ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε.

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 2

3 1. Παραδείγματα ελέγχου γραμμικότητας και χρονικής αμεταβλητότητας συστημάτων ΜΕ-ΜΕ Παράδειγμα 1 ο : σχέση εισόδου εξόδου y(t) = -2 x(t). Έστω y 1 (t) = -2 x 1 (t) και y 2 (t) = -2 x 2 (t) οι έξοδοι του συστήματος για εισόδους x 1 (t) και x 2 (t), αντίστοιχα. (α) Για είσοδο x(t) = a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t), προκύπτει έξοδος y(t) = -2 [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)], από τον τύπο της σχέσης εισόδου εξόδου. συντελεστή και προσθέτοντας κατά μέλη, οπότε έχουμε a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t) = a 1 [- 2 x 1 (t)] + a 2 [-2 x 2 (t)] = -2 [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)]. Συγκρίνοντας τα (α) και (β) προκύπτει ότι y(t) = a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t), οπότε το σύστημα είναι γραμμικό. από τη σχέση εισόδου εξόδου y(t) = -2 x(t). (α) Για είσοδο καθυστερημένη κατά T, δηλαδή για x(t T), υπολογίζουμε την έξοδο, έστω y a (t): y a (t) = -2 x(t T). (β) Υπολογίζουμε την καθυστερημένη κατά Τ έξοδο, έστω y b (t) = y(t T): y b (t) = y(t T) = -2 x(t T). Παράδειγμα 2 ο : σχέση εισόδου εξόδου y(t) = 3 x(t) 5. Έστω y 1 (t) = 3 x 1 (t) 5 και y 2 (t) = 3 x 2 (t) 5 οι έξοδοι του συστήματος για εισόδους x 1 (t) και x 2 (t), αντίστοιχα. (α) Για είσοδο x(t) = a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t), προκύπτει έξοδος y(t) = 3 [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] 5, από τον τύπο της σχέσης εισόδου εξόδου. συντελεστή και προσθέτοντας κατά μέλη, οπότε έχουμε a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t) = a 1 [3 x 1 (t) 5] + a 2 [3 x 2 (t) 5 ] = 3 [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)] 5 (a 1 + a 2 ). Συγκρίνοντας τα (α) και (β) προκύπτει ότι y(t) a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t), οπότε το σύστημα δεν είναι γραμμικό. από τη σχέση εισόδου εξόδου y(t) = 3 x(t) 5. 3

4 (α) Για είσοδο καθυστερημένη κατά T, δηλαδή για x(t T), υπολογίζουμε την έξοδο, έστω y a (t): y a (t) = 3 x(t T) 5. (β) Υπολογίζουμε την καθυστερημένη κατά Τ έξοδο, έστω y b (t) = y(t T): y b (t) = y(t T) = 3 x(t T) 5. Παράδειγμα 3 ο : σχέση εισόδου εξόδου y(t) = t x(t). Έστω y 1 (t) = t x 1 (t) και y 2 (t) = t x 2 (t) οι έξοδοι του συστήματος για εισόδους x 1 (t) και x 2 (t), αντίστοιχα. (α) Για είσοδο x(t) = a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t), προκύπτει έξοδος y(t) = t [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)], από τον τύπο της σχέσης εισόδου εξόδου. συντελεστή και προσθέτοντας κατά μέλη, οπότε έχουμε a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t) = a 1 [t x 1 (t) ] + a 2 [t x 2 (t) ] = t [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t)]. Συγκρίνοντας τα (α) και (β) προκύπτει ότι y(t) = a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t), οπότε το σύστημα είναι γραμμικό. από τη σχέση εισόδου εξόδου y(t) = t x(t). (α) Για είσοδο καθυστερημένη κατά T, δηλαδή x(t T), υπολογίζουμε την έξοδο, έστω y a (t): y a (t) = t x(t T). (β) Υπολογίζουμε την καθυστερημένη κατά Τ έξοδο, έστω y b (t) = y(t T): y b (t) = y(t T) = (t T) x(t T) = t x(t T) T x(t T). Συγκρίνοντας τα (α) και (β) προκύπτει ότι y a (t) y b (t), οπότε το σύστημα δεν είναι Παράδειγμα 4 ο : σχέση εισόδου εξόδου y(t) = 3 x 2 (t). Έστω y 1 (t) = 3 x 1 2 (t) και y 2 (t) =3 x 2 2 (t) οι έξοδοι του συστήματος για εισόδους x 1 (t) και x 2 (t), αντίστοιχα. (α) Για είσοδο x(t) = a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t), προκύπτει έξοδος y(t) = 3 [a 1 x 1 (t) + a 2 x 2 (t) ] 2 = 3 [a 1 2 x 1 2 (t) + a 2 2 x 2 2 (t) + 2 a 1 x 1 (t) a 2 x 2 (t) ] = 3 a 1 2 x 1 2 (t) + 3 a 2 2 x 2 2 (t) + 6 a 1 a 2 x 1 (t) x 2 (t), από τον τύπο της σχέσης εισόδου εξόδου. 4

5 συντελεστή και προσθέτοντας κατά μέλη, οπότε έχουμε a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t) = a 1 [3 x 1 2 (t) ] + a 2 [3 x 2 2 (t) ] = 3 a 1 x 1 2 (t) + 3 a 2 x 2 2 (t). Συγκρίνοντας τα (α) και (β) προκύπτει ότι y(t) a 1 y 1 (t) + a 2 y 2 (t), οπότε το σύστημα δεν είναι γραμμικό. από τη σχέση εισόδου εξόδου y(t) = 3 x 2 (t). (α) Για είσοδο καθυστερημένη κατά T, δηλαδή για x(t T), υπολογίζουμε την έξοδο, έστω y a (t): y a (t) = 3 x 2 (t T). (β) Υπολογίζουμε την καθυστερημένη κατά Τ έξοδο, έστω y b (t) = y(t T): y b (t) = y(t T) = 3 x 2 (t T). 5