Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ"

Transcript

1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 11: SPLINES Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

2 ËÈÄÁÆË º½ ÔÐÒ º½º½ ¹ (Ü (Ü )); = 0 1 Ò (Ü) ¹ º ÔÛ ÔÓÐÝÒÓÑÐ µ [Ü Ü +1 ] Ü = 0 1 Ò º º½º½ ¹ ½ ÔÐÒµº ô Ü 0 Ü 1 Ü Ò º º½º½ ¹ ½µ Ü 0 Ü 1 Ü Ò º½º½ ¹ ½µ ÔÐÒ ÔÐÒ Ñ ÒÓØ ÖÔÓÒØ µ (511 1) ½

3 ¾ ËÔÐÒ º ýº x º½º½ ¹ ½ Ü 0 = 10 Ü 1 = 0 Ü 2 = 1 Ü 3 = 25 Ü 4 = 4 Ü 5 = 5 µ ( Ü 0 ) [Ü 0 Ü 1 ) [Ü Ò 1 Ü Ò ) [Ü Ò + ) º½º½ ¹ ¾µ ÔÐÒ Ñ µ ÔÐÒ 1 2 Ñ 1 Rº º½º½ ¹ ½ ÔÐÒ µ ÔÛ ÔÓÐÝÒÓÑе º µ (511 2) º

4 µ ÔÐÒ º Ñ = 3 ÔÐÒ Ù ÔÐÒµº Úµ ÙÖÚØÙÖµ Ý = (Ü) Ý = º½º½ ¹ µ (1+Ý 2 32 ) (Ü (Ü )) = 0 1 Ò (511 3) Ü = 0 1 Ò ÔÐÒ (Ü 0) = (Ü +0) (1) (Ü 0) = (1) (Ü +0) (2) (Ü 0) = (2) (Ü +0) ý 3 º Úµ R º Úµ ý (511 2) ÙÒÓÖѵ ÔÐÒ ÒÓÒ ÙÒÓÖѵ ÔÐÒº º½º½ ¹ ½ ô º º½º½ ¹ ¾µ Ü 3 +2Ü+1 Ü ( 1) 3 3Ü 2 Ü Ü [ 11) 2 (Ü) = 2Ü 3 9Ü 2 +5Ü 2 Ü [12) 3 Ü 3 3Ü 2 7Ü+6 Ü [2+ ) 3 ÔÐÒº º

5 ËÔÐÒ º ýº x sx º½º½ ¹ ¾ º½º½ ¹ ½ µ 1 1 2º µ (Ü) 3 º (Ü) Ñ = 3º º½º½ ¹ ½ µ (Ü) ÔÐÒ (Ü) 1 Ñ 1 = 2 Rº ô Ü ( 1) (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (1) (Ü) = 3Ü 2 +2 (2) (Ü) = 6Ü Ü [ 11) (Ü) = 3Ü 2 Ü (1) (Ü) = 6Ü 1 (2) (Ü) = 6 ( 1 0) = 2 = ( 1+0) (1) ( 1 0) = 5 = (1) ( 1+0) (2) ( 1 0) = 6 = (2) ( 1+0)

6 º½º½ ¹ ½ µ Ü = 1º ø º½º½ ¹ ½ Ü = 1 2º ÔÐÒ º½º½ ¹ ½ µº µ ÔÐÒ º½º½ ¹ ½ Úµº ØÖÙÒØ ÔÓÛÖ ÙÒØÓÒµ º½º½ ¹ ¾ Ü Ñ Ü Ñ + º º½º½ ¹ µ Ü Ñ Ü Ñ Ü 0 + = 0 Ü 0 º½º½ ¹ µ º½º½ ¹ (Ü Ü ) Ñ (Ü Ü ) Ñ + º º½º½ ¹ µ (Ü Ü ) Ñ + = (Ü Ü ) Ñ Ü Ü 0 Ü Ü º½º½ ¹ µ x µ x µ º½º½ ¹ µ Ü + Ñ = 1 µ (Ü 1) 2 + Ñ = 2 (511 4) (511 5) ÅÌÀÅÌÁ

7 ËÔÐÒ º ýº Ü Áܼ ¼ ÜÑ Ü ÁÜÜ ¼ Ü¹ÜµÑ º½º½ ¹ ½ (Ü) = (Ü Ü ) Ñ + ÔÐÒ Ñ Ü = Ü (Ñ) (Ü) = Ñ (Ü Ü ) Ñ + Ü Ñ = Ñ!(Ü Ü ) 0 + = Ñ! Ü Ü 0 Ü Ü º½º½ ¹ µ (Ñ) (Ü) Ü ÙÑÔ ÓÒع ÒÙØݵ = Ñ!º ý º º½º½ ¹ ½ ÔÐÒ Ñ Ü 0 Ü 1 Ü Ò (Ü) = Ü+ + Ñ Ü Ñ + 0 (Ü Ü 0 ) Ñ + + 1(Ü Ü 1 ) Ñ Ò(Ü Ü Ò ) Ñ + = Ñ Ò Ü + (Ü Ü ) Ñ + º½º½ ¹ µ =0 =0 = (Ñ) (Ü +0) (Ñ) (Ü 0) Ñ! = 0 1 Òº º½º½ ¹ µ º½º½ ¹ ½ ø Ü [Ü 0 Ü Ò ] ÔÐÒ (Ü) = Ü+ + Ñ Ü Ñ

8 + 1 (Ü Ü 1 ) Ñ Ò 1(Ü Ü Ò 1 ) Ñ + = Ñ =0 Ò 1 Ü + (Ü Ü ) Ñ + =0 º½º½ ¹ µ = 0 1 Ò (511 8)º ýº Ü [Ü 0 Ü Ò ] (511 7) Ü Ü 0 º½º½ ¹ (Ü Ü 0 ) Ñ + = (Ü Ü 0 ) Ñ Ü Ü Ò (Ü Ü Ò ) Ñ + = 0º (511 7) (Ü) = {}}{ Ü+ + Ñ Ü Ñ + 0 (Ü Ü 0 ) Ñ Ü++ Ñ Ü Ñ + 1 (Ü Ü 1 ) Ñ Ò 1(Ü Ü Ò 1 ) Ñ + º º½º º º½º½ ¹ ¾ ô ÔÐÒ º½º½ ¹ ½ Ü 3 +2Ü+1 Ü ( 1) 3Ü 2 Ü Ü [ 11) (Ü) = 2Ü 3 9Ü 2 +5Ü 2 Ü [12) Ü 3 3Ü 2 7Ü+6 Ü [2+ ) Ü 0 = 1 Ü 1 = 1 Ü 2 = 2 Ñ = 3º (511 7) (Ü) = Ü 3 +2Ü+1+ 0 (Ü Ü 0 ) (Ü Ü 1 ) (Ü Ü 2 ) 3 + = Ü 3 +2Ü+1+ 0 (Ü+1) (Ü 1) (Ü 2) 3 +

9 ËÔÐÒ º ýº (511 8) 0 = (3) (Ü 0 +0) (3) (Ü 0 0) 3! = = 1 1 = (3) (Ü 1 +0) (3) (Ü 1 0) 3! = = 2 2 = (3) (Ü 2 +0) (3) (Ü 2 0) 3! = = 1 (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (Ü+1) (Ü 1)3 + (Ü 2)3 + º½º½ ¹ Ü ( 1) {}}{ (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (Ü+1) (Ü 1)3 + (Ü 2)3 + Ü [ 11) Ü [12) = Ü 3 +2Ü+1 {}}{ (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (Ü+1) 3 + 2(Ü 1) 3 + (Ü 2)3 + ( ) = Ü 3 +2Ü+1 Ü 3 +3Ü 2 +3Ü+1 = 3Ü 2 Ü {}}{ (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (Ü+1) 3 +2(Ü 1) 3 (Ü 2) 3 + ( ) = Ü 3 +2Ü+1 Ü 3 +3Ü 2 +3Ü+1 Ü [2+ ) ( ) +2 Ü 3 3Ü 2 +3Ü 1 = 2Ü 3 9Ü 2 +5Ü 2 (Ü) = Ü 3 +2Ü+1 (Ü+1) 3 +2(Ü 1) 3 (Ü 2)

10 ( ) = Ü 3 +2Ü+1 Ü 3 +3Ü 2 +3Ü+1 ( ) ( ) +2 Ü 3 3Ü 2 +3Ü 1 Ü 3 6Ü 2 +12Ü 8 = Ü 3 3Ü 2 7Ü+6 ÔÐÒ (Ü) º½º½ ¹ ÅÌÀÅÌÁ Ü Ü ¾Ü ½¹Áܹ½ ¼ Ü ½µ ¾ Áܽ ¼ ܹ½µ ¹Áܾ ¼ ܹ¾µ º½º½ ¹ ¾ ÔÐÒ [Ü 0 Ü Ò ]º º½º½ ¹ ½ Ü 0 Ü Ò º º½º½ ¹ ½ º½º½ ¹ º ô Ü 0 Ü 1 Ü Ò [ ] = Ü 0 Ü 1 Ü Ò = º½º½ ¹ ½¼µ ÔÐÒ [ ] Ñ = Ü 0 = Ü Ò Ü 1 Ü 2 Ü Ò 1 µ [Ü 0 Ü 1 ) [Ü 1 Ü 2 ) [Ü Ò 1 Ü Ò ] º½º½ ¹ ½½µ Ñ µ 1 2 Ñ 1 º

11 ½¼ ËÔÐÒ º ýº sx x º½º½ ¹ º½º½ ¹ (Ü) ÔÐÒ () º½º½ ¹ (511 11) [Ü 0 Ü 1 ] [Ü 1 Ü 2 ] [Ü Ò 1 Ü Ò ] º½º½ ¹ ½¾µ º½º½ ¹ (511 11) º º½º½ ¹ ô º º½º½ ¹ µ (Ü) = 1 4 (Ü+2)3 Ü [ 2 1] 3 ( 3 Ü 3 6Ü 2 +4 ) Ü [ 11] (2 Ü)3 Ü [12] 3 ÔÐÒº (Ü) ØÖÙØÓÒµ ÁÖÛÒ¹ÀÐк

12 ½½ º (Ü) Ü (Ü+2)3 Ü [ 2 1] 3 ( 1 4 3Ü 3 6Ü 2 +4 ) Ü [ 10] 3 (Ü) = ( 3Ü 3 6Ü 2 +4 ) Ü [01] (2 Ü)3 Ü [12] 3 µ º µ (Ü) 3 º (Ü) Ñ = 3º º½º½ ¹ µ (Ü) ÔÐÒ (Ü) 1 Ñ 1 = 2 º ô Ü [ 2 1] (Ü) = 1 4 (Ü+2)3 (1) (Ü) = 3 4 (Ü+2)2 (2) (Ü) = 6 4 (Ü+2) Ü [ 10] (Ü) = 1 ( 4 3Ü 3 6Ü 2 +4 ) (1) (Ü) = 1 ( 4 9Ü 2 12Ü ) (2) (Ü) = 1 4 ( 18Ü 12) ( 1 0) = 1 4 = ( 1+0) (1) ( 1 0) = 3 4 = (1) ( 1+0) (2) ( 1 0) = 3 2 = (2) ( 1+0) º½º½ ¹ ½ µ Ü = 1º ø Ü = 0 1 ÔÐÒ º½º½ ¹ ½ µº

13 ½¾ ËÔÐÒ º ýº µ ÔÐÒ º½º½ ¹ ½ Úµº º½º¾ ÔÐÒ º½º¾ ¹ ½ ÔÐÒ Ñ ÒØÙÖе µ 2Ñ 1 Ñ = 1 2 µ ( Ü 0 ) [Ü Ò + ) Ñ 1º º½º¾ ¹ ½ µ º½º½ ¹ ½ µ ÔÐÒ 2(Ñ 1) {}}{ 1 2 (2Ñ 1) 1 Ü 0 Ü Ò º½º¾ ¹ ½ () Ñ 1 () (Ü 0 ) = () (Ü Ò ) = 0 º½º¾ ¹ ½µ = Ñ Ñ+1 2(Ñ 1)º µ ÔÐÒ 3 = Ñ = 2 Ñ 1 = 2 1 = 1º (512 1) 2(Ñ 1) = 2(2 1) = 2 (2) (Ü 0 ) = (2) (Ü Ò ) = 0 º½º¾ ¹ ¾µ

14 ÔÐÒ ½ ý ÔÐÒ º½º½ ¹ ½º º½º¾ ¹ ½ ÔÐÒ 2Ñ 1 Ü 0 Ü 1 Ü Ò (Ü) = Ü+ + Ñ 1 Ü Ñ (Ü Ü 0 ) 2Ñ (Ü Ü 1 ) 2Ñ Ò (Ü Ü Ò ) 2Ñ 1 + = Ñ 1 Ò Ü + (Ü Ü ) 2Ñ 1 + º½º¾ ¹ µ =0 =0 = (2Ñ 1) (Ü +0) (2Ñ 1) (Ü 0) (2Ñ 1)! º½º¾ ¹ µ = 0 1 Ò 0 Ü0 + 1 Ü Ò Ü Ò = 0 = 0 1 Ñ 1 º½º¾ ¹ µ (512 5) Ò = 0 0 Ü Ü Ò Ü Ò = 0 0 Ü Ü Ò Ü 2 Ò = 0 º½º¾ ¹ µ º 0 Ü Ñ Ü Ñ Ò ÜÒ Ñ 1 º = 0 º½º¾ ¹ ½ ÔÐÒ Ü 0 Ü 1 Ü Ò

15 ½ ËÔÐÒ º ýº (Ü) = Ü+ 0 (Ü Ü 0 ) (Ü Ü 1 ) Ò (Ü Ü Ò ) 3 + º½º¾ ¹ µ = (3) (Ü +0) (3) (Ü 0) º½º¾ ¹ µ 3! = 0 1 Ò Ò = 0 0 Ü Ü Ò Ü Ò = 0 º½º¾ ¹ µ º½º ¹ ¾º ø º½º½ ¹ ½ º½º º º½º¾ ¹ ½ ô ÔÐÒ º º½º¾ ¹ ½µ 2Ü+1 Ü ( 1) 1 Ü 3 +3Ü 2 +5Ü+2 Ü [ 11) 3 (Ü) = 2Ü 3 +12Ü 2 4Ü+5 Ü [12) 3 20Ü 11 Ü [2+ ) 1 ½ ÔÐÒ Ü 0 = 1 Ü 1 = 1 Ü 2 = 2º º½º¾ ¹ ½ ÔÐÒº (512 7) (Ü) = 2Ü+1+ 0 (Ü Ü 0 ) (Ü Ü 1 ) (Ü Ü 2 ) 3 + = 2Ü+1+ 0 (Ü+1) (Ü 1) (Ü 2) 3 + ½ º½º½ ¹ ½µº

16 ÔÐÒ ½ sx x º½º¾ ¹ ½ º½º¾ ¹ ½ (512 8) 0 = (3) (Ü 0 +0) (3) (Ü 0 0) 3! = = 1 1 = (3) (Ü 1 +0) (3) (Ü 1 0) 3! = = 3 2 = (3) (Ü 2 +0) (3) (Ü 2 0) 3! = = 2 (Ü) = 2Ü+1+(Ü+1) 3 + 3(Ü 1)3 + +2(Ü 2)3 + (512 8) (2) ( 1) = (2) (2) = 0 (512 9) = = 0 0 ( 1)+ 2 (1)+ 2 (2) = = 0 ÔÐÒ (Ü) ÅÌÀÅÌÁ

17 ½ ËÔÐÒ º ýº Ü ¾Ü ½ Áܹ½ ¼ Ü ½µ ¹ Áܽ ¼ ܹ½µ ¾ Áܾ ¼ ܹ¾µ º½º ÔÐÒ º½º ¹ ½ ÔÐÒ µº ÔÐÒ (Ü) ÔÐÒ ÒØÖÔÓÐØÓÒµ Ë = {(Ü Ý ) = 0 1 Ò} Ü 0 Ü 1 Ü Ò (Ü ) = Ý = 0 1 Ò º½º ¹ ½µ º½º ¹ ¾º ÔÐÒ (Ü) (Ü) Ü 0 Ü 1 Ü Ò (Ü ) = (Ü ) = 0 1 Ò º½º ¹ ¾µ º½º ¹ ½ (513 1) (513 2) º º½º ¹ ½ ô ÔÐÒ (Ü) º½º½ ¹ ½ Ü 3 +2Ü+1 Ü ( 1) 3Ü 2 Ü Ü [ 11) (Ü) = 2Ü 3 9Ü 2 +5Ü 2 Ü [12) Ü 3 3Ü 2 7Ü+6 Ü [2+ ) ( 1 0) = 2 = Ý 0 (1 0) = 4 = Ý 1 (2 0) = 12 = Ý 2

18 ÔÐÒ ½ sx x º½º ¹ ½ º½º ¹ ½ (Ü) ÔÐÒ º º½º ¹ ½µ (Ü 0 Ý 0 ) = ( 1 2) (Ü 1 Ý 1 ) = (1 4) (Ü 2 Ý 2 ) = (2 12) º½º ¹ ¾ ø ÔÐÒ (Ü) º½º½ ¹ 1 4 (Ü+2)3 Ü [ 2 1] (Ü) = 1 ( 4 3 Ü 3 6Ü 2 +4 ) Ü [ 11] 1 4 (2 Ü)3 Ü [12] ( 1 0) = 1 4 = Ý 0 (0 ) = 1 = Ý 1 (1 0) = 1 4 = Ý 2 (Ü) ÔÐÒ º º½º ¹ ¾µ ( (Ü 0 Ý 0 ) = 1 1 ) ( (Ü 1 Ý 1 ) = (01) (Ü 2 Ý 2 ) = 1 1 ) 4 4

19 ½ ËÔÐÒ º ýº sx x º½º ¹ ¾ º½º ¹ ¾ ÔÐÒ º½º ¹ ½ ÔÐÒ µº ÔÐÒ 2Ñ 1 [ ] = Ü 0 Ü 1 Ü Ò = Ò+½ Ñ º½º ¹ µ (Ü ) = Ý = 0 1 Ò º½º ¹ µ = Ü 0 = Ü Ò () (Ü 0 ) = Ù () (Ü Ò ) = Û º½º ¹ µ = 1 2 Ñ 1 = Ñ Ñ+1 2(Ñ 1)º

20 ÔÐÒ ½ º½º ¹ ½ (513 5) ÔÐÒ (Ñ = 2) (1) (Ü 0 ) = Ù (1) (Ü Ò ) = Û º½º ¹ µ º½º ¹ ÔÐÒ Ü 0 = 1 Ü 1 = 1 Ü 2 = 2 (513 4) ( 1) = 2 (1) = 4 (2) = 12 º½º ¹ µ (513 5) (1) ( 1) = 5 (1) (2) = 7 º½º ¹ µ º Ü 0 = 1 Ü 1 = 1 ( ) Ü 2 = 2 Ò = 3 ÔÐÒ 3º 3 = 2 Ñ {}}{ 2 1 Ñ = 2 (513 3) Ò+1 = 3+1 = 4 2 = Ñ ÔÐÒ º ý ¾ º½º½ ¹ ½ 3 Ü 1 (Ü) (Ü) = Ü+ 2 Ü Ü 3 + (Ü 1) 3 + º½º ¹ µ ¾ ø Ü [Ü 0 Ü Ò] ÔÐÒ Ñ (Ü) = Ü+ + Ñ Ü Ñ + 1(Ü Ü 1) Ñ + + +Ò 1(Ü ÜÒ 1)Ñ + Ü 1 Ü 2 Ü Ò 1 º

21 ¾¼ ËÔÐÒ º ýº (513 8) (513 9) º½º½ ¹ (Ü 1) 3 0 Ü 1 + = (Ü 1) 3 Ü 1 {}}{ ( 1) = ( 1)+ 2 ( 1) ( 1) 3 + (Ü 1) 3 + = = 2 {}}{ (1) = (Ü 1) 3 + = = 4 (2) = (2 1) 3 = = = = 4 º½º ¹ ½¼µ = 12 ý (513 9) (1) (Ü) = Ü+3 3 Ü 2 +3 (Ü 1) 2 + (513 8) {}}{ (1) ( 1) = ( 1)+3 3 ( 1) 2 +3(Ü 1) 2 + = = 5 (1) (2) = (2 1) 2 = = 7 0

22 ÔÐÒ ¾½ x 2 sx º½º ¹ º½º ¹ = = 7 º½º ¹ ½½µ (513 10) (513 11) 0 = 0 1 = 1 2 = 3 3 = 0 = 2 ÔÐÒ (Ü) = Ü 3Ü 2 +2(Ü 1) 3 + Ü [ 12] [ 12] 3Ü 2 Ü Ü [ 11) (Ü) = 2Ü 3 9Ü 2 +5Ü 2 Ü [12] º½º½ ¹ ½º º½º ¹ ½ ÔÐÒ (Ü) Ü [ 23] ÅÌÀÅÌÁº

23 ¾¾ ËÔÐÒ º ýº º½º ¹ ½ ÔÐÒµ ܼ ¹½Ü½ ½Ü¾ ¾ ݼ ¹¾Ý½ ¹Ý¾ ¹½¾ Ü ¼ ½ Ü ¾ ܾ Ü ÁÜ Ü½ ¼ Ü ¹ ܽµ Ý Ü Ü»º Ü ¹ ܼ Þ Ü Ü»º Ü ¹ ܾ ÓÐ ËÓÐÚß Ü¼ ݼ ܽ ݽ ܾ ݾ Ý Þ ¹Ð ß¼ ½ ¾ Ð ½Ü Ü»º ÓÐ ÈÖÒØËÔÐÒ Üµ ½Ü Ø ßßܼ ¼Ð ßܽ ¼Ð ßܾ ¼ÐÐ Ö½ Ä ØÈÐÓØØ ÈÐÓØËØÝÐ ¹ Ê ÈÐÓØÅÖÖ ¹ º ؽ ßßܼ ݼРßܽ ݽРßܾ ݾÐÐ Ö¾ Ä ØÈÐÓØؽ Ö ËÓÛÈÐÓØ ½Ü ÈÐÓØËØÝÐ ¹ ÖÓÛÒ ÈÐÓØÅÖÖ ¹ º ßÜ Ü¼ ܽРÈÐÓØËØÝÐ ¹ ÐÙ ÈÐÓØ ½Ü ßÜ Ü½ ܾРÈÐÓØËØÝÐ ¹ ÖÒ Ö ËÓÛÖ½ Ö¾ Ö Ü ÄÐ ¹ ßÜ ÜµÐ ÔÐÒ ÔÐÒ º º½º ¹ ¾º ÔÐÒ R 2Ñ 1 = Ü 0 Ü 1 Ü Ò = Ò+½ Ñ º½º ¹ ½¾µ Ý Rº (Ü ) = Ý = 0 1 Ò º½º ¹ ½ µ

24 ÔÐÒ ¾ º½º ¹ ÔÐÒ Ü 0 = 1 Ü 1 = 1 Ü 2 = 2 ( 1) = 1 (1) = 11 (2) = 29 º½º ¹ ½µ º Ò = 3 ÔÐÒ 3 = 2 Ñ {}}{ 2 1 Ñ = 2 Ò+1 = 3+1 = 4 2 = Ñ (513 12) ÔÐÒ º ý º½º¾ ¹ ½ ÔÐÒ (Ü) = Ü+ 0 (Ü+1) (Ü 1) (Ü 2) 3 + º½º ¹ ½µ (513 14) (513 15) {}}{ ( 1) = ( 1)+ 0 (Ü+1) (Ü 1) (Ü 2) 3 + = 0 1 = 1 ÔÐÒ 2Ñ 1 = 3 = Ñ = 2µ Ü 0 Ü 1 Ü Ò (Ü) = Ü+ 0(Ü Ü 0) (Ü Ü1) Ò(Ü ÜÒ) Ò 0 Ü Ü Ò Ü Ò = 0 = 0

25 ¾ ËÔÐÒ º ýº {}}{ (1) = (1+1) (Ü 1) (Ü 2) 3 + = = 11 {}}{ (2) = (1+2) (2 1) (Ü 2) 3 + = = = = = 29 º½º ¹ ½µ ý (512 6) = 0 0 Ü Ü Ü 2 = = = 0 º½º ¹ ½µ ý (513 16) (513 17) 0 = 1 1 = 2 0 = 1 1 = 3 2 = 2 (513 15) ÔÐÒ Ü R º º½º ¹ µ (Ü) = (Ü) = 1+2 Ü+(Ü+1) 3 + 3(Ü 1)3 + +2(Ü 2)3 + º½º¾ ¹ ½º º½º ¹ ¾ (Ü) Ü [ 23] ÅÌÀÅÌÁº

26 ÔÐÒ ¾ sx x º½º ¹ º½º ¹ º½º ¹ ¾ ÔÐÒµ ܼ ¹½Ü½ ½Ü¾ ¾Ý¼ ¹½Ý½ ½½Ý¾ ¾ Ü ¼ ½ Ü ¼ ÁÜ Ü¼ ¼ Ü ¹ ܼµ ½ ÁÜ Ü½ ¼ Ü ¹ ܽµ ¾ ÁÜ Ü¾ ¼ Ü ¹ ܾµ Ý ¼ ½ ¾ Þ ¼ ܼ ½ ܽ ¾ ܾ ÓÐ ËÓÐÚß Ü¼ ݼ ܽ ݽ ܾ ݾ Ý ¼ Þ ¼Ð ß¼ ½ ¼ ½ ¾Ð ½Ü Ü»º ÓÐ ÈÖÒØËÔÐÒ Üµ ½Ü ÈÐÓØ ½Ü ßÜ ¹¾ Ð Ø ßßܼ ݼРßܽ ݽРßܾ ݾÐÐ Ö½ Ä ØÈÐÓØØ ÈÐÓØËØÝÐ ¹ Ê ÈÐÓØÅÖÖ ¹ º Ö¾ ËÓÛÈÐÓØ ½Ü ßÜ Ü¼ ܽРÈÐÓØËØÝÐ ¹ ÐÙ ÈÐÓØ ½Ü ßÜ Ü½ ܾРÈÐÓØËØÝÐ ¹ ÖÒ Ö ËÓÛÖ½ Ö¾ ÈÐÓØÊÒ ¹ ÐÐ Ü ÄÐ ¹ ßÜ ÜµÐ

27 ¾ ËÔÐÒ º ýº ý ½º ý Ü [ 12] ÔÐÒ º½º½ ¹ (511 9)º ¾º (Ü) = (Ü Ü ) Ñ + ÔÐÒ Ñ Ü º º ý 5 ÕÙÒص ÔÐÒº º ÔÐÒ (00) (12) (21) (30) µº ÅÌÀÅÌÁ ÅÌÄ 4 ÔÐÒ º µº º½º ¹ ½ º½º ¹ ¾ ÅÌĺ ÅÌÀ¹ ÅÌÁ ÅÌÄ ÔÐÒ5 º Á = 1 0 Ü2 Ü Á ÔÐÒ 3 4 µ (513 5) µ ÔÐÒ º º

28 ÔÐÒ ¾ ý º ýº º ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØºÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ºØغֻÖØ Ó»

29

30 þ ½ º þº ½µ ý ý ý ÁËÆ ß¼ß¾ß¼¾¾ßº ¾ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ º» ÅÌÄ ÁËÆ ß¼ß ßߺ ÐÖ ÂºÀº ÆÐ ÓÒ ºÆº Ò ÏРºĺ ½µ Ì ØÓÖÝ Ó ÔÐÒ Ò ØÖ ÔÔÐØÓÒ Ñ ÈÖ ÆÛ ÓÖ ÁËÆ ß¼ß½¾ß ¼¼ß º ÙÖÒ ÊÖ Äº Ò Ö Âº ÓÙÐ ¾¼¼¼µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ø ºµ ÖÓÓ»ÓÐ ÁËÆ ß¼ß ß ¾½ß¾º ÖÐ ÓÓÖ ½µ ÈÖØÐ Ù ØÓ ÔÐÒ ËÔÖÒÖßÎÖÐÒ ÆÛ ÓÖ ÁËÆ ß¼ß ß ß º ÓÒØ Ëº º ÖÐ ÓÓÖ ½½µ ÐÑÒØÖÝ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ò ÐÓÖØÑ ÔÔÖÓ Ö ºµ ÅÖÛ¹ÀÐÐ ÓÓ ÓÑÔÒÝ ÁËÆ ß¼ß¼ß¼½¾ßº ÓÒ º ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ßº ¾

31 ¼ ËÔÐÒ º ýº ½¼ ÖÚÐР̺ƺº ½µ ÌÓÖÝ Ò ÔÔÐØÓÒ Ó ÔÐÒ ÙÒØÓÒ Ñ ÈÖ ÆÛ ÓÖ ÁËÆ ¼ß½¾ß ¼¾¼ß º ½½ ÃÒÐÐ º ØÒ ÓÒ ½µ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ¾Ò ºµ ÂÓÒ ÏÐÝ ² ËÓÒ ÁËÆ ¼ß½ß¼¼¾ ß¾º ½¾ ÄÖ Â«ÖÝ Âº ¾¼¼µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ Ò ËÒØ ÓÑÔÙع ØÓÒ ÓÒ Ï ÐÝ ÁËÆ ß¼ß¾¼½ß ߺ ½ ËØÞÑÒ Åº ¾¼¼¾µ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ÅØÑØÐ ÁÒØÖÓÙ¹ ØÓÒ ÐÖÒÓÒ ÈÖ ÇÜÓÖ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¾ß½º ½ ËØÓÖ ÂÓ ÙÐÖ ÊÓÐÒ ¾¼¼¾µ ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ Òй Ý Ö ºµ ËÔÖÒÖ ÁËÆ ß¼ß ß¾ß º ½ ËÐ º Ò ÅÝÖ º ¾¼¼ µ Ò ÁÒØÖÓÙØÓÒ ØÓ ÆÙÑÖÐ ÒÐÝ ÑÖ ÍÒÚÖ ØÝ ÈÖ ÁËÆ ß¼ß¾½ß¼¼ßº ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑÒغÖÙ»ÒܺØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺ ÔÖÒÖº»

32 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

33 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, Αθανάσιος Μπράτσος. «Μαθηματικά ΙΙΙ. Ενότητα 11: SPLINES». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 8: Τριπλά Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 1: Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ

Μαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 1: Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα 1: Μετασχηματισμός aplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 9: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 3: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 1: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 3: Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα : Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI

Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Επιλογής επόμενα. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Επιλογής επόμενα. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Επιλογής επόμενα Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών

Θεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292

ΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292 ΠΙΝΑΚΕΣ 2012 Σελίδα 292 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες: Ιδανικά αέρια Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο - CAD

Τεχνικό Σχέδιο - CAD Τεχνικό Σχέδιο - CAD Προσθήκη Διαστάσεων & Κειμένου ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Εντολές προσθήκης διαστάσεων & κειμένου Στο βασική (Home)

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης για τη Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Αλέξανδρος Σπυριδωνίδης Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ

ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Ενότητα 8: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΤΑΤΜΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: Μετασχηματισμός Fourier 2-Δ ακολουθιών Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 5 ÅØ ÕÑØ Ñ Fourier ¾¹ ÓÐÓÙôÒ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο - CAD

Τεχνικό Σχέδιο - CAD Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τεχνικό Σχέδιο - CAD Ενότητα 7: SketchUp Αντικείμενα Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής

Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι. Άρης Παγουρτζής Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ2, Ενότητα : Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Ενότητα : Υλοποίηση Λεξικών µε

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 4: Διδακτικός μετασχηματισμός βασικών εννοιών πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6: 1η εργαστηριακή άσκηση και προσομοίωση με το SPICE Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Προγραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Προγραμματισμός Η/Υ Βασικές Προγραμματιστικές Δομές ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Δομή Ελέγχου Ροής (IF) Η εντολή IF χρησιμοποιείται όταν

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο - CAD. Τόξο Κύκλου. Τόξο Κύκλου - Έλλειψη. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Τεχνικό Σχέδιο - CAD. Τόξο Κύκλου. Τόξο Κύκλου - Έλλειψη. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Τεχνικό Σχέδιο - CAD Τόξο Κύκλου - Έλλειψη ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Τόξο Κύκλου Τόξο κύκλου Στην ορολογία του Autocad: Arc Εντολή: arc

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων. Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα. Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα: 2-Δ συνεχή σήματα Καθηγητής Γεώργιος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ÃÐÓ 3 ¾¹ ÙÒÕ ÑØ Å ÙÒÕ Ò ÑÔÓÖ Ò ÔÖ Ø Ô Ò ¾¹ ÙÒÕ Ñ Ð

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 6: ΜΕΓΕΘΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 11 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 4: ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΜΕ ΑΠΛΟ ΤΟΚΟ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creave Coons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 1. Ιστορική αναδρομή της διδακτικής της

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 3. Ο ρόλος του εκπαιδευτικού: σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Ενότητα: Εργασίες Διδάσκων: Βασίλης Κόμης, Καθηγητής komis@upatras.gr www.ecedu.upatras.gr/komis/ Τμήμα Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανές Πλοίου ΙΙ (Ε)

Μηχανές Πλοίου ΙΙ (Ε) Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυµα Αθήνας Μηχανές Πλοίου ΙΙ (Ε) Άσκηση 5 Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 6: Διαδικασίες Μάθησης Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική

Εισαγωγή στην Πληροφορική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Εισαγωγή στην Πληροφορική Ενότητα 7: Τεχνολογία Λογισμικού Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 6: Διαπεριφερειακές διαφορές Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Πολιτισμικών Δεδομένων

Διαχείριση Πολιτισμικών Δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διαχείριση Πολιτισμικών Δεδομένων Ενότητα 9: Μετατροπή μοντέλου οντοτήτων σχέσεων σε βάση δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 9: Άσκηση εμπορικής πολιτικής Παράδειγμα άσκησης εμπορικής πολιτικής Γρηγόριος Ζαρωτιάδης

Διαβάστε περισσότερα

Εννοιες και Παράγοντες της Ψηφιακής Επεξεργασίας Εικόνας

Εννοιες και Παράγοντες της Ψηφιακής Επεξεργασίας Εικόνας Εννοιες και Παράγοντες της Ψηφιακής Επεξεργασίας Εικόνας Δειγματοληψία Βάθος χρώματος Ψηφιακή φωτογραφική μηχανή CCD Δυναμικό Εύρος Αναπαραγωγή εικόνας Χρωματικά μοντέλα και Χρωματικοί Χώροι Το ορατό φως,

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα