ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΛΕΠΤΑ ΥΜΕΝΙΑ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΛΕΠΤΑ ΥΜΕΝΙΑ ΑΣΚΗΣΗ 1: Να προσδιορίσετε το ελάχιστο δυνατό πάχος ενός αντιανακλαστικού λεπτού οπτικού υμενίου από θοριούχο μαγνήσιο (M g F 2 ) το οποίο έχει τοποθετηθεί πάνω στην επιάνεια μιας επίπεδης γυάλινης πλάκας στην περίπτωση που το υμένιο αυτό ανακλά στον αέρα μόνο το μήκος το κύματος λ550 nm. Δίνονται: οι δείκτες διάθλασης του γυαλιού n g 1,52 του θοριούχου μαγνησίου n f 1,38. ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ!! Όταν ένα κύμα μεταβαίνει από ένα υλικό με δείκτη διάθλασης n 1 σε ένα υλικό με δείκτη διάθλασης n 2, τότε το κύμα αυτό υίσταται μερική ανάκλαση στο πρώτο υλικό και μερική μετάδοση στο δεύτερο υλικό. Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις: α. n 1 >n 2 : Το ανακλώμενο κύμα και το κύμα που μεταβαίνει στο δεύτερο υλικό έχουν την ίδια άση με το προσπίπτον κύμα. β. n 1 <n 2 : Το ανακλώμενο κύμα έχει διαορά άσης π ra (180 0 ) με το προσπίπτον κύμα. Το κύμα που διέρχεται στο δεύτερο υλικό έχει την ίδια άση με το προσπίπτον κύμα. Στο παρακάτω σχήμα δίνουμε ένα πολύ μικρό τμήμα του λεπτού υμενίου σε πολύ μεγάλη μεγέθυνση. Στην εξωτερική επιάνεια του υμενίου προσπίπτει κάθετα ένα κύμα λευκού ωτός το οποίο αποτελείται από επί τα μέρους μήκη κύματος που αντιπροσωπεύουν τα γνωστά χρώματα του ουράνιου τόξου. Επειδή στο ανακλώμενο ως κυριαρχεί μόνο το πράσινο χρώμα με μήκος κύματος στον αέρα +π +2k n +π +2k n +π +k f +k f +π Γυάλινη Πλάκα n 0 1 M g F 2 n f 1,38 n g 1,52 λ550 nm, τα υπόλοιπα μήκη κύματος υίστανται είτε μερική ενισχυτική συμβολή ή ολική αποσβεστική συμβολή. Για το λόγο αυτό εξετάζουμε μόνο το κύμα που έχει μήκος κύματος λ 550 nm. Αν το συγκεκριμένο αυτό κύμα προσπίπτει στην εξωτερική επιάνεια του υμενίου με άση, το κύμα αυτό εν μέρει εισέρχεται στο υμένιο με την ίδια άση και εν μέρει ανακλάται με άση (+π). Το κύμα που εισέρχεται στο υμένιο διανύει διαδρομή ίση με το πάχος του υμενίου και θάνει στη διαχωριστική επιάνεια υμενίου-γυαλιού με άση (+k f ), όπου k f 2π/λ f και λ f λ/n f είναι ο κυματαριθμός και το μήκος κύματος του κύματος μέσα στο υμένιο (n f 1,38).

Στη διαχωριστική αυτή επιάνεια το κύμα ανακλάται με αλλαγή άσης κατά π ra (+k f +π). Στη συνέχεια το κύμα που ανακλάται στη διαχωριστική επιάνεια υμένιο-γυαλί διανύει διαδρομή ίση με το πάχος του υμενίους και θάνει στην εξωτερική επιάνεια του υμενίου με άση (+k f + k f +π +2k f +π). Τέλος, το κύμα εξέρχεται από το υμένιο στον αέρα διατηρώντας τη άση του (+2k f +π). Από την εξωτερική επιάνεια εύγουν προς τα έξω δυο κύματα, το απευθείας ανακλώμενο με άση ( 1 + π) και το κύμα το οποίο ανακλάστηκε από τη διαχωριστική επιάνεια υμένιο-γυαλί και το οποίο έχει άση ( 2 +2k f +π). Η διαορά άσης των δυο αυτών κυμάτων είναι: Δ 2 1 ( + 2k f + π) ( + π) Δ 2k f (1) Για να συμβάλουν ενισχυτικά τα δυο ανακλώμενα κύματα πρέπει η διαορά άσης να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π. Στην περίπτωση αυτή η Εξίσωση (1) γίνεται: Δ 2k f 2mπ 2k f 2mπ 2 2π λ f 2mπ 2m λ f (1) 4 Η ταχύτητα του κύματος ωτός με μήκος κύματος λ p μέσα στο θοριούχο μαγνήσιο (M g F 2 ) είναι: c f λ f f c n f λf n f λ f λ n f (2) όπου c είναι η ταχύτητα του ωτός στον αέρα και n g είναι ο δείκτης διάθλασης του. Από τις Σχέσεις (1) και (2) προκύπτει ότι: m λ 2n f m 1, 2,3,. (3) To μέγιστο δυνατό πάχος max του λεπτού υμενίου από M g F 2 θα προκύψει από τη Σχέση (3) θέτοντας όπου m 1, λ 550 nm και n f 1,38: max λ 550 nm 2n f 2 1,38 max 199 nm ΑΣΚΗΣΗ 2: Κάποια στρατιωτική υπηρεσία σας ζήτησε να διερευνήσετε αν είναι δυνατόν τα αεροπλάνα της πολεμικής αεροπορίας να καταστούν αόρατα στα raar τα οποία εκπέμπουν κύματα με μήκος κύματος λ2,5 cm. Εσείς ως καλός γνώστης της υσικής των λεπτών υμενίων, σκετήκατε αμέσως ότι το ζητούμενο θα μπορούσε να υλοποιηθεί αν η επιάνεια κάθε αεροπλάνου επικαλυπτότανε με ένα λεπτό στρώμα από ένα πολυμερές υλικό. Αν ο δείκτης διάθλασης του πολυμερούς υλικού είναι η1,60, τότε να υπολογίσετε το απαιτούμενο πάχος του πολυμερούς υλικού που πρέπει να επικαλύψει την επιάνεια του αεροπλάνου. Στο παρακάτω σχήμα δίνουμε ένα πολύ μικρό τμήμα της επιάνειας του αεροπλάνου, μαζί με το πολυμερές υλικό, σε πολύ μεγάλη μεγέθυνση. Στην εξωτερική επιάνεια του πολυμερούς υλικού προσπίπτουν κάθετα τα μικροκύματα που έχουν μήκος κύματος λ2,5 cm.

Μεταλλική επιάνεια αεροπλάνου +π +2k n +π +2k n +π +k f +k f +π n 0 1 Πολυμερές n p 1,60 n α Αν τα μικροκύματα προσπίπτουν στην εξωτερική επιάνεια του πολυμερούς με άση, το κύμα αυτό εν μέρει εισέρχεται στο υμένιο με την ίδια άση και εν μέρει ανακλάται με άση (+π) (γιατί;). Το κύμα που εισέρχεται στο πολυμερές υλικό διανύει διαδρομή ίση με το πάχος του πολυμερούς και θάνει στη μεταλλική επιάνεια του αεροπλάνου με άση (+k p ), όπου k p 2π/λ p και λ p λ/n p είναι ο κυματαριθμός και το μήκος κύματος του κύματος μέσα στο πολυμερές υλικό (n p 1,60). Στη μεταλλική επιάνεια του αεροπλάνου το κύμα ανακλάται με αλλαγή άσης κατά π ra (+k p +π) (γιατί;). Στη συνέχεια το κύμα που ανακλάται στη μεταλλική επιάνεια του αεροπλάνου διανύει διαδρομή ίση με το πάχος του πολυμερούς και θάνει στην εξωτερική επιάνεια του πολυμερούς με άση (+k p + k p +π +2k p +π). Τέλος, το κύμα εξέρχεται από το πολυμερές υλικό στον αέρα διατηρώντας τη άση του (+2k p +π). Από την εξωτερική επιάνεια εύγουν προς τα έξω δυο κύματα, το απευθείας ανακλώμενο με άση ( 1 + π) και το κύμα το οποίο ανακλάστηκε από τη μεταλλική επιάνεια του αεροπλάνου και το οποίο έχει άση ( 2 +2k p +π). Η διαορά άσης των δυο αυτών κυμάτων είναι: Δ 2 1 ( + 2k p + π) ( + π) Δ 2k p (1) Για να συμβάλουν αποσβεστικά τα δυο ανακλώμενα κύματα πρέπει η διαορά άσης να είναι περιττό πολλαπλάσιο του π. Στην περίπτωση αυτή η Εξίσωση (1) γίνεται: Δ 2k p (2m + 1)π 2k p (2m + 1)π 2 2π (2m + 1)π (2m + 1) λ p λ p 4 m 0, 1, 2, 3,.... (2) Το λ p είναι το μήκος κύματος των μικροκυμάτων μέσα στο πολυμερές υλικό που έχει δείχτη διάθλασης n p 1,60. Η ταχύτητα των μικροκυμάτων με μήκος κύματος λ p μέσα στο πολυμερές υλικό είναι: c p λ p f c n p λf n p λ f λ n p (3) όπου c είναι η ταχύτητα του ωτός στον αέρα και n p είναι ο δείκτης διάθλασης του πολυμερούς υλικού. Από τις Σχέσεις (2) και (3) προκύπτει ότι:

(2m + 1) λ m 0, 1, 2, 3,.... 4n p To ελάχιστο δυνατό πάχος max του πολυμερούς υλικού με το οποίο πρέπει να καλυθεί η επιάνεια του αεροπλάνου θα προκύψει από την προηγούμενη σχέση θέτοντας όπου m0, λ2,5 cm και n p 1,6: max λ 2,5 cm 4n p 4 1,60 max 0,39 cm 3,9 mm ΑΣΚΗΣΗ 3: Τα ωτοβολταϊκά στοιχεία που είναι κατασκευασμένα από άμορο πυρίτιο είναι σχεδιασμένα έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η ανάκλαση της ηλιακής ακτινοβολίας από αυτά. Για το σκοπό αυτό, η επιάνεια των ωτοβολταϊκών στοιχείων επικαλύπτεται με λεπτό στρώμα οξειδίου του πυριτίου. Να υπολογίσετε το πάχος αυτού του λεπτού στρώματος δεδομένου ότι το μέσο μήκος κύματος της ηλιακής ακτινοβολίας είναι περίπου λ550 nm. Δίνονται: δείκτης διάθλασης άμορου πυριτίου η si 4,05 και δείκτης διάθλασης οξειδίου του πυριτίου η sio 2,39. Στο παρακάτω σχήμα δίνουμε ένα πολύ μικρό τμήμα της επιάνειας του ωτοβολταϊκού στοιχείου, μαζί με το πολυμερές υλικό, σε πολύ μεγάλη μεγέθυνση. Στην εξωτερική επιάνεια του πολυμερούς υλικού προσπίπτει κάθετα το ηλιακό ως με ένα μέσο μήκος κύματος στον αέρα λ550 nm. +π +2k sio +π +2k sio +π +k sio +k sio +π Φωτοβολταϊκό στοιχείο n 0 1 SiO n sio 2,39 n ph 4,05 Αν το ηλιακό ως προσπίπτει στην επιάνεια του SiO 2 με άση, το κύμα αυτό εν μέρει εισέρχεται στο υμένιο με την ίδια άση και εν μέρει ανακλάται με άση (+π) (γιατί;). Το κύμα που εισέρχεται στο SiO 2 διανύει διαδρομή ίση με το πάχος του SiO 2 και θάνει στην επιάνεια του ωτοβαολταϊκού στοιχείου με άση (+k sio ), όπου k sio 2π/λ p και λ sio λ/n sio είναι ο κυματαριθμός και το μήκος κύματος του κύματος μέσα στο SiO 2 (n sio 2,39). Στην επιάνεια του ωτοβολταϊκού στοιχείου το κύμα ανακλάται με αλλαγή άσης κατά π ra (+k sio +π) (γιατί;). Στη συνέχεια το κύμα που ανακλάται στην επιάνεια του ωτοβολταϊκού στοιχείου διανύει διαδρομή ίση με το πάχος του SiO 2 και θάνει στην εξωτερική επιάνεια του SiO 2 με άση (+k sio + k sio +π +2k sio +π).

Τέλος, το κύμα εξέρχεται από το SiO 2 στον αέρα διατηρώντας τη άση του (+2k sio +π). Από την εξωτερική επιάνεια εύγουν προς τα έξω δυο κύματα, το απευθείας ανακλώμενο με άση ( 1 + π) και το κύμα, το οποίο ανακλάστηκε από την επιάνεια του ωτοβολταϊκού στοιχείου, με άση ( 2 +2k sio +π). Η διαορά άσης των δυο αυτών κυμάτων είναι: Δ 2 1 ( + 2k sio + π) ( + π) Δ 2k sio (1) Για να συμβάλουν αποσβεστικά τα δυο ανακλώμενα κύματα πρέπει η διαορά άσης να είναι περιττό πολλαπλάσιο του π. Στην περίπτωση αυτή η Εξίσωση (1) γίνεται: Δ 2k sio (2m + 1)π 2k sio (2m + 1)π 2 2π (2m + 1)π (2m + 1) λ sio λ sio 4 m 0, 1, 2, 3,.... (2) Το λ sio είναι το μήκος κύματος των μικροκυμάτων μέσα στο SiO 2 που έχει δείχτη διάθλασης n sio 2,39. Η ταχύτητα του κύματος ωτός με μήκος κύματος λ sio μέσα στο SiO 2 είναι: c sio λ sio f c λf λ n sio n sio λ (3) sio n sio όπου c είναι η ταχύτητα του ωτός στον αέρα και n sio είναι ο δείκτης διάθλασης του SiO 2. Από τις Σχέσεις (2) και (3) προκύπτει ότι: λ (2m + 1) m 0, 1, 2, 3,.... 4n sio To ελάχιστο δυνατό πάχος max του SiO 2 με το οποίο πρέπει να καλυθεί η επιάνεια του ωτοβολταϊκού στοιχείου θα προκύψει από την προηγούμενη σχέση θέτοντας όπου m 0, λ 550 nm και n sio 2,39: max λ 550 nm 4n sio 4 2,39 max 57,5 nm ΑΣΚΗΣΗ 4: Μια κυκλική πετρελαιοκηλίδα που έχει ακτίνα R0,50 km καλύπτει την επιάνεια της θάλασσας. Η υπηρεσία προστασία του περιβάλλοντος σας ζήτησε να υπολογίσετε την ποσότητα πετρελαίου σε κυβικά μέτρα (σε m 3 ) της πετρελαιοκηλίδας. Μετά από μελέτη σκετήκατε ότι το στρώμα της πετρελαιοκηλίδας θα μπορούσε να θεωρηθεί ως ένα λεπτό υμένιο και ότι θα είναι δυνατή η μέτρηση του πάχους της συμβολομετρικά. Για το λόγο αυτό ναυλώσατε ένα ελικόπτερο και έχοντας στη διάθεσή σας ένα ασματόμετρο κατευθυνθήκατε πάνω από την πετρελαιοκηλίδα. Μεταβάλλοντας το μήκος κύματος του ασματόμετρου διαπιστώσατε ότι το πρώτο μέγιστο που καταγράει αυτό είναι στο μήκος κύματος λ550 nm. Από τη βιβλιογραία βρήκατε ότι οι δείκτες διάθλασης του πετρελαίου και του θαλασσινού νερού είναι η π 1,25 και η θ 1,34, αντίστοιχα. Ποιος είναι ο όγκος του πετρελαίου που υπάρχει στην πετρελαιοκηλίδα; Στο παρακάτω σχήμα δίνουμε ένα πολύ μικρό τμήμα της επιάνειας της θάλασσας, μαζί με την πετρελαιοκηλίδα, σε πολύ μεγάλη μεγέθυνση. Στην εξωτερική επιάνεια της πετρελαιοκηλίδας προσπίπτει κάθετα το ηλιακό ως. Αν το ηλιακό ως προσπίπτει στην επιάνεια της

+kπ +π πετρελαιοκηλίδας με άση, το κύμα αυτό εν μέρει εισέρχεται στην πετρελαιοκηλίδα με την ίδια άση και εν μέρει ανακλάται με άση (+π) (γιατί;). Το κύμα που εισέρχεται στην πετρελαιοκηλίδα διανύει διαδρομή ίση με το πάχος αυτής και θάνει στην επιάνεια της θάλασσας με άση (+k θ ), όπου k θ 2π/λ θ και λ θ λ/n θ είναι ο κυματαριθμός και το μήκος κύματος του κύματος μέσα στην πετρελαιοκηλίδα (n θ 1,25). Στην επιάνεια της θάλασσας το κύμα ανακλάται με αλλαγή άσης κατά π ra (+k π +π) (γιατί;). Στη συνέχεια το κύμα που ανακλάται στην επιάνεια θάλασσας διανύει διαδρομή ίση με το πάχος της πετρελαιοκηλίδας και θάνει στην εξωτερική επιάνεια αυτής με άση: (+k π + k π +π +2k π +π). Τέλος, το κύμα εξέρχεται από την πετρελαιοκηλίδα στον αέρα διατηρώντας τη άση του (+2k π +π). Από την εξωτερική επιάνεια εύγουν προς τα έξω δυο κύματα, το απευθείας ανακλώμενο με άση ( 1 + π) και το κύμα, το οποίο ανακλάστηκε από την επιάνεια της θάλασσας, με άση ( 2 +2k π +π). Η διαορά άσης των δυο αυτών κυμάτων είναι: Δ 2 1 ( + 2k π + π) ( + π) Δ 2k π (1) Επειδή το ασματοωτόμετρο μετρά μέγιστη ένταση στο μήκος κύματος λ 550 nm, σε αυτό το μήκος κύματος η διαορά των δυο ανακλώμενων κυμάτων πρέπει να είναι άρτιο πολλαπλάσιο του π. Στην περίπτωση αυτή η Εξίσωση (1) γίνεται: Δ 2k π 2mπ 2k π 2mπ 2 2π λ π 2mπ m λ π 2 m 1, 2, 3,.... (2) Το λ π είναι το μήκος κύματος του κύματος ωτός μέσα στην πετρελαιοκηλίδα που έχει δείκτη διάθλασης n π 1,25. Η ταχύτητα του κύματος ωτός με μήκος κύματος λ π μέσα στην πετρελαιοκηλίδα είναι: c π λ π f c n π λf n π λ π λ n π (3) όπου c είναι η ταχύτητα του ωτός στον αέρα και n π είναι ο δείκτης διάθλασης της πετρελαιοκηλίδας. Από τις Σχέσεις (2) και (3) προκύπτει ότι: m λ m 1, 2, 3,.... 2n π To ελάχιστο δυνατό πάχος min της πετρελαιοκηλίδας θα προκύψει από την προηγούμενη σχέση θέτοντας όπου m1, λ 650 nm και n π 1,25: max λ 650 nm 2n π 2 1,25 mn 260 nm 2,60 10 7 m +kπ+π +kπ+kπ+π +2kπ+π Πετρέλαιο nθ 1,25 Θάλασσα nθ 1,34

Ο ελάχιστος όγκος V της πετρελαιοκηλίδας είναι: V min πr 2 min 3,14 (15500 m) 2 (2,60 10 7 m) V min 196 m 3 ΑΣΚΗΣΗ 5: Λευκό ως προσπίπτει κάθετα πάνω στην επιάνεια μιας σαπουνόουσκας. Παρατηρούμε ότι η σαπουνόουσκα αποκτά χρώμα πράσινο του οποίου το μήκος κύματος είναι λ540 nm. Δεδομένου ότι ο δείκτη διάθλασης της σαπουνόουσκας n σ είναι περίπου ίσος με το δείκτη διάθλασης του νερού n ν, δηλαδή n σ n ν 1,33, να υπολογίσετε το πάχος του τοιχώματος της σαπουνόουσκας σε nm και σε mm. Στο παρακάτω σχήμα έχουμε ένα τμήμα της σαπουνόουσκας σε πολύ μεγάλη μεγέθυνση. Στην εξωτερική επιάνεια της σαπουνόουσκας προσπίπτει κάθετα ένα κύμα λευκού ωτός το οποίο αποτελείται από επί μέρους μήκη κύματος που αντιπροσωπεύουν τα γνωστά χρώματα του ουράνιου τόξου. Επειδή στο ανακλώμενο ως κυριαρχεί το πράσινο χρώμα, τα υπόλοιπα μήκη κύματος υίστανται είτε μερική ενισχυτική συμβολή ή ολική αποσβεστική συμβολή. Για το λόγο αυτό εξετάζουμε μόνο το κύμα που έχει μήκος κύματος λ 533 nm. Αν το συγκεκριμένο αυτό κύμα προσπίπτει στην εξωτερική επιάνεια της σαπουνόουσκας με άση, το κύμα αυτό εν μέρει εισέρχεται στο τοίχωμα της σαπουνόουσκας με την ίδια άση και εν μέρει ανακλάται με άση (+π) (γιατί;). Το κύμα που εισέρχεται στο τοίχωμα διανύει διαδρομή ίση με το πάχος και θάνει στην εσωτερική επιάνεια της σαπουνόουσκας με άση (+k ν ), όπου k ν 2π/λ ν και λ ν λ/n ν είναι ο κυματαριθμός και το μήκος κύματος του κύματος μέσα στο τοίχωμα της σαπουνόουσκας (n ν 1.33). Το κύμα ανακλάται στην εσωτερική επιάνεια του τοιχώματος διατηρώντας τη άση του (+k ν ) (γιατί;). Στη συνέχεια το κύμα διανύει διαδρομή ίση με το πάχος του τοιχώματος και θάνει στην εξωτερική επιάνεια με άση (+k ν + k ν +2k ν ). Τέλος, το κύμα εξέρχεται από το τοίχωμα της σαπουνόουσκας διατηρώντας τη άση του (+2k ν ) (γιατί;). Από την εξωτερική επιάνεια εύγουν προς τα έξω δυο κύματα, το απευθείας ανακλώμενο με άση 1 + π και το κύμα το οποίο ανακλάστηκε από την εσωτερική επιάνεια του τοιχώματος και το οποίο έχει άση 2 +2k ν. Η διαορά άσης των δυο αυτών κυμάτων είναι: Δ 2 1 ( + 2k ν ) ( + π) Δ 2k ν π (1) n α 1 +k n +k n +2k n Για να συμβάλουν ενισχυτικά τα δυο ανακλώμενα κύματα πρέπει η διαορά άσης να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π. Στην περίπτωση αυτή η Εξίσωση (1) γίνεται: +π +2k n Νερό n ν 1,33

Δ 2k ν π 2mπ 2k ν 2mπ + π 2k ν (2m + 1)π 2 2π (2m + 1)π (2m + 1) λ ν λ (2m + 1) λ ν 4 4n ν m 0, 1, 2,. To ελάχιστο δυνατό πάχος max του τοιχώματος της σαπουνόουσκας θα προκύψει θέτοντας m0: max λ 533 nm 4n ν 4 1,33 max 100 nm ΑΣΚΗΣΗ 6: Λευκό ως προσπίπτει κάθετα πάνω στην επιάνεια μιας σαπουνόουσκας της οποοίας το τοίχωμα χει πάχος 625 nm. Δεδομένου ότι ο δείκτη διάθλασης της σαπουνόουσκας n σ είναι περίπου ίσος με το δείκτη διάθλασης του νερού n ν, δηλαδή n σ n ν 1,33, να προσδιορίσετε τα μήκη κύματος του ορατού άσματος τα οποία ανακλώνται από την επιάνεια της σαπουνόουσκας. Στο διπλανό σχήμα έχουμε ένα τμήμα της σαπουνόουσκας σε πολύ μεγάλη μεγέθυνση. Στην εξωτερική επιάνεια της σαπουνόουσκας προσπίπτει κάθετα ένα κύμα λευκού ωτός το οποίο αποτελείται από επί μέρους μήκη κύματος που αντιπροσωπεύουν τα γνωστά χρώματα του ουράνιου τόξου. Τα επί μέρους κύματα προσπίπτουν στην εξωτερική επιάνεια της σαπουνόουσκας με άση, τα κύμα αυτά εν μέρει εισέρχονται στο τοίχωμα της σαπουνόουσκας με την ίδια άση και εν μέρει ανακλώνται με άση (+π) (γιατί;). Τα κύματα που εισέρχονται στο τοίχωμα διανύουν διαδρομή ίση με το πάχος και θάνουν στην εσωτερική επιάνεια της σαπουνόουσκας με άση (+k ν ), όπου k ν 2π/λ ν και λ ν λ/n ν είναι ο κυματαριθμός και το μήκος κύματος του κύματος μέσα στο τοίχωμα της σαπουνόουσκας (n ν 1,33). Τα κύματα ανακλώνται στην εσωτερική επιάνεια του τοιχώματος διατηρώντας τη άση τους (+k ν ) (γιατί;). Στη συνέχεια τα κύματα διανύουν διαδρομή ίση με το πάχος του τοιχώματος και θάνουν στην εξωτερική επιάνεια με άση (+k ν + k ν +2k ν ). Τέλος, τα κύματα εξέρχονται από το τοίχωμα της σαπουνόουσκας διατηρώντας τη άση τους (+2k ν ) (γιατί;). Από την εξωτερική επιάνεια εύγουν προς τα έξω τα κύματα, που ανακλάστηκαν απευθείας με άση 1 + π και τα κύματα τα οποία ανακλάστηκαν από την εσωτερική επιάνεια του τοιχώματος και τα οποία έχουν άσεις 2 +2k ν. Η διαορά άσης των δυο ανακλώμενων ομάδων κυμάτων ωτός είναι: Δ 2 1 ( + 2k ν ) ( + π) Δ 2k ν π (1) n α 1 +k n +k n +2k n Για να συμβάλουν ενισχυτικά τα ανακλώμενα κύματα πρέπει η διαορά άσης να είναι ακέραιο πολλαπλάσιο του 2π. Στην περίπτωση αυτή η Εξίσωση (1) γίνεται: +π +2k n Νερό n ν 1,33

Δ 2k ν π 2mπ 2k ν 2mπ + π 2k ν (2m + 1)π 2 2π λ ν (2m + 1)π λ m 4 1,33 625nm 2m + 1 4 (2m + 1) λ λ m /n m 4n ν ν 2m + 1 2m + 1 m 0, 1, 2,. Τα ανακλώμενα μήκη κύματος που υίστανται ενισχυτική συμβολή είναι: λ 0 (είναι στο υπέρυθρο και απορίπτεται) 2 0 + 1 λ 1 1108 nm (είναι στο υπέρυθρο και απορίπτεται) 2 1 + 1 λ 2 665 nm (κόκκινο χρώμα) 2 2 + 1 λ 3 475 nm (μπλε χρώμα) 2 3 + 1 λ 4 369 nm (είναι στο υπεριώδες και απορίπτεται) 2 1 + 1 m 0, 1, 2,.