείτε το σηµείο τοµής των ευθειών β) Να προσδιορίσετε το γεωµετρικό τόπο των σηµείων Μ του επιπέδου των οποίων ο λόγος των αποστάσεων από τις ε και ε αντίστοιχα είναι ίσος µε..95 Τα σχέδια κατασκευής του µετρό µιας πόλης σ ένα ορθοκανονικό σύστηµα συντεταγµένων Oxy, περιλαµβάνουν τη γραµµή Γ, που διέρχεται από το Τ και είναι παράλληλη στο διάνυσµα v= i+ 3 j, και τη γραµµή σταθµό (,) Γ, που διέρχεται από το σταθµό ( 3, ) u= (, ). Σ και είναι παράλληλη στο διάνυσµα α) Να βρεθεί η εξίσωση Γ στη µορφή Α x+β y+γ= 0 β) Να βρεθεί στην ίδια µορφή και η εξίσωση της γραµµής Γ γ) Στο σηµείο Ο ( 0,0) πρέπει να κατασκευαστεί ένας νέος σταθµός που θα εξυπηρετεί µια συγκεκριµένη περιοχή. εδοµένου ότι το κόστος κατασκευής ανά µονάδα µήκους γραµµής είναι το ίδιο για όλες τις περιοχές, µε ποια από τις δύο παραπάνω γραµµές συµφέρει να συνδεθεί ο νέος σταθµός έτσι ώστε η κατασκευή να έχει το µικρότερο κόστος; 33

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 - ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η µελέτη της έλλειψης, της παραβολής και της υπερβολής από τους Αρχαίους Έλληνες Μαθηµατικούς, έχει την αφετηρία της σε προβλήµατα γεωµετρικών κατασκευών. Ιστορικά ευρήµατα µας δίνουν τη δυνατότητα να υποθέτουµε βάσιµα πως οι 3 παραπάνω καµπύλες ανακαλύφθηκαν στην περίφηµη Ακαδηµία του Πλάτωνα περίπου στα 350 π.χ από τον Μέναιχµο. Γύρω στα 300 π.χ η υπερβολή, η έλλειψη και η παραβολή είχαν γίνει αντικείµενο συστηµατικής µελέτης, ως οι τοµές που δηµιουργούνται στην επιφάνεια ενός κώνου από ένα επίπεδο κάθετο σε µια γενέτειρά του. Συγκεκριµένα ανάλογα µε τη γωνία της κορυφής του κώνου οι καµπύλες αυτές ορίζονταν ως «οξυγωνίου κώνου τοµή», δηλαδή έλλειψη «ορθογωνίου κώνου τοµή», δηλαδή παραβολή «αµβλυγωνίου κώνου τοµή», δηλαδή υπερβολή. ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας ρ καλείται το σύνολο των σηµείων του επιπέδου που απέχουν από το Ο απόσταση ίση µε ρ. Βασιζόµενοι σ αυτόν τον γεωµετρικό ορισµό µπορούµε να ισχυριστούµε ότι ένα σηµείο Μ ( x, y) ανήκει σε κύκλο C κέντρου ( 0,0) ότι Ο και ακτίνας ρ αν και µόνο αν ισχύει ( ΟΜ) = ρ x + y = ρ x + y = ρ 34

35 ηλαδή ο κύκλος κέντρου Ο ( 0,0) και ακτίνας ρ έχει εξίσωση + y = x ρ. Χαρακτηριστικό παράδειγµα τέτοιου κύκλου είναι ο µοναδιαίος κύκλος x + y = που είναι γνωστός και από την Τριγωνοµετρία ως ο τριγωνοµετρικός κύκλος. ΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΥΚΛΟΥ Έστω ο κύκλος C : x + y = ρ και ένα σηµείο ( x, y) επιπέδου. Αν το Μ ( x, y) ανήκει στον κύκλο C και φ [ 0, π) Μ του καρτεσιανού είναι η γωνία που σχηµατίζει το διάνυσµα ΟΜ µε τον άξονα Τριγωνοµετρία θα ισχύουν οι σχέσεις xx ' τότε όπως γνωρίζουµε από την 35

36 x = ρ συνφ και y = ρ ηµφ. () ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ, αν για τις συντεταγµένες ( x, y) του Μ ισχύουν οι σχέσεις (), τότε το Μ θα ανήκει στον κύκλο C, αφού ( ηµ φ+ συν φ) x + y = ρ συν φ+ ρ ηµ φ = ρ. Εποµένως, οι συντεταγµένες των σηµείων Μ( x, y) ικανοποιούν τις εξισώσεις x = ρ συνφ και = ρ ηµφ του κύκλου C και µόνον αυτές y, φ [ 0, π) Οι εξισώσεις αυτές καλούνται παραµετρικές εξισώσεις του κύκλου C. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΚΥΚΛΟΥ Θα αποδείξουµε ότι η εξίσωση της ευθείας (ε) που είναι εφαπτοµένη του κύκλου C : x + y = ρ σε ένα σηµείο του ( ) Α x, y είναι η xx + yy = ρ Απόδειξη Έστω ε η εφαπτοµένη του κύκλου : + y = ρ Α ( ).Από τη Γεωµετρία γνωρίζουµε ότι ένα σηµείο ( x, y ) x, y C x σε ένα σηµείο του Μ ανήκει στην ε αν και µόνο αν ισχύει ΟΑ ΑΜ ΟΑ ΑΜ= 0. () 36

37 δηλαδή Όµως είναι ΟΑ = ( ) και ΑΜ = ( x x y ) x x, y, y. Εποµένως η () γράφεται ( x x ) + y ( y y ) = xx + yy = x + y xx + yy = 0 ρ αφού το Α είναι σηµείο του κύκλου και συνεπώς θα επαληθεύει την εξίσωση του, x + y =. ρ, Παράδειγµα Έστω ο κύκλος x + y = 9. Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτοµένης του κύκλου αυτού στο σηµείο του (, 8) Α. Λύση Η εξίσωση εφαπτοµένης του κύκλου στο σηµείο Α, σύµφωνα µε τον παραπάνω τύπο είναι η ( ) + y 8 = 9 x+ y = 9 x. Η ΕΞΙΣΩΣΗ x + y +Αx+Βy+Γ= 0. 37

38 Α ΘΕΩΡΗΜΑ Κάθε κύκλος έχει εξίσωση της µορφής x + y +Αx+Βy+Γ= 0 µε +Β 4Γ> 0, αλλά και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της παραπάνω µορφής παριστάνει κύκλο. Έστω Απόδειξη Ο xy ένα σύστηµα συντεταγµένων στο επίπεδο και C ο κύκλος µε κέντρο Κ( x 0, y 0 ) και ακτίνα ρ. Ένα σηµείο ( x, y) Μ ανήκει στον παραπάνω κύκλο, αν και µόνο αν απέχει από το κέντρο του απόσταση ίση µε ρ, δηλαδή αν και µόνο αν ισχύει η σχέση ( ΚΜ) = ρ ( x ) + ( y y ) = ρ ( x x ) + ( y y ) = x ρ Η τελευταία σχέση πρέπει να επισηµάνουµε πως αποτελεί τη γενική µορφή εξίσωσης κύκλου, καθώς αρχικά γνωρίσαµε µόνο την περίπτωση που κέντρο του κύκλου ήταν η αρχή των αξόνων. Εκτελώντας τώρα τις πράξεις στην παραπάνω εξίσωση έχουµε x ( x + y ) = 0 + y x x y y+ ρ , η οποία λαµβάνει τη µορφή που θέλουµε µε Α= ρ x 0, Β= y0, Γ= x0 + y0. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ, µπορούµε διαδοχικά να γράψουµε ( x Αx) + ( y +Βy) Α Α Β Β Α + = Γ x + x+ + = Γ+ + 4 y + y+ 4 4 Β Α Β Α +Β 4Γ x + + y+ =. 4 4 Εποµένως Αν Α +Β 4Γ > 0, τότε η τελευταία εξίσωση παριστάνει κύκλο µε κέντρο Α Β Α +Β 4Γ Κ, και ακτίνα ρ =. 38

39 Αν Α +Β 4Γ = 0, τότε η εξίσωση παριστάνει ένα µόνο σηµείο το Α Β Κ,. Αν Α +Β 4Γ< 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη. Παράδειγµα Να δείξετε ότι η εξίσωση x x+ y y= 5, αποτελεί εξίσωση κύκλου του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα. Λύση Μπορούµε να εργαστούµε µε τη µέθοδο συµπλήρωσης τετραγώνου ως εξής x x + x + ( y ) ( y y) = 5 x x+ + ( y y+ ) = Η τελευταία εξίσωση αποτελεί εξίσωση κύκλου µε κέντρο = 5+ + Κ, και 4 5 ρ =. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΟΝ ΚΥΚΛΟ ) Αν γνωρίζουµε το κέντρο ( ) γνωστή ευθεία (ε), τότε θα είναι ρ ( Κ,ε) στην εφαπτοµένη του κύκλου, στο σηµείο επαφής. Ειδικά αν ο κύκλος εφάπτεται α) στον xx ' τότε: ρ = y0 β) στον yy ' τότε: ρ = x0 γ) και στους άξονες τότε: ρ = x 0 = y0. Κ x, y 0 0 του κύκλου και ότι ο κύκλος εφάπτεται σε = d, δηλαδή το κέντρο ανήκει σε ευθεία κάθετη ) Αν ο κύκλος εφάπτεται σε γνωστές ευθείες, τότε το κέντρο του θα ανήκει στη διχοτόµο των ευθειών, εκτός αν είναι παράλληλες οπότε θα ανήκει πάνω στη µεσοπαράλληλο τους. 39

40 3) Αν ο κύκλος διέρχεται από γνωστά σηµεία Α ( x, y ), Β( x y ),, όχι αντιδιαµετρικά, τότε το κέντρο του βρίσκεται πάνω στη µεσοκάθετο του τµήµατος ΑΒ. Αν βέβαια τα Α,Β είναι αντιδιαµετρικά, τότε το κέντρο του είναι το µέσο του τµήµατος ΑΒ. 4) Αν ο κύκλος διέρχεται από 3 σηµεία Α ( x, y ), Β( x, y ), Γ( x y ) 3, 3, τότε το κέντρο του ανήκει στην τοµή των µεσοκαθέτων των ευθυγράµµων τµηµάτων ΑΒ, ΑΓ. Μπορούµε επίσης προκειµένου να προσδιορίσουµε την εξίσωση του κύκλου, να χρησιµοποιήσουµε την εξίσωση x + y +Α x+β y+γ= 0, αντικαθιστώντας τις συντεταγµένες των 3 σηµείων και να λύσουµε σύστηµα µε αγνώστους τους Α,Β,Γ. 5) Αν ζητείται ο περιγεγραµµένος κύκλος ενός τριγώνου, τότε το κέντρο είναι το περίκεντρο, δηλαδή το σηµείο τοµής των µεσοκαθέτων των πλευρών του. 6) Για να σχηµατίσουµε την εξίσωση εφαπτοµένης δοσµένου κύκλου, τότε α) Αν το σηµείο επαφής είναι σηµείο του κύκλου τότε αξιοποιούµε το γεγονός ότι η ακτίνα στο σηµείο επαφής είναι κάθετη στην εφαπτοµένη. β) Αν όµως ζητείται η εφαπτοµένη από σηµείο εκτός κύκλου, τότε γράφουµε όλες τις εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το σηµείο και δηµιουργούµε σύστηµα µε την εξίσωση του κύκλου, απαιτώντας αυτό να έχει µοναδική λύση. Σε τέτοιες περιπτώσεις καταλήγουµε σε εξίσωση δευτέρου βαθµού, από την οποία ζητάµε να είναι =0. Ο τρόπος αυτός εφαρµόζεται και στις άλλες κωνικές τοµές που θα γνωρίσουµε παρακάτω. Μια άλλη εναλλακτική λύση µας προσφέρει και η εφαρµογή του σχολικού βιβλίου σελ 86. Σχόλιο Είναι χρήσιµος ο σχεδιασµός και ενός πρόχειρου σχήµατος καθώς σε αυτές τις ασκήσεις σκεφτόµαστε γεωµετρικά και επιλύουµε αλγεβρικά, χρησιµοποιώντας παράλληλα γνώσεις και από τα προηγούµενα κεφάλαια της Αναλυτικής Γεωµετρίας. 40

41 Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο Λ Α Θ Ο Σ 3. Τα σηµεία Μ(, ) και ( 4,) ( x ) ( y ) + = 9. Ν είναι αντιδιαµετρικά σηµεία του κύκλου Σ Λ 3. Η εξίσωση y ( x ) 0 x + + α + y+ =, παριστάνει κύκλο για κάθε θετικό αριθµό α. Σ Λ 3.3 Οι κύκλοι x + y + 4x 6 y= 0 και x + y + 8x y+ 7= 0 είναι οµόκεντροι. Σ Λ 3.4 Η εξίσωση x x+ y = 4,παριστάνει κύκλο µε κέντρο το σηµείο (-,0) Σ Λ 4

42 Οι κύκλοι ( x ) ( y ) και ( x ) ( y ) 0 εξωτερικά. Σ Λ = + + =, εφάπτονται 3.6 Η εξίσωση x + y = ρ, όπου ρ > 0, παριστάνει κύκλο ακτίνας ρ. Σ Λ 3.7 Η εξίσωση x + y + α x+ β y+ γ = 0, µε α + β 8γ = 0, παριστάνει σηµείο. Σ Λ 3.8 Έστω ο κύκλος x + y + α x+ β y+ γ = 0. Αν α>0 και β>0, τότε το κέντρο του κύκλου βρίσκεται στο τρίτο τεταρτηµόριο. Σ Λ 3.9 Η εξίσωση εφαπτοµένης του κύκλου x + y = 5 στο σηµείο του Μ(3,-4) είναι η 3 5 y = x. 4 4 Σ Λ 3.0 Η σχέση α x α. = α είναι τύπος συνάρτησης που παριστάνει ηµικύκλιο µε y x Σ Λ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ 3. Το κέντρο του κύκλου που έχει διάµετρο ΑΒ µε Α(,-5) και Β(3,7) είναι το Κ(,-6) Κ(-,-) Κ(4,) Κ(,) Κ(-,) 4

43 3. Η ακτίνα του κύκλου x + y = 8είναι ίση µε Ο κύκλος ( ) ( ) x 3 + y = ρ, εφάπτεται του άξονα xx '. Η τιµή του ρ θα είναι ίση µε 5 3 καµία από αυτές. 3.4 Ο κύκλος x + y + x = 0 εφάπτεται στον xx ' εφάπτεται στον yy ' τέµνει τον δεν τέµνει τον άξονα εφάπτεται και στους άξονες. yy ' σε σηµεία 3.5 Ο κύκλος ( ) ( ) τιµή του κ είναι 3.6 ίνεται το σηµείο x + + y = κ διέρχεται από την αρχή των αξόνων όταν η ± ηµθ, συνθ, Α θ R και ο κύκλος x + y =. Το σηµείο Α ανήκει στον κύκλο για κάθε τιµή του θ Το σηµείο Α ανήκει στον κύκλο αν θ ( 0,π) Το σηµείο Α βρίσκεται µέσα στον κύκλο Το σηµείο Α βρίσκεται έξω από τον κύκλο Το σηµείο Α βρίσκεται για τις διάφορες τιµές του θ άλλοτε µέσα και άλλοτε έξω από τον κύκλο. 3.7 Ο κύκλος ( ), 0 x + y α x+ y = α α > ( α, α) ( α,α) α, α 3.8 Αν ο κύκλος ( ) ( ) ακτίνα του θα είναι ίση µε, έχει κέντρο ( ) α α, ( α,α) x + y+ = ρ εφάπτεται στην ευθεία y = x+ 5, τότε η

44 3.9 Ο κύκλος µε κέντρο Κ( x 0,0) που εφάπτεται στον άξονα yy ' έχει εξίσωση x x + y = x ( ) x x + y = x ( ) 0 0 x + y = x 0 καµία από τις προηγούµενες. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ 3.0 Να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα σε καθένα από τους παρακάτω κύκλους 5 α) x + y + 4x 0y+ 4= 0 β) x + y + x = 0 4 β γ) x + y + 8α x β y+ 7α = Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου σε καθεµία από τις παρακάτω περιπτώσεις y = 3x α) ιέρχεται από τα σηµεία (3,), (-,3) και έχει κέντρο πάνω στην ευθεία β) Έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και εφάπτεται της ευθείας 3 x + y= 0 σηµείο (-6,). γ) Έχει κέντρο το σηµείο (-3,), εφάπτεται στον άξονα yy ' και διέρχεται από το δ) είναι οµόκεντρος του κύκλου x + y x+ 4y 5= 0 και εφάπτεται της ευθείας y = x ίνεται η ευθεία y=λ x και ο κύκλος x + y 4x+ = 0. Να προσδιορίσετε την τιµή του λ R, ώστε η ευθεία 44

45 α) Να τέµνει τον κύκλο σε δύο σηµεία β) Να εφάπτεται του κύκλου γ) Να µην έχει κοινά σηµεία µε τον κύκλο. 3.3 ίνονται τα σηµεία Α(,), Β(,4) και Γ(3,). α) Να δείξετε ότι η γωνία ΒΑ ^ Γ είναι ορθή β) Να βρεθεί η εξίσωση κύκλου που διέρχεται από τα τρία παραπάνω σηµεία. 3.4 Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου x + y = 9που έχει το σηµείο (,) ως µέσο. 3.5 Να αποδείξετε ότι για κάθε φ R τα σηµεία Μ( + 3,3ηµφ 4) συνφ, βρίσκονται πάνω σε κύκλο του οποίου και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα. 3.6 Να αποδείξετε ότι το τετράπλευρο µε κορυφές τα σηµεία Α(7,), Β(6,4), Γ(-,4) και (5,5) είναι εγγράψιµο. 3.7 ίνονται ο κύκλος x + y x 4= 0 και η ευθεία x + y 3= 0. α) Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του κύκλου β) Να βρεθούν τα σηµεία τοµής κύκλου και ευθείας γ) Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων του κύκλου στα σηµεία τοµής µε την ευθεία και οι συντεταγµένες του σηµείου τοµής Γ των εφαπτοµένων δ) Να υπολογιστεί η δύναµη του σηµείου Γ ως προς τον κύκλο. x + y = 3.8 Να δείξετε ότι οι κύκλοι :( ) 4 εφάπτονται εσωτερικά. C και C : x x+ y 0, = 3.9 Να δείξετε ότι η εξίσωση x + y + λ x = 0, παριστάνει κύκλο για κάθε τιµή του λ R. Ακολούθως να βρεθεί η γραµµή πάνω στην οποία βρίσκονται τα κέντρα αυτών των κύκλων. 45

46 3.30 Να βρεθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων από την αρχή των αξόνων προς τον κύκλο µε εξίσωση x + y 6x+ = Να βρεθεί η εξίσωση και το µήκος της κοινής χορδής των κύκλων µε εξισώσεις x + y 4x+ 8y 30= 0 και x + y + 8x 6 y+ 30= ίνεται ο κύκλος x + y + 6x y+ 6= 0. α) Να βρεθεί το κέντρο και η ακτίνα του β) είξτε ότι η ευθεία x =, εφάπτεται του κύκλου γ) Έστω P x 0, y ) τυχαίο σηµείο του κύκλου. είξτε ότι για τις συντεταγµένες ( 0 του σηµείου αυτού αληθεύουν οι ανισότητες 5 x 0 και y 0 3. y= x 3.33 Θεωρούµε τον κύκλο ( ): 4 0 C x + y x y+ α) Να δείξετε ότι ο κύκλος αυτός εφάπτεται του άξονα xx ' β) Να βρεθεί το συµµετρικό σηµείο του κέντρου του κύκλου ως προς την ευθεία γ) Αν Ρ συµβολίσουµε το συµµετρικό του κύκλου που βρέθηκε στο προηγούµενο ερώτηµα, να δείξετε ότι το Ρ είναι εσωτερικό σηµείο του κύκλου. = 3.34 ίνονται οι κύκλοι C : x y 6 + = και ( ) C x y α) οι κύκλοι εφάπτονται εσωτερικά στο σηµείο Α( 4,0) β) κάθε χορδή ΑΒ του κύκλου C διχοτοµείται από τον C. : + + = 4. Να δείξετε ότι 46

47 3.35 Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων, οι οποίοι έχουν ακτίνα ρ=3 και εφάπτονται εσωτερικά του κύκλου C ( x ) ( y ) : = Να δείξετε ότι οι κύκλοι C x + y + α x+ γ = και : 0 α) δύο διαφορετικά κοινά σηµεία C x + y + β y γ = έχουν : 0 β) κάθετες εφαπτοµένες σε κάθε κοινό σηµείο τους Σε µια τετράγωνη πλατεία πλευράς 70µέτρων υπάρχει µια µικρή τεχνητή λίµνη κυκλικού σχήµατος. Προκειµένου να βρεθεί η ακτίνα της λίµνης τρεις µαθητές επέλεξαν τρία σηµεία Α,Β,Γ της περιφέρειας της και µέτρησαν τις αποστάσεις από τις πλευρές της πλατείας, όπως ακριβώς δείχνει το σχήµα. Αν η απόσταση στους άξονες αντιστοιχεί σε µέτρο, να βρεθεί η ακτίνα της λίµνης Να δείξετε ότι 47

48 α) ο κύκλος µε εξίσωση x σηµεία + y = 3και η ευθεία x y 5= 0δεν έχουν κοινά = 0, λ R, παριστάνει κύκλο C λ. Ποιος β) η εξίσωση x y λ( x y ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των κέντρων των κύκλων αυτών; ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3. Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω µια ευθεία δ και ένα σηµείο Ε εκτός της δ. Ονοµάζεται παραβολή µε εστία Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το Ε και την δ. Αν Α είναι η προβολή της εστίας Ε στη διευθετούσα δ, τότε το µέσο Ο του ΕΑ είναι προφανώς σηµείο της παραβολής και ονοµάζεται κορυφή της. 48

49 εξής Πρακτικά κατασκευάζουµε την παραβολή που έχει εστία Ε και διευθετούσα δ ως Τοποθετούµε έναν κανόνα κατά µήκος της ευθείας δ. Ένας γνώµονας «ολισθαίνει» έτσι ώστε η µία κάθετη πλευρά του να εφαρµόζει στον κανόνα. Παίρνουµε ένα σηµείο Β στην ελεύθερη κάθετη πλευρά του γνώµονα και ένα νήµα που το µήκος του να είναι ίσο µε την απόσταση του Β από τη δ. Στερεώνουµε το ένα άκρο του νήµατος στο Ε και το άλλο άκρο στο Β. Αν µετακινήσουµε το γνώµονα κατά µήκος του κανόνα και µε ένα µολύβι που βρίσκεται στην ελεύθερη κάθετη πλευρά του γνώµονα διατηρούµε το νήµα τεντωµένο, τότε το µολύβι κατά την κίνησή του γράφει µία παραβολή γιατί προφανώς ΜΛ=ΜΕ. ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ 49

50 p Έστω C η παραβολή µε εστία Ε, 0 και διευθετούσα δ: p x=. Με τη βοήθεια του ορισµού αποδεικνύεται ότι η εξίσωση της παραπάνω παραβολής είναι η y = px. Ο αριθµός p καλείται παράµετρος της παραβολής ενώ η p παριστάνει την απόσταση της εστίας από τη διευθετούσα. Παράδειγµα Η παραβολή µε εστία το σηµείο (,0) προφανώς p = και κατά συνέπεια εξίσωση Ε και διευθετούσα την ευθεία x = έχει y = 4x. Αν τώρα πάρουµε σύστηµα συντεταγµένων Ο xy µε αρχή Ο την κορυφή της παραβολής και άξονα yy ' την κάθετη από το Ε στη δ, τότε δουλεύοντας όπως πριν θα βρούµε πως η παραβολή έχει εξίσωση: x = py 50

51 Η τελευταία εξίσωση µπορεί ισοδύναµα να γραφεί και στην µορφή x p y=, που µας θυµίζει τη γνωστή από την Α Λυκείου συνάρτηση y =α x τη γραφική παράσταση της οποίας την ονοµάζαµε παραβολή. Παράδειγµα Η εξίσωση σηµείο ( 0,) x 4 y= παριστάνει παραβολή που έχει = Ε και διευθετούσα την ευθεία y =. p και συνεπώς εστία το Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Έστω µία παραβολή y = px (). Από την εξίσωση () είναι φανερό ότι τα p, x είναι οµόσηµα. Συνεπώς κάθε φορά η παραβολή βρίσκεται στο ηµιεπίπεδο που ορίζει ο άξονας και η εστία Ε. Με λίγα λόγια η παραβολή βρίσκεται στο ίδιο ηµιεπίπεδο που ορίζει η διευθετούσα δ και η εστία Ε. yy ' 5

52 Αν το σηµείο ( ) x, y Μ είναι σηµείο της παραβολής, δηλαδή y = px, τότε και το σηµείο '( x y ) ( y ) = px Μ, θα είναι σηµείο της ίδιας παραβολής αφού Αυτό σηµαίνει πως ο άξονας xx ' είναι άξονας συµµετρίας της παραβολής και λέγεται άξονας της παραβολής. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ Έστω η παραβολή C µε εξίσωση ( x ), y y = px και επιπλέον ένα σταθερό της σηµείο Μ. Η εφαπτοµένη της παραβολής αυτής στο σηµείο Μ, έχει εξίσωση ( x ) yy = p +. x Παράδειγµα Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής = στο σηµείο της (, ) y 4x Μ. Λύση Με βάση τον παραπάνω τύπο θα έχουµε ( ) ( ) 0 y = x+ x+ y+ =. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Σε άσκηση µπορεί να ζητηθούν οι εξισώσεις των εφαπτοµένων της παραβολής που φέρονται από γνωστό σηµείο P ( x 0, y 0 ) προς την παραβολή y = px. Σε αυτές τις περιπτώσεις έχουµε τη δυνατότητα να εργαστούµε µε έναν από τους εξής τρόπους α τρόπος Θεωρούµε όλες τις ευθείες που διέρχονται από το P ( x 0, y 0 ), δηλαδή τις ( x x0), ε x 0 ε : y y = λ = x. 0 : Εξετάζουµε αν το σύστηµα { px, ε } τότε η ε είναι εφαπτοµένη. y = έχει διπλή λύση. Αν αυτό συµβαίνει Στη συνέχεια προσδιορίζουµε το λ ώστε το σύστηµα { px, ε } λύση. Για αυτές τις τιµές του λ η ε είναι εφαπτοµένη. y = να έχει διπλή 5

53 β τρόπος Γράφουµε την εξίσωση της εφαπτοµένης της παραβολής στο τυχαίο σηµείο ( x, y ) της παραβολής, δηλαδή την yy p ( x+ x ) από το σηµείο P ( x 0, y 0 ). Τότε ισχύουν y0y = p y = px = και απαιτούµε να διέρχεται ( x + x ) Από το σύστηµα αυτό προσδιορίζουµε τα x, y και συνεπώς την εξίσωση της εφαπτοµένης. 0 ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ. Η κάθετη στην εφαπτοµένη µιας παραβολής στο σηµείο επαφής Μ διχοτοµεί τη γωνία που σχηµατίζουν η ηµιευθεία ΟΕ, όπου Ε η εστία της παραβολής. Μ Ε και η ηµιευθεία Μ t, που είναι οµόρροπη της ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Η χρήση της παραπάνω ιδιότητας γίνεται στα παραβολικά τηλεσκόπια, στα ραντάρ, καθώς και στα φανάρια των αυτοκινήτων. Συγκεκριµένα, όλες οι ακτίνες φωτός που προσπίπτουν στο παραβολικό κάτοπτρο παράλληλα προς τον 53

54 άξονα του, ανακλώµενες, συγκεντρώνονται στην εστία. Εποµένως στα φανάρια των αυτοκινήτων που έχουν παραβολικά κάτοπτρα, οι λαµπτήρες βρίσκονται στην εστία τους. Έτσι, οι φωτεινές ακτίνες, ανακλώµενες στο κάτοπτρο, εξέρχονται παράλληλα προς τον άξονα του. ΣΧΟΛΙΟ Βασιζόµενοι στην απόδειξη της ανακλαστικής ιδιότητας, για να φέρουµε την εφαπτοµένη της παραβολής σε ένα σηµείο της Μ ( x ) σηµεία Ν ( ) και ( x ) x,0 Μ., y, y, αρκεί να ενώσουµε τα Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο Λ Α Θ Ο Σ 3.39 Η παραβολή µε εστία το σηµείο (,0) έχει παράµετρο p =. Σ 3.40 Η ευθεία y= 4είναι παράλληλη στην διευθετούσα της παραβολής y = x. 4 Σ Λ Λ 3.4 Η παραβολή x = 8 y δεν αποτελεί γραφική παράσταση συνάρτησης Σ Λ 3.4 Μία παραβολή µε κορυφή την αρχή των αξόνων και διευθετούσα την ευθεία p y=, έχει άξονα συµµετρίας τον xx '. Σ Λ 54

55 3.43 Όλα τα σηµεία της y = px, p> 0, εκτός της αρχής, έχουν θετική τετµηµένη Σ Λ 3.44 Ο κύκλος ( ) x + y = και η παραβολή y = x εφάπτονται. Σ Λ 3.45 Η εξίσωση y = x, x 0παριστάνει καµπύλη της µορφής του διπλανού σχήµατος. Σ Λ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ 3.46 Η παραβολή που έχει εστία Ε(0,3) και κορυφή το Ο(0,0) έχει εξίσωση y = 6x x = 6 y x = y y = x y = x Η εφαπτοµένη της παραβολής y = 6x στο σηµείο (,4) είναι παράλληλη στην ευθεία y= x y= x y = x+ y = x+ 4 y= x Τα κοινά σηµεία της παραβολής y = 8x και της ευθείας x y= 0είναι (0,0) και (,) (8,8) και (,) (0,0) και (8,8) (,4) και (4,) Το σηµείο Α(κ,4) ανήκει στην παραβολή y = 4x. Η τιµή του κ θα είναι ίση µε

56 3.50 Η εξίσωση της παραβολής µε κορυφή το Ο(0,0) και διευθετούσα την έχει εξίσωση 3 x =, y = 6x y = 3x y = 6x x = 6 y x = 3 y. 3.5 Η εξίσωση y = 4α x παριστάνει παραβολή, µόνο όταν α>0 παριστάνει παραβολή, µόνο όταν α = p, ( p> 0) παριστάνει παραβολή για κάθε πραγµατικό αριθµό παριστάνει παραβολή για κάθε α 0 παριστάνει παραβολή για κάθε ρητό αριθµό α. 3.5 Η εφαπτοµένη της παραβολής y px συντελεστή διεύθυνσης = στο σηµείο της ( x ) ( 0,0), y p p y λ = λ = y λ = λ = y p p λ = p. y έχει 3.53 Η εξίσωση y = x, παριστάνει 6 µία παραβολή δύο παραβολές παραβολή µόνο αν x > 0 παραβολή µόνο αν x 0 δύο ευθείες. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ 3.54 Να βρεθεί η εξίσωση της παραβολής µε κορυφή την αρχή των αξόνων στις παρακάτω περιπτώσεις 56

57 α) Είναι συµµετρική ως προς τον Oxκαι διέρχεται από το Α(-,4) β) Είναι συµµετρική ως προς τον Oy και έχει εστία το (0,-4) γ) Έχει άξονα συµµετρίας τον Ox και εφάπτεται της ευθείας y = 4 x ίνεται η παραβολή y = x και η ευθεία x + y=. α) Να δείξετε ότι ευθεία και παραβολή τέµνονται. β) Αν Κ, Λ τα σηµεία τοµής τους, να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες της παραβολής στα σηµεία αυτά τέµνονται σε ένα σηµείο Μ, το οποίο βρίσκεται πάνω στην παραβολή y = x Έστω η παραβολή y = 4c x και δύο σηµεία της Α ( x, y ) και ( x, y ) Β, µε λ ΑΒ = m. Να δείξετε ότι το µέσο Μ της ΑΒ κινείται σε σταθερή ευθεία Έστω η παραβολή C : y 4x = και το σηµείο της ( ) και Λ τα σηµεία τοµής της εφαπτοµένης ε της C στο Ρ µε τον άξονα δ και τον άξονα xx ' αντίστοιχα, να αποδείξετε ότι α) το ΜΡΕΛ είναι παραλληλόγραµµο β) η κάθετη από το Ε στη ΡΛ διέρχεται από το Κ γ) η κάθετη από το Ν στη ΡΛ εφάπτεται στη C δ) ( ΕΚ) = ( ΕΟ) ( ΛΕ) P x, y. Αν ΡΜ δ και Κ, Ν yy ', τη διευθετούσα 3.58 Από το σηµείο (-,3) προς την παραβολή y = 8x γράφονται δύο εφαπτόµενες ευθείες. α) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτοµένων αυτών των ευθειών β) Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόµενες αυτές είναι µεταξύ τους κάθετες. 57

58 3.59 Έστω η παραβολή y = 4 px, p> 0. Μία χορδή ΑΒ είναι κάθετη στον άξονα της παραβολής και έχει µήκος 8 p. Να αποδείξετε ότι ΟΑ ΟΒ= ίνεται η παραβολή y = x. α) Να βρεθούν η εστία και η διευθετούσα της β) Να βρεθεί η απόσταση του σηµείου της Α(,) από την εστία Ε και να συγκριθεί µε την απόσταση (ΟΕ) γ) Να αποδείξετε ότι σε κάθε παραβολή το σηµείο της µε τη µικρότερη απόσταση από την εστία είναι η κορυφή της Ο δ) Να βρεθεί σηµείο στην παραβολή y = px που να απέχει από την εστία Ε απόσταση διπλάσια της ΟΕ. 3.6 α) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου που ισαπέχουν από το σηµείο (0,) και την ευθεία y = β) Να βρεθούν οι εξισώσεις και τα σηµεία επαφής των εφαπτοµένων του γεωµετρικού τόπου που είναι παράλληλες προς τις ευθείες x + y= 0 και x y= 0, αντίστοιχα γ) Να βρεθεί το εµβαδόν του τριγώνου, που έχει κορυφές το σηµείο τοµής των εφαπτοµένων και τα σηµεία επαφής µε το γεωµετρικό τόπο. 3.6 Ευθεία παράλληλη στον άξονα της παραβολής y = 4αx την τέµνει στο Ρ, ενώ τέµνει τη διευθετούσα της στο Σ. Εάν Ε είναι η εστία της παραβολής, να δείξετε ότι η ΣΕ είναι κάθετη στην εφαπτοµένη της παραβολής στο Ρ Οι εφαπτοµένες της παραβολής y 4αx ( α ν t, α νt) Β =, στα σηµεία Α ( α t, α t ), όπου ν φυσικός αριθµός διάφορος του, τέµνονται σε σηµείο Μ διαφορετικό της αρχής των αξόνων. Αν για κάθε τιµή του t, το σηµείο Μ ανήκει στην παραβολή y = 9α x, να βρεθεί η τιµή του ν. και 58

59 3.64 Θεωρούµε την παραβολή y = 4α x και τα σηµεία της Α ( x, y ), ( x, y ) Β. α) Εάν ΟΑ ΟΒ να δείξετε ότι το γινόµενο y y είναι σταθερό β) Να δείξετε ότι η χορδή ΑΒ τέµνει τον ηµιάξονα Ox σε σταθερό σηµείο γ) Να βρεθεί ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων τοµής των εφαπτοµένων της παραβολής στα Α, Β ίνεται η εξίσωση x y + 6x+ 9= 0. α) Να δείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση παριστάνει ευθείες ε,ε β) Να δείξετε ότι οι ευθείες αυτές είναι µεταξύ τους κάθετες γ) Να προσδιορίσετε ένα σηµείο Μ(κ,λ) µε κ,λ>0, τέτοιο ώστε το διάνυσµα ( 3 ) α =,κ να είναι παράλληλο προς τη µία από τις δύο ευθείες ε,ε και το διάνυσµα ( 6, ) β = 4λ να είναι παράλληλο προς την άλλη ευθεία δ) Να γράψετε την εξίσωση της παραβολής που έχει κορυφή την αρχή των αξόνων Ο, άξονα συµµετρίας τον xx ' και διέρχεται από το σηµείο Μ Θεωρούµε την ευθεία (ε): y= λ x+,καθώς και την παραβολή Να δείξετε ότι ( x 4 C ) : y=. α) η ευθεία (ε) τέµνει την παραβολή σε δύο σηµεία, έστω Α και Β β) οι εφαπτόµενες στα Α και Β είναι κάθετες µεταξύ τους. γ) το κοινό σηµείο των παραπάνω εφαπτοµένων ανήκει σε σταθερή ευθεία Για την παραβολή C y : = px, να δειχθούν οι ακόλουθες ιδιότητες εν υπάρχουν παράλληλες εφαπτόµενες της C Οι εφαπτόµενες της C στα σηµεία της Α ( x, y ) και ( x, y ) σηµείο y y, y + y Μ. p Αν Ν το µέσο του ΑΒ, τότε ΜΝ // xx Το µέσο Ρ του ΜΝ ανήκει στην παραβολή. Β τέµνονται στο 59

60 ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Ε και Ε δύο σηµεία ενός επιπέδου. Ονοµάζεται έλλειψη µε εστίες τα Ε και Ε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου των οποίων το άθροισµα των αποστάσεων από τα Ε και Ε είναι σταθερό και µεγαλύτερο του ΕΕ. Το σταθερό αυτό άθροισµα το συµβολίζουµε συνήθως µε α, ενώ την απόσταση των εστιών Ε και Ε µε γ. Η απόσταση ΕΕ καλείται εστιακή απόσταση της έλλειψης. Σύµφωνα µε τον παραπάνω ορισµό α) Ένα σηµείο Μ του επιπέδου είναι σηµείο της έλλειψης, αν και µόνο αν (ΜΕ)+(ΜΕ )=α β) Ισχύει ότι γ<α, δηλαδή γ<α. Προφανώς αν γ=0, τότε τα Ε,Ε συµπίπτουν και αναφερόµαστε ουσιαστικά σε κύκλο µε κέντρο Ε και ακτίνα α. Πρακτικά µπορούµε να σχεδιάσουµε µια έλλειψη ως εξής 60

61 Παίρνουµε ένα σχοινί µήκους α και στερεώνουµε τα άκρα του στις εστίες Ε και Ε. Αν τώρα µε ένα µολύβι διατηρούµε το σχοινί τεντωµένο, τότε αυτό κατά την κίνηση του θα διαγράψει µία έλλειψη. ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Έστω ότι έχουµε µία έλλειψη µε εστίες Ε και Ε. Θα βρούµε την εξίσωση της έλλειψης ως προς σύστηµα συντεταγµένων Ο xy µε άξονα Ο x την ευθεία ΕΕ και άξονα Ο y τη µεσοκάθετο του ΕΕ. Αποδεικνύεται ότι η εξίσωση της έλλειψης αυτής µε εστίες τα σηµεία Ε '( γ,0) και ( γ,0) Ε και σταθερό άθροισµα α είναι x y + α β =, όπου β = α γ. 6

62 Παράδειγµα Η εξίσωση της έλλειψης µε εστίες τα σηµεία Ε '( 4,0) και ( 4,0) σταθερό άθροισµα α=0 είναι η x + y = 5 3, αφού β = α γ = 5 4 = 3 Αν τώρα πάρουµε σύστηµα συντεταγµένων Ο xy µε άξονα Ε και Ο x τη µεσοκάθετο του ΕΕ και εργαστούµε όπως πριν, θα βρούµε ότι η εξίσωση της έλλειψης είναι η x y + β α =, όπου β = α γ. Παράδειγµα Η έλλειψη µε εστίες Ε '( 0, 4) και ( 0,4) Ε και σταθερό άθροισµα α=0 είναι x + y = 3 5, αφού β = α γ = 5 4 = 3. Πρακτικά οι εστίες της έλλειψης βρίσκονται σε εκείνον τον άξονα που υποδεικνύει ο µεγαλύτερος παρανοµαστής στην εξίσωση της. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ x y Έστω µία έλλειψη C : + =, όπου β = α γ. α β Αν ( x ) Μ είναι ένα σηµείο της έλλειψης, τότε και τα σηµεία, y Μ ( x ), Μ ( x ) και ( x ), y 3, y Μ ανήκουν επίσης στην έλλειψη, 4, y αφού οι συντεταγµένες τους επαληθεύουν την εξίσωσή της. Αυτό σηµαίνει 6

63 όµως ότι η έλλειψη έχει άξονες συµµετρίας τους xx ', yy' αλλά και κέντρο συµµετρίας το Ο, το οποίο και λέγεται και κέντρο της έλλειψης. Από την εξίσωση της έλλειψης για y = 0 βρίσκουµε ότι x =± α, ενώ για x = 0 βρίσκουµε ότι y = ± β. Εποµένως η έλλειψη τέµνει τον άξονα xx ' στα σηµεία Α '( α,0) και ( α,0) και Β ( 0, β) Α, ενώ τον άξονα ' yy στα σηµεία Β '( 0, β). Τα 4 αυτά σηµεία καλούνται κορυφές της έλλειψης, ενώ τα ευθύγραµµα τµήµατα ΑΑ και ΒΒ τα οποία έχουν µήκη ( ') = α ( ') = β ΑΑ και ΒΒ λέγονται µεγάλος άξονας και µικρός άξονας αντιστοίχως. Το ευθύγραµµο τµήµα που ορίζουν οποιαδήποτε συµµετρικά ως προς Ο σηµεία Μ και Μ 4 της έλλειψης λέγεται διάµετρος της έλλειψης. Αποδεικνύεται ότι ( ΜΜ ) α β 4 Από την εξίσωση της έλλειψης µπορούµε να παρατηρήσουµε ότι x α = y β x, άρα x α x α 0 α x α. α Οµοίως δε, µπορούµε να βρούµε ότι β y β. Οι τελευταίες ανισοτικές σχέσεις µας πληροφορούν ότι η έλλειψη περιέχεται εξ ολοκλήρου στο ορθογώνιο που ορίζουν οι ευθείες Το ορθογώνιο αυτό λέγεται ορθογώνιο της έλλειψης. x = α, x = α και y = β, y= β. 63

64 ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Μία βασική παράµετρος η οποία καθορίζει και τη µορφή της έλλειψης είναι η x y εκκεντρότητα της έλλειψης. Ονοµάζουµε εκκεντρότητα της έλλειψης + =, α β και τη συµβολίζουµε µε ε το λόγο γ ε = < α α β Επειδή γ = α β, θα είναι ε =, οπότε θα έχουµε α ε α β β β β = = = ε = ε. α α α α β Κατά συνέπεια όσο µεγαλώνει η εκκεντρότητα, τόσο µικραίνει ο λόγος και η α β έλλειψη γίνεται πιο επιµήκης. Ιδιαίτερα δε όταν το ε τείνει προς τη µονάδα, ο λόγος α τείνει στο 0 και εποµένως η έλλειψη τείνει να γίνει ένα ευθύγραµµο τµήµα. β Αντιθέτως όταν το ε τείνει στο 0, τότε ο λόγος τείνει προς τη µονάδα και η α έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος. ΟΡΙΣΜΟΣ ύο ελλείψεις λέγονται όµοιες όταν έχουν την ίδια εκκεντρότητα. ΣΗΜΕΙΩΣΗ Οι τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο είναι ελλειπτικές, µε τη θέση της µίας εστίας της έλλειψης να κατέχει ο Ήλιος. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ 64

65 x y Έστω η έλλειψη µε εξίσωση: + = α β και ένα σηµείο της Μ ( x ), y. Η εφαπτοµένη της έλλειψης στο σηµείο Μ, ορίζεται µε ανάλογο τρόπο όπως η εφαπτοµένη της παραβολής και αποδεικνύεται πως έχει εξίσωση xx yy + α β =. y x Αν τώρα έχουµε την έλλειψη + =, τότε η εξίσωση εφαπτοµένης α β στο σηµείο ( x ) Μ έχει εξίσωση, y yy xx + α β =. ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΕΛΛΕΙΨΗΣ Όπως η παραβολή έτσι και η έλλειψη έχει παρόµοια ανακλαστική ιδιότητα, η οποία αναφέρει ότι Η κάθετη στην εφαπτοµένη µιας έλλειψης στο σηµείο επαφής Μ διχοτοµεί τη γωνία Ε ΜΕ, όπου Ε, Ε είναι οι εστίες της έλλειψης. 65

66 Σύµφωνα µε την ιδιότητα αυτή ένα ηχητικό κύµα ή µια φωτεινή ακτίνα που ξεκινούν από τη µία εστία µιας έλλειψης, ανακλώµενα σε αυτήν, διέρχονται από την άλλη εστία. Η ιδιότητα αυτή χρησιµοποιείται στο σχεδιασµό ορισµένων τύπων οπτικών οργάνων καθώς επίσης και στην Ιατρική κατά τη λιθοθρυψία, δηλαδή την κονιορτοποίηση της πέτρας του νεφρού. Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο Λ Α Θ Ο Σ x y 3.68 Η εξίσωση + =, παριστάνει έλλειψη όταν α>β. α β Σ Λ Η εκκεντρότητα της έλλειψης 4x + y = 4 είναι ε =. 3 Σ Λ 3.70 Η εξίσωση x + κ y = παριστάνει έλλειψη µόνο όταν κ>0. Σ Λ 3.7 ύο ελλείψεις µε την ίδια εκκεντρότητα λέγονται όµοιες. Σ Λ 66

67 3.7 Η ευθεία y = 3 είναι εφαπτοµένη της έλλειψης x + y = 9. Σ Λ 3.73 Εστιακή απόσταση µιας έλλειψης ονοµάζεται η απόσταση σηµείων της που είναι συµµετρικά ως προς το κέντρο της. Σ Λ 3.74 Μια ευθεία που έχει ένα µόνο κοινό σηµείο µε µια έλλειψη είναι πάντα εφαπτοµένη της έλλειψης. Σ Λ x 3.75 Τα σηµεία της έλλειψης + y =, είναι εσωτερικά της έλλειψης µε εξίσωση x + y = 3 5. Σ Λ. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ Η απόσταση του κέντρου της έλλειψης 5 x + 4 y =, από τη µία εστία της 9 είναι Η έλλειψη x + y =, έχει µία εστία στο σηµείο 4 3 (,0) (-,0) (0,) (4,0) κανένα από αυτά. 67

68 3.78 Η εξίσωση x + α y α β, µε α, β 0 β = παριστάνει πάντα έναν κύκλο παριστάνει πάντα µία έλλειψη παριστάνει τεµνόµενες ευθείες παριστάνει µία έλλειψη αν α β παριστάνει µία έλλειψη αν α=β Από τις επόµενες ελλείψεις δύο µόνο έχουν εστίες στον άξονα xx '. Αυτές είναι x + y = 4 6x + 5y = 400 x + y = 9 x + y = 4 x + y = 3 6. x y 3.80 Η εξίσωση + =, παριστάνει έλλειψη, όταν 36 λ 9 λ λ>36 λ<9 9<λ<36 λ R λ R. 3.8 Η έλλειψη που έχει την ίδια εκκεντρότητα µε την x + y =, είναι η 9 5 x + y = 4 3 x + y = 6 9 y + x = 4 3 y + x = x 4 + y =

69 x 3.8 ίνεται η έλλειψη + y = της στο Μ, θα έχει εξίσωση και το σηµείο της Μ (, ). Η εφαπτοµένη x y= 4 x + y= 4 x y 4= 0 x y= 4 x y 4= Όσο µεγαλώνει η εκκεντρότητα µιας έλλειψης, η έλλειψη τείνει να γίνει κύκλος ευθεία παράλληλες ευθείες σηµείο. Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ 3.84 Να βρεθεί η εκκεντρότητα και οι εστίες καθεµιάς από τις παρακάτω ελλείψεις α) 9x + 6 y = 44 β) x + y = Να γραφεί η εξίσωση της έλλειψης που έχει µεγάλο και µικρό άξονα µε µήκος 6 και 4 µονάδες αντιστοίχως και έχει εστίες πάνω στον άξονα xx ' συµµετρικές ως προς την αρχή των αξόνων. x y 3.86 Θεωρούµε την έλλειψη µε εξίσωση + =. Να αποδείξετε ότι και η α β κ x κ y έλλειψη µε εξίσωση + =, έχει την ίδια εκκεντρότητα µε την προηγούµενη. β α 3.87 Να βρεθούν οι εφαπτόµενες της έλλειψης 9x + 5y = 5που είναι: 69

70 α) Παράλληλες προς τη διχοτόµο του β τεταρτηµορίου β) Κάθετες προς την ευθεία y + x= 004. x y 3.88 ίνεται η έλλειψη + =. α β α) Να δείξετε ότι το τετράπλευρο Ε ΒΕΒ είναι ρόµβος, όπου Ε, Ε οι εστίες και Β, Β τα άκρα του µικρού άξονα β) Να υπολογίσετε το εµβαδόν του ρόµβου Να δείξετε ότι η ευθεία x συνθ + 3y ηµθ = 0, εφάπτεται στην έλλειψη 4x + 9 y =, για κάθε τιµή της γωνίας θ. x y 3.90 ίνεται η έλλειψη + = α β έλλειψη στο σηµείο P τέµνει τον άξονα και το σηµείο της P ( x, y ). Η κάθετη στην xx ' στο σηµείο. Αν Η είναι η προβολή του P στον έλλειψης. xx ', να αποδείξετε ότι Ο = ε ΟΗ, όπου ε είναι η εκκεντρότητα της 3.9 Να εξετάσετε αν το σηµείο Μ(3,) είναι εσωτερικό ή εξωτερικό της έλλειψης µε παραµετρικές εξισώσεις: x = 5συνθ και y = 3ηµθ. 3.9 ίνεται ο κύκλος x + y = 4 και η έλλειψη x + y = 6. α) Να δείξετε ότι το σηµείο (, 3) βρείτε και τα υπόλοιπα κοινά τους σηµεία είναι κοινό τους σηµείο και στη συνέχεια να β) Να δείξετε ότι τα κοινά τους σηµεία είναι κορυφές ορθογωνίου παραλληλογράµµου γ) Να βρεθούν τα σηµεία Μ( ) 0, y 0 ( Ε ' Μ) + ( ΕΜ) = 6, όπου Ε, Ε είναι οι εστίες της έλλειψης. x, ώστε x + y 4 και ταυτόχρονα 0 0 = 70

71 3.93 ίνεται η έλλειψη : x y α C + = και η ευθεία δ : x =. Να δείξετε ότι ο α β γ λόγος των αποστάσεων τυχαίου σηµείου της έλλειψης από την εστία Ε( γ,0) και την ευθεία δ είναι σταθερός και ίσος µε την εκκεντρότητα της έλλειψης Η εφαπτοµένη (ε) της έλλειψης : x y C + = σ ένα σηµείο της Μ τέµνει την α β ευθεία δ: α x = στο Ρ. Να δείξετε ότι γ ΜΕΡ= Για το τυχαίο σηµείο ( ) x 0, y 0 6 ΜΕ. 5 ( ') ( ΜΕ) = x0 Μ της έλλειψης x + y =, να αποδείξετε ότι Τρίγωνο ΑΒΓ έχει περίµετρο 0 και κορυφές τα σηµεία Β( 3,0) και Γ ( 3,0) προσδιοριστεί ο γεωµετρικός τόπος της κορυφής του Α.. Να 3.97 Να βρείτε ποια από τις ελλείψεις 7

72 x y C : + = και α β έχει τη µεγαλύτερη εκκεντρότητα. x y C : + = α 4 β 4 ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω Ε και Ε δύο σηµεία ενός επιπέδου. Ονοµάζεται υπερβολή µε εστίες τα Ε και Ε ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η απόλυτη τιµή της διαφοράς των αποστάσεων από τα Ε και Ε είναι σταθερή και µικρότερη του (ΕΕ ). Την απόλυτη τιµή της διαφοράς των αποστάσεων κάθε σηµείου της υπερβολής από τις εστίες την συµβολίζουµε συνήθως µε α, ενώ την απόσταση των εστιών µε γ. Η απόσταση ΕΕ ονοµάζεται εστιακή απόσταση της υπερβολής. Σύµφωνα µε τον παραπάνω ορισµό αυτό α) Ένα σηµείο Μ είναι σηµείο της υπερβολής, αν και µόνο αν β)ισχύει ( ') ( ΜΕ) < ( ΕΕ' ) ( ΜΕ ') ( ΜΕ) = α ΜΕ α < γ α < γ, έχουµε δηλαδή το αντίθετο απ ότι στην έλλειψη. ΕΞΙΣΩΣΗ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ 7

73 Έστω C η υπερβολή µε εστίες Ε και Ε. Αποδεικνύεται ότι η εξίσωση της υπερβολής ως προς ένα σύστηµα συντεταγµένων µε άξονα yy ' τη µεσοκάθετη του Ε Ε,είναι η xx ' την ευθεία Ε Ε και άξονα x y α β =, όπου β = γ α άξονα Αν τώρα πάρουµε σύστηµα συντεταγµένων Ο xy µε άξονα yy ' την ευθεία Ε Ε και xx ' τη µεσοκάθετο του Ε Ε, τότε η εξίσωση της υπερβολής θα είναι ίση µε y x α β =, όπου β = γ α. Τέλος,αν είναι α=β, τότε έχουµε την ισοσκελή υπερβολή και η εξίσωση της γράφεται x y =α. Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Έστω µία υπερβολή C, η ως προς ένα σύστηµα συντεταγµένων Ο xy έχει εξίσωση x y α β =, όπου β = γ α. 73

74 Αν ( x ) Μ είναι ένα σηµείο της υπερβολής τότε όπως εύκολα προκύπτει, y από τη µορφή της εξίσωσης και τα σηµεία Μ ( x ), ( x ) ( x ) 4, y, y Μ, 3, y Μ είναι επίσης σηµεία της υπερβολής αφού επαληθεύουν την εξίσωση της. Άρα όπως και στην έλλειψη έχουµε άξονες συµµετρίας τους xx ' και yy ', ενώ κέντρο συµµετρίας την αρχή των αξόνων Ο. Από την εξίσωση της υπερβολής παρατηρούµε ότι για y = 0 βρίσκουµε x =±α. Συνεπώς η υπερβολή τέµνει τον οριζόντιο άξονα στα σηµεία Α ( α,0) και Α '( α,0). Τα σηµεία αυτά λέγονται κορυφές της υπερβολής. Από την ίδια όµως εξίσωση για x = 0, παρατηρούµε πως η υπερβολή δεν τέµνει τον κατακόρυφο άξονα yy '. Από την εξίσωση της υπερβολής παρατηρούµε ακόµη ότι x α y = + x α 0 x α ή x α β Οι παραπάνω ανισότητες µας πληροφορούν πως όλα τα σηµεία της υπερβολής βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών µε εξισώσεις υπερβολή αποτελείται από ξεχωριστούς κλάδους. x = α και x = α, άρα η ΑΣΥΜΠΤΩΤΕΣ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ x y α β Έστω µία υπερβολή C, η ως προς ένα σύστηµα συντεταγµένων =, όπου β = γ α και µία ευθεία (ε) µε εξίσωση y x Ο xy έχει εξίσωση =λ δηλαδή µία ευθεία που περνάει από την αρχή των αξόνων. Η (ε) έχει κοινά σηµεία µε την υπερβολή αν και µόνο αν το σύστηµα x y α β = και y=λ x () έχει λύση. Η πρώτη εξίσωση λόγω της δεύτερης γράφεται διαδοχικά: 74

75 x α λ x β = x x = ( β λα ) x = α β λα α β β () Εποµένως το σύστηµα () έχει λύση αν και µόνο αν η () έχει λύση, κάτι που συµβαίνει αν και µόνο αν β β λα > 0 λ < α Συνεπώς η υπερβολή και η ευθεία έχουν κοινά σηµεία και µάλιστα, αν είναι β λ <. Αυτό όµως σηµαίνει ότι όλα τα σηµεία της υπερβολής περιέχονται στις γωνίες α των ευθειών β β y= x, y= x. α α (3). Αν θεωρήσουµε τώρα ένα σηµείο ( x, y) Μ της υπερβολής µε x > 0, y> 0, αποδεικνύεται ότι όταν το x αυξάνει απεριόριστα η απόσταση του σηµείου από την ευθεία β y= x τείνει προς το 0. Έτσι το άνω τεταρτηµόριο του δεξιού κλάδου της α υπερβολής πλησιάζει όλο και περισσότερο την ευθεία συµπέσει µε αυτήν. Γι αυτό την ευθεία β y= x, χωρίς όµως ποτέ να α β y= x την ονοµάζουµε ασύµπτωτο του δεξιού α κλάδου της υπερβολής. Αντίστοιχα λόγω συµµετρίας της υπερβολής ως προς τον άξονα xx ', ο δεξιός κλάδος θα έχει ασύµπτωτο και την ευθεία β y= x. Εξάλλου λόγω α 75

76 συµµετρίας της υπερβολής και ως προς τον άξονα υπερβολής θα έχει ασύµπτωτες τις ίδιες ευθείες, δηλαδή β β y= x, y = x. α α yy ' ο αριστερός κλάδος της Είναι τέλος φανερό πως οι ασύµπτωτες της υπερβολής είναι οι διαγώνιες του ορθογωνίου ΚΛΜΝ όπου Κ ( α, β), Λ( α, β), Μ( α, β), Ν( α, β) λέγεται ορθογώνιο βάσης της υπερβολής.. Το ορθογώνιο αυτό ΣΧΟΛΙΟ Ένας µνηµονικός κανόνας προκειµένου να υπολογίζουµε τις ασύµπτωτες µιας υπερβολής είναι ο εξής Παραγοντοποιούµε το πρώτο µέλος της εξίσωσης της υπερβολής και εξισώνουµε κάθε παράγοντα ίσο µε το 0. Ας δούµε για παράδειγµα την υπερβολή µε εξίσωση: x y = 6 9. Είναι x y 6 9 x y x y = +, εποµένως εξισώνοντας µε το 0 έχουµε x y x y + = x y x y + = 0ή = y = xή y = x. ΕΚΚΕΝΤΡΟΤΗΤΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ Αντίστοιχα µε την έλλειψη υπάρχει εκκεντρότητα και στην υπερβολή, η οποία x y καθορίζει και το σχήµα της. Καλούµε εκκεντρότητα της υπερβολής = και τη α β 76

77 γ συµβολίζουµε µε ε το λόγο: ε = >. Επειδή όµως είναι α = α β θα είναι γ + α β β ε =, οπότε ε = + και άρα α α + β = ε α Εποµένως η εκκεντρότητα προσδιορίζει το συντελεστή διεύθυνσης της ασυµπτώτου της, χαρακτηρίζοντας έτσι το ορθογώνιο βάσης και κατά συνέπεια τη µορφή της ίδιας της υπερβολής. Όσο η εκκεντρότητα µικραίνει και τείνει να γίνει ίση µε, ο λόγος α β τείνει να γίνει ίσος µε 0. Έτσι όσο πιο µικρή είναι η εκκεντρότητα τόσο πιο επίµηκες είναι το ορθογώνιο βάσης και κατά συνέπεια τόσο πιο κλειστή είναι η υπερβολή. Στην ισοσκελή υπερβολή είναι ε =. ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ x y Έστω µία υπερβολή µε εξίσωση = α β και ένα σηµείο Μ ( x ), y αυτής. Η εφαπτοµένη ορίζεται µε τρόπο ανάλογο προς εκείνο που ορίστηκε η εφαπτοµένη της έλλειψης και αποδεικνύεται πως έχει εξίσωση xx yy α β = y x Αντίστοιχα για την υπερβολή µε εξίσωση =, η εξίσωση α β εφαπτοµένης λαµβάνει τη µορφή yy xx α β =. ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΗ Ι ΙΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΥΠΕΡΒΟΛΗΣ. 77

78 Η εφαπτοµένη µιας υπερβολής σε ένα σηµείο της Μ διχοτοµεί τη γωνία Ε ΜΕ, όπου Ε, Ε είναι οι εστίες της υπερβολής. Η ιδιότητα αυτή χρησιµοποιείται στην κατασκευή των ανακλαστικών τηλεσκοπίων καθώς και στη ναυσιπλοΐα για τον προσδιορισµό του στίγµατος πλοίων. Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Ω Σ Τ Ο- Λ Α Θ Ο Σ x y 3.98 Η υπερβολή = α β Σ τέµνει τον άξονα yyσε ' δύο σηµεία. Λ 3.99 Όσο πιο µεγάλη είναι η εκκεντρότητα µιας υπερβολής, τόσο πιο ανοικτή είναι η υπερβολή. Σ Λ 3.00 Η διχοτόµος του πρώτου τεταρτηµορίου τέµνει την υπερβολή µε εξίσωση x 4 y = σε σηµεία. Σ Λ 78

79 x 3.0 Η ευθεία y x= 0είναι εφαπτοµένη της υπερβολής y = 4 Σ Λ 3.0 Η εξίσωση κ x + λ y = 0 παριστάνει υπερβολή για κάθε κ, λ R. Σ Λ 3.03 Υπάρχει θ R, ώστε το σηµείο ( ηµθ,), να ανήκει στην υπερβολή µε εξίσωση x y = 4. Σ Λ 3.04 Οι υπερβολές x y = 3 και x y = 4, έχουν τις ίδιες εστίες. Σ Λ 3.05 Η εκκεντρότητα µιας υπερβολής είναι πάντα θετικός αριθµός Σ Λ Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ο Λ Λ Α Π Λ Η Σ Ε Π Ι Λ Ο Γ Η Σ 3.06 Η εξίσωση της υπερβολής που έχει εστιακή απόσταση γ = 8 και εκκεντρότητα 3 4 είναι x y = 4 3 x y = 9 7 x + y = 9 3 x y = 7 9 x y = Οι υπερβολές x α y α β και β = y β x α β έχουν α = την ίδια εκκεντρότητα τις ίδιες εστίες 79

80 την ίδια εστιακή απόσταση τις ίδιες κορυφές. διαφορετικές ασύµπτωτες Θεωρούµε την υπερβολή x y = 7 και το σηµείο της Μ(4,-3). Η εξίσωση εφαπτοµένης της στο Μ είναι η 4 4 x 3y 7= 0 4 x + 3y+ 7= 0 y = x 7 4 x + 3y 7= Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( x) = 6x 44, µε x 3 ή 3 x 3είναι κύκλος µε ακτίνα ρ= έλλειψη µε α=3 και β=4 υπερβολή µε εστίες (-5,0), (5,0) τα δύο άνω τµήµατα υπερβολής µε εστίες (-5,0), (5,0). παραβολή µε διευθετούσα 5 x =. 4 όταν 3.0 Μία ασύµπτωτη της υπερβολής 6x 9 y = 44είναι η y = 3 x 4 4 y= 3 x 9 6 y= x y= x καµία απ αυτές Η εξίσωση κ x + λ y = µ, µε κ, λ, µ 0 παριστάνει πάντα υπερβολή µ = κ λ< 0 µ < 0 κ λ κ = µ ή λ = µ. 3. Η υπερβολή µε εξίσωση x y =, έχει 6 9 εστίες στον άξονα yy ' 80

81 ασύµπτωτες τις ευθείες µε εξισώσεις εστιακή απόσταση ίση µε 0 κορυφές τα σηµεία Α(3,0) και Α (-3,0) y 4 = ± 3 x x y 3.3 Η υπερβολή = α β σηµεία δεν ανήκει στην υπερβολή το διέρχεται από το σηµείο Μ(, 3) 4. Από τα παρακάτω ( 4, 3) ( 4, 3) ( 3,4) ( 4, 3) Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Λ Η Ρ Ο Υ Σ Α Ν Α Π Τ Υ Ξ Η Σ 3.4 Να βρεθεί η εξίσωση της υπερβολής που έχει εστιακή απόσταση 6 και 3 εκκεντρότητα ε =. x y 3.5 Θεωρούµε την υπερβολή µε εξίσωση =. Να δείξετε ότι κάθε α β παράλληλη προς µια ασύµπτωτη τέµνει την υπερβολή σε ένα µόνο σηµείο. x y 3.6 Έστω η υπερβολή =. Αν γνωρίζουµε ότι η υπερβολή αυτή έχει α β εκκεντρότητα ίση µε, να προσδιορίσετε την οξεία γωνία των ασύµπτωτων της. + t 3.7 Να αποδείξετε ότι το σηµείο Μ α t t,β t x α y α β, για κάθε τιµή της παραµέτρου ± β = t., ανήκει στην υπερβολή 8

82 x y 3.8 Έστω η υπερβολή = α β και ένα σηµείο Μ ( x, y ) του δεξιού της κλάδου. Από το Μ φέρνουµε την εφαπτοµένη της υπερβολής, που τέµνει τις ασύµπτωτες της στα σηµεία Κ, Λ. Να αποδείξετε ότι α) Το σηµείο Μ είναι µέσο του ΚΛ. β) Το τρίγωνο ΟΚ Λ, όπου Ο η αρχή των αξόνων, έχει σταθερό εµβαδόν. 3.9 Να βρείτε την εξίσωση ισοσκελούς υπερβολής που έχει τις ίδιες εστίες µε την έλλειψη x + y = Να βρεθεί η εξίσωση εφαπτοµένης της υπερβολής x y =, στο σηµείο της (,). Ακολούθως να αποδείξετε ότι το γινόµενο των αποστάσεων των εστιών της υπερβολής από την εφαπτοµένη αυτή είναι ίσο µε. 3. Να αποδείξετε ότι το εµβαδόν του τριγώνου που σχηµατίζεται από τις ασύµπτωτες της υπερβολής x y = και την εφαπτοµένη σε τυχαίο σηµείο της είναι 4 σταθερό. 3. Θεωρούµε τις υπερβολές ( c ): x y 4 και ( c ): x y = 4 = εφαπτοµένη της ( c ) τέµνει την ( ) εφαπτόµενες της ( c ) στα Β, Γ τέµνονται επί της ( ) c στα σηµεία Β και Γ. Να αποδείξετε ότι οι c.. Τυχαία 3.3 α) Να βρεθούν οι συντεταγµένες των σηµείων τοµής Α, Β της y = x+ και της υπερβολής 4x 9 y = 36, καθώς και οι συντεταγµένες του µέσου Μ του ευθυγράµµου τµήµατος ΑΒ. β) Ευθεία που περνά από το Κ(,-) τέµνει την υπερβολή σε δύο σηµεία Μ,Μ. Να αποδείξετε ότι τα µέσα των ευθυγράµµων τµηµάτων Μ Μ ανήκουν σε υπερβολή. 8

83 3.4 ίνεται η υπερβολή 5x 9y = 45. Αν Μ τυχαίο σηµείο της υπερβολής, όπως φαίνεται στο σχήµα, να βρείτε το γεωµετρικό τόπο του ορθοκέντρου του τριγώνου ΜΑΑ'. 3.5 Να βρείτε τα σηµεία της υπερβολής x y = 4, τα οποία έχουν τη µικρότερη απόσταση από το σηµείο Γ(0,). 3.6 Να αποδείξετε ότι το κοινό σηµείο των ευθειών y = λβ( α+ x) και ε : λαy= β( x α) ε :α x y όπου α, β θετικοί αριθµοί, ανήκει στην υπερβολή µε εξίσωση =, για α β κάθε λ 0. x y 3.7 Έστω Κ, Λ δύο σηµεία της υπερβολής =. Να δείξετε ότι οι α β εφαπτόµενες της υπερβολής στα Κ και Λ είναι παράλληλες µεταξύ τους, αν και µόνο αν η ευθεία ΚΛ διέρχεται από την αρχή Ο των αξόνων. 83