Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων"

Transcript

1 Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 6: Οριακά θεωρήματα στη Θεωρία Πιθανοτήτων Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015

2 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων

3 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Πολλές φορές δεν ενδιαφέρει η ακριβής πιθανότητα ενός ενδεχομένου, αλλά το να είναι πολύ μικρή / πολύ μεγάλη.

4 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Πολλές φορές δεν ενδιαφέρει η ακριβής πιθανότητα ενός ενδεχομένου, αλλά το να είναι πολύ μικρή / πολύ μεγάλη. Π.χ. στο σχεδιασμό ενός προϊόντος θέλουμε η πιθανότητα να χαλάσει στον 1ο χρόνο να είναι 2%.

5 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Πολλές φορές δεν ενδιαφέρει η ακριβής πιθανότητα ενός ενδεχομένου, αλλά το να είναι πολύ μικρή / πολύ μεγάλη. Π.χ. στο σχεδιασμό ενός προϊόντος θέλουμε η πιθανότητα να χαλάσει στον 1ο χρόνο να είναι 2%. Π.χ. στο σχεδιασμό ενός εργοστασίου η πιθανότητα σοβαρού ατυχήματος να είναι κάτω από 1:

6 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Πολλές φορές δεν ενδιαφέρει η ακριβής πιθανότητα ενός ενδεχομένου, αλλά το να είναι πολύ μικρή / πολύ μεγάλη. Π.χ. στο σχεδιασμό ενός προϊόντος θέλουμε η πιθανότητα να χαλάσει στον 1ο χρόνο να είναι 2%. Π.χ. στο σχεδιασμό ενός εργοστασίου η πιθανότητα σοβαρού ατυχήματος να είναι κάτω από 1: Επομένως χρειαζόμαστε φράγματα για τις πιθανότητες που να είναι εύκολα υπολογίσιμα.

7 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Πολλές φορές δεν ενδιαφέρει η ακριβής πιθανότητα ενός ενδεχομένου, αλλά το να είναι πολύ μικρή / πολύ μεγάλη. Π.χ. στο σχεδιασμό ενός προϊόντος θέλουμε η πιθανότητα να χαλάσει στον 1ο χρόνο να είναι 2%. Π.χ. στο σχεδιασμό ενός εργοστασίου η πιθανότητα σοβαρού ατυχήματος να είναι κάτω από 1: Επομένως χρειαζόμαστε φράγματα για τις πιθανότητες που να είναι εύκολα υπολογίσιμα. Πολλές φορές για κάποιο χαρακτηριστικό X (=τ.μ.) ενός πειράματος τύχης έχουμε πληροφορία μόνο για την E[X] και την V ar[x].

8 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Πολλές φορές δεν ενδιαφέρει η ακριβής πιθανότητα ενός ενδεχομένου, αλλά το να είναι πολύ μικρή / πολύ μεγάλη. Π.χ. στο σχεδιασμό ενός προϊόντος θέλουμε η πιθανότητα να χαλάσει στον 1ο χρόνο να είναι 2%. Π.χ. στο σχεδιασμό ενός εργοστασίου η πιθανότητα σοβαρού ατυχήματος να είναι κάτω από 1: Επομένως χρειαζόμαστε φράγματα για τις πιθανότητες που να είναι εύκολα υπολογίσιμα. Πολλές φορές για κάποιο χαρακτηριστικό X (=τ.μ.) ενός πειράματος τύχης έχουμε πληροφορία μόνο για την E[X] και την V ar[x]. Θέλουμε εκτιμήσεις πιθανοτήτων για την X που να βασίζονται μόνο σε αυτές τις περιορισμένες πληροφορίες.

9 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων

10 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Οι ανισότητες δίνουν φράγματα για πιθανότητες που είναι εύκολα υπολογίσιμα.

11 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Οι ανισότητες δίνουν φράγματα για πιθανότητες που είναι εύκολα υπολογίσιμα. Τα οριακά θεωρήματα δίνουν προσεγγιστικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων υπό περιορισμένες πληροφορίες, όταν ενδιαφερόμαστε για αθροίσματα ή μέσους όρους (δειγματικούς μέσους) τ.μ.

12 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Οι ανισότητες δίνουν φράγματα για πιθανότητες που είναι εύκολα υπολογίσιμα. Τα οριακά θεωρήματα δίνουν προσεγγιστικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων υπό περιορισμένες πληροφορίες, όταν ενδιαφερόμαστε για αθροίσματα ή μέσους όρους (δειγματικούς μέσους) τ.μ. Πιο συγκεκριμένα τα οριακά θεωρήματα δίνουν εύκολα πληροφορίες για το άθροισμα και το μέσο όρο πολλών παρατηρήσεων του ίδιου μεγέθους:

13 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Οι ανισότητες δίνουν φράγματα για πιθανότητες που είναι εύκολα υπολογίσιμα. Τα οριακά θεωρήματα δίνουν προσεγγιστικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων υπό περιορισμένες πληροφορίες, όταν ενδιαφερόμαστε για αθροίσματα ή μέσους όρους (δειγματικούς μέσους) τ.μ. Πιο συγκεκριμένα τα οριακά θεωρήματα δίνουν εύκολα πληροφορίες για το άθροισμα και το μέσο όρο πολλών παρατηρήσεων του ίδιου μεγέθους: X 1, X 2,... ανεξάρτητες και ισόνομες (ίδια κατανομή).

14 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Οι ανισότητες δίνουν φράγματα για πιθανότητες που είναι εύκολα υπολογίσιμα. Τα οριακά θεωρήματα δίνουν προσεγγιστικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων υπό περιορισμένες πληροφορίες, όταν ενδιαφερόμαστε για αθροίσματα ή μέσους όρους (δειγματικούς μέσους) τ.μ. Πιο συγκεκριμένα τα οριακά θεωρήματα δίνουν εύκολα πληροφορίες για το άθροισμα και το μέσο όρο πολλών παρατηρήσεων του ίδιου μεγέθους: X 1, X 2,... ανεξάρτητες και ισόνομες (ίδια κατανομή). S n = X 1 + X X n.

15 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Οι ανισότητες δίνουν φράγματα για πιθανότητες που είναι εύκολα υπολογίσιμα. Τα οριακά θεωρήματα δίνουν προσεγγιστικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων υπό περιορισμένες πληροφορίες, όταν ενδιαφερόμαστε για αθροίσματα ή μέσους όρους (δειγματικούς μέσους) τ.μ. Πιο συγκεκριμένα τα οριακά θεωρήματα δίνουν εύκολα πληροφορίες για το άθροισμα και το μέσο όρο πολλών παρατηρήσεων του ίδιου μεγέθους: X 1, X 2,... ανεξάρτητες και ισόνομες (ίδια κατανομή). S n = X 1 + X X n. M n = Sn n.

16 Χρησιμότητα ανισοτήτων - οριακών θεωρημάτων Οι ανισότητες δίνουν φράγματα για πιθανότητες που είναι εύκολα υπολογίσιμα. Τα οριακά θεωρήματα δίνουν προσεγγιστικούς υπολογισμούς πιθανοτήτων υπό περιορισμένες πληροφορίες, όταν ενδιαφερόμαστε για αθροίσματα ή μέσους όρους (δειγματικούς μέσους) τ.μ. Πιο συγκεκριμένα τα οριακά θεωρήματα δίνουν εύκολα πληροφορίες για το άθροισμα και το μέσο όρο πολλών παρατηρήσεων του ίδιου μεγέθους: X 1, X 2,... ανεξάρτητες και ισόνομες (ίδια κατανομή). S n = X 1 + X X n. M n = Sn. n Πως συμπεριφέρονται οι S n και M n για μεγάλα n;

17 Ανισότητα Markov

18 Ανισότητα Markov Αν μια τ.μ. X παίρνει μόνο μη-αρνητικές τιμές, τότε

19 Ανισότητα Markov Αν μια τ.μ. X παίρνει μόνο μη-αρνητικές τιμές, τότε P (X a) E[X] a, a > 0.

20 Ανισότητα Chebyshev

21 Ανισότητα Chebyshev Αν μια τ.μ. X έχει μέση τιμή E[X] και διασπορά V ar[x], τότε

22 Ανισότητα Chebyshev Αν μια τ.μ. X έχει μέση τιμή E[X] και διασπορά V ar[x], τότε P ( X E[X] c) V ar[x] c 2, c > 0.

23 Ανισότητα Chernoff

24 Ανισότητα Chernoff Αν μια τ.μ. X έχει μετασχηματισμό (ροπογεννήτρια) M X (s), τότε

25 Ανισότητα Chernoff Αν μια τ.μ. X έχει μετασχηματισμό (ροπογεννήτρια) M X (s), τότε P (X a) inf s>0 e sa M X (s), a R.

26 Ανισότητα Cauchy-Schwartz

27 Ανισότητα Cauchy-Schwartz Για δυο τ.μ. X και Y ισχύουν:

28 Ανισότητα Cauchy-Schwartz Για δυο τ.μ. X και Y ισχύουν: (E[XY ]) 2 E[X 2 ]E[Y 2 ],

29 Ανισότητα Cauchy-Schwartz Για δυο τ.μ. X και Y ισχύουν: (E[XY ]) 2 E[X 2 ]E[Y 2 ], (Cov[X, Y ]) 2 V ar[x]v ar[y ].

30 Ανισότητα Jensen

31 Ανισότητα Jensen Αν X τ.μ. και f : R R κυρτή, τότε:

32 Ανισότητα Jensen Αν X τ.μ. και f : R R κυρτή, τότε: f(e[x]) E[f(X)].

33 Τι συμβαίνει όταν V ar[x] = 0;

34 Τι συμβαίνει όταν V ar[x] = 0; Αν V ar[x] = 0 τότε

35 Τι συμβαίνει όταν V ar[x] = 0; Αν V ar[x] = 0 τότε X = E[X] με πιθανότητα 1.

36 Ασθενής Νόμος Μεγάλων Αριθμών Εστω X 1, X 2, X 3,... ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. με μέση τιμή µ και M n = X 1 + X X n, n 1, n ο δειγματικός μέσος τους. Τότε, για κάθε ɛ > 0 έχουμε

37 Ασθενής Νόμος Μεγάλων Αριθμών Εστω X 1, X 2, X 3,... ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. με μέση τιμή µ και M n = X 1 + X X n, n 1, n ο δειγματικός μέσος τους. Τότε, για κάθε ɛ > 0 έχουμε lim P ( M n µ ɛ) = 0. n

38 Ασθενής Νόμος Μεγάλων Αριθμών Εστω X 1, X 2, X 3,... ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. με μέση τιμή µ και M n = X 1 + X X n, n 1, n ο δειγματικός μέσος τους. Τότε, για κάθε ɛ > 0 έχουμε (M n µ κατά πιθανότητα). lim P ( M n µ ɛ) = 0. n

39 Ασθενής Νόμος Μεγάλων Αριθμών Εστω X 1, X 2, X 3,... ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. με μέση τιμή µ και M n = X 1 + X X n, n 1, n ο δειγματικός μέσος τους. Τότε, για κάθε ɛ > 0 έχουμε (M n µ κατά πιθανότητα). lim P ( M n µ ɛ) = 0. n Ο ασθενής Νόμος των Μεγάλων Αριθμών (ΝΜΑ) δικαιώνει την ερμηνεία της πιθανότητας ως οριακής σχετικής συχνότητας.

40 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (1η μορφή) Εστω X 1, X 2, X 3,... ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. με μέση τιμή µ και διασπορά σ 2, S n = X 1 + X X n, n 1, το άθροισμα των πρώτων n από αυτές και Z n = S n E[S n ] V ar[sn ] = S n nµ σ n, n 1, η αντίστοιχη τυποποιημένη τ.μ.

41 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (1η μορφή) Εστω X 1, X 2, X 3,... ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. με μέση τιμή µ και διασπορά σ 2, S n = X 1 + X X n, n 1, το άθροισμα των πρώτων n από αυτές και Z n = S n E[S n ] V ar[sn ] = S n nµ σ n, n 1, η αντίστοιχη τυποποιημένη τ.μ. Τότε η συνάρτηση κατανομής της Z n συγκλίνει στη συνάρτηση κατανομής Φ(z) της τυποποιημένης κανονικής:

42 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (1η μορφή) Εστω X 1, X 2, X 3,... ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. με μέση τιμή µ και διασπορά σ 2, S n = X 1 + X X n, n 1, το άθροισμα των πρώτων n από αυτές και Z n = S n E[S n ] V ar[sn ] = S n nµ σ n, n 1, η αντίστοιχη τυποποιημένη τ.μ. Τότε η συνάρτηση κατανομής της Z n συγκλίνει στη συνάρτηση κατανομής Φ(z) της τυποποιημένης κανονικής: lim P (Z n z) = Φ(z) = 1 z e x2 2 dx. n 2π

43 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (2η μορφή) Εστω X 1, X 2, X 3,... ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. με μέση τιμή µ και διασπορά σ 2, M n = X 1 + X X n, n 1, n ο δειγματικός μέσος των πρώτων n από αυτές και Z n = M n E[M n ] n(mn µ) =, n 1, V ar[mn ] σ η αντίστοιχη τυποποιημένη τ.μ.

44 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (2η μορφή) Εστω X 1, X 2, X 3,... ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. με μέση τιμή µ και διασπορά σ 2, M n = X 1 + X X n, n 1, n ο δειγματικός μέσος των πρώτων n από αυτές και Z n = M n E[M n ] n(mn µ) =, n 1, V ar[mn ] σ η αντίστοιχη τυποποιημένη τ.μ. Τότε η συνάρτηση κατανομής της Z n συγκλίνει στη συνάρτηση κατανομής Φ(z) της τυποποιημένης κανονικής:

45 Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (2η μορφή) Εστω X 1, X 2, X 3,... ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. με μέση τιμή µ και διασπορά σ 2, M n = X 1 + X X n, n 1, n ο δειγματικός μέσος των πρώτων n από αυτές και Z n = M n E[M n ] n(mn µ) =, n 1, V ar[mn ] σ η αντίστοιχη τυποποιημένη τ.μ. Τότε η συνάρτηση κατανομής της Z n συγκλίνει στη συνάρτηση κατανομής Φ(z) της τυποποιημένης κανονικής: lim P (Z n z) = Φ(z) = 1 z e x2 2 dx. n 2π

46 Ερμηνεία του ΚΟΘ

47 Ερμηνεία του ΚΟΘ X 1, X 2,..., X n,... ανεξάρτητες και ισόνομες.

48 Ερμηνεία του ΚΟΘ X 1, X 2,..., X n,... ανεξάρτητες και ισόνομες. E[X i ] = µ, V ar[x i ] = σ 2.

49 Ερμηνεία του ΚΟΘ X 1, X 2,..., X n,... ανεξάρτητες και ισόνομες. E[X i ] = µ, V ar[x i ] = σ 2. Τότε, για μεγάλα n

50 Ερμηνεία του ΚΟΘ X 1, X 2,..., X n,... ανεξάρτητες και ισόνομες. E[X i ] = µ, V ar[x i ] = σ 2. Τότε, για μεγάλα n Η S n προσεγγίζεται από μια κανονική N (nµ, nσ 2 ).

51 Ερμηνεία του ΚΟΘ X 1, X 2,..., X n,... ανεξάρτητες και ισόνομες. E[X i ] = µ, V ar[x i ] = σ 2. Τότε, για μεγάλα n Η S n προσεγγίζεται από μια κανονική N (nµ, nσ 2 ). Η M n προσεγγίζεται από μια κανονική N (µ, σ2 n ).

52 Ερμηνεία του ΚΟΘ X 1, X 2,..., X n,... ανεξάρτητες και ισόνομες. E[X i ] = µ, V ar[x i ] = σ 2. Τότε, για μεγάλα n Η S n προσεγγίζεται από μια κανονική N (nµ, nσ 2 ). Η M n προσεγγίζεται από μια κανονική N (µ, σ2 n ). Υπολογισμοί που αφορούν αθροίσματα και δειγματικούς μέσους (μέσους όρους) για μεγάλα δείγματα δεδομένων, γίνονται ξεχνώντας την κατανομή των δεδομένων και χρησιμοποιώντας την κανονική.

53 ΚΟΘ - Τρόπος εργασίας

54 ΚΟΘ - Τρόπος εργασίας X 1, X 2,..., X n ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ.

55 ΚΟΘ - Τρόπος εργασίας X 1, X 2,..., X n ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. E[X i ] = µ, V ar[x i ] = σ 2.

56 ΚΟΘ - Τρόπος εργασίας X 1, X 2,..., X n ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. E[X i ] = µ, V ar[x i ] = σ 2. n μεγάλο. Πρακτικά χρησιμοποιώ το ΚΟΘ για n 30.

57 ΚΟΘ - Τρόπος εργασίας X 1, X 2,..., X n ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. E[X i ] = µ, V ar[x i ] = σ 2. n μεγάλο. Πρακτικά χρησιμοποιώ το ΚΟΘ για n 30. P (a S n b) =;

58 ΚΟΘ - Τρόπος εργασίας X 1, X 2,..., X n ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. E[X i ] = µ, V ar[x i ] = σ 2. n μεγάλο. Πρακτικά χρησιμοποιώ το ΚΟΘ για n 30. P (a S n b) =; Εχουμε: P (a S n b) = P ( a nµ σ n S n nµ σ n b nµ σ n )

59 ΚΟΘ - Τρόπος εργασίας X 1, X 2,..., X n ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. E[X i ] = µ, V ar[x i ] = σ 2. n μεγάλο. Πρακτικά χρησιμοποιώ το ΚΟΘ για n 30. P (a S n b) =; Εχουμε: P (a S n b) = P ( a nµ σ n S n nµ σ n b nµ σ n ) = P ( a nµ σ n Z n b nµ σ n )

60 ΚΟΘ - Τρόπος εργασίας X 1, X 2,..., X n ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ. E[X i ] = µ, V ar[x i ] = σ 2. n μεγάλο. Πρακτικά χρησιμοποιώ το ΚΟΘ για n 30. P (a S n b) =; Εχουμε: P (a S n b) = P ( a nµ σ n S n nµ σ n b nµ σ n ) = P ( a nµ σ n Z n b nµ σ n ) Φ( b nµ σ nµ ) Φ(a n σ n ).

61 Άσκηση 1: Συνολικό φορτίο αεροπλάνου

62 Άσκηση 1: Συνολικό φορτίο αεροπλάνου 100 πακέτα φορτώνονται σε ένα αεροπλάνο.

63 Άσκηση 1: Συνολικό φορτίο αεροπλάνου 100 πακέτα φορτώνονται σε ένα αεροπλάνο. Τα βάρη των πακέτων είναι ανεξ. ισον. τ.μ.

64 Άσκηση 1: Συνολικό φορτίο αεροπλάνου 100 πακέτα φορτώνονται σε ένα αεροπλάνο. Τα βάρη των πακέτων είναι ανεξ. ισον. τ.μ. Το βάρος ενός πακέτου έχει την ομοιόμορφη κατανομή μεταξύ 5 και 50 κιλών.

65 Άσκηση 1: Συνολικό φορτίο αεροπλάνου 100 πακέτα φορτώνονται σε ένα αεροπλάνο. Τα βάρη των πακέτων είναι ανεξ. ισον. τ.μ. Το βάρος ενός πακέτου έχει την ομοιόμορφη κατανομή μεταξύ 5 και 50 κιλών. Να υπολογιστεί προσεγγιστικά η πιθανότητα το συνολικό φορτίο των 100 πακέτων να ξεπερνά σε βάρος τους 3 τόνους.

66 Άσκηση 1: Συνολικό φορτίο αεροπλάνου 100 πακέτα φορτώνονται σε ένα αεροπλάνο. Τα βάρη των πακέτων είναι ανεξ. ισον. τ.μ. Το βάρος ενός πακέτου έχει την ομοιόμορφη κατανομή μεταξύ 5 και 50 κιλών. Να υπολογιστεί προσεγγιστικά η πιθανότητα το συνολικό φορτίο των 100 πακέτων να ξεπερνά σε βάρος τους 3 τόνους. µ = 27.5, σ 2 = (50 5)2 = , 12 z = = 1.92, Φ(1.92) =

67 Άσκηση 2: Συνολική παραγωγή σε καθορ. χρόνο

68 Άσκηση 2: Συνολική παραγωγή σε καθορ. χρόνο Μηχανή επεξεργάζεται εξαρτήματα σειριακά.

69 Άσκηση 2: Συνολική παραγωγή σε καθορ. χρόνο Μηχανή επεξεργάζεται εξαρτήματα σειριακά. Οι χρονοι επεξεργ. των εξαρτημάτων ανεξ. ισον. τ.μ.

70 Άσκηση 2: Συνολική παραγωγή σε καθορ. χρόνο Μηχανή επεξεργάζεται εξαρτήματα σειριακά. Οι χρονοι επεξεργ. των εξαρτημάτων ανεξ. ισον. τ.μ. Ο χρόνος επεξεργασίας ενός εξαρτήματος έχει την ομοιόμορφη κατανομή στο [1, 5].

71 Άσκηση 2: Συνολική παραγωγή σε καθορ. χρόνο Μηχανή επεξεργάζεται εξαρτήματα σειριακά. Οι χρονοι επεξεργ. των εξαρτημάτων ανεξ. ισον. τ.μ. Ο χρόνος επεξεργασίας ενός εξαρτήματος έχει την ομοιόμορφη κατανομή στο [1, 5]. Να υπολογιστεί προσεγγιστικά η πιθανότητα ο αριθμός των εξαρτημάτων που παράγεται σε 320 χρονικές μονάδες να είναι τουλάχιστον 100.

72 Άσκηση 2: Συνολική παραγωγή σε καθορ. χρόνο Μηχανή επεξεργάζεται εξαρτήματα σειριακά. Οι χρονοι επεξεργ. των εξαρτημάτων ανεξ. ισον. τ.μ. Ο χρόνος επεξεργασίας ενός εξαρτήματος έχει την ομοιόμορφη κατανομή στο [1, 5]. Να υπολογιστεί προσεγγιστικά η πιθανότητα ο αριθμός των εξαρτημάτων που παράγεται σε 320 χρονικές μονάδες να είναι τουλάχιστον 100. µ = 3, σ 2 = (5 1)2 = 4, z = = 1.73, /3 Φ(1.73) =

73 Άσκηση 3: Δημοσκόπηση

74 Άσκηση 3: Δημοσκόπηση 100 άνθρωποι συμμετέχουν σε δημοσκόπηση.

75 Άσκηση 3: Δημοσκόπηση 100 άνθρωποι συμμετέχουν σε δημοσκόπηση. Καθένας είναι υπέρ του υποψηφίου πρωθυπουργού Α με πιθανότητα p, ανεξάρτητα από τους άλλους.

76 Άσκηση 3: Δημοσκόπηση 100 άνθρωποι συμμετέχουν σε δημοσκόπηση. Καθένας είναι υπέρ του υποψηφίου πρωθυπουργού Α με πιθανότητα p, ανεξάρτητα από τους άλλους. (δηλαδή p είναι το ποσοστό των ψηφοφόρων που είναι υπέρ του Α στο συνολικό πληθυσμό των εκλογέων).

77 Άσκηση 3: Δημοσκόπηση 100 άνθρωποι συμμετέχουν σε δημοσκόπηση. Καθένας είναι υπέρ του υποψηφίου πρωθυπουργού Α με πιθανότητα p, ανεξάρτητα από τους άλλους. (δηλαδή p είναι το ποσοστό των ψηφοφόρων που είναι υπέρ του Α στο συνολικό πληθυσμό των εκλογέων). Βρείτε ένα προσεγγιστικό φράγμα της πιθανότητας το σφάλμα της εκτίμησης του p από το δειγματικό ποσοστό των υποψηφίων που είναι υπέρ του Α να είναι μεγαλύτερο του 0.1.

78 Άσκηση 3: Δημοσκόπηση 100 άνθρωποι συμμετέχουν σε δημοσκόπηση. Καθένας είναι υπέρ του υποψηφίου πρωθυπουργού Α με πιθανότητα p, ανεξάρτητα από τους άλλους. (δηλαδή p είναι το ποσοστό των ψηφοφόρων που είναι υπέρ του Α στο συνολικό πληθυσμό των εκλογέων). Βρείτε ένα προσεγγιστικό φράγμα της πιθανότητας το σφάλμα της εκτίμησης του p από το δειγματικό ποσοστό των υποψηφίων που είναι υπέρ του Α να είναι μεγαλύτερο του 0.1. Πόσοι τουλάχιστον πρέπει να ερωτηθούν ώστε η πιθανότητα το σφάλμα της εκτίμησης του p από το δειγματικό ποσοστό των υποψηφίων που είναι υπέρ του Α να είναι μικρότερο του 0.01 να είναι πάνω από 0.95;

79 Άσκηση 3: Δημοσκόπηση (συνέχεια)

80 Άσκηση 3: Δημοσκόπηση (συνέχεια) Εστω M n το δειγματικό ποσοστό των υποψηφίων.

81 Άσκηση 3: Δημοσκόπηση (συνέχεια) Εστω M n το δειγματικό ποσοστό των υποψηφίων. M n έχει μέση τιμή p και διασπορά p(1 p) ως δειγματικός n μέσος n ανεξ. δοκιμών Bernoulli.

82 Άσκηση 3: Δημοσκόπηση (συνέχεια) Εστω M n το δειγματικό ποσοστό των υποψηφίων. M n έχει μέση τιμή p και διασπορά p(1 p) ως δειγματικός n μέσος n ανεξ. δοκιμών Bernoulli. P ( M 100 p 0.1) = ;

83 Άσκηση 3: Δημοσκόπηση (συνέχεια) Εστω M n το δειγματικό ποσοστό των υποψηφίων. M n έχει μέση τιμή p και διασπορά p(1 p) ως δειγματικός n μέσος n ανεξ. δοκιμών Bernoulli. P ( M 100 p 0.1) = ; n = ; ώστε P ( M n p 0.01) 0.95.

84 Πίνακας τιμών κανονικής κατανομής

85 Πίνακας τιμών κανονικής κατανομής (συνέχεια)

86 Μελέτη

87 Μελέτη Μπερτσεκάς, Δ.Π. και Τσιτσικλής, Γ.Ν. (2013) Εισαγωγή στις Πιθανότητες με Στοιχεία Στατιστικής, Εκδόσεις Τζιόλα. Θεωρία: Ασκήσεις: 5.1 Ανισότητες Markov και Chebyshev 5.2 Ο Ασθενής Νόμος των Μεγάλων Αριθμών 5.4 Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα 5.6 Σύνοψη και Συζήτηση Προβλήματα 9, 10,

88 Τέλος Διαλέξεως

89 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

90 Σημειώματα

91 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Εργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.0.

92 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών «Πιθανότητες και Στατιστική. Οριακά θεωρήματα στη Θεωρία Πιθανοτήτων». Εκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση:

93 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Εκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

94 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Εργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

Ορισμός κανονικής τ.μ.

Ορισμός κανονικής τ.μ. Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 4: Τυχαίες τυχαίες μεταβλητές Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Ορισμός κανονικής τ.μ. Ορισμός κανονικής τ.μ. Μια συνεχής τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Αντώνιος Οικονόμου Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής κ

Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Αντώνιος Οικονόμου Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής κ Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Παράδειγμα δεσμευμένης κλασικής πιθανότητας

Διαβάστε περισσότερα

P (B) P (B A) = P (AB) = P (B). P (A)

P (B) P (B A) = P (AB) = P (B). P (A) Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 2: Δεσμευμένη πιθανότητα και στοχαστική ανεξαρτησία Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Διαισθητική έννοια ανεξαρτησίας Διαισθητική

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας

Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων

Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας

Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.

Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής

Θερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων

Ενότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα

Διαβάστε περισσότερα

Θεατρικές Εφαρμογές και Διδακτική της Φυσικής Ι

Θεατρικές Εφαρμογές και Διδακτική της Φυσικής Ι Θεατρικές Εφαρμογές και Διδακτική της Φυσικής Ι Ενότητα 2: Παράλληλες θεωρητικές και εργαστηριακές προσεγγίσεις των τεχνικών και της δομής του κουκλοθέατρου, της κινούμενης εικόνας και ενός θέματος από

Διαβάστε περισσότερα

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης

Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης για τη Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Αλέξανδρος Σπυριδωνίδης Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 11 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων

Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 1. Ιστορική αναδρομή της διδακτικής της

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 3. Ο ρόλος του εκπαιδευτικού: σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων

1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 2: Τυχαίες Μεταβλητές Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Διοικητική Λογιστική

Διοικητική Λογιστική Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.

Εκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ. ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας

Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης

Διαβάστε περισσότερα

f X,Y (x, y)dxdy = 1,

f X,Y (x, y)dxdy = 1, Πιθανότητες και Στατιστική Ενότητα 5: Πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Αθήνα 2015 Διδιάστατη συνεχής τ.μ. Διδιάστατη συνεχής τ.μ. Μια διδιάστατη

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής

Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Εισαγωγή στις Επιστήμες της Αγωγής Αλεξάνδρα Ανδρούσου - Βασίλης Τσάφος Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Επίπεδα Κοινωνιολογίας της Εκπαίδευσης Αναλύει τη θέση και τη λειτουργία

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι

Μηχανολογικό Σχέδιο Ι ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού

Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού Φιλοσοφία της Ιστορίας και του Πολιτισμού Ενότητα 1: Εισαγωγή στις έννοιες Ιστορίας και Πολιτισμού Λάζου Άννα Εθνικὸ και Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Aθηνών Τμήμα Φιλοσοφίας Παιδαγωγικής και Ψυχολογίας Φιλοσοφία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών

Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

Λειτουργία και εφαρμογές της πολιτιστικής διαχείρισης

Λειτουργία και εφαρμογές της πολιτιστικής διαχείρισης Λειτουργία και εφαρμογές της πολιτιστικής διαχείρισης Ενότητα 5: Δρ. Θεοκλής-Πέτρος Ζούνης Σχολή : ΟΠΕ Τμήμα : Ε.Μ.Μ.Ε. Περιεχόμενα ενότητας Τι ορίζουμε ως Μάρκετινγκ ενός Πολιτιστικού Οργανισμού; Τα 4

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών

Εισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων

Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 10 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 4: Διδακτικός μετασχηματισμός βασικών εννοιών πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας

Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 11: Είδη και μετασχηματισμοί πινάκων Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Είδη και μετασχηματισμοί

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 1.1: Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική: Βασιλική Λεβέντη.

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση

Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής

Γενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Επικοινωνιών

Συστήματα Επικοινωνιών Συστήματα Επικοινωνιών Ενότητα 2: Μαθιόπουλος Παναγιώτης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Περιγραφή ενότητας Τυχαίες Διαδικασίες: Ορισμοί, Μέσες τιμές συνόλου (Ensemble averages),

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης

Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Πρακτική Άσκηση σε σχολεία της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης Ενότητα 1: Κρίσιμα συμβάντα Δέσποινα Πόταρη, Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό Απομαγνητοφώνηση αποσπάσματος από Β Λυκείου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ2, Ενότητα : Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Ενότητα : Υλοποίηση Λεξικών µε

Διαβάστε περισσότερα

Αερισμός. Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση. Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής

Αερισμός. Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση. Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Αερισμός Ενότητα 1: Αερισμός και αιμάτωση Κωνσταντίνος Σπυρόπουλος, Καθηγητής Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα Ιατρικής Ολικός και κυψελιδικός αερισμός Η κύρια λειτουργία του αναπνευστικού συστήματος είναι

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Ποιότητας Φαρμάκων

Έλεγχος Ποιότητας Φαρμάκων Έλεγχος Ποιότητας Φαρμάκων Ενότητα 6: Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας Συσκευές Αποσάθρωση Δισκίων (ενός καλαθιού (δεξιά) και δύο καλαθιών (αριστερά) 2 Συσκευή Αποσάθρωσης 4

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 7: Εξίσωση Slutsky Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Οι επιδράσεις μιας μεταβολής

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2

Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:

Διαβάστε περισσότερα

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής

Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Μικροοικονομική Ανάλυση της Κατανάλωσης και της Παραγωγής Διάλεξη 8: Πλεόνασμα καταναλωτή Ανδρέας Παπανδρέου Σχολή Οικονομικών και Πολιτικών Επιστημών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Χρηματικά μέτρα των ωφελειών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ

ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Ενότητα 8: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΤΑΤΜΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις

Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Γενική Φυσική Ενότητα: Ταλαντώσεις Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ερωτήσεις Ταλαντώσεων... 4 1.1 Ερώτηση 1... 4 2. Ασκήσεις Ταλαντώσεων... 4 2.1 Άσκηση 1... 4 2.2 Άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός

Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό 1 Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο - CAD

Τεχνικό Σχέδιο - CAD Τεχνικό Σχέδιο - CAD Προσθήκη Διαστάσεων & Κειμένου ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Εντολές προσθήκης διαστάσεων & κειμένου Στο βασική (Home)

Διαβάστε περισσότερα

Εκκλησιαστικό Δίκαιο

Εκκλησιαστικό Δίκαιο ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος

Προγραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Προγραμματισμός Η/Υ Βασικές Προγραμματιστικές Δομές ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Δομή Ελέγχου Ροής (IF) Η εντολή IF χρησιμοποιείται όταν

Διαβάστε περισσότερα

Γενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας

Γενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Γενική Φυσική Ενότητα: Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Βούλγαρης Τμήμα: Μαθηματικό Σελίδα 2 1. Ασκήσεις στην Εισαγωγή στην Ειδική Θεωρία της Σχετικότητας... 4 1.1

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal

Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση

Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Χωρικές σχέσεις και Γεωμετρικές Έννοιες στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 7: Κανονικότητες, συμμετρίες και μετασχηματισμοί στο χώρο Δημήτρης Χασάπης Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία

Διαβάστε περισσότερα

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση

Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Το Εικονογραφημένο Βιβλίο στην Προσχολική Εκπαίδευση Ενότητα 3.2: Υλικότητα Βιβλίου Αγγελική Γιαννικοπούλου Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία (ΤΕΑΠΗ) Διδακτική Πρακτική Διδακτική πρακτική:

Διαβάστε περισσότερα

Ιστορία της μετάφρασης

Ιστορία της μετάφρασης ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 3: Στοχαστικές Ανελίξεις Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση

Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Ενότητα: Εργασίες Διδάσκων: Βασίλης Κόμης, Καθηγητής komis@upatras.gr www.ecedu.upatras.gr/komis/ Τμήμα Επιστημών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Συστήματα Αναμονής Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1 Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6 ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6: 1η εργαστηριακή άσκηση και προσομοίωση με το SPICE Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και

Διαβάστε περισσότερα

Λειτουργία και εφαρμογές της πολιτιστικής διαχείρισης

Λειτουργία και εφαρμογές της πολιτιστικής διαχείρισης Λειτουργία και εφαρμογές της πολιτιστικής διαχείρισης Ενότητα 7: Πολιτιστικός τουρισμός και τοπικό πολιτιστικό προϊόν Δρ. Θεοκλής-Πέτρος Ζούνης Σχολή : ΟΠΕ Τμήμα : Ε.Μ.Μ.Ε. Περιεχόμενα ενότητας Ο Πολιτιστικός

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική Πληροφορικής

Διδακτική Πληροφορικής Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 6: Διαδικασίες Μάθησης Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους

Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ

Λογισμός 3. Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 19: Θεώρημα Πεπλεγμένων (γενική μορφή) Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας

Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 1: Εκτιμητές και Ιδιότητες. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη

Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 6: Διαπεριφερειακές διαφορές Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικό Σχέδιο - CAD

Τεχνικό Σχέδιο - CAD Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τεχνικό Σχέδιο - CAD Ενότητα 7: SketchUp Αντικείμενα Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων

Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 6: ΜΕΓΕΘΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστική Ι (2/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα