Przykład: ((p q) p) p

Tydzień temu: Klasyczny rachunek sekwentów Logika i teoria typów Sekwenty: koniunkcja {}}{ ϕ 1,, ϕ n }{{} założenia alternatywa {}}{ ψ 1,, ψ m }{{} wnioski (n, m 0) Wykład 7 Aksjomaty: ϕ ϕ 13 kwietnia 2016 Reguły: strukturalne, logiczne, reguła cięcia Reguły strukturalne Γ, ϕ, ψ, Σ Γ, ψ, ϕ, Σ (LW) Γ, ϕ, ψ, Σ Γ, ψ, ϕ, Σ (PW) Γ Σ Γ, ϕ Σ (LO) Γ Σ (PO) Γ, ϕ, ϕ Σ Γ, ϕ Σ (LS) Γ ϕ, ϕ, Σ Można uważać, że sekwent to para zbiorów Reguła cięcia Reguły logiczne Γ, ϕ i Σ Γ, ϕ 1 ϕ 2 Σ (LK) Γ ψ, Σ Γ ϕ ψ, Σ Γ, ϕ Σ Γ, ψ Σ Γ, ϕ ψ Σ (LA) Γ ϕ i, Σ Γ ϕ 1 ϕ 2, Σ, ψ Π Γ,, ϕ ψ Σ, Π (LI) Γ, ϕ ψ, Σ Γ ϕ ψ, Σ Γ, ϕ Σ (LN) Γ, ϕ Σ Γ ϕ, Σ Γ, (LF) Γ, Σ (PP) Przykład: ((p q) p) p, ϕ Π Γ, Σ, Π Pełność: Sekwent ϕ 1,, ϕ n ψ 1,, ψ m ma dowód wtw, gdy ϕ 1 ϕ n ψ 1 ψ m jest tautologią Dowód używa reguły cięcia, np tak: Γ ϕ Γ, ψ ψ Γ ϕ ψ Γ, ϕ ψ ψ Γ ψ p p (PO) p q, p p q, p p p (LI) (p q) p p ((p q) p) p Przykład: p p Gentzen s Hauptsatz p p p, p p p, p (PW) p, p p p p, p p p p Twierdzenie (o eliminacji cięcia): Jeśli sekwent Γ ma dowód, to ma dowód bez cięcia Zasada podformuł: Formuły wystepujące w przesłankach każdej reguły są podformułami formuł występujących w konkluzji Dowód bez cięcia sekwentu ϕ używa tylko podformuł ϕ Dowód budujemy od końca, rozbierając formuły na części

Konserwatywność Przykład eliminacji cięcia: Dowód Własność podformuł: Formuły wystepujące w przesłankach każdej reguły są podformułami formuł występujących w konkluzji (1) Γ, ϕ ψ (R ) Γ ϕ ψ (2) (3) Γ ϕ Γ, ψ ϑ (L ) Γ, ϕ ψ ϑ Γ ϑ przekształcamy w dowód: Wniosek: Dowód formuły ϕ wymaga tylko reguł dla spójników, które występują w ϕ (2) (1) Γ ϕ Γ, ϕ ψ Γ ψ Γ ϑ (3) Γ, ψ ϑ Kłopotliwy przypadek Intuicjonistyczny rachunek sekwentów Sekwenty mają (co najwyżej) jedną formułę po prawej stronie, ϕ, ϕ ψ Γ ϕ, ϕ ψ Γ, ψ Γ ϕ, ϕ, ϕ ψ Γ,, ϕ ψ Γ, ϕ, ψ, σ Γ, ψ, ϕ, σ (LW) Γ, ϕ σ (LO) Γ (PO) Rozwiązanie: Zamiast zwykłej reguły cięcia rozważa się multi-cut : Γ, ϕ, ϕ σ Γ, ϕ σ (LS) Γ ϕ Γ, ϕ,, ϕ σ (multi) Cięcie: Γ ϕ Γ, ϕ σ Intuicjonistyczny rachunek sekwentów Γ, ϕ i σ Γ, ϕ 1 ϕ 2 σ (LK) Γ ϕ Γ ψ Γ ϕ ψ Γ, ϕ σ Γ, ψ σ Γ, ϕ ψ σ (LA) Γ ϕ i Γ ϕ 1 ϕ 2 Przypisanie termów (1) Γ M : ϕ Γ N : ψ Γ M, N : ϕ ψ Γ ϕ Γ, ψ σ Γ, ϕ ψ σ (LI) Γ, ϕ ψ Γ ϕ ψ Γ M : ϕ i Γ in i (M) : ϕ 1 ϕ 2 Γ ϕ Γ, ϕ (LN) Γ, ϕ Γ ϕ Γ, x : ϕ M : ψ Γ λx ϕ M : ϕ ψ Γ, σ (LF) Γ (PP) Przypisanie termów (2) Przypisanie termów (3) Γ, x : ϕ i M : σ Γ, y : ϕ 1 ϕ 2 M[x := y{i}] : σ (LK) Γ, x : ϕ M : σ Γ, y : ψ N : σ Γ, z : ϕ ψ case z of [x]m or [y]n : σ (LA) Γ M : ϕ Γ, x : ψ N : σ Γ, y : ϕ ψ N[x := ym] : σ (LI) Γ M : ϕ Γ, x : ϕ N : σ Γ N[x := M] : σ Γ, x : ε σ (x) (LF)

Postaci normalne Fakt: Termy dowodowe dla rachunku sekwentów bez cięcia, to dokładnie postaci normalne ze względu na beta-redukcje i permutacje Wniosek: Jeśli α β, to α lub β Dowód: Jeśli M : α β, to M = in Inaczej: żadna reguła nie pasuje oprócz (R ) Rules for conjunction in sequent calculus First choice (additive): Γ, α Σ Γ α, Σ Γ β, Σ Γ, α β Σ Γ α β, Σ Second choice (multiplicative): No dobrze, ale dlaczego to nie działa dla logiki klasycznej? Bo jest jeszcze skracanie z prawej Γ, α, β Σ Γ, α β Σ Γ α, Σ β, Π Γ, α β, Σ, Π W obecności reguł strukturalnych można wybrać cokolwiek Reguły strukturalne Γ, ϕ, ψ, Σ Γ, ψ, ϕ, Σ (LW) Γ, ϕ, ψ, Σ Γ, ψ, ϕ, Σ (PW) Γ Σ Γ, ϕ Σ (LO) Γ Σ (PO) Bez osłabiania: każde założenie musi być wykorzystane Logika liniowa Γ, ϕ, ϕ Σ Γ, ϕ Σ (LS) Γ ϕ, ϕ, Σ Bez skracania: każde założenie może być użyte tylko raz Linear logic: the data flow paradigm Lizak Correctness criterion = construction respecting resources Intuitionistic construction is a function, linear construction is an action An assumption has to be used (consumed) exactly once: cannot be re-used nor abandoned But some resources are re-usable (!α) Linear implication α β represents the type of process in which the assumption (resource) α is processed into the conclusion β, without re-using any part of it, and without leaving any unused garbage, ψ Π Γ,, ϕ ψ Σ, Π (L ) Γ, ϕ ψ, Σ Γ ϕ ψ, Σ (R ) Przykład Dwie koniunkcje Wraz (with): Wnioskowania niepoprawne liniowo: p, q p Γ, α Σ Γ, α β Σ Γ α, Σ Γ α β, Σ Γ β, Σ (p p q), p q p, p, p q, q q r r Tensor: Γ, α, β Σ Γ, α β Σ Γ α, Σ β, Π Γ, α β, Σ, Π

Tensor With (wraz) An object of type α β is a pair of objects: one of type α, the other of type β Creating each component of the pair requires separate resources Consuming a pair requires using both components An object of type α β is a virtual pair of objects (one of type α, the other of type β), from which exactly one can be potentially created from the same resources In other words, α β is a right of choice between α or β This right belongs to the consumer Σ, α, β ρ, Π Σ, α β ρ, Π Γ α, Π β, Σ Γ, α β, Π, Σ Σ, α ρ, Π Σ, α β ρ, Π Γ α, Π Γ α β, Π Γ β, Π Równoważność Negacja i dualność α β := (α β) (β α) Negation: Linear negation α is the dual type of α Producing data of type α is the same as consuming data of type α Fakt: Γ α β wtw, gdy Γ α β oraz Γ β α Γ, ϕ Σ (L ) Γ, ϕ Σ Γ ϕ, Σ (R ) Note: Implications α β and β α are equivalent (Analogy with electric current) Plus: An object of type α β is a pair consisting of an object of type α or of type β, and a flag showing which case actually holds The right of choice between α or β belongs to the producer The consumer opens a box and uses the contents according to the instruction on the flag To udowodnimy: (α β γ) (α β γ); (α β) (α γ) (α β γ); Γ, ϕ Σ Γ, ψ Σ Γ, ϕ ψ Σ (L ) Γ ϕ i, Σ Γ ϕ 1 ϕ 2, Σ (R ) (α γ) (β γ) (α β γ); α (β γ) (α β) (α γ); Duality: Plus ( ) is the other side of With ( ): (α β) α β (α β) α β (Receiving a surprise is sending the right of choice) (α β) α β ; (α β) α β Tego nie udowodnimy: To tylko w prawo: α β α; (α β γ) (α β) α γ; α (β γ) (α β) (α γ) (α β) (α γ) (α β γ); (α β) (α γ) α (β γ); α (β γ) (α β) (α γ); α (β γ) (α β) (α γ)

Przykład obiadowy Of course: Type!α represents the ability to create any required amount of data of type α (Consumer of!α makes the decision) Maybe: An object of type?α is the ability to consume a certain amount of data of type α (Producer of?α makes the decision) 10 zł (pomidorowa krupnik) (kotlet ryba) (!ziemniaki!ryż) (kompot jabłko) Duality: (!α)?(α ) and (?α)!(α ) Modalności Which of the following are linear theorems? (!α)?α oraz (?α)!α ;!α!!α;!α 1 α (!α!α);!(α β)!(!α!β);!(α β)!α!β;!(!α β)!α!β;!(α β γ)!(α β)!(α γ) α α? α α α? (α β γ) (α β γ) (γ α) (α α β) (γ γ β) α (β γ) (α β) (α γ) (α β) (α γ) α (β γ) α (β γ) (α β) (α γ) (α β) (α γ) α (β γ)!(α β)!α!β!α!β!(α β)!(!α β)!α!β (!α!β)!(!α β)!(!α!β)!(!α β) What is dual to? (α β) α β (α β) α β Γ, α Σ, β Π Γ,, α β Σ, Π Γ α, β, Σ Γ α β, Σ Par: Type α β represents communication: a fair contract between α and β (Receiving a pair of type α β is the same as sending α β ie, sending entanglement of α and β ) (α β) α β