Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας

Transcript

1 Θεωρία Φυσικής Τμήματος Πληροφορικής και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τ.Ε.Ι. Λαμίας Κύματα και σωματίδια Εισαγωγή στην Κυματική Αν θέλουμε να έρθουμε σε επαφή με κάποιον φίλο μας που μένει σε μια μακρινή πόλη, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε δύο διαφορετικές μεθόδους. Η πρώτη είναι να του γράψουμε ένα γράμμα και η δεύτερη να του τηλεφωνήσουμε. Η πρώτη επιλογή (το γράμμα) αφορά την έννοια του σωματιδίου. Ένα υλικό σώμα μεταφέρεται από το ένα σημείο (του χάρτη) στο άλλο μεταφέροντας την πληροφορία. Την ιδέα αυτή αναλύσαμε στα προηγούμενα μαθήματα της μηχανικής. Η δεύτερη μας επιλογή (το τηλέφωνο) αφορά την έννοια του κύματος. Σε ένα κύμα, η πληροφορία μεταφέρεται από ένα σημείο σε ένα άλλο χωρίς να έχουμε κάποιο υλικό σώμα να κάνει αυτό το ταξίδι. Η πληροφορία του ηχητικού κύματος της φωνής μας γίνεται από το τηλέφωνο μας ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα, το οποίο περνάει από τα χάλκινα σύρματα, ή από οπτικές ίνες, ή και μέσω του αέρα (σε κινητό ή ασύρματο ή δορυφορικό τηλέφωνο). Στην άλλη άκρη, ο φίλος μας δέχεται ένα νέο ηλεκτρομαγνητικό κύμα στη συσκευή του η οποία το μετατρέπει σε ηχητικό. Παρότι το μήνυμα μεταφέρθηκε, δεν έχει ταξιδέψει ως το φίλο μας κανένα υλικό σώμα που έχουμε εμείς ακουμπήσει. Όπως είπε και ο Leonardo da Vinci «Συχνά συμβαίνει ένα κύμα να φεύγει από το τόπο της δημιουργίας του, ενώ το νερό όχι. Όπως τα κύματα που φτιάχνει σε ένα χωράφι σιταριού ο αέρας, όπου βλέπουμε τα κύματα να τρέχουν στο χωράφι αλλά το σιτάρι παραμένει στη θέση του.» Το κύμα και το σωματίδιο είναι δύο σημαντικές έννοιες στη κλασσική φυσική, καθώς μπορούμε να συσχετίσουμε σχεδόν όλα τα θέματα της με το ένα ή το άλλο από τα δύο. Οι δύο έννοιες όμως είναι αρκετά διαφορετικές. Η λέξη σωματίδιο εννοεί μια μικρή συγκέντρωση ύλης ικανή να μεταδώσει ενέργεια. Η λέξη κύμα εννοεί μια ευρεία κατανομή της ενέργειας η οποία «διαπερνά» τον χώρο από τον οποίο διέρχεται. Είδη κυμάτων Τα κύματα όπως και η μηχανική είναι ένα κομμάτι της καθημερινότητας μας. Έχουμε συνηθίσει σε αυτά σε τέτοιο βαθμό που όταν οι άνθρωποι είδαν για πρώτη φορά μια σημαία να καρφώνεται στην (χωρίς ατμόσφαιρα και άρα αέρα) σελήνη, τους φάνηκε παράξενο που δεν κυμάτιζε. Για το λόγο αυτό μάλιστα οι πρώτοι αστροναύτες χρησιμοποίησαν σημαία με έτοιμες ζάρες που θύμιζαν στιγμιότυπο σημαίας που κυματίζει. Κύματα υπάρχουν σε κάθε μεγάλο υδάτινο απόθεμα, από ποτάμι έως τον ωκεανό, στη σημαία ή τα σεντόνια μας όταν τα τινάζουμε. Ο ήχος είναι επίσης ένα κύμα που διαδίδεται στον αέρα και μέσα στο νερό, και οι σεισμοί είναι κύματα που διαδίδονται στην επιφάνεια της Γης αλλά και στο εσωτερικό της. Όλα αυτά τα κύματα είναι μηχανικά και υπακούουν στους νόμους του Νεύτωνα καθώς απαιτούν ένα υλικό μέσο για να υπάρχουν.

2 Υπάρχουν όμως και κύματα, όπως τα ηλεκτρομαγνητικά, τα οποία δεν τα βλέπουμε γύρω μας, έχουν όμως πολύ φανερές συνέπειες στη καθημερινή μας ζωή. Τα ραδιοκύματα, τα μικροκύματα, η υπεριώδης και υπέρυθρη ακτινοβολία είναι μερικά από τα τμήματα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας των οποίων τα αποτελέσματα νοιώθουμε καθημερινά (κινητή τηλεφωνία, τηλεόραση, φούρνος μικροκυμάτων, ηλιακή ακτινοβολία και καλοκαιρινό «μαύρισμα», θέρμανση κ.α.). Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα στην πλειοψηφία τους (στο μεγαλύτερο κομμάτι του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος) δεν μπορούμε να τα δούμε. Το μόνο κομμάτι της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που μπορούμε να δούμε είναι το ορατό, για παράδειγμα οι λάμπες, ο ήλιος, οι φακοί, τα laser pointers, το φως και τα χρώματα, εκπέμπονται όλα στο φάσμα του ορατού. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα δεν απαιτούν κάποιο υλικό μέσο για να διαδοθούν (π.χ. το φως των αστεριών που έρχεται σε εμάς από το σχεδόν κενό του διαστήματος). Ταξιδεύουν μάλιστα όλα με την ταχύτητα του φωτός (όση και αν είναι αυτή στο συγκεκριμένο μέσο όπου βρίσκονται). Για να δούμε όμως λίγο πιο αναλυτικά τα κύματα θα επικεντρωθούμε στα μηχανικά κύματα και θα δούμε τις δύο βασικές κατηγορίες που υπάρχουν. Κύμα γενικά είναι μια διαταραχή στην κατάσταση ισορροπίας η οποία ταξιδεύει ή διαδίδεται από μια περιοχή του χώρου σε άλλη. Η διαταραχή αυτή μπορεί να είναι κάθετη στη κατεύθυνση διάδοσης της διαταραχής, στην οποία περίπτωση έχουμε ένα εγκάρσιο κύμα, είτε να είναι παράλληλη, οπότε μιλάμε για διαμήκες κύμα. Για να δούμε στην πράξη τις δύο κατηγορίες ας θυμηθούμε τι γίνεται όταν α) έχουμε ένα σχοινί δεμένο στην μια του άκρη σε ένα τοίχο ενώ την άλλη την κρατάμε εμείς τεντωμένη και όπου είτε κάνουμε μεμονωμένο ένα παλμό, είτε μια περιοδική μεταβολή (ημιτονοειδούς σήματος), και β) έχουμε ένα έμβολο αερίου σε ένα κλειστό σωλήνα που μπορούμε να μετακινούμε παράλληλα στο μέσο (π.χ. ένεση), το οποίο κινείται προς τα μέσω και προς τα έξω. Στην πρώτη περίπτωση έχουμε το πρώτο σχήμα, η ταχύτητα διάδοσης της διαταραχής είναι προς τον τοίχο. Το σχοινί όμως, και κάθε υλικό του σημείο, ταλαντώνεται κατακόρυφα πάνω-κάτω. Μια μικρή ποσότητα μάζας dm, μήκους dx του σχοινιού ταλαντώνεται πάνω κάτω, κατακόρυφα (εγκάρσια) στο μέσο διάδοσης (το σχοινί). Στο έμβολο, το κύμα που δημιουργείται οφείλεται στη συμπύκνωση και αραίωση του αέρα μέσα στο έμβολο. Τα υλικά σημεία μετακινούνται παράλληλα προς την διεύθυνση της ταχύτητας διάδοσης του κύματος. Η μάζα dm του αέρα μετακινείται μπρος πίσω παράλληλα (κατά μήκος) του μέσου διάδοσης (του αέρα). Σχήμα 1. Διάδοση διαταραχής (μηχανικού κύματος) κατά μήκος σχοινιού. Η διαταραχή (το ανεβοκατέβασμα του σχοινιού) είναι κατακόρυφη στη διεύθυνση διάδοσης.

3 Σχήμα. Διάδοση διαταραχής (μηχανικού κύματος) σε έμβολο. Η διαταραχή (το σπρώξιμο και τράβηγμα του εμβόλου) είναι παράλληλη στη διεύθυνση διάδοσης. Υπάρχουν βέβαια και κύματα τα οποία είναι συνδυασμός των δύο αυτών κυμάτων ή αλλιώς διαταραχές που προκαλούν και τα δύο είδη κυμάτων. Τέτοιο παράδειγμα είναι τα σεισμικά κύματα αλλά και η διαταραχή του νερού όταν ενώ το έχουμε σε ένα συγκεκριμένο δοχείο σε κατάσταση ηρεμίας, ξαφνικά μεταβάλλουμε (μικραίνουμε ή αυξάνουμε) τον όγκο, όπως π.χ. στο σχήμα. Σχήμα 3. Διάδοση διαταραχής (μηχανικού κύματος) σε δοχείο νερού. Η διαταραχή είναι ταυτόχρονα κατακόρυφη και κατά μήκος της διεύθυνσης διάδοσης. Άσκηση 1) Ο σκορπιός τρέφεται με άλλα έντομα, όπως μικρά σκαθάρια. Οι σκορπιοί δεν έχουν καλή όραση, ούτε ακοή. Πώς λοιπόν μπορεί ένας σκορπιός της άμμου να σκοτώσει και φαει ένα μικρό σκαθάρι που περνάει σε κάποια απόσταση από αυτόν; Θεωρείστε γνωστό ότι το διαμήκες κύμα διαδίδεται στην άμμο με ταχύτητα U δ 150m/sec και το εγκάρσιο με ταχύτητα U ε 50m/sec. Λύση: Ο σκορπιός είναι ένα έντομο το οποίο αν και δεν έχει καλή όραση ούτε καλή ακοή έχει τη δυνατότητα να πιάνει την τροφή του με πολύ αποτελεσματικό τρόπο όπως και να κρύβεται από τους εχθρούς του πολύ πριν αυτοί τον δούνε. Πώς το καταφέρνει; Είναι εξοπλισμένος με πόδια τα οποία είναι υπερευαίσθητα στις δονήσεις. Όπως φαίνεται στο σχήμα, τα κύματα που παράγει το σκαθάρι κατά την μετακίνηση του πάνω στην άμμο (σεισμικά) αναλύονται σε διαμήκη και εγκάρσια. Τα κύματα αυτά φτάνουν, λόγω διαφορετικών ταχυτήτων σε διαφορετική χρονική στιγμή στον σκορπιό. Ό σκορπιός έχει απλωμένα τα οκτώ του πόδια σε ένα κύκλο περίπου 5cm. Συνεπώς τα πόδια τα οποία είναι απλωμένα προς τη φορά του σκαθαριού δέχονται πρώτα τη μικρή αυτή δόνηση. Ο σκορπιός συνεπώς έχει ενημερωθεί από το πόδι ότι υπάρχει υποψήφιο

4 θύμα προς εκείνη τη φορά. Στη συνέχεια φτάνει και το εγκάρσιο κύμα με κάποια καθυστέρηση. Η χρονοκαθυστέρηση, Δt, είναι αρκετή για να καταλάβει ο σκορπιός και την απόσταση του θηράματος. Η απόσταση d θα δίνεται από τη σχέση: d U ε Δt Δx ε d d d d ΔtU δu ε U Δt ε Δt δ Δt d, Δt d U ε U δ U ε U δ U δ - U ε U δ Δt δ όπου Δt ε είναι ο χρόνος που έκανε το εγκάρσιο κύμα να φτάσει στο πόδι και Δt δ είναι ο χρόνος που έκανε το διαμήκες κύμα. Ο σκορπιός ξέρει συνεπώς εμπειρικά το χρόνο Δt και μπορεί επίσης εμπειρικά να βρει και την απόσταση d. Αν για παράδειγμα Δt4msec, τότε από τη σχέση προκύπτει ότι d30cm. διαμήκες εγκάρσιο Σχήμα 4. Διάδοση διαταραχής των δύο κυμάτων που προκαλεί το περπάτημα του σκαθαριού. Το διαμήκες κύμα επειδή είναι ταχύτερο φτάνει πρώτο στο σκορπιό και μετά από λίγο χρόνο φτάνει και το εγκάρσιο. Με την ίδια βασική αρχή λειτουργούν και οι σεισμογράφοι που βοηθούν τους σεισμολόγους να προσδιορίσουν το επίκεντρο και το μέγεθος ενός σεισμού. Ανάλογα με το πόσο «δυνατή» φτάνει η δόνηση αυτή στο όργανο του σεισμογράφου προσδιορίζουν την ένταση με την οποία έφτασε στο σημείο του σεισμογράφου. Με πολλούς σεισμογράφους (κατ ελάχιστο τρεις) προσδιορίζουν την ακριβή θέση και επίκεντρο του σεισμού. Με τη βοήθεια γεωλογικών χαρτών που τους λένε την ακριβή ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων (εγκάρσιου και διαμήκους) στο έδαφος ανάμεσα στο επίκεντρο και τον σεισμογράφο βρίσκουν σε πόση απόσταση και προς ποια ακριβώς κατεύθυνση έγινε ο σεισμός. Συνεπώς μπορούν και να πουν ότι η ένταση με την οποία έγινε ο σεισμός στο επίκεντρο ήταν μιας συγκεκριμένης έντασης. Οι διαφορές που προκύπτουν από το ένα σεισμολογικό κέντρο στο άλλο σε θέματα επίκεντρου και έντασης οφείλονται στην ακρίβεια των τιμών των ταχυτήτων και του αριθμού των σεισμογράφων που χρησιμοποιούν για τον προσδιορισμό του επίκεντρου και της έντασης του. Περιοδικά κύματα

5 Περιοδική κίνηση είναι η κίνηση ενός αντικειμένου η οποία επαναλαμβάνεται τακτικά και το αντικείμενο επιστρέφει σε μια συγκεκριμένη θέση μετά από ένα συγκεκριμένο χρονικό διάστημα. Με λίγη προσπάθεια μπορούμε να σκεφτούμε αρκετές περιοδικές κινήσεις στην καθημερινή μας ζωή. Οι λάμπες που κρέμονται από φωτιστικά κινούνται πέρα δώθε όταν κατά λάθος τις σκουντήξουμε, επιστρέφοντας στο ίδιο σημείο με σταθερό ρυθμό. Η Γη περιστρέφεται από γύρω από τον Ήλιο και η Σελήνη γύρω από τη Γη επιδεικνύοντας μια σταθερή συμπεριφορά σε βάθος πάρα πολλών χρόνων. Μια περιοδική κίνηση μπορεί να παράγει ένα περιοδικό κύμα. Αν στο παράδειγμα του σχοινιού που είχαμε στην αρχή, εκτελούμε μια περιοδική ή επαναλαμβανόμενη κίνηση τότε έχουμε παραγωγή περιοδικού κύματος. Αν π.χ. εκτελούμε αρμονική κίνηση (ταλάντωση) πλάτους Α και συχνότητας f ή περιόδου T1/fπω (ω η γωνιακή συχνότητα), προκύπτει ένα ημιτονοειδές κύμα. Το κύμα αυτό μπορεί να περιγραφεί από μια ημιτονοειδής ή μια συνημιτονοειδής συνάρτηση αλλά συνήθως επιλέγεται η ημιτονοειδής. Θεμελιώδη χαρακτηριστικά του κύματος είναι το μήκος κύματος, λ, και η συχνότητα, f. Το μήκος κύματος είναι η απόσταση στον άξονα x μετά την οποία το κύμα εμφανίζει την ίδια μορφή. Η συνεχής επανάληψη του μήκους κύματος μας δίνει την κυματομορφή. Η συχνότητα του κύματος είναι η συχνότητα με την οποία κάθε σημείο του μέσου επαναλαμβάνει την ίδια ταλάντωση. Η κυματομορφή, δηλαδή το κύμα, κινείται με ταχύτητα U (που ονομάζεται ταχύτητα διάδοσης) κατά απόσταση λ σε χρόνο μιας περιόδου Τ (T1/f). Οπότε η ταχύτητα διάδοσης είναι ίση με το γινόμενο του μήκους κύματος επί τη συχνότητα: λ U λf U, (1) T Σύμφωνα μάλιστα με τον Fourier, οποιαδήποτε κυματομορφή μπορεί να περιγραφεί από τον συνδυασμό πολλών ημιτονοειδών κυμάτων. Επίσης για τα κύματα πρέπει να ξέρουμε ότι η ταχύτητα διάδοσης στο ίδιο μέσο το οποίο βρίσκεται στην ίδια θερμοκρασία είναι σταθερή, π.χ. η ταχύτητα διάδοσης του ήχου σε αέρα 0 ο C είναι πάντα 344m/sec ή 140m/h. Κυματοσυνάρτηση ημιτονοειδούς κύματος Γυρνώντας ξανά στο παράδειγμα του σχοινιού, παρατηρούμε ότι συχνά χρειαζόμαστε μια συνάρτηση για την περιγραφή της μετατόπισης ενός υλικού σημείου στον άξονα συναρτήσει της θέσης x στην οποία βρισκόμαστε και της χρονικής στιγμής t. Η συνάρτηση αυτή θα μπορεί να περιγράφει τη θέση οποιουδήποτε υλικού σημείου του μέσου, σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή. Η κυματοσυνάρτηση αυτή γενικά δίνεται από τη σχέση: ( x,t) Aημ( x ωt), () όπου Α είναι το πλάτος της ημιτονοειδούς συνάρτησης, δηλαδή η μέγιστη μετατόπιση από τη θέση ισορροπίας, είναι ο κυματάριθμος και ω η γωνιακή συχνότητα. Ο κυματάριθμος δίνεται από τη σχέση: π, (3) λ και είναι ο αριθμός των μηκών κύματος που περιέχεται σε π ακτίνια και συνεπώς η μονάδα μέτρησης του είναι το rad/m.

6 Η δε γωνιακή συχνότητα ω δίνεται από τη σχέση: π ω πf, (4) T και μετριέται σε rad/sec. Από τις σχέσεις (1), (3) και (4) προκύπτει ότι: π πf ω, (5) λ λf U Χρησιμοποιώντας τις παραπάνω σχέσεις μπορούμε να γράψουμε τη κυματοσυνάρτηση της σχέσης (1) και με διαφορετική μορφή: π x x t () ( x,t) Aημ x πft Aημπ ft Aημπ λ λ λ Τ (6) ω x () ( x,t) Aημ x ωt Aημω t Aημ( x Ut) U U Εξίσωση κύματος Αν παραγωγίσουμε τη σχέση () ως προς το χρόνο μπορούμε την εγκάρσια ταχύτητα U κάθε σωματίου του συστήματος. Η ταχύτητα αυτή δεν πρέπει να συγχέεται με την ταχύτητα διάδοσης U που είδαμε πριν. Συγκεκριμένα έχουμε: U ωaσυν( x ωt) (7) t Παραγωγίζοντας ξανά ως προς το χρόνο η παραπάνω σχέση μας δίνει την επιτάχυνση οποιουδήποτε σωματίου: U α ω Aημ( x ωt) (8) t t Μπορούμε αντίστοιχα να βρούμε τη δεύτερη μερική παράγωγο της σχέσης () ως προς τη θέση x, κρατώντας το χρόνο σταθερό: Aσυν( x ωt) και Aημ( x ωt). (9) x x Διαιρώντας τις σχέσεις (14) και (15) έχουμε: ω Aημ( x ωt) ω t x Αλλά ω Aημ U, οπότε: ( x ωt). (10)

7 U 1 ή U ω t x x t. (11) Η εξίσωση αυτή, (11), λέγεται εξίσωση κύματος και είναι σημαντική γιατί αν παρουσιάζεται κάπου ξέρουμε ότι υπάρχει μια σχέση της μορφής () που περιγράφει την κίνηση κάθε υλικού σημείου.