Η περιγραφή που ακολουθεί είναι μια σύνοψη της διάλεξης του Καθηγητή Νικολάου Κλούρα που δόθηκε στις 26 Νοεμβρίου 2016, στο 5 ο Σεμινάριο Διδακτικής (Πρόγραμμα Εισηγήσεων στις Φυσικές Επιστήμες), διοργανωθέν υπό την αιγίδα της Ομοσπονδίας Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος, σε συνεδριακό χώρο του Ξενοδοχείου Πόρτο Ρίο της Πάτρας. Η παρουσίαση έγινε με διαφάνειες Power Point και η αρίθμηση των παραγράφων που εμφανίζονται εδώ ακολουθεί ακριβώς την αρίθμηση των διαφανειών Power Point που έχω σε ξεχωριστό αρχείο. Τα κόκκινα βέλη δείχνουν την εναλλαγή των προτάσεων και εικόνων μέσα σε καθεμιά διαφάνεια. Έτσι, ο αναγνώστης μπορεί, βλέποντας τις διαφάνειες, να έχει και μια σύντομη περίληψη των λεχθέντων κατά την παρουσίασή τους. Επειδή «ουδείς αλάνθαστος», παρακαλώ τους αναγνώστες μου να επικοινωνήσουν μαζί μου μέσω email (klouras@upatras.gr) για οποιοδήποτε λάθος ανακαλύψουν ή για οποιαδήποτε διευκρίνιση χρειαστούν. Ευχαριστώ Ν. Κλούρας 1
Ευχαριστώ θερμά την Ομοσπονδία Εκπαιδευτικών Φροντιστών Ελλάδος και ιδιαίτερα τον κ. Μηνά Ταβατζή για την τιμητική πρόσκληση να μιλήσω στο Συνέδριο σας. Το θέμα της ομιλίας μου είναι Ο ΠΕΡΙΟΔΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΩΝ ΧΗΜΙΚΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΜΙΑ ΑΠΛΗ ΚΑΤΑΤΑΞΗ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Ή ΕΝΑ ΠΟΛΥΕΡΓΑΛΕΙΟ ΣΤΑ ΧΕΡΙΑ ΤΟΥ ΧΗΜΙΚΟΥ; 2 Η διάλεξη μου έχει την ακόλουθη διάρθρωση: 1. Εισαγωγή Η έννοια του «πολυεργαλείου» 2. Μια σύντομη αναδρομή στην ανακάλυψη του Π.Π. Βραχεία μορφή του Π.Π. Προβλέψεις του Mendeleev Ο σύγχρονος Π.Π. (μακρά ή εκτενής μορφή του Π.Π.) 3. Η χρησιμότητα του Π.Π. (5 Σημαντικές εφαρμογές) 3 Για να εξηγήσω τι εννοώ με τον όρο «πολυεργαλείο» σκέφτηκα να χρησιμοποιήσω ως παράδειγμα τον Μηχανισμό των Αντικυθήρων». Με αυτό το πολυεργαλείο, οι Μαθηματικοί και οι Αστρονόμοι της εποχής του Αρχιμήδη ή λίγο αργότερα, υπολόγιζαν και προέβλεπαν με ακρίβεια την ανατολή και τη δύση των αστέρων και αστερισμών του ζωδιακού συστήματος, τις διάφορες φάσεις της σελήνης, το σεληνιακό και ηλιακό έτος, την πιθανότητα εκλείψεων και τις θέσεις των πλανητών σε συγκεκριμένες περιόδους. 4 2000 χρόνια αργότερα, ένα άλλο πολυεργαλείο εμφανίζεται στα χέρια των χημικών, αυτή τη φορά: Ο Περιοδικός Πίνακας των Στοιχείων Εδώ βλέπουμε μια αναλογία των δύο πολυεργαλείων: Η μια όψη του Μηχανισμού των Αντικυθήρων λειτουργούσε περίπου όπως ένα πλανητάριο, στην εξερεύνηση των αστέρων. Δίπλα, ο Περιοδικός Πίνακας του Mendeleev, που όταν τον ανακάλυψε, λειτούργησε όπως μια πυξίδα για την ανακάλυψη νέων χημικών στοιχείων. 2
5 Συνεχίζουμε με ΜΙΑ ΣΥΝΤΟΜΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗ ΤΟΥ Π.Π. Εδώ βλέπουμε τη λεγόμενη βραχεία μορφή του Π.Π., όπως τον διαμόρφωσε ο Mendeleev, περίπου το 1869. Τα γραμμοσκιασμένα τετραγωνίδια δείχνουν τις λεγόμενες Τριάδες του Döbereiner. Κοιτάξτε π.χ. την τριάδα Li, Na, K, ή Ca, Sr, Ba. Σε αυτές τις τριάδες, το Α.Β. του μεσαίου στοιχείου είναι περίπου ίσο με τον μ.ο. των Α.Β. των δύο ακραίων στοιχείων (π.χ. A.B. Na =23). Πάνω σ αυτές τις ήδη υπάρχουσες γνώσεις, ο Mendeleev οικοδόμησε τον Π.Π. με τα τότε γνωστά στοιχεία, περίπου 60 τον αριθμό. Παρατηρούμε ότι σε αυτή τη βραχεία μορφή, κάθε στήλη περιλαμβάνει στοιχεία ΔΥΟ Ομάδων, π.χ. στη 2 η στήλη έχουμε: Li, Na, K (Ομάδα 1Α) και Cu, Ag, Au (Ομάδα 1Β). Τα μπλε τετραγωνίδια περιέχουν στοιχεία, άγνωστα στην εποχή του Mendeleev. 6 Γιατί ο Π.Π. που πρότεινε ο Ρώσος Mendeleev επικράτησε εκείνου του Γερμανού Χημικού Meyer; Λόγω των «προφητικών» δυνατοτήτων που προσέφερε στην ανακάλυψη στοιχείων που έλειπαν από τον Π.Π. Και αυτά ήταν πολλά!! Θαυμάστε τις προβλέψεις του Mendeleev για τα στοιχεία eka-αργίλιο, δηλαδή το γάλλιο, και ekaπυρίτιο, δηλαδή το γερμάνιο. Δείτε τις προβλεπόμενες και τις ευρεθείσες πειραματικές τιμές για Α.Β., πυκνότητες, σημεία τήξεως, καθώς και τις προβλέψεις του για πιθανούς τύπους ενώσεων. 7 Ο σύγχρονος λοιπόν Π.Π., που τον βλέπουμε εδώ, χωρισμένο οριζοντίως σε Περιόδους και καθέτως σε Ομάδες, έχει 118 στοιχεία, ταξινομημένα σε Κύριες Ομάδες και σε Μεταβατικά Στοιχεία ή Στοιχεία Μεταπτώσεως που είναι όλα μέταλλα και ανήκουν στα λεγόμενα d- και f-block (ή τομείς d και f). 8 Όμως, ποια είναι η πραγματική Μακρά ή Εκτενής Μορφή του Π.Π.; Αυτή την βλέπουμε εδώ. Διαφέρει από τις προηγούμενες δύο στο ότι έχει τα στοιχεία του f-block (λανθανίδια ή πιο σωστά λανθανοειδή και ακτινίδια ή ακτινοειδή) στις σωστές τους θέσεις. Έχει το μειονέκτημα ότι, λόγω του μεγάλου μήκους του, καθίσταται δύσχρηστος. 9 3
Πάμε τώρα στο σπουδαιότερο μέρος της διάλεξης, δηλαδή σε μερικές σημαντικές εφαρμογές, που δικαιολογούν τον τίτλο «πολυεργαλείο». Ως 1 η εφαρμογή έχουμε επιλέξει την αναγραφή ηλεκτρονικών δομών με χρησιμοποίηση του Π.Π. Για τη εκμάθηση (λέγε με απομνημόνευση) των ηλεκτρονικών δομών των στοιχείων, προτείνεται σχεδόν σε όλα τα βιβλία Χημείας, ένα μνημονικό διάγραμμα, περίπου σαν αυτό της διαφάνειας. Θα αποδείξουμε ότι κάτι τέτοιο είναι παντελώς αχρείαστο, αν γνωρίζουμε τη δομή του Π.Π. 10 Ας δούμε πώς γίνεται αυτό. Στη διαφάνεια βλέπουμε τον Π.Π. χωρισμένο στους 4 τομείς: s, p, d και f. Οι έγχρωμες περιοχές στοιχείων δείχνουν τους διαφορετικούς υποφλοιούς που συμπληρώνονται για τα στοιχεία αυτά. Αν ξέρουμε αυτό τον χονδρικό διαχωρισμό του Π.Π. και τη θέση του στοιχείου στον Π.Π., η εύρεση της ηλεκτρονικής δομής ενός στοιχείου είναι. παιχνιδάκι. 11 Έστω για παράδειγμα, η διατύπωση της ηλεκτρονικής δομής του γαλλίου. Τοποθετούμε το Ga στη σωστή του θέση στον Π.Π. Ga: Τομέας p: εξωτερική ηλεκτρονική δομή ns 2 np x. Περίοδος 4 n=4, Ομάδα 3Α x=1 Προηγείται ο υποφλοιός 3d 3d 10 4s 2 4p 1. Για την πλήρη ηλεκτρονική δομή, προσθέτουμε και τη δομή του προηγούμενου ευγενούς αερίου, που είναι το αργό. Άρα, έχουμε [Ar]3d 10 4s 2 4p 1. 12 Σε μια 2 η εφαρμογή, θα εξετάσουμε τον τριπλό συσχετισμό που υπάρχει ανάμεσα στην ηλεκτρονική δομή, τη θέση των στοιχείων στον Π.Π. και τις ιδιότητες των ατόμων των στοιχείων. Πώς έγινε η περιοδική κατάταξη των στοιχείων στο Π.Σ.; Έγινε με βάση τις φυσικές και χημικές τους ιδιότητες. Όμως, τι αποδείχθηκε αργότερα; Ότι η περιοδική κατάταξη των στοιχείων σχετίζεται άμεσα με την ηλεκτρονική τους δομή. 4
Ποιο συμπέρασμα εξάγεται; Ότι οι φυσικές και χημικές ιδιότητες των στοιχείων σχετίζονται με την ηλεκτρονική δομή των στοιχείων. Δηλαδή τι βλέπουμε; Βλέπουμε ότι υπάρχει ένας τριπλός συσχετισμός μεταξύ ηλεκτρονικής δομής, θέσεως στον Περιοδικό Πίνακα και ιδιοτήτων των ατόμων. Αυτό μπορούμε να το δείξουμε παραστατικά με το τρίγωνο που βλέπουμε στη διαφάνεια. 13 Ας δούμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα: Προβλέψεις για μελλοντικά στοιχεία με βάση τον Περιοδικό Πίνακα. Η ανακάλυψη του στοιχείου με Ζ = 118 ανακοινώθηκε το 1999 και επιβεβαιώθηκε σχετικά πρόσφατα. (α) Ποια θέση κατέχει το στοιχείο αυτό στον Π.Π., όταν η 7η Περίοδος προβλέπεται να έχει τον ίδιο αριθμό στοιχείων όπως και η 6η; (β) Προβλέψτε τη φυσική κατάσταση, τη χημική δραστικότητα και την εξωτερική ηλεκτρονική δομή του εν λόγω στοιχείου. (γ) Με ποια από τα ήδη γνωστά στοιχεία θα μοιάζει το στοιχείο με Ζ = 119, το οποίο δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμη; 14 Ποια είναι η απάντηση; Η 7η Περίοδος θα έχει 32 στοιχεία, όπως και η 6η. Το τελευταίο στοιχείο της 6ης Περιόδου είναι το ευγενές αέριο ραδόνιο, Rn, με Z = 86. Αν στο 86 προσθέσουμε το 32, φθάνουμε στο Ζ = 118. Άρα, το στοιχείο αυτό θα βρίσκεται στην 7η Περίοδο και στην Ομάδα 8Α (ευγενή αέρια, κάτω από το στοιχείο Rn). Πάμε στο (β) ερώτημα. Είναι πολύ πιθανό, το άγνωστο στοιχείο να είναι αέριο, να έχει τη μικρότερη δραστικότητα από όλα τα στοιχεία της 7ης Περιόδου και τη μεγαλύτερη από τα στοιχεία της ομάδας του. Η ηλεκτρονική δομή του φλοιού σθένους θα είναι 7s 2 7p 6. Πώς απαντούμε στο 3 ο ερώτημα; Επειδή μετά από κάθε ευγενές αέριο ακολουθεί ένα αλκαλιμέταλλο που ανήκει στην Ομάδα 1A, το στοιχείο με Ζ = 119 θα ανήκει στα αλκαλιμέταλλα και στις ιδιότητές του θα μοιάζει με τα στοιχεία αυτά, κυρίως με τα Fr, Cs και Rb. 5
15 Μια 3 η εφαρμογή είναι να γράφουμε σωστά τα ιόντα των στοιχείων διότι έτσι θα διατυπώνουμε σωστά και τους τύπους των ιοντικών ενώσεων που ανέρχονται σε πολλές χιλιάδες. Ας δούμε πρώτα τα ιόντα των αντιπροσωπευτικών στοιχείων, δηλ. των στοιχείων των κυρίων ομάδων. Μέταλλα του τομέα s και το Al ( ne) κατιόντα με δομή ns 2 np 6 (π.χ. Na +, Mg 2+, Al 3+ ) Αμέταλλα (τομέας p) (+ ne) ανιόντα με δομή ns 2 np 6 (π.χ. Cl, S 2 ) Ποιοι είναι οι τύποι των ιοντικών ενώσεων: χλωρίδιο του μαγνησίου, σουλφίδιο του σιδήρου(ιιι), νιτρίδιο του αργιλίου, καρβίδιο του στροντίου; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: MgCl2, Fe2S3, AlN, Sr2C Γιατί δεν υπάρχουν ενώσεις των τύπων MgCl3, Na2Cl, CaF; ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Διότι προϋποθέτουν την ύπαρξη των ανύπαρκτων ιόντων Mg 3+, Cl 2, F 2. 16 Τι ισχύει για τα κατιόντα των μεταβατικών μετάλλων (ΜΜ); 1. Τα περισσότερα ΜΜ σχηματίζουν πάνω από ένα κατιόντα με διαφορετικά φορτία (π.χ. Fe 2+, Fe 3+ ) 2. Κανένα από αυτά δεν έχει δομή ευγενούς αερίου ( Sc 3+ ) 3. Πρώτα χάνουν τα ns ηλεκτρόνια. Κατόπιν μπορούν να χάσουν ένα ή δύο (n 1) d ηλεκτρόνια. 4. Τα συνηθέστερα φορτία των ιόντων των ΜΜ είναι +2 και +3 Fe ([Ar]3d 6 4s 2 ) Fe 2+ ([Ar]3d 6 ) + 2e Fe ([Ar]3d 6 4s 2 ) Fe 3+ ([Ar]3d 5 ) + 3e Τα συνηθισμένα κατιόντα των ΜΜ παρουσιάζονται στον διπλανό πίνακα. 17 Ας δούμε με ένα παράδειγμα πώς βρίσκουμε ένα στοιχείο από την ηλεκτρονική δομή ενός ιόντος του. Ένα ιόν Μ 2+ από την πρώτη σειρά μεταβατικών μετάλλων έχει πέντε ηλεκτρόνια στον υποφλοιό 3d. Ποιο είναι το στοιχείο Μ; Ηλεκτρονική δομή του ιόντος Μ 2+ : [Ar]3d 5 Το στοιχείο Μ έχει ηλεκτρονική δομή [Ar]3d 5 4s 2 Η συντομογραφία [Ar] υποδηλώνει την παρουσία 18 e το Μ έχει 18 + 7 = 25 e Ζ = 25 Μ = Mn (μαγγάνιο). 6
18 Μια 4 η σημαντική εφαρμογή του Π.Π. έχουμε στην αναγραφή των τύπων Lewis Πού χρησιμεύουν οι τύποι Lewis; Χρησιμεύουν στην εύρεση της γεωμετρίας μορίων, στη διατύπωση μηχανισμών αντιδράσεων, στην ερμηνεία οξεοβασικών ιδιοτήτων ενώσεων, στην εύρεση αριθμών οξείδωσης κ.λπ. Π.χ., ποια είναι η γεωμετρία του τριβρωμιδίου του φωσφόρου; Ο φωσφόρος ανήκει στην 5 η Ομάδα και άρα έχει 5 e σθένους. Το βρώμιο ανήκει στην 7 η Ομάδα και άρα έχει 7 e σθένους. Επομένως, ο τύπος Lewis είναι (βλ. διαφάνεια 18 ) που σημαίνει ότι το μόριο ανήκει στο γενικό τύπο ΑΒ3Ε και η γεωμετρία του θα είναι τριγωνική πυραμιδική. Άλλο παράδειγμα. Πώς ερμηνεύεται ο όξινος χαρακτήρας του CO2; Με τη βοήθεια των τύπων Lewis του ιόντος υδροξειδίου και του διοξειδίου του άνθρακα, που διατυπώνουμε εύκολα από τις θέσεις των στοιχείων στον Π.Π., δείχνουμε τη μετακίνηση των ηλεκτρονικών ζευγών (ΗΖ), τη δημιουργία όξινου κέντρου στο άτομο C, δηλ. οξέος Lewis, και την εν συνεχεία προσβολή του από μονήρες ΗΖ του υδροξειδίου που δρα ως βάση Lewis. 19 Ως 5 η και τελευταία εφαρμογή, θα δούμε πώς βρίσκουμε τον α.ο. ενός στοιχείου από τη θέση του στον Π.Π. και μόνο. Κατ αρχάς, πώς ορίζεται ο αριθμός οξείδωσης ενός στοιχείου μέσα σε μια χημική ένωση; Ο αριθμός οξείδωσης ενός ατόμου μέσα σε μια ένωση είναι το φορτίο που θα είχε το άτομο, αν τα ηλεκτρόνια από κάθε δεσμό στον οποίον συμμετέχει το άτομο αυτό, θεωρούνταν ότι ανήκουν εξ ολοκλήρου στο πιο ηλεκτραρνητικό άτομο του δεσμού. Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτουν κατά σειρά προτεραιότητας ορισμένοι κανόνες τους οποίους εφαρμόζουμε για την εύρεση του αριθμού οξείδωσης ενός ατόμου: 20 Ποιοι είναι αυτοί οι κανόνες; 1. Ο αριθμός οξείδωσης κάθε ατόμου στη στοιχειακή κατάσταση ισούται με μηδέν. 7
2. Το αλγεβρικό άθροισμα των αριθμών οξείδωσης όλων των ατόμων μιας ουδέτερης ένωσης ισούται με μηδέν και ενός πολυατομικού ιόντος ισούται με το φορτίο του ιόντος. 3. Ο αριθμός οξείδωσης ενός μονατομικού ιόντος ισούται με το φορτίο του ιόντος. 4. Ο αριθμός οξείδωσης του Η είναι +1. 5. Ο αριθμός οξείδωσης του F είναι 1. 6. Ο αριθμός οξείδωσης του O είναι 2. 21 Ας συγκρίνουμε τώρα τον γνωστό τρόπο εύρεσης του α.ο. ενός στοιχείου με τον προτεινόμενο βάσει του Π.Π. Ποιος είναι ο α.ο. του Ο στο διφθορίδιο του οξυγόνου, F2Ο; Α τρόπος: με βάση τους κανόνες με σειρά προτεραιότητας Στη σειρά των κανόνων, το F προηγείται του Ο. Σημειώνω λοιπόν τον α.ο. του F = 1. Αν x ο α.ο. του Ο, τότε ισχύει: x 2 = 0 και άρα x = +2 Αν ζητώ τον α.ο. του F και ξεκινήσω με το Ο, έχοντας ξεχάσει τη σειρά προτεραιότητας, τι προκύπτει; Προκύπτει α.ο F = +1!!!! Τερατούργημα! Ο Β τρόπος, βάσει του Π.Π., είναι αλάνθαστος, αρκεί να γράψω σωστά τον τύπο Lewis και στη συνέχεια να εφαρμόσω τον ορισμό του α.ο: Μοιράζω δηλ. τα e των δεσμών έτσι ώστε να αποδοθούν στο πιο ηλεκτραρνητικό άτομο που είναι το F. Με αυτό τον τρόπο, το κάθε άτομο F παίρνει ένα επιπλέον e σε σχέση με τα αρχικά του, γεγονός που μεταφράζεται σε α.ο. 1. Παράλληλα, το άτομο O, χάνοντας 2e που είχε συνεισφέρει στη δημιουργία των δεσμών, αποκτά φορτίο +2, γεγονός που αντιστοιχεί σε α.ο. = +2. 22 Ποια σχέση υπάρχει ανάμεσα στις οξειδωτικές βαθμίδες ενός στοιχείου κύριας ομάδας και στην ηλεκτρονική του δομή (ή τη θέση του στον Περιοδικό Πίνακα); Ας ξεκινήσουμε με τον Τομέα s: Ομάδα 1Α (μοναδικός α.ο. +1) Ομάδα 2Α (μοναδικός α.ο. +2) Π.χ. Na +, Ca 2+ με δομή ns 2 np 6 Για τον Τομέα p: ο ανώτατος θετικός α.ο. ισούται με τον αριθμό της Ομάδας (θεωρητικά, έχουμε απώλεια όλων των e σθένους) Ο κατώτατος αρνητικός α.ο. αντιστοιχεί στην πρόσληψη τόσων ηλεκτρονίων, όσων απαιτούνται για τη συμπλήρωση της ηλεκτρονικής δομής ns 2 np 6. 8
Π.χ. Πόσους πιθανούς αριθμούς οξείδωσης έχει ο φωσφόρος; Θεωρητικά έχουμε άπειρους α.ο.!!! Άσχετα, αν στην πράξη συναντούμε λίγους. Μεταξύ ποιων ορίων κυμαίνονται αυτοί οι άπειροι αριθμοί; Την απάντηση δίνει η εξωτερική ηλεκτρονική δομή του Ρ, την οποία εξάγουμε από τη θέση του P στον Π.Π. Τα όρια είναι προφανώς το 3 που έχουμε π.χ. στο φωσφίδιο του λιθίου, Li3P, και το +5, που έχουμε στο πενταφθορίδιο του Ρ, ΡF5. Γιατί; Διότι ο Ρ, προκειμένου να αποκτήσει τη σταθερή δομή ευγενούς αερίου, χρειάζεται, είτε να προσλάβει 3 e (έτσι αποκτά τη δομή του Ar), είτε να «χάσει» θεωρητικά 5 e και να αποκτήσει τη δομή του Ne. Στην α περίπτωση της πρόσληψης 3 e, έχουμε α.ο. 3, ενώ στη δεύτερη της απώλειας των 5 e, έχουμε α.ο. +5. 23 Ποια από τα παρακάτω φθορίδια είναι πιθανόν να υπάρχουν; GeF4, AsF5, IF7, RnF8, SeF7 ΑΠΑΝΤΗΣΗ: Όλα, εκτός από το SeF7 (α.ο. του Se από 2 έως +6) Ανάλογα ισχύουν για τα μεταβατικά μέταλλα ως προς τον ανώτατο θετικό α.ο. Εφαρμογή: Να δειχθεί ότι από τα βαναδικά άλατα K4VO4 και K2VO4, το δεύτερο πιθανότατα δεν υπάρχει. Στο K4VO4, ο α.ο. του V είναι: 4 + 4(2) = +4 (υπαρκτό) Στο K2VO4, ο α.ο. του V είναι: 2 + 4(2) = +6 > +5 (πιθανώς ανύπαρκτο), αφού το V, ως ανήκον στην Ομάδα 5Β, έχει ανώτατο α.ο. το +5. 24 Προσπάθησα να σας πείσω ότι το ανίκητο όπλο του χημικού είναι ο Π.Π. Είναι τόσο απαραίτητος στη Χημεία, όσο είναι σήμερα ένα smart phone στην καθημερινή μας ζωή. Γι αυτό, επί πολλά χρόνια τώρα προτείνω στους φοιτητές μου να τον φωτογραφίσουν στο μυαλό τους για να μπορούν να τον ανακαλούν κάθε φορά που αντιμετωπίζουν προβλήματα, όπως αυτά που ανέφερα και όχι μόνο. Ένας τρόπος για να τον κάνει κάποιος κτήμα του είναι να τον φωτοτυπήσει κενό πολλές φορές και μετά να ξεκινήσει να τον συμπληρώνει με όσο περισσότερα στοιχεία μπορεί. Για έναν πρωτοετή φοιτητή, θεωρώ υποχρεωτικό να γνωρίζει να συμπληρώνει με στοιχεία τα 48 πράσινα τετραγωνίδια. 9
25 Πάντως, έχω και μια εναλλακτική λύση για κάποιον που δυσκολεύεται με αυτόν τον τρόπο εκμάθησης του Π.Π. Προϋπόθεση όμως είναι να του αρέσει η ποίηση, η μουσική και να γνωρίζει καλά αγγλικά. Ας τη δοκιμάσει (Διαφάνεια 25: κάντε διπλό κλικ στο εικονίδιο). 10