Αρχιτεκτονική και Οπτική Επικοινωνία 1 - Αναπαραστάσεις

Transcript

1 Αρχιτεκτονική και Οπτική Επικοινωνία 1 - Αναπαραστάσεις Ενότητα: ΓΕΝΙΚΑ Διδάσκων: Γεώργιος Ε. Λευκαδίτης Τμήμα: Αρχιτεκτόνων Μηχανικών

2 ΓΕΝΙΚΑ 1. ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Η καθολική χρήση της επίπεδης «Παράστασης» 1 των τρισδιάστατων αντικειμένων υπό τη μορφή σχεδίου στο χαρτί ή στην οθόνη των ηλεκτρονικών υπολογιστών, οφείλεται στην ανάγκη του ανθρώπου να βλέπει 2 και να διαχειρίζεται τις ιδέες του υλοποιημένες σε ένα επίπεδο. Η ανάγκη αυτή γίνεται προφανώς επιτακτικότερη στους τεχνικούς, οι οποίοι, γι αυτόν ακριβώς το λόγο, χρησιμοποιούν τον δισδιάστατο χώρο (επίπεδο) ως υποκατάστατο του τρισδιάστατου χώρου 3, μελετώντας «αντ αυτού» επίπεδες παραστάσεις του. Προσφέρεται δηλαδή η δυνατότητα έρευνας και επίλυσης προβλημάτων του τρισδιάστατου αντικειμένου όχι απευθείας στο ίδιο το αντικείμενο στον τρισδιάστατο χώρο, αλλά επί των δισδιάστατων παραστάσεών του. Για να επιτευχθεί η επίπεδη παράσταση τρισδιάστατου αντικειμένου χρησιμοποιούνται οι «Μέθοδοι Παραστάσεων», που αποτελούν αντικείμενο έρευνας της «Παραστατικής Γεωμετρίας» 4. Ο κλάδος αυτός της Γεωμετρίας ασχολείται με τη λύση του θεωρητικού και ταυτόχρονα τεχνικού προβλήματος της παράστασης του τρισδιάστατου χώρου στον δισδιάστατο χώρο και έχει θεωρητικό υπόβαθρο στην Προβολική Γεωμετρία. Η παράσταση και το τρισδιάστατο αντικείμενο που παρουσιάζεται με αυτήν, με την βοήθεια των Μεθόδων Παραστάσεων, συνδέονται με μία αντιστοιχία, ανάλογη με αυτήν που συνδέει μια λέξη με το εννοιολογικό της περιεχόμενο. Άλλωστε, οι παραστάσεις, όπως και ο γραπτός λόγος, είναι σύμβολα και μέσα επικοινωνίας. Η Παραστατική Γεωμετρία είναι ο θεωρητικός και ταυτόχρονα τεχνικός κλάδος της Γεωμετρίας, που ενοποιεί πολλούς κλάδους των Τεχνικών Επιστημών, των οποίων αποτελεί προϋπόθεση, είτε για την εξέλιξή τους, είτε για την καλύτερη αντιμετώπιση των προβλημάτων τους. Οι κλάδοι αυτοί είναι εκείνοι στους οποίους η έννοια «τρισδιάστατος χώρος» είναι συστατικό τους στοιχείο, όπως είναι οι επιστημονικές περιοχές που αποτελούν αντικείμενο μελέτης των Αρχιτεκτονικών Σχολών ή των Σχολών Πολιτικών, Τοπογράφων, Μηχανολόγων, Ναυπηγών και λοιπών Μηχανικών, Διακοσμητών κλπ. Η καλλιέργεια της γνώσης των Μεθόδων Παραστάσεων κατά τη διάρκεια της εκπαίδευσης των υποψήφιων μηχανικών και των τεχνικών γενικότερα αποτελεί την προϋπόθεση για ευρεία και σαφή αντίληψη του τρισδιάστατου χώρου. Οι τεχνικοί στην καθημερινή παραγωγή του έργου τους χρησιμοποιούν τις Μεθόδους Παραστάσεων, ακόμη και αν αυτό δεν γίνεται συνειδητά αλλά εμπειρικά, χωρίς δηλαδή σαφή γνώση και σωστή εφαρμογή των απαιτούμενων γεωμετρικών νόμων. Σε κάθε περίπτωση οι μέθοδοι αυτές δίνουν μία εύκολα σχεδιαζόμενη και εύχρηστη επίπεδη παράσταση του τρισδιάστατου αντικειμένου το οποίο περιγράφουν. Με την προϋπόθεση της τήρησης των γεωμετρικών νόμων σχεδίασης παρέχεται ταυτόχρονα η δυνατότητα, συνήθως κατά ζεύγη ομοειδών επίπεδων παραστάσεων ή σε συνδυασμό περισσότερων, να οριστεί πλήρως το ζητούμενο αντικείμενο. Το «συνήθως» χρησιμοποιείται υπό την έννοια ότι είναι εφικτό από μία και μόνο επίπεδη παράσταση να προκύψει η δυνατότητα προσδιορισμού του τρισδιάστατου αντικειμένου. Η επίπεδη αυτή παράσταση οφείλει να περιέχει προφανώς όλα εκείνα τα απαραίτητα στοιχεία, με τη βοήθεια των οποίων θα επιτευχθεί ο προσδιορισμός αυτός, στοιχεία τα οποία παρέχονται με την κατάλληλη Μέθοδο Παράστασης.

3 Επομένως, οι Μέθοδοι Παραστάσεων προσφέρουν στους τεχνικούς, αφενός απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο για την παρουσίαση ενός τρισδιάστατου αντικειμένου στο επίπεδο, αφετέρου αντίστροφα παρέχουν τις απαιτούμενες πληροφορίες για τον πλήρη καθορισμό του μέσα από την ανάγνωση και κατανόηση κατάλληλων δισδιάστατων παραστάσεών του. Δηλαδή, οι Μέθοδοι Παραστάσεων χρησιμοποιούνται με ευθύ και αντίστροφο τρόπο, ως δύο όψεις του ίδιου νομίσματος: Ο τρισδιάστατος χώρος και ό,τι εμπεριέχει είναι η μία όψη και ταυτίζεται με το χώρο του υπό κατασκευή τρισδιάστατου έργου του μηχανικού, ενώ η άλλη συνιστά τα γνωστά «σχέδια», τα οποία δημιουργούνται, όλα ανεξαιρέτως, με την εφαρμογή των Μεθόδων Παραστάσεων, ακόμα κι όταν η εφαρμογή αυτή επιτυγχάνεται συχνά με εμπειρικές- διαισθητικές μεθόδους. Τελικά, η επικράτηση των Μεθόδων Παραστάσεων οφείλεται, αφενός στην παρεχόμενη από αυτές ευκολία σχεδίασης οποιουδήποτε τρισδιάστατου αντικειμένου σε ένα επίπεδο όπως και, αντίστροφα, στην δυνατότητα κατασκευής του τρισδιάστατου αντικειμένου από τις παραστάσεις του και αφετέρου στο γεγονός ότι τα σχέδια που προκύπτουν απ αυτές δίνουν μία εκφραστική άλλοτε περισσότερο και άλλοτε λιγότερο, ανάλογα με τη χρησιμοποιούμενη Μέθοδο Παράστασης επίπεδη εικόνα του τρισδιάστατου αντικειμένου. Οι Μέθοδοι Παραστάσεων που χρησιμοποιούνται από τους τεχνικούς στις συνηθισμένες εφαρμογές είναι: 1. Μέθοδος Monge. 2. Υψομετρική ή Τοπογραφική Μέθοδος. 3. Αξονομετρία. 4. Προοπτική. Σε όλες τις παραπάνω Μεθόδους Παράστασης προϋποτίθεται, όπως ήδη αναφέρθηκε, ότι η επιφάνεια παράστασης, δηλαδή η επιφάνεια σχεδίασης, είναι ένα επίπεδο e. Εν τούτοις, υπάρχουν Μέθοδοι Παραστάσεων, όπου σε πρώτο στάδιο, το τρισδιάστατο αντικείμενο αντιστοιχίζεται σε κυλινδρική, κωνική ή σφαιρική επιφάνεια και στη συνέχεια, σε δεύτερο στάδιο, σε επίπεδο σχεδίασης e, στο οποίο σχεδιάζεται πλέον η ζητούμενη τελική παράσταση του τρισδιάστατου αντικειμένου με κατάλληλη διαδικασία και ανάλογα τις εκάστοτε απαιτήσεις 5. Η έννοια της παράστασης του τρισδιάστατου χώρου σε ένα επίπεδο είναι μία έννοια έμφυτη στον άνθρωπο, όπως αποδεικνύεται από σχετικές έρευνες και από τα κατάλοιπα παλαιότερων εποχών 6. Σήμερα αντιλαμβανόμαστε τρισδιάστατα, μέσω ψευδαισθήσεων (virtual reality: εικονική πραγματικότητα), πριν από την κατασκευή του, το προς κατασκευήν αντικείμενο, με χρήση ειδικών ηλεκτρονικών μηχανισμών 7. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 1. ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ 1 Στην ελληνική βιβλιογραφία υπάρχει πολλές φορές σημασιολογική σύγχυση σχετικά με τους όρους «Παράσταση», «Αναπαράσταση», «Απεικόνιση», «Εικόνα», οι οποίοι χρησιμοποιούνται συχνά ως ταυτόσημοι. Το ίδιο συμβαίνει και με τους όρους «Μέθοδοι Παραστάσεων», «Μέθοδοι Αναπαράστασης», «Μέθοδοι Απεικόνισης». Εδώ χρησιμοποιούμε

4 για την μελέτη μας τους όρους «Μέθοδοι Παραστάσεων» και «Παράσταση». Με τον όρο «Μέθοδοι Παραστάσεων» θα εννοούμε το σύνολο των γεωμετρικών πράξεων, με τη βοήθεια των οποίων, μέσω «προβολής», (κεντρικής ή παράλληλης) και «τομής» των αντίστοιχων ακτίνων με ένα επίπεδο, ένα τρισδιάστατο αντικείμενο, μη υπαρκτό, αντιστοιχεί σε μία ή περισσότερες δισδιάστατες «Παραστάσεις» του. Για τους τεχνικούς οι πράξεις αυτές πρέπει να λειτουργούν και αντίστροφα, ώστε από τη μία ή περισσότερες παραστάσεις να είναι δυνατόν να κατασκευαστεί το μοναδικό τρισδιάστατο αντικείμενο. Για τα υπαρκτά φυσικά ή υλοποιημένα αντικείμενα προτείνουμε τους όρους «Μέθοδοι Απεικόνισης» (διαδικασία), «Εικόνα» (αποτέλεσμα). Επιπλέον προτείνουμε τη διάκριση και διαφοροποίηση των όρων «Ανα παράσταση» και «Παράσταση» των τρισδιάστατων ιδεατών αντικειμένων, χωρίς όμως να εισερχόμαστε σε περιοχές της Γνωσιακής Επιστήμης, περιοριζόμενοι σε εποπτική κυρίως αντιμετώπιση των εννοιών, δημιουργώντας μια καταρχήν βάση συνεννόησης. «Αναπαράσταση» θα ονομάσουμε την πλήρη και σαφή αντίληψη που έχει ο δημιουργός για το, προ της κατασκευής του, πνευματικά βιωμένο ιδεατό τεχνικό έργο στο σύνολό του και στις λεπτομέρειές του, οιονεί υλοποιημένο στο χώρο. Την πραγματικά υλοποιημένη στη συνέχεια παρουσίαση του τεχνικού έργου στο χαρτί ή στην οθόνη του ηλεκτρονικού υπολογιστή, υπό την έννοια της οπτικής αντίληψης, που προκύπτει με την εφαρμογή των κατάλληλων θεωρητικών και τεχνικών μεθόδων («Μέθοδοι Παράστασης») θα ονομάσουμε «Παράσταση». Οι δύο έννοιες συνδέονται άρρηκτα και αμφίδρομα, αφού, για να υπάρξει «Παράσταση» ιδεατού τεχνικού έργου, πρώτα το έργο αυτό «αναπαριστάνεται» σταδιακά στη συνείδηση και στο πνεύμα του δημιουργού, ενώ παράλληλα και ταυτόχρονα, η επίσης, αναλόγως σταδιακά, δημιουργουμένη «Παράσταση» τον ενισχύει, προσφέροντας νέες ιδέες για τη διόρθωση, συμπλήρωση, βελτίωση και τέλος οριστικοποίηση της «Αναπαράστασης» του έργου. Από τους ορισμούς αυτούς προκύπτουν: 1. Η έννοια της «Ανα παράστασης» τρισδιάστατου αντικειμένου συμπίπτει με την έννοια του ίδιου του ιδεατού αντικειμένου. 2. Η γραφή της γλώσσας των τεχνικών είναι οι «Παραστάσεις» που περιγράφουν, τις, υπό μορφή «Ανα παραστάσεων», ιδέες τους. 3. Οι ιδέες που κυοφορούνται στο πνεύμα και στη συνείδηση του δημιουργού ως άϋλες «Αναπαραστάσεις», καταγράφονται ως επίπεδες υλοποιημένες «Παραστάσεις». 4. Ο σκοπός του δημιουργού είναι να μετατρέψει τις «Αναπαραστάσεις» του ιδεατού γεωμετρικοποιημένου αντικειμένου σε υλοποιημένο πραγματικό τρισδιάστατο αντικείμενο, διαδικασία που επιτυγχάνεται μέσω των οποιασδήποτε μορφής «Παραστάσεων». 5. Οι «Παραστάσεις» είναι το μέσον επικοινωνίας του δημιουργού με τους αποδέκτες των «Αναπαραστάσεων» δηλαδή των ιδεών του. 6. Αντίστροφα, οι αποδέκτες-θεατές των «Παραστάσεων» αντιλαμβάνονται και αυτοί ως «Αναπαραστάσεις» τις ιδέες του δημιουργού του τρισδιάστατου υπό υλοποίηση τεχνικού έργου, με αποτέλεσμα να αντιμετωπίζουν τις δισδιάστατες «παραστάσεις» ως τρισδιάστατες, τις οποίες αποκαλούν «τρισδιάστατα σχέδια». 7. Όταν οι τεχνικοί χρησιμοποιούν τον όρο «Αναπαραστάσεις», εννούν συνήθως τις «Παραστάσεις» στο περιεχόμενο του όρου, αφού αναφέρονται συνήθως στα «σχέδια» και όχι στο ίδιο το ιδεατό τρισδιάστατο αντικείμενο που περιγράφεται και καθορίζεται από αυτά. 8. Συχνά στις εφαρμογές οι «Εικόνες» μετατρέπονται σε άλλου είδους εικόνες, όπως π.χ. στη Φωτογραμμετρία οι κεντρικές προβολές μετατρέπονται σε ορθές προβολές, ή στις «Εικόνες» προστίθενται «Παραστάσεις» και αντίστροφα, όπως π.χ. στα τοπογραφικά σχέδια (εικόνες) προστίθενται αρχιτεκτονικά σχέδια (παραστάσεις). Οι προηγούμενες έννοιες αποδίδονται στο συνοπτικό διάγραμμα που ακολουθεί.

5 Βλέπε: 1. ΕΜΜΑΝΟΥΗΛ- ΓΕΩΡΓΙΟΣ ΒΑΚΑΛΟ «Οπτική Σύνταξη» σελ. 34, Εκδόσεις Νεφέλη 1988, 2. RUDOLF ARNHEIM «Τέχνη και Οπτική Αντίληψη» σελ. 222, Εκδόσεις Θεμέλιο 1999, 3. E.H.GOMBRICH «Τέχνη και Ψευδαίσθηση» σελ. 136, Εκδόσεις Νεφέλη Σχετικά με τους παραπάνω όρους και τους ορισμούς τους στη βιβλιογραφία βλ. ΠΑΝ.Δ.ΛΑΔΟΠΟΥΛΟΥ «Στοιχεία Παραστατικής Γεωμετρίας» 1976, σελ 1 3, ενώ για τους ορισμούς των θεμελιωδών πράξεων Προβολής και Τομής, οι οποίες χρησιμοποιούνται κατά την εφαρμογή των Μεθόδων Παραστάσεων βλ. ΠΑΝ, Δ. ΛΑΔΟΠΟΥΛΟΥ «Στοιχεία Προβολικής Γεωμετρίας» τόμος πρώτος, σελ. 53, Εκδόσεις Καραβία, Αθήνα Επίσης, βλ. ΚΩΣΤΑΣ ΠΑΓΩΝΔΙΩΤΗΣ «Το πρόβλημα των νοητικών αναπαραστάσεων στη γνωσιακή επιστήμη: προς μία μη αναπαραστασικά περιγραφή των νοητικών φαινομένων», Διδακτορική διατριβή στο Τμήμα Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Ε.Μ.Π. Αθήνα Στη διατριβή αυτή και στα πλαίσια της επιστήμης αυτής, δίνονται δέκα ορισμοί, ανάλογα με την εκάστοτε προσέγγιση του θέματος, που εξαρτάται π.χ. από τον τρόπο χρήσης ή τη δυνατότητα χρήσης της αναπαράστασης, την επάρκειά της την υποτιθέμενη ομοιότητά της προς το αναπαριστώμενο κ.λ.π. Π.χ. ο παρακάτω ορισμός 6 και αφού προηγουμένως έχουν διαυκρινιστεί οι έννοιες «Περιεχόμενο», «Μορφή» και «Νόημα», «...παρέχει άμεσα μία απάντηση στο ερώτημα πως ένα πράγμα αποκτά νόημα: από τον τρόπο χρήσης του. Υιοθετώντας αυτήν την προσέγγιση, ο προκαταρκτικός ορισμός της έννοιας της αναπαράστασης μπορεί να συμπληρωθεί ως εξής: Ένα αντικείμενο Α συνιστά αναπαράσταση κάποιου αντικειμένου, ιδιότητας, σχέσης ή κατάστασης πραγμάτων Ο, δηλαδή έχει ως περιεχόμενο το Ο, αν για κάποιον επαρκή χρήστη Χ η μορφή Μ του Α μπορεί να αναφέρεται (ακριβέστερα και παραπέμπει) στο Ο (αναφερόμενο) υπό μια συγκεκριμένη προοπτική Ν (νόημα), δυνάμει του τρόπου που ο Χ χρησιμοποιεί το Α». Ο ορισμός 1, που χρησιμοποιείται ως αφετηρία της σχετικής μελέτης, αναφερόμενος ταυτόχρονα και στον ορισμό του όρου «περιεχόμενο» της αναπαράστασης, είναι ο εξής: «Ένα αντικείμενο Α συνιστά αναπαράσταση κάποιου πράγματος Ο αν μπορεί να πάρει τη θέση του Ο ή, με άλλα λόγια να αντικαταστήσει το Ο». (βλ. Κεφάλαιο Τρίτο, «Μια πρώτη προσέγγιση της έννοιας της αναπαράστασης» σελ. 57 εώς 89). 2 α. Βλ. Γ.Ε.ΛΕΥΚΑΔΙΤΗ «Η Προοπτική», σελ.10, κείμενο και σημείωση 1. β. Το περιεχόμενο του ρήματος «βλέπω», στην περίπτωση των καλλιτεχνών αποκτά ιδιαίτερο νόημα. Σχετικά μ αυτό: «Όσο κι αν ο ιστορικός της τέχνης είναι φυσικό να νιώθει ικανοποίηση όταν ζητούν τη συμβολή του σε μια σειρά εκθέσεων με το αρχικό γενικό τίτλο «Το μάτι του καλλιτέχνη», θα ήθελα μολαταύτα να υπενθυμίσω στον αναγνώστη ότι ούτε οι καλλιτέχνες ούτε οι ιστορικοί της τέχνης είναι σε θέση να επηρεάσουν ουσιαστικά το «μάτι» τους ή τη «ματιά» τους» (βλ. E.H.GOMBRICH «Σκιαί ερριμμέναι. Η απόδοση της σκιάς στη Δυτική Τέχνη», σελ. 10).

6 3 α. Ο φυσικός χώρος θεωρούμε ότι αποτελείται από τον αισθητό χώρο και τον γεωμετρικό χώρο. Ο γεωμετρικός χώρος είναι μία έννοια πλήρως νοητική και μπορεί να προσεγγιστεί μέσα από την αντίληψη του αισθητού χώρου. Ο γεωμετρικός χώρος περιέχει στοιχεία πραγματικά και φανταστικά. Τα φανταστικά στοιχεία του γεωμετρικού χώρου είναι ανέφικτο να προσεγγιστούν με τη βοήθεια του αισθητού χώρου. Τα αντικείμενα των μηχανικών ανήκουν στον αισθητό χώρο, προκειμένου όμως να κατασκευαστούν «γεωμετρικοποιούνται», δηλαδή χάνουν την φυσική τους υπόσταση και γίνονται αντικείμενα του γεωμετρικού χώρου, έτσι ώστε να μπορούν να παρασταθούν πριν υλοποιηθούν. Η παράστασή τους γίνεται σε ένα επίπεδο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας δηλαδή σε ένα επίπεδο του γεωμετρικού χώρου, το οποίο όμως θεωρούμε ότι υλοποιείται υπό τη μορφή χαρτιού ή οθόνης (βλ. ΠΑΝ.Δ.ΛΑΔΟΠΟΥΛΟΥ «Στοιχεία Παραστατικής Γεωμετρίας» 1976, σελ. 1-3). Επίσης βλέπε 1. ΕΥΑΓΓΕΛΟΥ Σ. ΣΤΑΜΑΤΗ «Το πρόβλημα του χώρου» Δελτίον της Ελληνικής εταιρείας φιλολόγων Τόμος 32, 1980, 2. MAX JAMMER «Έννοιες του χώρου» Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης 2001). β. Με την «παράσταση» αντιστοιχούμε τις ιδιότητες του τρισδιάστατου χώρου σε ιδιότητες του δισδιάστατου. Αντίστροφα, η δυνατότητα ανάγνωσης της δισδιάστατης παράστασης μεταφράζεται για τους τεχνικούς σε σαφή και πλήρη γνώση του τρισδιάστατου αντικειμένου που παριστάνεται με αυτήν. Η «Παράσταση» αποτελεί μία παγκόσμια γλώσσα επικοινωνίας (βλ. 1. UMBERTO ECO «Η αναζήτηση της τέλειας γλώσσας» Εκδ. Ελληνικά Γράμματα, 1998, 2. ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΤΣΑΤΣΟΥΛΗΣ «Η γλώσσα της εικόνας» Ελληνικά Γράμματα, 2000, 3. STEVEN PINKER «Το γλωσσικό ένστικτο» Εκδόσεις Κάτοπτρο, 2000, 4. Π. ΤΖΩΝΟΣ «Αρχιτεκτονικός σχεδιασμός Τι είναι αυτό;» Εκδ. Παπασωτηρίου 1996, 5. ΠΕΤΡΟΣ ΜΑΡΤΙΝΙΔΗΣ «Μεσιτείες του ορατού» Εκδ. Νεφέλη, 1997, 6. ΘΑΝΟΣ Ν. ΣΤΑΣΙΝΟΠΟΥΛΟΣ «Θέματα γεωμετρικών απεικονίσεων του χώρου» Συλλογή διδακτικών σημειώσεων για τους σπουδαστές του τμήματος Αρχιτεκτόνων Ε.Μ.Π., Αθήνα 2000). 4 Με τον όρο «Παραστατική Γεωμετρία» που χρησιμοποιούμε στην Ελλάδα, ήδη από τις Αρχές του εικοστού αιώνα (βλ. π.χ. «Μαθήματα Παραστατικής Γεωμετρίας» υπό Ν.Α.ΚΑΡΑΚΑΤΣΑΝΙΔΟΥ, Καθηγητού του Ε.Μ.Π., έκδ και 1915), μεταφράζουμε στα Ελληνικά τους αντίστοιχους όρους από τα Γαλλικά, Ιταλικά, Γερμανικά και Αγγλικά: GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE DARSTELLENDE GEOMETRIE GEOMETRIA DESCRITTIVA DESCRIPTIVE GEOMETRY Τα τελευταία χρόνια χρησιμοποιείται σε βιβλία καθηγητών ιταλικών πανεπιστημίων (βλ. π.χ. Πανεπιστήμιο Ρώμης) και ως ευρύτερος ο όρος: SCIENZA DELLA RAPPRESENTAZIONE Στην Ελλάδα πολλοί, ιδιαίτερα παλαιότεροι μηχανικοί, έχουν ταυτίσει την «Παραστατική Γεωμετρία» με τη μέθοδο μόνο των ορθών προβολών και κυρίως με αυτήν του Monge, αποκλείοντας στην ουσία τις άλλες δύο μεθόδους, της Προοπτικής και της Αξονομετρίας, από το περιεχόμενό του, δηλαδή τις μεθόδους της κεντρικής και τυχαίας παράλληλης προβολής αντίστοιχα. Η αντίληψη αυτή είναι απόρροια του γεγονότος ότι στο παρελθόν, σε πολλές σχολές, στο περιεχόμενο του μαθήματος με τίτλο «Παραστατική Γεωμετρία» δινόταν έμφαση κυρίως στις ορθές προβολές. Εν τούτοις, τα πανεπιστημιακά συγγράμματα, ελληνικά και ξενόγλωσσα, με τον τίτλο «Παραστατική Γεωμετρία» περιέχουν συνήθως όλες τις μεθόδους παράστασης κι όχι μόνο την ορθή προβολή, εκτός εάν αυτό είναι αναγκαίο για εκπαιδευτικούς λόγους και αφορά συνήθως στη δομή και οργάνωση της ύλης στο εκάστοτε βιβλίο ή στην σειρά βιβλίων. Στην προσπάθεια που γίνεται να συμπεριληφθούν στο περιεχόμενο των μαθημάτων της Παραστατικής Γεωμετρίας στα Τριτοβάθμια Ιδρύματα. όλες οι εξελίξεις και τάσεις του επιστημονικού αυτού πεδίου χρησιμοποιούνται, εκτός από τον κλασικό τίτλο «Παραστατική Γεωμετρία» και οι παρακάτω τίτλοι, με ταυτόσημο συνήθως επιστημονικό αντικείμενο, ανεξάρτητα από το επίπεδο ή τις προεκτάσεις που δίνεται ή μπορεί να δοθεί στην έρευνα του αντικειμένου, οι οποίοι τείνουν όμως να τον αντικαταστήσουν. Με τους τίτλους

7 αυτούς προσδιορίζονται μαθήματα των οποίων το περίγραμμα σπουδών περιλαμβάνει τις συνήθεις Μεθόδους Παράστασης (ορθές προβολές, Αξονομετρία, Προοπτική ή και άλλες που επιλέγονται ανάλογα με το τμήμα) καθώς και τα αποτελέσματά τους, δηλαδή τις Παραστάσεις σε ένα και δύο επίπεδα προβολής ή σε κατάλληλα επιλεγμένες επιφάνειες. Ενδεικτικά αναφέρουμε: ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΤΟΥ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΕΙΣ Κατά την άποψή μας ο τίτλος «Παραστατική Γεωμετρία» είναι εξαιρετικά εύγλωττος, περιγραφικός και επιπλέον συνοπτικός, και μπορεί να διατηρηθεί, περιλαμβάνοντας ως επιμέρους κεφάλαια όλες τις Μεθόδους Παράστασης του τρισδιάστατου χώρου. 5 H διαδικασία αυτή χρησιμοποιείται συχνά σε διάφορους τεχνικούς τομείς, όπως π.χ. στην Χαρτογραφία, όπου γίνεται και πάλι χρήση των βασικών γεωμετρικών μεθόδων της «προβολής» και της «τομής», ανεξάρτητα εάν το μαθηματικό υπόβαθρο είναι καθαρά γεωμετρικό ή όχι (βλ. 1. Ι.Α. ΠΟΛΥΡΑΚΗΣ «Διαφορική Γεωμετρία» ΑΘΗΝΑ 1998, 2. ΔΗΜΟΣ Ν. ΠΑΝΤΑΖΗΣ «Χαρτογραφία ΙΙ (Μαθηματική Χαρτογραφία)» Σημειώσεις φοιτητών Τ.Ε.Ι. Αθήνας, ΑΘΗΝΑ 2000, 3. ΑΝΘΗΣ-ΜΑΡΙΑΣ ΚΟΥΡΝΙΑΤΗ «Οπτικά του Ευκλείδη και Προοπτικές Απεικονίσεις» σελ. 247 έως 299, διδακτορική διατριβή στο τμήμα Αρχιτεκτόνων ΕΜΠ Αθήνα 1997). 6 Πρόσφατες σχετικά έρευνες, αποδεικνύουν ότι οι κάτοικοι περιοχών που δεν έχουν καμία επαφή με τον υπόλοιπο κόσμο και τους αναπτυγμένους πολιτισμούς, έχουν την δυνατότητα να αντιλαμβάνονται γεωμετρικές έννοιες σε ποσοστά που συμπίπτουν περίπου με αυτά των κατοίκων των δυτικών κοινωνιών (βλ. SCIENCE «Core Knowledge of Geometry in an Amazonian Indigene Group», Volume 311, σελ , ). 7 Στόχος είναι η οπτική προσέγγιση αντικειμένων του τρισδιάστατου χώρου, με τη βοήθεια δισδιάστατων εικόνων τους και με τέτοιο τρόπο ώστε το αποτέλεσμα να θυμίζει τον φυσικό τρόπο όρασης. Σήμερα, μέσω της «Εικονικής Πραγματικότητας», η οποία επιτυγχάνεται με την βοήθεια κατάλληλων ηλεκτρονικών συστημάτων και ανάλογου εξοπλισμού, δίνεται αρκετά πειστικά η αίσθηση του τρισδιάστατου χώρου. Σχετικά με τη σημασία του όρου «Εικονική Πραγματικότητα», ενδιαφέρον παρουσιάζει η άποψη του Γιάννη Βενέρη, Καθηγητή στο τμήμα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών Ε.Μ.Π., η οποία διατυπώνεται σε παλαιότερη έκδοση από το Ε.Μ.Π. του βιβλίου του «Πληροφορική στην Αρχιτεκτονική». «Η τρέχουσα φάση της Πληροφορικής Επανάστασης χαρακτηρίζεται από την ευρεία διάδοση του Διαδικτύου (Internet), τις ασύρματες τεχνολογίες που επιτρέπουν την χρήση συστημάτων «εν κινήσει» (mobile informatics), την διαρκή «πληροφοριοποίηση» των δραστηριοτήτων που επιτρέπει την χρήση των τεχνολογιών της «οιονεί πραγματικότητας» (virtual reality: ο αγγλικός όρος virtual αποδίδεται με τη λέξη «οιονεί», αντί της λέξης εικονική, που συνήθως σημαίνει πλαστή, ενώ το virtual δεν είναι απαραίτητα πλαστό, ή αναφέρεται στην εικόνα, ενώ το virtual όχι απαραίτητα)». Οιονεί = κάτι σαν, κατ επέκταση δήθεν (βλ. λεξικά). 2. ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ Πριν από αρκετά χρόνια, εξαιτίας της εισβολής των Η/Υ στην τεχνική, έγινε μια πλήρης επανεκτίμηση και αναδιάρθρωση των μεθόδων και των τεχνικών λύσεων των προβλημάτων που αντιμετωπίζει ο μηχανικός σε καθημερινό επίπεδο. Η ταχύτητα εκτέλεσης των υπολογισμών και της αριθμητικής επεξεργασίας μέσω Η/Υ, τα πρώτα χρόνια της μαζικής χρήσης τους, έδωσε τη δυνατότητα ανάπτυξης μεθόδων λύσεως τεχνικών προβλημάτων με τη βοήθεια αυτής της επεξεργασίας, χωρίς όμως, την εποχή εκείνη, να σταματήσει η

8 σχεδιαστική παράσταση των τεχνικών θεμάτων στο χαρτί, πάντοτε με την εφαρμογή των Μεθόδων Παράστασης. Οι υπολογιστικές μέθοδοι όμως δεν ήταν ικανές να καλύψουν επί πλέον και την ανάγκη του τεχνικού, όπως ήδη αναφέρθηκε, να «βλέπει» και να διαχειρίζεται την ιδέα του σε «σχέδιο», πριν την υλοποίησή της. Υπήρξε δηλαδή ένα μεταβατικό στάδιο, σε σχέση με την σημερινή κατάσταση, κατά τo οποίo το σχεδιαστικό μέρος της λύσης των τεχνικών προβλημάτων γινόταν με τις παραδοσιακές μεθόδους στο σχεδιαστήριο, οι οποίες όμως ήταν πλέον πολύ αργές για να καλύψουν τις συνεχώς αυξανόμενες απαιτήσεις. Η ανάγκη της σχεδίασης με ταχύτητα, ακρίβεια και ευκολία οδήγησε στην παραγωγή χαμηλού κόστους Η/Υ και κατάλληλων προγραμμάτων με εύκολο χειρισμό και με δυνατότητα σχεδιασμού σε οθόνη και στη συνέχεια μεταφορά του αποτελέσματος στο χαρτί, όταν αυτό απαιτείται. Οι επίπεδες παραστάσεις που εμφανίζονται στις οθόνες των υπολογιστών είναι ακριβώς οι ορθές προβολές, τα αξονομετρικά ή τα προοπτικά σχέδια των τρισδιάστατων αντικειμένων, δηλαδή τα αποτελέσματα των Μεθόδων Παραστάσεων, των οποίων όμως η παρουσίασή τους, ως τελικό προϊόν, επιτυγχάνεται πλέον με τη βοήθεια της Θεωρητικής και της Εφαρμοσμένης Πληροφορικής. Αυτό είχε ως συνέπεια να μπορούν να χρησιμοποιηθούν από όλους τους μηχανικούς οποιασδήποτε ειδικότητας και οι τέσσερις συνήθεις γεωμετρικές Μέθοδοι Παράστασης και όχι μόνο οι ορθές προβολές, όπως κυρίως συνέβαινε στο παρελθόν. Εξαίρεση αποτελούν οι αρχιτέκτονες, οι οποίοι σχεδίαζαν πάντοτε αξονομετρικά και προοπτικά, όποτε αυτό το έκριναν απαραίτητο ή χρήσιμο 8. Σχετικά με την ανάγκη εκπαίδευσης των φοιτητών σήμερα σε θέματα Παραστάσεων ο Jean Aubert 9 διατυπώνει χαριτολογώντας την άποψη ότι η έκδοση του βιβλίου του Axonometrie, καθυστέρησε, χάνοντας διαδοχικά «τρία ραντεβού». Aντί να εκδοθεί σε εποχές επιστημονικών ή αισθητικών ανακατατάξεων, όπου η παρουσία του θα ήταν αναγκαία και χρήσιμη, όπως έπρεπε κατά την γνώμη του να συμβεί το 1880 ή το 1935 ή το 1975, τελικά εκδόθηκε στο Παρίσι το 1996, εποχή κατά την οποία έχει τεθεί ήδη το ερώτημα: Έχει νόημα η έκδοση βιβλίου με το συγκεκριμένο ή παρόμοιο περιεχόμενο, σήμερα, στην εποχή των ηλεκτρονικών υπολογιστών και του αυτόματου σχεδιασμού; O ίδιος, προβληματιζόμενος, θέτει το θέμα σε διαφορετική βάση, αφού διερωτάται: «αρκεί για κάποιον όμως, να πατήσει το πλήκτρο ενός Η/Υ για να πραγματοποιήσει με μειονέκτημα βέβαια να σκέφτεται λιγότερο όλων των ειδών τις προβολές και οτιδήποτε επιθυμεί χάρις στα λογισμικά;». Επειδή ο προβληματισμός αυτός εξακολουθεί να είναι επίκαιρος, κατά την άποψή μας καθόλου δεν αρκεί, τουλάχιστον σε επίπεδο Τριτοβάθμιας εκπαίδευσης. Καταρχάς πρέπει να ληφθεί υπόψιν ότι οι περισσότεροι από τους διδάσκοντες στα Τριτοβάθμια Ιδρύματα, σε σχολές ή τμήματα πολυτεχνικής κατεύθυνσης, διαπιστώνουν την ύπαρξη σοβαρού ελλείμματος στην γεωμετρική υποδομή των φοιτητών, ειδικότερα σε ότι αφορά στην, προφανώς, αναγκαία στους μηχανικούς αντίληψη του χώρου, αλλά και γενικότερα στην Ευκλείδειο Γεωμετρία. Αυτό οφείλεται και στο γεγονός ότι ενώ στο παρελθόν, οτιδήποτε σχετικό με τη Ευκλείδειο Γεωμετρία αποτελούσε αυτονόητο τμήμα της Δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης, σήμερα υπάρχει μία σοβαρή διαφοροποίηση στο θέμα αυτό 10. Κατά τη γνώμη μας και με βάση τη διαπίστωση αυτή, η εκπαίδευση των υποψήφιων μηχανικών σε θέματα Γεωμετρίας και μάλιστα στα θέματα της αντιστοιχίας μεταξύ τρισδιάστατου και δισδιάστατου χώρου, είναι περισσότερο αναγκαία από ποτέ, αφού η πρόοδος της τεχνικής ήταν και εξακολουθεί να είναι συνυφασμένη με τις Μεθόδους Παραστάσεων, εφόσον τα τρισδιάστατα αντικείμενα, πριν υλοποιηθούν, παριστάνονται στο

9 χαρτί ή στην οθόνη του Η/Υ. Επίσης στα υλοποιημένα ή στα φυσικά αντικείμενα η μελέτη θεμάτων που σχετίζονται με αυτά γίνεται συνήθως σε δισδιάστατες παραστάσεις τους, είτε αυτές δίνουν εντυπώσεις τρισδιαστάτου είτε όχι. Επί πλέον, οι Μέθοδοι Παραστάσεων και το αποτέλεσμά τους, η Παράσταση, συμβάλλουν και με τον εποπτικό τους χαρακτήρα στην ανάπτυξη της αντίληψης του χώρου, της Γεωμετρικής συνείδησης και της φαντασίας των υποψηφίων τεχνικών. Η ψηφιακή τεχνολογία βέβαια προσφέρει την απαιτούμενη ταχύτητα και ακρίβεια, αφενός στη λύση ενός ορισμένου συνόλου προβλημάτων, αφετέρου στην παρουσίαση του τελικού αποτελέσματος. Όμως, στους υποψήφιους μηχανικούς είναι προφανές ότι δεν πρέπει να θεωρείται αρκετό για την επιστημονική τους καλλιέργεια μόνο η γνώση των ψηφιακών εργαλείων και των κατά περίπτωση κατάλληλων προγραμμάτων 11, διότι εντέλει, δεν έχει σημασία μόνο το μέσο με το οποίο υλοποιείται ένα αποτέλεσμα, αλλά κυρίως η γνώση της δομής του αποτελέσματος αυτού και η θεωρητική βάση της δημιουργίας της δομής αυτής. Εξάλλου, η δημιουργική αξιοποίηση, αντί της μηχανικής χρήσης των προγραμμάτων αυτών, προϋποθέτει τη γνώση των ιδιοτήτων του γεωμετρικού χώρου. Επομένως, δεν αρκεί η γνώση της διαδικασίας, μέσω της χρήσης προγραμμάτων, για τη σχεδίαση του εμφανιζόμενου στην οθόνη αποτελέσματος, εκτός εάν, η πάντοτε δικαίως επιδιωκόμενη ταχύτητα και ακρίβεια καθώς και ο εντυπωσιασμός που προσφέρεται από τους Η/Υ είναι τα μόνα ζητούμενα ή μπορούν να θεωρηθούν ως ικανοποιητικός στόχος στην εκπαίδευσή των φοιτητών. Αν δεχθούμε το προφανές ότι ένας τέτοιος στόχος δεν είναι αρκετός για την καλλιέργεια των τεχνικών της Τριτοβάθμιας εκπαίδευσης, σε ότι αφορά στην κατανόηση του τρισδιάστατου χώρου και στην εν συνεχεία παράστασή του στο δισδιάστατο -ως ένα υποκατάστατό τουγίνεται φανερή η ανάγκη της γεωμετρικής μελέτης των Μεθόδων Παραστάσεων και των αποτελεσμάτων τους, δηλαδή των Παραστάσεων, υπό το πρίσμα του «συνθετικού πνεύματος». Ως συνθετικό πνεύμα 12 εννοούμε την έρευνα και χρήση των γραφικών ιδιοτήτων των γεωμετρικών σχημάτων στη λύση των τεχνικών προβλημάτων, τα οποία σχήματα εμφανίζονται ούτως ή άλλως, τουλάχιστον ως αποτέλεσμα, στο χαρτί ή στις οθόνες των H/Y. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 2. ΜΕΘΟΔΟΙ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ KAI ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΕΣ 8 Πρέπει εδώ να τονιστεί η αξία των Μεθόδων Παράστασης και ειδικά της Προοπτικής, ιδιαίτερα για τους Αρχιτέκτονες, αφού «συνιστά το προ-ορατικό μέρος των Εικαστικών Τεχνών και βοηθάει στην ανάπτυξη της ικανότητας του δημιουργού να αντιλαμβάνεται προς όλες τις κατευθύνσεις το έργο που πρόκειται να κατασκευάσει πριν από την υλοποίησή του» (βλ. 1. ΠΑΝ.Δ.ΛΑΔΟΠΟΥΛΟΥ «Εικαστικαί Τέχναι και Γεωμετρία». Πρακτικά της Ακαδημίας Αθηνών, έτος 1968, τόμος 43, σελ. 22). Σχετικά με τη χρήση των Μεθόδων Παράστασης από τους Αρχιτέκτονες, ο Ηλίας Κωνσταντόπουλος, στο εισαγωγικό σημείωμα του μαθήματος Παραστατικής και Προβολικής Γεωμετρίας του Τμήματος Αρχιτεκτόνων Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών, έγραψε προ ετών: «Η παράσταση της αρχιτεκτονικής είναι μια αφαίρεση του πραγματικού χώρου, μία επιλεκτική οπτική θεώρηση του κόσμου. Η κατασκευασμένη αρχιτεκτονική και η αρχιτεκτονική που αναπαριστάται σε μία εικόνα, σε ένα σχέδιο ή σε μία φωτογραφία, δεν ταυτίζονται πλήρως. Η παράσταση της αρχιτεκτονικής είναι σχετικά αυτόνομη από την κατασκευασμένη αρχιτεκτονική για δύο λόγους. Αφ ενός, επειδή οποιαδήποτε γραμμική παράσταση αποτελεί

10 και μία συγκεκριμένη οπτική θεώρηση, δεν δύναται να μεταδώσει την αρχιτεκτονικά εμπειρία στην ολότητά της, και ως εκ τούτου αναφέρεται μόνον σε αυτήν, είναι μία αφαίρεσή της και συνεπώς, είναι κάτι λιγότερο από αυτήν (βλ. Robin Evans). Αφ ετέρου, επειδή ακριβώς αποτελεί μία συγκεκριμένη οπτική του χώρου, δεν είναι απλώς και μόνο ένα εξηγητικό εργαλείο, αλλά ένα μέσον με τη δική του αυτοτέλεια. Η παράσταση του χώρου κατασκευάζοντας τους δικούς της χάρτινους κόσμους, τους οποίους προτείνει ως δυνατότητες κατασκευής και μελλοντικής πραγμάτωσης, είναι γι αυτό αυθύπαρκτη. Η παράσταση της αρχιτεκτονικής είναι επομένως ένα αυτοτελές εκφραστικό μέσον, μία δραστηριότητα σχετικά αυτόνομη από την κατασκευασμένη αρχιτεκτονική, και όχι απλά και μόνο ένα ερμηνευτικό εργαλείο. Τα μαθήματα Παραστατικής και Προβολικής Γεωμετρίας στοχεύουν να κάνουν κατανοητές τις μεθόδους της παράστασης του τρισδιάστατου χώρου στις δύο διαστάσεις. Στοχεύουν επίσης να κάνουν κατανοητές τις αντίστοιχες αρχιτεκτονικές αντιλήψεις τις οποίες εκφράζουν, μέσα από την παρουσίαση του σχεδιαστικού αρχιτεκτονικού έργου των Piranesi, Lequeu, J.M.Gandy, A.Sant Elia, E.Mendelsohn, J.Chernikov, H.Ferriw, M.Scolari, OMA, P.Eisenman, Z.Hadid, D.Libeskind, L.Woods, και πολλών άλλων. Στόχος λοιπόν του μαθήματος είναι ο εξοπλισμός των φοιτητών με γνώσεις που εμπλουτίζουν το αρχιτεκτονικό σχέδιο και το καθιστούν όχι μόνο εργαλείο δουλειάς αλλά και γλώσσα επικοινωνίας. Η γνώση των διαφορετικών αυτών μεθόδων επιτρέπει τη δημιουργική επιλογή του καταλληλότερου συστήματος παράστασης για ένα συγκεκριμένο θέμα, και για μία συγκεκριμένη αρχιτεκτονική θεώρηση». Από τα παραπάνω προκύπτει, για μία ακόμη φορά, ότι ο ρόλος της Προοπτικής και της Αξονομετρίας στην κατάρτιση ενός τεχνικού και ειδικά ενός Αρχιτέκτονα είναι πολύ ευρύτερος από αυτόν που συνήθως του αποδίδουν: Στη μηχανική σχεδίαση δηλαδή, είτε στο χαρτί είτε στον Η/Υ, με τη βοήθεια γνωστών γεωμετρικών κανόνων ή με την χρήση κατάλληλων λογισμικών, της παράστασης του αντικειμένου που πρόκειται να κατασκευαστεί. 9 JEAN AUBERT, αρχιτέκτονας. Έχει διδάξει Παραστατική Γεωμετρία στην Ecole d architecture de Paris la Villette. Ένα από τα βιβλία του είναι το «Axonometrie», Edition de la Villette, Paris, α. «...Στην πρώτη Ενότητα 4.1 εξετάζονται τα κανονικά πολύγωνα, τα κανονικά πολύεδρα, οι γεωδαιτικοί θόλοι και τα πολύχωρα πολύτοπα. Η πραγμάτευση αυτών των θεμάτων εξυπηρετεί πολλούς σκοπούς. Πρώτο, προσφέρει ένα συνοπτικό πανόραμα των κλάδων αυτών της Γεωμετρίας του χώρου, οι οποίοι έχουν εξαιρεθεί από τη Μέση Εκπαίδευση, που για δυσερμήνευτους λόγους έχει εγκαταλείψει πλήρως τη Στερεομετρία, και σε σημαντικό βαθμό και την Επιπεδομετρία. Οι αρνητικές επιπτώσεις για την ικανότητα σύλληψης σύνθετων μορφών είναι τεράστιες, και αυτό έχει επιπτώσεις και στην Ανώτατη Εκπαίδευση, τόσο στους κλάδους που απαιτούν τρισδιάστατη αντίληψη, σκέψη και φαντασία, όσο και ευρύτερα, αφού οι σπουδαστές έχουν απολέσει σημαντική λειτουργία αντίληψης». ΙΩΑΝΝΗΣ ΒΕΝΕΡΗΣ, «Πληροφορική και Αρχιτεκτονική Έννοιες και Τεχνολογίες», σελ. 471, Εκδόσεις Τζιόλα, β. «...Με τον περιορισμό της διδασκομένης ύλης στο μάθημα της Γεωμετρίας Λυκείου στα κεφάλαια εκείνα που οι ιδιότητες των σχημάτων εκφράζονται με αλγεβρικές σχέσεις, όπως π.χ. είναι τα θεωρήματα των διχοτόμων, των διαμέσων, το Πυθαγόριο θεώρημα, η μέτρηση γωνιών, μηκών και εμβαδών, η Γεωμετρια εκφυλίζεται σε απλές ασκήσεις άλγεβρας και αριθμητικών αντικαταστάσεων». ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΑΡΚΑΤΗΣ «Γεωμετρία: θεμέλιος λίθος της εκπαίδευσης», σελ. 49, Συλλογικός τόμος πρακτικών συνεδρίου «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: από την Επιστήμη στην Εφαρμογή», Συνεδριακό Κέντρο Α.Τ.Ε.Ι. Πειραιά, 1-2 Ιουνίου γ. «...Η βαθύτερη επιθυμία μου είναι να επανέλθει η γεωμετρία στο σχολείο, στη θέση που της αξίζει. Και τούτο διότι η γεωμετρία, με τα σχήματά της, που είναι κίνητρο και μέγιστη βοήθεια στην επαγωγική σκέψη, προσφέρει πολλά και χειροπιαστά παιδαγωγικά ευεργετήματα». ΠΑΡΙΣ ΠΑΜΦΙΛΟΣ «Έλασσον γεωμετρικόν», σελ. Χ, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, δ. «...Το πρόβλημα εμφανίζεται αρχικά στην Γ Γυμνασίου όταν οι μαθητές έρχονται σε επαφή με τις αυστηρές αποδεικτικές διαδικασίες και γίνεται ιδιαίτερα έντονο στην Α Λυκείου όπου η Γεωμετρία είναι ανεξάρτητο μάθημα και θεμελιώνεται αξιωματικά». «Πολλοί μαθητές

11 προτιμούν να ασχοληθούν με μία αρκετά δύσκολη άσκηση άλγεβρας παρά με μία σχετικά απλούστερη άσκηση Γεωμετρίας...». «...Εδώ και πάρα πολλά χρόνια δεν εξετάζεται στις εισαγωγικές εξετάσεις των Ανωτάτων Σχολών». ΓΕΩΡΓΙΟΣ Μ. ΕΞΑΡΧΑΚΟΣ «Οι νέες τεχνολογίες και η εφαρμογή τους στην κατανόηση γεωμετρικών εννοιών στην τριτοβάθμια εκπαίδευση. Οπτικοποίηση των πληροφοριών: Η σημασία της για την υποστήριξη διδασκαλίας γεωμετρικών σχημάτων», σελ. 216, Διδακτορική Διατριβή, ΕΚΠΑ, Αθήνα Έχει αναπτυχθεί εκπαιδευτική εφαρμογή με τίτλο «Gaspard Monge» η οποία αυτοματοποιεί την παράσταση γεωμετρικών αντικειμένων και την επίλυση προβλημάτων στο σύστημα Monge σε περιβάλλον CAD και έχει γραφτεί σε γλώσσα Visual LISP. Το θέμα αυτό παρουσιάστηκε στο Συνέδριο Η αναπαράσταση ως όχημα αρχιτεκτονικής σκέψης στο Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας, τμήμα Αρχιτεκτόνων Μηχανικών, Βόλος Οκτωβρίου Η εισήγηση έγινε από τους Β.Πέππα Π.Νικολαϊδη Ε.Δημητριάδου Γ.Λευκαδίτη και είχε τίτλο: «Παράσταση αντικειμένων του τρισδιάστατου χώρου σε σύστημα Monge και παράσταση σε συστήματα CAD - Παρατηρήσεις με αφορμή την ανάπτυξη μιας εκπαιδευτικής εφαρμογής επίλυσης προβλημάτων Παραστατικής Γεωμετρίας». Βλ. πρακτικά συνεδρίου σελ Ο διαχωρισμός βέβαια μεταξύ «Αναλυτικού και Συνθετικού πνεύματος» είναι αδιάφορος για τις τεχνικές επιστήμες, οι οποίες κάνουν χρήση όλων των μαθηματικών θεωριών και μεθόδων προκειμένου να τις εφαρμόσουν στην επίλυση των προβλημάτων τους. Προτείνουμε όμως στο θέμα αυτό να υπάρξει εκπαιδευτική ισορροπία, διότι έχει δοθεί ένα ισχυρό προβάδισμα στις «υπολογιστικές» μεθόδους, ενώ οι «γραφικές ιδιότητες», απαραίτητες στην αντίληψη του χώρου, υπολείπονται σημαντικά. Ήδη από το Λύκειο, ακόμη και απλά γεωμετρικά επίπεδα προβλήματα λύνονται κυρίως με υπολογιστικές ή αναλυτικές μεθόδους (βλ. π.χ. μελέτη Κωνικών), δίνοντας έτσι στους μαθητές που θα στραφούν σε πολυτεχνική κατεύθυνση ελάχιστη αντίληψη των γεωμετρικών εννοιών και σχέσεων στο επίπεδο και σχεδόν καθόλου στον τρισδιάστατο χώρο, ο οποίος - κυρίως αυτός - απαιτεί μια ιδιαίτερη μέθοδο προσέγγισης και αντιμετώπισης των προβλημάτων του. Το πρόβλημα του διαχωρισμού μεταξύ «αναλυτικού» και «συνθετικού» πνεύματος είναι παλαιό. Σχετικά με το θέμα αυτό ο Παν. Λαδόπουλος στα συγγράμματά του έγραψε: «Ο R.Descartes, δια της αναλυτικής μεθόδου, εισάγει εις την Γεωμετρίαν μίαν νέαν δοξασίαν, αντιτιθεμένην προς το ιδεώδες των Ελλήνων Γεωμετρών, εις το οποίον ήτο προσηλωμένος ο B.Pascal. Οι δύο ούτοι φιλόσοφοι είναι φορείς δύο αντιτιθεμένων δοξασιών. Ο R.Descartes υπήρξεν ο φορεύς του αναλυτικού πνεύματος, το οποίον έκτοτε φέρει και το όνομά του, ενώ ο B.Pascal υπήρξεν ο φορεύς του συνθετικού πνεύματος. Η Αναλυτική Γεωμετρία είναι η έκφρασις του αναλυτικού πνεύματος, ενώ η Προβολική του συνθετικού». Σχετικά με την «Προβολική Γεωμετρία» τονίζουμε ότι το περιεχόμενό της αναφέρεται στη σπουδή των «γραφικών ιδιοτήτων», των λεγόμενων και «προβολικών», δηλαδή των ιδιοτήτων εκείνων που διατηρούνται αναλλοίωτες κατά τις γεωμετρικές πράξεις της «προβολής» και της «τομής». Ας σημειωθεί ότι οι υπόλοιπες γεωμετρικές ιδιότητες, οι ονομαζόμενες «μετρικές», αφορούν στις μετρήσεις μηκών εμβαδών κ.λ.π. και συνιστούν το δεύτερο τμήμα της Γεωμετρίας. Τα δύο τμήματα συνδέονται με γεωμετρικά σχήματα ή μεγέθη, τα οποία μπορούν να αντιμετωπισθούν με τη μία ή την άλλη Γεωμετρία και ονομάζονται «μετρικοπροβολικά». Όπως απέδειξε ο F.Klein, εντέλει, όλες οι Γεωμετρίες, Ευκλείδειες και μη Ευκλείδειες, υπάγονται στην Προβολική Γεωμετρία, στην οποία περιλαμβάνονται τόσο οι γραφικές όσο και οι μετρικές ιδιότητές τους. Πρέπει να τονιστεί ακόμη, ότι οι μετρικές ιδιότητες θεωρούνται ως μεταμορφωμένες γραφικές ιδιότητες, από τις οποίες μπορούν να προκύψουν, όπως απέδειξε ο A.Cayley ( ), ( βλ. ΣΤΕΛΙΟΣ ΜΑΡΚΑΤΗΣ «Γεωμετρία: θεμέλιος λίθος της εκπαίδευσης», σελ. 52, Συλλογικός τόμος πρακτικών συνεδρίου «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ: από την Επιστήμη στην Εφαρμογή», Συνεδριακό Κέντρο Α.Τ.Ε.Ι. Πειραιά, 1-2 Ιουνίου 2012). Αυτό σημαίνει ότι η μελέτη των γραφικών ιδιοτήτων είναι πιο σημαντική από τη μελέτη των μετρικών ιδιοτήτων (βλ. ΠΑΝ.Δ.ΛΑΔΟΠΟΥΛΟΥ 1.«Στοιχεία Παραστατικής Γεωμετρίας», σελ. δ και 2.«Στοιχεία Προβολικής Γεωμετρίας», τόμος πρώτος, σελ. 4, 5, 7, 11, 15β).

12 Όπως ήδη αναφέρθηκε στην παραπάνω σημείωση 10 και στο αντίστοιχο κείμενο, στα σημερινά Ελληνικά Λύκεια, η μελέτη των γραφικών γεωμετρικών ιδιοτήτων βρίσκεται σε δεύτερη μοίρα, ενώ αντίθετα έχει δοθεί μικρή σχετικά έμφαση στις μετρικές. Όμως, για τους μαθητές που επιτυγχάνουν σε σχολές με περιεχόμενο σπουδών πολυτεχνικής κατεύθυνσης είναι αναγκαίο να έχουν ήδη ανεπτυγμένη «γεωμετρική συνείδηση και γεωμετρική φαντασία», ώστε να είναι σε θέση αντιλαμβάνονται τις γραφικές γεωμετρικές ιδιότητες του χώρου, ο οποίος είναι καθημερινά ο χώρος αναφοράς της επιστήμης τους και των εφαρμογών της. Η προσαρμογή των φοιτητών στο απαιτούμενο «συνθετικό πνεύμα», ενώ είναι απαραίτητη για την αντιμετώπιση των ιδιοτήτων αυτών, είναι εξαιρετικά δύσκολο να επιτευχθεί, αφενός πρακτικά, αφού τα Τριτοβάθμια Ιδρύματα δεν έχουν το χρονικό περιθώριο να την επιτύχουν, αφετέρου ουσιαστικά, λόγω διαμορφωμένης και παγιωμένης ήδη «αναλυτικής αντίληψης» στους νεοεισερχομένους φοιτητές, η οποία αποτελεί για τους ίδιους σχεδόν μοναδική επιλογή για την λύση τεχνικών προβλημάτων.. 3. ΣΥΝΤΟΜΟ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΤΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ 3.1. ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ Η Προοπτική ανήκει στις Μεθόδους Παράστασης της Παραστατικής Γεωμετρίας. Η ανάπτυξή της είναι αποτέλεσμα αναζητήσεων είτε καλλιτεχνικών, είτε καθαρά γεωμετρικών. Βασική αιτία για την εξέλιξη της Προοπτικής πρέπει να θεωρηθεί ότι υπήρξε η έρευνα επί των θεμελιωδών πράξεων της Προβολικής Γεωμετρίας, των μεθόδων δηλαδή της «προβολής» και της «τομής». Επομένως, η Προοπτική είναι δυνατόν να θεωρηθεί ως προπομπός της Προβολικής Γεωμετρίας 13.Οι μέθοδοι αυτές χρησιμοποιούνται ήδη από τον Ε αιώνα π.χ. στη Σκηνογραφία των θεάτρων, με το ενδεχόμενο όμως, η σχεδίαση του θέματος να γινόταν σε σφαιρική επιφάνεια 14 και όχι σε επίπεδη, ώστε οι εικόνες της να ήσαν πιο κοντά στην πραγματικότητα δηλ. πιο αληθοφανείς, ερμηνεύοντας έτσι μια αναφορά του Βιτρούβιου 15 στο θέμα. Τα αποτελέσματα όμως φαίνεται ότι δεν είχαν σχέση με την Προοπτική, όπως την εννοούμε σήμερα, η οποία μελετάται την περίοδο της Αναγέννησης 16. Πράγματι, κατά την Αναγέννηση οι καλλιτέχνες επέτυχαν την ανάπτυξη της Προοπτικής, χρήση της οποίας έκαναν στα έργα τους. Οι προσπάθειές τους είχαν χαρακτήρα είτε καλλιτεχνικό, είτε θεωρητικό, είτε πρακτικό, αφού επινόησαν και διάφορους μηχανισμούς για να αποδείξουν, να ερμηνεύσουν ή να προβλέψουν τους προοπτικούς νόμους. Το θέμα πάντως ξεκίνησε καλλιτεχνικά, μέχρι που οργανώθηκε επιστημονικά. Καταρχάς στην Ιταλία πρωτοπόροι μπορούν να θεωρηθούν ο A.Lorenzetti 17 και ο Filippo Brunelleschi ( ), κατασκευαστής του θόλου της Σάντα Μαρία ντέι Φιόρι στη Φλωρεντία. Το 1436 εκδίδεται και το πρώτο βιβλίο που αναφέρεται στην Προοπτική με τίτλο «Della picture libri tre». Συγγραφέας του είναι ο Αρχιτέκτονας, γλύπτης, μουσικός και ουμανιστής Leone Batista Alberti (Γένοβα 1404 Ρώμη 1472). Το βιβλίο αυτό επανεκδόθηκε στη Νυρεμβέργη το 1511 και στο Μιλάνο το Το 1600 εκδόθηκε από τον Ubaldo del Monte ( ) το βιβλίο του «Perspectivae libri sex», στο οποίο η ανάπτυξη της Προοπτικής γίνεται πλέον καθαρά με γεωμετρικές μεθόδους. Στη Γερμανία, ο πρώτος που ασχολήθηκε με την Προοπτική, για την πιστότερη απόδοση των έργων του, ήταν ο μεγάλος ζωγράφος και χαράκτης Albrecht Dürer, ο οποίος σε έργο του που εκδόθηκε στη Νυρεμβέργη το 1525 με τίτλο «Underweysung der Messung mit Zirkel und Richtscheyt» αναφέρεται στις βασικές αρχές της Προοπτικής, χρησιμοποιώντας απλά μηχανικά συστήματα. Αργότερα, το

13 1759, ο γαλλικής καταγωγής Γερμανός μαθηματικός J.H.Lambert ( ) ασχολείται με την προοπτική στο βιβλίο του «Freye Pespective», που εκδόθηκε στη Ζυρίχη. Το έργο αυτό αποκτά μεγαλύτερη αξία από το γεγονός ότι ο συγγραφέας του αναφέρεται και στο αντίστροφο πρόβλημα της προοπτικής. Πρόκειται για τη δυνατότητα κατασκευής, κάτω από ορισμένες προϋποθέσεις, των ορθών προβολών του αντικειμένου που απεικονίζεται σε ένα προοπτικό του, ακριβώς από το προοπτικό αυτό. Το αντίστροφο πρόβλημα της Προοπτικής αποτελεί ουσιαστικά το πρόβλημα της Φωτογραμμετρίας. Πριν από τον Lambert ο Άγγλος Taylor ασχολήθηκε με το ίδιο πρόβλημα σε βιβλίο του για την Προοπτική το οποίο εκδόθηκε το Στα χρόνια που ακολούθησαν, εκτός από την μεγάλη βιβλιογραφία που δημιουργήθηκε σχετικά με την Προοπτική, μελετώντας την από καλλιτεχνική ή γεωμετρική σκοπιά, έγιναν και μελέτες ή εκδόθηκαν βιβλία που ασχολούνται και με άλλες πλευρές του θέματος, αφού η σωστή τοποθέτηση ενός αντικειμένου στο χώρο είναι πρόβλημα όχι μόνο καλλιτεχνικό ή μαθηματικό, αλλά συγχρόνως ψυχολογικό και φυσιολογικό ΥΨΟΜΕΤΡΙΑ Η Μέθοδος της Υψομετρίας εισάγεται καταρχάς στην Τοπογραφία από τον γεωγράφο P. Buache (Παρίσι ) και τους μηχανικούς του γαλλικού στρατού Chatillon (πρώτος διοικητής της στρατιωτικής σχολής Mezieres, στην οποία φοίτησε αργότερα και ο G. Monge) και Milet de Mureau ( ). Με τη μαθηματική έρευνα του θέματος πρώτοι ασχολήθηκαν οι Ολλανδοί M.S. Cruquius ( ) και M. Bolstra ( ). Ο Gaspard Monge ( ) είναι ο πρώτος που ασχολήθηκε με την ιχνοκάθετο των επιπέδων. Από το 1802 η μέθοδος εισάγεται στο πρόγραμμα σπουδών των σχολών των μηχανικών ΜΕΘΟΔΟΣ G. MONGE Ο Gino Loria αναφέρει στην «Ιστορία των Μαθηματικών» 18 ότι ο Α. Dürer ( ) είναι ο πρώτος Γερμανός που έγραψε Παραστατική Γεωμετρία, αφού «εις το βιβλίο IV του έργου του, όπου διδάσκεται η κατασκευή και η παράστασις των κανονικών και ημικανονικών πολυέδρων, γίνεται προοπτική των απεικόνισις και λαμβάνονται τα αναπτύγματά των εφ ενός επιπέδου». «Εάν λοιπόν ο Dürer εθεωρήθη ως πρώτος γερμανός που έγραψε παραστατικήν γεωμετρίαν (Gerhart: Geschichte der Matematik in Deutscland, σελ. 26, Μόναχον, 1877), τούτο, αν δεν περιέχη κάποιαν υπερβολήν, δεν στερείται εν πάση περιπτώσει βάσεως». «Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι, εάν ο Dürer εύρισκε συνεχιστάς και μαθητάς, αι μέθοδοι παραστάσεως των σχημάτων δεν θα εβράδυνον τρεις περίπου ακόμη αιώνας ν αποτελέσουν ένα νέον και σημαντικόν κεφάλαιον της γενικής γεωμετρίας. Εκείνοι οι οποίοι ήλθον μετά τον Dürer και δεν ήσαν Γερμανοί, αλλά Ιταλοί, δεν ήσαν δε ούτε καλλιτέχναι, αλλά επιστήμονες επεδόθησαν περισσότερον εις το να καταστήσουν τελειοτέρας τας μεθόδους της προοπτικής». Οι πρώτες θεμελιωμένες ιδέες της Παραστατικής Γεωμετρίας σχετίζονται με προβλήματα οχυρωματικών έργων, των οποίων οι λύσεις απαιτούσαν πολύπλοκους και μακροσκελείς υπολογισμούς. Ο Gaspard Monge ( ) αντιμετώπισε τα προβλήματα αυτά με έναν εξαιρετικά εμπνευσμένο τρόπο, όταν έγινε μαθητής στην στρατιωτική σχολή Mezieres και εκεί ανέπτυξε τις βασικές αρχές, μελετώντας την ορθή προβολή σε δύο επίπεδα προβολής. Έτσι,

14 η μέθοδος Monge ιδρύθηκε έχοντας ως αφορμή ένα πρακτικό πρόβλημα, όπως συχνά συμβαίνει στις επιστήμες. Μεταξύ 1794 και 1798 ο G. Μonge αναπτύσσει την ομώνυμη μέθοδό του, την οποία παρουσιάζει το 1794 όταν τη διδάσκει για πρώτη φορά στην Ecole Normale στο Παρίσι ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ο πρώτος που ασχολήθηκε με την Αξονομετρία φέρεται ότι ήταν ο καθηγητής του Cambridge William Farish ( ), ο οποίος το 1820 δημοσιεύει μία εργασία με τίτλο «On isometrical Perspective», στην οποία παρουσιάζει εμπειρικά την ισομετρική αξονομετρία. Σκοπός του ήταν, με τη μέθοδο αυτή, να επιτυγχάνονται πιο κατανοητές και εύληπτες παραστάσεις των τρισδιάστατων αντικειμένων, από αυτές που έδιναν αφενός η προοπτική και αφετέρου οι ορθές προβολές, τουλάχιστον στα σημεία τους που παρουσίαζαν ιδιαίτερο πρόβλημα. Από τους πρώτους που ασχολήθηκε με την μαθηματική μελέτη της αξονομετρίας ήταν ο Γερμανός Ludwing Julius Weisbach ( ) ο οποίος επιπλέον σχεδιάζει πρώτος αξονομετρικά στα οποία έχει προστεθεί σκιά. Ο όρος Αξονομετρία εμφανίζεται για πρώτη φορά το Το 1856 ο Ο. Schlomilch αποδεικνύει το θεώρημα του ορθοκέντρου στην ορθή Αξονομετρία, παρουσιάζοντας και το ομώνυμο θεώρημά του, ενώ το 1831 ο Gauss ασχολείται επίσης με το θέμα. Τέλος, ο Denizot επινοεί το τρίγωνο των ιχνών. Το βασικό θεώρημα της Αξονομετρίας, παρουσιάζεται για πρώτη φορά το 1853 από τον Γερμανό μαθηματικό και καθηγητή της περίφημης Σχολής Μεταλλωρύχων του Φράϊμπεργκ Karl Pohlke ( ) και το 1860 δημοσιεύεται από τον ίδιο, χωρίς απόδειξη, στο βιβλίο του «Darstellende Geometrie». Από τότε έχουν δοθεί πολλές αποδείξεις στο θεώρημα αυτό με πρώτη το 1863 από τον Ηermann Amandus Schwarz ( ). ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΟ ΙΣΤΟΡΙΚΟ ΤΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗΣ 13 Βλ. ΠΑΝ.Δ.ΛΑΔΟΠΟΥΛΟΥ «Στοιχεία Προβολικής Γεωμετρίας» ΑΘΗΝΑΙ τόμος πρώτος, σελ. 5 και Σχετικά με το ζήτημα αυτό ενδιαφέρον παρουσιάζει η εργασία του G.Hauck «Die subjektive Perspektive und die horizontalen Kurvaturen des dorischen stils» ΣΤΟΥΤΓΑΡΔΗ 1879 και η κριτική της από τον Π.Α.ΜΙΧΕΛΗ στο έργο του «Η Αρχιτεκτονική ως Τέχνη» έκδοσις Ε.Μ.Π. ΑΘΗΝΑΙ, σελ Βλ. και EMIL MÜLLER ERWIN KRUPPA «Lehrbuch der darstellenden Geometrie», σελ Ο Π.Α.ΜΙΧΕΛΗΣ επίσης στην «Αισθητική θεώρηση της Βυζαντινής Τέχνης» ΑΘΗΝΑ 1946, σελ. 111 τονίζει ότι κατά την ελληνιστική εποχή υπήρχε Προοπτική με άξονα φυγής, αντί σημείου. Επίσης βλ. Α-Μ. ΚΟΥΡΝΙΑΤΗ - ΝΙΚΟΣ ΚΟΥΡΝΙΑΤΗΣ «Η Προοπτική στην Αρχιτεκτονική Απεικόνιση», σελ. 487, Εκδόσεις Τζιόλα, Markus Vitruvius Pollio, Ρωμαίος αρχιτέκτονας και μηχανικός, που έζησε στους χρόνους του Αυγούστου. Έγραψε το έργο «De Architectura». 16 Ιταλός ζωγράφος που έζησε τον 14ο αιώνα μ.χ. Ο Π. Μιχελής γράφει ότι κατά τον Panofsky, ο A.Lorenzetti είναι ο πρώτος που «τόλμησε με πλήρη μαθηματική συνείδηση να συγκεντρώσει τις γραμμές της πλακόστρωσης του δαπέδου όλες σ ένα σημείο», όπως φαίνεται στον πίνακά του «Ευαγγελισμός». Στον πίνακα αυτόν είναι φανερό ότι προμηνύεται η Προοπτική, αφού τονίζεται η ύπαρξη του σημείου φυγής.( Βλ. ΠΑΝ.Α.ΜΙΧΕΛΗ «Αισθητική θεώρηση της Βυζαντινής Τέχνης» ΑΘΗΝΑ 1946, σελ. 108 και 135).

15 17 Σπούδασε στην Πάδοβα νομικά και Φυσική. Κατά τον Alberti, η αρμονία σ ένα κτίριο είναι αποτέλεσμα μαθηματικού υπολογισμού. Ο Alberti και ο Brunelleschi είναι δύο καλλιτέχνες που εκφράζουν το γενικό πνεύμα της εποχής τους, δηλ. την ανάγκη για μια «οπτική» γεωμετρία, απαλλαγμένη από μετρικά στοιχεία, με τη βοήθεια της οποίας θα απεικονίζεται «αντικειμενικά και επιστημονικά» ο χώρος στο επίπεδο. (Βλ. Χ.Β.ΓΚΛΑΒΑ «Αι Γεωμετρίαι Μέρος Β. Προβολική Γεωμετρία ΑΘΗΝΑΙ 1961, σελ. 146). 18 Στη βιβλιογραφία οι αναφορές στις θεωρητικές μελέτες του Α. Dürer δίνουν συνήθως έμφαση στην ενασχόλησή του με τις προοπτικές μεθόδους, δηλαδή με την κεντρική προβολή και λιγότερο στις εργασίες του για την ορθή προβολή (Βλ. 1. G. LORIA «Ιστορία των Μαθηματικών», Τόμος Πρώτος, σελ. 348, έκδ. Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, 1971, 2. B. ATERINI «Introduzione ai Metodi di Rappresentazione» σελ. 147 και 151, 3. E.T.BELL «Οι Μαθηματικοί», Τόμος Ι, Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, 1995, 4. A. OSTERMANN-G. WANNER «Geometry by Its History», σελ , Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2012).

16

17 Σημειώματα Σημείωμα Ιστορικού ΕκδόσεωνΈργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση Χ.ΥΖ. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση Χ1.Υ1Ζ1 διαθέσιμη εδώ. (Συνδέστε στο «εδώ» τον υπερσύνδεσμο). Έκδοση Χ2.Υ2Ζ2 διαθέσιμη εδώ. (Συνδέστε στο «εδώ» τον υπερσύνδεσμο). Έκδοση Χ3.Υ3Ζ3 διαθέσιμη εδώ. (Συνδέστε στο «εδώ» τον υπερσύνδεσμο). Σημείωμα Αναφοράς Copyright Πανεπιστήμιο Πατρών, Γεώργιος Ε. Λευκαδίτης, Γεώργιος Ε. Λευκαδίτης. «Αρχιτεκτονική και Οπτική Επικοινωνία 1 - Αναπαραστάσεις. Γενικά». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

18 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

19 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.