Μετάδοση Θερμότητας με Ακτινοβολία

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΚΑΙ ΑΕΡΟΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΏΝ Μετάδοση Θερμότητας με Ακτινοβολία Ν. ΣΙΑΚΑΒΕΛΛΑΣ ΠΑΤΡΑ 010

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑIΟ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1-1. Γενικά 1-. Θερμική Ακτινοβολία και Ηλεκτρομαγνητικό Φάσμα 1-3. Βασικές Έννοιες και Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑIΟ. ΝΟΜΟΙ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΛΑΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ -1. Γενικά -. Ισχύς Ακτινοβολίας Μέλανος Σώματος -3. Νόμος Μετατοπίσεως του Wien -4. Νόμος των Stefan-Boltzmann -5. Συνάρτηση Ακτινοβολίας Μέλανος Σώματος ΚΕΦΑΛΑIΟ 3. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΣΕ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 3-1. Γενικά Χαρακτηριστικά 3-. Εκπεμπτικότητα 3-3. Απορροφητικότητα 3-4. Προσέγγιση του φαιού σώματος 3-5. Νόμος του Kirchhoff 3-6. Ανακλαστικότητα 3-7. Διαπερατότητα ΚΕΦΑΛΑIΟ 4. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΟΨΕΩΣ 4-1. Γενικά 4-. Συντελεστής Όψεως μεταξύ δύο Στοιχειωδών Επιφανειών 4-3. Συντελεστής Όψεως μεταξύ δύο πεπερασμένων επιφανειών 4-4. Ιδιότητες του Συντελεστή Όψεως ΚΕΦΑΛΑIΟ 5. ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΟΨΕΩΣ 5-1. Γενικά 5-. Συντελεστής Όψεως για Δισδιάστατες Γεωμετρίες 5-3. Συντελεστής Όψεως για Τρισδιάστατες Γεωμετρίες 5-4. Άλγεβρα Συντελεστών Όψεως 5-5. Μέθοδος των Διασταυρούμενων Χορδών i

3 ΚΕΦΑΛΑIΟ 6. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΙΣΟΔΥΝΑΜΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ 6-1. Γενικά 6-. Η Έννοια της Λαμπρότητας 6-3. Αντίσταση Ακτινοβολίας σε μία Επιφάνεια 6-4. Αντίσταση Ακτινοβολίας μέσω δύο Επιφανειών 6-5. Ισοδύναμο Κύκλωμα Ακτινοβολίας για δύο Επιφάνειες 6-6. Ανταλλαγή Ακτινοβολίας μεταξύ δύο Παραλλήλων Πλακών 6-7. Ανταλλαγή Ακτινοβολίας μεταξύ μεταξύ δύο Μακρών Ομοαξονικών Κυλίνδρων 6-8. Ανταλλαγή Ακτινοβολίας μεταξύ δύο Ομόκεντρων Σφαιρών 6-9. Ανταλλαγή Ακτινοβολίας μεταξύ Μικρού Κυρτού Αντικειμένου και Μεγάλης Κοιλότητας Ανταλλαγή Ακτινοβολίας μεταξύ τριών ή Περισσοτέρων Κλειστών Ζωνών ΚΕΦΑΛΑIΟ 7. ΘΩΡΑΚΙΣΕΙΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ 7-1. Γενικά 7-. Διατάξεις Θωρακίσεως Ακτινοβολίας ΚΕΦΑΛΑIΟ 8. ΜΕΤΑΔΟΣΗ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ ΜΕ ΑΓΩΓΗ, ΣΥΝΑΓΩΓΗ ΚΑΙ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ 8-1. Εισαγωγή 8-. Μικτή Μεταφορά Θερμότητας ΚΕΦΑΛΑIΟ 9. ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΑΕΡΙΩΝ 9-1. Εισαγωγή 9-. Απορρόφηση Ακτινοβολίας σε Αέριο 9-3. Μέσο Μήκος Δέσμης 9-4. Ηλιακή Ακτινοβολία ii

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή 1-1. ΓΕΝΙΚΑ Με τον όρο μεταφορά θερμότητας εννοούμε μία μεταβατική μορφή ενέργειας που οφείλεται σε θερμοκρασιακή διαφορά. Όταν λοιπόν υφίσταται διαφορά θερμοκρασίας είτε στο εσωτερικό ενός μέσου είτε μεταξύ διαφορετικών μέσων, θα έχομε αντίστοιχα μεταφορά θερμότητας εντός του μέσου ή μεταξύ των δύο μέσων. Όπως φαίνεται στα Σχήματα 1-1, 1-, και 1-3, η θερμότητα μεταφέρεται μακροσκοπικά με τρεις τρόπους: Όταν υφίσταται διαφορά θερμοκρασίας σε στάσιμο μέσον, το οποίο μπορεί να είναι στερεό ή υγρό, χρησιμοποιούμε τον όρο αγωγή όταν αναφερόμαστε στην μεταφορά θερμότητας εντός του μέσου (Σχήμα 1-1). Απεναντίας, με τον όρο επαφή ή συναγωγή αναφερόμαστε στην μεταφορά θερμότητας μεταξύ μιας επιφάνειας και ενός κινούμενου ρευστού που είναι σε διαφορετικές θερμοκρασίες (Σχήμα 1-). Ο τρίτος τρόπος μεταφοράς θερμότητας είναι με θερμική ακτινοβολία. Κάθε επιφάνεια με πεπερασμένη θερμοκρασία εκπέμπει ενέργεια υπό μορφήν ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων. Απουσία ενδιάμεσου μέσου έχει ως συνέπεια την καθαρή μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία μεταξύ δύο επιφανειών που είναι σε διαφορετικές θερμοκρασίες (Σχήμα 1-3). Κατά την μετάδοση της θερμότητας δι αγωγής (Σχήμα 1-1), ενέργεια μεταφέρεται από την περιοχή υψηλής θερμοκρασίας προς την περιοχή χαμηλής θερμοκρασίας δια μέσου της μάζας των σωμάτων και συγκεκριμένα μέσω των μορίων και των ατόμων. Η μεταφορά θερμότητας με αγωγή μπορεί λοιπόν να θεωρηθεί ως μεταφορά ενέργειας από περισσότερο ενεργητικά σε λιγότερο ενεργητικά σωμάτια ενός υλικού, λόγω αλληλεπιδράσεως μεταξύ των σωματίων. Η ευκολία με την οποία μεταφέρεται η θερμότητα δια μέσου ενός σώματος εξαρτάται από την θερμική αγωγιμότητα του σώματος. Καλοί αγωγοί της θερμότητας είναι π.χ. τα μέταλλα, ενώ κακοί αγωγοί είναι τα πλαστικά, το ξύλο και ο αέρας. Κεφάλαιο 1 1

5 Σχήμα 1-1. Μεταφορά θερμότητας με αγωγή σε στερεό ή στάσιμο ρευστό. Η μετάδοση της θερμότητας με επαφή (Σχήμα 1-) περιλαμβάνει δύο μηχανισμούς: Εκτός από την μεταφορά ενέργειας λόγω της τυχαίας κινήσεως των μορίων (διάχυση), ενέργεια μεταφέρεται επίσης λόγω της συνολικής ή μακροσκοπικής κινήσεως του ρευστού. Η κίνηση αυτή του ρευστού οφείλεται στο γεγονός ότι, κάθε στιγμή, μεγάλος αριθμός μορίων κινείται ομαδικά. Η συλλογική κίνηση του ρευστού, σε συνδυασμό με την θερμοκρασιακή βαθμίδα, συμβάλλει στην μεταφορά θερμότητας. Δεδομένου ότι τα μόρια κατά την συλλογική τους κίνηση διατηρούν και την τυχαία τους κίνηση, η ολική μεταφορά θερμότητας οφείλεται στην υπέρθεση της ενέργειας που μεταφέρεται με την τυχαία κίνηση των μορίων και με την συνολική (μακροσκοπική) κίνηση του ρευστού. Σχήμα 1-. Μεταφορά θερμότητας με συναγωγή από επιφάνεια σε κινούμενο ρευστό. Κεφάλαιο 1

6 Σχήμα 1-3. Μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία μεταξύ δύο επιφανειών. Η θερμική ακτινοβολία είναι η ενέργεια που εκπέμπεται από ένα σώμα υπό μορφήν ακτινοβολίας, λόγω της θερμοκρασίας του (Σχήμα 1-3). Εκπομπή θερμικής ακτινοβολίας μπορεί να έχομε όχι μόνον από στερεά σώματα, αλλά και από υγρά και αέρια. Ανεξάρτητα από την κατάσταση της ύλης, η εκπομπή ακτινοβολίας μπορεί να αποδοθεί σε αλλαγές των τροχιών των ηλεκτρονίων των ατόμων ή μορίων που απαρτίζουν το υλικό. Η ενέργεια η οποία ακτινοβολείται μεταφέρεται με ηλεκτρομαγνητικά κύματα (ή εναλλακτικά φωτόνια). Ενώ για την μεταφορά θερμότητας με αγωγή ή επαφή απαιτείται η παρουσία κάποιου υλικού μέσου, για την μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία τούτο δεν είναι απαραίτητο. Ουσιαστικά, η μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία είναι περισσότερο αποτελεσματική στο κενό. Στο παρόν μάθημα θα μας απασχολήσει αυτός ο τρόπος μεταφοράς θερμότητας, δηλαδή με ακτινοβολία. Κατ αρχάς θα περιγράψομε την φύση της θερμικής ακτινοβολίας, τα χαρακτηριστικά της και τις ιδιότητες που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν τα υλικά από απόψεως ακτινοβολίας. Στην συνέχεια, θα μελετήσομε την διάδοση της ακτινοβολίας μέσα στον χώρο, και θα αναλύσομε την ανταλλαγή θερμότητας με ακτινοβολία μεταξύ επιφανειών. Προς τούτο, θα μελετήσομε τι επίδραση έχουν τόσο οι ιδιότητες του υλικού όσο και η γεωμετρική διευθέτηση των σωμάτων στον χώρο στην ολική ενέργεια που μπορεί να ανταλλαγεί μεταξύ των σωμάτων αυτών. Δεδομένου ότι η ανάλυση αυτή είναι αρκετά πολύπλοκη, θα εισαγάγομε την μέθοδο των ισοδυνάμων κυκλωμάτων για ανταλλαγή ακτινοβολίας μεταξύ επιφανειών. Τέλος θα αναφερθούμε στην ακτινοβολία αερίων, στην ηλιακή ακτινοβολία και τις ιδιότητες που έχει το περιβάλλον στην ακτινοβολία. Κεφάλαιο 1 3

7 1-. ΘΕΡΜΙΚΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΦΑΣΜΑ Η θερμική ακτινοβολία είναι το είδος της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από ένα σώμα, λόγω της θερμοκρασίας του. Όλα τα σώματα σε θερμοκρασίες πάνω από το απόλυτο μηδέν εκπέμπουν ακτινοβολία. Υπενθυμίζεται ότι για την μεταφορά θερμότητας με αγωγή ή συναγωγή απαιτείται κάποιο υλικό ως μέσον μεταφοράς, ενώ η μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία γίνεται στο κενό, χωρίς την παρουσία κάποιου υλικού. Ενα τυπικό παράδειγμα αυτού του φαινομένου είναι η μεταφορά ενέργειας από τον ήλιο στην γη: Η θερμική ενέργεια που εκπέμπεται από τον ήλιο, ταξιδεύει στο διαστημικό κενό και φθάνει στην επιφάνεια της γης. Ο μηχανισμός μεταφοράς θερμότητας με ακτινοβολία δεν έχει κατανοηθεί πλήρως, έχουν προταθεί όμως διάφορες θεωρίες για να τον εξηγήσουν. Σύμφωνα με μία ιδέα που είχε προταθεί αρχικά από τον Maxwell, η ακτινοβολία θεωρείται ως ηλεκτρομαγνητικά κύματα, όπως τα ραδιοκύματα ή τα ηχητικά κύματα. Η ιδέα αυτή υπήρξε χρήσιμη σε μελέτες για την πρόβλεψη της συμπεριφοράς υλικών και επιφανειών όταν ακτινοβολούνται. Σύμφωνα με μία άλλη θεωρία που είχε προταθεί από τον τον Max Planck, η ακτινοβολία θεωρείται ως φωτόνια ή κβάντα ενέργειας. Η ιδέα αυτή χρησιμοποιήθηκε για την πρόβλεψη της ποσότητας της ενέργειας που εκπέμπεται υπό μορφήν ακτινοβολίας από ένα σώμα σε δεδομένη θερμοκρασία υπό ιδανικές συνθήκες. Προφανώς, και οι δύο θεωρίες είναι χρήσιμες για την μελέτη της ακτινοβολίας. Θα εστιάσομε τώρα την προσοχή μας στην κυματική φύση της θερμικής ακτινοβολίας. Ένα σώμα σε δεδομένη θερμοκρασία, εκπέμπει θερμική ακτινοβολία σε όλα τα μήκη κύματος, από λ = 0 έως λ =, αλλά η κατανομή του σχετικού μεγέθους της ενέργειας που εκπέμπεται σε κάθε μήκος κύματος, εξαρτάται από την θερμοκρασία. Σε θερμοκρασίες συνήθεις στις περισσότερες τεχνολογικές εφαρμογές, το κύριο ποσό ενέργειας που εκπέμπεται από ένα σώμα, είναι κατά προσέγγιση στην περιοχή μηκών κύματος μεταξύ λ = 0.1 μm και λ = 100 μm. Για τον λόγο αυτό, το τμήμα του φάσματος που περιλαμβάνεται στα ανωτέρω μήκη κύματος, λέγεται θ ε ρ μ ι κ ή α κ τ ι ν ο β ο λ ί α. Για παράδειγμα, ας θεωρήσομε τον Ήλιο, ο οποίος εκπέμπει θερμική ακτινοβολία. Με μία μέση τιμή της θερμοκρασίας στην επιφάνειά του περίπου 5760 Κ,το κύριο ποσό της εκπεμπόμενης ενέργειας είναι μεταξύ λ = 0.1 μm και λ = 3 μm. Το τμήμα αυτό του φάσματος είναι γνωστό ως ηλιακή ακτινοβολία. Η ακτινοβολία που εκπέμπεται από τον ήλιο σε μήκη κύματος μεταξύ λ = 0.4 μm και λ = 0.7 μm είναι ορατή από τον ανθρώπινο οφθαλμό και καλείται ορατή ακτινοβολία. Στο Σχήμα 1-4 φαίνονται οι υποδιαιρέσεις του φάσματος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας. Άλλοι τύποι ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας, όπως οι ακτίνες-χ, οι ακτίνες-γ, τα μικροκύματα κλπ, έχουν μελετηθεί εκτενώς και χρησιμοποιούνται σε διάφορους κλάδους της επιστήμης και της τεχνολογίας. Οι διάφοροι τύποι (κατηγορίες) της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας εξαρτώνται από το μήκος κύματος (ενέργεια) ή την πηγή της ακτινοβολίας. Η ακτινοβολία γάμμα είναι η πλέον ενεργητική μορφή ακτινοβολίας και παράγεται κυρίως κατά Κεφάλαιο 1 4

8 Σχήμα 1-4. Το φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας την σχάση των πυρήνων ή ραδιενεργό διάσπαση αυτών. Το κύριο ποσό ενέργειας που εκπέμπεται είναι σε μήκη κύματος μικρότερα των 10-4 μm (10-10 m). Η αμέσως επόμενη από ενεργειακής απόψεως μορφή ακτινοβολίας είναι οι ακτίνες Χ, οι οποίες παράγονται λόγω διεγέρσεως τροχιακών ηλεκτρονίων (βομβαρδισμός ενός μετάλλου με ηλεκτρόνια υψηλής συχνότητας). Το κύριο ποσό ενέργειας που εκπέμπεται είναι σε μήκη κύματος μεταξύ λ = 10-5 μm και λ = 10 - μm. Η θερμική ακτινοβολία είναι ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία που παράγεται λόγω ταλαντώσεως των ατόμων. Η περιοχή αυτή ηλεκτρομαγνητικής ενέργειας είναι πολύ ευρεία και περιλαμβάνειτην περιοχή υψηλής θερμοκρασίας ή υπεριώδη ακτινοβολία,την στενή περιοχή της ορατής ακτινοβολίας, και την περιοχή χαμηλής θερμοκρασίας ή υπέρυθρο ακτινοβολία. Η αμέσως επόμενη από απόψεως ενέργειας μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας είναι η ακτινοβολία μικροκυμάτων και χιλιοστομετρικών κυμάτων και χρησιμοποιείται στα ραντάρ και τους φούρνους μικροκυμάτων. Τελευταία, από ενεργειακής απόψεως, μορφή ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας είναι η ακτινοβολία ραδιοκυμάτων. Το φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας φαίνεται στο Σχήμα 1-4. Στο παρόν βιβλίο θ ασχοληθούμε αποκλειστικά με την θερμική ακτινοβολία, δηλαδή με τον μηχανισμό μεταφοράς ενέργειας μεταξύ αντικειμένων σε διάφορες θερμοκρασίες. Η κυματική φύση της θερμικής ακτινοβολίας συνεπάγεται ότι το μήκος κύματος (λ) και η συχνότητα (ν) της ακτινοβολίας συνδέονται με την σχέση: c λ = (1.1) ν όπου c είναι η ταχύτητα διαδόσεως μέσα στο συγκεκριμένο μέσο. Αν το μέσον διά του οποίου διαδίδεται η ακτινοβολία είναι το κενό, ταχύτητα διαδόσεως ισούται με την ταχύτητα διαδόσεως του φωτός στο κενό, δηλαδή: c 0 = m/s (1.) Κεφάλαιο 1 5

9 Οι δύο κλίμακες λοιπόν, συχνότητας (ν) και μήκους κύματος (λ) που χρησιμοποιούνται στο ηλεκτρομαγνητικό φάσμα (Σχ. 1-4), σχετίζονται μέσω της (1.1). Τα μήκη κύματος εκφράζονται συνήθως σε: - μικρόμετρα (μm) : 1 μm = 10-6 m - νανόμετρα (nm) : 1 nm = 10-9 m - angstroms (Å) : 1 Å = m Πολλές φορές στην φασματοσκοπία, χρησιμοποιείται εκτός από το μήκος κύματος και ο κυματικός αριθμός ή κυματαριθμός (η), ο οποίος ορίζεται ως το αντίστροφο του μήκους κύματος (λ): κυματαριθμός = 1 η = (κύκλοι ανά m) (1.3) λ Οι μονάδες του κυματαριθμού είναι κύκλοι ανά m ή αντίστροφα μέτρα (m -1 ) συνήθως όμως εκφράζεται σε αντίστροφα εκατοστά (cm -1 ). Έτσι, ο κυματαριθμός ενός κύματος, με μήκος κύματος λ = 10 μm, είναι: η λ 10μm 10 m 10 cm -1 = = = = = 1000 cm (1.4) 5 3 Κατ αναλογίαν με την συχνότητα (ν), που χαρακτηρίζει τις ταλαντώσεις στον χρόνο, ο κυματαριθμός χαρακτηρίζει τις ταλαντώσεις στον χώρο. Όπως δε η συχνότητα, πολλαπλασιαζόμενη επί π δίδει την γωνιακή (κυκλική) συχνότητα ω, έτσι και ο κυματαριθμός αν πολλαπλασιασθεί επί π δίδει τον λεγόμενο γωνιακό κυματαριθμό (k ): γωνιακός κυματαριθμός = π k = πη = (rad ανά m) (1.5) λ Ο γωνιακός κυματαριθμός του κύματος με λ = 10 μm, θα είναι, σύμφωνα με τις (1.4)-(1.5): k 3 5 = πη = rad / cm = rad / m (1.6) Αν χρησιμοποιήσομε την γωνιακή συχνότητα ω αντί της συχνότητας ν, και τον γωνιακό κυματαριθμό ( k ) αντί του μήκους κύματος (λ), η εξίσωση (1.1) γράφεται: c π ν = πν c ω kc λ = λ = (1.7) Η θερμική ακτινοβολία έχει δύο βασικά χαρακτηριστικά, τα οποία καθιστούν δυσχερή την περιγραφή της: Την φ α σ μ α τ ι κ ή της φύση και την δ ι ε υ θ υ ν τ ι κ ό τ η τ ά της. Όπως φαίνεται στο Σχήμα 1-5, η ενέργεια που εκπέμπεται από μία επιφάνεια έχει διάφορα μήκη κύματος (Σχ. 1-5α), χαρακτηρίζεται δηλαδή από μία φασματική κατανομή. Επομένως η ένταση της εκπεμπόμενης ακτινοβολίας εξαρτάται από το μήκος κύματος. Επί πλέον, η εκπομπή δεν είναι ομοιόμορφη προς όλες τις διευθύνσεις (Σχ. 1-5β). Κεφάλαιο 1 6

10 Σχήμα 1-5. Ακτινοβολία που εκπέμπεται από μία επιφάνεια. (α) φασματική κατανομή, (β) κατανομή ανά διεύθυνση ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Η ενέργεια μπορεί είτε να εκπέμπεται από μία επιφάνεια, είτε να προσπίπτει σ αυτή. Όταν προσπίπτει, λέγεται π ρ ο σ π ί π τ ο υ σ α α κ τ ι ν ο β ο λ ί α (Σχ.1-6 α), ενώ όταν εκπέμπεται λέγεται ε κ π ε μ π ε μ π ό μ ε ν η α κ τ ι ν ο β ο λ ί α (Σχ.1-6 β). Σχηματική παράσταση και γεωμετρία προσπίπτουσας και εκπεμπόμενης ακτινοβολίας απεικονίζονται στο Σχήμα 1-6. (α) (β) Σχήμα 1-6. Σχηματική παράσταση και γεωμετρία (α) προσπίπτουσας ακτινοβολίας, (β) εκπεμπόμενης ακτινοβολίας. Κεφάλαιο 1 7

11 Μία έννοια τέλος που θα μας απασχολήσει κυρίως στο 6 ο Κεφάλαιο, είναι η έννοια της λ α μ π ρ ό τ η τ α ς. Με τον όρον αυτό αναφερόμαστε στην συνολική ενέργεια, η οποία εγκαταλείπει μία επιφάνεια υπό μορφήν ακτινοβολίας. Δεδομένου ότι η ακτινοβολία αυτή περιλαμβάνει, εκτός από την ακτινοβολία που εκπέμπεται κατ ευθείαν από την επιφάνεια, και το μέρος της προσπίπτουσας στην επιφάνεια ακτινοβολίας το οποίο ανακλάται (Σχήμα 1-7), είναι προφανές ότι η λαμπρότητα μιάς επιφάνειας θα είναι εν γένει διαφορετική από την εκπεμπόμενη ακτινοβολία. Σχήμα 1-7. Λαμπρότητα μίας επιφάνειας: (Εκπεμπόμενη ακτινοβολία) + (ανακλόμενο μέρος προσπίπτουσας ακτινοβολίας) Λαμπρότητα μιάς επιφάνειας λοιπόν είναι η ενέργεια της ακτινοβολίας ανά μονάδα επιφανείας και μονάδα χρόνου που φεύγει από την επιφάνεια, όπως την βλέπει ένας παρατηρητής ακριβώς επάνω από την επιφάνεια αυτή. Κεφάλαιο 1 8

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Νόμοι Ακτινοβολίας Μέλανος Σώματος -1. ΓΕΝΙΚΑ Κάθε σώμα, σε οποιαδήποτε θερμοκρασία άνω του απολύτου μηδενός, εκπέμπει θερμική ακτινοβολία σε ό λ α τα μήκη κύματος και προς ό λ ε ς τις δυνατές διευθύνσεις στον χώρο. Κατά την μελέτη της θερμικής ακτινοβολίας, είναι ιδιαίτερα σημαντικό να γνωρίζομε το ποσόν ενέργειας που ακτινοβολείται από ένα σώμα σε κάθε θερμοκρασία. Για τον λόγο αυτό, έχει εισαχθεί η έννοια του μέλανος σώματος. Το μέλαν σώμα λοπόν αναφέρεται σε μία ι δ α - ν ι κ ή κ α τ ά σ τ α σ η, η οποία χρησιμοποιείται ως περίπτωση αναφοράς για τον προσδιορισμό της ε κ π ο μ π ή ς κα ι α π ο ρ ρ ο φ ή σ ε ω ς ακτινοβολίας από πραγματικά σώματα. Το μέλαν σώμα θεωρείται ότι απορροφά όλη την προσπίπτουσα ακτινοβολία, από όλες τις κατευθύνσεις και σε όλα τα μήκη κύματος, χωρίς να ανακλά, μεταδίδει ή σκεδάζει την ακτινοβολία αυτή. Για μία δεδομένη θερμοκρασία Τ και μήκος κύματος λ, κανένα άλλο σώμα δεν εκπέμπει περισσότερη ακτινοβολία από το μέλαν σώμα. Κατά συνέπεια, σε κάθε θερμοκρασία Τ, η ακτινοβολία που εκπέμπεται από το μέλαν σώμα αποτελεί την μέγιστη δυνατή εκπομπή στην θερμοκρασία αυτή. Ο όρος μέλαν (μαύρο) έχει διαφορετική σημασία απ ότι στην καθημερινή χρήση, όπου υποδηλώνει πόσο σκοτεινή (μαύρη) φαίνεται μία επιφάνεια σε οπτική παρατήρηση. Ο ανθρώπινος οφθαλμός μπορεί να διακρίνει την σκοτεινότητα (μαυρίλα) μόνον στην ορατή περιοχή του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος. Για παράδειγμα, ένα αντικείμενο όπως ο πάγος, Κεφάλαιο 1

13 ενώ είναι λαμπερό / εκθαμβωτικό στον ανθρώπινο οφθαλμό, είναι σχεδόν μέλαν για θερμική ακτινοβολία σε μεγάλα μήκη κύματος. Εν τούτοις, το μέλαν σώμα είναι τελείως μαύρο για θερμική ακτινοβολία σε όλα τα μήκη κύματος από λ = 0 έως λ =. Θα παρουσιάσομε τώρα τις βασικές εξισώσεις που διέπουν την εκπομπή ακτινοβολίας από ένα μέλαν σώμα. -. ΙΣΧΥΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΛΑΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Στις αρχές του προηγούμενου αιώνα, ο Max Planck ανέπτυξε την θεωρία της ακτινοβολίας του μέλανος σώματος, κατά την οποία υποτίθεται ότι η ενέργεια μεταφέρεται υπό μορφήν διακριτών φωτονίων. Βασιζόμενος σε αρχές της Κβαντικής Φυσικής, ο Planck απέδειξε ότι η ενέργεια που εκπέμπεται υπό μορφήν ακτινοβολίας στο κενό από ένα μέλαν σώμα, σχετίζεται με την απόλυτη θερμοκρασία Τ του σώματος και το μήκος κύματος λ (ή την συχνότητα) εκπομπής με την ακόλουθη σχέση: E π ch W bλ ( T) = 5 ch / kt λ λ ( e ) 1 m μm (.1) όπου: c = η ταχύτητα του φωτός (βλ.εξίσ. 1.), h = J s είναι η σταθερά του Planck k = J / Κ είναι η σταθερά του Boltzmann Τ = απόλυτη θερμοκρασία σε βαθμούς Κ λ = μήκος κύματος σε μm. Η σχέση (.1) απλοποιείται περαιτέρω και γράφεται ως εξής: E ( T) = λ c 1 bλ 5 c T / λ ( e 1) (.) όπου θέσαμε: c 1 = πhc = W μm 4 / m c = ch / k = μm Κ Το Ε bλ (Τ) καλείται φασματική πυκνότητα εκπεμπόμενης ισχύος μέλανος σώματος και αντιπροσωπεύει το ποσό της ενέργειας που ακτινοβολείται από ένα μέλαν σώμα σε απόλυτη θερμοκρασία Τ, ανά μονάδα χρόνου, ανά μονάδα επιφανείας και ανά μονάδα μήκους κύματος, στην περιοχή του μήκους κύματος λ. Επομένως, έχει μονάδες W / (m μm). Η ισχύς της σχέσεως αυτής (.1 ή.) έχει επαληθευθεί και πειραματικά. Κεφάλαιο

14 Στο Σχήμα -1 φαίνεται ένα διάγραμμα μεταβολής της συναρτήσεως Ε bλ (Τ) με το μήκος κύματος, για διάφορες τιμές θερμοκρασίας. Από το διάγραμμα αυτό προκύπτουν τα εξής χαρακτηριστικά για την εκπομπή ακτινοβολίας από το μέλαν σώμα: 1. Το Ε bλ (Τ) αυξάνει όταν η θερμοκρασία αυξάνει, για όλα τα μήκη κύματος.. Κάθε καμπύλη εμφανίζει ένα μέγιστο. 3. Με αυξανόμενη θερμοκρασία, το μέγιστο τείνει να μετατοπισθεί προς μικρότερα μήκη κύματος. 4. Η ανώτερη καμπύλη για Τ = 5556 Κ αντιστοιχεί κατά προσέγγιση στην εκπομπή ακτινοβολίας από ένα σώμα του οποίου η θερμοκρασία ισούται με την ενεργό θερμοκρασία της επιφανείας του ηλίου (Τ Η = 576 Κ). Btu / (h ft μm) Εbλ(Τ), φασματική ισχύς ακτινοβολίας μέλανος σώματος W / (m μm) λ, μήκος κύματος, μm Σχήμα -1. Φασματική πυκνότητα εκπεμπόμενης ισχύος μέλανος σώματος σε διάφορες θερμοκρασίες. Κεφάλαιο 3

15 -3. ΝΟΜΟΣ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΣ ΤΟΥ WIEN Στο Σχήμα -1, τα μέγιστα από τις καμπύλες συνδέονται με μία διακεκομμένη γραμμή. Το μήκος κύματος που αντιστοιχεί στο μέγιστο κάθε καμπύλης, μπορεί να ευρεθεί αν παραγωγίσομε ως προς λ την έκφραση (.1) ή (.) για το Ε λ. Θέτοντας το αποτέλεσμα της παραγωγίσεως ίσον προς το μηδέν, προκύπτει το ζητούμενο μήκος κύματος, λ max, για το οποίο έχομε την μέγιστη εκπομπή. Η αναλυτική σχέση που προκύπτει είναι ιδιαίτερα απλή: Το γινόμενο του λ max επί την αντίστοιχη θερμοκρασία ισούται με μία σταθερά: λ maxt = c3 = 897.6μm K (.3) Η αναλυτική αυτή έκφραση που σχετίζει το μήκος κύματος για το οποίο έχομε την μέγιστη εκπομπή με την αντίστοιχη θερμοκρασία του μέλανος σώματος διατυπώθηκε πρίν από έναν αιώνα περίπου από τον W. Wien. Γι αυτό αποκαλείται νόμος μετατοπίσεως του Wien. Από τον νόμο του Wien είναι προφανές ότι: όσο υψηλότερη είναι η θερμοκρασία ενός σώματος, τόσο βραχύτερο είναι το μήκος κύματος (ή υψηλότερη η συχνότητα) για το οποίο έχομε την μέγιστη εκπομπή. Ως παράδειγμα ας θεωρήσομε την ακτινοβολία η οποία εκπέμπεται από τον ήλιο και από την γή λόγω της θερμοκρασίας τους. Στο Σχήμα - έχομε τα αντίστοιχα διαγράμματα της σχετικής εντάσεως, Ε λ / Ε λmax, της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από τα δύο αυτά σώματα. Η ηλιακή ακτινοβολία εκπέμπεται σε μία ενεργό θερμοκρασία Τ = 576 Κ από την επιφάνεια του ηλίου. Από την εφαρμογή του νόμου μετατοπίσεως του Wien προκύπτει ότι το μέγιστο της εκπομπής αντιστοιχεί σε μήκος κύματος: λ 0.5μm (.4) max που ευρίσκεται στην περιοχή του ορατού φάσματος. Συγκεκριμένα, το μήκος κύματος των 0.5 μm αντιστοιχεί στο μπλέ φως και είναι πολύ κοντά στο κέντρο της περιοχής του ορατού Σχήμα -. Σχετική ένταση της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από την γη και τον ήλιο. Κεφάλαιο 4

16 φάσματος (0.4 μm έως 0.7 μm). Ας επισημάνουμε ότι, ο ανθρώπινος οφθαλμός έχει εξελιχθεί ώστε να είναι ιδιαίτερα ευαίσθητος στην περιοχή μηκών κύματος όπου εκπέμπεται η μέγιστη ακτινοβολία από τον ήλιο. Η γη συμπεριφέρεται επίσης ως ένα μέλαν σώμα το οποίο ακτινοβολεί ενέργεια στο διάστημα. Στο Σχήμα - βλέπομε την αντίστοιχη καμπύλη εκπομπής για την γη, που αντιστοιχεί σε μία μέση θερμοκρασία της επιφάνειας της γης 13 ο C, ήτοι 86 Κ. Παρατηρούμε ότι το μέγιστο της καμπύλης εμφανίζεται σε σχετικά μεγάλο μήκος κύματος, περίπου 10 μm, (όπως άλλωστε προβλέπεται από τον νόμο του Wien), και ευρίσκεται στην περιοχή του υπερύθρου του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος. -4. ΝΟΜΟΣ ΤΩΝ STEFAN-BOLTZMANN Η ενέργεια που εκπέμπεται υπό μορφήν ακτινοβολίας από ένα μέλαν σώμα σε απόλυτη θερμοκρασία Τ και για όλα τα μήκη κύματος, από λ = 0 έως λ =, είναι μία ποσότητα με πρακτικό ενδιαφέρον. Υπολογίζεται αν ολοκληρώσομε από λ = 0 έως λ = την φασματική πυκνότητα της ισχύος που εκπέμπεται από το μέλαν σώμα, Ε bλ (Τ): b( ) bλ ( ) λ (W/m ) λ= 0 E T = E Td (.5) Λαμβάνοντας υπ όψιν την εξίσωση (.) για το Ε bλ (Τ), από την ολοκλήρωση της (.5) προκύπτει: 4 E ( ) (W/m ) b T = σt (.6) Η εξίσωση αυτή είναι γνωστή ως νόμος των Stefan-Boltzmann. Το Ε b (Τ) καλείται εκπεμπόμενη ισχύς μέλανος σώματος, Τ είναι η απόλυτη θερμοκρασία σε βαθμούς Κ και σ είναι η σταθερά των Stefan-Boltzmann, που έχει την τιμή: σ 8 4 = W/(m K ) (.7) Από την εξίσωση (.6) προκύπτει ότι η ροή ακτινοβολίας είναι ανάλογη της τετάρτης δυνάμεως της απόλυτης θερμοκρασίας του σώματος. Επομένως, σε υψηλές θερμοκρασίες, η μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία καθίσταται ένας σημαντικός μηχανισμός μεταφοράς θερμότητας και είναι δυνατόν να επικρατεί τόσο της μεταφοράς θερμότητας με αγωγή όσο και με συναγωγή. Παράδειγμα -1. Πόση είναι η εκπεμπόμενη ισχύς (σε W/m και W/cm ) από μέλαν σώμα θερμοκρασίας: (α) 0 0 C, (β) C, (γ) C και (δ) C; Λύση. Οι κλίμακες θερμοκρασίας Κελσίου ( 0 C) και Κέλβιν (Κ) συνδέονται με την σχέση: Τ( 0 C) = Τ(Κ) Κεφάλαιο 5

17 Εφαρμόζοντας την εξίσωση (.6) για τις διδόμενες θερμοκρασίες και λαμβάνοντας υπ όψιν την τιμή της σταθεράς των Stefan-Boltzmann σ [εξίσωση (.7)], παίρνομε τις ακόλουθες τιμές για την εκπεμπόμενη ισχύ Ε b : (α) Τ = 0 0 C = Κ Ε b = W/m 0.03 W/cm (β) Τ = C = Κ Ε b = W/m 0.11 W/cm (γ) Τ = C = Κ Ε b = W/m.03 W/cm (δ) Τ = C = Κ Ε b = W/m W/cm -5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΛΑΝΟΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Η ροή της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από ένα μέλαν σώμα σε δεδομένη θερμοκρασία Τ για όλα τα μήκη κύματος, από λ = 0 έως λ =, δίδεται από τον νόμο των Stefan-Boltzmann. Το ποσοστό της ενέργειας που εκπέμπεται από μία συγκεκριμένη περιοχή μηκών κύματος σε σχέση με την ολικώς εκπεμπόμενη ενέργεια, είναι μία ποσότητα που παρουσιάζει ενδιαφέρον σε ορισμένες εφαρμογές. Η ενέργεια που εκπέμπεται υπό μορφήν ακτινοβολίας από ένα μέλαν σώμα, ανά μονάδα επιφανείας και μήκη κύματος, από λ = 0 έως λ, προσδιορίζεται από την σχέση: λ b,0 λ( ) bλ( ) λ 0 E T = E Td (.8) Διαιρώντας αυτή την ποσότητα με την ολικώς εκπεμπόμενη ενέργεια από λ = 0 έως λ =, έχομε: f λ λ bλ λ 0 bλ 0 0λ ( T) = = 4 Eb ( Td ) σt λ λ 0 E ( Td ) E ( Td ) λ Το f 0λ (T) καλείται συνάρτηση ακτινοβολίας μέλανος σώματος. Είναι το πηλίκον της ενέργειας που ακτινοβολείται από ένα μέλαν σώμα στην περιοχή μηκών κύματος, από λ = 0 έως λ, προς την ολική ενέργεια που εκπέμπεται (από λ = 0 έως λ = ). Στον ΠΙΝΑΚΑ -1 δίδονται τιμές του f 0λ (T) συναρτήσει του λτ. Το μήκος κύματος (λ) είναι σε μικρά και η θερμοκρασία (Τ) σε βαθμούς Kelvin. Η ενέργεια που εκπέμπεται από ένα μέλαν σώμα θερμοκρασίας Τ εντός μίας πεπερασμένης περιοχής μηκών κύματος, από λ = λ 1 έως λ = λ, θα δίδεται, σύμφωνα με την (.8) από την εξίσωση: λ λ λ E T = E Tdλ = E Tdλ E Tdλ 1 b, λ λ ( ) ( ) ( ) ( ) 1 bλ bλ bλ λ1 0 0 (.9) (.10) Μπορούμε τώρα να προσδιορίσομε το ποσό της ενέργειας που εκπέμπεται από το σώμα εντός της πεπερασμένης περιοχής μηκών κύματος, από λ = λ 1 έως λ = λ, ως ποσοστό της ολικής ενέργειας που εκπέμπεται από λ = 0 έως λ =, ως εξής: Κεφάλαιο 6

18 ΠΙΝΑΚΑΣ -1 Συναρτήσεις ακτινοβολίας μέλανος σώματος λτ [μm Κ] f 0λ (T) λτ [μm Κ] f 0λ (T) λτ [μm Κ] f 0λ (T) , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Κεφάλαιο 7

19 Από τον Πίνακα -1 ευρίσκομε τις κλασματικές συναρτήσεις f0 λ ( T) και f 1 0 λ ( T) που αντιστοιχούν στις τιμές των γινομένων λ 1 Τ και λ Τ αντίστοιχα. Η διαφορά των δύο αυτών κλασματικών συναρτήσεων δίδει, σύμφωνα με τις εξισώσεις (.9) και (.10): όπου ο όρος f ( T) = f ( T) f ( T) (.11) λ λ λ λ f ( T) λ λ αντιπροσωπεύει την ενέργεια που εκπέμπεται από την πεπερασμένη 1 περιοχή μηκών κύματος μεταξύ λ 1 και λ, ως ποσοστό της ολικής εκπεμπόμενης ενέργειας. Παράδειγμα -. Πόση θα πρέπει να είναι η θερμοκρασία μέλανος σώματος ώστε, σε μήκος κύματος 4 μm, να εκπέμπει ισχύ ίση πρός 10 3 W/(m μm); ΛΥΣΗ. Η εξίσωση (.) γράφεται: e 1 = c c / λt 1 5 λ Eb λ Λύνοντας την ανωτέρω εξίσωση ως προς Τ, λαμβάνομε τελικά την εξής αναλυτική έκφραση για την θερμοκρασία του μέλανος σώματος : T c = λ ln 1+ c 1 5 λ Eb λ Είναι: c 1 = W μm 4 / m, c = μm Κ, ενώ δίδονται: λ = 4 μm, Ε bλ = 10 3 W/m μm. Αντικατάσταση στον τελικό τύπο δίδει: T μm K = = K W μm m 4 ln ( ) 4μm ln W m μm -1 μm 5 T = K = K Τ 609. Κ Παράδειγμα -3. Θεωρείστε μέλαν σώμα που εκπέμπει σε θερμοκρασία 1500 Κ. Να υπολογίσετε το μήκος κύματος για το οποίο εκπέμπεται η μέγιστη ισχύς. Λύση. Σύμφωνα με τον νόμο του Wien, εξίσωση (.3), είναι: λ T = μm K max Κεφάλαιο 8

20 Για Τ = 1500 Κ, αν λύσομε ως προς λ έχομε: μm K λ = λ = 1.93 μm. 1500K Παράδειγμα -4. Μεγάλη σφαιρική κοιλότητα, της οποίας η εσωτερική θερμοκρασία διατηρείται στους 800 Κ, επικοινωνεί με τον περιβάλλοντα χώρο μέσω οπής, ακτίνας mm. Να προσδιορίσετε τον ρυθμό με τον οποίο ακτινοβολείται ενέργεια μέσω της οπής. Λύση. Από τον νόμο των Stefan-Boltzmann, εξίσωση (.6), έχομε: 4 8 W 4 4 Eb ( T) = σt = K 4 Ε b (T) = 34.3 W / m. mk Το εμβαδόν της επιφάνειας της οπής είναι: Α = π (0.00) m. Επομένως, ο ρυθμός Q με τον οποίον εκπέμπεται ενέργεια μέσω της οπής (δηλ. η ισχύς που ακτινοβολείται) είναι: Q = π R Ε b (T) = π (0.00) m 34.3 W / m Q = 0.9 W. Παράδειγμα -5. Νήμα από τουγκστένιο θερμαίνεται στους 500 Κ. Τι ποσοστό από την εκπεμπόμενη ενέργεια είναι στην περιοχή του ορατού φωτός; Λύση. Η περιοχή του ορατού φωτός εκτείνεται μεταξύ μηκών κύματος: από λ 1 = 0.4 μm έως λ = 0.7 μm. Δεδομένης της θερμοκρασίας Τ = 500 Κ, τα γινόμενα λτ λαμβάνουν τις τιμές: λ 1 Τ = 0.4 μm 500 Κ = 1000 μm Κ λ Τ = 0.7 μm 500 Κ = 1750 μm Κ Από τον Πίνακα -1, για λ 1 Τ = 1000 μm Κ, λαμβάνομε για την κλασματική συνάρτηση f την τιμή: f0 λ = ενώ το γινόμενο λ Τ = 1750 μm Κ είναι μεταξύ των τιμών του Πίνακα 1 λτ = μm Κ, για την οποία έχομε: f0 λ = , και λτ = μm Κ, για την οποία έχομε: f0 λ = Αν θεωρήσομε ότι το γινόμενο λτ μεταβάλλεται γραμμικά με την κλασματική συνάρτηση f, θα είναι: f λ = ( ) Κεφάλαιο 9

21 οπότε προκύπτει τελικά ότι για λ Τ = 1750 μm Κ έχομε: f λ = Σύμφωνα με την εξίσωση (.11) είναι: f ( T) = f ( T) f ( T) = λ λ λ λ f λ 1 λ = Ήτοι το 3.36% της ενέργειας που εκπέμπεται είναι στην περιοχή του ορατού φωτός. Κεφάλαιο 10

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ιδιότητες των Επιφανειών σε Ακτινοβολία 3-1. ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ Η ακτινοβολία που εκπέμπεται από ένα σώμα λόγω της θερμοκρασίας του, προέρχεται γενικά από το εσωτερικό του σώματος. Στην περίπτωση υλικών όπως μέταλλα, ξύλο, πέτρα κλπ, τα οποία είναι αδιαφανή στην θερμική ακτινοβολία, η εκπομπή περιορίζεται μέσα σε μία εξαιρετικά βραχεία απόσταση από την επιφάνεια του σώματος. Παρομοίως, η ακτινοβολία που προσπίπτει σ ένα αδιαφανές σώμα, απορροφάται μέσα σε μία πολύ βραχεία απόσταση κάτω από την επιφάνεια του σώματος. Επομένως, για αδιαφανή υλικά, η αλληλεπίδραση της ακτινοβολίας με την ύλη θεωρείται επιφανειακό φαινόμενο, επειδή η ακτινοβολία απορροφάται ή εκπέμπεται σε μία εξαιρετικά βραχεία απόσταση από την επιφάνεια. Στην περίπτωση της ηλιακής ακτινοβολίας που προσπίπτει σ ένα υαλοπίνακα ή σ ένα σώμα που αποτελείται κυρίως από νερό, η ακτινοβολία δεν απορροφάται άμεσα στην επιφάνεια, αλλά διεισδύει σε βάθος στο εσωτερικό του υλικού. Επομένως, το νερό και το γυαλί είναι υλικά ημιδιαφανή στη ηλιακή ακτινοβολία, η οποία θεωρούμε ότι προέρχεται από την επιφάνεια του ηλίου με ενεργό θερμοκρασία Τ = 576 Κ. Εξ άλλου, η θερμική ακτινοβολία που προέρχεται από μία πηγή χαμηλής σχετικά θερμοκρασίας, π.χ. 400 Κ ή λιγότερο, και προσπίπτει σε γυαλί ή σε νερό, απορροφάται σε πάρα πολύ μικρή απόσταση από την επιφάνεια. Τα παραδείγματα αυτά δείχνουν ότι τα χαρακτηριστικά ενός σώματος, όσον αφορά την εκπομπή ή την απορρόφηση ακτινοβολίας, εξαρτώνται όχι μόνον από το Κεφάλαιο 3 1

23 είδος του υλικού, αλλά και από την θερμοκρασία (ή το μήκος κύματος) της πηγής της ακτινοβολίας. Δεδομένου ότι τα περισσότερα απο τα υλικά που χρησιμοποιούνται στην τεχνολογία είναι αδιαφανή στην θερμική ακτινοβολία, η αλληλεπίδραση της ακτινοβολίας με την ύλη στις περισσότερες τεχνολογικές εφαρμογές θεωρείται γενικά ως επιφανειακό φαινόμενο. Λαμβάνοντας υπ όψιν τα ανωτέρω, θα εξετάσομε τώρα τις χαρακτηριστικές ιδιότητες των επιφανειών όταν εκπέμπουν και όταν δέχονται ακτινοβολία. 3-. ΕΚΠΕΜΠΤΙΚΟΤΗΤΑ Η ακτινοβολία που εκπέμπεται από ένα πραγματικό σώμα είναι πάντοτε μικρότερη από εκείνη που εκπέμπει το μέλαν σώμα. Κατά συνέπεια, η ακτινοβολία που εκπέμπεται από το μέλαν σώμα θεωρείται ως η περίπτωση αναφοράς. Η εκπεμπτικότητα ε μίας επιφάνειας (ή συντελεστής εκπομπής) ορίζεται ως ο λόγος της ενέργειας που εκπέμπεται από μία πραγματική επιφάνεια πρός την ενέργεια που εκπέμπεται από ένα μέλαν σώμα στην ίδια θερμοκρασία. Επομένως η εκπεμπτικότητα είναι αδιάστατο μέγεθος και παίρνει τιμές μεταξύ μηδέν και ένα. Είναι σαφές ότι η ενέργεια που εκπέμπεται από μία πραγματική επιφάνεια, μπορεί να συγκριθεί με την ενέργεια που εκπέμπεται από το μέλαν σώμα με διάφορους τρόπους. Η σύγκριση μπορεί για παράδειγμα να γίνει θεωρώντας την ενέργεια που εκπέμπεται σ ένα συγκεκριμένο μήκος κύματος, όπως επίσης και την ενέργεια που εκπέμπεται συνολικά σε όλα τα μήκη κύματος. Άλλη δυνατότητα συγκρίσεως έχομε αν θεωρήσομε την ενέργεια που εκπέμπεται προς μία συγκεκριμένη διεύθυνση, ή την ενέργεια που εκπέμπεται μέσα σ ένα νοητό ημισφαίριο. Προφανώς, για κάθε περίπτωση προκύπτει διαφορετικός συντελεστής εκπομπής. Τα περισσότερα βιβλιογραφικά δεδομένα που αφορούν τον συντελεστή εκπομπής αναφέρονται σε ημισφαιρική εκπεμπτικότητα, ήτοι την μέση τιμή εκπεμπτικότητας για όλα τα μήκη κύματος. Εξ ορισμού, η ημισφαιρική εκπεμπτικότητα, ε(t), είναι ο λόγος της ροής ακτινοβολίας q(t) που εκπέμπεται από μία πραγματική επιφάνεια σε θερμοκρασία Τ και σε όλα τα μήκη κύματος σ ένα ημισφαιρικό χώρο, προς την ακτινοβολία που θα εξέπεμπε ένα μέλαν σώμα, E b (T), στην ίδια θερμοκρασία Τ. Επομένως, η ημισφαιρική εκπεμπτικότητα ορίζεται ως: qt ( ) ε ( T ) = (3.1) Eb( T) Αν o συντελεστής εκπομπής μιάς πραγματικής επιφάνειας είναι γνωστός, η ενέργεια q(t) που εκπέμπεται από την επιφάνεια υπό μορφήν ακτινοβολίας ανά μονάδα επιφανείας σε θερμοκρασία Τ δίδεται από την σχέση: q T = T E T = T T (3.) 4 ( ) ε( ) b( ) ε( ) σ (W/m ) Κεφάλαιο 3

24 Σχήμα 3-1. Επίδραση της θερμοκρασίας και της οξειδώσεως στον συντελεστή ημισφαιρικής εκπομπής διαφόρων μετάλλων. Στο Σχήμα 3-1 φαίνεται η επίδραση της θερμοκρασίας και της οξειδώσεως στον συντελεστή εκπομπής. Είναι προφανές ότι η οξείδωση αυξάνει την εκπεμπτικότητα. Όταν η ημισφαιρική εκπεμπτικότητα αναφέρεται σ ένα συγκεκριμένο μήκος κύματος, τότε χρησιμοποιούμε τον όρο φασματική ημισφαιρική εκπεμπτικότητα, ε λ. Η φασματική ημισφαιρική εκπεμπτικότητα προσδιορίζεται από εργαστηριακά πειράματα που γίνονται για διάφορα μήκη κύματος. Στο Σχήμα 3- φαίνεται η μεταβολή του ε λ με το μήκος κύματος για υλικά που χρησιμοποιούνται σε διάφορες τεχνολογικές εφαρμογές. Έτσι, διαπιστώνουμε για παράδειγμα ότι στο γυαλί που χρησιμοποιείται για κατασκευή υαλοπινάκων έχομε μία απότομη μεταβολή της φασματικής του εκπεμπτικότητας για μήκη κύματος περίπου 3 μm. Κεφάλαιο 3 3

25 Σχήμα 3-. Συντελεστής φασματικής εκπομπής διαφόρων υλικών Δεδομένα για το ε λ, όπως αυτά που δίδονται στο Σχήμα 3-, μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της μέσης τιμής του συντελεστή εκπομπής για όλα τα μήκη κύματος, σύμφωνα με την εξής σχέση: 0 λ bλ 0 λ bλ 0 λ bλ 4 E ( ) Eb ( T) T bλ Tdλ σ 0 ε E ( Td ) λ ε E ( Td ) λ ε E ( Td ) λ ε = = = Όπως παρατηρούμε, κατά τον υπολογισμό της μέσης τιμής χρησιμοποιείται η φασματική πυκνότητα ισχύος που εκπέμπεται από το μέλαν σώμα ως συντελεστής βαρύτητας, γιατί η εκπομπή ενέργειας επηρεάζεται από το μέγεθος του Ε bλ (Τ). Εν γένει είναι ιδιαίτερα δύσκολο να υπολογισθούν τα ολοκληρώματα στην εξίσωση (3.3), όταν χρησιμοποιούνται πειραματικά δεδομένα για το ε λ. Για απλούστευση της διαδικασίας, η ολοκλήρωση μπορεί να μετατραπεί σε άθροιση που περιλαμβάνει αρκετές περιοχές μηκών κύματος, σε κάθε μία από τις οποίες το ε λ μπορεί να θεωρηθεί σταθερό και να βγεί έξω από το ολοκλήρωμα. Τότε, τα ολοκληρώματα που προκύπτουν μπορούν να (3.3) Κεφάλαιο 3 4

26 ξαναγραφούν ως συναρτήσεις ακτινοβολίας του μέλανος σώματος, οι οποίες δίδονται στον Πίνακα -1. Για να καταστεί τούτο σαφέστερο, ας θεωρήσομε για παράδειγμα ότι διαιρούμε το όλον φάσμα μηκών κύματος σε τρείς περιοχές: Από 0 έως λ 1 : ε λ = ε 1 = σταθερό Από λ 1 έως λ : ε λ = ε = σταθερό Από λ έως : ε λ = ε 3 = σταθερό Στην περίπτωση αυτή, το ολοκλήρωμα στην εξίσωση (3.3) διαχωρίζεται σε τρία μέρη, οπότε μπορεί να χρησιμοποιηθεί η συνάρτηση ακτινοβολίας του μέλανος σώματος, που δίδεται από την εξίσωση (.9): λ λ 1 E ( ) Eb ( Td ) Eb ( Td ) bλ Tdλ λ λ λ 0 λ 1 λ λ ε = ε + ε + ε (3.4) σt σt σt Η εξίσωση (3.4) γράφεται σύμφωνα με τις εξισώσεις (.9) και (.10) ως εξής: ε = ε1f0 λ ( T) + ε 1 f0 λ ( T) f 0 λ ( T) ε f0 λ ( T) (3.5) Είναι προφανές από την (3.5) ότι, αν γνωρίζομε τα ε 1, ε και ε 3, ο υπολογισμός του συντελεστή εκπομπής είναι εύκολος με την χρήση του ΠΙΝΑΚΑ -1. Επίδραση της κατευθύνσεως στον συντελεστή εκπομπής Λόγω της πολυπλοκότητας των πειραματικών μετρήσεων, πολύ λίγες τιμές του συντελεστή εκπομπής ανά μήκος κύματος και κατεύθυνση, ε λω, είναι διαθέσιμες στην βιβλιογραφία. Τιμές της ολικής εκπεμπτικότητας, που ορίζεται ως: ε ε λ = (3.6) d ω 0 λω έχουν ληφθεί πειραματικά από τους Schmidt και Eckert και παριστάνονται γραφικά στα Σχήματα 3-3 και 3-4. Στο Σχήμα 3-3, ο συντελεστής εκπομπής ε ω εικονίζεται ως συνάρτηση της γωνίας κατευθύνσεως θ, για διάφορα μη αγώγιμα υλικά. Πιθανώς οι επιφάνειες αυτές είναι ισότροπες, επομένως ο ε ω είναι ανεξάρτητος της γωνίας κατευθύνσεως φ. Όπως φαίνεται στο διάγραμμα, όλες οι επιφάνειες έχουν σχεδόν σταθερές τιμές για τον συντελεστή εκπομπής ε ω στην περιοχή 0 ο θ 60 ο, ενώ για τιμές του θ μεγαλύτερες των 60 ο, η εκπεμπτικότητα αυξάνει ταχέως τείνοντας στο μηδέν καθώς θ 90 ο. Είναι ιδιαίτερα σημαντικό να αναφέρουμε ότι το οξείδιο του αλουμινίου και το οξείδιο του χαλκού είναι μεταξύ των ηλεκτρικά μη αγώγιμων υλικών, τα οποία παρουσιάζουν μία σχεδόν σταθερή τιμή του ε ω, διότι αυτό είναι το οξείδιο ενός μετάλλου, το οποίο συνήθως συμμετέχει σε μία διεργασία μεταφοράς θερμότητας με ακτινοβολία. Τούτο όμως δεν συμβαίνει στην περίπτωση δορυφόρων, όπου η έλλειψη οξυγόνου εμποδίζει την δημιουργία Κεφάλαιο 3 5

27 ενός λεπτού στρώματος οξειδίου, όπως επίσης στην περίπτωση διεργασιών μεταφοράς θερμότητας σε χαμηλές θερμοκρασίες, όπου ο ρυθμός της χημικής αντιδράσεως είναι ιδιαίτερα βραδύς και για την δημιουργία ενός λεπτού στρώματος οξειδίου απαιτείται μεγάλο χρονικό διάστημα. Εν τούτοις, η πλειονότητα των σημαντικών διεργασιών μεταφοράς θερμότητας με ακτινοβολία συμβαίνει κάτω από συνθήκες όπου ένα λεπτό στρώμα οξειδίου σχηματίζεται εύκολα. Σχήμα 3-3. Συντελεστής ολικής κατευθυντικής εκπεμπτικότητας φασματικής εκπομπής διαφόρων μη αγώγιμων υλικών. Σχήμα 3-4. Συντελεστής ολικής κατευθυντικής εκπεμπτικότητας φασματικής εκπομπής διαφόρων αγώγιμων υλικών. Κεφάλαιο 3 6

28 3-3. ΑΠΟΡΡΟΦΗΤΙΚΟΤΗΤΑ Το μέλαν σώμα απορροφά όλη την ακτινοβολία που προσπίπτει σε αυτό, ενώ μία πραγματική επιφάνεια απορροφά μόνον ένα μέρος της ακτινοβολίας αυτής. Ας θεωρήσομε την ενέργεια λόγω ακτινοβολίας που προσπίπτει σε μία πραγματική επιφάνεια από όλες τις διευθύνσεις ενός ημισφαιρικού χώρου και για όλα τα μήκη κύματος. Το ποσοστό της προσπίπτουσας ενέργειας που απορροφάται από την επιφάνεια αυτή καλείται ημισφαιρική απορροφητικότητα α. Στην περίπτωση που μας ενδιαφέρει τι ποσοστό από την ενέργεια που προσπίπτει με ένα συγκεκριμένο μήκος κύματος λ απορροφάται από την επιφάνεια, χρησιμοποιούμε τον όρο: φασματική ημισφαιρική απορροφητικότητα α λ. Σχήμα 3-5. Μεταβολή της απορροφητικότητας επιφανειών από διάφορα υλικά σε θερμοκρασία δωματίου, συναρτήσει της θερμοκρασίας της πηγής από την οποία προέρχεται η προσπίπτουσα ακτινοβολία. Κεφάλαιο 3 7

29 Στην διεθνή βιβλιογραφία, τα δεδομένα που αφορούν την επίδραση της θερμοκρασίας της πηγής της ακτινοβολίας στην απορροφητικότητα των επιφανειών, είναι σχετικά περιορισμένα. Μόνη εξαίρεση αποτελούν δεδομένα που αφορούν την ηλιακή ακτινοβολία ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ ΦΑΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Οι ιδιότητες που έχει μία επιφάνεια όταν ακτινοβολείται ή ακτινοβολεί, όπως η εκπεμπτικότητα ή απορροφητικότητα, εξαρτώνται εν γένει από το μήκος κύματος της ακτινοβολίας. Εν τούτοις, από πρακτικής απόψεως, είναι δύσκολο να λαμβάνονται υπ όψιν κατά τους υπολογισμούς τα επί μέρους ποσά θερμότητας που μεταφέρονται για κάθε μήκος κύματος. Για την απλούστευση λοιπόν των υπολογισμών, συνηθίζεται να θεωρείται ένας συντελεστής εκπομπής ε σταθερός για όλο το φάσμα των μηκών κύματος. Η μονοχρωματική εκπεμπτικότητα ορίζεται ως ο λόγος της μονοχρωματικής εκπεμπόμενης ισχύος από το σώμα προς την μονοχρωματική εκπεμπόμενη ισχύ από μέλαν σώμα στο ίδιο μήκος κύματος και θερμοκρασία: Eλ ε λ = (3.7) E Η προσέγγιση αυτή καλείται προσέγγιση του φαιού (γκρί) σώματος και χρησιμοποιείται σε πολλές εφαρμογές τεχνολογικού ενδιαφέροντος. Η ολική εκπεμπτικότητα του σώματος μπορεί να συσχετισθεί με την μονοχρωματική εκπεμπτικότητα, αν λάβομε υπ όψιν ότι: bλ E= ε E ( Td ) λ και 0 λ bλ b 4 ( ) 0 bλ λ σ, επομένως: E= E Td = T ε E ε E 0 λ bλdλ = = (3.8) 4 Eb σt όπου E bλ είναι η εκπεμπόμενη ισχύς από μέλαν σώμα ανά μονάδα μήκους κύματος. Επιβάλλοντας την συνθήκη του φαιού σώματος, συνεπάγεται ότι ε λ = σταθερό, οπότε η εξίσωση (3.8) ανάγεται στην: ε = ε λ (3.9) Ένα διάγραμμα του E bλ (εκπεμπόμενη ισχύς μέλανος σώματος) ως συνάρτηση του μήκους κύματος και της θερμοκρασίας δίδεται στο Σχήμα 3-6α (βλέπε και Σχήμα -1, Κεφάλαιο ), όπου φαίνεται ότι το μέγιστο μετατοπίζεται προς μικρότερα μήκη κύματος για υψηλότερες θερμοκρασίες, σύμφωνα με τον νόμο του Wien (.3). Στο Σχήμα 3-6β συγκρίνεται το σχετικό φάσμα ακτινοβολίας από μέλαν σώμα θερμοκρασίας 19 Κ, προς το αντίστοιχο φάσμα ιδανικού φαιού σώματος με συντελεστή εκπομπής ίσον προς 0.6. Οι δύο αυτές καμπύλες συγκρίνονται επίσης και προς μία καμπύλη που παριστάνει προσεγγιστικά Κεφάλαιο 3 8

30 (α) (β) Σχήμα 3-6. (α) Εκπεμπόμενη ισχύς μέλανος σώματος ως συνάρτηση του μήκους κύματος και της θερμοκρασίας. (β) Σύγκριση της ισχύος που εκπέμπεται από ιδανικό μέλαν σώμα και από ιδανικό φαιό σώμα με την ισχύ που εκπέμπεται από πραγματική επιφάνεια. Κεφάλαιο 3 9

31 την συμπεριφορά μίας πραγματικής επιφάνειας, η οποία μπορεί να διαφέρει αρκετά τόσο από ένα ιδανικό μέλαν σώμα όσο και από ένα ιδανικό φαιό σώμα. Κατά την ανάλυση πρακτικών προβλημάτων, οι επιφάνειες θεωρούνται συνήθως ως φαιά σώματα με εκπεμπτικότητες που προκύπτουν από την (3.8) και αντιστοιχούν σε μία μέση τιμή του συντελεστή εκπομπή για όλο το φάσμα των μηκών κύματος ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ KIRCHHOFF Η εκπεμπτικότητα και η απορροφητικότητα ενός σώματος συνδέονται, υπό ωρισμένες προϋποθέσεις, με τον νόμο του Kirchhoff. Σύμφωνα με τον νόμο αυτό, η φασματική εκπεμπτικότητα ε λ (Τ) που αφορά την εκπομπή ακτινοβολίας από ένα σώμα θερμοκρασίας Τ, ισούται με την φασματική απορροφητικότητα α λ (Τ) του σώματος αυτού σε ακτινοβολία που έχει ως πηγή μέλαν σώμα με την ίδια θερμοκρασία Τ. Επομένως, ο νόμος του Kirchhoff γράφεται: ε ( T) = α ( T) (3.10) λ Εν τούτοις, χρειάζεται προσοχή κατά την γενίκευση του αποτελέσματος αυτού στις μέσες τιμές εκπεμπτικότητας και απορροφητικότητας για όλο το φάσμα μηκών κύματος. Τούτο σημαίνει ότι η εξίσωση (3.10) ισχύει πάντοτε, αλλά η ισότητα λ ε( T) = α( T) (3.11) εφαρμόζεται μόνον όταν οι ιδιότητες του σώματος που αφορούν την συμπεριφορά του σε ακτινοβολία είναι ανεξάρτητες του μήκους κύματος (δηλαδή πρόκειται για φαιό σώμα), ή όταν η προσπίπτουσα και εκπεμπόμενη ακτινοβολία έχουν την ίδια φασματική κατανομή ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ Όταν ακτινοβολία προσπίπτει σε μία πραγματική επιφάνεια, ένα μέρος της ακτινοβολίας ανακλάται από την επιφάνεια. Αν η επιφάνεια είναι τελείως λεία, οι προσπίπτουσες και ανακλώμενες ακτίνες είναι συμμετρικές ως πρός την κάθετο στο σημείο προσπτώσεως, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3-7α. Η κατοπτρική αυτή ανάκλαση καλείται κανονική ή θεωρητική (ομαλή) ανάκλαση. Αν η επιφάνεια έχει κάποια τραχύτητα, η προσπίπτουσα ακτινοβολία σκεδάζεται προς όλες τις διευθύνσεις. Στην ιδεατή περίπτωση, κατά την ανάκλαση από τραχεία επιφάνεια, η ένταση της ανακλώμενης ακτινοβολίας είναι σταθερή για όλες τις γωνίες ανακλάσεως και ανεξάρτητη από την διεύθυνση της προσπίπτουσας ακτινοβολίας. Υπό αυτές τις συνθήκες, η ανάκλαση λέγεται διαχεόμενη ανάκλαση. Στο Σχήμα 3-7β απεικονίζεται η διαχεόμενη ανάκλαση από μία επιφάνεια. Κεφάλαιο 3 10

32 Εν τούτοις, η ανάκλαση από πραγματικές επιφάνειες που απαντώνται στις περισσότερες τεχνολογικές εφαρμογές, δεν είναι ούτε εντελώς ομαλή, ούτε εντελώς διαχεόμενη αλλά συνδυάζει τα χαρακτηριστικά τόσο της κανονικής όσο και της διαχεόμενης ανάκλασεως, όπως φαίνεται στο Σχήμα 3-7γ. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιούμε τον όρο ανώμαλη ανάκλαση. Εν τούτοις, τόσο η έννοια της θεωρητικής όσον και της διαχεόμενης ανακλάσεως είναι χρήσιμες κατά την μελέτη των ακραίων αυτών περιπτώσεων μεταφοράς θερμότητας με ακτινοβολία. Σχήμα 3-7. Ανάκλαση από επιφάνειες. (α) Κανονική ή θεωρητική (ομαλή) ανάκλαση, (β) διαχεόμενη ανάκλαση, (γ) ανώμαλη ανάκλαση Ως ανακλαστικότητα μιάς επιφάνειας ορίζεται το ποσοστό της προσπίπτουσας ακτινοβολίας το οποίο ανακλάται από την επιφάνεια αυτή.αν θεωρήσομε την ενέργεια λόγω ακτινοβολίας που προσπίπτει σε μία πραγματική επιφάνεια από όλες τις διευθύνσεις ενός ημισφαιρικού χώρου και για όλα τα μήκη κύματος, τότε το ποσοστό από την ενέργεια αυτή που ανακλάται πάλι στον ημισφαιρικό χώρο από την επιφάνεια αυτή καλείται ημισφαιρική Κεφάλαιο 3 11

33 ανακλαστικότητα ρ. Γιά αδιαφανή επιφάνεια, η ημισφαιρική ανακλαστικότητα ρ και η ημισφαιρική απορροφητικότητα α συνδέονται με την εξίσωση: α = 1 ρ (3.1) Η φασματική ημισφαιρική ανακλαστικότητα ρ λ αναφέρεται στην ακτινοβολία που ανακλάται σε ένα συγκεκριμένο μήκος κύματος λ.. Γιά αδιαφανή επιφάνεια, η φασματική ημισφαιρική ανακλαστικότητα ρ λ και η φασματική ημισφαιρική απορροφητικότητα α λ συνδέονται με την εξίσωση: α = 1 ρ (3.13) λ λ Στο Σχήμα 3-8 εικονίζεται η ανάκλαση και απορρόφηση φωτονίων σε πραγματική στερεά επιφάνεια και αντιστοιχεί στην περίπτωση (γ) του Σχήματος 3-7, την αποκαλούμενη ανώμαλη ανάκλαση. Στο Σχήμα 3-9 εικονίζεται για σύγκριση η ανάκλαση και απορρόφηση φωτονίων σε τέλεια λεία και στιλπνή στερεά επιφάνεια. Μία τέτοια κατάσταση είναι σχετικά σπάνια σε προβλήματα μηχανολογικού ενδιαφέροντος και αντιστοιχεί σε πρόσπτωση ορατού φωτός επί επιφάνειας με υψηλή στιλπνότητα, ή επί κατόπτρου. Σχήμα 3-8. Πρόσπτωση, ανάκλαση και απορρόφηση φωτονίων σε στερεά επιφάνεια. Κεφάλαιο 3 1

34 Σχήμα 3-9. Πρόσπτωση, ανάκλαση και απορρόφηση φωτονίων σε τέλεια λεία και στιλπνή στερεά επιφάνεια 3-7. ΔΙΑΠΕΡΑΤΟΤΗΤΑ Αν το σώμα είναι ημιδιαπερατό στην ακτινοβολία, όπως το γυαλί στην ηλιακή ακτινοβολία, ένα μέρος από την προσπίπτουσα ακτινοβολία ανακλάται από την επιφάνεια, ένα μέρος απορροφάται από το μέσον και το υπόλοιπο διέρχεται από το μέσον, όπως φαίνεται σχηματικά στο Σχήμα Στην περίπτωση αυτή, το άθροισμα της απορροφητικότητας α και ανακλαστικότητας ρ είναι μικρότερο της μονάδος. Η διαφορά του αθροίσματος από την μονάδα καλείται διαπερατότητα του σώματος. Μπορούμε λοιπόν να γράψομε την εξίσωση: όπου τ είναι η διαπερατότητα του μέσου. α + ρ+ τ = 1 (3.14) Κεφάλαιο 3 13

35 Σχήμα Ανάκλαση, απορρόφηση και διέλευση προσπίπτουσας ακτινοβολίας σε ημι-διαπερατό υλικό. Όταν αναφερόμαστε σε ένα συγκεκριμένο μήκος κύματος, χρησιμοποιούμε για την διαπερατότητα τον όρο φασματική διαπερατότητα. Η φασματική ημισφαιρική ανακλαστικότητα ρ λ και η φασματική ημισφαιρική απορροφητικότητα α λ συνδέονται με την φασματική διαπερατότητα τ λ του μέσου με μία εξίσωση ανάλογη της (3.14): αλ + ρλ + τλ = 1 (3.15) Κεφάλαιο 3 14

36 Παράδειγμα 3-1. Η φασματική εκπεμπτικότητα μιάς αδιαφανούς επιφάνειας σε θερμοκρασία 1000 Κ δίδεται από: ε 1 = 0.1 για λ 0 = 0 έως λ 1 = 0.5 μm ε = 0.5 για λ 1 = 0.5 έως λ = 6 μm ε 3 = 0.7 για λ = 6 έως λ 3 = 15 μm ε 4 = 0.8 για λ 3 > 15 μm Να προσδιορισθεί ο μέσος συντελεστής εκπομπής γιά όλη την περιοχή μηκών κύματος (από 0 έως ) και η ροή της ακτινοβολίας που εκπέμπεται από το υλικό στους 1000 Κ. Λύση. Δεδομένου ότι η φασματική κατανομή της εκπεμπτικότητας δίδεται κατά περιοχές μηκών κύματος, μπορούμε σύμφωνα με την εξίσωση (3.3) να διαχωρίσομε το ολοκλήρωμα στα εξής μέρη: ε = 0 ε E λ bλ E ( T) b ( Td ) λ λ λ 1 λ3 ( ) b ( ) b ( ) E E E Td E Td bλ Tdλ λ λ λ bλ 0 λ λ 1 λ λ ( Td ) λ = ε σt + ε σt + ε σt + ε σt = ε1f0 λ ( T) + ε 1 f0 λ ( T) f 0 ( T) λ1 + ε 3 f0 λ ( T) f 3 0 λ ( T) ε + 4 f0 ( T) f0 λ ( T) 3 όπου τα f0 λ ( T) δίδονται από τον ΠΙΝΑΚΑ -1. Έχομε: λ 1 = 0.5, λ 1 Τ = = 500 μm K f λ λ = 6, λ Τ = = 6000 μm K f0 λ = λ 3 = 15, Άρα θα είναι: λ 3 Τ = = μm K f λ = ε = ( ) ( ) ( ) ε = Εφ όσον προσδιορίσαμε την μέση εκπεμπτικότητα ε(τ) για την θερμοκρασία των 1000 Κ, η ακτινοβολούμενη ενέργεια q(τ) που εκπέμπεται από την επιφάνεια, ανά μονάδα επιφανείας και σε θερμοκρασία Τ = 1000 Κ, υπολογίζεται εύκολα από την εξίσωση (3.): Κεφάλαιο 3 15

37 4 8 W 4 4 qt ( ) = ε( T) σt = ( 1000 K ) mk q(t) = W/m Κεφάλαιο 3 16

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Η Έννοια του Συντελεστή Όψεως 4-1. ΓΕΝΙΚΑ Κατά την μελέτη της ανταλλαγής θερμότητας με ακτινοβολία μεταξύ επιφανειών που διαχωρίζονται από ένα μέσον που δεν συμμετέχει, όπως το κενό ή ο αέρας, ο σχετικός προσανατολισμός και το μέγεθος των επιφανειών είναι παράγοντες που επηρεάζουν έντονα την ανταλλαγή της ακτινοβολίας. Για να τυποποιήσομε την επίδραση του προσανατολισμού κατά την ανάλυση της ανταλλαγής θερμότητας με ακτινοβολία μεταξύ επιφανειών, υιοθετήθηκε η έννοια του συντελεστή όψεως. Στην βιβλιογραφία χρησιμοποιούνται επίσης οι όροι συντελεστής σχήματος, συντελεστής γωνίας και συντελεστής διατάξεως. Θα πρέπει εδώ να επισημάνουμε την διαφορά που υφίσταται μεταξύ ενός διάχυτου συντελεστή όψεως, δηλαδή σχετικού με διαχεόμενη ανάκλαση ή εκπομπή και ενός θεωρητικού συντελεστή όψεως. Ο πρώτος συντελεστής αναφέρεται σε μία κατάσταση όπου οι επιφάνειες είναι διαχέοντες ανακλαστήρες και διαχέοντες εκπομπείς, δηλαδή οι επιφάνειες μεταξύ των οποίων γίνεται ανταλλαγή θερμότητας με ακτινοβολία έχουν την ιδιότητα να προκαλούν διαχεόμενη ανάκλαση και διαχεόμενη εκπομπή. Απεναντίας, ο δεύτερος συντελεστής αναφέρεται σε μία κατάσταση όπου οι επιφάνειες είναι διαχέοντες εκπομπείς αλλά ομαλοί ανακλαστήρες. Στο παρόν βιβλίο, θα θεωρήσομε αποκλειστικά επιφάνειες που είναι διαχέοντες εκπομπείς και διαχέοντες ανακλαστήρες, επομένως δεν είναι απαραίτητο να κάνομε την ανωτέρω διάκριση μεταξύ των συντελεστών όψεως. Με τον όρο λοιπόν Κεφάλαιο 4 1

39 συντελεστής όψεως θα εννοούμε τον συντελεστή όψεως που αναφέρεται σε διαχεόμενη εκπομπή και διαχεόμενη ανάκλαση. Η φυσική σημασία του συντελεστή όψεως μεταξύ δύο επιφανειών είναι η εξής: Αν θεωρήσομε την ενέργεια που ακτινοβολεί η μία επιφάνεια, τότε το κλάσμα από την ενέργεια αυτή που προσπίπτει κατ ευθείαν στην άλλη επιφάνεια είναι ο συντελεστής όψεως. Κατά συνέπεια, ο προσδιορισμός του συντελεστή όψεως μεταξύ δύο επιφανειών ανάγεται κυρίως σε ένα γεωμετρικό πρόβλημα. 4-. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΟΨΕΩΣ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Ο προσδιορισμός του συντελεστή όψεως μεταξύ δύο στοιχειωδών επιφανειών είναι ένα σχετικά απλό πρόβλημα και τα αποτελέσματα είναι ιδιαίτερα χρήσιμα κατά την γενίκευση της έννοιας του συντελεστή όψεως μεταξύ δύο πεπερασμένων επιφανειών με αυθαίρετο προσανατολισμό. Σχήμα 4-1. Σύστημα συντεταγμένων για τον ορισμό του συντελεστή όψεως. Κεφάλαιο 4

40 Θεωρούμε δύο στοιχειώδεις επιφάνειες da 1 και da, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4-1. Έστω r η απόσταση μεταξύ των δύο επιφανειών, θ 1 η πολική γωνία μεταξύ της καθέτου ˆn 1 στην στοιχειώδη επιφάνεια da 1 και της ευθείας που ενώνει την da 1 με την da, και θ η πολική γωνία μεταξύ της καθέτου ˆn στην στοιχειώδη επιφάνεια da και της ευθείας r. Εξ ορισμού, ο στοιχειώδης συντελεστής όψεως dfda 1 da είναι ο λόγος της ενέργειας που ακτινοβολεί η επιφάνεια da 1 και προσπίπτει κατ ευθείαν στην επιφάνεια da, προς την συνολική ενέργεια που ακτινοβολεί η επιφάνεια da 1 προς όλες τις κατευθύνσεις ενός ημισφαιρικού χώρου. Δίδεται από την εξίσωση: Ο στοιχειώδης συντελεστής όψεως df cosθ1cosθda = (4.1) π r da1 da df από την επιφάνεια da στην επιφάνεια da 1, da da1 προκύπτει κατ ευθείαν από την εξίσωση (4.1) αν εναλλάξομε τους δείκτες 1 και, οπότε έχομε: df cosθ1cosθda1 = (4.) π r da da1 Η σχέση αμοιβαιότητας μεταξύ των συντελεστών όψεως προκύπτει από τις εξισώσεις (4.1) και (4.): df και da1 da df da da1 da df = da df (4.3) 1 da1 da da da1 Από την σχέση αυτή συνεπάγεται ότι, για δύο στοιχειώδεις επιφάνειες da 1 και da, όταν ο ένας από τους συντελεστές όψεως είναι γνωστός, ο άλλος υπολογίζεται εύκολα από την σχέση αμοιβαιότητας ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΟΨΕΩΣ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Ενώ ο υπολογισμός του συντελεστή όψεως μεταξύ δύο στοιχειωδών επιφανειών είναι ένα σχετικά απλό πρόβλημα, ο υπολογισμός των μαθηματικών εκφράσεων που προκύπτουν στη περίπτωση πεπερασμένων επιφανειών είναι αρκετά δύσκολο πρόβλημα, εκτός από τις περιπτώσεις όπου οι γεωμετρική διάταξη των επιφανειών στον χώρο είναι ιδιαίτερα απλή. Ας θεωρήσομε τον συντελεστή όψεως FA 1 A από την πεπερασμένη επιφάνεια A 1 σε μία άλλη πεπερασμένη επιφάνεια A, όπως όπως φαίνεται στο Σχήμα 4-1. Ολοκληρώνοντας τον στοιχειώδη συντελεστή όψεως dfda 1 da επί των επιφανειών A και A 1, και διαιρώντας την προκύπτουσα έκφραση με A 1, λαμβάνομε την ακόλουθη έκφραση για τον συντελεστή όψεως FA 1 A : 1 cosθ1cosθ FA 1 A = da da1 A (4.4) π r 1 A1 A Κεφάλαιο 4 3

41 Ο συντελεστής όψεως από την επιφάνεια A στην επιφάνεια A 1 προκύπτει άμεσα, αν εναλλάξομε τους δείκτες 1 και στην εξίσωση (4.4): F 1 cosθ cosθ 1 A A = da 1 1dA A (4.5) π r A A1 Από τις εξισώσεις (4.4) και (4.5) προκύπτει η σχέση αμοιβαιότητας μεταξύ των συντελεστών όψεως FA 1 A και F A A : 1 AF = AF (4.6) 1 A1 A A A1 Οι σχέσεις αμοιβαιότητας είναι ιδιαίτερα χρήσιμες για τον προσδιορισμό του ενός συντελεστή όψεως, όταν είναι γνωστός ο άλλος. Ο συντελεστής όψεως F αντιπροσωπεύει το κλάσμα εκείνο από την ενέργεια που A1 A εκπέμπεται από την επιφάνεια A 1 με διαχεόμενη ακτινοβολία, και προσπίπτει κατ ευθείαν στην επιφάνεια A. Ο υπολογισμός των διπλών επιφανειακών ολοκληρωμάτων στις αντίστοιχες μαθηματικές εκφράσεις που προκύπτουν είναι ιδιαίτερα δύσκολος ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ ΟΨΕΩΣ Θεωρούμε ένα κλειστό χώρο, αποτελούμενο από Ν ζώνες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 4-. Η επιφάνεια της κάθε ζώνης έχει εμβαδόν Α i, όπου i = 1,,...,Ν. Υποθέτομε ότι κάθε ζώνη είναι ισόθερμη και ότι εκπέμπει και ανακλά ακτινοβολία με διαχεόμενη εκπομπή και διαχεόμενη ανάκλαση αντίστοιχα. Η επιφάνεια της κάθε ζώνης μπορεί να είναι επίπεδη, κυρτή ή κοίλη. Οι συντελεστές όψεως μεταξύ των επιφανειών A i και A j του κλειστού αυτού χώρου ικανοποιούν την ακόλουθη σχέση αμοιβαιότητας: AF = A F (4.7) i Ai Aj j Aj Ai Σχήμα 4-. Κλειστός χώρος αποτελούμενος από Ν ζώνες. Κεφάλαιο 4 4

42 Το άθροισμα των συντελεστών όψεως από μία επιφάνεια, έστω A i, του κλειστού αυτού χώρου προς όλες τις επιφάνειες, συμπεριλαμβανομένης και της ίδιας, θα πρέπει να ισούται με μονάδα. Τούτο προκύπτει από τον ορισμό του συντελεστή όψεως και λέγεται σχέση αθροίσεως μεταξύ των συντελεστών όψεως ενός κλειστού χώρου, γράφεται δε ως εξής: N FA i Ak k = 1 = 1 (4.8) όπου Ν είναι ο αριθμός των ζωνών που αποτελούν την κλειστή επιφάνεια. Στους όρους του αθροίσματος περιλαμβάνεται και ο όρος, που είναι ο συντελεστής όψεως από την FA i Ai επιφάνεια A i στον εαυτό της. Ο όρος αυτός παριστά το κλάσμα από την ενέργεια που ακτινοβολεί η επιφάνεια A i, που προσπίπτει κατ ευθείαν στην ίδια. Είναι προφανές ότι ο όρος F μηδενίζεται αν η επιφάνεια A i είναι επίπεδη ή κυρτή, και είναι διάφορος του Ai Ai μηδενός αν η επιφάνεια A i είναι κοίλη, δηλαδή: F = 0 εάν η Α ι επίπεδη ή κυρτή (4.9α) Ai Ai F 0 εάν η Α ι κοίλη (4.9β) Ai Ai Κεφάλαιο 4 5

43 Παράδειγμα 4-1. Δύο μικρές επιφάνειες da 1 = 5 cm και da = 10 cm είναι σε απόσταση r = 100 cm και προσανατολισμένες όπως στο Σχήμα. Υπολογίστε τον συντελεστή όψεως μεταξύ των δύο επιφανειών. Λύση. Οι δύο επιφάνειες μπορούν να θεωρηθούν ως απειροστές (στοιχειώδεις) δεδομένου ότι: da1 5cm = = << 1 r 100cm da r 10cm = = << 1 100cm Από την εξίσωση (4.1) έχομε: da n 30 0 r n da 1 df da1 da ( ) ( ) 0 0 cosθ1cosθ cos 60 cos da cm = = πr π 100 cm df da 1 da = Από την σχέση αμοιβαιότητας (4.3), αν λύσομε ως προς dfda 1 da έχομε: df da 5cm = df = 10cm 1 da da1 da1 da da df da da 1 = Κεφάλαιο 4 6

44 Παράδειγμα 4-. Η διάταξη που εικονίζεται στο Σχήμα αποτελείται από ημισφαίριο, επιφανείας Α1 και κυκλικό επίπεδο επιφανείας Α. Να υπολογίσετε όλους τους συντελεστές όψεως που αφορούν τον κλειστό αυτό χώρο, ήτοι: F1-1, F1- και F-1, F- ΛΥΣΗ: Οι σχέσεις αθροίσεως για τους συντελεστές των επιφανειών 1 και γράφονται: F 11 + F1 = 1 F + F = 1 1 Επειδή η επιφάνεια Α είναι επίπεδη, έχομε: F - = 0 Επομένως, θα είναι: F -1 = 1 Από την σχέση αμοιβαιότητας: AF 1 1 = AF 1, προκύπτει ότι: A π R 1 F = F = F = F 1- = A1 π R Επομένως: F 1-1 = 1 - F 1- F 1-1 = 0.5 Κεφάλαιο 4 7

45 Παράδειγμα 4-3. Ο συντελεστής όψεως F1-3 μεταξύ της κάτω και άνω επιφάνειας του κυλίνδρου που εικονίζεται στο Σχήμα είναι γνωστός από τα διαγράμματα συντελεστών όψεως. Βρείτε μία σχέση για τους συντελεστές όψεως F1- και F-1 μεταξύ της βάσεως και της παράπλευρης κυλινδρικής επιφάνειας συναρτήσει του συντελεστή F1-3. Λύση. Η σχέση αθροίσεως, εξίσωση (4.8) γράφεται: F F F = 1 A 1 Επειδή η επιφάνεια Α 1 είναι επίπεδη, έχομε: F11 = 0 Επομένως, θα είναι: F = 1 F Από την σχέση αμοιβαιότητας, εξίσωση (4.7), που εδώ γράφεται: AF = AF, προκύπτει ότι: A A 3 R H A π R F = F = F A π RH F R = H ( 1 ) ( 1 F ) Κεφάλαιο 4 8

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Προσδιορισμός του Συντελεστή Όψεως 5-1. ΓΕΝΙΚΑ. Ο υπολογισμός του στοιχειώδη συντελεστή όψεως, που ορίζεται από τις εξισώσεις (4.1) και (4.) είναι ένα σχετικά εύκολο πρόβλημα. Ο υπολογισμός όμως του συντελεστή όψεως μεταξύ πεπερασμένων επιφανειών, που ορίζεται από τις εξισώσεις (4.4) και (4.5) είναι ιδιαίτερα δύσκολος. Έχει γίνει σημαντική προσπάθεια για τον υπολογισμό του συντελεστή όψεως μεταξύ πεπερασμένων επιφανειών και υπάρχουν επαρκή αποτελέσματα στην βιβλιογραφία. Για απλές διατάξεις γεωμετρικών επιφανειών, οι συντελεστές όψεως δίδονται τόσο αναλυτικά όσο και υπό την μορφή γραφικών παραστάσεων. Στις δύο επόμενες παραγράφους δίδονται μερικοί συντελεστές όψεως για δισδιάστατες ( 5.) και τρισδιάστατες ( 5.3) γεωμετρίες. 5-. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΟΨΕΩΣ ΓΙΑ ΔΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ. Στην περίπτωση δισδιάστατων γεωμετριών, θεωρούμε πλάκες πεπερασμένου πλάτους αλλά απείρου μήκους. Έτσι, οι παράμετροι που υπεισέρχονται στον υπολογισμό των συντελεστών όψεως είναι το εύρος της κάθε πλάκας και μία επί πλέον παράμετρος, όπως η μεταξύ τους απόσταση (αν είναι παράλληλες), ή η μεταξύ τους γωνία κλπ. Στα σχήματα 5-1, 5-, 5-3 και 5-4) δίδονται οι συντελεστές όψεως για μερικές απλές περιπτώσεις δισδιάστατων γεωμετριών. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 1

47 α. Παράλληλες πλάκες με κοινή μεσοκάθετο Αν w i, w j το εύρος των πλακών και L η μεταξύ τους απόσταση (κοινή μεσοκάθετος) όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1, θέτομε: w w i j Wi =, Wj = L L Ο συντελεστής όψεως F ij μεταξύ των δύο παράλληλων πλακών δίδεται από την σχέση: F ij ( Wi Wj) ( Wi Wj) = (5.1) W i Σχήμα 5-1. Παράλληλες πλάκες με κοινή μεσοκάθετο. β. Κεκλιμένες (Παράλληλες) πλάκες ίσου πλάτους με κοινή πλευρά Αν w το εύρος της κάθε πλάκας και α η μεταξύ τους γωνία (Σχήμα 5.), ο συντελεστής όψεως δίδεται από την σχέση: F ij a = 1 sin (5.) Σχήμα 5-. Κεκλιμένες πλάκες με κοινή μεσοκάθετο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5

48 γ. Κάθετες πλάκες με κοινή πλευρά Αν w i, w j το εύρος των πλακών, που είναι κάθετες μεταξύ τους, ο συντελεστής όψεως είναι: F ij wj wj wi wi = (5.3) Σχήμα 5-3. Κάθετες πλάκες με κοινή πλευρά δ. Κλειστός τριγωνικός χώρος Ο συντελεστής όψεως εκφράζεται συναρτήσει του εύρους w i, w j και w k των τριών πλακών (απείρου μήκους) που απαρτίζουν τον τριγωνικής διατομής χώρο ως εξής: F ij wi + wj wk = (5.4) w i Σχήμα 5-4. Κλειστός τριγωνικός χώρος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 3

49 5-3. ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΟΨΕΩΣ ΓΙΑ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΕΣ. Στα σχήματα 5-5, 5-6, 5-7, 5-8 και 5-9, παρουσιάζονται υπό την μορφή γραφικών παραστάσεων, μερικοί συντελεστές όψεως για απλές διατάξεις γεωμετρικών επιφανειών. Σχήμα 5-5. Συντελεστής όψεως FdA 1 A από μία στοιχειώδη επιφάνεια da 1 σε μία ορθογώνια επιφάνεια A. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 4

50 Σχήμα 5-6. Συντελεστής όψεως FA1 A από μία ορθογώνια επιφάνεια A 1 σε μία ορθογώνια επιφάνεια A. Οι δύο επιφάνειες είναι παράλληλες και απέναντι η μία στην άλλη. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 5

51 Σχήμα 5-7. Συντελεστής όψεως FA 1 A από μία ορθογώνια επιφάνεια A 1 σε μία ορθογώνια επιφάνεια A. Οι δύο επιφάνειες είναι συνεχόμενες και κάθετες μεταξύ τους. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 6

52 Σχήμα 5-8. Συντελεστής όψεως FA1 A μεταξύ δύο παράλληλων ομοαξονικών δίσκων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 7

53 Σχήμα 5-9. Συντελεστές όψεως μεταξύ δύο ομόκεντρων ομοαξονικών κυλίνδρων ίσου μήκους. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 8

54 5-4. ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΟΨΕΩΣ. Τα διαγράμματα για συντελεστές όψεως είναι διαθέσιμα για ένα περιορισμένο αριθμό απλών διατάξεων των επιφανειών. Εν τούτοις, όταν η γεωμετρική διάταξη υπό μελέτη είναι πολύπλοκη, είναι δυνατόν να διαχωρισθεί σ ένα αριθμό απλούστερων διατάξεων κατά τέτοιο τρόπο, ώστε οι επί μέρους συντελεστές να μπορούν να προσδιορισθούν από τα διαγράμματα που είναι διαθέσιμα για συντελεστές όψεως. Τότε, είναι δυνατόν να προσδιορισθεί ο συντελεστής όψεως για την αρχική, πολύπλοκη γεωμετρική διάταξη, ως το αλγεβρικό άθροισμα των συντελεστών όψεως των επί μέρους απλούστερων διατάξεων. Η προσέγγιση αυτή καλείται άλγεβρα συντελεστών όψεως και αποτελεί μία αποτελεσματική μέθοδο για τον προσδιορισμό των συντελεστών όψεως σε αρκετές περιπτώσεις πολύπλοκων διατάξεων. Για την μέθοδο αυτή δεν υπάρχουν σταθεροί κανόνες. Απαιτείται μόνον κατάλληλη χρήση των σχέσεων αμοιβαιότητας και των κανόνων αθροίσεως. Για να δούμε πως μπορούν να χρησιμοποιηθούν οι κανόνες αθροίσεως και οι σχέσεις αμοιβαιότητας, θεωρούμε τον συντελεστή όψεως από μία επιφάνεια A 1 σε μία επιφάνεια A, η οποία διαιρείται σε δύο επί μέρους επιφάνειες A 3 και A 4 : A = A3+ A4 (5.5) Σχήμα Άλγεβρα συντελεστών όψεως. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 9

55 Στο Σχήμα 5-10 φαίνονται οι επιφάνειες και η υποδιαίρεσίς των. Ο συντελεστής όψεως από την επιφάνεια A 1 στην επιφάνεια A μπορεί να γραφεί: F = F + F (5.6) Η σχέση αυτή συμφωνεί με τον ορισμό του συντελεστή όψεως. Δηλαδή, το κλάσμα από την ολική ενέργεια που φεύγει από την επιφάνεια A 1 και προσπίπτει στις επιφάνειες A 3 και A 4 ισούται με το κλάσμα από την ολική ενέργεια που φεύγει από την επιφάνεια A 1 και προσπίπτει στην επιφάνεια A. Επί πλέον σχέσεις μεταξύ των συντελεστών αυτών προκύπτουν ως εξής. Αν πολλαπλασιάσομε και τα δύο μέλη της εξισώσεως (5.6) με A 1 έχομε: AF = AF + AF (5.7) Εφαρμόζοντας την σχέση αμοιβαιότητας σε κάθε όρο της (5.7) προκύπτει: ή AF = AF + AF F 1 AF + AF AF + AF = = A A + A (5.8) Ας υποθέσομε τώρα ότι η επιφάνεια A διαιρείται σε περισσότερες από δύο επιφάνειες: A = A3+ A AN (5.9) Αν ακολουθήσομε την ίδια διαδικασία, προκύπτει η εξής εξίσωση, αντίστοιχη της (5.8): F 1 = AF + AF A F A + A A N N N (5.10) Εφαρμόζοντας παρόμοιες διαδικασίες, μπορούμε να λάβομε και άλλες σχέσεις μεταξύ των συντελεστών όψεως. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 10

56 Παράδειγμα 5-1. Να προσδιορισθεί ο συντελεστής όψεως F 1- μεταξύ της στοιχειώδους επιφάνειας da 1 και της πεπερασμένης ορθογώνιας επιφάνειας A, για την γεωμετρική διάταξη που φαίνεται στο Σχήμα. Λύση. Αν χρησιμοποιήσομε τους συμβολισμούς του Σχήματος 5-5, ήτοι L 1, L και D, έχομε: L 1 = 3 cm L = 6 cm D = 6 cm Επομένως είναι: L1 3 cm 0.5 D = 6 cm = και L 6 cm 1 D = 6 cm = Για τις τιμές αυτές των λόγων L 1 / D και L / D, από το Σχήμα 5-5 προκύπτει ότι ο συντελεστής όψεως FdA 1 A είναι: F1 = 0.09 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 11

57 Παράδειγμα 5-. Να προσδιορισθούν οι συντελεστές όψεως F 4- και F 3- μεταξύ δύο ορθογωνίων επιφανειών, για την γεωμετρική διάταξη που φαίνεται στο Σχήμα. Λύση. Χρησιμοποιώντας τους συμβολισμούς L 1, L και W, του Σχήματος 5-7, έχομε: (α) Είναι: L 1 = 3 cm, L = 5 cm και W = 6 cm οπότε: L1 3 cm 0.5 W = 6 cm = και L 5 cm W = 6 cm = Για τις τιμές αυτές προκύπτει ο συντελεστής όψεως FA 1 A από τα διαγράμματα του Σχήματος 5-7: F4 = 0.85 (β) Είναι: L 1 = 1 cm, L = 5 cm και W = 6 cm οπότε: L1 1 cm W = 6 cm = και L 5 cm W = 6 cm = Για τις τιμές αυτές, όπως προκύπτει από τα διαγράμματα του Σχήματος 5-7, ο συντελεστής όψεως FA 1 A είναι: F4 = 0.4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 1

58 Παράδειγμα 5-3. Να προσδιορισθούν ο συντελεστής όψεως F 1- μεταξύ δύο ορθογωνίων επιφανειών A 1 και A, για την γεωμετρική διάταξη που φαίνεται στο Σχήμα. Λύση. Χωρίζομε την διάταξη σε μέρη όμοια με εκείνα που θεωρήσαμε στο Παράδειγμα 5-. Τότε, οι συντελεστές όψεως για τις επί μέρους διατάξεις είναι διαθέσιμοι από το Σχήμα 5-7. Εφαρμόζοντας τους τύπους από την άλγεβρα των συντελεστών όψεως, έχομε: AF = AF + AF AF = AF AF Άρα: F 1 = AF AF A Η αριθμητική εφαρμογή των δεδομένων δίδει: F (3 6) 0.85 (1 6) = ( 6) F1 = 0.75 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 13

59 5-5. ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΩΝ ΔΙΑΣΤΑΥΡΟΥΜΕΝΩΝ ΧΟΡΔΩΝ. Θεωρούμε ένα κλειστό χώρο, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5-11, αποτελούμενο από τέσσερες επιφάνειες. Υποθέτομε ότι οι επιφάνειες αυτές έχουν μεγάλο μήκος κατά την κάθετη διεύθυνση στο επίπεδο του σχήματος και μπορεί να είναι επίπεδες, κυρτές, ή κοίλες. Θέλομε τώρα να προσδιορίσομε τον συντελεστή όψεως F 1-3 μεταξύ των επιφανειών Α 1 και Α 3. Θεωρούμε ότι υποθετικές χορδές που παριστάνονται με διακεκομμένες γραμμές στο Σχήμα 5-11, δένονται στις τέσσερες γωνίες A, B, C, D του κλειστού χώρου και τεντώνονται μεταξύ αυτών. Έστω L i (i = 1,, 3, 4, 5, 6) τα μήκη των χορδών που ενώνουν τις γωνίες, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Σχήμα Προσδιορισμός του συντελεστή όψεως μεταξύ των επιφανειών Α 1 και Α 3 ενός επιμήκους κλειστού χώρου. Ο Hottel απέδειξε ότι ο συντελεστής όψεως F 1-3 μπορεί να εκφρασθεί ως εξής: ( L L ) ( L L ) + + LF = (5.11) Παρατηρούμε ότι ο όρος L 5 + L 6 είναι το άθροισμα των μηκών των διασταυρούμενων χορδών, ενώ L + L 4 είναι το άθροισμα των μηκών των μη διασταυρούμενων χορδών. Η εξίσωση (5.11) είναι χρήσιμη για τον προσδιορισμό του συντελεστή όψεως μεταξύ των επιφανειών ενός επιμήκους κλειστού χώρου, για παράδειγμα ενός κλειστού χώρου με ραβδώσεις, που μπορεί να χαρακτηρισθεί ως δισδιάστατη γεωμετρία υπό την μορφήν του Σχήματος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 14

60 Παράδειγμα 5-4. Ημικυκλική επιφάνεια απείρου μήκους, με εμβαδόν A 1 και ακτίνα b και πλάκα απείρου μήκους με εμβαδόν A και εύρος c, είναι σε απόσταση d, όπως φαίνεται στο Σχήμα. Να προσδιορισθεί ο συντελεστής όψεως F 1-3 μεταξύ των επιφανειών A 1 και A 3. Λύση. Οι διακεκομμένες γραμμές στο Σχήμα είναι οι υποθετικές χορδές. Ο συντελεστής όψεως F 1-3 μεταξύ των επιφανειών A 1 και A 3 δίδεται από την εξίσωση (5.11). Λόγω συμμετρίας, έχομε: L 5 = L 6 και L = L 4, οπότε η εξίσωση (5.11) δίδει: F 1 3 = L L L Από την γεωμετρία του σχήματος έχομε: L4 = ( c b) + d L6 = ( c+ b) + d L 1 = b Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για τα L 4, L 6 και L 1, προκύπτει η εξής έκφραση για τον συντελεστή όψεως F 1-3 : F 1 3 = ( c+ b) + d ( c b) + d b ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 15

61 ΑΣΚΗΣΗ Ένας κόλουρος κώνος έχει διάμετρο βάσεως D, διάμετρο κορυφής D και ύψος Η = D. Χρησιμοποιώντας τους δείκτες 1 για την βάση, για την κορυφή και 3 για την παράπλευρη επιφάνεια του κώνου, να υπολογίσετε όλους τους συντελεστές όψεως που αφορούν τον κλειστό αυτό χώρο, ήτοι: F1-1, F1-, F1-3 ; F-1, F-, F-3 και F3-1, F3-, F3-3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 16

62 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μέθοδος των Ισοδυνάμων Κυκλωμάτων για Ανταλλαγή Ακτινοβολίας 6-1. ΓΕΝΙΚΑ. Η ανάλυση της ανταλλαγής ακτινοβολίας μεταξύ των επιφανειών ενός κλειστού χώρου είναι αρκετά πολύπλοκη. Τούτο οφείλεται στο γεγονός ότι, όταν οι επιφάνειες δεν είναι μελανές, η ακτινοβολία που φεύγει από μία επιφάνεια μπορεί να ανακλασθεί αρκετές φορές μεταξύ των επιφανειών, υφιστάμενη μερική απορρόφηση σε κάθε ανάκλαση. Επομένως, η πλήρης ανάλυση του προβλήματος πρέπει να περιλαμβάνει και την επίδραση των πολλαπλών αυτών ανακλάσεων. Για να απλοποιήσομε το όλο πρόβλημα, υποθέτομε ότι, ένας δεδομένος κλειστός χώρος μπορεί να διαιρεθεί σε αρκετές ζώνες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6-1. Η διαίρεση γίνεται κατά τέτοιο τρόπο, ώστε να μπορούμε να υποθέσομε ότι για κάθε ζώνη i =1,,, N ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες: 1. Χαρακτηριστικά μεγέθη της ακτινοβολίας, δηλαδή η ανακλαστικότητα, η εκπεμπτικότητα και η απορροφητικότητα, είναι ομοιογενή και ανεξάρτητα από την διεύθυνση και την συχνότητα.. Οι επιφάνειες είναι διαχέοντες εκπομπείς και διαχέοντες ανακλαστήρες. 3. Η θερμική ροή της ακτινοβολίας που φεύγει από κάθε επιφάνεια είναι ομοιόμορφη σε όλη την επιφάνεια της κάθε ζώνης. 4. Η ακτινοβόληση είναι ομοιόμορφη σε όλη την επιφάνεια της κάθε ζώνης. 5. Οι επιφάνειες είναι αδιαφανείς, δηλαδή: α + ρ =1. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 1

63 6. Στην επιφάνεια της κάθε ζώνης επιβάλλομε είτε ομοιόμορφη θερμοκρασία, είτε ομοιόμορφη θερμική ροή. 7. Ο κλειστός χώρος πληρούται από μέσον το οποίο δεν συμμετέχει. Οι υποθέσεις 3 και 4 εν γένει δεν είναι σωστές, όμως χωρίς αυτές η ανάλυση του όλου προβλήματος περιπλέκεται κατά πολύ. Ο σκοπός της αναλύσεως της ανταλλαγής θερμικής ακτινοβολίας μεταξύ των επιφανειών ενός κλειστού χώρου είναι ο προσδιορισμός της καθαρής θερμικής ροής της ακτινοβολίας για τις ζώνες στις οποίες επιβάλλεται μία τιμή της θερμοκρασίας. Απεναντίας, η θερμοκρασία μπορεί να προσδιορισθεί στις ζώνες στις οποίες επιβάλλεται μία τιμή για την καθαρή θερμική ροή. q i G i J i A i T i ρ i ε i α i A i, T i, ρ i, ε i (α) (β) Σχήμα 6-1. (α) Κλειστός χώρος, ο οποίος έχει πληρωθεί από μέσον το οποίο δεν συμμετέχει. (β) Ενεργειακό ισοζύγιο ανά μονάδα επιφανείας της ζώνης i. Για την ανταλλαγή θερμικής ακτινοβολίας μεταξύ επιφανειών μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένα ισοδύναμο ηλεκτρικό κύκλωμα. Προτού παρουσιάσομε την μέθοδο του ισοδυνάμου ηλεκτρικού κύκλωματος, εισάγομε τις έννοιες που οδηγούν στον ορισμό των διαφόρων αντιστάσεων ακτινοβολίας στη διαδρομή της θερμικής ροής. 6-. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΛΑΜΠΡΟΤΗΤΑΣ Ας εστιάσομε τώρα την προσοχή μας σε μία από τις ζώνες του κλειστού χώρου, έστω την ζώνη i. Σύμφωνα με την υπόθεση 3, η ενέργεια που ακτινοβολείται από την επιφάνεια υποτίθεται ότι είναι ομοιόμορφη. Εισάγομε τώρα την έννοια της λαμπρότητας ως εξής: Η λαμπρότητα J i στην ζώνη i παριστά την ενέργεια της ακτινοβολίας ανά μονάδα επιφανείας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6

64 και μονάδα χρόνου, που φεύγει από την επιφάνεια, όπως φαίνεται από ένα παρατηρητή ακριβώς πάνω από την επιφάνεια στην ζώνη i. Στο Σχήμα 6-1 φαίνεται η υποθετική αυτή θέση, που συμβολίζεται με την διακεκομμένη γραμμή. Από φυσικής απόψεως, συμπεραίνομε ότι η λαμπρότητα J i αποτελείται από δύο συνιστώσες: ακτινοβολια που εκπεμπεται ακτινοβολια που ανακλαται = απο την επιφανεια Α + απο την επιφανεια Α ( W/m ) (6.1) ανα μοναδα επιφανειας ανα μοναδα επιφανειας Ji ι ι Υπολογίζομε τώρα κάθε μία συνιστώσα του J i. Aκτινοβολια που εκπεμπεται απο την επιφανεια Α ι = εiebi (6.α) ανα μοναδα επιφανειας όπου ε i είναι ο συντελεστής εκπομπής και E bi =σt 4 i σώματος της ζώνης Α i, σε θερμοκρασία T i. είναι η ισχύς εκπομπής μέλανος Aκτινοβολια που ανακλαται απο την επιφανεια Α ι = ρigi = ( 1 εi) Gi (6.β) ανα μοναδα επιφανειας όπου G i είναι η ροή ακτινοβολίας που προσπίπτει στην επιφάνεια της ζώνης i σε W / m, και η οποία θεωρείται ομοιόμορφη σε όλη την ζώνη, σύμφωνα με την υπόθεση 4. Επιπλέον, θεωρούμε αδιαφανή επιφάνεια και θέτομε ρ i = 1 - ε i. Εισάγοντας τώρα τις εξισώσεις (6.α) και (6.β) στην (6.1), λαμβάνομε την ακόλουθη έκφραση για την λαμπρότητα Λύνοντας την (6.3) ως προς G i έχομε: i i bi i i ( 1 ε ) ( W / m ) J = ε E + G (6.3) G i = J ε E 1 ε i i bi i ( W / m ) (6.4) Η έκφραση αυτή είναι απαραίτητη στις σχέσεις που θα αναπτύξομε στην συνέχεια ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΣΕ ΜΙΑ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ Όταν μία επιφάνεια δεν είναι μελανή, έχει εκπεμπτικότητα ε i < 1. Τότε, η μεταφορά της θερμότητας με ακτινοβολία στην επιφάνεια μπορεί να τεθεί σε μία μορφή που αντιπροσωπεύει την αντίσταση ακτινοβολίας στην επιφάνεια αυτή, όπως περιγράφεται κατωτέρω. Έστω q i η καθαρή θερμική ροή της ακτινοβολίας, σε W / m, που φεύγει από την επιφάνεια στην ζώνη i. Σύμφωνα με το Σχήμα 6-1β, ισχύει: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 3

65 qi Ji Gi ( W / m ) = (6.5) Εισάγοντας την εξίσωση (6.4) στην (6.5) για να απαλείψομε το G i έχομε: i q = ε E J 1 ε ( ) ( W / m ) i bi i i (6.6) Η ολική καθαρή θερμική ροή της ακτινοβολίας, Q i, που φεύγει από την επιφάνεια A i γράφεται i Q = Aq = A ε E J 1 ε i i i i bi i i ( ) (W) (6.7) Η (6.7) μπορεί να τεθεί υπό την μορφή Q i Ebi Ji = (W) (6.8) R i όπου θέσαμε R i 1 i ε = (6.9) A ε i i Η αναλογία της εξισώσεως (6.8) με τον νόμο του Ohm είναι προφανής, όπου R i παριστά την επιφανειακή αντίσταση στην ακτινοβολία. Η εξίσωση (6.8) είναι ανάλογη επίσης με την έννοια της θερμικής αντιστάσεως (ή επιφανειακής αντιστάσεως) που σχετίζεται με την μεταφορά θερμότητας με επαφή από μία επιφάνεια,δηλαδή: Ο ολικός ρυθμός μεταφοράς θερμότητας ισούται με την διαφορά δυναμικού διά μέσου της επιφάνειας διαιρούμενης με την θερμική αντίσταση στην θερμική ροή μέσω της επιφάνειας. Όταν η επιφάνεια είναι μελανή, έχομε ε i = 1, που συνεπάγεται R i = 0. Τότε, η εξίσωση (6.8) γίνεται: J = E = σt (6.10) 4 i bi i Επομένως, για μία μελανή επιφάνεια, η λαμπρότητα είναι ίση με την εκπεμπόμενη ισχύ από την επιφάνεια μέλανος σώματος. Στο Σχήμα 6- απεικονίζεται η έννοια της επιφανειακής θερμικής αντιστάσεως σε ακτινοβολία.μεταξύ των δυναμικών E bi και J i. Όταν η καθαρή θερμική ροή ακτινοβολίας Q i στην επιφάνεια A i μηδενίζεται, η ζώνη A i καλείται επανακτινοβολούσα ή αδιαβατική ζώνη. Στην περίπτωση αυτή, θέτομε το Q i ίσο με το μηδέν στην εξίσωση (6.8) και έχομε: E bi = J (6.11) i Το αποτέλεσμα αυτό συνεπάγεται ότι σε μία επανακτινοβολούσα ή αδιαβατική ζώνη, η λαμπρότητα J i ισούται με: E bi = σt i 4 και ότι η εκπεμπτικότητα ε i δεν υπεισέρχεται στην ανάλυση. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 4

66 J i. Εικονικό Επίπεδο R i 1 εi = A ε i i E bi Πραγματική Επιφάνεια Σχήμα 6-. Επιφανειακή αντίσταση σε ακτινοβολία ΑΝΤΙΣΤΑΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΣΩ ΔΥΟ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ Η έννοια της αντιστάσεως ακτινοβολίας μπορεί επίσης να θεωρηθεί και για ανταλλαγή ακτινοβολίας μεταξύ δύο επιφανειών. Στο Σχήμα 6-3 εικονίζονται δύο επιφάνειες A i και A j, με εκπεμπτικότητες ε i και ε j, που διατηρούνται σε ομοιόμορφες αλλά διαφορετικές θερμοκρασίες Τ i και Τ j αντίστοιχα. Αν συμβολίσομε με Q i-j την καθαρή μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία από την ζώνη i στην ζώνη j, τότε το ενεργειακό ισοζύγιο για ανταλλαγή θερμότητας με ακτινοβολία μεταξύ των δύο ζωνών διατυπώνεται ως εξής: Q ενεργεια ακτινοβολιας που ενεργεια ακτινοβολιας που = εκπεμπεται απο την επιφανεια A εκπεμπεται απο την επιφανεια A (6.1) και προσπιπτει στην επιφανεια A j και προσπιπτει στην επιφανεια A i i j i j Για να υπολογίσομε τους δύο όρους του δεξιού μέλους της εξισώσεως αυτής, θεωρούμε τις λαμπρότητες J i και J j στις επιφάνειες της ζώνης i και της ζώνης j, αντίστοιχα, και τους συντελεστές όψεως F i-j και F j-i μεταξύ των δύο ζωνών. Εισάγοντας τις αντίστοιχες μαθηματικές εκφράσεις για κάθε όρο της εξισώσεως (6.1), αυτή γράφεται: Q = J AF J A F (6.13) i j i i i j j j j i ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 5

67 Σχήμα 6-3. Διάφορες αντιστάσεις στην ακτινοβολία κατά την διαδρομή της θερμικής ροής μεταξύ των επιφανειών A i και A j. Αν χρησιμοποιήσομε την σχέση αμοιβαιότητας A i F i-j = A j F j-i μεταξύ των συντελεστών όψεως, η εξίσωση (6.13) γράφεται: ( ) Q = J AF J AF = AF J J (6.14) i j i i i j j i i j i i j i j Η εξίσωση (6.14) μπορεί να τεθεί υπό την μορφή: Q i j J J i j = (6.15) R i j όπου θέσαμε R i j 1 = (6.16) AF i i j Είναι προφανής η αναλογία της εξισώσεως (6.15) με τον νόμο του Ohm, όπου η R i-j (εξισ. 6.16) αντιπροσωπεύει την αντίσταση ακτινοβολίας στην θερμική ροή διά μέσου των εικονικών δυναμικών J i και J j, τα οποία υποτίθενται ότι υπάρχουν ακριβώς υπεράνω των επιφανειών Α i και Α j αντίστοιχα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 6

68 6-5. ΙΣΟΔΥΝΑΜΟ ΚΥΚΛΩΜΑ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΓΙΑ ΔΥΟ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ Έχοντας ορίσει διάφορες αντιστάσεις ακτινοβολίας στην διαδρομή της θερμικής ροής, δημιουργήσαμε την κατάλληλη υποδομή ώστε να μπορούμε τώρα να κατασκευάσομε ένα ανάλογο ηλεκτρικό κύκλωμα για ανταλλαγή ακτινοβολίας μεταξύ δύο επιφανειών. Στο Σχήμα 6-3 εικονίζονται διάφορες αντιστάσεις στην ακτινοβολία κατά την διαδρομή της ροής θερμότητας Q i-j λόγω ακτινοβολίας από την ζώνη i στην ζώνη j. Οι επιφανειακές αντιστάσεις στην ακτινοβολία για τις επιφάνειες Α i και Α j, δίδονται αντίστοιχα από R i 1 εi 1 εi = (α) και Rj = (β) (6.17α,β) A ε A ε i i i i και η αντίσταση δια μέσου των εικονικών επιφανειών δίδεται από την (6.16): R i j 1 = (6.17γ) AF i i j Επομένως, η ολική θερμική ροή Q i-j από την ζώνη i στην ζώνη j διά μέσου της διαφοράς δυναμικού E bi - E bj προσδιορίζεται από τον νόμο του Ohm: Q E E σ 4 4 ( Ti Tj ) bi bj i j = = Ri + Ri j + Rj Ri + Ri j + Rj (6.18) όπου οι διάφορες αντιστάσεις στην ακτινοβολία ορίζονται από τις εξισώσεις (6.17α, β και γ) ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΠΑΡΑΛΛΗΛΩΝ ΠΛΑΚΩΝ Θεωρούμε κλειστό περίβλημα, αποτελούμενο από δύο μεγάλες αδιαφανείς παράλληλες πλάκες (απείρου μήκους), όπως φαίνεται στο Σχήμα 6-4. Οι επιφάνειες 1 και διατηρούνται σε ομοιόμορφες θερμοκρασίες Τ 1 και Τ και έχουν εκπεμπτικότητες ε 1 και ε αντίστοιχα. Η διάταξη που φαίνεται στο σχήμα είναι μία ειδική περίπτωση εκείνης που θεωρήσαμε στο Σχήμα 6-3. Επομένως, η ανάλυση του ισοδυνάμου κυκλώματος για την ροή θερμότητας που δίδεται από την εξίσωση (6.18), εφαρμόζεται στο παρόν πρόβλημα, με τις ανάλογες απλοποιήσεις. Μπορούμε να γράψομε λοιπόν Q ( T1 T ) σ = R + R + R 1 1 (6.19) όπου 1 ε 1 1 ε R = R = R = (6.0) Aε1 AF1 Aε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 7

69 Σχήμα 6-4. Ανταλλαγή θερμικής ακτινοβολίας μεταξύ δύο μεγάλων αδιαφανών παραλλήλων πλακών. Για δύο μεγάλες παράλληλες πλάκες, F 1- = 1. Επομένως, η εξίσωση (6.19) σε συνδυασμό με την εξίσωση (6.0) μας δίδει την ακόλουθη έκφραση για την ροή της θερμότητας από την επιφάνεια 1 στην επιφάνεια : Q ( 1 ) Aσ T T = ε ε 1 ( W) (6.1) Επομένως η πυκνότητα θερμικής ροής θα είναι: q 4 4 ( T1 T ) Q σ W = A m ε ε (6.) 6-7. ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΜΑΚΡΩΝ ΟΜΟΑΞΟΝΙΚΩΝ ΚΥΛΙΝΔΡΩΝ Θεωρούμε κλειστό περίβλημα, αποτελούμενο από δύο μακρείς (απείρου μήκους) αδιαφανείς ομοαξονικούς κυλίνδρους, ακτίνας r 1 και r, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6-5. Οι επιφάνειες 1 και διατηρούνται σε ομοιόμορφες θερμοκρασίες Τ 1 και Τ και έχουν συντελεστές εκπομπής ε 1 και ε αντίστοιχα. Η διάταξη που φαίνεται στο σχήμα είναι μία ειδική περίπτωση εκείνης που θεωρήσαμε στο Σχήμα 6-3. Επομένως, η ανάλυση του ισοδυνάμου κυκλώματος για την ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 8

70 ροή θερμότητας που δίδεται από την εξίσωση (6.18), εφαρμόζεται στο παρόν πρόβλημα. Πράγματι, εισάγοντας τις (6.17) στην (6.18) έχομε: Q 1 ( T 4 4 ) ( T σ T1 T ) σ = = 1 ε1 1 1 ε ε1 1 A1 1 ε A1ε1 AF 1 1 Aε + + A1 ε1 F1 A ε A1 r1 Είναι: F 1- = 1 και =, οπότε η (6.3) γράφεται: A r (6.3) Q 1 = σ A T 1 ε 4 4 ( T ) ε r ε r ( W) (6.4) Επομένως η πυκνότητα θερμικής ροής θα είναι: q 4 4 ( T1 T ) Q σ W = + ε1 ε r 1 1 A1 1 1 ε m r 1 (6.5) Σχήμα 6-5. Ανταλλαγή θερμικής ακτινοβολίας μεταξύ ομοαξονικών κυλίνδρων ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΔΥΟ ΟΜΟΚΕΝΤΡΩΝ ΣΦΑΙΡΩΝ Θεωρούμε κλειστό περίβλημα, αποτελούμενο από δύο ομόκεντρες σφαίρες με ακτίνα r 1 και r, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6-6. Οι επιφάνειες 1 και διατηρούνται σε ομοιόμορφες θερμοκρασίες Τ 1 και Τ και έχουν συντελεστές εκπομπής ε 1 και ε αντίστοιχα. Η διάταξη που φαίνεται στο σχήμα είναι μία ειδική περίπτωση εκείνης που θεωρήσαμε στο Σχήμα 6-3. Επομένως, η ανάλυση του ισοδυνάμου κυκλώματος για την ροή θερμότητας που δίδεται από την εξίσωση (6.18), εφαρμόζεται στο παρόν πρόβλημα. Πράγματι, εισάγοντας τις (6.17) στην (6.18) έχομε: Q 1 ( T 4 4 ) ( T σ T1 T ) σ = = 1 ε1 1 1 ε ε1 1 A1 1 ε A1ε1 AF 1 1 Aε + + A1 ε1 F1 A ε (6.6) Είναι: F 1- = 1 και A A r =, οπότε η (6.6) γράφεται: 1 1 r ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 9

71 Q σ A T 4 4 ( T ) = 1 ε 1 ε r ε r ( W) (6.7) Σχήμα 6-6. Ανταλλαγή θερμικής ακτινοβολίας μεταξύ ομόκεντρων σφαιρών. Επομένως η πυκνότητα θερμικής ροής θα είναι: q 4 4 ( T1 T ) Q σ W = + ε1 ε r 1 1 A1 1 1 ε m r 1 (6.8) 6-9. ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΜΙΚΡΟΥ ΚΥΡΤΟΥ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟΥ ΚΑΙ ΜΕΓΑΛΗΣ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑΣ Θεωρούμε μικρό κυρτό αντικείμενο, επιφάνειας Α 1 εντός μεγάλης κοιλότητας επιφάνειας Α, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6-7. Οι επιφάνειες 1 και διατηρούνται σε ομοιόμορφες θερμοκρασίες Τ 1 και Τ και έχουν συντελεστές εκπομπής ε 1 και ε αντίστοιχα. Η διάταξη που φαίνεται στο σχήμα είναι μία ειδική περίπτωση εκείνης που θεωρήσαμε στο Σχήμα 6-3. Επομένως, η ανάλυση του ισοδυνάμου κυκλώματος για την ροή θερμότητας που δίδεται από την εξίσωση (6.18), εφαρμόζεται στο παρόν πρόβλημα. Πράγματι, εισάγοντας τις (6.17) στην (6.18) έχομε: Q 1 ( T 4 4 ) ( T σ T1 T ) σ = = 1 ε1 1 1 ε ε1 1 A1 1 ε A1ε1 AF 1 1 Aε + + A1 ε1 F1 A ε (6.9) A1 Είναι: F 1- = 1 και 0 A (δεδομένου ότι Α 1 << Α ), οπότε η (6.9) γράφεται: 4 4 ( ) ( ) Q1 = σa1ε1 T1 T W (6.30) Επομένως η πυκνότητα θερμικής ροής θα είναι: Σχήμα 6-7. Ανταλλαγή θερμικής ακτινοβολίας μεταξύ μικρού κυρτού αντικειμένου, και μεγάλης κοιλότητας. Q 4 4 W q = σε ( T T ) A1 m (6.31) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 10

72 6-10. ΑΝΤΑΛΛΑΓΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΡΙΩΝ Ή ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΩΝ ΚΛΕΙΣΤΩΝ ΖΩΝΩΝ Η προσέγγιση με το ισοδύναμο κυκλώμα που περιγράψαμε στην προηγούμενη παράγραφο, μπορεί να γενικευθεί εύκολα για τον προσδιορισμό της ανταλλαγής ακτινοβολίας μεταξύ των επιφανειών ενός κλειστού περιβλήματος, αποτελούμενου από τρείς ή περισσότερες ζώνες. Προς τούτο, χρησιμοποιούμε τις αντιστάσεις που ορίσαμε στις εξισώσεις (6.8), (6.9), (6.15) και (6.16). Επομένως, η αντίσταση ακτινοβολίας στην επιφάνεια Α i δίδεται από την σχέση: R i 1 i ε = (6.3) A ε i i και οι αντιστάσεις ακτινοβολίας διά μέσου των ιδεατών /εικονικών επιφανειών υπεράνω των Α i και Α j δίδεται από R i j 1 1 = = (6.33) AF A F i i j j j i Η εφαρμογή αυτη εικονίζεται στο Σχήμα 6-8α, όπου θεωρούμε κλειστό περίβλημα, αποτελούμενο από τρείς ζώνες. Οι επιφάνειες των ζωνών 1, και 3 έχουν εμβαδόν A 1, A και A 3, εκπεμπτικότητες ε 1, ε και ε 3, και θερμοκρασίες Τ 1, Τ και Τ 3 αντίστοιχα. Στο Σχήμα 6-8β φαίνεται το αντίστοιχο ισοδύναμο κύκλωμα ακτινοβολίας. Για την επίλυση του προβλήματος θεωρούμε ότι το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων στους κόμβους J 1, J και J 3 είναι μηδέν. Έτσι προκύπτει ένα σύστημα τριών αλγεβρικών εξισώσεων με τρείς αγνώστους, τις λαμπρότητες J 1, J και J 3. Επιλύοντας το σύστημα, προσδιορίζομε τις άγνωστες λαμπρότητες. Γνωρίζοντας τώρα τις λαμπρότητες, εφαρμόζομε τον νόμο του Ohm και προσδιορίζομε τους ρυθμούς μεταφοράς θερμότητας Q 1, Q και Q 3 από τις ακόλουθες σχέσεις: 4 σt1 J1 1 ε1 Q1 = όπου: R1 = (6.34) R Aε Q σt J 1 ε = όπου: R = (6.35) R A ε και Q 3 4 σt3 J3 1 ε3 = όπου: R3 = (6.36) R A ε ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 11

73 (α) (β) Σχήμα 6-8. (α) Κλειστός χώρος αποτελούμενος από τρείς ζώνες. (β) Το αντίστοιχο ισοδύναμο κύκλωμα ακτινοβολίας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 1

74 Παράδειγμα 6-1. Θεωρείστε κλειστό περίβλημα, αποτελούμενο από δύο μεγάλες αδιαφανείς παράλληλες πλάκες, όπως φαίνεται στο Σχήμα 6-4. Να υπολογισθεί η καθαρή ροή ακτινοβολίας q 1- που φεύγει από την πλάκα 1, για Τ 1 =1000 Κ, Τ =500 Κ, ε 1 =0.6 και ε = 0.8. Λύση: Η καθαρή ροή ακτινοβολίας q 1- στο κλειστό αυτό περίβλημα δύο ζωνών, δίδεται από την εξίσωση (6.1): q ( T1 T ) σ = ε ε 1 Θέτοντας τα δεδομένα του προβλήματος, έχομε: ( ) W 4 1 = K 4 q mk q W / m = Παράδειγμα 6-. Δύο μαύρες ορθογώνιες επιφάνειες, A 1 και A, είναι διατεταγμένες όπως φαίνεται στο Σχήμα. Οι επιφάνειες ευρίσκονται μέσα σ ένα μεγάλο δωμάτιο, του οποίου οι τοίχοι είναι μαύροι και διατηρούνται σε σταθερή θερμοκρασία 300 Κ. Να υπολογισθεί η καθαρή ανταλλαγή θερμικής ακτινοβολίας μεταξύ των δύο επιφανειών, αν η A 1 διατηρείται σε θερμοκρασία 1000 Κ και η A σε θερμοκρασία 500 Κ. Αγνοείστε την ακτινοβολία από το δωμάτιο. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 13

75 Λύση: Χρησιμοποιώντας τους συμβολισμούς L 1, L και W, του Σχήματος 5-3, έχομε: L 1 = 1 m, L = 0.8 m, W = 1.6 m, οπότε: L1 1 m 0.65 W = 1.6 m = L 0.8 m 0.5 W = 1.6 m = Για τις παραμέτρους αυτές, από τα διαγράμματα του Σχήματος 5-7 προκύπτει ότι ο συντελεστής όψεως είναι: F1 = 0. Το αντίστοιχο ισοδύναμο κύκλωμα φαίνεται στο ανωτέρω σχήμα. Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας είναι: Q E E b1 b =, όπου: R1 E = σt, 4 b1 1 E 1 = σt και R11 = AF b 4 4 ( ) Q= AF σ T T Εισάγοντας τα αριθμητικά δεδομένα του προβλήματος, έχομε: W 4 Q = ( ) ( ) m K 4 m K Q = W 17 kw ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 14

76 Παράδειγμα 6-3. Ένα κυβικό δωμάτιο, διαστάσεων 3 m 3 m 3 m, θερμαίνεται μέσω της οροφής, η οποία διατηρείται σε θερμοκρασία 343 Κ, ενώ οι τοίχοι και το πάτωμα είναι σε θερμοκρασία 83 Κ. Να υπολογισθεί ο ρυθμός απώλειας θερμότητας με ακτινοβολία από την οροφή, αν υποτεθεί ότι όλες οι επιφάνειες έχουν συντελεστή εκπομπής 0.8. Λύση: Το πάτωμα και οι τοίχοι θεωρούνται ως μία ενιαία επιφάνεια. Το πρόβλημα λοιπόν ανάγεται στο αντίστοιχο κλειστού περιβλήματος με δύο ζώνες, και το ισοδύναμο κύκλωμα εικονίζεται κατωτέρω. Ο ρυθμός απώλειας θερμότητας υπολογίζεται από την εξίσωση (6.18). Τα δυναμικά E b1 και E b που υπεισέρχονται στην (6.18) δίδονται από: E Eb W ( ) 4 W = σt = K = mk m 4 8 b1 1 W ( ) 4 W = σt = K = mk m 4 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 15

77 Οι αντιστάσεις, σύμφωνα με τις (6.17 α, β, γ) είναι: 1 ε R = = = m 9 m 0.8 R R 1 1 A1ε 1 ( ) 1 ε = = = m 45 m 0.8 Aε ( ) 1 1 = = = m 9 m 1 ( ) 1 AF Εισάγοντας τις τιμές αυτές στην εξίσωση (6.18), ευρίσκομε για τον ρυθμό απώλειας θερμότητας: - E E W m = = = - W m b1 b Q R 1 R 1 R Q = W Παράδειγμα 6-4. Ένα κυβικό δωμάτιο, διαστάσεων 3 m 3 m 3 m, θερμαίνεται μέσω του πατώματος το οποίο διατηρείται σε θερμοκρασία 310 Κ. Δεδομένου ότι οι πλευρικοί τοίχοι είναι καλά μονωμένοι, οι θερμικές απώλειες μέσω αυτών θεωρούνται αμελητέες. Οι θερμικές απώλειες λαμβάνουν χώρα μέσω της οροφής, η οποία είναι σε θερμοκρασία 80 Κ. Όλες οι επιφάνειες έχουν συντελεστή εκπομπής Να υπολογισθεί ο ρυθμός απώλειας θερμότητας με ακτινοβολία από την οροφή. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 16

78 Λύση: Οι συντελεστές όψεως F 1- και F 1-3 προσδιορίζονται ως εξής: Από το Σχήμα 5-6 έχομε: L1 L = = 1 F1 = 0. D D Από το Σχήμα 5-7 έχομε: L W L = = 1 F1 3 = 0. 4 = 0.8 W 1 Το ισοδύναμο κύκλωμα εικονίζεται στο κατωτέρω σχήμα. Τα δυναμικά E b1 και E b που υπολογίζονται ως εξής: E Eb W ( ) 4 W = σt = K = mk m 4 8 b1 1 4 W ( ) 4 W = σt = K = mk m Οι διάφορες αντιστάσεις είναι: R R = = = = m ( ) 1 AF m m = R = = = = m ( ) AF m m 1 ε R = R = = = = m 1 1 A1ε 1 9 m m ( ) Συνθέτοντας τις αντιστάσεις κατά τα γνωστά από τον Ηλεκτρισμό, ευρίσκομε την ισοδύναμη αντίσταση R tot μεταξύ των E b1 και E b : ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 17

79 1 Rtot = R1+ + R R R + R R = m m m tot απ όπου προκύπτει τελικά: R tot = 0.44 m Ο ρυθμός λοιπόν ανταλλαγής θερμικής ακτινοβολίας μεταξύ πατώματος και οροφής είναι: Q E E W m = = R 0.44 m - b1 b 1 - Q1 = W ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 18

80 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Θωρακίσεις Ακτινοβολίας 7-1. ΓΕΝΙΚΑ. Η μετάδοση θερμότητας με ακτινοβολία μεταξύ δύο επιφανειών μπορεί να ελαττωθεί σημαντικά, αν τοποθετηθεί μεταξύ τους μία θωράκιση ακτινοβολίας, αποτελούμενη από υλικό χαμηλής εκπεμπτικότητας. Θωρακίσεις ακτινοβολίας έχουν ευρέως χρησιμοποιηθεί για να μειώσουν το ποσό θερμότητας που προσλαμβάνει από το περιβάλλον μία δεξαμενή κρυογενίας, γεμάτη από κρυογενικό ρευστό σε πολύ χαμηλή θερμοκρασία. Ο ρόλος της θωρακίσεως ακτινοβολίας είναι να αυξήσει την θερμική αντίσταση κατά την διαδρομή της ροής της θερμότητας, και επομένως να ελαττώσει τον ρυθμό μεταφοράς θερμότητας στο υπό θωράκιση υλικό. 7-. ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΘΩΡΑΚΙΣΕΩΣ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ Θεωρούμε την μετάδοση θερμότητας με ακτινοβολία μεταξύ δύο μεγάλων αδιαφανών παραλλήλων πλακών. Έστω Τ 1 και Τ οι θερμοκρασίες και ε 1 και ε οι εκπεμπτικότητες των επιφανειών. Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας Q 0 μέσω μιάς επιφάνειας Α μεταξύ των πλακών προσδιορίζεται από την εξίσωση (6.1 ): ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 1

81 Q 0 = 4 4 ( 1 ) Aσ T T ε ε 1 (7.1) Ας θεωρήσομε τώρα μία θωράκιση ακτινοβολίας μεταξύ των δύο πλακών. Έστω ε 3,1 και ε 3, οι εκπεμπτικότητες των επιφανειών της θωρακίσεως απέναντι από τις πλάκες 1 και αντίστοιχα. Το ισοδύναμο δίκτυο ακτινοβολίας για την διάταξη με μία θεωράκιση, μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας τις εξισώσεις (6.8), (6.9), (6.15) και (6.16) για τις αντιστάσεις ακτινοβολίας στην επιφάνεια και μέσω των επιφανειών, αντίστοιχα. Στο Σχήμα 7-1 φαίνεται το ισοδύναμο δίκτυο ακτινοβολίας. Χρησιμοποιώντας αυτό το δίκτυο και λαμβάνοντας υπ όψιν ότι, για μεγάλες παράλληλες πλάκες, F 1,3 = F 3, = 1, ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας Q 1 μέσω της διατάξεως αυτής με μία θεωράκιση γράφεται: Q ( 1 ) Aσ T T = 1 1 ε3,1 1 ε3, ε ε ε ε 1 3,1 3, Σχήμα 7-1. Διάταξη θωρακίσεως ακτινοβολίας και το αντίστοιχο ισοδύναμο ηλεκτρικό κύκλωμα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7

82 Αναδιατάσσοντας τους όρους έχομε 4 4 ( 1 ) Aσ T T Q1 = ε ε ε ε 1 3,1 3, Από την σύγκριση των εξισώσεων (7.1) και (7.) προκύπτει ότι η θωράκιση έχει ως αποτέλεσμα την αύξηση της θερμικής αντιστάσεως του συστήματος. Αν οι εκπεμπτικότητες όλων των επιφανειών είναι ίσες, η εξίσωση (7.) γράφεται: Q ( 1 ) Aσ T T = 1 ε (7.) (7.3) Για ένα σύστημα παραλλήλων πλακών που περιλαμβάνει Ν θωρακίσεις μεταξύ δύο επιφανειών και με εκπεμπτικότητες όλων των επιφανειών ίσες, η εξίσωση (7.3) γενικεύεται ως εξής: Q N = ( N ) 4 4 ( 1 ) Aσ T T ε Από την (7.4) προκύπτει ότι ο λόγος των ρυθμών μεταφοράς θερμότητας για σύστημα παραλλήλων πλακών που περιλαμβάνει Ν θωρακίσεις προς σύστημα χωρίς θωράκιση (Ν = 0), όταν όλες οι εκπεμπτικότητες είναι ίσες, δίδεται από την εξίσωση: Q N Q 0 (7.4) 1 = (7.5) N + 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 3

83 Παράδειγμα 7-1. Θεωρείστε δύο μεγάλες παράλληλες πλάκες, εκ των οποίων η μία είναι σε θερμοκρασία Τ 1 και έχει εκπεμπτικότητα ε 1 = 0.8, ενώ η άλλη είναι σε θερμοκρασία Τ και έχει εκπεμπτικότητα ε = 0.4. Μία θωράκιση ακτινοβολίας από αλουμίνιο με εκπεμπτικότητα ε 3 = 0.05 τοποθετείται μεταξύ των πλακών. Να υπολογισθεί η ποσοστιαία μείωση του ρυθμού μεταφοράς θερμότητας λόγω της θωρακίσεως. Λύση: Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας χωρίς θωράκιση προσδιορίζεται από την εξίσωση (7.1): Q ( 1 ) σ ( 1 ) Aσ T T A T T = = ε ε ( ) Q = 0.36Aσ T T (1) 0 1 Ο ρυθμός μεταφοράς θερμότητας με θωράκιση προσδιορίζεται από την εξίσωση (7.): ( 1 ) σ ( 1 ) Aσ T T A T T Q1 = = ε ε + ε ε ,1 3, 4 4 ( ) Q = 0.04Aσ T T () 1 1 Από τις εξισώσεις (1) και () προκύπτει ότι η μείωση του ρυθμού μεταφοράς θερμότητας λόγω της θωρακίσεως είναι Q Q Q = = Επομένως, η θωράκιση ακτινοβολίας μειώνει τις απώλειες θερμότητας κατά 93.4%. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 4

84 8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μετάδοση Θερμότητας με Αγωγή, Συναγωγή και Ακτινοβολία 8-1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μέχρι τώρα, η ανταλλαγή θερμότητας με ακτινοβολία μεταξύ των επιφανειών ενός κλειστού χώρου μελετήθηκε υπό την προϋπόθεση ότι η μεταφορά θερμότητας με αγωγή και συναγωγή μπορεί να αγνοηθεί. Όμως, σε πολλές περιπτώσεις με πρακτικό ενδιαφέρον, το ποσό θερμότητας που μεταφέρεται είτε με αγωγή, είτε με συναγωγή, είτε με αγωγή και συναγωγή ταυτόχρονα, είναι συγκρίσιμο με το ποσό θερμότητας που μεταφέρεται με ακτινοβολία. Κατά την ανάλυση λοιπόν ενός τέτοιου προβλήματος, πρέπει να ληφθούν υπ όψιν και οι τρεις τρόποι μεταφοράς θερμότητας. 8-. ΜΙΚΤΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑ ΘΕΡΜΟΤΗΤΑΣ Θεωρούμε την επιφάνεια A i ενός κλειστού χώρου που εικονίζεται στο Σχήμα 8-1α. Εκτός από την ανταλλαγή θερμότητας με ακτινοβολία με τις άλλες επιφάνειες του κλειστού χώρου, μπορεί να έχομε θέρμανση της επιφάνειας από εξωτερική πηγή θερμότητας, όπως π.χ. ηλεκτρική θέρμανση. Επίσης, μεταφορά θερμότητας με συναγωγή και με αγωγή. Από το ενεργειακό ισοζύγιο για την επιφάνεια A i προκύπτει ότι: ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 1

85 Σχήμα 8-1. Μικτή μεταφορά θερμότητας από επιφάνεια κλειστού χώρου. (α) Ενεργειακό ισοζύγιο στην επιφάνεια, (β) Ισοδύναμο ηλεκτρικό κύκλωμα. όπου Q i, rad προσδιορίζεται από την (6.7), ήτοι: Q = Q + Q + Q (8.1) i, ext i, rad i, conv i, cond i Q = Aq = A ε E J 1 ε ( ) i i i i bi i i (8.) ή από την (6.13), η οποία μπορεί να τεθεί υπό την μορφήν N N ( ) (8.3) Q = AF J J = Q i i i j i j i j j= 1 j= 1 Για ειδικές περιπτώσεις, όπως π.χ. κλειστός χώρος δύο επιφανειών, η Q i, rad μπορεί να προσδιορισθεί από την (6.19), η οποία γράφεται, αν λάβομε υπ οψιν την (6.0): Q ( T1 T ) σ = 1 ε1 1 1 ε + + Aε AF Aε (8.4) Στο Σχήμα 8-1β εικονίζεται το ισοδύναμο κύκλωμα, όπου τα Q i,ext, Q i,cond και Q i,conv αντιστοιχούν σε ισοδύναμα ρεύματα από ή προς τον κόμβο του κυκλώματος που αντιστοιχεί στην επιφάνεια A i. Πρέπει όμως εδώ να τονίσουμε ότι, ενώ τα Q i,cond και Q i,conv είναι ανάλογα διαφορών θερμοκρασίας, το Q i,rad είναι ανάλογο της διαφοράς μεταξύ θερμοκρασιών που είναι υψωμένες στην τετάρτη δύναμη. Το πρόβλημα απλοποιείται στην περίπτωση όπου η πίσω πλευρά της επιφάνειας A i είναι μονωμένη, οπότε Q i,rad = 0. Επί πλέον, αν δεν υφίσταται εξωτερική πηγή θερμότητας και η θερμότητα που μεταφέρεται με συναγωγή είναι αμελητέα, η επιφάνεια είναι αδιαβατική ή επανακτινοβολούσα (βλ. 6.3). ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8

86 Παράδειγμα 8-1. Θεωρείστε θερμαντήρα αέρα, ο οποίος αποτελείται από σωλήνα ημικυκλικής διατομής. Η επίπεδη επιφάνεια του σωλήνα διατηρείται σε θερμοκρασία Τ 1 = 1000 K, ενώ η ημικυκλική είναι καλά μονωμένη. Η ακτίνα του σωλήνα είναι 0 mm, ενώ και οι δύο επιφάνειες έχουν τον ίδιο συντελεστή εκπομπής: ε 1 = ε = 0.8. Αν διαμέσου του σωλήνα ρέει ατμοσφαιρικός αέρας με ρυθμό 0.01 kg / s και η θερμοκρασία του είναι Τ m = 400 K, με τι ρυθμό πρέπει να χορηγείται θερμότητα (ανά μονάδα μήκους), ώστε να διατηρείται η θερμοκρασία της επίπεδης επιφάνειας στους 1000 K; Τι θερμοκρασία έχει η μονωμένη επιφάνεια; Δεδομένα για τον αέρα (υπό πίεση 1 atm και θερμοκρασία 400 K): k = W/(m K), μ = kg/(s m), c p = 1014 J/(kg K), Pr = Υποθέστε: (1) Στάσιμη κατάσταση, () διαχέουσες φαιές επιφάνειες, (3) μεγάλου μήκους σωλήνα, (4) αμελητέες διακυμάνσεις θερμοκρασίας στον άξονα του σωλήνα και (5) πλήρως ανεπτυγμένη ροή. ΛΥΣΗ: Εφ όσον η ημικυκλική επιφάνεια (επιφάνεια ) είναι καλά μονωμένη και δεν έχομε προσθήκη θερμότητας, το ενεργειακό ισοζύγιο στην επιφάνεια γράφεται: Q = Q (1), rad, conv ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 3

87 Αν θεωρηθεί ότι ο σωλήνας αποτελεί κλειστό χώρο δύο επιφανειών, η καθαρή μεταφορά θερμότητας με ακτινοβολία στην επιφάνεια μπορεί να υπολογισθεί σύμφωνα με την εξίσωση (8.4), οπότε η (1) γράφεται: σ 4 4 ( T1 T ) 1 ε 1 ε + + Aε AF Aε ( ) m = ha T T όπου ο συντελεστής όψεως είναι: F 1- = 1 και για μήκος L του σωλήνα τα εμβαδά των δύο επιφανειών είναι: A 1 = r 0 L και A = π r 0 L. Δεδομένου ότι οι συντελεστές εκπομπής ε 1 και ε είναι γνωστοί, απομένει να προσδιορίσομε τον συντελεστή μεταφοράς θερμότητας με συναγωγή, h = k Nu D / D h. Υπολογίζομε αρχικά τον αριθμό Reynolds: () Η υδραυλική διάμετρος D h είναι: (3) D h π r 0 4 4A π r P πr + r π + c 0 = = = = m (4) οπότε από την (3) προκύπτει ότι ο αριθμός Reynolds είναι: (5) Από την εξίσωση των Dittus-Boelter προκύπτει για τον αριθμό Nusselt: (6) οπότε o συντελεστής μεταφοράς θερμότητας h είναι: Αν θέσομε την εξίσωση () υπό την μορφήν 4 4 ( ) Aσ T T ( ) 1 1 = ha T Tm 1 1 A1 ε 1 ε ε F A ε 1 1 λάβομε υπ οψιν ότι A 1 = r 0 L και A = π r 0 L, η () γράφεται: (7) και ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 4

88 4 4 ( ) rlσ T T rl 0 1 ε ε πrl ε 1 0 ( T ) = hπ rl T 0 m 4 4 π h 1 1 ε T1 T = + T T σ ε1 π ε ( ) m (8) Αν θέσομε: W π 66. π h 1 1 ε mk γ = + = K σ ε1 π ε 8 W + = 0.8 π mk 4 η εξίσωση (8) γράφεται T 4 T 4 γ ( T T ) = 1 m ( γ m ) 4 4 γ T + T T + T = (10) όπου ο συντελεστής γ δίδεται από την (9). Λαμβάνοντας υπ όψιν ότι Τ m = 400 K και Τ 1 = 1000 K, η εξίσωση (10) παίρνει την μορφή: T T = 0 (K ) (11) Η αριθμητική επίλυση της (11) δίδει τελικά: Τ = 696 Κ Το ενεργειακό ισοζύγιο στην θερμαινόμενη επιφάνεια, Q1, ext = Q1, rad + Q1, conv, γράφεται, αν λάβομε υπ οψιν ότι Q1, rad = Q, rad και σύμφωνα με την (1), Q, rad = Q, conv : οπότε, η ισχύς ανά μονάδα μήκους είναι: Η αριθμητική αντικατάσταση δίδει: Q1, ext = Q, conv + Q1, conv (1) Q1, ext q1, ext = hπ r0 ( T Tm) + hr0 ( T1 Tm) (13) L (9) (14) Παρατήρηση: Από το ενεργειακό ισοζύγιο σ ένα απειροστό όγκο του αέρα, mc dt = q dx, προκύπτει ότι: p 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 5

89 δηλαδή, η μεταβολή της θερμοκρασίας του αέρα είναι σημαντική. Απαιτείται λοιπόν λεπτομερέστερη ανάλυση, ήτοι διαίρεση του σωλήνα σε ζώνες κατά μήκος του άξονα του σωλήνα, ώστε να υπολογισθούν οι μεταβολές της θερμοκρασίας του αέρα και της μονωμένης επιφάνειας στις διάφορες ζώνες. Στην περίπτωση αυτή, η θεώρηση δύο μόνον επιφανειών για την ανταλλαγή ακτινοβολίας δεν επαρκεί για την επίλυση του προβλήματος. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 6

90 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ακτινοβολία Αερίων 9-1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Όπως είδαμε στο Κεφάλαιο 6, η ανάλυση της ανταλλαγής ακτινοβολίας μεταξύ των στερεών επιφανειών ενός κλειστού χώρου είναι αρκετά πολύπλοκη. Για την επίλυση του προβλήματος σε πρώτη προσέγγιση, έγιναν ορισμένες απλοποιητικές υποθέσεις ( 6-1). Μεταξύ αυτών υιοθετήσαμε την υπόθεση ότι ο κλειστός χώρος πληρούται από μέσον το οποίο δεν συμμετέχει. Όταν όμως ο χώρος πληρούται από κάποιο αέριο, στις περισσότερες περιπτώσεις η υπόθεση αυτή δεν ισχύει. Έτσι, η ανταλλαγή ακτινοβολίας μεταξύ ενός αερίου και μίας επιφάνειας μεταφοράς θερμότητας είναι αρκετά πολυπλοκότερη από τις καταστάσεις που θεωρήσαμε μέχρι τώρα, δηλαδή ανταλλαγή ακτινοβολίας μεταξύ των στερεών επιφανειών. Πράγματι, σε αντίθεση με τα περισσότερα στερεά, τα αέρια είναι ως επί το πλείστον διαπερατά στην ακτινοβολία. Όταν τα αέρια απορροφούν ή εκπέμπουν ακτινοβολία, συνήθως τόσο η απορρόφηση όσο και η εκπομπή γίνονται σε ορισμένες στενές περιοχές μηκών κύματος. Μερικά αέρια, όπως N, O και άλλα με μη πολική συμμετρική μοριακή δομή, είναι κατά βάση διαπερατά σε χαμηλές θερμοκρασίες, ενώ τα CO, H O και διάφορα αέρια υδρογονανθράκων ακτινοβολούν σε υπολογίσιμο βαθμό. 9-. ΑΠΟΡΡΟΦΗΣΗ ΑΚΤΙΝΟΒΟΛΙΑΣ ΣΕ ΑΕΡΙΟ Η απορρόφηση ακτινοβολίας σε στρώματα αερίου (ή σε ένα ημι-διαπερατό υγρό ή στερεό), μπορεί να περιγραφεί αναλυτικά θεωρώντας το σύστημα που εικονίζεται στο Σχήμα 9-1. Η φασματική απορρόφηση της ακτινοβολίας είναι συνάρτηση του συντελεστή απορροφήσεως ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 1

91 κ λ και του πάχους L του μέσου. Αν λοιπόν μία μονοχρωματική δέσμη εντάσεως Ι λ,0 προσπίπτει στο μέσον (Σχήμα 9-1), η ένταση της δέσμης ελαττώνεται λόγω απορροφήσεως. Σχήμα 9-1. Απορρόφηση ακτινοβολίας σε στρώμα αερίου. Έστω Ι λ (x) η ένταση της δέσμης που προσπίπτει σε ζώνη αερίου πάχους dx. Υποτίθεται ότι, η ελάττωση της εντάσεως της δέσμης dι λ λόγω απορροφήσεως, είναι ανάλογη του πάχους dx και της εντάσεως της ακτινοβολίας στο σημείο αυτό. Έχομε λοιπόν: di ( x) = κ I ( x) dx (9.1) λ λ λ όπου ο συντελεστής αναλογίας κ λ καλείται μονοχρωματικός συντελεστής απορροφήσεως και έχει διαστάσεις m -1. Διαχωρίζοντας τις μεταβλητές και ολοκληρώνοντας σε όλο το εύρος της ζώνης, προκύπτει ότι: I I λ, L λ,0 Iλ, L L L dx λ λ κλ dx (9.) λ 0 0 I diλ( x) di ( x) = κ = I ( x) I ( x) λ λ,0 όπου ο συντελεστής κ λ υποτίθεται ότι είναι ανεξάρτητος του x. Από την (9.) προκύπτει: I λ, L κ λ L I λ,0 = e (9.3) Η εκθετική μείωση της εντάσεως της δέσμης που περιγράφεται από την εξίσωση (9.3) καλείται νόμος του Beer και αποτελεί μία χρήσιμη προσέγγιση σε πολλές περιπτώσεις αναλύσεως της ακτινοβολίας. Μπορεί για παράδειγμα, να χρησιμοποιηθεί για τον ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9

92 προσδιορισμό της ολικής φασματικής απορροφήσεως του μέσου. Συγκεκριμένα, αν λάβομε υπ όψιν ότι η διαπερατότητα ορίζεται ως: ο συντελεστής απορροφήσεως είναι: τ I λ, L κ L e λ λ = = (9.4) Iλ,0 κ a = 1 τ = 1 e λ L (9.5) λ λ Αν υποθέσομε ότι ισχύει ο νόμος του Kirchhoff ( 3-5), θα είναι: a λ = ε λ. Έτσι, η εξίσωση (9.5) δίδει επίσης την φασματική εκπεμπτικότητα του μέσου. Όπως αναφέραμε στην 9-1, τα αέρια συνήθως απορροφούν ακτινοβολία σε ορισμένες στενές περιοχές μηκών κύματος, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9- για την περίπτωση υδρατμών. Οι καμπύλες αυτές δείχνουν επίσης την επίδραση του στρώματος του αερίου στην μονοχρωματική απορροφητικότητα. Οι υπολογισμοί των ιδιοτήτων αερίων σε ακτινοβολία είναι ιδιαίτερα πολύπλοκοι. Για πρακτικούς υπολογισμούς, οι Hottel και Sarofim παρουσίασαν μία απλοποιημένη διαδικασία, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό των εκπομπών από υδρατμούς και αέριο διοξείδιο του άνθρακα. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 3

93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 4

94 9-3. ΜΕΣΟ ΜΗΚΟΣ ΔΕΣΜΗΣ Οι εξισώσεις (9.3) και (9.5) περιγράφουν την μεταβολή στην ένταση της δέσμης και την απορροφητικότητα για στρώμα αερίου πάχους x. Αυτές είναι οι τιμές που αναμένεται να μετρηθούν σε ένα εργαστηριακό πείραμα, με ακτινοβολία που διέρχεται κατ ευθείαν μέσω του στρώματος. Ας υποθέσομε ένα πρακτικό πρόβλημα, όπου αέριο περιέχεται μεταξύ δύο μεγάλων παραλλήλων πλακών, οι οποίες εκπέμπουν διαχεόμενη ακτινοβολία. Η εκπεμπόμενη ενέργεια που διαδίδεται μέσω του αερίου, διανύει πολλές αποστάσεις: Η ενέργεια που διαδίδεται κάθετα στις πλάκες, διανύει απόσταση ίση προς την απόσταση των πλακών. Η ενέργεια που διαδίδεται προς κατευθύνσεις που σχηματίζουν μικρή γωνία με τις πλάκες, απορροφάται από το αέριο διανύοντας πολύ μεγαλύτερη απόσταση, και ούτω καθ εξής. Με προσεκτικό συσχετισμό διαφόρων πηγών πειραματικών δεδομένων, οι Hottel και Egbert κατόρθωσαν να παρουσιάσουν τις εκπεμπτικότητες για διοξείδιο του άνθρακα και υδρατμούς, όπως φαίνεται στα Σχήματα 9-3 και 9-4 αντίστοιχα. Σχήμα 9-3. Εκπεμπτικότητες διοξειδίου του άνθρακα για ολική πίεση 100 bar. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 5

95 Σχήμα 9-4. Εκπεμπτικότητες υδρατμών για ολική πίεση 100 bar. Στα Σχήματα 9-3 και 9-4, L e είναι μία χαρακτηριστική διάσταση (χαρακτηριστικό μήκος) του συστήματος, που καλείται μέσο μήκος δέσμης. Σε περίπτωση απουσίας δεδομένων για το μέσο μήκος δέσμης για κάποια ειδική γεωμετρία, μία ικανοποιητική προσέγγιση δίδεται από την σχέση: L e V = 3.6 (9.6) A όπου V είναι ο ολικός όγκος του αερίου και A το εμβαδόν της ολικής επιφάνειας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 6