28//4 Laser Physics The Einstein Relation Lecture 5 www.hazemsakeek.com www.physicsacademy.or The Einstein Relation ذكرنا سابقا أن العلم اينشتين ف ي ع ام 97 وض ع األس اس النظ ري لعم ل اللي زر Electromanetic م ن خ الل دراس ة تفاع ل الطاق ة الكھرومغناطيس ية وذل ك م ن خ الل العملي ات االنتقالي ة الثالث ة Matter Radiation م ع الم ادة bsorption process التالية: Spontaneous Emission Stimulated Emission افترض اينشتين أن الذرات المكونة للمادة موزعة على مستويين للطاقة ھم ا, E حي ث أن مس توى الطاق ة E يع رف باس م Ground State أم ا مس توى الطاقة فيعرف ب.Excited State االنتقاالت الثالثة السابقة تحدث في المادة ب ين مس تويي الطاق ة عن د أي درج ة ح رارة وھ ذا م ا يع رف ب االتزان الح راري.Thermal Equilibrium الشكل التالي يوضح مستويي الطاقة وتأثير كل عملية انتقال عل ي ال ذرة واإلش عاع الكھرومغناطيسي. 2
28//4 Einstein Coefficients معامالت اينشتين تع رف المع امالت2 &2 &2 بمع امالت اينش تين Einstein Coefficients وھي التي تعطينا فكرة جيدة عن احتمالية حدوث انتقال بين مستويات الطاقة. E2 2 2 2 E bsorption Spontaneous Emission Stimulated Emission س نقوم بإيج اد العالق ات الت ي ت ربط ھ ذه المع امالت بعض ھا ب بعض حي ث أن االنتقاالت الثالثة تحدث في المادة بص ورة مس تمرة وبمع دل ثاب ت لك ل منھ ا عن د ثب وت درج ة الح رارة أي ف ي حال ة االت زان الح راري. وبمعرف ة معام ل م ن المعامالت الثالثة يمكن حساب المعامالت األخرى. Population at thermal equilibrium إن العالقة بين تعداد الذرات في مستويات الطاقة عند االتزان الحراري بولتزمان للتوزيع اإلحصائي Maxwell- oltzman Law توصف بمعادلة ماكسويل h e KT Where T is the temperature in Kelvin and there is a thermal equilibrium at T, is the statistical weiht which represent the different ways of distribution of atoms all have the same enery (deeneracy). 4 2
28//4 Example: Calculate the ratio of the population numbers (, 2) for the two enery levels E2 and E when the material is at room temperature ( o K), and the difference between the enery levels is.5 [ev]. What is the wavelenth (λ) of a photon which will be emitted in the transition from E2 to E? where k =.8x -2 J/K Solution: When substitutin the numbers in the equation, we et: = 4 * -9 This means that at room temperature, for every,,, atoms at the round level (E), there are 4 atoms in the excited state (E2)!!! 5 To calculate the wavelenth: This wavelenth is in the ear Infra-Red (IR) spectrum. 6
28//4 The Rate Equations for the bsorption, Spontaneous Emission and Stimulated Emission سنقوم في ھذه المرحلة بدراسة تأثير كل عملية من العمليات االنتقالية الثالث على معدل تغير تعداد الذرات في مستوي الطاقة المثار d لذا سنفترض مجموعة من وذلك في حالة االتزان الحراري /dt E, الذرات موزعة على مستويين للطاقة E E 7 Spontaneous Emission االنبعاث التلقائ ي تعتمد عملية االنبعاث التلقائي على تعداد المستوي االنبعاث التلقائي وكذلك يعتمد ھذا االنتقال على المعامل االنبعاث التلقائي. يكون معدل التغير في تعداد المستوى زاد معدل التغير كلما نقصت أي كلما ازداد ويمكن التعبير عن ذلك بالمعادلة التالية: كلما زادت عملية الذي يعبر على احتمالية حدوث بالنسبة للزمن بالسالب ألن كلما E d /dt = - () E 8 4
28//4 االمتصاص Stimulated bsorption E كلما زادت عملية E أي كلما ازداد تعتمد عملية االمتصاص على تعداد المستوي الذي يعبر على احتمالية حدوث عملية االمتصاص وكذلك يعتمد ھذا االنتقال على المعامل بالنسبة للزمن بالموجب ألن كلما زاد االمتصاص. يكون معدل التغير في تعداد المستوى. وحيث أن عملية االمتصاص تحدث إذا توفر فوتون ذو طاقة تساوي معدل التغير كلما زاد فرق الطاقة بين المستويين و أي أن (E) = E 2 - وللتعبير عن مدى تحقق المعادلة السابقة في عملية االمتصاص فإننا نعبر عنھا بكثافة اإلشعاع بالدالة كمتغير في التردد Enery density of radiation والتي تعطي مدى احتمالية وجود فوتونات عند تردد ويمكن التعبير تأثير عملية االمتصاص على بالمعادلة التالية: تغير تعداد المستوى d /dt = + (2) 9 االنبعاث االستحثاثي Stimulated Emission كلما زادت عملية أي كلما ازداد تعتمد عملية االنبعاث االستحثاثي على تعداد المستوي الذي يعبر على احتمالية حدوث االنبعاث االستحثاثي وكذلك يعتمد ھذا االنتقال على المعامل بالنسبة للزمن بالسالب عملية االنبعاث االستحثاثي.يكون معدل التغير في تعداد المستوى وحيث أن عملية االنبعاث االستحثاثي تحدث اذا توفر ألن كلما زاد معدل التغير كلما قل. فوتون ذو طاقة تساوي فرق الطاقة بين المستويين و أي أن E (E) = E 2 - وللتعبير عن مدى تحقق المعادلة السابقة في عملية االنبعاث االستحثاثي فإننا نعبر عنھا بكثافة االشعاع بالدالة كمتغير في التردد Enery density of radiation والتي تعطي مدى احتمالية وجود فوتونات عند تردد ويمكن التعبير تأثير عملية االنبعاث االستحثاثي على تغير تعداد المستوى بالمعادلة التالية: d /dt = - () 5
28//4 المعادلات الثلاثة السابقة الذكر تمثل الحالات المختلفة التي يمكن من خلالها أن تتفاعل الا شعاع الكهرومغناطيسي مع ذ ارت المادة. وفي حالة الات ازن الح ارري عند درجة ح اررة T فا ن عدد الذ ارت في مستوى الطاقة يكون ثابت أي أن Therefore = Constant & d /dt = zero ( ) ( ) (4) وحيث أن المعادالت الثالثة األخيرة تم اشتقاقھا تح ت ش رط االت زان الح راري ولھ ذا ف إن معادل ة ماكسويل بولتزمان متحققة h e KT (5) ( ) ( ) (4) وبمقارنة المعادلة (4) بالمعادلة (5) نحصل على المعادلة التالية: h e KT ( ) ( ) (5)* عند درجات الحرارة العالية فإن كثافة اإلشعاع تكون كبيرة وھنا يمكن إھمال تأثير عملية االنبعاث التلق ائي حيث إنھا ال تتأثر بتغير درجة الحرارة. When KT>>hv we et / = / hence, (6) 2 6
28//4 h e KT ( ) ( ) Equation (7) called Einstein equation for black body radiation From the lank equation of black body radiation 8 h c (9) 4 7
28//4 The equation (6) and (9) are called Einstein relations. The second relation enables us to evaluate the ratio of the rate of spontaneous emission to the rate of stimulated emission for a iven pair of enery levels. (6) 8h c (9) معامالت اينشتين Einstein Coefficients 5 The ratio for the spontaneous emission to the stimulated emission can be written as 6 8
28//4 Example Calculate the ratio of spontaneous emission to stimulated emission for a tunsten filament operatin at a temperature of 2K takin the averae frequency to be 5x 4 Hz. Solution The ratio R = exp[(6.6x -4 *4x 4 )/(.8x -2 *2)] تم إھمال كثافة اإلشعاع R =.5x 5 This confirms that under normal condition of thermal equilibrium stimulated emission is not an important process. مما سبق نستنتج أن عملية stimulated emission تنافس عمليتي spontaneous stimulated emission وحتى نكبر شعاع ضوئي بواسطة absorption و emission فإنه يجب أن نزيد معدل ھذه العملية بالنسبة للعمليتين االخرتيين. وحتى يتحقق ذلك فإنه يجب زيادة كثافة اإلشعاع وتعداد المستوى E وھذا ما يعرف ب.Population Inversion 7 9