ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 2: Εντολές ελέγχου και επανάληψης

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 2: Εντολές ελέγχου και επανάληψης"

Transcript

1 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 2: Εντολές ελέγχου και επανάληψης Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών

2

3 Εντολές ελέγχου και επανάληψης 13 Μερικά χρήσιµα «εργαλεία»... για οποιεσδήποτε εκφράσεις Α και Β Σύνταξη Τι υπολογίζει AˆB ύψωση σε δύναµη sqrt(a) A abs(a) A floor(a) στρογγυλοποίηση πρός ceil(a) στρογγυλοποίηση πρός + round(a) στρογγυλοποίηση προς πλησιέστερο fix(a) στρογγυλοποίηση προς το 0 rem(a,b) A - B*fix(A/B) exp(a), log(a), log10(a), log2(a) e A, log A, log 10 A, log 2 A sin(a), cos(a), tan(a) sin A, cos A, tan A asin(a), acos(a), atan(a) arcsin A, arccos A, arctan A rand() τυχαίος αριθµός στο (0, 1) max(a,b), min(a,b) max (A, B) min (A, B) Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 13 Ακέραια διαίρεση και υπόλοιπα Εστω χρόνος (totalminutes) εκφρασµένος σε λεπτά. Να εκφραστεί σε ώρες (hours) και λεπτά (minutes). Παράδειγµα: 359 λεπτά είναι 5 ώρες και 59 λεπτά. Λύση στο MATLAB: hours = fix(totalminutes/60); minutes = rem(totalminutes, 60); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 14 Λογικά (boolean) δεδοµένα Για δεδοµένα µε 2 µόνο καταστάσεις (αληθές/ψευδές). Τιµές στο σύνολο {true, false} Στο MATLAB, κωδικοποιούνται εσωτερικά σαν ακέραοι. false είναι 0 (και 0 είναι false) true είναι 1 (αλλά και οποιαδήποτε µη µηδενική τιµή). disp(false); % εκτυπώνει 0 disp(true); % εκτυπώνει 1 Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 15 27

4 Λογικές (boolean) εκφράσεις Στην απλούστερη µορφή τους συγκρίσεις, που σχηµατίζονται από: αριθµητικές εκφράσεις, και τελεστές συσχέτισης: Στα µαθηµατικά: < > = Στο MATLAB: < <= > >= == = λογικούς (boolean) τελεστές. Παραδείγµατα: airtemperature > 30.0 f <= 212 divisor = 0 Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 16 Λογικές (boolean) πράξεις και τελεστές Σύζευξη (και) µε τελεστή && (διµελής) Αν η ϑερµοκρασία είναι κάτω απο 0 o C και ϐρέχει, τότε χιονίζει. ιάζευξη (ή) µε τελεστή (διµελής) Αν η οµάδα µου τερµατισει στις πρώτες ϑέσεις του πρωταθλήµατος ή κατακτήσει το κύπελλο, τότε ϑ αγωνιστεί του χρόνου στην Ευρώπη. Αρνηση (δεν) µε τελεστή (µονοµελής) Αν δεν είναι Σάββατο ή Κυριακή, τότε είναι εργάσιµη µέρα. Πίνακας αλήθειας: p q p p &&q p q true true false true true true false false true false true true false true false false false false Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 17 Σύνθετες λογικές εκφράσεις Παραδείγµατα: f>=flo && f<=fhi (2>3) 2>3 8*2-1 >= 15 8/2*2 == 8 Προτεραιότητα τελεστών: πρώτα οι αριθµητικοί τελεστές, µετά οι τελεστές συσχέτισης και η άρνηση και τέλος οι διµελείς λογικοί τελεστές. Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 17 α 28

5 Λανθασµένη χρήση των λογικών τελεστών x δεν ισούται µε 2 ή 3 Λάθος: x =2 x =3 Είναι πάντα true. Σωστό: (x==2 x==3) ή απλούστερα: x =2 && x =3 Προκύπτει από το νόµο του de Morgan: (p q) isod. p && q (p && q) isod. p q 0 x < 1 στο MATLAB γράφεται: 0 <= x && x < 1 Εκφράσεις της µορφής α x β, όπου κάποιος από τους τελεστές συσχέτισης γράφονται πάντα σαν: α x && x β Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 18 Κανόνας υπολογισµού λογικών εκφράσεων Ο υπολογισµός λογικών εκφράσεων σταµατάει τη στιγµή που προσδιορίζεται η τιµή τους (lazy evaluation). έκφραση1 && έκφραση2 Αν η έκφραση1 είναι false τότε δέν υπολογίζεται η έκφραση2. έκφραση1 έκφραση2 Αν η έκφραση1 είναι true τότε δέν υπολογίζεται η έκφραση2. Πρώτα συντάσσεται η απλούστερη από τις 2 εκφράσεις (y > 1) && (2*x*x-3*x+1 >= k*x*(x-1)+4*y) ή η έκφραση που δεν δηµιουργεί προβλήµατα (x = 0) && (y/x == 0) Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 19 Παράδειγµα: εύρεση δίσεκτων ετών Ενα έτος είναι δίσεκτο, άν: το έτος διαιρείται µε το 4 αλλά δεν διαιρείται µε το 100, ή το έτος διαιρείται µε το 400. π.χ δεν είναι δίσεκτο, 2000 είναι. Η αντίστοιχη boolean έκφραση του MATLAB για τη µεταβλητή year: (rem(year,4)==0&&rem(year,100) =0) (rem(year,400)==0) ή (rem(year,400)==0) (rem(year,4)==0&&rem(year,100) =0) Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 20 29

6 Εντολές ελέγχου και επανάληψης Αλλάζουν τη ϱοή εκτέλεσης των εντολών προγράµµατος. Χωρίς τη χρήση εντολών ελέγχου, η εκτέλεση είναι σειριακή. ΣΕΙΡΙΑΚΗ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΕΚΤΕΛΕΣΗ ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ for, while if Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 21 Εκτέλεση υπό συνθήκη: η εντολή if else true ΣΥΝΘΗΚΗ false T F if <λογική συνθήκη> <εντολές T> else <εντολές F> Οι <εντολές T> εκτελούνται όταν αληθεύει η <λογική συνθήκη>. ιαφορετικά εκτελούνται οι <εντολές F>. Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 22 30

7 Εκτέλεση υπό συνθήκη: η εντολή if Οταν δεν υπάρχει κλάδος <F>, παίρνει τη µορφή: ΣΥΝΘΗΚΗ false true if <λογική συνθήκη> <εντολές T> T Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 23 Παραδείγµατα Υπολόγισε την απόλυτη τιµή x του x και αποθήκευσε το αποτέλεσµα στη µεταβλητή abs % 1ος τρόπος ******************* if x >= 0, abs = x; if x < 0, abs = -x; % 2ος τρόπος ******************* if x >= 0 abs = x; else abs = -x; % 3ος τρόπος ******************* abs = x; if x < 0, abs = -x; Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 24 31

8 Παραδείγµατα (συνεχ.) % µέγιστο των x, y if x > y, max = x; else max = y; % έλεγχος διαίρεσης num/den if den == 0 disp( Division by 0 ); else disp(num/den) % αύξουσα διάταξη των x, y if x > y temp = x; x = y; y = temp; Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 25 ιάταξη 3 αριθµών Πρόβληµα ιάβασε 3 αριθµούς a, b και c και διάταξέ τους έτσι ώστε a b c. Ανάλυση Ενας µη προφανής (αλλά κοµψός) αλγόριθµος: 1. Εναλλαγή των a και b, αν χρειάζεται, έτσι ώστε a b. 2. Εναλλαγή των b και c, αν χρειάζεται, έτσι ώστε b c. (Τώρα η µεταβλητή c έχει την µεγαλύτερη τιµή, αλλά τα a, b δεν είναι κατ ανάγκη διατεταγµένα). 3. Εναλλαγή των a και b, αν χρειάζεται, έτσι ώστε a b. Παράδειγµα: Τι συµβαίνει για a = 3, b = 2, c = 1? Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 26 32

9 Προγραµµατιστικά ιδιώµατα µε λογικές εκφράσεις Για τις λογικές µεταβλητές isleapyear, iseven και τον ακέραιο n αντί της if isleapyear == true... προτιµάται η if isleapyear... αντί της προτιµάται η if rem(n,2) == 0 iseven = true; else iseven = false; iseven = (rem(n,2) == 0); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 27 Σύνθετα if if <συνθήκη_1> <εντολές_1> elseif <συνθήκη_2> <εντολές_2> elseif <συνθήκη_3> <εντολές_3>... else <εντολές_e> <συνθήκη_i>: boolean έκφραση. <εντολές_i>: εκτελούνται όταν η <συνθήκη_i> είναι true. <εντολές_e>: εκτελούνται όταν δεν αληθεύει καµµία <συνθήκη_i>. Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 28 Σύνθετα if (συνεχ.) n = input( Dwse akeraio ); if n > 0 disp( + ); elseif n == 0 disp(0); else disp( - ); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 29 33

10 Η εντολή while false ΣΥΝΘΗΚΗ true while <λογική συνθήκη> <εντολές S> Η S εκτέλεση των εντολών <S> επαναλαµβάνεται όσο αληθεύει η <ΛΣ> (λογική συνθήκη). Η τιµή (αληθής ή ψευδής) της <ΛΣ> πρέπει: να µπορεί να υπολογιστεί πριν την εκτέλεση της while (δηλ. η <ΛΣ> να είναι ορισµένη) να µεταβάλλεται µε κάποια από τις εντολές <S>, διαφορετικά η αληθεια της <ΛΣ> δεν ϑα αλλάξει. Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 30 υνάµεις του 2 N = input( N? ); v = 1; i = 0; while i <= N fprintf( %3g %5g\n, i, v); v = 2*v; i = i + 1; Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 31 34

11 Αθροισµα ψηφίων ακεραίου Για τον ακέραιο n: Εύρεση τελευταίου ψηφίου: rem(n,10) π.χ. rem(1985,10) 5. Αποκοπή τελευταίου ψηφίου: fix(n/10) π.χ. fix(1985/10) 198. n = input( Dwse akeraio ); fprintf( To athroisma twn yhfiwn tou %g einai, n); dsum = 0; while n > 0 dsum = dsum + rem(n, 10); n = fix(n/10); disp(dsum); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 32 Ατέρµονες επαναλήψεις Υπάρχει περίπτωση µια επαναληπτική εντολή να µην τερµατίζει. Παράδειγµα: while n >= 0 dsum = dsum + rem(n, 10); n = fix(n/10); Οταν εξαντληθούν όλα τα ψηφία, το n ϑα παίρνει διαρκώς την τιµή 0 και η παραπάνω while δεν τερµατίζει. Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 33 Αντιστροφή ψηφίων ακεραίου N = input( N? ); m = 0; while N = 0 m = 10*m + rem(n,10); N = fix(n / 10); disp(m); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 34 35

12 Μια άλλη εντολή επανάληψης Μετατροπή 7 ϑερµοκρασιών C σε ϐαθµούς F (µε χρήση της εντολής for). % Μετατρέπει 7 ϑερµοκρασίες C σε ϐαθµούς F % f, c - ϑερµοκρασίες F, C % m - µετρητής for m = 1:7, c = input( ϑερµοκρασία Celsius? ); f = (9/5)*c + 32; disp( ισοδύναµη ϑερµοκρασία Fahrenheit ); disp(f); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 35 Η εντολή for false µτβ = ΑΤ µτβ <= ΤΤ true S for <µτβ> = <ΑΤ >:<Β>:<ΤΤ >, <εντολές S> όπου <ΑΤ >: αρχική τιµή, <Β>: ϐήµα, <ΤΤ >: τελική τιµή. εν γίνεται καµµία επανάληψη όταν AT>TT & B>0 AT<TT & B<0 µτβ = µτβ + Β Για µοναδιαίο <Β>, η for γράφεται: for <µτβ> = <ΑΤ >:<ΤΤ >, <εντολές S> Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 36 36

13 Παραδείγµατα for for i = 1:10, disp(i); for j = 1:1:10, disp(j); for m = 2:3:10, disp(m); for odd = 1:2:100, disp(odd); for even = 0:2:100, disp(even); for nothing = 100:10:1, disp(nothing); for nada = 100:-500:100000, disp(nada); for countdown = 10:-1:1, disp(countdown); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 37 Παραδείγµατα for (συνεχ.) % υπολογισµός αθροίσµατος: N sum = 0; for i = 1:N sum = sum + i; disp(sum); % υπολογισµός γινοµένου: 1 * 2 * 3 *... * N prod = 1; for i = 1:N prod = prod*i; disp(prod); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 38 37

14 Αρµονικοί αριθµοί Ο n-οστός αρµονικός αριθµός: H n = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/ /n / / / Χρησιµοποιούνται συχνά στην ανάλυση αλγορίθµων n ιακριτό ανάλογο του λογαρίθµου: προσεγγίζουν το 1/x dx. 1 lim n H n log n = = γ (σταθ. Euler-Mascheroni) Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 39 Αρµονικοί αριθµοί % Harmonic numbers N = input( N? ); sum = 0; for i = 1:N sum = sum + 1/i; fprintf( H_%g = %g,, N, sum); fprintf( log(%g) = %g\n, N, log(n)); fprintf( Stathera Euler-M: %g\n, sum-log(n)); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 40 38

15 Σχέση for και while for <µτβ> = <ΑΤ >:<Β>:<ΤΤ >, <εντολές>; ισοδ. <µτβ> = <ΑΤ >; while <µτβ> <= <ΤΤ >, <εντολές>; <µτβ> = <µτβ> + <Β>; Η for προτιµάται όταν ο αριθµός των επαναλήψεων είναι γνωστός. Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 41 while αντί for Χρόνια για διπλασιασµό κεφάλαιου 1000, µε τόκο 5% ετησίως? my_money = 1000; years = 0; while my_money < 2000 my_money = my_money * 1.05; years = years + 1; disp(years); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 42 Επεξεργασία αγνώστου πλήθους δεδοµένων - I Το πλήθος των δεδοµένων δεν είναι σταθερό. Καταµέτρηση τους. Γενικός αλγόριθµος π.χ. αθροισµα αριθµών n = input( n? ); <Αρχική επεξεργασία> for i = 1:n < ιάβασε δεδοµένο> i> <Επεξεργασία δεδοµένου> i> <Τελική επεξεργασία> ΠΡΟΒΛΗΜΑ µε πολύ µεγάλες λίστες αριθµών. n = input( n? ); sum = 0; for i = 1:n value = input(? ); sum = sum + value; disp(sum); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 43 39

16 Επεξεργασία αγνώστου πλήθους δεδοµένων - II ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ: ανάγνωση και επεξεργασία δεδοµένων µεχρι να εισαχθεί κάποια ειδικό δεδοµένο (π.χ. 0 ή -1), που δεν είναι επεξεργάσιµο, απλώς σηµατοδοτεί το τέλος των δεδοµένων. Γενικός αλγόριθµος <Αρχική επεξεργασία> OfData = <Ειδική τιµή τέλους> < ιάβασε το πρώτο δεδοµένο> while value = OfData, <Επεξεργασία δεδοµένου> < ιάβασε το επόµενο δεδοµένο> <Τελική επεξεργασία> π.χ. γινόµενο αριθµών OfData = 0; prod = 1; value = input(? ); while value = OfData, prod = prod*value; value = input(? ); disp(prod); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 44 Επεξεργασία αγνώστου πλήθους δεδοµένων - III Οπως και στη II, αλλά µε χρήση της εντολής break. Γενικός αλγόριθµος OfData = <ειδική τιµή τέλους> while true < ιάβασε τιµή> if <τιµή>==ofdata break; <Επεξεργασία δεδοµένου> <Τελική επεξεργασία> Η break τερµατίζει βίαια τις επαναλήψεις των for, while που την εκτελούν. π.χ. γινόµενο αριθµών OfData = 0; prod = 1; while true value = input(? ); if value==ofdata break; prod = prod*value; disp(prod); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 45 Αθροισµα ϑετικών όρων λίστας Για λίστα αγνώστου πλήθους όρων (δεν περιλαµβάνει το 0). Χρειάζεται ο έλεγχος του προσήµου κάθε αριθµού στη λίστα. _of_data = 0; sum = 0; disp( Αθροισµα ϑετικών όρων λίστας ); disp( ωσε 0 για τερµατισµό ); value = input( Πρώτος όρος? ); while value = _of_data, if value > 0, sum = sum + value; value = input( Επόµενος όρος? ); disp(sum); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 46 40

17 for µέσα σε for Εκτύπωση κύκλου ακτίνας R. Παράδειγµα για R = 5: Εκτύπωση του N N πίνακα. Παράδειγµα για N = * * * * * * * *... * * * * * * * * *.. * * * * * * * * *.. * * * * * * * * *. * * * * * * * * * * *. * * * * * * * * *.. * * * * * * * * *.. * * * * * * * * *... * * * * * * * *..... * * * * * * * * * * *. * * * * * * * * * *.. * * * * * * * * *... * * * * * * * *.... * * * * * * *..... * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 47 Circle.m R = input( R? ); for i = -R:R for j = -R:R if i*i + j*j <= R*R fprintf( * ); else fprintf(. ); fprintf( \n ); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 48 Triangle.m N = input( N? ); for i = 1:N for j = 1:N if j < i fprintf(. ); else fprintf( * ); fprintf( \n ); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 49 41

18 Ασκηση Να γραφεί πρόγραµµα MATLAB που να εµφανίζει τον παρακάτω πίνακα πολλαπλασιασµού: Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 50 Αριθµοί Fibonacci Η ακολουθία 1, 2, 3, 5, 8, 13,... f n = f n 1 + f n 2, n > 2 µε f 1 = 1, f 2 = 2. Πρόγραµµα fibo.m που υπολογίζει τον n-οστό αρ. Fibonacci: % fibo.m n = input( n? ); if n == 1 f = 1; else g = 1; f = 2; for i = 3:n f = f + g; g = f - g; disp(f); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 51 Πρώτοι Αριθµοί Βασικό πρόβληµα στη Θεωρία Αριθµών είναι ο έλεγχος αν κάποιος ακέραιος είναι πρώτος. Ενας ακέραιος > 1 είναι πρώτος αν έχει ακριβώς δύο διαιρέτες: τη µονάδα και τον εαυτό του. Οι πρώτοι αριθµοί σηµαντικοί στην κρυπτογραφία (= µελέτη κωδίκων): στις ηλεκτρονικές επικοινωνίες, οι υπολογιστές χρησιµοποιούνται για κωδικοποίηση και αποκωδικοποίηση πολλές τεχνικές κωδικοποίησης ϐασίζονται στη ϑεωρία πρώτων αριθµών Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 52 42

19 Αλγόριθµος Π1: έλεγχος πρώτων αριθµών Είναι ο n πρώτος? Καταµέτρηση όλων των διαιρετών του n (χρειάζεται να υπολογισθούν). Αν είναι ακριβώς 2 τότε ο n είναι πρώτος. Οι πιθανοί διαιρέτες του n είναι n, άρα αρκεί να ελεγχθεί ποιοί από τους 1, 2,..., n είναι διαιρέτες του n. Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 53 Πρόγραµµα για τον αλγόριθµο Π1 % Ελέγχει αν ένας ακέραιος είναι πρώτος αριθµός % n - αριθµός για έλεγχο % num_div - πλήθος διαιρετών n = input( ώσε ακέραιο αριθµό? ); num_div = 0; % πλήθος διαιρετών for i = 1:n, if rem(n,i) == 0 num_div = num_div + 1; if num_div == 2, disp( Ο αριθµός είναι πρώτος ); else, disp( Ο αριθµός είναι σύνθετος ); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 54 Βελτίωση της αποτελεσµατικότητας του Π1: αλγόριθµος Π2 Ο Π1 δεν είναι πρακτικός για µεγάλους αριθµούς: ο ϕαίνεται οτι ΕΝ ειναι πρώτος στον έλεγχο µε το 2. Αρα ο αλγόριθµος µπορεί να τερµατίζει µόλις ϐρεθεί διαιρέτης > 1. Περιτεύει η εξέταση πιθανών διαιρετών που είναι άρτιοι και > 2: αν ο n δεν διαιρείται από το 2, τότε δεν διαιρείται από κανένα άρτιο. Αριθµοί > n δεν χρειάζεται να ελεγχθούν σαν πιθανοί διαιρέτες: Αν δ 1 δ 2 είναι δυο διαιρέτες του n τέτοιοι ώστε δ 1 δ 2 = n, τότε ένας από τους δ 1, δ 2 ϑα είναι οπωσδήποτε < n (απόδειξη µε απαγωγή σε άτοπο). Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 55 43

20 Πρόγραµµα για τον αλγόριθµο Π2 n = input( ώσε ακέραιο αριθµό? ); if rem(n,2) == 0, disp( σύνθετος ); return; for divisor = 3:2:sqrt(n) if rem(n, divisor) == 0 disp( σύνθετος ); return; disp( πρώτος ); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 56 Η εντολή return Τερµατίζει άµεσα την εκτέλεση ενός MATLAB script και ο έλεγχος επιστρέφει στο περιβάλλον του MATLAB. Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 56 α Προβλήµατα µε τον αλγόριθµο Π2 Λάθος για n = 1 (όχι πρώτος) και n = 2 (ο µόνος πρώτος άρτιος) Ο Π2 µπορεί να είναι αργότερος από τον Π1 γιατί υπολογίζει την sqrt(n) σε κάθε επανάληψη: for divisor=3:2:sqrt(n) Αντιµετώπιση: limit = sqrt(n); for divisor=3:2:limit Ο Π2 µπορεί να δώσει λάθος αποτελέσµατα ανάλογα µε τον υπολογιστή. Π.χ: για το 49 µε διαιρέτες τους 1, 7, 49, η sqrt(49) µπορεί να υπολογίζεται σαν σε κάποιο µηχάνηµα. Το 7 δεν ϑα ελεγχθεί σαν πιθανός διαιρέτης και ο Π2 ϑα δώσει οτι ο 49 είναι πρώτος. Αρα χρειάζεται ελεγχος µέχρι sqrt(n) + 1. Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 57 44

21 Μέθοδος για τον αλγόριθµο Π3 n = input( ώσε ακέραιο αριθµό? ); if (rem(n,2)==0 && n>2) n==1, disp( σύνθετος ); return; limit = sqrt(n)+1; for divisor = 3:2:limitx if rem(n, divisor) == 0 disp( σύνθετος ); return; disp( πρώτος ); Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 58 Επιλογή αλγορίθµου Μεταξύ των συντακτικά ορθών Π1 και Π3: Ο Π3 είναι ταχύτερος, ειδικά όταν αποτελεί µέρος µεγαλύτερης εφαρµογής όπου καλείται πολλές ϕορές. Ο Π1 είναι απλούστερος και πιο ευανάγνωστος. Σε εφαρµογές όπου ο χρόνος είναι κρίσιµος προτιµάται ο αποτελεσµατικότερος αλγόριθµος. Για εύκολη συντήρηση προγραµµάτων δυνατή και η χρησιµοποίηση απλούστερων αλγορίθµων σε ϐάρος της αποτελεσµατικότητας. Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 59 45

22 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Μιχάλης Δρακόπουλος, Μιχάλης Δρακόπουλος. «Πληροφορική Ι. Ενότητα 2: Εντολές ελέγχου και επανάληψης». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

23 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Δομές επανάληψης

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Δομές επανάληψης ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Δομές επανάληψης Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 3 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Συναρτήσεις

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Συναρτήσεις ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 3: Συναρτήσεις Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Συναρτήσεις 60 Ροή ελέγχου Είναι η σειρά µε την οποία εκτελούνται οι εντολές. Μέχρι τώρα, «σειριακή»,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 2: Έλεγχος συνθηκών

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 2: Έλεγχος συνθηκών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 2: Έλεγχος συνθηκών Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 2 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙI Ενότητα 3: Έλεγχος ροής προγράμματος

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙI Ενότητα 3: Έλεγχος ροής προγράμματος ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙI Ενότητα 3: Έλεγχος ροής προγράμματος Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΙΙ (Java) Ενότητα 3 ΕΛΕΓΧΟΣ ΡΟΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ Ι. Ελεγκτές συνθηκών ή περιπτώσεων:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 4: Συναρτήσεις Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Σημειώσεις MATLAB Ενότητα 4 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 4 Σημειώσεις βασισμένες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 6: Αποτελεσματικότητα αλγορίθμων

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 6: Αποτελεσματικότητα αλγορίθμων ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 6: Αποτελεσματικότητα αλγορίθμων Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Αποτελεσµατικότητα αλγορίθµων 127 Αποτελεσµατικότητα αλγορίθµων Ενας σωστός αλγόριθµος

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 5

Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 5 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 5 Λογικοί Τελεστές Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 9: Αναδρομή

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 9: Αναδρομή ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 9: Αναδρομή Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Αναδροµή 24 Αναδροµή Πληροφορική Ι Μ. ρακόπουλος 24 Αναδροµικές µέθοδοι Μια µέθοδος καλεί τον εαυτό της

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 1: Εισαγωγή Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 1 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη και

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 7: Αλγόριθμοι γραμμικής άλγεβρας

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 7: Αλγόριθμοι γραμμικής άλγεβρας ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 7: Αλγόριθμοι γραμμικής άλγεβρας Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Αλγόριθµοι γραµµικής άλγεβρας 1 Ο συµβολισµός µεγάλο O Εστω συναρτήσεις f(n), g(n)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 3

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 3 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 3 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη και Τεχνολογία Μια Εισαγωγή ΔΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Πρόβλημα: Για δεδομένο αριθμό Α, μα βρεθεί η A. Γεωμετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 5: Μαθηματικές εφαρμογές

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 5: Μαθηματικές εφαρμογές ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 5: Μαθηματικές εφαρμογές Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μαθηµατικές εφαρµογές 34 Μέγιστος Κοινός ιαιρέτης (gcd) - I Εξαντλητικός αλγόριθµος 1 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Προγραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Προγραμματισμός Η/Υ Βασικές Προγραμματιστικές Δομές ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Δομή Ελέγχου Ροής (IF) Η εντολή IF χρησιμοποιείται όταν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Αναζήτηση και ταξινόμηση

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Αναζήτηση και ταξινόμηση ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Αναζήτηση και ταξινόμηση Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Αναζήτηση και ταξινόµηση 7 Αναζήτηση (search) Πρόβληµα: αναζήτηση της καταχώρησης key στη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 8: Συστήματα αρίθμησης Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 8 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 1: Κρίσιμα συμβάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Απομαγνητοφώνηση αποσπάσματος από Β Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα #5: Δομές επιλογής Καθ. Δημήτρης Ματαράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Δομές επιλογής MATLAB Programming Α. Καλαμπούνιας Η δομή επιλογής if Η δομή if στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 6: Πίνακες [2/2] (Δισδιάστατοι)

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 6: Πίνακες [2/2] (Δισδιάστατοι) ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 6: Πίνακες [2/2] (Δισδιάστατοι) Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 6 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική

Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Προγραμματισμός Υπολογιστών & Υπολογιστική Φυσική Ενότητα 4: Δομές Ελέγχου Νικόλαος Στεργιούλας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Δομημένος Προγραμματισμός

Δομημένος Προγραμματισμός Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Δομημένος Προγραμματισμός Ενότητα 5: Εντολές επανάληψης Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Ταλαντώσεων... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 2. Ασκήσεις Ταλαντώσεων... 4 2.1 Άσκηση 1... 4 2.2 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 2: ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ Υπολογισμός Απλού Τόκου Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creatve Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Ενότητα 5: Εντολές Επανάληψης

Προγραμματισμός Η/Υ. Ενότητα 5: Εντολές Επανάληψης Προγραμματισμός Η/Υ Ενότητα 5: Νίκος Καρακαπιλίδης, Καθηγητής Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Έλεγχος της ροής του προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Πληροφορική

Εισαγωγή στην Πληροφορική Εισαγωγή στην Πληροφορική Αριθμητικά Συστήματα ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Συντήρησης Πολιτισμικής Κληρονομιάς Βασικές Έννοιες Ένα Αριθμητικό Σύστημα αποτελείται από ένα

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Λογικός Προγραμματισμός Ασκήσεις

Λογικός Προγραμματισμός Ασκήσεις Λογικός Προγραμματισμός Ασκήσεις Παναγιώτης Σταματόπουλος Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιεχόμενα 1. Α Ομάδα Ασκήσεων "Λογικού Προγραμματισμού" Ακαδημαϊκού Έτους 2010-11... 3 1.1 Άσκηση 1...

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική ΙΙ Ενότητα 1

Πληροφορική ΙΙ Ενότητα 1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Πληροφορική ΙΙ Ενότητα 1: Εισαγωγή Θεματική Ενότητα: Εισαγωγή στον Προγραμματισμό Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης για τη Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Αλέξανδρος Σπυριδωνίδης Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. 3 η ενότητα. Τμήμα. Τεχνολόγων Περιβάλλοντος. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων

Προγραμματισμός Η/Υ. 3 η ενότητα. Τμήμα. Τεχνολόγων Περιβάλλοντος. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Προγραμματισμός Η/Υ 3 η ενότητα Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 1. Ιστορική αναδρομή της διδακτικής της

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 3. Ο ρόλος του εκπαιδευτικού: σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Αριθμητική Ανάλυση. Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες. Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Ενότητα 1: Εισαγωγή Βασικές Έννοιες Φραγκίσκος Κουτελιέρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΦΡΑΓΚΙΣΚΟΣ ΚΟΥΤΕΛΙΕΡΗΣ Εισαγωγή 2 Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Αριθμητική παραγώγιση

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 2

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 2 ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (MATLAB) Ενότητα 2 Σημειώσεις βασισμένες στο βιβλίο Το MATLAB στην Υπολογιστική Επιστήμη και Τεχνολογία Μια Εισαγωγή Έλεγχος συνθηκών - if Ας μελετήσουμε το πρόβλημα του υπολογισμού του ελάχιστου

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Συναρτήσεις & Υποπρογράμματα. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Προγραμματισμός Η/Υ. Συναρτήσεις & Υποπρογράμματα. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Προγραμματισμός Η/Υ Συναρτήσεις & Υποπρογράμματα ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Τμηματικός Προγραμματισμός Η επίλυση ενός προβλήματος διευκολύνεται

Διαβάστε περισσότερα

Αερισμός. Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση. Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής

Αερισμός. Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση. Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Αερισμός Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Ολικός και κυψελιδικός αερισμός Η κύρια λειτουργία του αναπνευστικού συστήματος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 7

Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 7 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 7 Δομές επανάληψης Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 6: ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΠΛΟΣ ΤΟΚΟΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Δομημένος Προγραμματισμός

Δομημένος Προγραμματισμός Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Δομημένος Προγραμματισμός Ενότητα 4: Εντολές ελέγχου ροής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 12: Επίλυση προβλημάτων σε προγραμματιστικό περιβάλλον Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 2: Εντολές ελέγχου ροής. Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 2: Εντολές ελέγχου ροής. Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Προγραμματισμός H/Y Ενότητα 2: Εντολές ελέγχου ροής Επικ. Καθηγητής Συνδουκάς Δημήτριος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Υπολογιστές

Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εισαγωγή στους Υπολογιστές Ενότητα 11: Βασικές έννοιες ψηφιακής λογικής Βασίλης Παλιουράς Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Γιατί χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Ενότητα 4: Εντολές Επιλογής

Προγραμματισμός Η/Υ. Ενότητα 4: Εντολές Επιλογής Προγραμματισμός Η/Υ Ενότητα 4: Νίκος Καρακαπιλίδης, Καθηγητής Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Έλεγχος της ροής ενός προγράμματος

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 23: Υπολογισμοί σε Κβαντικά Κυκλώματα ΙΙ Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Υπολογισμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΑΦΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΑΦΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΣΤΡΑΦΗΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 10: Πρότυπα Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού

Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού Ενότητα 1: Εισαγωγή στις έννοιες Ιστορίας και Πολιτισμού Λάζου Άννα Εθνικὸ και Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Aθηνών Τμήμα Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας Φιλοσοφία

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος

Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Γενική Φυσική Ενότητα: Δυναμική Άκαμπτου Σώματος Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Δυναμικής Άκαμπτου Σώματος... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 1.2 Ερώτηση 2... 4 1.3 Ερώτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας

Γενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Γενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ασκήσεις στην Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας... 4 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής

Φυσική ΙΙΙ. Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα. Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Φυσική ΙΙΙ Ενότητα 4: Ηλεκτρικά Κυκλώματα Γεώργιος Βούλγαρης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής Ασκήσεις ΦΙΙΙ Ασκήσεις κυκλωμάτων συνεχούς ρεύματος. Κανόνες Kirchhoff. Γ. Βούλγαρης 2 Ο Νόμος των Ρευμάτων

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 5: ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑ ΣΥΝΑΛΛΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση

Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Εφαρμοσμένη Βελτιστοποίηση Ενότητα 3: Αναλυτικές μέθοδοι βελτιστοποίησης για συναρτήσεις μιας μεταβλητής Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 1.1: Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική: Βασιλική Λεβέντη.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες

ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι Ενότητα 1: Εισαγωγικές έννοιες Μιχάλης Δρακόπουλος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Μιχάλης ρακόπουλος Ακαδ. έτος 2011 2012 Εισαγωγικές έννοιες 2 Βασικές προγραµµατιστικές έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 11η Άσκηση - Σταθμισμένος Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 11η Άσκηση - Σταθμισμένος Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα η Άσκηση - Σταθμισμένος Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr

Διαβάστε περισσότερα

Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 6

Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 6 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Πληροφορική ΙΙ Θεματική Ενότητα 6 Δομές ελέγχου ροής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 7: Βάσεις Groebner I Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Βάσεις Groebner Ι Τετάρτη 21 Μαϊου 2014 7.1 Ιδεώδη μονονύμων Εχουμε ήδη δει οτι

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενότητα 5: Διερευνητικές δραστηριότητες

Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενότητα 5: Διερευνητικές δραστηριότητες Διδακτική Μαθηματικών Ι Ενότητα 5: Διερευνητικές δραστηριότητες Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό ΔΙΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ Δραστηριότητα 1 Το εξωτερικό τετράγωνο αντιπροσωπεύει

Διαβάστε περισσότερα