Συστήματα Αναμονής. Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1. Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

Transcript

1 Συστήματα Αναμονής Ενότητα 7: Ουρά Μ/Μ/1 Αγγελική Σγώρα Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο TEI Δυτικής Μακεδονίας και στην Ανώτατη Εκκλησιαστική Ακαδημία Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 Σκοποί ενότητας Η ενότητα αυτή, πραγματεύεται το ζήτημα της ουράς Μ/Μ/1. 4

5 Περιεχόμενα ενότητας Εισαγωγή. Υπολογισμός πιθανοτήτων. Σύστημα εξισώσεων διαφορών ως προς n. Στατιστική ισορροπία. Μέτρα λειτουργικότητας ουράς. Χρόνοι αναμονής και κατανομές. 5

6 Εισαγωγή (1/3) Το πιο σύνηθες σύστημα ουράς Μ/Μ/1. Αφίξεις σύμφωνα με ανέλιξη Poisson. Με ρυθμό λ. Χρόνοι εξυπηρέτησης. Ανεξάρτητες και ισόνομες τ.μ.. Κοινή κατανομή. Εκθετική με παράμετρο μ είναι. Ένα μοναδικό σημείο εξυπηρέτησης. 6

7 Εισαγωγή (2/3) Δεν υπάρχουν φυσικοί περιορισμοί στο σχηματισμό της ουράς. First In First Out (FIFO). Αν X t t 0 είναι η σ.α. του αριθμού των αφίξεων. Δηλαδή η τ.μ. X t εκφράζει τον αριθμό των αφίξεων στο χρονικό διάστημα (0, t]. Η σ.α. X t t 0 είναι ανέλιξη Poisson με ρυθμό λ. Ισχύει ότι: P {Πραγματοποιείται μία άφιξη στο διάστημα Δt} = λδt + o(δt). P {Πραγματοποιούνται πάνω από μία αφίξεις στο διάστημα Δt} = o(δt). 7

8 Εισαγωγή (3/3) Αν Q(f) είναι ο αριθμός των πελατών τη χρονική στιγμή t. Είναι χρήσιμο να υπολογίσουμε τις πιθανότητες: Έστω ότι η αρχική κατανομή της Q(0) είναι p i (0) i S. Ορίζοντας τις πιθανότητες μετάβασης: Συμφωνά με το θεώρημα της ολικής πιθανότητας θα έχουμε: 8

9 Υπολογισμός πιθανοτήτων (1/4) Για τον υπολογισμό των εν λόγω πιθανοτήτων: Χωρίζουμε το διάστημα (0, t+h] σε δυό υποδιαστήματα (0, t] και (t, t+h]. Υπολογίσουμε την πιθανότητα P in (t+h) συναρτήσει της πιθανότητας P in (t). 9

10 Υπολογισμός πιθανοτήτων (2/4) Πίνακας 1: Υπολογισμός πιθανοτήτων. Πηγή: Διδάσκουσα (2015). Πελάτες τη στιγμή 0 Πελάτες τη στιγμή t Αφίξεις στο (t, t+h) Αναχωρήσεις στο (t, t+h) Πελάτες τη στιγμή t+h Πιθανότητα i n 1 1 n p i,n (t) {λh+o(h)} {μh+ο(h)} i n 0 0 n p i,n (t) {1-λh+o(h)} {1-μh+ο(h)} i n n p i,n-1 (t) {λh+o(h)} {1-μh+ο(h)} i n 0 1 n p i,n+1 (t) {1-λh+o(h)} {μh+ο(h)} 10

11 Υπολογισμός πιθανοτήτων (3/4) Γενικά έχουμε: Έτσι: 11

12 Υπολογισμός πιθανοτήτων (4/4) Αντίστοιχα, λαμβάνοντας υπόψη τον παρακάτω πίνακα: Πίνακας 2: Υπολογισμός πιθανοτήτων (Συνέχεια). Πηγή: Διδάσκουσα (2015). Πελάτες τη στιγμή 0 Πελάτες τη στιγμή t Για n=0 έχουμε: Αφίξεις στο (t, t+h) Αναχωρήσεις στο (t, t+h) Πελάτες τη στιγμή t+h Πιθανότητα i p i0 (t) {1-λh+o(h)} i p i1 (t) {1-λh+o(h)} {μh+ο(h)} 12

13 Σύστημα εξισώσεων διαφορών ως προς n (1/2) Δηλαδή θα έχουμε: 13

14 Σύστημα εξισώσεων διαφορών ως προς n (2/2) Και στη συνέχεια: 14

15 Στατιστική ισορροπία (1/5) Λέμε ότι βρισκόμαστε σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας αν: Η πιθανότητα να υπάρχουν n πελάτες στο σύστημα είναι ανεξάρτητη: Από το χρονικό διάστημα λειτουργίας του συστήματος. Από το πλήθος των πελατών που υπάρχουν αρχικά στο σύστημα. 15

16 Στατιστική ισορροπία (2/5) Έστω ότι έχουμε ένα σύστημα ουράς Μ/Μ/1 κι έστω ότι το εν λόγω σύστημα βρίσκεται σε κατάσταση στατιστικής ισορροπίας. Τότε θα ισχύουν τα παρακάτω: Για n=1 θα έχουμε: 16

17 Στατιστική ισορροπία (3/5) Αν συνεχίσουμε να χρησιμοποιούμε την παραπάνω αναδρομική σχέση, προκύπτει: Επίσης ισχύει: Έτσι: 17

18 Στατιστική ισορροπία (4/5) Θέτουμε: Κατά αυτόν τον τρόπο θα έχουμε: Επιπλέον, σημειώνουμε ότι η ακόλουθη γεωμετρική σειρά συγκλίνει αν και μόνο αν ρ<1: 18

19 Στατιστική ισορροπία (5/5) Έτσι, για ρ < 1: Πιθανότητα να υπάρχουν 0 πελάτες: Πιθανότητα να υπάρχουν n πελάτες: 19

20 Μέτρα λειτουργικότητας ουράς (1/8) Μέσος αριθμός πελατών. Έστω: Q ο αριθμός των πελατών. L ο μέσος αριθμός των πελατών. Έχουμε: 20

21 Μέτρα λειτουργικότητας ουράς (2/8) Έτσι, η διασπορά των πελατών θα είναι: 21

22 Μέτρα λειτουργικότητας ουράς (3/8) Πιθανότητα ύπαρξης τουλάχιστον n πελατών. 22

23 Μέτρα λειτουργικότητας ουράς (4/8) Οριακή κατανομή πλήθους πελατών. Έστω: Q q το πλήθος των πελατών στην ουρά. L q μέσος αριθμός πελατών στην ουρά. Θα ισχύει: 23

24 Μέτρα λειτουργικότητας ουράς Θα ισχύει (Συνέχεια): (5/8) 24

25 Μέτρα λειτουργικότητας ουράς (6/8) Επιπλέον, η κατανομή των πελατών στην ορά όταν το σύστημα δεν είναι κενό, δίνεται από τον παρακάτω τύπο: Αντίστοιχα, η κατανομή των πελατών στην ορά όταν η ουρά δεν είναι κενή, δίνεται από τον τύπο: 25

26 Μέτρα λειτουργικότητας ουράς (7/8) Μέσος αριθμός πελατών στην ουρά. Σε περίπτωση που η ουρά δεν είναι κενή. 26

27 Μέτρα λειτουργικότητας ουράς (8/8) Μέσος χρόνος αναμονής στη ουρά: Μέσος χρόνος παραμονής στο σύστημα: 27

28 Χρόνοι αναμονής και κατανομές (1/4) Συνάρτηση κατανομής του χρόνου παραμονής Τ ενός πελάτη στο σύστημα: Υπολογίζουμε την πιθανότητα P T t Q = n. Αν κατά την άφιξη ενός πελάτη, υπάρχουν ήδη n πελάτες στο σύστημα: Ο χρόνος παραμονής του εν λόγω πελάτη στο σύστημα θα ισούται με το χρόνο εξυπηρέτησης n+1 πελατών. 28

29 Χρόνοι αναμονής και κατανομές (2/4) Όμως, ο χρόνος εξυπηρέτησης ενός πελάτη είναι μία τ.μ.. Η οποία ακολουθεί την εκθετική κατανομή έχοντας μέση τιμή 1/μ. Επίσης, λόγο ότι ο χρόνος αυτός είναι ανεξάρτητος από τους χρόνους εξυπηρέτησης των υπολοίπων πελατών: Ο χρόνος παραμονής του πελάτη στο σύστημα θα ακολουθεί την κατανομή γάμμα με παραμέτρους n+1 και 1/μ. Έτσι, θα ισχύει: 29

30 Χρόνοι αναμονής και κατανομές (3/4) 30

31 Χρόνοι αναμονής και κατανομές (4/4) Συνάρτηση κατανομής της T q : 31

32 Βιβλιογραφία 1. Στοχαστικές ανελίξεις, Δάρας Τρύφων Ι., Σύψας Παναγιώτης Θ., Εκδόσεις Ζήτη Πελαγία & Σια Ο.Ε. 2. Ουρές Αναμονής, Φακίνος Δημήτρης, Εκδόσεις Σ. Αθανασόπουλος & ΣΙΑ Ο.Ε. 3. Πιθανότητες, τυχαίες μεταβλητές και στοχαστικές διαδικασίες, Παπούλης Αθανάσιος, Pillai S. Unnikrishna, Εκδόσεις Α. Τζιόλα & ΥΙΟΙ Α.Ε. 32

33 Τέλος Ενότητας

34 Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας, Αγγελική Σγώρα. «Συστήματα Αναμονής». Έκδοση: 1.0. Κοζάνη Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: URL. 34

35 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο. που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο. που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο. Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. 35

36 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς. το Σημείωμα Αδειοδότησης. τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων. το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει). μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 36