Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων.

Transcript

1 Το σύστημα των μη αλληλεπιδραστικών ροών και η σημασία του στην ερμηνεία των ιδιοτήτων των ιδανικών αερίων. Θεωρώντας τα αέρια σαν ουσίες αποτελούμενες από έναν καταπληκτικά μεγάλο αριθμό μικροσκοπικών συστατικών που δεν αλληλεπιδρούν, η κινητική θεωρία των αερίων ήταν μια από τις πρώτες θεωρίες που κατόρθωσε να ερμηνεύσει τις ιδιότητες των ιδανικών αερίων και, ειδικά, την καταστατική εξίσωση PV=NkT. Τίθεται, ωστόσο, η ερώτηση: θα μπορούσε μια μακροσκοπική θεωρία να ερμηνεύσει τη φαινομενολογία των ιδανικών αερίων; Θα προσπαθήσουμε να δώσουμε θετική απάντηση στην παραπάνω ερώτηση. Η βασική υπόθεση της κινητικής θεωρίας είναι ότι ένα ιδανικό αέριο αποτελείται από μόρια που κινούνται σε όλες τις δυνατές κατευθύνσεις με όλες τις δυνατές ενέργειες. Ας θεωρήσουμε ένα μόριο που κινείται σε μια συγκεκριμένη κατεύθυνση με μια συγκεκριμένη ενέργεια. Υπάρχει ένας τεράστιος αριθμός μορίων που κινούνται στην ίδια περίπου κατεύθυνση με την ίδια περίπου ενέργεια. Τα μόρια αυτά αποτελούν μια ροή. Τώρα ας κάνουμε μια αφαίρεση: Ας θεωρήσουμε μια ροή που δεν αποτελείται από σωματίδια. Ας θεωρήσουμε, δηλαδή, μια ροή ενός συνεχούς ρευστού. Δεν μας ενδιαφέρει αν αυτή η ροή αποτελείται από μικροσκοπικά μέρη. Απλά θα τη θεωρήσουμε συνεχή ροή. Η ροή αυτή μεταφέρει μάζα, ενέργεια και ορμή. Έστω ρ m η πυκνότητα μάζας της ροής, ρ Ε η πυκνότητα ενέργειας και η ταχύτητά της. Η ροή μάζας είναι: = (1) Έτσι ώστε, μέσω μιας επιφάνειας Α με μοναδιαίο κάθετο ο ρυθμός μεταφοράς μάζας είναι. Η ροή ενέργειας είναι: = (2) Έτσι ώστε, μέσω μιας επιφάνειας Α με μοναδιαίο κάθετο ο ρυθμός μεταφοράς ενέργειας είναι. και, αν η ροή περνά μέσω μιας επιφάνειας με μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα το, η ροή ορμής μέσω αυτής της επιφάνειας είναι: = (3) Η σημασία της σχέσης (3) είναι η ακόλουθη: αν η επιφάνεια της οποίας το μοναδιαίο κάθετο είναι έχει εμβαδόν Α, μια ομοιόμορφη ροή μέσω αυτής με ταχύτητα μεταφέρει ορμή ανά μονάδα χρόνου. Ας θεωρήσουμε τώρα ένα αέριο μέσα σ ένα δοχείο και ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός τέτοιων ροών σ αυτό το αέριο. Η υπόθεση αυτή δε μας οδηγεί σε ένα ρέον αέριο, δεδομένου ότι η ολική ροή μάζας και ενέργειας είναι μηδέν. Ειδικά, θα υποθέσουμε ότι μέσω οποιουδήποτε σημείου στο αέριο περνάει άπειρος αριθμός ροών σε

2 κάθε κατεύθυνση του 3-Δ χώρου και κάθε τέτοια ροή αποτελείται από έναν άπειρο αριθμό ροών με ενέργεια από 0 έως άπειρο. Ας υποθέσουμε ότι το δοχείο έχει ένα τοίχωμα κάθετο στον z-άξονα. Ας υποθέσουμε επίσης μια υποθετική επιφάνεια στο εσωτερικό του δοχείου επίσης κάθετη στον z-άξονα. Ας υπολογίσουμε τώρα τη μεταφορά ορμής μέσω αυτών των επιφανειών. Ας σημειώσουμε, κατ αρχήν, ότι το μοναδιαίο κάθετο αυτών των επιφανειών είναι το μοναδιαίο διάνυσμα. Επομένως οι συνιστώσες του είναι: = (4) = (5) 2 = (6) Μία απ αυτές τις ροές, της οποίας η κατεύθυνση ορίζεται από ένα αζιμούθιο θ και μια πολική γωνία φ, παρουσιάζεται στην εικόνα 1. Εικ. 1. Μια ροή κατευθυνόμενη προς μια υποθετική επιφάνεια κάθετη στον άξονα z. Αξίζει να σημειώσουμε το ακόλουθο: δύο ροές με αντίθετα, έχουν το ίδιο πρόσημο στη z-συνιστώσα της ροής. Ας εξηγήσουμε γιατί θάπρεπε να είναι έτσι: Ας υποθέσουμε μια ροή μάζας μέσω μιας επιφάνειας A προς την +z κατεύθυνση. Καθώς αυτή η ροή φέρνει θετική ορμή, αυξάνει το περιεχόμενο σε ορμή του επάνω ημιχώρου. Ας υποθέσουμε μια ροή μάζας μέσω της επιφάνειας A προς την -z κατεύθυνση. Η ροή αυτή έχει αρνητική ορμή. Όμως η ορμή αυτή αφαιρείται από τον επάνω ημίχωρο. Το τελικό αποτέλεσμα είναι, πάλι, αύξηση της περιεχομένου ορμής του επάνω ημιχώρου. Η πυκνότητα ενέργειας μιας ροής είναι: = 1 2. Οι 3 συνιστώσες του μπορούν να γραφούν σε σφαιρικοπολικές συντεταγμένες ως εξής: = () (7) = () (8) = 2 Ας υποθέσουμε τώρα πως το ιδανικό αέριο αποτελείται από ένα σύστημα ροών με τις ακόλουθες ιδιότητες: (9) Η κάθε ροή δεν αλληλεπιδρά με τις υπόλοιπες (δηλ. δεν υπάρχει ιξώδες) Προς κάθε κατεύθυνση του χώρου υπάρχουν ροές με κάθε δυνατή πυκνότητα ενέργειας.

3 Οι ροές είναι ισοτροπικά κατανεμημένες γύρω από κάθε σημείο στον χώρο του ιδανικού αερίου. Σκοπός μας είναι να υπολογίσουμε την ολική ροή ορμής. Για το σκοπό αυτό θα ολοκληρώσουμε τις x-, y- και z- συνιστώσες του για την E, καθώς και τις και. Ας συμβολίσουμε με Ω και μια απειροστή στερεά γωνία και μια απειροστή ενεργειακή κλίμακα. Αν =,η απειροστή πυκνότητα ενέργειας για ένα ενεργειακό διάστημα de γύρω απ την ενέργεια E και μια απειροστή στερεά γωνία Ω γύρω απ την κατεύθυνση που ορίζουν οι και, θα είναι: = (, Ω)Ω (10) όπου η (, Ω) είναι η συνάρτηση κατανομής. Η συνάρτηση αυτή είναι κανονικοποιημένη, δηλαδή: (, Ω)Ω = 1 (11) Η συνάρτηση f είναι το γινόμενο μιας συνάρτησης της ενέργειας, της f(e), και μιας συνάρτησης της κατεύθυνσης. Περιμένουμε η συνάρτηση της κατεύθυνσης να είναι σταθερά λόγω ισοτροπίας. Επειδή πρέπει να είναι και κανονικοποιημένη θα είναι η σταθερά 1/4π. Η (10) επομένως παίρνει τη μορφή: = ()Ω/4 (12) όπου η f(e) υποτίθεται κανονικοποιημένη (ολοκληρώνεται στη μονάδα). Τα διαφορικά των,, παίρνουν, επομένως, τις μορφές: = ()(2) (13) = ()(2) (14) = 2() (15) στις οποίες αντικαταστήσαμε το για Ω και το E/V για. Ολοκληρώνοντας επί των,, τις τρεις εξισώσεις παίρνουμε: = 0 (16) = 0 (17) = 2 (18) 3 Οι τελευταίες εξισώσεις μας οδηγούν στην εξής διατύπωση: η καθαρή ροή ορμής μέσω μιας επιφάνειας στο εσωτερικό ενός ιδανικού αερίου είναι κάθετη στην επιφάνεια και η τιμή της είναι τα 2/3 της ενεργειακής πυκνότητας του αερίου. Αυτό το αποτέλεσμα είναι ανεξάρτητο του προσανατολισμού της επιφάνειας. Η κάθετη συνιστώσα του, έχει, επομένως, παρόμοιες ιδιότητες με την πίεση αφού η πίεση σε μια επιφάνεια στο εσωτερικό ενός ρευστού δεν εξαρτάται από τον προσανατολισμό της επιφάνειας. Όπως θα δείξουμε, πρόκειται όντως για την πίεση. Η αρχική μας υπόθεση ήταν πως το ιδανικό αέριο έχει ένα τοίχωμα κάθετο στον z- άξονα και ήδη θεωρήσαμε τη ροή ορμής μέσω μιας υποθετικής επιφάνειας στο εσωτερικό του αερίου και επίσης κάθετη στον z-άξονα. Ας εξετάσουμε τώρα τη ροή ορμής μέσω του τοιχώματος. Στην Εικόνα 2 δείχνουμε την υποθετική επιφάνεια με τα βέλη να δηλώνουν 2 ροές μέσω αυτής της επιφάνειας από τον κάτω και τον πάνω ημίχωρο αντίστοιχα. Επίσης δείχνουμε το τοίχωμα, μια ροή προς αυτό από τον κάτω ημιχώρο και την ανακλώμενη ροή από το τοίχωμα. Για το τοίχωμα δεν υπάρχουν βέβαια ροές προερχόμενες από τον επάνω

4 ημιχώρο. Ωστόσο, μπορούμε να θεωρήσουμε την ανακλώμενη ροή σαν τη συνέχιση μιας υποθετικής ροής από τον πάνω ημιχώρο. Αυτή η υποθετική ροή απεικονίζεται με το διακεκομμένο βέλος της εικόνας. Εικ. 2. Ροές προς την υποθετική επιφάνεια και ροές προς το τοίχωμα. Οι υποθετικές ροές έχουν το ίδιο αποτέλεσμα με τις πραγματικές ροές: συνεισφέρουν στην ολική μεταφορά ορμής. Επομένως, το σύστημα των ροών μέσω του τοιχώματος είναι το ίδιο με αυτό της υποθετικής επιφάνειας στο εσωτερικού του ιδανικού αερίου όσον αφορά τη ροή ορμής. Οι συνιστώσες της υποθετικής επιφάνειας, Εξ (16), (17), (18), είναι επίσης αυτές του τοιχώματος. Η ιδιότητα αυτή είναι παρόμοια μ αυτή της πίεσης, αφού η πίεση στο εσωτερικό του αερίου είναι ίση μ αυτή στο τοίχωμα. Τέλος ας δούμε πως συνδέεται η ροή ορμής με την πίεση. Ως γνωστόν, όταν ασκείται μια δύναμη σ ένα σώμα, ο δεύτερος Νόμος του Νεύτωνα είναι: = Θα ήταν χρήσιμο να μετατρέψουμε κάπως αυτή την εξίσωση. Γιατί αν, εκτός απ τη δύναμη που ασκείται στο σώμα, υπάρχει και ορμή που με κάποιο τρόπο ρέει προς αυτό, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι: Ο ολικός ρυθμός μεταβολής της ορμής ενός σώματος είναι το άθροισμα της δύναμης που ασκείται στο σώμα και του ρυθμού μεταφοράς ορμής στο σώμα. Αν η ροή ορμής είναι, ο ρυθμός μεταφοράς ορμής είναι Α, όπου Α είναι η επιφάνεια μέσω της οποίας η ορμή ρέει προς το σώμα. Δηλαδή: = + (19) Κίνηση με σταθερή ορμή σημαίνει ισορροπία. Η συνθήκη ισορροπίας, επομένως, είναι: + = 0 (20) Αν είναι η ροή ορμής μέσω του τοιχώματος του ιδανικού αερίου και το τοίχωμα έχει εμβαδόν Α, είναι η δύναμη που πρέπει να ασκείται σ αυτό το τοίχωμα για να το κρατά σε ισορροπία. Ας σημειωθεί ότι αυτή η συνθήκη ισορροπίας δεν είναι σαν αυτές που έχουμε μάθει. Η ισορροπία δεν είναι το αποτέλεσμα δύο αντίθετων δυνάμεων. Ωστόσο, αν κάποιος προτιμάει να βλέπει την ισορροπία σαν αποτέλεσμα δράσης δύο αντίθετων δυνάμεων, τότε πρέπει να θεωρήσει τη μεταφορά ορμής σαν δύναμη που ασκείται στο τοίχωμα από το αέριο. Συμβολίζοντας αυτή τη δύναμη με : = (21)

5 Εξ ορισμού =. Επομένως =. Σύμφωνα με τις Εξ. (16), (17), (18) = =. Επομένως = δηλαδή συνδέσαμε την κάθετη στην επιφάνεια συνιστώσα του με την πίεση. Έτσι, σύμφωνα με την (18). = 2 3 (22) Δηλαδή: η πίεση σ ένα αέριο, θεωρούμενο σαν σύστημα ροών, είναι τα 2/3 της ενεργειακής του πυκνότητας. Αν χρησιμοποιήσουμε το Ε για να συμβολίσουμε την ολική ενέργεια του αερίου, έχουμε: = 2 3 (23) Το τελευταίο αποτέλεσμα συμφωνεί με την κινητική θεωρία των ιδανικών αερίων. Σύμφωνα μ αυτή τη θεωρία, για ένα ιδανικό αέριο αποτελούμενο από Ν άτομα η ολική μεταφορική του ενέργεια είναι: = 3 (24) 2 Αντικαθιστώντας το στην (23) παίρνουμε: = (25) που είναι η καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων. Στην ανάπτυξη όμως που κάναμε παραπάνω, δεν χρησιμοποιήσαμε καθόλου την έννοια του μορίου και της θερμοκρασίας. Δεν θα μπορούσαμε, επομένως, να καταλήξουμε στην καταστατική εξίσωση των αερίων αφού αυτή η εξίσωση κάνει χρήση αυτών των εννοιών. Ωστόσο, η έννοια της θερμοκρασίας είχε εισαχθεί στη θερμοδυναμική έτσι ώστε να είναι ανάλογη με την ενέργεια του ιδανικού αερίου. Έτσι, γράφοντας στην (23) την ενέργεια στη μορφή: = 3 2 (26) παίρνουμε: = (27) όπου a είναι μια ποσότητα ανάλογη της μάζας του αερίου. Καταλήγουμε δηλαδή σε μια εξίσωση παρόμοια με την καταστατική εξίσωση. Το τελικό συμπέρασμά μας επομένως είναι: μπορούμε να καταλήξουμε στην καταστατική εξίσωση των ιδανικών αερίων, θεωρώντας το αέριο σαν ένα συνεχές σύστημα. Ένα από τα προφανή πλεονεκτήματα της μεθόδου που χρησιμοποιήσαμε είναι ότι μπορεί εύκολα να προσαρμοστεί και σε άλλα συστήματα, όπως πχ η φωτεινή ακτινοβολία στο εσωτερικό μιας κοιλότητας, εφόσον βέβαια η ακτινοβολία θεωρηθεί σαν ροή φωτονίων. Υπάρχουν όμως και άλλα πλεονεκτήματα, όπως: Ερμηνεύει την έννοια της πίεσης στο εσωτερικό του αερίου. Θεωρώντας μια στοιχειώδη επιφάνεια στο εσωτερικό του αερίου, η κάθετη στην επιφάνεια

6 συνιστώσα της ροής ορμής του αερίου μέσω της επιφάνειας αυτής, είναι η πίεση. Σύμφωνα με την κλασική αντιμετώπιση του προβλήματος, τα μόρια καθώς προσκρούουν στα τοιχώματα, ασκούν επάνω τους δύναμη. Αυτή, αντί να είναι μια συνεχής δύναμη, είναι μια σειρά μικροσκοπικών κτυπημάτων που το καθένα απ αυτά αντιστοιχεί σε μια άγνωστη δύναμη. Αντίθετα, εμείς αντιμετωπίζουμε το πρόβλημα με χρήση συνεχών μέσων και έτσι καταλήγουμε σε συνεχή δύναμη. Δεν υπάρχει λόγος να υιοθετήσουμε την ιδέα ότι μια συνεχής δύναμη είναι το όριο άγνωστων διακριτών δυνάμεων που συμβαίνουν με μεγάλη συχνότητα.