Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα"

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά. Εφαρμογές. Σύνολα. Συνδυασμοί συνόλων. Δυναμοσύνολο. Αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματική επαγωγή. Παραδείγματα αποδείξεων. Απαγωγή εις άτοπο. 4

5 Στόχοι Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των διακριτών μαθηματικών και περιγραφή κάποιων εφαρμογών. Εισαγωγή στη θεωρία συνόλων. Περιγραφή των βασικών εννοιών. Περιγραφή των τρόπων συνδυασμών συνόλων. Κατανόηση της μαθηματικής επαγωγής ως ισχυρού εργαλείου απόδειξης θεωρημάτων. 5

6 Γενικά Ώρες Διδασκαλίας: Δευτέρα 14:00-16:00 (Αμφιθέατρο). Πέμπτη 11:00-13:00 (Αμφιθέατρο). Ύλη μαθήματος: Eclass. 6

7 Τι είναι τα Διακριτά Μαθηματικά; Μελέτη διακριτών αντικειμένων και σχέσεων μεταξύ τους. 7

8 Επισκόπηση μαθήματος Το μάθημα διακριτών μαθηματικών πρέπει να διδάξει στους φοιτητές πως να χρησιμοποιούν και να επεξεργάζονται διακριτές (σε αντίθεση με συνεχείς) δομές που αντιπροσωπεύουν διακριτά αντικείμενα και συσχετίσεις ανάμεσα σε αυτά τα αντικείμενα. Αυτές οι διακριτές δομές περιλαμβάνουν σύνολα, σχέσεις, γράφους, δέντρα, μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων, διακριτές συναρτήσεις, αλγόριθμους, κ.α. Το μάθημα διακριτών μαθηματικών εισάγει τους φοιτητές στην αλγοριθμική σκέψη. έμφαση στη χρήση της θεωρίας για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων. 8

9 Τι περιλαμβάνουν τα Μαθηματικά; 9

10 Τι θα μελετήσουμε εμείς; Τι σημαίνει διακριτές δομές; Διακριτό Συνίσταται από διαφορετικά, διαχωριζόμενα μέρη (Το αντίθετο του συνεχούς) διακριτό:συνεχές :: ψηφιακό:αναλογικό. Δομές Αντικείμενα που χτίζονται από απλούστερα αντικείμενα με βάση κάποιους συγκεκριμένους κανόνες. Διακριτά Μαθηματικά Η μαθηματική μελέτη διακριτών αντικειμένων και δομών. 10

11 Διακριτά διατεταγμένο Όταν χρησιμοποιούμε νούμερα, είναι πολύ πιο πιθανό να χρησιμοποιήσουμε το N και το Z από ότι το R και το Q. Αιτία: το Q και το R είναι πυκνά διατεταγμένα. Τι σημαίνει αυτό; Το R,< είναι πυκνά διατεταγμένο επειδή x R y R (x y z (x<z & z<y) ) Το αντίθετο του πυκνά διατεταγμένου: διακριτά διατεταγμένο. Το N,< είναι διακριτά διατεταγμένο. 11

12 Διακριτές Δομές που θα μελετήσουμε Προτάσεις. Κατηγορήματα. Αποδείξεις. Σύνολα. Συναρτήσεις. Τάξεις μεγέθους. Αλγόριθμοι. Ακέραιοι αριθμοί. Αθροίσματα. Συμβολοσειρές. Μεταθέσεις. Συνδυασμοί. Σχέσεις. Γράφοι. Δέντρα. Λογικά Κυκλώματα. Αυτόματα. 12

13 Διακριτά Μαθηματικά στην Επιστήμη Υπολογιστών (1/2) Η βάση της επιστήμης υπολογιστών είναι: Διαχείριση διακριτών δομών που αναπαριστώνται στη μνήμη. Τα διακριτά μαθηματικά είναι η βασική γλώσσα και το θεωρητικό υπόβαθρο για όλη την επιστήμη υπολογιστών. 13

14 Διακριτά Μαθηματικά στην Επιστήμη Υπολογιστών (2/2) Αλγόριθμοι & Δομές Δεδομένων. Μεταγλωττιστές & Μεταφραστές. Εξέταση ορθότητας λογισμικού & υλικού. Αρχιτεκτονική Υπολογιστών. Βάσεις Δεδομένων. Κρυπτογραφία. Κώδικες διόρθωσης λαθών. Τεχνητή Νοημοσύνη κ.α. Τα διακριτά μαθηματικά σχετίζονται με όλες τις περιοχές της πληροφορικής! 14

15 Και λίγη διασκέδαση... Πολλοί βρίσκουν τα Διακριτά Μαθηματικά το πιο ευχάριστο κομμάτι των μαθηματικών πολύ πιο ευχάριστο από την Ανάλυση για παράδειγμα. Εφαρμόζονται σε σχεδόν τα πάντα: Συμπεριλαμβανομένων πολλών puzzles. Έχουν μεγάλη ποικιλία. 15

16 Εφαρμογές (1/5) Ποιά είναι η πιθανότητα για straight flush στο pocker; Με πόσα χρώματα μπορούμε να χρωματίσουμε τις περιοχές ενός χάρτη έτσι ώστε να μην υπάρχουν 2 γειτονικές περιοχές με το ίδιο χρώμα; 16

17 Εφαρμογές (2/5) Ποιά είναι η πιθανότητα για straight flush στο pocker; Με πόσα χρώματα μπορούμε να χρωματίσουμε τις περιοχές ενός χάρτη έτσι ώστε να μην υπάρχουν 2 γειτονικές περιοχές με το ίδιο χρώμα; 17

18 Πόσοι είναι οι διαφορετικοί χρωματισμοί ενός κύβου με 4 χρώματα; Μπορούμε να καλύψουμε τη σκακιέρα με ένα άλογο έτσι ώστε να έχουμε επισκεφτεί κάθε τετράγωνο ακριβώς μία φορά; Εφαρμογές (3/5) 18

19 Εφαρμογές (4/5) Πως υπολογίζουμε την πολυπλοκότητα των αλγόριθμων; 19

20 Εφαρμογές (5/5) Σχεδιασμός ενός compiler. Θεμελιώσεις κρυπτογραφίας. 20

21 Περιεχόμενα διαλέξεων Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις. Υπολογισιμότητα, Τυπικές Γλώσσες. Συνδυαστική, Πιθανότητες. Μηχανές Πεπερασμένων Καταστάσεων. Θεωρία Γραφημάτων. Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων. Γεννήτριες Συναρτήσεις. 21

22 Αξιολόγηση Πρόοδος - Η πρόοδος δίνει το 20% του τελικού βαθμού. Τελική γραπτή εξέταση - Δίνει το υπόλοιπο 80% του τελικού βαθμού. Πρέπει να έχετε 5 στη τελική γραπτή εξέταση! Αν βαθμός τελικής εξέτασης 5 τότε Τελικός βαθμός = 0.2 (βαθμός προόδου) (βαθμός τελικής εξέτασης) Αν τελικός βαθμός 5 τότε περάσατε! 22

23 Βιβλία 23

24 Κεφάλαιο 1 ο Σύνολα Σχέσεις Συναρτήσεις 24

25 Σύνολα (1/30) Σύνολο = συλλογή ξεχωριστών αντικειμένων. 25

26 Σύνολα (2/30) Σύνολο = συλλογή ξεχωριστών αντικειμένων. στοιχεία ή μέλη συνόλου : κενό σύνολο : το στοιχείο ανήκει στο σύνολο : το στοιχείο δεν ανήκει στο σύνολο 26

27 Σύνολα (3/30) Ένα σύνολο περιέχει μόνο διακεκριμένα αντικείμενα. S = {a, a, b,b, c, d, e, e, f} πλεονάζουσα αναπαράσταση του S = {a, b,c, d, e, f} Στα στοιχεία ενός συνόλου δεν υπάρχει διάταξη {a, b,c, d, e, f} και {b,f, d, e, c, a} αναπαριστούν το ίδιο σύνολο 27

28 Σύνολα (4/30) Εκτός από την αναλυτική καταγραφή των στοιχείων ενός συνόλου, π.χ. {2,4,6,8,10}, μπορούμε να περιγράψουμε ένα σύνολο με βάση κοινές ιδιότητες που μπορεί να έχουν τα στοιχεία του. Το σύνολο S={2,4,6,8,10} μπορεί να περιγραφεί ως S= {x το x είναι ένας θετικός άρτιος ακέραιος όχι μεγαλύτερος του 10}. Γενικά S= {x το x έχει κάποιες ιδιότητες}. Μπορεί όμως τα στοιχεία ενός συνόλου να μην έχουν κοινές ιδιότητες {Κοζάνη, 30221, Barcelona, -2}. 28

29 Σύνολα (5/30) Ένα σύνολο μπορεί να έχει ως στοιχεία άλλα σύνολα {{a,b,c},d} {{a,b,c},d,{e},{ }} {{{a,b},c},e} 29

30 Σύνολα (6/30) : το υποσύνολο του Ισχύει για κάθε σύνολο : και : το υπερσύνολο του : το γνήσιο υποσύνολο του δηλαδή και υπάρχει στοιχείο τέτοιο ώστε : το γνήσιο υπερσύνολο του : ίσα σύνολα, δηλαδή και 30

31 Σύνολα (7/30) Συνδυασμοί συνόλων 31

32 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (8/30) Ένωση αν ή/και Π.χ. 32

33 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (9/30) Τομή αν και Π.χ. 33

34 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (10/30) 34

35 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (11/30) 35

36 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (12/30) 36

37 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (13/30) Απόδειξη 37

38 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (14/30) Απόδειξη Αν τότε και 38

39 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (15/30) Απόδειξη Αν τότε και ή 39

40 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (16/30) Απόδειξη Αν τότε και Επομένως ή ή 40

41 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (17/30) Απόδειξη Αν τότε και Επομένως ή ή Συνεπάγεται 41

42 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (18/30) Απόδειξη Αν τότε και ή και 42

43 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (19/30) Απόδειξη Αν τότε ή και και και 43

44 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (20/30) Απόδειξη Αν τότε και ή και Συνεπάγεται 44

45 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (21/30) Γενικά 45

46 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (22/30) Διαφορά αν και 46

47 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (23/30) Συμμετρική Διαφορά αν ή 47

48 Δυναμοσύνολο Σύνολα (24/30) σύνολο που περιέχει όλα τα υποσύνολα του 48

49 Σύνολα (25/30) Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; 49

50 Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; Σύνολα (26/30) Π.χ.. Κατασκευάζουμε ένα υποσύνολο σε 3 γύρους : 50

51 Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; Σύνολα (27/30) Π.χ.. Κατασκευάζουμε ένα υποσύνολο σε 3 γύρους : 51

52 Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; Σύνολα (28/30) Π.χ.. Κατασκευάζουμε ένα υποσύνολο σε 3 γύρους : 52

53 Σύνολα (29/30) Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; Π.χ.. Κατασκευάζουμε ένα υποσύνολο σε 3 γύρους : 53

54 Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; Σύνολα (30/30) Π.χ.. Κατασκευάζουμε ένα υποσύνολο σε 3 γύρους : Σε κάθε γύρο διπλασιάζονται τα δυνατά αποτελέσματα υποσύνολα 54

55 Μαθηματική Επαγωγή (1/4) Θέλουμε να αποδείξουμε μία πρόταση που εξαρτάται από ένα φυσικό αριθμό n. Μια επαγωγική απόδειξη ακολουθεί τα παρακάτω βήματα: 1. Αποδεικνύουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για n=n Υποθέτουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για n 0 n k. 3. Χρησιμοποιώντας την υπόθεση του βήματος 2, αποδεικνύουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για n = k+1. 55

56 Μαθηματική Επαγωγή (2/4) Ας δείξουμε ότι n = n(n+1)/2 Ας δείξουμε ότι n < 2 n Ας δείξουμε ότι 2 n < n! για n 4 Τρεις φίλοι θέλουν να μοιράσουν μεταξύ τους n 3 -n γραμματόσημα. Αποδείξτε ότι δε χρειάζεται να τσακωθούν στη μοιρασιά 56

57 Μαθηματική Επαγωγή (3/4) 57

58 Μαθηματική Επαγωγή (4/4) 58

59 Παράδειγμα - Σύνολα (1/9) Πόσα σύνολα περιέχει το ; Έστω Θα δείξουμε με επαγωγή ότι υπάρχουν υποσύνολα του 59

60 Παράδειγμα - Σύνολα (2/9) Πόσα σύνολα περιέχει το ; Έστω Θα δείξουμε με επαγωγή ότι υπάρχουν υποσύνολα του Βάση της επαγωγής 60

61 Παράδειγμα - Σύνολα (3/9) Πόσα σύνολα περιέχει το ; Έστω Θα δείξουμε με επαγωγή ότι υπάρχουν υποσύνολα του Βάση της επαγωγής Επιλέγουμε Τότε και επομένως υπάρχει μόνο ένα υποσύνολο του 61

62 Παράδειγμα - Σύνολα (4/9) Πόσα σύνολα περιέχει το ; Έστω Θα δείξουμε με επαγωγή ότι υπάρχουν υποσύνολα του Βάση της επαγωγής Επιλέγουμε Τότε και επομένως υπάρχει μόνο ένα υποσύνολο του Επαγωγική υπόθεση Υποθέτουμε ότι το σύνολο έχει υποσύνολα. 62

63 Παράδειγμα - Σύνολα (5/9) Πόσα σύνολα περιέχει το ; Έστω Θα δείξουμε με επαγωγή ότι υπάρχουν υποσύνολα του Βάση της επαγωγής Επιλέγουμε Τότε και επομένως υπάρχει μόνο ένα υποσύνολο του Επαγωγική υπόθεση Υποθέτουμε ότι το σύνολο έχει υποσύνολα. Επαγωγικό βήμα Θεωρούμε το σύνολο Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του 63

64 Παράδειγμα - Σύνολα (6/9) Επαγωγικό βήμα Θεωρούμε το σύνολο Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του Έστω υποσύνολο 64

65 Παράδειγμα - Σύνολα (7/9) Επαγωγικό βήμα Θεωρούμε το σύνολο Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του Έστω υποσύνολο δε συμπεριλαμβάνουμε το συμπεριλαμβάνουμε το 65

66 Παράδειγμα - Σύνολα (8/9) Επαγωγικό βήμα Θεωρούμε το σύνολο Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του Έστω υποσύνολο δε συμπεριλαμβάνουμε το συμπεριλαμβάνουμε το Έτσι διπλασιάζουμε τον αριθμό των υποσυνόλων. 66

67 Παράδειγμα - Σύνολα (9/9) Επαγωγικό βήμα Θεωρούμε το σύνολο Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του Έστω υποσύνολο δε συμπεριλαμβάνουμε το συμπεριλαμβάνουμε το Έτσι διπλασιάζουμε τον αριθμό των υποσυνόλων. Από την επαγωγική υπόθεση υπάρχουν υποσύνολα του. Συνεπώς έχουμε υποσύνολα του. 67

68 Μέγεθος Συνόλου (1/22) Το μέγεθος ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του. Τι γίνεται όμως για μη πεπερασμένα («άπειρα») σύνολα; 68

69 Μέγεθος Συνόλου (2/22) Το μέγεθος ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του. Τι γίνεται όμως για μη πεπερασμένα («άπειρα») σύνολα; ορίζουμε την έννοια του μεγέθους με συγκριτικό τρόπο 69

70 Μέγεθος Συνόλου (3/22) Ένα-προς-ένα αντιστοιχία Έστω σύνολα και Εάν μπορούμε να δημιουργήσουμε ζεύγη όπου και έτσι ώστε κάθε και ομοίως κάθε να εμφανίζεται σε ακριβώς ένα ζεύγος, τότε έχουμε μία 1-προς-1 αντιστοιχία μεταξύ των και 70

71 Μέγεθος Συνόλου (4/22) Ένα-προς-ένα αντιστοιχία Έστω σύνολα και Εάν μπορούμε να δημιουργήσουμε ζεύγη όπου και έτσι ώστε κάθε και ομοίως κάθε να εμφανίζεται σε ακριβώς ένα ζεύγος, τότε έχουμε μία 1-προς-1 αντιστοιχία μεταξύ των και 71

72 Μέγεθος Συνόλου (5/22) Ένα-προς-ένα αντιστοιχία Έστω σύνολα και Εάν μπορούμε να δημιουργήσουμε ζεύγη όπου και έτσι ώστε κάθε και ομοίως κάθε να εμφανίζεται σε ακριβώς ένα ζεύγος, τότε έχουμε μία 1-προς-1 αντιστοιχία μεταξύ των και Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών 72

73 Μέγεθος Συνόλου (6/22) Ένα-προς-ένα αντιστοιχία Έστω σύνολα και Εάν μπορούμε να δημιουργήσουμε ζεύγη όπου και έτσι ώστε κάθε και ομοίως κάθε να εμφανίζεται σε ακριβώς ένα ζεύγος, τότε έχουμε μία 1-προς-1 αντιστοιχία μεταξύ των και Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Παράδειγμα Το σύνολο των μη αρνητικών άρτιων αριθμών είναι αριθμήσιμο. 1-προς-1 αντιστοιχία : 73

74 Μέγεθος Συνόλου (7/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) 74

75 Μέγεθος Συνόλου (8/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Παράδειγμα Το σύνολο των ακεραίων είναι αριθμήσιμο. 75

76 Μέγεθος Συνόλου (9/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Παράδειγμα Το σύνολο των ακεραίων είναι αριθμήσιμο. Μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του ως Μπορείτε να βρείτε μια 1-προς-1 αντιστοιχία με το Ν? 76

77 Μέγεθος Συνόλου (10/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Παράδειγμα Το σύνολο των ρητών είναι αριθμήσιμο. 77

78 Μέγεθος Συνόλου (11/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Παράδειγμα Το σύνολο των ρητών είναι αριθμήσιμο. 78

79 Μέγεθος Συνόλου (12/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Ιδιότητα : Η ένωση ενός πεπερασμένου ή αριθμήσιμα απείρου πλήθους αριθμήσιμων συνόλων είναι αριθμήσιμο σύνολο. 79

80 Μέγεθος Συνόλου (13/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Ιδιότητα : Η ένωση ενός πεπερασμένου ή αριθμήσιμα απείρου πλήθους αριθμήσιμων συνόλων είναι αριθμήσιμο σύνολο. Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αριθμήσιμο; 80

81 Μέγεθος Συνόλου (14/22) Διαγωνιοποίηση: Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύνολο n αντικειμένων με n ιδιότητες. Π.χ. 3 γεωμετρικά αντικείμενα με 3 δυνατά χρώματα. Κύκλος Τρίγωνο Τετράγωνο Άσπρο ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ Μπλε ΝΑΙ ΌΧΙ ΌΧΙ Κόκκινο ΌΧΙ ΝΑΙ ΌΧΙ 81

82 Μέγεθος Συνόλου (15/22) Διαγωνιοποίηση: Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύνολο n αντικειμένων με n ιδιότητες. Π.χ. 3 γεωμετρικά αντικείμενα με 3 δυνατά χρώματα. Κύκλος Τρίγωνο Τετράγωνο Άσπρο ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ Μπλε ΝΑΙ ΌΧΙ ΌΧΙ Κόκκινο ΌΧΙ ΝΑΙ ΌΧΙ Υπάρχει αντικείμενο που έχει και μπλε και κόκκινο και όχι άσπρο; 82

83 Μέγεθος Συνόλου (16/22) Διαγωνιοποίηση: Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύνολο n αντικειμένων με n ιδιότητες. Π.χ. 3 γεωμετρικά αντικείμενα με 3 δυνατά χρώματα. Κύκλος Τρίγωνο Τετράγωνο Άσπρο ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ Μπλε ΝΑΙ ΌΧΙ ΌΧΙ Κόκκινο ΌΧΙ ΝΑΙ ΌΧΙ Υπάρχει αντικείμενο που έχει και μπλε και κόκκινο και όχι άσπρο; 83

84 Μέγεθος Συνόλου (17/22) Διαγωνιοποίηση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύνολο n αντικειμένων με n ιδιότητες. Γενικά για να αποδείξουμε ότι το σύνολο μας δεν περιλαμβάνει ένα αντικείμενο με κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες δείχνουμε ότι διαφέρει στην πρώτη ιδιότητα με το 1 ο αντικείμενο, στη δεύτερη ιδιότητα με το 2 ο αντικείμενο κ.ο.κ. Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αριθμήσιμο; θα δείξουμε με χρήση διαγωνιοποίησης ότι το είναι μη αριθμήσιμα άπειρο 84

85 Μέγεθος Συνόλου (18/22) Διαγωνιοποίηση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύνολο n αντικειμένων με n ιδιότητες. Γενικά για να αποδείξουμε ότι το σύνολο μας δεν περιλαμβάνει ένα αντικείμενο με κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες δείχνουμε ότι διαφέρει στην πρώτη ιδιότητα με το 1 ο αντικείμενο, στη δεύτερη ιδιότητα με το 2 ο αντικείμενο κ.ο.κ. Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αριθμήσιμο; θα δείξουμε με χρήση διαγωνιοποίησης ότι το είναι μη αριθμήσιμα άπειρο Απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο : θα υποθέσουμε ότι το είναι αριθμήσιμο και θα καταλήξουμε σε κάποια αντίφαση. 85

86 Μέγεθος Συνόλου (19/22) Απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο : θα υποθέσουμε ότι το είναι αριθμήσιμο και θα καταλήξουμε σε κάποια αντίφαση. Μας αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο διάστημα δεν είναι αριθμήσιμο. Αν είναι τότε μπορούμε να καταγράψουμε τα στοιχεία του : 86

87 Μέγεθος Συνόλου (20/22) Απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο : θα υποθέσουμε ότι το είναι αριθμήσιμο και θα καταλήξουμε σε κάποια αντίφαση. Μας αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο διάστημα δεν είναι αριθμήσιμο. Αν είναι τότε μπορούμε να καταγράψουμε τα στοιχεία του : Θεωρούμε τον αριθμό όπου αν αν 87

88 Μέγεθος Συνόλου (21/22) Απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο : θα υποθέσουμε ότι το είναι αριθμήσιμο και θα καταλήξουμε σε κάποια αντίφαση. Μας αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο διάστημα δεν είναι αριθμήσιμο. Αν είναι τότε μπορούμε να καταγράψουμε τα στοιχεία του : Θεωρούμε τον αριθμό όπου Έχουμε αν αν για 88

89 Μέγεθος Συνόλου (22/22) Απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο : θα υποθέσουμε ότι το είναι αριθμήσιμο και θα καταλήξουμε σε κάποια αντίφαση. Μας αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο διάστημα δεν είναι αριθμήσιμο. Αν είναι τότε μπορούμε να καταγράψουμε τα στοιχεία του : Θεωρούμε τον αριθμό όπου Έχουμε αν αν για Όμως ΑΤΟΠΟ! 89

90 Τέλος Ενότητας 90

91 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Στεργίου Κωνσταντίνος. «Διακριτά Μαθηματικά». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https: //eclass.uowm.gr/courses/icte257/ 91

92 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] h t t p ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό 92

93 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 93

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Ενότητα # 9: Ψηφιακός Ήχος - Audacity Θαρρενός Μπράτιτσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 3: Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 4: Ψηφιακή Λογική, Άλγεβρα Boole, Πίνακες Αλήθειας (Μέρος Α) Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης

Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Επίκ. Καθηγητής: Νίκος Φωτόπουλος e-mail: nfotopoulos@uowm.gr Τηλ. Επικοινωνίας: 23850-55150

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της Πληροφορικής στην Εκπαίδευση

Εφαρμογές της Πληροφορικής στην Εκπαίδευση Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Εφαρμογές της Πληροφορικής στην Εκπαίδευση Ενότητα # 3:Εκπαιδευτικό Λογισμικό και Ελληνικό Νηπιαγωγείο: Μια γενική επισκόπηση Θαρρενός Μπράτιτσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Επενδύσεις και χρηματοδότηση Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 2: Οι Φυσικές καταστάσεις της ύλης και οι αλλαγές τους. Καθηγητής: Καριώτογλου Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Βάσεις Δεδομένων Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 8: Υπολογισιμότητα & Γλώσσες

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 8: Υπολογισιμότητα & Γλώσσες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Υπολογισιμότητα & Γλώσσες Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 3: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Διδακτικές Προσεγγίσεις για τον Προγραμματισμό Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 9: Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzgiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 10 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 6: ΜΕΓΕΘΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα 6: Keyframes και Transitions. Νικολάου Σπύρος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα 6: Keyframes και Transitions. Νικολάου Σπύρος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα 6: Keyframes και Transitions Νικολάου Σπύρος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 2: Εννοιολογική θεμελίωση Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας

Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας Ενότητα : Ωκεάνια Θερμική Ενέργεια II Ενέργεια από την διαφορά θερμοκρασίας Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ Ενότητα 11: «Ασκήσεις 1» ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Αλγόριθμοι. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Προγραμματισμός Η/Υ. Αλγόριθμοι. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Προγραμματισμός Η/Υ Αλγόριθμοι ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Ανάπτυξη Λογισμικού Η διαδικασία ανάπτυξης λογισμικού μπορεί να παρομοιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ

Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Σχεδίαση και Ανάλυση Αλγορίθμων Ενότητα 5: ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ-ΑΝΑΓΩΓΗ Δημήτριος Κουκόπουλος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τεχνοοικονομική Μελέτη Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 11: Αποδοτικότητα επενδύσεων και πληθωρισμός Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 4 η : ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 7: Η πληροφορική και ο προγραμματισμός στο εκπαιδευτικό σύστημα Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 1: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 1: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 1: Ο ΡΟΛΟΣ ΤΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ ΣΤΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 4: Τελεστές - Αλγόριθμος Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων

Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Οργάνωση και Διοίκηση Πωλήσεων Ενότητα 5: ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΣΤΟΧΩΝ ΠΩΛΗΣΕΩΝ Αθανασιάδης Αναστάσιος Τμήμα Εφαρμογών Πληροφορικής στη Διοίκηση και Οικονομία Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 4: Ισχύς στο Συνεχές Ρεύμα Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός 1/8 Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.05: Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 2 η : ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνιολογία του Πολιτισμού

Κοινωνιολογία του Πολιτισμού Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Κοινωνιολογία του Πολιτισμού Ενότητα 2: Κοινωνιολογία - πολιτισμός - κουλτούρα. Επίκ. Καθηγητής: Νίκος Φωτόπουλος e-mail: nfotopoulos@uowm.gr Τηλ. Επικοινωνίας: 23850-55150

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους. Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Λογιστική Κόστους. Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Λογιστική Κόστους Ενότητα 4: ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ - ΦΥΣΗ ΚΟΣΤΟΥΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 3: Οι ιδέες των μαθητευομένων και τα χαρακτηριστικά τους. Καθηγητής: Καριώτογλου Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 1: Εισαγωγή Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο

Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Προγραμματισμός Ηλεκτρονικών Υπολογιστών 2 - Εργαστήριο Ενότητα 2: Δημιουργία και Επεξεργασία διανυσμάτων και πινάκων μέσω του Matlab Διδάσκουσα: Τσαγκαλίδου Ροδή Τμήμα: Ηλεκτρολόγων Μηχανικών ΤΕ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 9: Άσκηση εμπορικής πολιτικής Παράδειγμα άσκησης εμπορικής πολιτικής Γρηγόριος Ζαρωτιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονες Μορφές Χρηματοδότησης

Σύγχρονες Μορφές Χρηματοδότησης Σύγχρονες Μορφές Χρηματοδότησης Ενότητα 13: ΘΕΩΡΙΑ ΧΑΡΤΟΦΥΛΑΚΙΩΝ ΚΥΡΙΑΖΟΠΟΥΛΟΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Τμήμα ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2α: Χάρτης Karnaugh (Βοηθητικό υλικό)

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2α: Χάρτης Karnaugh (Βοηθητικό υλικό) Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2α: (Βοηθητικό υλικό) Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Κατανόηση της χρήσης του Χάρτη Karnaugh 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 3: Νόμος του Ohm Κανόνες του Kirchhoff Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 6: Διαδικασίες Μάθησης Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 1: Εισαγωγή. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 1: Εισαγωγή Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 7: Οδοντωτοί τροχοί Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Ενότητα 2: Αιωρούμενα σωματίδια & Απόδοση συλλογής Αν. Καθ. Δρ Μαρία Α. Γούλα Τμήμα Μηχανικών

ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Ενότητα 2: Αιωρούμενα σωματίδια & Απόδοση συλλογής Αν. Καθ. Δρ Μαρία Α. Γούλα Τμήμα Μηχανικών ΑΝΤΙΡΡΥΠΑΝΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΑΙΩΡΟΥΜΕΝΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Ενότητα 2: Αιωρούμενα σωματίδια & Απόδοση συλλογής Αν. Καθ. Δρ Μαρία Α. Γούλα Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος & Μηχανικών Αντιρρύπανσης Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 4: Ανάδειξη των ι.μ. Μεθοδολογία Workshop.

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 4: Ανάδειξη των ι.μ. Μεθοδολογία Workshop. Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 4: Ανάδειξη των ι.μ. Μεθοδολογία Workshop. Καθηγητής: Καριώτογλου Πέτρος (pkariotog@uowm.gr)

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 1: Το πρόβλημα της βελτιστοποίησης Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα Αδειοδότησης Το

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Άρθρα - Υλικό Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Χειραπτικά εργαλεία Υλικά/εργαλεία στο νέο Πρόγραμμα σπουδών

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 1: Αναπαραστάσεις ΕΦΕΙΑ Καθηγητής: Καριώτογλου Πέτρος (pkariotog@uowm.gr) Παιδαγωγικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 18: Θεώρημα Πεπλεγμένων (Ειδική περίπτωση) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 5: Υποδείγματα Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 6: Παράγωγος κατά κατεύθυνση, κλίση, εφαπτόμενα επίπεδα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 4: Διδακτικός μετασχηματισμός βασικών εννοιών πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 4: Αλυσίδες Markov. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 4: Αλυσίδες Markov. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 4: Αλυσίδες Markov Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 8: Η θεωρία δεσμού σθένους. Τόλης Ευάγγελος

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 8: Η θεωρία δεσμού σθένους. Τόλης Ευάγγελος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 8: Η θεωρία δεσμού σθένους Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 4.4: Αρχιτεκτονική και Εικονογραφημένο Βιβλίο Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική

Εισαγωγή στην Πληροφορική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Εισαγωγή στην Πληροφορική Ενότητα 1: Εισαγωγή Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. Κανονισμός Μαθήματος και Εργαστηρίου Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ. Κανονισμός Μαθήματος και Εργαστηρίου Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Κανονισμός Μαθήματος και Εργαστηρίου Καθηγήτρια Γεωργά Σταυρούλα Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 3: Η διαδικασία της έρευνας αγοράς Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ

ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΛΟΓΙΚΟ-ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ & ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΗΝ ΠΡΟΣΧΟΛΙΚΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Ενότητα 6: Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιγραφική στατιστική ΕΡΩΤΗΜΑ ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όλες

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 6: Εναλλασσόμενο Ρεύμα Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 8: Η πληροφορική ως γνωστικό αντικείμενο Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 5: Ανέλιξη Poisson Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκτροτεχνία ΙΙ. Ενότητα 2: Ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος. Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας

Ηλεκτροτεχνία ΙΙ. Ενότητα 2: Ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος. Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Ηλεκτροτεχνία ΙΙ Ενότητα 2: Ηλεκτρικά κυκλώματα συνεχούς ρεύματος Δημήτρης Στημονιάρης, Δημήτρης Τσιαμήτρος Τμήμα Ηλεκτρολογίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 3 η : ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Έργου. Ενότητα 4: Μέθοδοι Χρονικού Προγραμματισμού Έργων. Σαμαρά Ελπίδα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Διοίκηση Έργου. Ενότητα 4: Μέθοδοι Χρονικού Προγραμματισμού Έργων. Σαμαρά Ελπίδα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Διοίκηση Έργου Ενότητα 4: Μέθοδοι Χρονικού Προγραμματισμού Έργων Σαμαρά Ελπίδα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ-ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ Ενότητα 9: ΔΙΟΡΘΩΣΗ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΙΣΧΥΟΣ Αριστείδης Νικ. Παυλίδης Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών και Βιομηχανικού Σχεδιασμού ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 4.3 : Πιθανότητα Δεσμευμένη Πιθανότητα- Όρια (ΙΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 5: ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 5: ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Βάσεις Δεδομένων Ενότητα 5: ΚΑΝΟΝΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΒΑΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών

Οικονομετρία. Εξειδίκευση του υποδείγματος. Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Οικονομετρία Εξειδίκευση του υποδείγματος Μορφή της συνάρτησης: Πολυωνυμική, αντίστροφη και αλληλεπίδραση μεταβλητών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 6: Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων (Μέρος Α) Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.07: Ολοκληρώματα με Ριζικά Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης

Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Ενότητα 7: Εισαγωγή στην Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Επίκ. Καθηγητής: Νίκος Φωτόπουλος e-mail: nfotopoulos@uowm.gr Τηλ. Επικοινωνίας: 23850-55150

Διαβάστε περισσότερα