Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Transcript

1 Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 1) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

2 Σελίδα

3 1 Σκοποί ενότητας 4 Περιεχόμενα ενότητας 4 3 Συνάρτηση δύο Πραγματικών Μεταβλητών 5 31 Γραφική Απεικόνιση μιας Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών Γραφική παράσταση 7 31 Ισοσταθμικές καμπύλες 9 3 Όριο Συνέχεια Μερικές Παράγωγοι 1 34 Γεωμετρική Ερμηνεία Μερικών Παραγώγων Μερικές Παράγωγοι υψηλότερης τάξης Ολικό Διαφορικό Κανόνας Αλυσιδωτής Παραγώγισης Παραγώγιση Πεπλεγμένης Συνάρτησης Εφαρμογές των Μερικών Παραγώγων Γραμμική Προσέγγιση της f( y, ) κοντά στο ( 0, y Μέγιστα, Ελάχιστα και Σαγματικά Σημεία 17 4 Θεώρημα: Πεπλεγμένης Συνάρτησης (Implicit Function Theorem) 1 41 Γενικό θεώρημα Πεπλεγμένων Συναρτήσεων 4 Θεώρημα της αντίστροφης απεικόνισης 3 Σελίδα 3

4 1 Σκοποί ενότητας Παρουσιάζονται θέματα Διαφορικού Λογισμού και συγκεκριμένα οι πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών (μέρος 1) που είναι απαραίτητα για τον χρηματοοικονομικό και λογιστικό αναλυτή Περιεχόμενα ενότητας Συνάρτησης δύο Πραγματικών Μεταβλητών, Γραφική Απεικόνιση μιας Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών, Γραφική παράσταση, Ισοσταθμικές καμπύλες, Όριο Συνέχεια, Μερικές Παράγωγοι, Γεωμετρική Ερμηνεία Μερικών Παραγώγων, Μερικές Παράγωγοι υψηλότερης τάξης, Ολικό Διαφορικό, Κανόνας Αλυσιδωτής Παραγώγισης, Παραγώγιση Πεπλεγμένης Συνάρτησης, Εφαρμογές των Μερικών Παραγώγων, Γραμμική Προσέγγιση της f( y, ) κοντά στο ( 0, y, Μέγιστα, Ελάχιστα και Σαγματικά Σημεία, Θεώρημα Πεπλεγμένης Συνάρτησης (Implicit Function Theorem), Γενικό θεώρημα Πεπλεγμένων Συναρτήσεων, Θεώρημα της αντίστροφης απεικόνισης Σελίδα 4

5 3 Συνάρτηση δύο Πραγματικών Μεταβλητών Ορισμός: Συνάρτηση δύο πραγματικών μεταβλητών είναι μια απεικόνιση από ένα σύνολο D σε ένα σύνολο R, έτσι ώστε κάθε στοιχείο του D να αντιστοιχίζεται σε ένα µόνο στοιχείο του R Εδώ βέβαια το σύνολο D δεν είναι υποσύνολο των πραγματικών αριθμών δηλαδή της ευθείας άλλα είναι υποσύνολο του,δηλαδή του επιπέδου f : D R ( y, ) f( y, ), έχουμε δύο ανεξάρτητες μεταβλητές, y Παράδειγμα: Δίνεται η συνάρτηση f( y, ) y = Για να ορίζεται η συνάρτηση στους πραγματικούς αριθμούς πρέπει y 0 Άρα το πεδίο ορισμού είναι όλα εκείνα τα σημεία του επιπέδου που ικανοποιούν την ανίσωση y, δηλαδή τα σημεία που βρίσκονται «μέσα» στην παραβολή Άρα ( ) {, : } D= y y Το πεδίο τιμών της συνάρτησης είναι το σύνολο όλων των μη αρνητικών αριθμών R = + Σχήμα 1 Πεδίο ορισμού της f( y, ) y = Σχήμα Γραφική παράσταση της f( y, ) y = Σελίδα 5

6 Παράδειγμα: Δίνεται η συνάρτηση f( y, ) 4 y = Για να ορίζεται η συνάρτηση στους πραγματικούς αριθμούς πρέπει 4 y 0 ορισμού είναι όλα εκείνα τα σημεία του επιπέδου που ικανοποιούν την ανίσωση Άρα το πεδίο δηλαδή τα σημεία που βρίσκονται «μέσα» στον κύκλο με κέντρο το (0, και ακτίνα + y 4= Σχήμα 3 Πεδίο ορισμού της f( y, ) 4 y = Σχήμα 4 Γραφική παράσταση της f( y, ) 4 y = y Παράδειγμα: Δίνεται η συνάρτηση f( y, ) = y Για να ορίζεται η συνάρτηση στους πραγματικούς αριθμούς πρέπει είναι όλα εκείνα τα σημεία του επιπέδου εκτός από τις ευθείες y y 0 Άρα το πεδίο ορισμού = και y = y Σχήμα 5 Γραφική παράσταση της f( y, ) = y Σελίδα 6

7 31 Γραφική Απεικόνιση μιας Συνάρτησης Δύο Μεταβλητών 311 Γραφική παράσταση Γραφική παράσταση της f ονομάζουμε το σύνολο των σημείων ( yz,, ) των οποίων οι συντεταγμένες ικανοποιούν την εξίσωση z= f( y, ) Δηλαδή για να σχηματίσουμε την γραφική παράσταση της f παριστάνουμε τις τιμές της f( y, ) ως ύψη z πάνω από τα αντίστοιχα σημεία ( y, ) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών είναι μια επιφάνεια στον τρισδιάστατο χώρο 3 {(,, ) (, )} Gr= yz y z= f y Παραδείγματα: f( y, ) = + y Σχήμα 6 Γραφική παράσταση της f( y, ) y = + f( y, ) r ( y ) = + Σχήμα 7 Γραφική παράσταση της f( y, ) r ( y ) = + Σελίδα 7

8 f( y, ) = y Σχήμα 8 Γραφική παράσταση της f( y, ) y = f( y, ) = sin + y Σχήμα 9 Γραφική παράσταση της f( y, ) sin y = + Σελίδα 8

9 31 Ισοσταθμικές καμπύλες Έστω συνάρτηση z= f( y, ) Θεωρούμε ένα επίπεδο Π, με εξίσωση z = c, το οποίο τέμνει την γραφική παράσταση της f (Προφανώς το Π είναι παράλληλο προς το y -επίπεδο και ο αριθμός c προσδιορίζει την απόσταση του Π από αυτό) Η τομή του Π με την επιφάνεια z= f( y, ), θα είναι μια καμπύλη στο χώρο, η οποία έχει για σημεία της, όλα τα σημεία (,, ) (,,c) yz για τα οποία ισχύει: z= f( y, ) και z = c Δηλαδή θα είναι όλα τα σημεία y για τα οποία f( y=, ) c Προβάλλουμε την καμπύλη αυτή πάνω στο y -επίπεδο Η προβολή της, θα είναι μια καμπύλη που θα έχει για σημεία της, όλα τα σημεία (,y, για τα οποία ισχύει f( y, ) = c Με άλλα λόγια θα είναι μια καμπύλη στο y -επίπεδο στα σημεία της οποίας η f παίρνει σταθερή τιμή c Καμπύλες αυτού του τύπου θα τις ονομάζουμε ισοσταθμικές καμπύλες της f Σχήμα 10 Γραφική παράσταση ισοσταθμικής καμπύλης Ορισμός: Έστω f( y, ) συνάρτηση δύο μεταβλητών Η καμπύλη f( y, ) = c ονομάζεται ισοσταθμική γραμμή Αν είναι γραμμή πίεσης, ονομάζεται ισοβαρής Αν είναι γραμμή δυναμικού, ονομάζεται ισοδυναμική Αν είναι γραμμή ύψους, ονομάζεται ισοϋψής Παρατήρηση: Όπως είδαμε και προηγουμένως, οι ισοσταθμικές καμπύλες μιας συνάρτησης αποτελούν ουσιαστικά την αποτύπωση της γραφικής της παράστασης στο y -επίπεδο Επομένως, αυτές μπορούν να μας φανούν χρήσιμες στο να βγάζουμε συμπεράσματα για την μορφή που θα έχει η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης δύο μεταβλητών Σελίδα 9

10 Παραδείγματα: f( y, ) = + y Σχήμα 11 Γραφική παράσταση της f( y, ) = + y (κάτοψη) Σχήμα 1 Γραφική παράσταση της f( y, ) = 100 y f( y, ) y = + (όψη) Σχήμα 13 Γραφική παράσταση της f( y, ) 100 y = (όψη) Σχήμα 14 Γραφική παράσταση της f( y, ) 100 y = (κάτοψη) Σελίδα 10

11 3 Όριο Συνέχεια Όταν οι τιμές μίας συνάρτησης μπορούν να είναι όσο κοντά θέλουμε σε έναν σταθερό αριθμό εκλέγοντας το σημείο ( y, ) «κοντά» στο ( 0, y τότε λέμε ότι: lim f( y, ) = ( y, ) (, y) 0 0 Το ότι το ( y, ) βρίσκεται «κοντά» στο ( 0, y σημαίνει ότι η απόσταση μικρή ( ) ( y y ) είναι 0 0 Σχήμα 15 Γραφική απεικόνιση του ορίου Ορισμός: Το lim f( y, ) ( y, ) (, y ) ( y, ) (, y) στο πεδίο ορισμού της f ισχύει: = εάν για κάθε ε > 0, υπάρχει ένα δ > 0 τέτοιο ώστε για κάθε σημείο ( ) ( y y) < δ f( y, ) < ε 0 0 Σελίδα 11

12 33 Μερικές Παράγωγοι Έστω f : A μια συνάρτηση δύο μεταβλητών και ( 0, y A Προσπαθώντας να επεκτείνουμε την έννοια της παραγώγου πραγματικής συνάρτηση μιας μεταβλητής στη συνάρτηση f( y, ) διαπιστώνουμε ότι πρέπει να μελετήσουμε τη μεταβολή της συνάρτησης σε μια περιοχή του ( 0, y Έτσι, μελετάμε σε ένα σημείο της μορφής ( 0 + hy, 0 + k) με ( hk, ) (0, Σχήμα 16 Γραφική απεικόνιση της περιοχής του ( 0, y Ορισμός: Θα λέμε ότι η f παραγωγίζεται μερικώς ως προς στο σημείο ( 0, y αν υπάρχει το f( +, y ) f(, y ) lim Το όριο αυτό ονομάζεται μερική παράγωγος της f ως προς f στο σημείο ( 0, y και συμβολίζεται ( 0, y ή f 0 0 (, y ) όριο 0 Όμοια, θα λέμε ότι η f παραγωγίζεται μερικώς ως προς y στο σημείο ( 0, y αν υπάρχει το όριο f 0 y0 + y f 0 y0 lim y 0 στο σημείο (, ) (, ) Το όριο αυτό ονομάζεται μερική παράγωγος της f ως προς y y f ( 0, y και συμβολίζεται ( 0, y y f (, y ) ή y 0 0 Σελίδα 1

13 Παρατηρήσεις: 1 Η πρώτης τάξης μερική παράγωγος γενικά είναι συνάρτηση ( y, ) f( y, ) f : A Για τον υπολογισμό της μερικής παραγώγου f θεωρούμε την μεταβλητή y σταθερά και χρησιμοποιούμε τους γνωστούς κανόνες παραγώγισης πραγματικής συνάρτησης μιας μεταβλητής Ορισμός: Έστω f : A Ορίζουμε σαν κλίση της f (grad f) στο σημείο ( 0, y το διάνυσμα f( 0, y, f( 0, y και συμβολίζεται f( 0, y (ανάδελτα) y y f( 0, y = f( 0, y, f( 0, y Η κλίση δείχνει προς εκείνη την κατεύθυνση κατά μήκος της οποίας η f αυξάνει γρηγορότερα Παράδειγμα: 1 Να βρεθεί η Να βρεθεί η f f εάν εάν f( y, ) 100 y = f( y, ) = eln( + y + 1) 34 Γεωμετρική Ερμηνεία Μερικών Παραγώγων Έστω η συνάρτηση f : A περιγράφει μια επιφάνεια S στον χώρο δύο μεταβλητών και ( 0, y A Η εξίσωση z= f( y, ) γενικά z= g ( ) = f( y, ) είναι μια 3 Η γραφική παράσταση 0 καμπύλη C που είναι η τομή της επιφάνειας S με το επίπεδο y = y0 Σχήμα 17 Γραφική παράσταση της z= f( y, ) στο επίπεδο y = y0 Σελίδα 13

14 Από τις συναρτήσεις μιας μεταβλητής η παράγωγος της g, η g ( 0 ), ισούται με την κλίση της f εφαπτομένης στης καμπύλης C στο σημείο ( 0, y0, f( 0, y ) Έτσι η μερική παράγωγος ( 0, y ισούται με τον ρυθμό μεταβολής ανά μονάδα μήκους της συνάρτησης g στο 0 35 Μερικές Παράγωγοι υψηλότερης τάξης Μπορούμε να ορίσουμε μερικές παραγώγους ανώτερης τάξης Για παράδειγμα παραγωγίζουμε εκ νέου τις μερικές παραγώγους είτε ως προς είτε ως προς y Δηλαδή οι μερικές παράγωγοι δεύτερης τάξης είναι οι εξής: f = f f, y = f yy f, y = f y f, = y f y Οι δύο τελευταίες λέγονται μικτές μερικές παράγωγοι Παράδειγμα: Βρείτε όλες τις μερικές παραγώγους δευτέρας τάξης της συνάρτησης f (, y) = y + ( + y) f (, ) ( ) y = y+ + y f( y, ) = + 4( + y) y f (, ) y= fyy ( y=, ) 8 fy ( y, ) = 5 f (, ) 5 y y= Θεώρημα: Εάν η f( y, ) και οι μερικές παράγωγοι f, f y, f y, f y ορίζονται σε μια περιοχή του σημείου ( 0, y και είναι όλες συνεχείς στο ( 0, y, τότε fy ( 0, y = fy ( 0, y Η μήτρα όλων των μερικών παραγώγων δεύτερης τάξης στο σημείο ( 0, y ονομάζεται Εσσιανή μήτρα της f στο ( 0, y f fy H f ( 0, y = και εάν οι μερικές παράγωγοι είναι συνεχείς τότε είναι συμμετρική μήτρα fy fyy Σελίδα 14

15 36 Ολικό Διαφορικό Αν για την συνάρτηση u= f( y, ) υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι σε κάποια περιοχή του ( 0, y και οι f (, ) 0 y 0 και fy ( 0, y είναι συνεχείς στο ( 0, y, τότε λέμε ότι η u είναι διαφορίσιμη στο σημείο ( 0, y και με du συμβολίζουμε το ολικό διαφορικό τηςu : df = f (, y ) d + f (, y ) dy 0 0 y 0 0 Μετράει τη μεταβολή στην εξαρτημένη μεταβλητή που επιφέρει μια μικρή μεταβολή σε κάθε μια από τις ανεξάρτητες μεταβλητές Το διαφορικό ης τάξης θα είναι: d f = d ( df ) = d ( f( 0, y d + f y( 0, y dy) ( (, ) ) ( (, ) ) = d f y d + d f y dy = f d + f ddy + f dy 0 0 y 0 0 y yy Παράδειγμα: Να βρεθεί το ολικό διαφορικό της u = ey Λύση: du e y d e dy = + Πρόταση: (Αν η f είναι παραγωγίσιμη τότε είναι συνεχής) Έστω ( 0, y Τότε η f είναι συνεχής στο ( 0, y f : A παραγωγίσιμη στο Θεώρημα: Έστω f : A Ας υποθέσουμε ότι οι μερικές παράγωγοι f, f y υπάρχουν και είναι συνεχείς σε μια περιοχή του σημείου ( 0, y Τότε η f είναι παραγωγίσιμη στο ( 0, y Το αντίστροφο δεν ισχύει Παρατήρηση: Έστω f : A της f η ύπαρξη των μερικών παραγώγων μιας συνάρτησης στο ( 0, y δεν συνεπάγεται την συνέχεια της συνάρτησης f στο ( 0, y Παράδειγμα: 1 αν y 0 f( y, ) = + y αν y = 0 f (0, = f (0, = 1 αλλά η f δεν είναι συνεχής στο (0, y Σελίδα 15

16 37 Κανόνας Αλυσιδωτής Παραγώγισης Αν u= f( y, ) είναι παραγωγίσιμη και = t (), y= yt () παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τότε u u d u dy = + t dt y dt n ( ) n n+ 1 dy d dy d d = = n = = n 1 d d d dy n dy n Παράδειγμα: u y = 3 + 4, όπου 4 = 3t, y t 1 = +, τότε: u u d u dy = + = + = ( ) + ( + ) t dt y dt t 8y 6 3t 1t 8 t 1 38 Παραγώγιση Πεπλεγμένης Συνάρτησης Έστω η συνάρτηση f( y=, ) 0 σε πεπλεγμένη μορφή Το ολικό διαφορικό της είναι f (, y) d + f (, y) dy = 0 άρα y dy d f f = y Παράδειγμα: y = 4 dy 15 = d 4y Έστω η συνάρτηση f( yu,, ) = 0 σε πεπλεγμένη μορφή u = f f u Παράδειγμα: Έστω η πεπλεγμένη συνάρτηση + y + yu + u = 0 u f + y = =, f y+ u u u f y + u = = y f y+ u u Σελίδα 16

17 39 Εφαρμογές των Μερικών Παραγώγων 391 Γραμμική Προσέγγιση της f( y, ) κοντά στο ( 0, y Αν η f( y, ) καθώς και οι μερικές της παράγωγοι, πρώτης και δευτέρας τάξεως, είναι συνεχείς σε μια περιοχή του σημείου ( 0, y : f(, y) ~ f(, y ) + f (, y )( ) + f (, y )( y y ) y Παράδειγμα: Να βρεθεί η γραμμική προσέγγιση της 1 f( y, ) = 1 + y κοντά στο σημείο (,1) Λύση: f( y, ) f(,1) + f(,1)( ) + f(,1)( y 1) 3 y f( y, ) y Σχήμα 18 Γραφική παράσταση της f( y, ) και η γραμμική προσέγγισή της στο σημείο (,1) 39 Μέγιστα, Ελάχιστα και Σαγματικά Σημεία Θεώρημα: Αν ( 0, y είναι ένα σημείο της συνάρτησης f( y, ) στο οποίο η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη, f( 0, y = 0, fy( 0, y = 0 και υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι δευτέρας τάξης, συνεχείς σε μία περιοχή του σημείου ( 0, y, τότε: H1 = f (, ) 0 y0 H f ( 0, y fy ( 0, y = f (, y ) f (, y ) y 0 0 yy 0 0 Σελίδα 17

18 Η H ονομάζεται Εσσιανή (Hessian) ορίζουσα της f Εσσιανή μήτρα είναι η τετραγωνική μήτρα όλων των μερικών παραγώγων ης τάξης Αν H >0 και H 1 > 0 τότε το ( 0, y είναι τοπικό ελάχιστο Αν H >0 και H 1 < 0 τότε το ( 0, y είναι τοπικό μέγιστο Αν H <0 τότε το ( 0, y δεν είναι σημείο τοπικού ακρότατου, είναι σαγματικό σημείο Αν H =0, τότε δεν μπορούμε να αποφανθούμε Αν f( y, ) είναι συνεχής, τότε τα ακρότατα της μπορούν να υπάρξουν μόνο σε: 1 Συνοριακά σημεία του πεδίου ορισμού της Εσωτερικά σημεία, στα οποία f = f = 0 3 Σημεία στα οποία η f ή f y δεν υπάρχουν y Παράδειγμα: f (, y) 4 y y = + + f ( y, ) = 8+ y f ( y, ) = + y 8 + y = 0 = 0, y = 0, άρα το (0, είναι κρίσιμο σημείο + y = 0 H1 = f (0, > 0 H = f (0, fy (0, f (0, f (0, = = > y Άρα στο (0, έχω τοπικό ελάχιστο yy Σχήμα 19 Γραφική παράσταση της f (, y) 4 y y = + + Σελίδα 18

19 Παράδειγμα: f( y, ) 3 y 3 = + Σχήμα 0 Γραφική παράσταση της f( y, ) 3 y 3 = + Στο (0, έχει (συμπληρώστε καταλλήλως) Στο (-, έχει (συμπληρώστε καταλλήλως) Παράδειγμα: f( y, ) 3 y 3 = + Σχήμα 1 Γραφική παράσταση της f( y, ) 3 y 3 = + Στο (0, έχει (συμπληρώστε καταλλήλως) Παράδειγμα: f( y, ) = y Σχήμα Γραφική παράσταση της f( y, ) = y Σελίδα 19

20 Παράδειγμα: Τα συνολικά κόστη μιας επιχείρησης συνδέονται με το εργατικό δυναμικό (L) και τον κεφαλαιακό εξοπλισμό (K) με την συνάρτηση: TC = 10L + 10K 5L 50K 5LK Πότε ελαχιστοποιείται το TC; (Απάντηση: Κ=3, L=) Γενικά: n f 1,,, n Η Εσσιανή μήτρα της f στο θα είναι f11 f1 f1 n f1 f fn = Επίσης μπορούμε να ορίσουμε τις υπομήτρες: H 1 = f11, fn 1 fn fnn Έστω η συνάρτηση ( ) ( ) H H f 11 1 = f1 f f, Αν ( ,,, n ) f11 f1 f13 H3 = f1 f f3, f31 f3 f 33 είναι ένα σημείο της συνάρτησης ( ) f 1,,, n στο οποίο η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη και f ( ) ( ) ( ) 1 1 n f 1 n f 3 1 n f ( ,,, n ) ( 0,0,, περιοχή του σημείου ( ,,, n ), τότε:,,, = 0,,,, = 0,,,, = 0 (συνοπτικά = ) και υπάρχουν οι μερικές παράγωγοι δευτέρας τάξης, συνεχείς σε μία Αν Hk ( ) >0, 1 k n, τότε στο έχουμε τοπικό ελάχιστο k Αν ( ) H ( ) μέγιστο Αν H k 1 > 0, 1 k n, (δηλ H 1 < 0, H > 0, ) τότε στο έχουμε τοπικό k <0 για κάποιο k άρτιο στο δεν έχουμε σημείο τοπικού ακρότατου, αλλά σαγματικό σημείο Παράδειγμα: 3 f( yz,, ) y z 3 = + + Στο (1,0, έχουμε τοπικό ελάχιστο και στο (-1,0, σαγματικό σημείο Σελίδα 0

21 4 Θεώρημα: Πεπλεγμένης Συνάρτησης (Implicit Function Theorem) Έστω y = f ( ) μια συνεχής συνάρτηση με συνεχή πρώτη παράγωγο και ( ) 1 να λύσουμε ως προς, δηλαδή f ( y) Θεώρημα: Έστω f : = κοντά στο 0, και μάλιστα ( f ) ( y) f 0 0, τότε μπορούμε = f 1 1 n + 1 με συνέχεις μερικές παραγώγους και έστω ( 0, ( ) n z, 0 και z0 f με f ( 0, z = 0, και ( 0, z 0, τότε υπάρχει μια μπάλα U, που περιέχει το 0 και μια περιοχή του z n z ώστε να υπάρχει μοναδική συνάρτηση z= g ( ) ορισμένη για U και z V η οποία ικανοποιεί την f( g, ( )) = 0 Παράδειγμα: Έστω η εξίσωση : + z 1= 0, εδώ f( z, ) = + z 1 f z ( z), = z f z και ( z ), 0 για κάθε σημείο με z0 1 0 ορίζεται μονοσήμαντα η z = 1 αν z > 0 και z = 1 αν z < 0 + = και z0 0 σε αυτά τα σημεία Σχήμα 3 Γραφική απεικόνιση των συναρτήσεων z = 1 και z = 1 Σελίδα 1

22 41 Γενικό θεώρημα Πεπλεγμένων Συναρτήσεων Έστω ( n m) ( ) f1 1,,,, z1, z,, z = 0 f( 1,,, n, z1, z,, zm ) = 0, ένα σύνολο m εξισώσεων (1) fm( ( 1,,, n, z1, z,, zm) ) = 0 f1 f1 f1 z1 z z m f f f Η μήτρα J = z1 z zm fn fn fm z1 z z m ορίζουσα ονομάζεται Ιακωβιανή μήτρα και η ορίζουσα J Ιακωβιανή Θεώρημα: Αν η Ιακωβιανή ορίζουσα 0 εξισώσεων (1) ορίζει μονοσήμαντα τις συναρτήσεις : (,,, ) z = g, i= 1,, m i i 1 n Παράδειγμα: Έστω το σύστημα J, τότε κοντά στο σημείο (, ) z + ywz = z 3 4 z, w κοντά στο σημείο (1,1,1,1) και να υπολογίσετε Λύση: n m 0 z0 το σύνολο Να ελέγξετε αν το σύστημα είναι επιλύσιμο ως προς + y w = z και Θα ελέγξουμε αν το σύστημα μπορεί να λυθεί ως προς z, w w Ορίζουμε ( ) ( ) f1 y z w = z + ywz f y z w = z + y w,,, 3 4,,, f1 f1 z w + yzw yz J = = 3 f f 3z 4yw z w 3 1 J ( 1,1,1,1) = = 9 0 άρα το σύστημα λύνετε μονοσήμαντα ως προς z, w: 3 4 z = (με εφαρμογή του κανόνα της αλυσίδας) w = Σελίδα

23 4 Θεώρημα της αντίστροφης απεικόνισης Έστω το σύστημα (,,, n ) (,,, ) f1 1 = y1 f 1 n = y fn( 1,,, n) = yn Θέλουμε να εκφράσουμε τις,,, σαν συνάρτηση των y 1 n 1, y,, y n n Θεώρημα: Έστω U ανοιχτό και f1, f,, fn : U με συνεχείς μερικές παραγώγους Αν η Ιακωβιανή ορίζουσα 0 μονοσήμαντα ως προς,,, 1 n J, τότε κοντά στο σημείο (, ) n 0 y0 y y οι εξισώσεις () λύνονται Παράδειγμα: Έστω το σύστημα ως προς, y y f1 ( y, ) = Να ελέγξετε αν το σύστημα είναι επιλύσιμο f ( y, ) = sin + cos y Λύση: f f y 4y 3 y sin y 4 4 4y J = = = ( y 3 ) cos f f y cos sin y 4 4 To σύστημα μπορεί να λυθεί κοντά στα σημεία για τα οποία ( ) π π Πχ 0 =, y0 = 3 sin y 4y J 0 y 3 cos 0 Σελίδα 3

24 Ασκήσεις (κανόνας αλυσιδωτής παραγώγισης και παραγώγιση πεπλεγμένης συνάρτησης) : w w 1 Να γράψετε τον τύπο της αλυσιδωτής παραγώγισης και για w= g( y, ), = huv (, ), u v y= kuv (, ) Να γράψετε τον τύπο της αλυσιδωτής παραγώγισης dz για z= f( uvw,, ), u= gt (), v= ht () dt και w= kt () w w 3 Να γράψετε τον τύπο της αλυσιδωτής παραγώγισης και για w= hyz (,, ), u v = f( uv, ), y= guv (, ) και z= kuv (, ) 3 3 z 4 Αν z y + yz + y = 0 να βρείτε τα και z y z 5 Αν sin( + y) + sin( y+ z) + sin( + z) = 0 να βρείτε τα και z y Σελίδα 4

25 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 100 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Οικονομικό Πανεπιστήμιον Αθηνών, Ανδριανός Ε Τσεκρέκος, 015 Ανδριανός Ε Τσεκρέκος «Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα» Έκδοση: 10 Αθήνα 015 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 40 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων πχ φωτογραφίες, διαγράμματα κλπ, τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων» [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (πχ διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

26 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους Σελίδα 6

27 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σελίδα 7