Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα"

Transcript

1 Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 4: Εισαγωγή / Σύνολα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ψηφιακά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή στα Διακριτά Μαθηματικά. Εφαρμογές. Σύνολα. Συνδυασμοί συνόλων. Δυναμοσύνολο. Αριθμήσιμα και μη αριθμήσιμα σύνολα. Μαθηματική επαγωγή. Παραδείγματα αποδείξεων. Απαγωγή εις άτοπο. 4

5 Στόχοι Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των διακριτών μαθηματικών και περιγραφή κάποιων εφαρμογών. Εισαγωγή στη θεωρία συνόλων. Περιγραφή των βασικών εννοιών. Περιγραφή των τρόπων συνδυασμών συνόλων. Κατανόηση της μαθηματικής επαγωγής ως ισχυρού εργαλείου απόδειξης θεωρημάτων. 5

6 Γενικά Ώρες Διδασκαλίας: Δευτέρα 14:00-16:00 (Αμφιθέατρο). Πέμπτη 11:00-13:00 (Αμφιθέατρο). Ύλη μαθήματος: Eclass. 6

7 Τι είναι τα Διακριτά Μαθηματικά; Μελέτη διακριτών αντικειμένων και σχέσεων μεταξύ τους. 7

8 Επισκόπηση μαθήματος Το μάθημα διακριτών μαθηματικών πρέπει να διδάξει στους φοιτητές πως να χρησιμοποιούν και να επεξεργάζονται διακριτές (σε αντίθεση με συνεχείς) δομές που αντιπροσωπεύουν διακριτά αντικείμενα και συσχετίσεις ανάμεσα σε αυτά τα αντικείμενα. Αυτές οι διακριτές δομές περιλαμβάνουν σύνολα, σχέσεις, γράφους, δέντρα, μηχανές πεπερασμένων καταστάσεων, διακριτές συναρτήσεις, αλγόριθμους, κ.α. Το μάθημα διακριτών μαθηματικών εισάγει τους φοιτητές στην αλγοριθμική σκέψη. έμφαση στη χρήση της θεωρίας για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων. 8

9 Τι περιλαμβάνουν τα Μαθηματικά; 9

10 Τι θα μελετήσουμε εμείς; Τι σημαίνει διακριτές δομές; Διακριτό Συνίσταται από διαφορετικά, διαχωριζόμενα μέρη (Το αντίθετο του συνεχούς) διακριτό:συνεχές :: ψηφιακό:αναλογικό. Δομές Αντικείμενα που χτίζονται από απλούστερα αντικείμενα με βάση κάποιους συγκεκριμένους κανόνες. Διακριτά Μαθηματικά Η μαθηματική μελέτη διακριτών αντικειμένων και δομών. 10

11 Διακριτά διατεταγμένο Όταν χρησιμοποιούμε νούμερα, είναι πολύ πιο πιθανό να χρησιμοποιήσουμε το N και το Z από ότι το R και το Q. Αιτία: το Q και το R είναι πυκνά διατεταγμένα. Τι σημαίνει αυτό; Το R,< είναι πυκνά διατεταγμένο επειδή x R y R (x y z (x<z & z<y) ) Το αντίθετο του πυκνά διατεταγμένου: διακριτά διατεταγμένο. Το N,< είναι διακριτά διατεταγμένο. 11

12 Διακριτές Δομές που θα μελετήσουμε Προτάσεις. Κατηγορήματα. Αποδείξεις. Σύνολα. Συναρτήσεις. Τάξεις μεγέθους. Αλγόριθμοι. Ακέραιοι αριθμοί. Αθροίσματα. Συμβολοσειρές. Μεταθέσεις. Συνδυασμοί. Σχέσεις. Γράφοι. Δέντρα. Λογικά Κυκλώματα. Αυτόματα. 12

13 Διακριτά Μαθηματικά στην Επιστήμη Υπολογιστών (1/2) Η βάση της επιστήμης υπολογιστών είναι: Διαχείριση διακριτών δομών που αναπαριστώνται στη μνήμη. Τα διακριτά μαθηματικά είναι η βασική γλώσσα και το θεωρητικό υπόβαθρο για όλη την επιστήμη υπολογιστών. 13

14 Διακριτά Μαθηματικά στην Επιστήμη Υπολογιστών (2/2) Αλγόριθμοι & Δομές Δεδομένων. Μεταγλωττιστές & Μεταφραστές. Εξέταση ορθότητας λογισμικού & υλικού. Αρχιτεκτονική Υπολογιστών. Βάσεις Δεδομένων. Κρυπτογραφία. Κώδικες διόρθωσης λαθών. Τεχνητή Νοημοσύνη κ.α. Τα διακριτά μαθηματικά σχετίζονται με όλες τις περιοχές της πληροφορικής! 14

15 Και λίγη διασκέδαση... Πολλοί βρίσκουν τα Διακριτά Μαθηματικά το πιο ευχάριστο κομμάτι των μαθηματικών πολύ πιο ευχάριστο από την Ανάλυση για παράδειγμα. Εφαρμόζονται σε σχεδόν τα πάντα: Συμπεριλαμβανομένων πολλών puzzles. Έχουν μεγάλη ποικιλία. 15

16 Εφαρμογές (1/5) Ποιά είναι η πιθανότητα για straight flush στο pocker; Με πόσα χρώματα μπορούμε να χρωματίσουμε τις περιοχές ενός χάρτη έτσι ώστε να μην υπάρχουν 2 γειτονικές περιοχές με το ίδιο χρώμα; 16

17 Εφαρμογές (2/5) Ποιά είναι η πιθανότητα για straight flush στο pocker; Με πόσα χρώματα μπορούμε να χρωματίσουμε τις περιοχές ενός χάρτη έτσι ώστε να μην υπάρχουν 2 γειτονικές περιοχές με το ίδιο χρώμα; 17

18 Πόσοι είναι οι διαφορετικοί χρωματισμοί ενός κύβου με 4 χρώματα; Μπορούμε να καλύψουμε τη σκακιέρα με ένα άλογο έτσι ώστε να έχουμε επισκεφτεί κάθε τετράγωνο ακριβώς μία φορά; Εφαρμογές (3/5) 18

19 Εφαρμογές (4/5) Πως υπολογίζουμε την πολυπλοκότητα των αλγόριθμων; 19

20 Εφαρμογές (5/5) Σχεδιασμός ενός compiler. Θεμελιώσεις κρυπτογραφίας. 20

21 Περιεχόμενα διαλέξεων Σύνολα, Σχέσεις, Συναρτήσεις. Υπολογισιμότητα, Τυπικές Γλώσσες. Συνδυαστική, Πιθανότητες. Μηχανές Πεπερασμένων Καταστάσεων. Θεωρία Γραφημάτων. Πολυπλοκότητα Αλγορίθμων. Γεννήτριες Συναρτήσεις. 21

22 Αξιολόγηση Πρόοδος - Η πρόοδος δίνει το 20% του τελικού βαθμού. Τελική γραπτή εξέταση - Δίνει το υπόλοιπο 80% του τελικού βαθμού. Πρέπει να έχετε 5 στη τελική γραπτή εξέταση! Αν βαθμός τελικής εξέτασης 5 τότε Τελικός βαθμός = 0.2 (βαθμός προόδου) (βαθμός τελικής εξέτασης) Αν τελικός βαθμός 5 τότε περάσατε! 22

23 Βιβλία 23

24 Κεφάλαιο 1 ο Σύνολα Σχέσεις Συναρτήσεις 24

25 Σύνολα (1/30) Σύνολο = συλλογή ξεχωριστών αντικειμένων. 25

26 Σύνολα (2/30) Σύνολο = συλλογή ξεχωριστών αντικειμένων. στοιχεία ή μέλη συνόλου : κενό σύνολο : το στοιχείο ανήκει στο σύνολο : το στοιχείο δεν ανήκει στο σύνολο 26

27 Σύνολα (3/30) Ένα σύνολο περιέχει μόνο διακεκριμένα αντικείμενα. S = {a, a, b,b, c, d, e, e, f} πλεονάζουσα αναπαράσταση του S = {a, b,c, d, e, f} Στα στοιχεία ενός συνόλου δεν υπάρχει διάταξη {a, b,c, d, e, f} και {b,f, d, e, c, a} αναπαριστούν το ίδιο σύνολο 27

28 Σύνολα (4/30) Εκτός από την αναλυτική καταγραφή των στοιχείων ενός συνόλου, π.χ. {2,4,6,8,10}, μπορούμε να περιγράψουμε ένα σύνολο με βάση κοινές ιδιότητες που μπορεί να έχουν τα στοιχεία του. Το σύνολο S={2,4,6,8,10} μπορεί να περιγραφεί ως S= {x το x είναι ένας θετικός άρτιος ακέραιος όχι μεγαλύτερος του 10}. Γενικά S= {x το x έχει κάποιες ιδιότητες}. Μπορεί όμως τα στοιχεία ενός συνόλου να μην έχουν κοινές ιδιότητες {Κοζάνη, 30221, Barcelona, -2}. 28

29 Σύνολα (5/30) Ένα σύνολο μπορεί να έχει ως στοιχεία άλλα σύνολα {{a,b,c},d} {{a,b,c},d,{e},{ }} {{{a,b},c},e} 29

30 Σύνολα (6/30) : το υποσύνολο του Ισχύει για κάθε σύνολο : και : το υπερσύνολο του : το γνήσιο υποσύνολο του δηλαδή και υπάρχει στοιχείο τέτοιο ώστε : το γνήσιο υπερσύνολο του : ίσα σύνολα, δηλαδή και 30

31 Σύνολα (7/30) Συνδυασμοί συνόλων 31

32 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (8/30) Ένωση αν ή/και Π.χ. 32

33 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (9/30) Τομή αν και Π.χ. 33

34 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (10/30) 34

35 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (11/30) 35

36 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (12/30) 36

37 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (13/30) Απόδειξη 37

38 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (14/30) Απόδειξη Αν τότε και 38

39 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (15/30) Απόδειξη Αν τότε και ή 39

40 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (16/30) Απόδειξη Αν τότε και Επομένως ή ή 40

41 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (17/30) Απόδειξη Αν τότε και Επομένως ή ή Συνεπάγεται 41

42 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (18/30) Απόδειξη Αν τότε και ή και 42

43 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (19/30) Απόδειξη Αν τότε ή και και και 43

44 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (20/30) Απόδειξη Αν τότε και ή και Συνεπάγεται 44

45 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (21/30) Γενικά 45

46 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (22/30) Διαφορά αν και 46

47 Συνδυασμοί συνόλων Σύνολα (23/30) Συμμετρική Διαφορά αν ή 47

48 Δυναμοσύνολο Σύνολα (24/30) σύνολο που περιέχει όλα τα υποσύνολα του 48

49 Σύνολα (25/30) Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; 49

50 Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; Σύνολα (26/30) Π.χ.. Κατασκευάζουμε ένα υποσύνολο σε 3 γύρους : 50

51 Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; Σύνολα (27/30) Π.χ.. Κατασκευάζουμε ένα υποσύνολο σε 3 γύρους : 51

52 Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; Σύνολα (28/30) Π.χ.. Κατασκευάζουμε ένα υποσύνολο σε 3 γύρους : 52

53 Σύνολα (29/30) Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; Π.χ.. Κατασκευάζουμε ένα υποσύνολο σε 3 γύρους : 53

54 Πόσα σύνολα περιέχει το Ρ(A) ; Σύνολα (30/30) Π.χ.. Κατασκευάζουμε ένα υποσύνολο σε 3 γύρους : Σε κάθε γύρο διπλασιάζονται τα δυνατά αποτελέσματα υποσύνολα 54

55 Μαθηματική Επαγωγή (1/4) Θέλουμε να αποδείξουμε μία πρόταση που εξαρτάται από ένα φυσικό αριθμό n. Μια επαγωγική απόδειξη ακολουθεί τα παρακάτω βήματα: 1. Αποδεικνύουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για n=n Υποθέτουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για n 0 n k. 3. Χρησιμοποιώντας την υπόθεση του βήματος 2, αποδεικνύουμε ότι η πρόταση είναι αληθής για n = k+1. 55

56 Μαθηματική Επαγωγή (2/4) Ας δείξουμε ότι n = n(n+1)/2 Ας δείξουμε ότι n < 2 n Ας δείξουμε ότι 2 n < n! για n 4 Τρεις φίλοι θέλουν να μοιράσουν μεταξύ τους n 3 -n γραμματόσημα. Αποδείξτε ότι δε χρειάζεται να τσακωθούν στη μοιρασιά 56

57 Μαθηματική Επαγωγή (3/4) 57

58 Μαθηματική Επαγωγή (4/4) 58

59 Παράδειγμα - Σύνολα (1/9) Πόσα σύνολα περιέχει το ; Έστω Θα δείξουμε με επαγωγή ότι υπάρχουν υποσύνολα του 59

60 Παράδειγμα - Σύνολα (2/9) Πόσα σύνολα περιέχει το ; Έστω Θα δείξουμε με επαγωγή ότι υπάρχουν υποσύνολα του Βάση της επαγωγής 60

61 Παράδειγμα - Σύνολα (3/9) Πόσα σύνολα περιέχει το ; Έστω Θα δείξουμε με επαγωγή ότι υπάρχουν υποσύνολα του Βάση της επαγωγής Επιλέγουμε Τότε και επομένως υπάρχει μόνο ένα υποσύνολο του 61

62 Παράδειγμα - Σύνολα (4/9) Πόσα σύνολα περιέχει το ; Έστω Θα δείξουμε με επαγωγή ότι υπάρχουν υποσύνολα του Βάση της επαγωγής Επιλέγουμε Τότε και επομένως υπάρχει μόνο ένα υποσύνολο του Επαγωγική υπόθεση Υποθέτουμε ότι το σύνολο έχει υποσύνολα. 62

63 Παράδειγμα - Σύνολα (5/9) Πόσα σύνολα περιέχει το ; Έστω Θα δείξουμε με επαγωγή ότι υπάρχουν υποσύνολα του Βάση της επαγωγής Επιλέγουμε Τότε και επομένως υπάρχει μόνο ένα υποσύνολο του Επαγωγική υπόθεση Υποθέτουμε ότι το σύνολο έχει υποσύνολα. Επαγωγικό βήμα Θεωρούμε το σύνολο Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του 63

64 Παράδειγμα - Σύνολα (6/9) Επαγωγικό βήμα Θεωρούμε το σύνολο Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του Έστω υποσύνολο 64

65 Παράδειγμα - Σύνολα (7/9) Επαγωγικό βήμα Θεωρούμε το σύνολο Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του Έστω υποσύνολο δε συμπεριλαμβάνουμε το συμπεριλαμβάνουμε το 65

66 Παράδειγμα - Σύνολα (8/9) Επαγωγικό βήμα Θεωρούμε το σύνολο Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του Έστω υποσύνολο δε συμπεριλαμβάνουμε το συμπεριλαμβάνουμε το Έτσι διπλασιάζουμε τον αριθμό των υποσυνόλων. 66

67 Παράδειγμα - Σύνολα (9/9) Επαγωγικό βήμα Θεωρούμε το σύνολο Πρέπει να δείξουμε ότι υπάρχουν υποσύνολα του Έστω υποσύνολο δε συμπεριλαμβάνουμε το συμπεριλαμβάνουμε το Έτσι διπλασιάζουμε τον αριθμό των υποσυνόλων. Από την επαγωγική υπόθεση υπάρχουν υποσύνολα του. Συνεπώς έχουμε υποσύνολα του. 67

68 Μέγεθος Συνόλου (1/22) Το μέγεθος ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του. Τι γίνεται όμως για μη πεπερασμένα («άπειρα») σύνολα; 68

69 Μέγεθος Συνόλου (2/22) Το μέγεθος ενός πεπερασμένου συνόλου είναι ο αριθμός των στοιχείων του. Τι γίνεται όμως για μη πεπερασμένα («άπειρα») σύνολα; ορίζουμε την έννοια του μεγέθους με συγκριτικό τρόπο 69

70 Μέγεθος Συνόλου (3/22) Ένα-προς-ένα αντιστοιχία Έστω σύνολα και Εάν μπορούμε να δημιουργήσουμε ζεύγη όπου και έτσι ώστε κάθε και ομοίως κάθε να εμφανίζεται σε ακριβώς ένα ζεύγος, τότε έχουμε μία 1-προς-1 αντιστοιχία μεταξύ των και 70

71 Μέγεθος Συνόλου (4/22) Ένα-προς-ένα αντιστοιχία Έστω σύνολα και Εάν μπορούμε να δημιουργήσουμε ζεύγη όπου και έτσι ώστε κάθε και ομοίως κάθε να εμφανίζεται σε ακριβώς ένα ζεύγος, τότε έχουμε μία 1-προς-1 αντιστοιχία μεταξύ των και 71

72 Μέγεθος Συνόλου (5/22) Ένα-προς-ένα αντιστοιχία Έστω σύνολα και Εάν μπορούμε να δημιουργήσουμε ζεύγη όπου και έτσι ώστε κάθε και ομοίως κάθε να εμφανίζεται σε ακριβώς ένα ζεύγος, τότε έχουμε μία 1-προς-1 αντιστοιχία μεταξύ των και Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών 72

73 Μέγεθος Συνόλου (6/22) Ένα-προς-ένα αντιστοιχία Έστω σύνολα και Εάν μπορούμε να δημιουργήσουμε ζεύγη όπου και έτσι ώστε κάθε και ομοίως κάθε να εμφανίζεται σε ακριβώς ένα ζεύγος, τότε έχουμε μία 1-προς-1 αντιστοιχία μεταξύ των και Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Παράδειγμα Το σύνολο των μη αρνητικών άρτιων αριθμών είναι αριθμήσιμο. 1-προς-1 αντιστοιχία : 73

74 Μέγεθος Συνόλου (7/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) 74

75 Μέγεθος Συνόλου (8/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Παράδειγμα Το σύνολο των ακεραίων είναι αριθμήσιμο. 75

76 Μέγεθος Συνόλου (9/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Παράδειγμα Το σύνολο των ακεραίων είναι αριθμήσιμο. Μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του ως Μπορείτε να βρείτε μια 1-προς-1 αντιστοιχία με το Ν? 76

77 Μέγεθος Συνόλου (10/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Παράδειγμα Το σύνολο των ρητών είναι αριθμήσιμο. 77

78 Μέγεθος Συνόλου (11/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Παράδειγμα Το σύνολο των ρητών είναι αριθμήσιμο. 78

79 Μέγεθος Συνόλου (12/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Ιδιότητα : Η ένωση ενός πεπερασμένου ή αριθμήσιμα απείρου πλήθους αριθμήσιμων συνόλων είναι αριθμήσιμο σύνολο. 79

80 Μέγεθος Συνόλου (13/22) Αριθμήσιμο σύνολο Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν υπάρχει 1-προς-1 αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ένα σύνολο είναι αριθμήσιμο εάν μπορούμε να καταγράψουμε όλα τα στοιχεία του το ένα μετά το άλλο. (Γιατί;) Ιδιότητα : Η ένωση ενός πεπερασμένου ή αριθμήσιμα απείρου πλήθους αριθμήσιμων συνόλων είναι αριθμήσιμο σύνολο. Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αριθμήσιμο; 80

81 Μέγεθος Συνόλου (14/22) Διαγωνιοποίηση: Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύνολο n αντικειμένων με n ιδιότητες. Π.χ. 3 γεωμετρικά αντικείμενα με 3 δυνατά χρώματα. Κύκλος Τρίγωνο Τετράγωνο Άσπρο ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ Μπλε ΝΑΙ ΌΧΙ ΌΧΙ Κόκκινο ΌΧΙ ΝΑΙ ΌΧΙ 81

82 Μέγεθος Συνόλου (15/22) Διαγωνιοποίηση: Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύνολο n αντικειμένων με n ιδιότητες. Π.χ. 3 γεωμετρικά αντικείμενα με 3 δυνατά χρώματα. Κύκλος Τρίγωνο Τετράγωνο Άσπρο ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ Μπλε ΝΑΙ ΌΧΙ ΌΧΙ Κόκκινο ΌΧΙ ΝΑΙ ΌΧΙ Υπάρχει αντικείμενο που έχει και μπλε και κόκκινο και όχι άσπρο; 82

83 Μέγεθος Συνόλου (16/22) Διαγωνιοποίηση: Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύνολο n αντικειμένων με n ιδιότητες. Π.χ. 3 γεωμετρικά αντικείμενα με 3 δυνατά χρώματα. Κύκλος Τρίγωνο Τετράγωνο Άσπρο ΝΑΙ ΝΑΙ ΝΑΙ Μπλε ΝΑΙ ΌΧΙ ΌΧΙ Κόκκινο ΌΧΙ ΝΑΙ ΌΧΙ Υπάρχει αντικείμενο που έχει και μπλε και κόκκινο και όχι άσπρο; 83

84 Μέγεθος Συνόλου (17/22) Διαγωνιοποίηση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύνολο n αντικειμένων με n ιδιότητες. Γενικά για να αποδείξουμε ότι το σύνολο μας δεν περιλαμβάνει ένα αντικείμενο με κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες δείχνουμε ότι διαφέρει στην πρώτη ιδιότητα με το 1 ο αντικείμενο, στη δεύτερη ιδιότητα με το 2 ο αντικείμενο κ.ο.κ. Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αριθμήσιμο; θα δείξουμε με χρήση διαγωνιοποίησης ότι το είναι μη αριθμήσιμα άπειρο 84

85 Μέγεθος Συνόλου (18/22) Διαγωνιοποίηση Θεωρούμε ότι έχουμε ένα σύνολο n αντικειμένων με n ιδιότητες. Γενικά για να αποδείξουμε ότι το σύνολο μας δεν περιλαμβάνει ένα αντικείμενο με κάποιες συγκεκριμένες ιδιότητες δείχνουμε ότι διαφέρει στην πρώτη ιδιότητα με το 1 ο αντικείμενο, στη δεύτερη ιδιότητα με το 2 ο αντικείμενο κ.ο.κ. Είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αριθμήσιμο; θα δείξουμε με χρήση διαγωνιοποίησης ότι το είναι μη αριθμήσιμα άπειρο Απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο : θα υποθέσουμε ότι το είναι αριθμήσιμο και θα καταλήξουμε σε κάποια αντίφαση. 85

86 Μέγεθος Συνόλου (19/22) Απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο : θα υποθέσουμε ότι το είναι αριθμήσιμο και θα καταλήξουμε σε κάποια αντίφαση. Μας αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο διάστημα δεν είναι αριθμήσιμο. Αν είναι τότε μπορούμε να καταγράψουμε τα στοιχεία του : 86

87 Μέγεθος Συνόλου (20/22) Απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο : θα υποθέσουμε ότι το είναι αριθμήσιμο και θα καταλήξουμε σε κάποια αντίφαση. Μας αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο διάστημα δεν είναι αριθμήσιμο. Αν είναι τότε μπορούμε να καταγράψουμε τα στοιχεία του : Θεωρούμε τον αριθμό όπου αν αν 87

88 Μέγεθος Συνόλου (21/22) Απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο : θα υποθέσουμε ότι το είναι αριθμήσιμο και θα καταλήξουμε σε κάποια αντίφαση. Μας αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο διάστημα δεν είναι αριθμήσιμο. Αν είναι τότε μπορούμε να καταγράψουμε τα στοιχεία του : Θεωρούμε τον αριθμό όπου Έχουμε αν αν για 88

89 Μέγεθος Συνόλου (22/22) Απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο : θα υποθέσουμε ότι το είναι αριθμήσιμο και θα καταλήξουμε σε κάποια αντίφαση. Μας αρκεί να δείξουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών στο διάστημα δεν είναι αριθμήσιμο. Αν είναι τότε μπορούμε να καταγράψουμε τα στοιχεία του : Θεωρούμε τον αριθμό όπου Έχουμε αν αν για Όμως ΑΤΟΠΟ! 89

90 Τέλος Ενότητας 90

91 Σημείωμα Αναφοράς Copyright, Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Στεργίου Κωνσταντίνος. «Διακριτά Μαθηματικά». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: https: //eclass.uowm.gr/courses/icte257/ 91

92 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Όχι Παράγωγα Έργα Μη Εμπορική Χρήση 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] h t t p ://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό 92

93 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 93

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 7: Σχέσεις και Συναρτήσεις Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Ενότητα # 9: Ψηφιακός Ήχος - Audacity Θαρρενός Μπράτιτσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 5: Όρια και Συνέχεια Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση ΙI

Μαθηματική Ανάλυση ΙI Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση ΙI Ενότητα 3: Συναρτήσεις πολλών μεταβλητών Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 4: Ψηφιακή Λογική, Άλγεβρα Boole, Πίνακες Αλήθειας (Μέρος Α) Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 2: Γραφήματα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2: Γραφήματα Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 10: Δυναμοσειρές Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Προτασιακός Λογισμός Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 3: Σειρές Πραγματικών Αριθμών Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Αντώνιος Οικονόμου Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής κ

Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Αντώνιος Οικονόμου Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής κ Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Παράδειγμα δεσμευμένης κλασικής πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6: 1η εργαστηριακή άσκηση και προσομοίωση με το SPICE Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα

Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Τεχνολογία και Καινοτομία - Οικονομική Επιστήμη και Επιχειρηματικότητα Ενότητα: Επενδύσεις και χρηματοδότηση Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης

Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Ενότητα 1: Εισαγωγή στην Κοινωνιολογία της Εκπαίδευσης Επίκ. Καθηγητής: Νίκος Φωτόπουλος e-mail: nfotopoulos@uowm.gr Τηλ. Επικοινωνίας: 23850-55150

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία

Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Νέες Τεχνολογίες και Καλλιτεχνική Δημιουργία Ενότητα # 2: Αρχεία Ψηφιακών εικόνων Θαρρενός Μπράτιτσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές της Πληροφορικής στην Εκπαίδευση

Εφαρμογές της Πληροφορικής στην Εκπαίδευση Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Εφαρμογές της Πληροφορικής στην Εκπαίδευση Ενότητα # 3:Εκπαιδευτικό Λογισμικό και Ελληνικό Νηπιαγωγείο: Μια γενική επισκόπηση Θαρρενός Μπράτιτσης Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην πληροφορική

Εισαγωγή στην πληροφορική Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στην πληροφορική Ενότητα 1: Βασικές έννοιες της πληροφορικής Αγγελίδης Παντελής Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις

Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Παιδαγωγικό Τμήμα Νηπιαγωγών Έννοιες φυσικών επιστημών Ι και αναπαραστάσεις Ενότητα 2: Οι Φυσικές καταστάσεις της ύλης και οι αλλαγές τους. Καθηγητής: Καριώτογλου Πέτρος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνοοικονομική Μελέτη

Τεχνοοικονομική Μελέτη Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνοοικονομική Μελέτη Ενότητα 7: Σχέση μεταξύ εσόδων και ανάκτηση κεφαλαίου Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών

Βάσεις Δεδομένων. Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων. Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Βάσεις Δεδομένων Ενότητα 1: Εισαγωγή στις Βάσεις δεδομένων Πασχαλίδης Δημοσθένης Τμήμα Ιερατικών σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

P (B) P (B A) = P (AB) = P (B). P (A)

P (B) P (B A) = P (AB) = P (B). P (A) Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Διαισθητική έννοια ανεξαρτησίας Διαισθητική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 6: Ομοιοπολικός δεσμός Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Παράλληλης & Κατανεμημένης Επεξεργασίας

Συστήματα Παράλληλης & Κατανεμημένης Επεξεργασίας Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Συστήματα Παράλληλης & Κατανεμημένης Επεξεργασίας Ενότητα 3: MPI_Get_count, non blocking send/recv, εμφάνιση και αποφυγή αδιεξόδων Δρ. Μηνάς Δασυγένης mdasyg@ieee.org

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στον δομημένο προγραμματισμό

Εισαγωγή στον δομημένο προγραμματισμό Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Εισαγωγή στον δομημένο προγραμματισμό Ενότητα 5 η : Πίνακες (Προχωρημένα Θέματα) Αν. καθηγητής Στεργίου Κώστας e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ2, Ενότητα : Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Ενότητα : Υλοποίηση Λεξικών µε

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό

Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Θέματα υπολογισμού στον πολιτισμό Ενότητα 6: Μοντελοποίηση υπολογισμού: Κανονικές εκφράσεις Εύη Παπαϊωάννου Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διαχείρισης Πολιτισμικού Περιβάλλοντος και Νέων

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία & Καινοτομία - Αρχές Βιομηχανικής Επιστήμης

Τεχνολογία & Καινοτομία - Αρχές Βιομηχανικής Επιστήμης Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Τεχνολογία & Καινοτομία - Αρχές Βιομηχανικής Επιστήμης Ενότητα: Εισαγωγή Αν. Καθηγητής Μπακούρος Ιωάννης Τηλ.: 24610 56660, e-mail: ylb@uowm.gr,

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 2: Ακολουθίες Πραγματικών Αριθμών Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 3: Κλασικά Υποδείγματα της Διεθνούς Οικονομικής Θεωρίας (Heckscher-Ohlin model) Γρηγόριος

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 11 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Η μετάφραση των εβδομήκοντα, η εκπαίδευση των μεταφραστών κατά Κικέρωνα, η τέχνη της μετάφρασης από την αρχαιότητα μέχρι τα

Διαβάστε περισσότερα

Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας

Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ήπιες και νέες μορφές ενέργειας Ενότητα : Ωκεάνια Θερμική Ενέργεια II Ενέργεια από την διαφορά θερμοκρασίας Σκόδρας Γεώργιος, Αν. Καθηγητής gskodras@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 9: Εφαρμογές Ολοκληρωμάτων Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzgiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 8: Υπολογισιμότητα & Γλώσσες

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών. Διακριτά Μαθηματικά. Ενότητα 8: Υπολογισιμότητα & Γλώσσες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Υπολογισιμότητα & Γλώσσες Αν. Καθηγητής Κ. Στεργίου e-mail: kstergiou@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 10 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 8: Ολοκληρώματα Επίκουρος Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mil: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη:

Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά στην Πολιτική Επιστήμη: Εισαγωγή Ενότητα 3.2 : Απαρίθμηση Συνδυαστική (ΙΙ). Θεόδωρος Χατζηπαντελής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 6: ΜΕΓΕΘΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8η: Ο νέος αντιρατσιστικός νόμος και ο ν.4301/2014 Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 2: Εννοιολογική θεμελίωση Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εξελικτική Ψυχολογία: Κοινωνικο-γνωστική ανάπτυξη

Εξελικτική Ψυχολογία: Κοινωνικο-γνωστική ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εξελικτική Ψυχολογία: Κοινωνικο-γνωστική ανάπτυξη Ενότητα 3 Θεωρία Επεξεργασίας Πληροφοριών: Βασικές Αρχές και Κριτική Θεώρηση Ελευθερία

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα 6: Keyframes και Transitions. Νικολάου Σπύρος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα 6: Keyframes και Transitions. Νικολάου Σπύρος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα 6: Keyframes και Transitions Νικολάου Σπύρος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα 8: Pool Table. Νικολάου Σπύρος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Τεχνολογία Πολυμέσων. Ενότητα 8: Pool Table. Νικολάου Σπύρος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Τεχνολογία Πολυμέσων Ενότητα 8: Pool Table Νικολάου Σπύρος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.

Πανεπιστήμιο Δυτικής Μακεδονίας. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών. Χημεία. Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών. Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm. Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Χημεία Ενότητα 10: Θεωρία μοριακών τροχιακών Τόλης Ευάγγελος e-mail: etolis@uowm.gr Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική της Πληροφορικής

Διδακτική της Πληροφορικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 14: Διδακτικές Προσεγγίσεις για τον Προγραμματισμό Σταύρος Δημητριάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Δομές Δεδομένων Ενότητα 1

Δομές Δεδομένων Ενότητα 1 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Εισαγωγή Απόστολος Παπαδόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Αλγόριθμοι. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Προγραμματισμός Η/Υ. Αλγόριθμοι. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Προγραμματισμός Η/Υ Αλγόριθμοι ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Ανάπτυξη Λογισμικού Η διαδικασία ανάπτυξης λογισμικού μπορεί να παρομοιαστεί

Διαβάστε περισσότερα

Σχεδίαση Δικτύων Υπολογιστών

Σχεδίαση Δικτύων Υπολογιστών Σχεδίαση Δικτύων Υπολογιστών Ενότητα 6: Δρομολόγηση κατάστασης ζεύξης Άγγελος Μιχάλας Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα