ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ ΠΛΑΣΜΑΤΟΣ

ΚΑΝΑΡΗΣ Χ. ΤΣΙΓΚΑΝΟΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ ΠΛΑΣΜΑΤΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 - ΜΥΔ ΚΥΜΑΤΑ ΑΘΗΝΑ 2018

8 Μαγνητοϋδροδυναμικά κύματα Σχήμα 8.1: Μαγνητοϋδροδυναμικά κύματα στο πλάσμα. (α) Κάθετα σε ένα μαγνητικό πεδίο διαδίδονται διαμήκη ηχητικά κύματα με ταχύτητα V 2 A + C2 s. (β) Παράλληλα στο μαγνητικό πεδίο διαδίδονται εγκάρσια κύματα Alfvén με ταχύτητα V A και διαμήκη ηχητικά κύματα με ταχύτητα C s. Σε τυχούσα γωνία ως προς τη διεύθυνση ενός μαγνητικού πεδίου διαδίδονται τρία ΜΥΔ κύματα: τα κύματα Alfvén και τα αργά και γρήγορα ΜΥΔ κύματα. 8.1 Ηλεκτρομαγνητικά κύματα J = 0, ρ = 0,

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΜΑΓΝΗΤΟΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ E = 0, E = 1 c B = 0, B = 1 c / t B t, E t. 1 c 2 2 B t 2 = 1 c t ( E) = 1 c E t. 1 c 2 2 B t 2 = ( B) = ( B) 2 B. 2 B 1 2 B c 2 = 0. t2 E 2 E 1 2 E c 2 = 0. t2 c B = B 0 i( k r ωt), E = E 0 i( k r ωt), k = k î + l ĵ + m ˆk, k r = k x + l y + m z. E B ω 2 = (k 2 + l 2 + m 2 )c 2 ω = k 2 + l 2 + m 2 c.

8.2. ΗΧΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 3 3 10 16 3 10 4 k E = 0, k B = 0, k E = ω B c E B = 0, k E = k E ˆn, ˆn B = B ˆn ω/ k = c Παράδειγμα 8.1 E = E y (x, t) ĵ, B = B z (x, t) ˆk 1 B z c t 1 E y c t 2 B z t 2 = E y x, = B z x, = c 2 2 B z x 2. B z = B 0 ( kx ωt ), E y = E 0 ( kx ωt ), ω=, = E 0, ˆx 8.2 Ηχητικά κύματα

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΜΑΓΝΗΤΟΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ρ V t + ρ( ) V V = P, ρ t + (ρ V ) = 0, P = RρT, R V = 0 P 0 ρ 0 P 0 = R ρ 0 T δp = p 1 δ v = v 1 δρ = ρ 1 p 1 ( r, t), v ( r, t), ρ 1 ( r, t) P 0 ρ 0 p 1 P 0, ρ 1 ρ 0 ρ = ρ 0 + ρ 1, P = P 0 + p 1 ( ) ( v 1 ρ0 + ρ 1 t + ( v 1 ) ) v 1 = ( ) P 0 + p 1, ) (ρ 0 + ρ 1 + [( ) ] ρ 0 + ρ 1 v1 = 0, t P 0 + p 1 = R T ( ρ 0 + ρ 1 ). P 0 ρ 0 1 ρ 0 t = p 1, ρ 1 t + ρ 0 1 = 0, p 1 = Cs 2 ρ 1, Cs 2 = R T C s = 300 / C s = 270 / C s = 1410 /

8.2. ΗΧΗΤΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 5 C s = 5600 / 1 p 1 ρ 1 2 ρ 1 t 2 = C2 s 2 ρ 1. ρ 1 = ρ 1 (x, t) 2 ρ 1 t 2 = C2 s 2 ρ 1 x 2, x C s ρ 1 = ρ i ( k x ωt ), ρ ω 2 = k 2 C 2 s. ρ 1 = ρ i ( k x + l ψ + m z ω t ). k k = ( k, l, m ) k = k 2 + l 2 + m 2. ω 2 = ( k 2 + l 2 + m 2) C 2 S. ωρ 0 v 1 = kp 1, v 1 k

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΜΑΓΝΗΤΟΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 8.3 Κύματα Alfvén B 0 ρ 0 P 0 ρ/ t = 0 V = 0 V = v 1 B = B 0 + b 1 ρ ( ) V B t = B, 4π V = 0 B t = ( ) V B, B = 0. ( ) v 1 ρ 0 t = b1 B0, 4π b 1 t = ( v 1 B ) 0, b 1 = 0, v1 = 0. ( ) Ae i( k r ωt) = Ae i kx+ly+mz ωt, A 4πρ 0 ω v 1 = ( k b1 ) B0 = ( k B0 ) b1 ( B0 b 1 ) k, ω b 1 = k ( v 1 B 0 ) = ( k B0 ) v1 ( k v1 ) B0, ( A B) C = B( A C) A( B C) v 1 = 0 k v 1 = 0, b 1 = 0 k b 1 = 0.

8.3. ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ALFVÉN 7 v 1 b 1 k B 0 b 1 = 0, ( ) k B0 b1 ρ 0 ω v 1 = 4π ω b 1 = ( ) k B0 v1. ω k ( ) k 2 ω 2 B0 =, 4πρ 0 V ϕ ω k = V A θ, θ B 0 k V A = B 0 4πρ0, V A B 0 θ B 0 V ϕ = ω k θ B 0 θ = 90 o

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΜΑΓΝΗΤΟΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ

i i ``ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗ-ΠΛΑΣΜΑΤΟΣ'' --- 2018/3/5 --- 16:48 --- page 9 --- #10 i 8.3. ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΑΧΥΤΗΤΑ ALFVÉN 9 Σχήμα 8.2: Σχηματική απεικόνιση της διάδοσης σχετικιστικών κυμάτων Alfvén σε πίδακες από μελανές οπές. Το συγκεκριμένο jet προέρχεται απο την κεντρική μελανή οπή του αντικειμένου BL Lac, και έχει μήκος μερικών ε.φ. Ο πίδακας έχει ένα ελικοειδές μα και τα κύματα Alfvén διαδίδονται κατα μήκος της αξονικής συνιστώσας γνητικό πεδίο B του μαγνητικού πεδίου του πίδακα στη διεύθυνση της μακροσκοπικής ροής του πλάσματος με υπέρφωτη ταχύτητα, που έχει τιμές απο 3.9 έως 13.5 φορές την ταχύτητα του φωτός και αντιστοιχεί σε πραγματική ταχύτητα διάδοσης V 0.98c. Τα κύματα προσομοιάζουν με το ταλαντούμενο σχήμα του ενός άκρου ενός τεράστιου μαστιγίου του οποίου το άλλο άκρο κρατά και κτυπά ένα γιγάντιο χέρι. Cohen, M. H. et al, Studies of the Jet in BL Lacertae. II. Superluminal Alfvén Waves (2015). 1999: οι Aschwanden, et al. και Nakariakov, et al. ανακοινώνουν την ανίχνευση αποσβεννυόμενων εγκάρσιων ταλαντώσεων σε στεμματικούς βρόχους που παρατηρήθηκαν με το τηλεσκόπιο EUV του (TRACE), τις οποίες ερμηνεύουν ως στάσιμα 'kinks" των Αλφενικών ταλαντώσεων των βρόχων. Αυτή η ερμηνεία είχε δοθεί παλιότερα από τους Roberts et al. (1984). 2007: οι Tomczyk, et al. δημοσίευσαν την ανίχνευση κυμάτων Alfvé n σε εικόνες του Ηλιακού Στέμματος με το Coronal Multi-Channel Polarimeter (CoMP) του National Solar Observatory, New Mexico. Αυτά τα κύματα ερμηνεύθηκαν ως διαδιδόμενα κύματα κύρτωσης (kink) από τον Van Doorsselaere et al. (2008). 2007: οι J. Cirtain και συνεργάτες, T.J. Okamoto και συνεργάτες και B. De Ponieu και συνεργάτες, σε άρθρα τους συνοψίζουν τους σημαντικότερους σταθμούς κατανόησης και παρατήρησης των κυμάτων Alfvén. Η ερευνητική ομάδα του B. De Pontieu προτείνει ότι η ενέργεια που μεταφέρουν τα i i i

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΜΑΓΝΗΤΟΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 8.4 Μαγνητοϋδροδυναμικά κύματα ρ t + ρ V = 0. ρ ( ) V t + P B B 4 π = 0. B t + ( V B ) = 0.

8.4. ΜΑΓΝΗΤΟΫΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 11 ( P ) t ρ Γ = 0. 0 ρ t + ρ 0 v = 0, ( ) v ρ 0 t + p b B0 = 0, 4 π b t + ( v B ) 0 = 0, ( p Γρ ) = 0. t P 0 ρ 0 ρ 0 P 0 B 0 ρ p b, v i ( k r ωt ) ω ρ + ρ 0 k v = 0, ( ) k ω ρ 0 v + b B0 k p = 0, 4 π ω b + k ( v B ) 0 = 0, ( p ω Γρ ) = 0. P 0 ρ 0 ω 0 ρ = ρ 0 k v ω, p = ΓP 0 k v ω, ( ) k v B0 ( ) k B0 v b =. ω { ( ) k 2 { ω 2 B0 } ( v = Γ P 0 B + 2 ) 0 k ( k B } 0 ) B0 ( 4 π ρ 0 ρ 0 4π ρ 0 4 π ρ k v) 0 ( )( ) k B0 v B0 4 π ρ 0 k.

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΜΑΓΝΗΤΟΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ B 0 ẑ k x z B 0 k v x v y v z = 0, ω 2 k 2 VA 2 k2 CS 2 2 θ 0 k 2 C 2 S θ θ = 0 ω 2 k 2 VA 2 2 θ 0 k 2 CS 2 θ θ 0 ω2 k 2 CS 2 2 θ B0 2 V =, C S = Γ P 0. 4πρ 0 ρ 0 3 3 [ ω 2 k 2 VA 2 2 θ ][ ω 4 ω 2 k 2 ( VA 2 + CS 2 ) + k 4 VA 2 CS 2 2 θ ] = 0. ω = k V A θ, k v = 0, v B0 = 0, v = ( 0, v y, 0 ) v x = v z = 0 ω = k V A θ ( 0, v y, 0 ) k v = 0 v B 0 = 0

8.4. ΜΑΓΝΗΤΟΫΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 13 ω = k v +, ω = k v, v = ( v x, 0, v z ), k v 0, v B0 0, v ± = { 1 ( V 2 2 A + CS 2 ± (VA 2 + C2 S )2 4 VA 2 C2 S 2 θ )} 1 2. v + v v y = 0 ( ) v x, 0, v z k v 0 v B 0 0 v v k v v 180 p ( B 0 b/4 π) z p v z ω ρ 0 v z = k p θ. B 2 ) δ( B = 0 b 8 π 4 π = ( k v) B0 2 ( )( k B0 B0 v ). 4 π ω B 0 b 4 π = ρ V A 2 k2 VA 2 2 θ ω 2 p = V A 2 ( CS 2 1 k2 CS 2 2 θ ) ω 2 p.

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΜΑΓΝΗΤΟΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ p ( B 0 b/4 π) v > C S θ v < C S θ v = ω/k v + > C S θ v < C S θ ( v x, 0, v z ) k v 0 v B0 0 v k B 0 k Σχήμα 8.3: Διάγραμμα ταχυτήτων φάσης για τα τρία χαρακτηριστικά ΜΥΔ κύματα από παρατηρήσεις στο υπεριώδες τμήμα του φάσματος στο Ηλιακό Στέμμα, όπου η ταχύτητα του ήχου για τα συγκεκριμένα ύψη στο EUV ηλιακό στέμμα είναι περί τα 200 /, ενώ η ταχύτητα Alfvén είναι περί τα 1000 /. Το παρατηρούμενο κύμα είναι ένα αργό ΜΥΔ κύμα που διαδίδεται σε γωνία 86 ως προς το κάθετο στην φωτόσφαιρα ηλιακό μαγνητικό πεδίο, με μιά μέση ταχύτητα 14 / για απόσταση 40.000 για περίπου 20 λεπτά. Η φασική ταχύτητα διάδοσης και η γωνία ως προς το μαγνητικό πεδίο του αργού ΜΥΔ κύματος σε πλάσμα χαμηλού β σχετίζονται ως εξής : V s C s θ, 200 / 86 o = 14 /. (Απο το άρθρο: Extreme Ultraviolet Observations and Analysis of Micro-Eruptions and Their Associated Coronal Waves, Podladchikova, O., Vourlidas, A., Van der Linden, R. A. M., Wülser, J.-P. and Patsourakos, S. 2010, ApJ 709, 369). C S ω = k V A.

8.4. ΜΑΓΝΗΤΟΫΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 15 V A C S β = 8πP /B 2 ω k C S θ. x z ˆx B = B oˆx θ θ = π/2 V + = VA 2 + C2 s = 0.64

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΜΑΓΝΗΤΟΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ Σχήμα 8.4: Διάγραμμα ταχυτήτων φάσης V ϕ = ω/k για τα τρία χαρακτηριστικά ΜΥΔ κύματα: Γρήγορο (εξωτερική διακεκομένη καμπύλη), Alfvén και αργό (εσωτερική συνεχής καμπύλη), όταν V A = 0.5 > C s = 0.4. Στη διεύθυνση του άξονα z, η φασική ταχύτητα του γρήγορου κύματος είναι V + = V 2 A + C2 s = 0.64. Σχήμα 8.5: Διάγραμμα ταχυτήτων ομάδος V g = dω/dk για τα τρία χαρακτηριστικά ΜΥΔ κύματα: Alfvén (μαύρα σημάδια), αργό (δύο μικρά σφαιρικά τρίγωνα) και γρήγορο (εξωτερική διακεκομμένη καμπύλη) όταν V A = 0.5 > C s = 0.4. Στη διεύθυνση του άξονα z, η ταχύτητα ομάδος του γρήγορου κύματος είναι V + = VA 2 + C2 s = 0.64. Τα δύο σφαιρικά τρίγωνα τερματίζονται εσωτερικά στη χαρακτηριστική ταχύτητα C T = (V A C s )/ VA 2 + C2 s = 0.31.

8.4. ΜΑΓΝΗΤΟΫΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 17 Σχήμα 8.6: Διάγραμμα ταχυτήτων φάσης V ϕ = ω/k για τα τρία χαρακτηριστικά ΜΥΔ κύματα: Γρήγορο (εξωτερική διακεκομμένη καμπύλη) Alfvén και αργό (εσωτερική συνεχής καμπύλη), όταν V A = C s = 0.5. Στη διεύθυνση του άξονα z, η φασική ταχύτητα του γρήγορου κύματος είναι V + = VA 2 + C2 s = 0.705. Σχήμα 8.7: Διάγραμμα ταχυτήτων ομάδος V g = dω/dk για τα τρία χαρακτηριστικά ΜΥΔ κύματα: Alfvén (μαύρα σημάδια), αργό (συνεχής καμπύλες) και γρήγορο (εξωτερική διακεκομμένη καμπύλη), όταν V A = C s = 0.5. Στη διεύθυνση του άξονα z, η ταχύτητα ομάδος του γρήγορου κύματος είναι V + = V 2 A + C2 s = 0.705. Η χαρακτηριστική ταχύτητα είναι C T = (V A C s )/ V 2 A + C2 s = 0.355

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΜΑΓΝΗΤΟΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 0,75 0,5 0,25 z 0 0,25 0,5 0,75 0,75 0,5 0,25 0 0,25 0,5 0,75 Σχήμα 8.8: Διάγραμμα ταχυτήτων φάσης V ϕ = ω/k για τα τρία χαρακτηριστικά ΜΥΔ κύματα: Αργό, Alfvén και γρήγορο, όταν V A = 0.5 < C s = 0.8. Στη διεύθυνση του άξονα z, η φασική ταχύτητα του γρήγορου κύματος είναι V + = VA 2 + C2 s = 0.943. x Σχήμα 8.9: Διάγραμμα ταχυτήτων ομάδος V g = dω/dk για τα τρία χαρακτηριστικά ΜΥΔ κύματα: Αlfvén (μαύρα σημάδια), αργό (δύο μικρά σφαιρικά τρίγωνα) και γρήγορο (εξωτερική διακεκομμένη καμπύλη), όταν V A = 0.5 < C s = 0.8. Στη διεύθυνση του άξονα z, η ταχύτητα ομάδος του γρήγορου κύματος είναι V + = VA 2 + C2 s = 0.943. Τα δύο σφαιρικά τρίγωνα τερματίζονται εσωτερικά στη χαρακτηριστική ταχύτητα C T = (V A C s )/ VA 2 + C2 s = 0.424.

8.5. ΑΛΛΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 19 8.5 Άλλα προβλήματα Πρόβλημα 8.1 α 1 n = 10 5 B = 0.5 α 2 n = 10 8 3 B = 10 α 3 n = 10 B = 10 2 α 4 n = 10 15 B = 10 4 Πρόβλημα 8.2 180 v v k v v 180 θ Πρόβλημα 8.3 B 0 k σ E = v c B + 1 σ J

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8. ΜΑΓΝΗΤΟΥΔΡΟΔΥΝΑΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ c2 ω 2 = k 2 va 2 2 θ iωk 2 4πσ V 0 = 0 B0 = B 0 ẑ ρ 0 P 0 ρ 1 = 0 P 1 = 0 V 1 = V 1 ŷ B 1 = B 1 ŷ [ i(ωt k r)] k = k θẑ + k θˆx J = c 4π B ω kv A θ ω kv A θ i k2 c 2 8πσ. τ = 8πσ k 2 c 2. Πρόβλημα 8.4 [ρv n ] = 0 [ ρvn 2 + P ] [ ρv 2 = 0 [ρv n v t ] = 0 2 v n + γ ] γ 1 P v n = 0 n t P 2 (γ + 1)r (γ 1) = P 1 (γ + 1) (γ 1)r,

8.5. ΑΛΛΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 21 [ ρv 2 n + P ] = 0 r = (γ + 1)M n1 2 2 + (γ 1)Mn1 2, r = ρ 2 ρ 1 = v n1 v n2 M n1 = v n1 c s1 c s1 = γ P 1 ρ 1. θ β r = (γ + 1)M n1 2 2 + (γ 1)Mn1 2, β θ M 1 = v 1 /c s1