ΦΥΣ. 111 Κατ οίκον εργασία # 8 - Επιστροφή Πέµπτη 09/11/2017 Οι ασκήσεις 1-10 στηρίζονται στα κεφάλαια 8 και 9 και των βιβλίων των Young και Serway και οι ασκήσεις 11-17 στο νόµο της παγκόσµιας έλξης κεφάλαιο 12 του Young και κεφάλαιο 14 του Serway. 1. Ο Γιάννης και η Μαρία στέκονται πάνω σε ένα κιβώτιο µάζας 15.0kg το οποίο είναι σε ηρεµία πάνω στη λεία οριζόντια επιφάνεια µιας παγωµένης λίµνης. Ο Γιάννης έχει µάζα 75.0 kgr ενώ η Μαρία έχει µάζα 45.0 kgr. Ξαφνικά θυµούνται ότι δεν έχουν νερό µαζί τους και ο καθένας πηδά από το κιβώτιο οριζόντια. Αφού το κάθε άτοµο πηδήξει από το κιβώτιο συνεχίζει να κινείται µε ταχύτητα 4.00m/s ως προς το κιβώτιο. (α) Ποιά είναι η τελική ταχύτητα του κιβωτίου αν και τα δύο άτοµα πηδήξουν ταυτόχρονα από το κιβώτιο. (β) Ποιά είναι η τελική ταχύτητα του κιβωτίου αν πηδήξει πρώτα ο Γιάννης και µετά από λίγα δευτερόλεπτα πηδήξει η Μαρία προς την ίδια κατεύθυνση (γ) Ποιά είναι η τελική ταχύτητα του κιβωτίου αν πηδήξει πρώτα η Μαρία και µετά ο Γιάννης και πάλι προς την ίδια διεύθυνση.
2. Mια σακούλα µε καραµέλες αδειάζει µέσα στο καλάθι µια ζυγαριάς ελατηρίου η οποία αρχικά είχε µηδενική ένδειξη. Κάθε καραµέλα ζυγίζει 2gr και πέφτει στη ζυγαριά από ύψος 1.2m. Οι καραµέλες πέφτουν στη ζυγαριά µε ρυθµό 6 καραµέλες/sec. Ποιά είναι η ένδειξη της ζυγαριάς µετά από 10sec αν όλες οι καραµέλες συγκρούονται µε την ζυγαριά τελείως πλαστικά.
3. Υποθέστε ότι έχετε ένα πύραυλο δύο σταδίων. Το πρώτο στάδιο έχει συνολική µάζα 12,000kg από τα οποία 9,000kg είναι καύσιµο. Η συνολική µάζα του δεύτερου σταδίου είναι 1000kg, από τα οποία 700kg είναι καύσιµο. Υποθέστε ότι η σχετική ταχύτητα εκτόξευσης των αερίων καύσης είναι σταθερή και αγνοήστε οποιαδήποτε επιρροή από την βαρύτητα. (α) Υποθέστε ότι όλο το καύσιµο που κουβαλά ο πύραυλος χρησιµοποιείται σε ένα πύραυλο ενός µόνο σταδίου αλλά µε την ίδια συνολική µάζα 13,000kg. Συναρτήσει της ταχύτητας εκτόξευσης Vεκτ., ποια είναι η ταχύτητα του πυραύλου ο οποίος ξεκινά από την ηρεµία όταν έχει καταναλώσει όλα τα καύσιµα; (β) Για τον πύραυλο δύο σταδίων, ποια είναι η ταχύτητά του όταν έχει καταναλώσει τα καύσιµα του πρώτου σταδίου, όταν το πρώτο στάδιο µεταφέρει το δεύτερο στάδιο στο σηµείο αυτό; Αυτή η ταχύτητα γίνεται κατόπιν αρχική ταχύτητα για το δεύτερο στάδιο. (γ) Ποια είναι η τελική ταχύτητα του δεύτερου σταδίου; (δ) Ποιά τιµή Vεκτ. απαιτείται ώστε να δοθεί στο δεύτερο στάδιο του πυραύλου ταχύτητα 7000km/s;
4. Ένα σχοινί µάζας Μ και µήκους L κρατιέται όπως στο παρακάτω σχήµα, µε το ένα άκρο του στερεωµένο σε κάποιο στήριγµα. Υποθέστε ότι µόνο ένα αµελητέο τµήµα του σχοινιού ξεκινά κάτω από το στήριγµα. Το σχοινί αφήνεται ελεύθερο. Βρείτε την δύναµη που το στήριγµα εξασκεί στο σχοινί σα συνάρτηση του χρόνου. χέρι L στήριγµα
5. Δίσκος ακτίνας R έχει µια κυκλική τρύπα ακτίνας R/4. Το κέντρο της τρύπας απέχει R/2 από το κέντρο του δίσκου. Η µάζα m του δίσκου είναι κατανεµηµένη οµοιογενώς. Ποιά η θέση του κέντρου µάζας του δίσκου.
6. Φανταστείτε ένα σύρµα το οποίο λυγίζετε ώστε να σχηµατίζει ηµικύκλιο ακτίνας R. Βρείτε τη θέση του κέντρου µάζας του συρµάτινου αυτού ηµικυκλίου.
7. Δοχείο γεµάτο µε νερό ξεκινά από την ηρεµία του και ολισθαίνει χωρίς τριβές κατά µήκος κεκλιµένου επιπέδου µε γωνία κλίσης θ. Από τρύπα στο δοχείο, εκτοξεύεται νερό κατά την διεύθυνση του κεκλιµένου επιπέδου µε σταθερή ταχύτητα υ ex ως προς το δοχείο και µε σταθερό ρυθµό dm dt = a, όπου α > 0. H µάζα του δοχείου όταν είναι άδειο είναι m 0Δ και η αρχική µάζα του νερού είναι m 0N. Αναφέρετε και σηµειώστε όλες τις δυνάµεις που ασκούνται στο µε δοχείο µε το νερό και βρείτε την ταχύτητα του δοχείου όταν θα έχει αδειάσει όλο το νερό, αν m 0Δ a υ ex gsinθ.
8. Μία κοπέλα µάζας 45.0kg στέκεται 1.0m από το άκρο µιας βάρκας µήκους 5m και µάζας 60.0kg. Περπατά από το σηµείο αυτό προς κάποιο άλλο σηµείο το οποίο βρίσκεται 1.0m από το άλλο άκρο της βάρκας. Αν θεωρήσετε αµελητέες τις τριβές της βάρκας µε το νερό, πόσο µετακινήθηκε η βάρκα κατά τη κίνηση της κοπέλας;
9. Ένα πυροτέχνηµα βάλεται κατακόρυφα προς τα πάνω. Στο µέγιστο ύψος της τροχιάς του, 80m από το έδαφος, εκρήγνυται σε δύο τµήµατα, ένα µε µάζα 1.40kg και ένα άλλο µε µάζα 0.28kg. Κατά την έκρηξη 860J χηµικής ενέργειας µετατρέπεται σε κινητική ενέργεια των δύο θραυσµάτων. (α) Ποιά είναι η ταχύτητα των θραυσµάτων ακριβώς µετά την έκρηξη. (β) Παρατηρείται ότι τα δύο θραύσµατα φθάνουν ταυτόχρονα στο έδαφος. Ποιά είναι η απόσταση των σηµείων που χτυπούν στο έδαφος; Υποθέστε ότι το έδαφος είναι επίπεδο και αγνοήστε την αντίσταση του αέρα.
10. Ένα βλήµα µάζας 12.0kg εκτοξεύεται µε γωνία 55 ο πάνω από την οριζόντια διεύθυνση µε αρχική ταχύτητα 150m/s. Όταν βρίσκεται στο µέγιστο ύψος της τροχιάς του το βλήµα εκρήγνυται σε 2 θραύσµατα, το ένα µε µάζα 3 φορές µεγαλύτερη του άλλου. Τα δυο θραύσµατα φθάνουν στο έδαφος ταυτόχρονα. Αγνοήστε την αντίσταση του αέρα. Αν το βαρύτερο θραύσµα χτυπά στο έδαφος στο σηµείο από το οποίο ξεκίνησε το βλήµα, σε ποιό σηµείο θα πέσει το ελαφρύτερο θραύσµα και πόση ενέργεια ελευθερώθηκε κατά την έκρηξη.
11. Τρία αντικείµενα Α, Β και C µε µάζα m, 2m και 8m αντίστοιχα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο και στις θέσεις που φαίνονται στο σχήµα. Σε ποιά θέση (x,y) πρέπει να τοποθετεί ένα τέταρτο σώµα D, µάζας 8m ώστε η συνολική βαρυτική δύναµη στο σώµα Α να είναι µηδέν;
12. Αστέρες νετρονίων είναι αστέρες µε υπερβολικά µεγάλη πυκνότητα µάζας και δηµιουργούνται µετά την έκρηξη ενός supernova. Πολλοί από τους αστέρες αυτούς περιστρέφονται πολύ γρήγορα. Υποθέστε ότι η µάζα ενός συγκεκριµένου σφαιρικού άστρου νετρονίων είναι διπλάσια από τη µάζα του ήλιου και η ακτίνα του µόλις 10km. Υπολογίστε την µεγαλύτερη δυνατή γωνιακή ταχύτητα που µπορεί να έχει έτσι ώστε η ύλη στην επιφάνεια του αστέρα στον ισηµερινό του να κρατιέται σε τροχιά από την βαρυτική δύναµη.
13. Να εξάξετε µια εξίσωση για το έργο που χρειάζεται για να µετακινήσει κάποιος ένα γήινο δορυφόρο µάζας m από µια κυκλική τροχιά ακτίνας 2R γη σε µια άλλη ακτίνας 3R γη.
14. Ένας δορυφόρος κινείται σε κυκλική τροχιά ακριβώς πάνω από την επιφάνεια ενός πλανήτη (ύψος δένδρου) χωρίς να υπάρχει αντίσταση αέρα. Δείξτε ότι η γραµµική ταχύτητα της τροχιάς του, υ, και η ταχύτητα διαφυγής, V διαφ, συνδέονται µε την σχέση: V διαϕ = 2υ.
15. Κάποια συστοιχία αστέρων αποτελείται από 4 αστέρες. Τρεις από τους αστέρες, ο καθένας µε µάζα m, κινούνται στην ίδια κυκλική τροχιά ακτίνας R γύρω από κάποιον κεντρικό αστέρα µάζας Μ. Οι 3 αστέρες περιστρέφονται µε την ίδια φορά και βρίσκονται σε θέσεις που απέχουν 1/3 περιστροφής το ένα από το άλλο. Δείξτε ότι η περίοδος κάθε αστέρα δίνεται από την σχέση: T = 2π R 3. G(M + m/ 3)
16. Θεωρήστε ένα σύστηµα το οποίο αποτελείται από δύο σωµατίδια µάζας Μ και m και τα οποία βρίσκονται σε µια τεράστια απόσταση το ένα από το άλλο. Παρ όλο που τα σώµατα έχουν πολύ µεγάλη απόσταση µεταξύ τους αλληλεπιδρούν εξαιτίας της βαρυτικής δύναµης και εποµένως όταν αφήνονται ελεύθερα έλκονται και κινούνται το ένα προς το άλλο. (α) Έστω οι ταχύτητες των σωµατιδίων σε κάποια ορισµένη χρονική στιγµή είναι υ Μ και υ m. Βρείτε µια σχέση για την ταχύτητα υ Μ συναρτήσει των Μ, m και υ m. Υπόδειξη: Δεν υπάρχουν εξωτερικές δυνάµεις στο σύστηµα. Προσέξτε ότι τα σωµατίδια κινούνται προς το µέρος του άλλου και εποµένως οι ταχύτητες έχουν αντίθετες διευθύνσεις. (β) Έστω d παριστάνει την απόσταση µεταξύ των δύο µαζών σε κάποια δεδοµένη χρονική στιγµή. Γράψτε µια εξίσωση που να σχετίζει τις µάζες των σωµατιδίων, m και Μ, τις ταχύτητες τους, υ m και υ Μ, τη δεδοµένη χρονική στιγµή και την απόσταση d. Υπόδειξη: Από τη στιγµή που τα σωµατίδια έχουν αρχικά µεγάλη απόσταση, µπορείτε να υποθέσετε ότι η ολική αρχική βαρυτική δυναµική ενέργεια είναι ίση µε µηδέν. (γ) Χρησιµοποιώντας τα αποτελέσµατα από τα ερωτήµατα (α) και (β) δείξτε ότι η ταχύτητα οποιουδήποτε από τα σωµατίδια σχετικά µε το άλλο σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση (d η απόστασή τους την δεδοµένη χρονική στιγµή) υ σχετ = ( ) d 2G M + m.
17. Το διαστηµόπλοιο Ήλιος Β, το οποίο σχεδιάστηκε για να τεθεί σε τροχιά γύρω από τον ήλιο είχε ταχύτητα υ=71.0km/s όταν η απόστασή του από τον ήλιο ήταν 43 εκατοµύρια χιλιόµετρα. (α) Αποδείξτε ότι η τροχιά του διαστηµόπλοιου δεν ήταν κυκλική. (β) Αποδείξτε ότι η τροχιά του διαστηµόπλοιου ήταν ελλειπτική.