Physics by Chris Simopoulos

Transcript

1 ΤΡΕΧΟΝΤΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου διαδίδεται κύμα με ταχύτητα 10m/sec, συχνότητα f=50hz και πλάτος A=4cm. Να γραφεί η εξίσωση του κύματος εάν αυτό διαδίδεται προς τα δεξιά και την χρονική στιγμή t=0 η πηγή που βρίσκεται στην αρχή 0 του άξονα έχει απομάκρυνση y=4cm. 2. Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος είναι y=0,4 ημ2π(4t-0,2x). Να υπολογιστούν: α) η ταχύτητα του κύματος β) η απόσταση δύο σημείων τα οποία έχουν κάποια στιγμή μεταξύ τους διαφορά φάσης 7π/2 γ) τη διαφορά φάσης ενός σημείου μεταξύ των χρονικών στιγμών 12 και 15 sec. 3. Κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου διαδίδεται αρμονικό κύμα με λ=20m. Κάποια χρονική στιγμή t δύο υλικά σημεία έχουν αντίστοιχα φάσεις 3π/5 και 18π/5. Να υπολογιστούν: α) η φορά διάδοσης του κύματος και β) η απόσταση των σημείων 4. Κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου διαδίδεται κύμα με ταχύτητα 80m/sec. Η πηγή παράγει το κύμα με εξίσωση y=0,1 ημ8πt. α) ποια χρονική στιγμή αρχίζει να κινείται ένα σημείο που απέχει από την πηγή απόσταση 400m; β) ποια η διαφορά φάσης αυτού του σημείου και της πηγής; γ) ποια η απομάκρυνση αυτού του σημείου από την θέση ισορροπίας την χρονική στιγμή t=5,8125sec Δ) ποια η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σημείου αυτού τότε; 5. Ένα σημείο ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου εκτελεί 10 πλήρεις ταλαντώσεις σε 1sec λόγω του κύματος που διαδίδεται και μάλιστα μεταξύ δύο ακραίων θέσεων που απέχουν 0,1m. Στο χρόνο μιας απλής αιώρησης του σημείου το σώμα διαδίδεται κατά x=0,4m. Να υπολογιστεί η εξίσωση του κύματος εάν αυτό διαδίδεται προς τα δεξιά και την χρονική στιγμή t=0 η πηγή βρίσκεται σε απομάκρυνση y=a. 2 2 και έχει θετική ταχύτητα. 6. Ένα κύμα διαδίδεται σε ομογενές και ισότροπο μέσο με ταχύτητα υ=1 m/sec. Αν το πλάτος ταλάντωσης των σημείων του μέσου είναι Α=2 cm και η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά ένα στοιχειώδες σωματίδιο του μέσου 0,314 cm/s. Να υπολογίσετε: α) Την εξίσωση του κύματος β) Την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του μέσου τα οποία βρίσκονται σε μια διεύθυνση διάδοσης του κύματος και εμφανίζουν διαφορά φάσης 180. γ) Να γίνει η γραφική παράσταση της απόστασης αυτής σε συνάρτηση με τη συχνότητα αν η ταχύτητα υ παραμένει σταθερή. δ) Τη διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων του μέσου Α και Β αν το κύμα φθάνει από το Α στο Β σε χρόνο Δt=5 sec. 7. Ένα κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας χορδής με ταχύτητα υ=1 m/sec. Η πηγή που παράγει το κύμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση και είναι y=4ημ10πt (y σε cm και t σε sec). Να υπολογίσετε:

2 α) Την χρονική στιγμή που θα αρχίσει να κινείται ένα σημείο Μ του μέσου που απέχει από την πηγή απόσταση d=2 m. β) Ποια χρονική στιγμή η δυναμική ενέργεια του Μ θα είναι μέγιστη για πρώτη φορά; γ) Τη μέγιστη κινητική ενέργεια που μπορεί ν' αποκτήσει μια στοιχειώδης μάζα Δm=100 mgr που βρίσκεται στο σημείο Μ. δ) Την χρονική εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Μ. 8. Κατά μήκος ενός σχοινιού διαδίδεται εγκάρσιο κύμα πλάτους Α=20 cm και σε χρόνο t=2 sec διατρέχει διάστημα d=4 m. Αν σε χρόνο t 1 =10 sec περνούν από μια θέση 5 όρη Να υπολογίσετε: α) Την εξίσωση του κύματος. β) Ποια θα είναι η φάση, η απομάκρυνση και επιτάχυνση ενός σημείου Κ που έχει από την άκρη Ο του σχοινιού, που είναι η αρχή διάδοσης των κυμάτων, απόσταση d 2 =50 cm μετά από χρόνο t 2 =2/3sec από τη στιγμή που άρχισε να διαδίδεται το κύμα. γ) Τη δυναμική ενέργεια, μιας στοιχειώδους μάζας Δm=200 mgr που βρίσκεται στο Κ την χρονική στιγμή t 2. Δίνεται π 2 = Γραμμικό αρμονικό κύμα περιγράφεται με την εξίσωση: y=5ημ2π(10t-0,125x) (Το t σε sec, τα x,y σε cm). α) Να υπολογίσετε οι τιμές του πλάτους, της περιόδου, του μήκους κύματος και της ταχύτητας του κύματος. β) Βρείτε την απόσταση δύο σημείων που κάποια χρονική στιγμή παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ=π/2 rad. γ) Βρείτε τη διαφορά φάσης ενός σημείου τις χρονικές στιγμές t 1 =4 sec και t 2 =6 sec. δ) Να βρεθεί η φάση ενός σημείου Μ (x Μ =48 cm) του μέσου διάδοσης τη χρονική στιγμή t 3 =0,25 sec. Ερμηνεύστε το αποτέλεσμα. ε) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σημείου Ν που απέχει 16 cm από την πηγή. στ) Να παρασταθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=0,3 sec. 10. Μια πηγή κυμάτων Ο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση: y=4ημ10πt, (το t σε sec, y σε cm). Αν η ταχύτητα διάδοσης του παραγόμενου κύματος κατά μήκος του άξονα Οχ είναι υ=50 cm/sec, α) Να υπολογιστεί το μήκος κύματος του κύματος. β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος. γ) Να βρεθεί η απόσταση δύο σημείων που κάποια χρονική στιγμή παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ=4π/5 rad. δ) Να βρεθεί η μετατόπιση ενός σωματιδίου του μέσου διάδοσης του κύματος που βρίσκεται πάνω στον άξονα Οχ στη θέση x=20 cm κατά τη διάρκεια μιας περιόδου του κύματος. ε) Να βρεθεί η διαφορά φάσης ενός σημείου Ν τις χρονικές στιγμές t 1 =3 sec και t 2 =7 sec. στ) Να βρεθεί η φάση ενός σημείου Μ (x Μ =60 cm) του μέσου διάδοσης τη χρονική στιγμή t 1 =0,6 sec. Ποια η φυσική σημασία του αποτελέσματος;

3 η) Να γραφεί η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος το οποίο έχει διπλάσιο πλάτος και διπλάσια συχνότητα και διαδίδεται κατά μήκος του άξονα Οχ προς την αντίθετη κατεύθυνση. 11. Η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα Οχ είναι: y=4ημπ(4t-x/5), (το t σε sec, τα χ και y σε cm). α) Να υπολογιστεί η ταχύτητα διάδοσης του κύματος. β) Να γίνει η γραφική παράσταση της απομάκρυνσης σημείου Μ που απέχει 30 cm από την πηγή. γ) Να παρασταθεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=1,25 sec. δ) Να προσδιοριστεί η θέση του πλησιέστερου προς την πηγή Ο του κύματος σωματιδίου του άξονα Οχ, το οποίο κατά τη χρονική στιγμή t=1,375 sec έχει απομάκρυνση y=4 cm. ε) Να γραφεί η εξίσωση της επιτάχυνσης της ταλάντωσης του σωματιδίου του ερωτήματος (δ) σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται π 2 = Η φάση των σημείων του μέσου διάδοσης ενός αρμονικού κύματος πλάτους Α=10 cm τη χρονική στιγμή t=0,5 sec μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση:φ=4π-10πχ (χ σε cm). α) Να κάνετε το διάγραμμα της συνάρτησης φ=f(x). β) Να υπολογίσετε οι τιμές της περιόδου, του μήκους κύματος και της ταχύτητας του κύματος. γ) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος, αν θεωρήσουμε ότι η πηγή αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγμή t=0. δ) Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t 1 =0,75 sec. ε) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του σημείου του ελαστικού μέσου Μ(x Μ =0,2 m) τις χρονικές στιγμές t 2 =1 sec και t 3 =1,0625 sec. στ) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής της απομάκρυνσης και ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του μέσου στο σημείο Μ(χ Μ =0,2 m) τη χρονική στιγμή t 2 =1 sec. Να θεωρήσετε ότι δεν υπάρχουν απώλειες ενέργειας κατά τη διάδοση του κύματος. Δίνεται: π 2 = Στην επιφάνεια λίμνης δημιουργείται ένα αρμονικό επιφανειακό κύμα, το οποίο δεχόμαστε ότι είναι εγκάρσιο. Το κύμα έχει λ=4 cm και διαδίδεται με ταχύτητα υ=20 cm/sec. Ένα μικρό κομμάτι φελλού που βρίσκεται σε απόσταση d=10 cm από την πηγή του κύματος ταλαντεύεται πάνω - κάτω. Αν η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης του φελλού είναι υ ο =20π cm/sec, α) Να γράψετε την εξίσωση του κύματος που διαδίδεται κατά τη θετική φορά του άξονα των χ προς τα δεξιά της πηγής. β) Ποια είναι η απομάκρυνση του φελλού από τη θέση ισορροπίας του, όταν η απομάκρυνση της πηγής του κύματος είναι y=-6 mm. γ) Να προσδιορίσετε τη θέση του πιο κοντινού προς την πηγή του κύματος σημείου του υγρού, το οποίο βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με το φελλό. δ) Να γραφούν οι εξισώσεις της ταχύτητας ταλάντωσης και της επιτάχυνσης του φελλού σε συνάρτηση με το χρόνο. Δίνεται: π 2 = Ένα εγκάρσιο ημιτονοειδές κύμα με πλάτος Α=5 cm που παράγεται από πηγή κυμάτων σε σημείο Ο διαδίδεται από τα αριστερά προς τα δεξιά κατά μήκος ενός οριζόντιου τεντωμένου σκοινιού

4 μεγάλου μήκους με ταχύτητα υ=3,2 m/sec. Κατά τη χρονική στιγμή t=0 η πηγή Ο βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του και κινείται κατά την αρνητική φορά. Όταν η πηγή Ο διέρχεται από τη θέση y=-α=-5 cm για δεύτερη φορά, το παραγόμενο κύμα έχει διαδοθεί σε απόσταση d=80 cm. α) Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της πηγής Ο σε συνάρτηση με το χρόνο. β) Να γραφεί η εξίσωση του κύματος που διαδίδεται κατά μήκος μιας ευθείας Οχ του ελαστικού μέσου προς τα δεξιά της πηγής Ο. γ) Να παρασταθεί γραφικά η φάση φ της ταλάντωσης στα διάφορα σημεία της ευθείας Οχ του ελαστικού μέσου προς τα δεξιά της πηγής Ο τη χρονική στιγμή t=1 sec. δ) Να σχεδιαστεί η μορφή του σκοινιού κατά τη χρονική στιγμή t=0,8 sec. 15. Το άκρο Ο μιας χορδής ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y=0,04ημ(πt+π/3). Ένα σημείο της χορδής που απέχει από το Ο d=0,2 m τη χρονική στιγμή 3sec βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνσή του y=α από τη θέση ισορροπίας για δεύτερη φορά. α) να υπολογίσετε το μήκος κύματος και τη ταχύτητα διάδοσης του κύματος β) να γράψετε την εξίσωση του τρέχοντος κύματος και να υπολογίσετε την απομάκρυνση και την ταχύτητα ενός σημείου Σ που βρίσκεται σε απόσταση 0,24m από το Ο τη χρονική στιγμή 4sec γ) να κατασκευάσετε τα διαγράμματα ι) y=f(t) ενός σημείου που βρίσκεται σε απόσταση x=λ/12 από το σημείο Ο ιι) y=f(x) από το Ο τη χρονική στιγμή t=τ/ Σώμα μάζας m=0,1κgr κρέμεται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου και εκτελεί κατακόρυφες ταλαντώσεις. Η ακίδα δημιουργεί στην επιφάνεια του υγρού κύμα με εξίσωση y=8ημπ(8t-χ/10). α) Ποια η σταθερά του ελατηρίου Β) Ποια η εξίσωση της ταχύτητας του φελλού που απέχει χ=0,4m από την πηγή των κυμάτων 17. Στο αριστερό άκρο οριζόντιας χορδής δημιουργείται εγκάρσιο αρμονικό κύμα με εξίσωση: y=10-3 ημ4π(t - 5χ). (Τα χ, y σε m, t σε s). Α. Για το παραπάνω κύμα να υπολογίσετε τα μεγέθη της συχνότητα, του μήκος κύματος και της ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Β. Αν δύο σημεία της χορδής απέχουν απόσταση Δχ = 70 cm και εκείνο που βρίσκεται πλησιέστερα στο αριστερό Πόσο απέχουν τρία διαδοχικά όρη στην επιφάνεια του υγρού άκρο της χορδής έχει εκτελέσει 18 πλήρεις ταλαντώσεις να βρείτε: α) Τη διαφορά φάσης μεταξύ των δύο σημείων, β) Το πλήθος των ταλαντώσεων του πιο απομακρυσμένου σημείου από το αριστερό άκρο. γ) Το χρόνο που κάνει το κύμα να φτάσει από το ένα σημείο στο άλλο. Γ. Αν κάποια στιγμή το ένα σημείο (πλησιέστερο στο άκρο) του προηγούμενου ερωτήματος έχει απομάκρυνση y 1 =0, m και κινείται προς τη θετική κατεύθυνση να βρεθεί τότε α) Η απομάκρυνση, β) Η ταχύτητα και

5 γ) Η επιτάχυνση του άλλου σημείου. Δ. Μετά από χρόνο t = 10 s από τη δημιουργία του κύματος να υπολογίσετε: α) Την απόσταση που έχει διαδοθεί το κύμα, β) Το πλήθος των σημείων της χορδής που διέρχονται τότε από τη θέση ισορροπίας τους. 18. Ένα γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται σε ένα ελαστικό μέσο με ταχύτητα υ = 2 m/s. Το κύμα έχει πλάτος Α = 5cm και συχνότητα f=10 Ηz. Τη χρονική στιγμή t=0 το υλικό σημείο Ο που αντιστοιχεί στην πηγή του κύματος έχει απομάκρυνση y=5 cm από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης του και το κύμα διαδίδεται κατά τη διεύθυνση του θετικού ημιάξονα Οχ. α) Να βρείτε το στιγμιότυπο του κύματος τη στιγμή t=0,2s β) Ένα σημείο Μ της ημιευθείας Οχ απέχει χ=45 cm από την πηγή Ο. Να παραστήσετε γραφικά σε συνάρτηση με το χρόνο, την απομάκρυνση του Μ από τη θέση ισορροπίας του. Γ) Να παραστήσετε γραφικά τη φάση για διάφορα σημεία του ημιάξονα Οχ συναρτήσει του χ τη στιγμή t=0,2s όπως επίσης και τη φάση του Μ για διάφορες χρονικές στιγμές.