Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Transcript

1 Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Πραγματικές Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών (μέρος 2) Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

2 Σελίδα 2

3 1 Σκοποί ενότητας 4 2 Περιεχόμενα ενότητας 4 3 Μέγιστα και Ελάχιστα με Περιορισμό 5 4 Βελτιστοποίηση με δύο Περιορισμούς 10 5 Μελέτη Ακρότατων με χρήση του H/Y Με χρήση του Maple Με χρήση Λογιστικού Φύλου (Ecel) 16 6 Ομογενείς Συναρτήσεις 17 7 Μερικές Ελαστικότητες 18 Σελίδα 3

4 1 Σκοποί ενότητας Παρουσιάζονται θέματα Διαφορικού Λογισμού και συγκεκριμένα οι πραγματικές συναρτήσεις πολλών μεταβλητών (μέρος 2) που είναι απαραίτητα για τον χρηματοοικονομικό και λογιστικό αναλυτή 2 Περιεχόμενα ενότητας Μέγιστα και Ελάχιστα με Περιορισμό, Βελτιστοποίηση με δύο Περιορισμούς, Μελέτη Ακρότατων με χρήση του H/Y, Με χρήση του Maple, Με χρήση Λογιστικού Φύλου (Ecel), Ομογενείς Συναρτήσεις, Μερικές Ελαστικότητες Σελίδα 4

5 3 Μέγιστα και Ελάχιστα με Περιορισμό Για να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης f( y, ) υπό την συνθήκη gy (, ) = c, αρχικά κατασκευάζουμε την συνάρτηση Lagrange Ly (,, λ) f( y, ) λ ( c gy (, )) ύπαρξη κρίσιμων σημείων για την L = + και εξετάζουμε την Η μήτρα Κριτήριο: 0 g g y H = g L L y g L L y y yy ονομάζεται μήτρα της περιορισμένης Εσσιανής Αν H(, y ) > 0, τότε το (, ) 0 0 συνθήκη gy (, ) = c y είναι σημείο τοπικού μεγίστου για την f( y, ) υπό την 0 0 Αν H(, y ) < 0, τότε το (, ) 0 0 συνθήκη gy (, ) Αν ( ) 0 0 = c y είναι σημείο τοπικού ελαχίστου για την f( y, ) υπό την 0 0 H, y = 0, τότε το κριτήριο δεν οδηγεί σε συμπέρασμα Παράδειγμα: Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης + y = 1 f( y, ) y = + υπό την συνθήκη ( ) Λύση: Ορίζουμε την συνάρτηση Ly (,, λ) y λ 1 ( y) Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους 1ης τάξης: = L (,, ) 2 yλ = λ, L( y,, λ) = 2y λ, L( y,, λ ) = y+ 1 λ y Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία που προκύπτουν από την λύση του συστήματος των μερικών παραγώγων 1 = L ( y,, λ) = 0 2 λ = 0 2 λ = 0 2 λ = 0 2 Ly ( y,, λ) = 0 2y λ = y 2λ = 0 2 2λ = 0 λ = 1 Lλ (, y, λ) 0 y 1 0 y 1 y 1 = + = + = + = 1 y = 2 Υπολογίζουμε τις: L (,, ) 2 yλ = L (,, ) 0, y yλ = L (,, ) 2, yy yλ = L (,, ) 0, y yλ = g = 1 και g = 1 y Σελίδα 5

6 Η Εσσιανή περιορισμένη ορίζουσα είναι: 0 g g y H = g L L = = 4< 0 y g L L y y yy Άρα στο = y = έχω ελάχιστο Σχήμα 1 Γραφική παράσταση της f( y, ) y = + και της συνθήκης y 1 + = (όψη) Σχήμα 2 Γραφική παράσταση της f( y, ) y = + και της συνθήκης y 1 + = (κάτοψη) Παράδειγμα: Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f( y, ) y + = = y υπό την συνθήκη Λύση: Ορίζουμε την συνάρτηση y y L(, y, λ) = y + λ 1 + = y + λ λ λ Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους 1ης τάξης: Σελίδα 6

7 2λ L ( y,, λ ) = y 8, Ly ( y,, λ) = λy, (,, ) 1 y Lλ yλ = 8 2 Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία που προκύπτουν από την λύση του συστήματος των μερικών παραγώγων 2λ λ λ y = 0 y = y = λ y L ( y,, λ) = Ly (, y, λ) = 0 λy = 0 = λy = λy 2 Lλ ( y,, λ) 0 y y = 1 = 0 1 = 0 λ ( λ y) 4 1 = λ y 1 = 0 4 = λ y y = 0 ή λ = ± 2 2 λ = λ y 2 ( λ y) 4 1 y = 0 1 = , άρα (,y)=(0,0) το οποίο δεν ανήκει στην έλλειψη, οπότε y 0 λ = ± ( 2,1 ), ( 2, 1 ) αντικαθιστώντας έχουμε και 2 ± ± (,, ) λ L yλ =, L (,, ) 1 y yλ = L (,, ), yy yλ = λ g =, gy 4 = y Η Εσσιανή ορίζουσα είναι: 0 y 0 g 4 gy λ H = g L Ly = 1 = y + λ + λy gy Ly Lyy y 1 λ Για το σημείο: Για ( 2,1) και λ=2 έχουμε: H = 2> 0, άρα έχω μέγιστο Για ( 2,1) και λ=2 έχουμε: H = 2> 0, άρα έχω μέγιστο Για ( 2,1) Για ( 2,1) και λ=-2 έχουμε: H = 2< 0, άρα έχω ελάχιστο και λ=-2 έχουμε: H = 2< 0, άρα έχω ελάχιστο Σελίδα 7

8 Σχήμα 3 Γραφική παράσταση της f( y, ) (κάτοψη) = y, της συνθήκης y + = 1 και των ακρότατων 8 2 Παράδειγμα: Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης 1 3 f y= y + υπό την (, ) συνθήκη + y = 1 Λύση: Σχήμα 4 Λύση του προβλήματος με χρήση του Mathematica Σχήμα 5 Γραφική παράσταση της 1 3 f y= y + και της συνθήκης (, ) y = 1 (όψη) Σελίδα 8

9 Σχήμα 6 Γραφική παράσταση της (κάτοψη) 1 3 f y= y + και της συνθήκης (, ) y = 1 Σελίδα 9

10 4 Βελτιστοποίηση με δύο Περιορισμούς Για να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης f( yz,, ) υπό τις συνθήκες g1( yz,, ) = c1 και g( yz,, ) = c Αρχικά κατασκευάζουμε την συνάρτηση Lagrange ( ) ( ) Lyz (,,, λ, λ ) = f( y, ) + λ c g( yz,, ) + λ c g( yz,, ) και εξετάζουμε την ύπαρξη κρίσιμων σημείων για την L Η μήτρα H 0 0 g g g 0 0 g g g g g L L L y g g L L L y yy 1 1y 1z 2 2y 2z 1 2 z = 1y 2y yz g1z g2z Lz Lzy L zz ονομάζεται μήτρα της περιορισμένης Εσσιανής Κριτήριο: Αν H( 0, y0, z 0) < 0, τότε στο ( 0, 0, 0) Αν H( 0, y0, z 0) > 0, τότε στο ( 0, 0, 0) Αν (, ) y z έχουμε σημείο τοπικού μεγίστου y z έχουμε σημείο τοπικού ελαχίστου H y =, τότε το κριτήριο δεν οδηγεί σε συμπέρασμα Παράδειγμα: Να βρεθούν τα ακρότατα της + y = 1 f( yz,, ) y z 2 = + + με τις συνθήκες y z = και Κατασκευάζουμε την συνάρτηση Lagrange: 2 L(, y, z, λ) = + y + z + λ 1 + y+ z + λ 1 + y ( ( )) ( ) 1 2 Υπολογίζουμε τις μερικές παραγώγους 1ης τάξης: L (,,,, ) 2 yzλ λ = λ λ λ ( ) L( yz,,, λ, λ ) = 2y λ λ L( yz,,, λ, λ ) = 2z λ, y ,, z L ( yz,,, λ, λ ) = 1 + y+ z ( ) L ( yz,,, λ, λ ) = 1 ( + y), λ Βρίσκουμε τα κρίσιμα σημεία που προκύπτουν από την λύση του συστήματος των μερικών παραγώγων L ( yz,,, λ1, λ2) = 0 2 λ1 λ2 = 0 = 12 Ly ( yz,,, λ1, λ2) 0 2y λ1 λ2 0 = = y = 12 Lz ( yz,,, λ1, λ2) = 0 2z λ1 = 0 z= 0 Lλ ( yz,,, λ ( ) 1 1, λ2) = 0 1 y z 0 λ1 = = Lλ ( yz,,, λ ( ) , λ2) = y = 0 λ = Σελίδα 10

11 Η Εσσιανή ορίζουσα είναι: H g g g 1 1y 1z g g g 2 2y 2z g g L L L y 1 2 z = = = 4> 0 g g L L L y yy 1y 2y yz g1z g2z Lz Lzy L zz ( yz,, ) =,,0 Συνεπώς, έχουμε σημείο τοπικού ελαχίστου στο Εναλλακτικά, μπορούμε να επιλύσουμε το πρόβλημα με τη χρήση Ηλεκτρονικού Υπολογιστή (Η/Υ) Σχήμα 7 Επίλυση μέσω Mathematica Η τελεία αντιστοιχεί στο σημείο τοπικού ελαχίστου Σελίδα 11

12 5 Μέγιστα και Ελάχιστα με m Περιορισμούς Για να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης f( 1, 2,, n ) υπό τις συνθήκες g1( 1, 2,, n ) = c1, g2( 1, 2,, n ) = c2,, g ( 1, 2,, ) = c m n m Αρχικά κατασκευάζουμε την συνάρτηση Lagrange ( ) ( ) L(,,,, λ, λ,, λ ) = f(,,, ) + λ c g (,,, ) + + λ c g (,,, ) 1 2 n 1 2 m 1 2 n n m m m 1 2 n και εξετάζουμε την ύπαρξη κρίσιμων σημείων για την L Το κριτήριο πρώτης τάξης δίνει το ακόλουθο (n+m)(n+m) σύστημα εξισώσεων: L L = 0, i = 1,, n και = 0, j = 1,, m λ i j Το κριτήριο δεύτερης τάξης αφορά την πλαισιωμένη Εσσιανή μήτρα διαστάσεων (n+m)(n+m): g1 g 1 1 g 2 1 n g2 g 1 2 g 2 2n gm g 1 m g 2 mn H = g1 g 1 2 g 1 m L L L n g1 g g 2 m L L L n g1 g n 2 g n m L L L n n 1 n 1 n n Κριτήριο: Αν H είναι η ορίζουσα της πλαισιωμένης Εσσιανής μήτρας και οι διαδοχικές κύριες ελάσσονες ορίζουσές της H m+ 1, H m+ 2,, H m+ n= H έχουν (στα σημεία στα οποία ικανοποιείται το κριτήριο πρώτης τάξης): 1 Εναλλασσόμενα πρόσημα, με το πρόσημο της πρώτης να είναι ίδιο με το πρόσημο του ( ) 1 m+1, τότε έχω τοπικό μέγιστο 2 Όλες το ίδιο πρόσημο με αυτό του ( ) 1 m, τότε έχω τοπικό ελάχιστο Σελίδα 12

13 6 Μελέτη Ακρότατων με χρήση του H/Y 61 Με χρήση του Maple Παράδειγμα: Να βρεθούν τα ακρότατα της συνάρτησης f( y, ) y + = Ορίζουμε την συνάρτηση f(,y) ( f: ( y, ) y) >f:= (, y)-> * y; = : = y υπό την συνθήκη Ορίζουμε τον περιορισμό g: = 1 y 8 2 : >g:=1-(^2/8+y^2/2); Ορίζουμε την συνάρτηση του Lagrange L: = y + λ 1 y 8 2 : >L:= f(, y)+λ*(g); Ορίζουμε τις αναγκαίες συνθήκες ( eq1: = y λ= 0, eq 2 : = λ y = 0, eq 3: = 1 y = 0 ): >eq1:=diff (L, ) =0; >eq2:=diff (L, y) =0; >eq3:=diff (L, λ) =0; Λύνουμε το σύστημα { = 2, y = 1, l = 2 },{ = 2, y = 1, l = 2 }, { = 2, y = 1, l = 2 },{ = 2, y = 1, l = 2} soln : = : >soln:= [solve({eq1,eq2,eq3},{, y, λ})]; Ορίζουμε την περιορισμένη Εσσιανή 1 0 y H : = a 1 : 4 4 y 1 a H:=<<0,diff(g,),diff(g,y)> <diff(g,),diff(l,$2),diff(l,,y)> <diff(g,y),diff(l,,y)>,diff(l,y$2)>; >with(linear Algebra): Υπολογίζουμε την ορίζουσα: Σελίδα 13

14 >H:=Determinant(H); H : = y + a + ay Υπολογίζουμε την ορίζουσα στα κρίσιμα σημεία: >subs ({=2, y=1, a=2}, H); >subs ({=-2, y=-1, a=2}, H); >subs ({=-2, y=1, a=-2}, H); >subs ({=2, y=-1, a=-2}, H); Γενικά: Όνομα συνάρτησης:=(μεταβλητή1, μεταβλητή2,)->τύπος Μήτρα :=<<στήλη> <στήλη> στήλη>> Diff(L,, y)= L ( yλ,, ) y Solve (eqns, vars) = Λύνει μια εξίσωση ή ένα σύστημα εξισώσεων Determinant(μήτρα) =ορίζουσα Subs (=α, έκφραση) = Κάνει αντικατάσταση σε μια έκφραση Παράδειγμα: Να βρεθούν τα ακρότατα της y+ z = 0 f( yz,, ) 2y z = + με τις συνθήκες 2 y 0 = και Λύση: > f:=(,y,z)->^2+2*y-z^2; f: = ( yz,, ) + 2y z > g1:=2*-y; g1: = 2 y > g2:=y+z; g2: = y+ z > L:=f(,y,z)+a1*(g1)+a2*g2; ( ) ( ) L: = + 2y z + a12 y + a2 y+ z >eq1:=diff (L, ) =0; eq1: = 2+ 2a1 = 0 >eq2:=diff (L, y) =0; eq 2 : = 2 a1 + a2 = 0 Σελίδα 14

15 >eq3:=diff (L, z) =0; eq 3: = 2z+ a2 = 0 >eq4:=diff (L, a1) =0; eq 4 : = 2 y = 0 >eq5:=diff (L, a2) =0; eq5: = y+ z = 0 > soln:=[solve({eq1,eq2,eq3,eq4,eq5},{,y,z,a1,a2})]; soln : = a1 =, a2 =, =, y =, z = >H:=<<0,0,diff(g1,),diff(g1,y),diff(g1,z)> <0,0,diff(g2,),diff(g2,y),diff(g2,z)> <diff(g1,),diff(g2,),diff(l, $2),diff(L,y,),diff(L,z,)> <diff(g1,y),diff(g2,y),diff(l,,y),diff(l,y$2),diff(l,z,y)> <diff(g1,z),diff(g2,z),diff (L,,z),diff(L,y,z),diff(L,z$2)>>; H : = > with(linearalgebra): > H:=Determinant(H) H : = H,, < 0, τότε στο ,, έχουμε σημείο τοπικού μεγίστου Σελίδα 15

16 62 Με χρήση Λογιστικού Φύλου (Ecel) Για την επίλυση προβλημάτων βελτιστοποίησης το Ecel παρέχει το πρόσθετο πρόγραμμα Solver Το πρόγραμμα αυτό πρέπει να ενεργοποιηθεί πρώτα από τα πρόσθετα (Add-in) Στην συνέχεια επιλέγουμε (Tools->Solver για το Office 2003 ή Data-> Solver για το Office 2007) Σχήμα 8 Απόσπασμα από το Λογιστικό Φύλο (Ecel) κατά τη χρήση του Solver Σελίδα 16

17 7 Ομογενείς Συναρτήσεις n Ορισμός: Μια συνάρτηση f : D R ορισμένη στο ανοικτό D Η συνάρτηση f λέγεται p ομογενής (Homogeneous) βαθμού p αν και μόνο αν f ( λ, λ,, λ ) λ f (,,, ) λ και (,,, ) n = 1 2 n 1 2 n 1 2 = για κάθε Θεώρημα (Euler): n Έστω μια συνάρτηση f : D R ομογενής βαθμού p με συνεχείς πρώτες μερικές n i i 1 2 n i= 1 παραγώγους, τότε: f = p f (,,, ) Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση ( ) 1 ου βαθμού f( yz,, ) = 3, f ( yz,, ) = 2, ( ) Πράγματι: f + yf + zf = 3 + 2y 4z y z y f yz,, = 3+ 2y 4zη συνάρτηση αυτή είναι γραμμική ομογενής f yz,, = 4 Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση ( ) z f y, = 2 + 4y η συνάρτηση αυτή είναι ομογενής 2 ου βαθμού (πράγματι f( λ, λy) 2( λ) 2 4( λy) λ 2 2 4λ 2 y 2 λ 2 ( y 2 ) λ 2 f( y, ) (, ) = 4, ( ) f y = + = + = + = ) f y, = 8y y Πράγματι: f yf 4 y 8y 4 8y 2 f (, y) + = + = + = y Παράδειγμα: Έστω η συνάρτηση ( ) 3 βαθμού (Πράγματι ( ) ( ) ( ) ( ) f y, = 2y 3yη συνάρτηση αυτή είναι ομογενής 4ου = = = λ 4 ( 2 2 y 3 y) λ 4 f (, y) f λ, λy 2 λ λy 3 λy λ 2λ λ y 3λ yλ 2 3 (, ) = 4 3, (, ) 4 9 f y y y f y = y y y = ) Πράγματι: f yf ( 4y 3y ) y ( 4 y 9y ) 4 y 3y 4 y 9y 4 f (, y) + = + = + = y n Σελίδα 17

18 8 Μερικές Ελαστικότητες Έστω y f ( ) ε i =,,, n 1 2 ( y) ( ) y ln i = = y ln i i Η ελαστικότητα σε ένα σημείο μετράει την ποσοστιαία μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής y όταν έχω μικρή ποσοστιαία μεταβολή της ανεξάρτητης μεταβλητής i (οι υπόλοιπες ανεξάρτητες μεταβλητές παραμένουν σταθερές) Παράδειγμα: Cobb-Douglas Συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas Q a b = AK L QKL,, μεταβλητές (ποσότητα παραγωγής, ποσότητα κεφαλαίου, ποσότητα εργατικού δυναμικού) και A> 0, 0 < ab, < 1 Οι μερικές παράγωγοι είναι: Q = aak a 1 L b Q K L = bak a L b 1 Μερικές Ελαστικότητες: ε K Q Q QK a 1 b K a 1 b K = = = aak L = aak L = a K KQ Q a b AK L K Q Q QL a b 1 L a b 1 L ε L = = = bak L = bak L = b L LQ Q a b AK L L Η συνάρτηση είναι ομογενής βαθμού a+b ( λ, λ ) ( λ ) a ( λ ) b λ a a λ b b λ a+ b ( a b ) λ a+ b (, ) Q K L = A K L = A K L = AK L = Q K L Το θεώρημα του Euler: 1 1 ( ) ( ) aak a L b K + bak a L b L = AK a L Σελίδα 18

19 Εφαρμογή: Αν 1 1 Q= 10K L Οι μερικές ελαστικότητες είναι: ε = 05 K ε = 05 L Θα βελτιστοποιήσουμε την συνάρτηση παραγωγής ως προς την συνθήκη: 4L+ 10K = 100 Η Λαγκρανζιανή συνάρτηση είναι: 1 1 ( ) L ( K, L, λ) = 10K L + λ 100 (4L+ 10 K) Αναγκαία Συνθήκη: 1 1 5L K 4λ = 0 L K = 0 λ = L L = 0 5LK 10λ = 0 L= 12,5 λ L = L K= K = 5 Η Εσσιανή περιορισμένη ορίζουσα είναι: H = 4 L K L K 5 5 g L K LK y H ( 125,5) > 0, άρα έχω μέγιστο Σελίδα 19

20 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 100 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Οικονομικό Πανεπιστήμιον Αθηνών, Ανδριανός Ε Τσεκρέκος, 2015 Ανδριανός Ε Τσεκρέκος «Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα» Έκδοση: 10 Αθήνα 2015 Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 40 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων πχ φωτογραφίες, διαγράμματα κλπ, τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων» [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (πχ διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων

21 το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους Σελίδα 21

22 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους Σελίδα 22