Εξερεύνηση χώρου από κινούμενα ρομπότ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Εξερεύνηση χώρου από κινούμενα ρομπότ Συγγραφέας: Παναγιώτου Λεωνίδας Ευθύμιος Επιβλέπων Καθηγητής: Αντώνιος Τζες Υποβάλλεται προς εκπλήρωση των απαιτήσεων για το Μεταπτυχιακό Δίπλωμα: "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων" στο Τμήμα Μαθηματικών 19 Ιουλίου 2014

2

3 Δήλωση Συγγραφικής Πατρότητας Εγώ, ο Παναγιώτου Λεωνίδας Ευθύμιος, δηλώνω ότι το περιεχόμενο της διπλωματικής εργασίας "Εξερεύνηση χώρου από κινούμενο ρομπότ" και όσα παρουσιάζονται σε αυτήν είναι προϊόν δικής μου δουλειάς και υπάρχουν αναφορές σε όλες τις πηγές που χρησιμοποίησα. Δηλώνω υπεύθυνα ότι η παρούσα εργασία για τη λήψη του μεταπτυχιακού τίτλου σπουδών του Διατμηματικού Μεταπτυχιακού Προγράμματος "Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων" δεν έχει υποβληθεί ούτε έχει εγκριθεί στο πλαίσιο κάποιου άλλου μεταπτυχιακού ή προπτυχιακού τίτλου σπουδών, στην Ελλάδα ή στο εξωτερικό. Υπογραφή: Ημερομηνία: iii

4

5 `` Είμαστε νάνοι σε ώμους γιγάντων. Για αυτό βλέπουμε πιο μακρυά από αυτούς... -Isaak Newton. v

6

7 Αυτή η διπλωματική εργασία στοιχειοθετήθηκε με το πρόγραμμα LATEX χρησιμοποιώντας το πρότυπο thesis. Η συγγραφή της έγινε με τη βοήθεια του προγράμματος Texmaker (στο λειτουργικό σύστημα UBUNTU LINUX). Για τη δημιουργία των προγραμμάτων χρησιμοποιήθηκε το πρόγραμμα MATLAB. Οι γραφικές παραστάσεις έγιναν με τη βοήθεια του προγράμματος MATLAB, ενώ η επεξεργασία των σχημάτων έγινε με τα προγράμματα Snagit και Inkspace. vii

8

9 Περίληψη Η παρούσα εργασία μελετά την εξερεύνηση χώρου από κινούμενα ρομπότ. Πιο συγκεκριμένα, περιοριζόμαστε σε ένα δισδιάστατο χώρο γνωστού μεγέθους, στον οποίο υπάρχουν τυχαία τοποθετημένα εμπόδια. Τα όρια του χώρου είναι εκ των προτέρων γνωστά, ενώ τα εμπόδια είναι ανιχνεύσιμα εφόσον το ρομπότ είναι πλησίον τους. Η μελέτη αφορά σημειακά ρομπότ, τα οποία ξεκινούν από a priori γνωστές συντεταγμένες. Ο χώρος διαμερίζεται σε κελιά και το ρομπότ μπορεί να μεταβεί σε ένα από τα τέσσερα γειτονικά του κελιά. Παράλληλα τα ρομπότ ανταλλάσσουν πληροφορίες μεταξύ τους, αναφορικά με την περιοχή που έχουν ήδη καλύψει. Τελικός στόχος της εργασίας είναι τα ρομπότ, σε συνεργασία μεταξύ τους, να καλύψουν όλα τα κελιά στα οποία είναι διαμοιρασμένος ο χώρος. ix

10 Abstract T is thesis studies the surveillance problem using mobile robot. We consider an a priori known two-dimensional space, which has randomly placed obstacles. The boundary of the area is known in advance, while the obstacles are detectable, if they are inside the robot's sensing range. The study concerns point-robots, that start from a priori known coordinates. The space is partitioned into cells and the robot can move to one of the four neighboring cells. Furthermore, robots exchange information among themselves regarding the area that is already covered. The ultimate goal of this work is a collaborative scheme for mobile robots in order to survey the area at the smallest possible time. x

11

12 Ευχαριστίες Με την ευκαιρία της ολοκλήρωσης της Μεταπτυχιακής μου εργασίας θα ήθελα να ευχαριστήσω ορισμένα άτομα, τα οποία συνέβαλαν στην περάτωση αυτής της εργασίας. Θα ήθελα πρωτίστως να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου, καθηγητή του τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών του Πανεπιστημίου Πατρών κ. Αντώνιο Τζε, για τη βοήθεια που μου προσέφερε. Ήταν πάντα διαθέσιμος να μου προσφέρει τις γνώσεις και την εμπειρία του για την βαθύτερη κατανόηση της περιοχής Ρομποτικών Συστημάτων. Η καθοδήγησή του καθώς και οι συμβουλές που μου προσέφερε ήταν καταλυτικές για να έρθει σε πέρας η παρούσα διπλωματική εργασία. Δεν θα μπορούσα να ξεχάσω τους συμφοιτητές και τους φίλους που απέκτησα κατά τη διάρκεια των σπουδών μου και όχι μόνο, που χωρίς την βοήθεια, την υποστήριξη και τις συμβουλές τους δεν θα μπορούσα να βγάλω εις πέρας τις υποχρεώσεις μου. Βέβαια, το μεγαλύτερο ευχαριστώ το οφείλω στην οικογένειά μου, της οποίας η πίστη στις δυνατότητές μου αποτέλεσε αρωγός σε όλους τους στόχους και τα όνειρά μου. Παναγιώτου Λεωνίδας-Ευθύμιος Πάτρα, 2014 xii

13 Περιεχόμενα Δήλωση Συγγραφικής Πατρότητας iii Περίληψη ix Abstract x Ευχαριστίες xii Περιεχόμενα xiii Κατάλογος σχημάτων xvii Κατάλογος πινάκων xxi 1 Εισαγωγή 1 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο Εξερεύνηση δισδιάστατου χώρου (2D-Area Surveillance) Κινοδυναμική κινούμενου ρομπότ Διαχωρισμός χώρου σε κελιά (Area-cell decomposition) Μελέτη του χώρου ως πολυγωνική καμπύλη(polygonal curve) Βασικά θεωρήματα Τριγωνικός Διαχωρισμός (Triangular Decomposition) xiii

14 Περιεχόμενα Τραπεζοειδής διαχωρισμός Space-filling καμπύλες Καμπύλες Hilbert Καμπύλες Moore Καμπύλες Peano Πλοήγηση ρομπότ με χρήση Δυναμικών πεδίων (Potential Fields) Τεχνητά Δυναμικά Πεδία (Artificial Potential Field) Συνεργατικός έλεγχος(cooperative Control) ομάδας ρομπότ Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ Βασικές Παραδοχές Μη Δομημένη Τροχιά και Απεριόριστος Χώρος Ανίχνευσης (Unstructured path and Unlimited sensing) Μη Δομημένη Τροχιά και Περιορισμένος Χώρος Ανίχνευσης (Unstructured path and limited sensing) Δομημένη Τροχιά και Περιορισμένος Χώρος Ανίχνευσης (Structured path and limited sensing) Εξαντλητική αναζήτηση ελάχιστου μονοπατιού Τεχνική Χωρισμού Επιπέδων Εξερεύνηση χώρου από λ ρομπότ Μη συνεργατική εξερεύνηση χώρου Συνεργατική Εξερεύνηση του χώρου Συνεργατική εξερεύνηση με τυχαία διάσχιση του χωρισμένα σε επίπεδα χώρου Συνεργατική εξερεύνηση με βέλτιστη διάσχιση του χωρισμένα σε επίπεδα χώρου Συνεργατική εξερεύνηση του χώρου με απωθητικές δυνάμεις Τεχνική απώθησης ρομποτικών τροχιών

15 List of Figures 5 Στατιστική Ανάλυση Αποτελεσμάτων Ιστογράμματα και ανάλυση Ανάλυση Συμπερασμάτων Σύγκριση του εύρους ανίχνευσης k=1 και k=2 για κάθε στρατηγική ελέγχου Σύγκριση των τριών στρατηγικών εξερεύνησης Προτάσεις για περαιτέρω Έρευνα Χώρος ανίχνευσης Περιορισμένο εύρος επικοινωνίας Αποφυγή Deadolck Παράρτημα Α 49 Παράρτημα Β 55 Βιβλιογραφία 73 Βιβλιογραφία 73

16

17 Κατάλογος σχημάτων 2.1 Κινούμενο Ρομπότ Σύστημα κυλιόμενου δίσκου Απόσταση Minkowski Τετραγωνική περιοχή ανίχνευσης ρομπότ Απλό (a) και μη απλό (b) πολύγωνο Δύο περιπτώσεις διαγωνίων σε πολύγωνο Χωρισμός ενός πολυγώνου σε δύο καινούρια πολύγωνα Τριγωνοποίηση πολυγώνου Παράδειγμα τριγωνοποίησης πολυγώνου (1-3 βήματα) Παράδειγμα τριγωνοποίησης πολυγώνου (4-6 βήματα) Παράδειγμα τριγωνοποίησης πολυγώνου (7-9 βήματα) Τραπεζοειδής Διαχωρισμός Η μορφή της καμπύλης Hilbert στις 2 πρώτες επαναλήψεις Η μορφή της καμπύλης Hilbert στις 2 πρώτες επαναλήψεις Η μορφή της καμπύλης Hilbert στις 2 πρώτες επαναλήψεις Η μορφή της καμπύλης Moore στις 2 πρώτες επαναλήψεις Η μορφή της καμπύλης Peano στις 2 πρώτες επαναλήψεις Αρίθμηση Χάρτη Μη-προσδιορισμένες θέσεις (undefined) xvii

18 List of Figures 3.3 Τροχιά με εφαρμογή προτεραιοτήτων (πάνω, δεξιά, αριστερά, κάτω) Τροχιά με εφαρμογή Ευκλειδείων αποστάσεων από τα όρια του χώρου Μέγεθος Χώρου Ανίχνευσης Περιπτώσεις Χώρων Ανίχευσης Μετάβαση από έναν ανιχνεύσιμο χώρο στον επόμενο Αποθήκευση θέσεων με γειτονικές ελεύθερες θέσεις Εξερεύνηση 8x8 περιοχής με τυχαίο τρόπο Γειτονικοί χώροι ανίχνευσης Τεχνική Χωρισμού επιπέδων του χώρου Εφαρμογή τεχνικής χωρισμού επιπέδου με k= Εφαρμογή τεχνικής χωρισμού επιπέδου με k= Μη συνεργατική εξερεύνηση του χώρου Άνισος διαμοιρασμός χώρου Συνεργατική τυχαία εξερύνηση χώρου ανίχνευσης με k= Συνεργατική τυχαία εξερύνηση χώρου ανίχνευσης με k= Συνεργατική εξερεύνηση χώρου με k= Συνεργατική εξερεύνηση χώρου με k= Εφαρμογή της τεχνικής απώθησης τροχιών Συνεργατική εξερεύνηση χώρου με χρήση τεχνικής απώθησης τροχιών και k= Συνεργατική εξερεύνηση χώρου με χρήση τεχνικής απώθησης τροχιών και k= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=1 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=1 και λ=

19 List of Figures 5.3 Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=1 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=2 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=2 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=2 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=1 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=1 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=1 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=2 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=2 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=2 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=1 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=1 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=1 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=2 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=2 και λ= Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=2 και λ= Περίπτωση Deadlock GUI: Παράθυρο εκκίνησης GUI: Εισαγωγή διαστάσεων χώρου

20 List of Tables 4 GUI: Εισαγωγη εμποδίων - 1ος τρόπος GUI: Εισαγωγη εμποδίων - 2ος τρόπος GUI: Εισαγωγη εμποδίων - 3ος τρόπος GUI: Εισαγωγη αρχικών θέσεων ρομπότ - 1ος τρόπος GUI: Εισαγωγη αρχικών θέσεων ρομπότ - 2ος τρόπος GUI: Εισαγωγη εύρους όρασης ρομπότ GUI: Αποθήκευση ή φόρτωση του λαβυρίνθου GUI: Έναρξης κάλυψης χώρου και υπολογισμός τροχιών GUI: Αποτελέσματα κάλυψης χώρου GUI: Αποθήκευση τροχιών GUI: Παράδειγμα κάλυψης χώρου μεγέθους 15x

21 Κατάλογος πινάκων 5.1 Αποτελέσματα συνεργατικής στρατηγικής ελέγχου με τυχαία κίνηση Αποτελέσματα συνεργατικής στρατηγικής ελέγχου Without Αποτελέσματα συνεργατικής στρατηγικής ελέγχου με απώθηση τροχιών Αποτελέσματα κάθε στρατηγικής ελέγχου για εύρος ανίχνευσης k= xxi

22 Στον πατέρα μου, την μητέρα μου και την αδερφή μου. xxii

23 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Σε πολλές πτυχές της καθημερινής μας ζωής, υπάρχει μια ανάγκη δημιουργίας αυτόνομων ρομπότ, ώστε να πραγματοποιηθούν εργασίες όσο το δυνατόν πιο εύκολα, γρήγορα και οικονομικά. Το περιεχόμενο αυτής της εργασίας αφορά την εξερεύνηση (surveillance) ενός γνωστού χώρου από ρομπότ, χρησιμοποιώντας συγκεκριμένες τεχνικές ελέγχου. Για να δημιουργηθεί ένα σύστημα ελέγχου, είναι απαραίτητο να βρεθεί ένας τρόπος αντιμετώπισης βασικών προβλημάτων που έχουν σχέση με την λειτουργία ενός ρομπότ, με την περιγραφή και μοντελοποίηση του περιβάλλοντος, με τον καθορισμό της θέσης του ρομπότ, των εμποδίων και των συνόρων του χώρου. Επίσης, όταν χρησιμοποιούνται περισσότερα από ένα ρομπότ για την διεκπεραίωση μιας εργασίας, η πολυπλοκότητα του προβλήματος αυξάνει αισθητά. Αναζητείται η δημιουργία ενός συνεργατικού μοντέλου που θα επιτρέπει την επικοινωνία μεταξύ των ρομπότ ώστε να ανταλλάσσουν πληροφορίες σχετικές με την θέση τους και τις θέσεις που έχει το καθένα διασχίσει, με σκοπό την όσο το δυνατό πιο γρήγορη εξερεύνηση του χώρου. Μία από τις δυσκολίες που υπάρχουν είναι η κατανόηση λειτουργίας των αισθητήρων και η αποφυγή σφαλμάτων λόγω θορύβου των δεδομένων. Στο [1] προτάθηκε ένα σύστημα κατανεμημένου ελέγχου για μια ομάδα κινητών ρομπότ τα οποία είναι εξοπλισμένα με ισοτροπικούς αισθητήρες και αναπτύσσονται τεχνικές ελέγχου βασισμένοι στο Ευκλείδειο μέτρο απόστασης, ενώ στο [2], οι συγγραφείς πρότειναν μια παραλλαγή του αλγορίθμου του Lloyd για ελαχιστοποίηση του "θορύβου" (distortion problem) που δέχονται οι αισθητήρες σε ένα περιβάλλον. Ωστόσο, δεδομένου ότι τα περισσότερα ίχνη(footprints) των συσκευών ανίχνευσης δεν είναι ομοιόμορφα και δεδομένου ότι η εμβέλεια ανίχνευσης των ρομπότ σε ένα συγκεκριμένο δίκτυο, μπορεί να είναι άνισες, δημιουργήθηκαν πολλά συστήματα ελέγχου που αντιμετωπίζουν ζητήματα σχετικά με ανισoτροπικούς [3, 4, 5] ή ετερογενείς αισθητήρες [6]. 1

24 2 Κεφάλαιο 1 Εισαγωγή Σημαντικό ρόλο παίζει το περιβάλλον, επίπεδο ή τρισδιάστατο που καλούμε το ρομπότ να εξερευνήσει. Στο [7] οι συγγραφείς δημιουργήσανε δύο αλγόριθμους ελέγχου κάλυψης για να παρέχουν μια λύση στο πρόβλημα εφαρμογής μιας ομάδας ρομπότ σε δίκτυο, που κινούνται σε μη επίπεδη επιφάνεια. Όσον αφορά το χώρο που κινούνται τα ρομπότ, εκτός από την μορφολογία του, μεγάλο πρόβλημα είναι η γνώση των συντεταγμένων του, δηλαδή τα όριά του, τις συντεταγμένες των εμποδίων που ίσως υπάρχουν μέσα σε αυτόν και οι συντεταγμένες που έχουν τα ίδια τα ρομπότ κάθε στιγμή. Με τέτοια ζητήματα ασχολήθηκαν στο [8] όπου οι συγγραφείς πρότειναν ένα τρόπο προσδιορισμού ενός σχηματισμού των ρομπότ ενώ παράλληλα αυτά ελαχιστοποιούν τη συνολική απόσταση που ο σχηματισμός έχει διανύσει. Στο [9] μελέτησαν την περίπτωση όπου μία ομάδα από ιπτάμενα ρομπότ πραγματοποιούν κάλυψη-επιτήρηση (surveillance coverage) ενός μη γνωστού τρισδιάστατου χώρου με μη-κυρτή μορφολογία. Τα ρομπότ προσπαθούν να μεγιστοποιήσουν το τμήμα του εδάφους που είναι ορατό, προσπαθώντας να διατηρήσουν τις αποστάσεις ανάμεσά τους όσο το δυνατόν πιο μικρές. Το πρόβλημα είναι ακόμα πιο δύσκολο όταν υπάρχει πλήρης άγνοια των συνθηκών, κάτω από τις οποίες καλείται ένα ή περισσότερα ρομπότ να καλύψουν ένα χώρο. Οι συγγραφείς στο [10] προτείνουν μία αρχιτεκτονική με την οποία μπορούν να εξερευνήσουν ένα χώρο με την χρήση ρομπότ, π.χ. ένα κτήριο το οποίο βρίσκεται υπό συνθήκες έκτακτης ανάγκης και είναι επικίνδυνη η χρήση ανθρώπινου δυναμικού. Κάτω από τέτοιες συνθήκες ο χώρος είναι άγνωστος, δηλαδή δεν υπάρχει κάποια συγκεκριμένη δόμηση στο χώρο, η επικοινωνία από μακρινή απόσταση είναι αναξιόπιστη και τα ρομπότ δεν έχουν καμία πληροφορία σχετικά με τη θέση τους. Στην παρούσα εργασία θεωρούμε πως το ρομπότ γνωρίζει ακριβώς τις συντεταγμένες της θέσης του ανά πάσα στιγμή, ενώ σε πραγματικές συνθήκες αυτό θα απαιτούσε ενέργεια και χρόνο και τελικά οι συντεταγμένες της θέσης δεν θα ήταν ακριβείς. Επίσης δεν λαμβάνονται υπόψιν οι πρακτικές δυσκολίες που υπάρχουν σε μία ασύρματη επικοινωνία, την οποία στην προσομοίωση θεωρούμε ιδανική. Τέτοιες δυσκολίες θα αναλύσουμε εκτενέστερα στο επόμενο κεφάλαιο. Σκοπός αυτής της εργασίας είναι να δημιουργήσουμε ένα σύστημα ελέγχου για την εξερεύνηση ενός δισδιάστατου χώρου από αυτόνομα ρομπότ. Θεωρούμε πως υπάρχουν ιδανικές συνθήκες επικοινωνίας και ανίχνευσης του χώρου και επικεντρωνόμαστε στην χρονικά σύντομη πορεία που θα διαγράψουν τα ρομπότ.

25 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο 2.1 Εξερεύνηση δισδιάστατου χώρου (2D-Area Surveillance) Η ανάπτυξη ευφυών συστημάτων εξερεύνησης χώρου είναι ένα ενεργό πεδίο έρευνας. Τα κινούμενα και πολυλειτουργικά (multifunctional) ρομπότ χρησιμοποιούνται ευρέως για να μπορέσουμε να ξεπεράσουμε το πρόβλημα της ιδιομορφίας του περιβάλλοντος. Επιπλέον, οι διαφορετικοί αισθητήρες που χρησιμοποιούν τα ρομπότ καθώς και ο αριθμός των πολύπλοκων εργασιών που σχετίζονται με την εξερεύνηση, καθιστούν το σχεδιασμό ενός τέτοιου συστήματος πραγματική πρόκληση. Έτσι, πρέπει να αντιμετωπίσουμε ένα σύνολο από βασικά προβλήματα σχετικά με τη απεικόνιση του χώρου, τον εντοπισμό της θέσης των ρομπότ (localization),την αυτόνομη πλοήγησή τους και τον εντοπισμό εμποδίων στον ανιχνεύσιμο χώρο γύρω από το ρομπότ Κινοδυναμική κινούμενου ρομπότ Ένα αυτόνομο κινούμενο ρομπότ παρατηρεί το περιβάλλον χρησιμοποιώντας αισθητήρες, δρα σε αυτό μέσω ενεργοποιητών (actuators) και εκτελεί ενέργειες ώστε να επιτύχει συγκεκριμένους στόχους. Στην συγκεκριμένη εργασία μελετάμε την περίπτωση σημειακών ρομπότ και εξετάζουμε την συμπεριφορά αυτών θεωρώντας ότι η δυναμική τους δεν υπόκειται σε ολόνομους περιορισμούς (holonomic constraints). Ανάλογα με την κατασκευή του κάθε ρομπότ, αντιμετωπίζουμε διαφορετικά τον τρόπο που κινούνται. Αν για παράδειγμα αναφερόμαστε σε ένα κινούμενο ρομπότ, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.1, καταλαβαίνουμε πως δεν μπορεί το να κινηθεί κάθετα προς τον άξονα περιστροφής των δύο τροχών. 3

26 4 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο Σχήμα 2.1: Κινούμενο Ρομπότ. Για να μπορέσουμε να περιγράψουμε από κινοδυναμικής άποψης ένα ρομποτικό σύστημα, χρειάζεται να γνωρίζουμε τη θέση και τη ταχύτητα. Αντίστοιχα χρειάζεται να μελετήσουμε τους περιορισμούς της κίνησης του ρομπότ (δεσμοί κίνησης). Η μαθηματική έκφραση των δεσμών αυτών, είναι γενικά συναρτησιακές σχέσεις μεταξύ των συντεταγμένων, των ταχυτήτων και του χρόνου. Η μαθηματική τους έκφραση είναι εξισώσεις ή ανισώσεις. f (q i, q i, t) = 0 f (q i, q i, t) 0, όπου q i R 2 είναι οι καρτεσιανές συντεταγμένες της θέσης i-ρομπότ, q i είναι η ταχύτητα και t είναι ο χρόνος[11]. Ένα σύστημα, ανάλογα με την μορφή των δεσμών κίνησης, χαρακτηρίζεται ως: ολόνομο, εάν όλοι οι δεσμοί είναι της μορφής: f µ (q 1, q 2,...,q n, t) = 0, µ = 1, 2,...k, k < n (2.1) όπου οι διαφορίσιμες συναρτήσεις δεν περιέχουν ταχύτητες q j. μη ολόνομο, εάν ένας τουλάχιστον δεσμός είναι μη ολόνομος, δηλαδή εκείνοι οι δεσμοί οι οποίοι εκφράζονται είτε από ανισώσεις είτε είναι της μορφής: f µ (q 1,...,q n, q 1,... q n, t) = 0 (2.2) Για να μπορέσουμε να καταλάβουμε τι είναι οι ολόνομοι περιορισμοί, ας μελετήσουμε το παρακάτω παράδειγμα [12].

27 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο 5 Q y ' A x Σχήμα 2.2: Σύστημα κυλιόμενου δίσκου. Έχουμε ένα κυλιόμενο δίσκο με ακτίνα R, ο οποίος κινείται πάνω σε ένα επίπεδο. Ως σύστημα γενικευμένων συντεταγμένων, απαραίτητων για να περιγράψουμε το σύστημα του μονόκυκλου, λαμβάνουμε τις μεταβλητές (x, y, θ, ϕ), όπου (x, y) οι συντεταγμένες του σημείου P, θ είναι η γωνία της διεύθυνσης του δίσκου με τον άξονα Ox και ϕ είναι η γωνία της σταθερής ακτίνας PQ με την κατακόρυφη διεύθυνση PP. Το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου του δίσκου στην περίπτωση της κυλίσεως δίνεται από την σχέση u = R ϕ, η οποία αναλύεται στις σχέσεις ẋ R ϕ cosθ = 0, ẏ R ϕ sinθ = 0. Οι παραπάνω σχέσεις δεν μπορούν να ολοκληρωθούν και να πάρουν την μορφή (2.1), άρα ανήκουν στην κατηγορία των μη-ολόνομων δεσμών. Στη συγκεκριμένη εργασία ασχολούμαστε με σημειακά ρομπότ και δεν υπάρχουν ολόνομοι περιορισμοί. Κατά συνέπεια, δεν μας ενδιαφέρει η κατεύθυνση που έχει το ρομπότ αφού θεωρούμε πως μπορεί να μεταβεί από μία θέση σε μία άλλη αυτόματα, χωρίς δηλαδή να χρειάζεται να στρίψει, όπως ένα κινούμενο ρομπότ. Σε αυτή την εργασία μας απασχολεί η αίσθηση του ρομπότ ώστε να μπορεί να αποφεύγει εμπόδια και να κινείται στο χώρο [13]. Σε ένα κινούμενο ρομπότ εφοδιασμένο με αισθητήρες όρασης, το ανιχνεύσιμο πεδίο του είναι ένα τετράγωνο το οποίο θα έχει ως κέντρο, τη θέση του ρομπότ. Ο τετραγωνικός χώρος που υπολογίζεται με την l 1 μετρική απόσταση (l 1 metric). Η l 1 μετρική χρησιμοποιείται στην Taxicab γεωμετρία [14] και πολλές φορές την ονομάζεται και ως Minkowski απόσταση. Η Taxicab γεωμετρία μελετά χώρους οι οποίοι είναι χωρισμένοι σε τετράγωνα. Για παράδειγμα μπορούμε να σκεφτούμε μία πόλη με δρόμους κάθετους και οριζόντιους. Η l 1 μετρική υπολογίζει την απόσταση δύο σημείων p, q, διασχίζοντας μόνο τους δρόμους (Σχήμα 2.5).

28 6 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο Σχήμα 2.3: Απόσταση Minkowski. Ο χώρος που κινείται το ρομπότ σε αυτή την εργασία είναι χωρισμένος σε ίσα τετράγωνα (θα το αναλύσουμε εκτενέστερα στην επόμενη ενότητα). Ο χώρος που μπορεί να ανιχνεύσει το ρομπότ, είναι ένα τετράγωνο με κέντρο το ρομπότ (Σχήμα 2.6), ενώ θεωρούμε ότι μπορεί να αναγνωρίσει τα πάντα μέσα σε αυτό, δηλαδή αναγνωρίζει τι υπάρχει και πίσω από τα εμπόδια. Σχήμα 2.4: Τετραγωνική περιοχή ανίχνευσης ρομπότ. 2.2 Διαχωρισμός χώρου σε κελιά (Area-cell decomposition) Ο διαχωρισμός του χώρου σε κελιά (cell decomposition) είναι μία τεχνική που χρησιμοποιείται στον σχεδιασμό κίνησης ρομπότ (movement planning). Οι πιθανές καταστάσεις ενός ρομπότ μπορούν να περιγραφούν ως μία διαμόρφωση του χώρου ο οποίος μπορεί να διαιρεθεί σε δύο υποχώρους: τον ελεύθερο χώρο (ο οποίος περιέχει όλες τις εφικτές καταστάσεις) και τον κατειλημμένο χώρο (μη εφικτές καταστάσεις). Η τεχνική του διαχωρισμού διαιρεί τον ελεύθερο χώρο σε ένα πεπερασμένο σύνολο από συνεχόμενα κελιά που μπορεί εύκολα να τα διασχίσει ένα ρομπότ.

29 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο Μελέτη του χώρου ως πολυγωνική καμπύλη(polygonal curve) Για να εφαρμόσουμε διαχωρισμό στον χώρο, θα θεωρήσουμε ότι ο χώρος είναι ένα απλό πολύγωνο (simple polygon), όπου δεν υπάρχουν τομές μεταξύ των ευθυγράμμων τμημάτων (Σχήμα 2.8). a) b) Σχήμα 2.5: Απλό (a) και μη απλό (b) πολύγωνο Βασικά θεωρήματα Πριν αναφερθούμε στον τριγωνικό διαχωρισμό θα πρέπει να απαντήσουμε σε δύο βασικά ερωτήματα: Μπορώ να εφαρμόσω τριγωνικό διαχωρισμό σε οποιοδήποτε απλό πολύγωνο; Αν είναι εφικτό, σε πόσα τρίγωνα μπορώ να διαχωρίσω το πολύγωνο; r q r q p p a) b) Σχήμα 2.6: Δύο περιπτώσεις διαγωνίων σε πολύγωνο.

30 8 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο Θεώρημα H τριγωνοποίηση απλού πολυγώνου με n κορυφές, μπορεί να γίνει από την ένωση n 2 τριγώνων. Απόδειξη. Χρησιμοποιώντας την μέθοδο της επαγωγής, θεωρούμε ότι το μικρότερο πολύγωνο είναι τρίγωνο με n = 3 για το οποίο ισχύει ότι περιέχει 1 τρίγωνο, δηλαδή 1 = n 2. Θεωρούμε ότι ισχύει το θεώρημα για πολύγωνο με n 1 κορυφές. Θα δείξουμε ότι ισχύει και για πολύγωνο με n κορυφές. Έστω, απλό πολύγωνο P και το t(p) δηλώνει τον αριθμό των τριγώνων μιας τριγωνοποίησης στο P. Φέρνουμε μια διαγώνιο uv, η οποία χωρίζει το πολύγωνο P σε δύο νέα πολύγωνα P 1, P 2 (Σχήμα 2.10). Ο αριθμός τον τριγώνων που χωρίζονται τα P 1, P 2 είναι t(p 1 ), t(p 2 ) αντίστοιχα. Άρα: t(p) = t(p 1 ) + t(p 2 ) = (n 1 2) + (n 2 2) = n 1 + n 2 4. Όμως: n 1 + n 2 = n + 2, και t(p) = n + 2. u P1 P2 v Σχήμα 2.7: Χωρισμός ενός πολυγώνου σε δύο καινούρια πολύγωνα Τριγωνικός Διαχωρισμός (Triangular Decomposition) Από το θεώρημα είδαμε ότι κάθε πολύγωνο μπορεί να διαιρεθεί σε τρίγωνα. Σε αυτήν την ενότητα θα περιγράψουμε την διαίρεση μονότονων πολυγώνων. Ένα απλό πολύγωνο λέγετε μονότονο ως προς μία ευθεία l αν για κάθε ευθεία l κάθετη στην l, η τομή του πολυγώνου με την l είναι ένα συνεκτικό σύνολο, δηλαδή η τομή τους είναι ευθύγραμμο τμήμα, σημείο ή το κενό σύνολο. Ένα πολύγωνο που είναι μονότονο ως προς τον άξονα y, ονομάζεται y-μονότονο πολύγωνο. Πρακτικά αυτό σημαίνει πως αν κινηθούμε από την υψηλότερη στην χαμηλότερη κορυφή τους κατά μήκος του δεξιού ή του αριστερού τμήματος του συνόρου τους, προχωράμε πάντα είτε προς τα κάτω είτε προς τα οριζόντια, ποτέ προς τα πάνω. Πλέον, είμαστε έτοιμοι να περιγράψουμε τον αλγόριθμο.

31 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο 9 Έστω P ένα y-μονότονο πολύγωνο με n κορυφές. Ταξινομούμε τις κορυφές βάση της y-συντεταγμένης τους. Ο αλγόριθμος εξετάζει μία κορυφή την φορά και δημιουργεί διαγώνιους στο πολύγωνο P. Κάθε διαγώνιος, "κλείνει" ένα τρίγωνο και αφήνει μία πλευρά του πολυγώνου που χρειάζεται τριγωνοποίηση. Ο αλγόριθμος χρησιμοποιεί μία λίστα στην οποία αποθηκεύει τους κόμβους που έχει επισκεφτεί αλλά δεν έχουν συνδεθεί σε κάποια διαγώνιο. Το περιεχόμενο της λίστα κάποια στιγμή είναι v 1, v 2,...v i, όπου η κορυφή v i είναι η τελευταία που έγινε ο έλεγχος. Ψευδοκώδικας τριγωνικής διαμερισματοποίησης: 1. Pushu 1, u 2 onthestack 2. f or j f rom3tondo : 3. u = u j 4. Case(1) : uisconnected tov 1 but not v i add diagonalsuv 2, uv 3,..., uv i popv i, v i 1,..., v 1 f romstack pushv i, uonstack 5. Case(2) : uisconnected tov i but not v 1 whilei > 1and angleuv i v i 1 < π add diagonal uv i 1 popv i f romstack while pushuonstack 6. Case(3) : uisconnected tobothv 1 and v i add diagonalsuv 2, uv 3,..., uv i 1 exit 7. j = j + 1 Gotostep3 Οι τρεις περιπτώσεις που περιγράφονται στον αλγόριθμο είναι οι παρακάτω: Παρακάτω παραθέτουμε ένα παράδειγμα εκτέλεσης του αλγορίθμου:

32 10 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο V1 V1 V2 V1 V2 V3 V2 V3 V4 V4 V5 V3 V4 u u u a) b) c) Σχήμα 2.8: Τριγωνοποίηση πολυγώνου. 1 v1 v1 v2 v2 v2 u v3 u v3 v4 u 1,initial 2, Case(ii) (b) 3, Case(i) (a) Σχήμα 2.9: Παράδειγμα τριγωνοποίησης πολυγώνου (1-3 βήματα). v1 v1 v1 v2 u v2 v2 u v3 u 4, Case(i) (a) 5, Case(ii) (b) 6, Case(ii) (b) Σχήμα 2.10: Παράδειγμα τριγωνοποίησης πολυγώνου (4-6 βήματα).

33 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο 11 v1 v1 v2 v2 v3 v4 u v3 u 7, Case(ii) (a) 8, Case(ii) (c) 9, Final Σχήμα 2.11: Παράδειγμα τριγωνοποίησης πολυγώνου (7-9 βήματα) Τραπεζοειδής διαχωρισμός Ο τραπεζοειδής διαχωρισμός του χώρου[15], είναι ένας τρόπος για να δημιουργήσουμε ένα σύνολο από τραπέζια στα οποία δεν υπάρχει εμπόδιο και μπορεί να κινείται το ρομπότ. Αυτός ο χώρος θεωρούμε πως είναι ορατός από το ρομπότ, επομένως γνωρίζει τα όριά του αλλά και των εμποδίων. Στη συνέχεια δημιουργούμε ένα γράφημα του χώρου στο οποίο υπάρχει ένα σύνολο κορυφών U και ένα σύνολο ακμών E, που ανήκουν είτε στα σύνορα του χώρου είτε στα όρια του εμποδίου. Ο αλγόριθμος για τον διαχωρισμό του χώρου σε τραπέζια ακολουθεί τα τρία παρακάτω βήματα: 1. Ταξινόμηση των κορυφών ως προς την τετμημένη τους. 2. Εφαρμογή sweep line από αριστερά προς τα δεξιά και εντοπισμός των κορυφών. 3. Σε κάθε κορυφή που "βρίσκει" η sweep line επεκτείνει μία κάθετη ευθεία μέχρι να συναντήσει μία ακμή του πολυγώνου. Στη συνέχεια επαναλαμβάνεται το βήμα 2. Η διαδικασία σταματάει όταν η sweep line "βρει" και την τελευταία κορυφή. Στο τέλος ο αλγόριθμος επιστρέφει ένα γράφημα το οποία έχει για κορυφές τμήματα του χώρου και οι ακμές μεταξύ δύο κορυφών σημαίνουν ότι το ρομπότ μπορεί να μεταβεί από το ένα τμήμα χώρου στο άλλο.

34 12 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο Σχήμα 2.12: Τραπεζοειδής Διαχωρισμός. 2.3 Space-filling καμπύλες Για να πετύχουμε κάλυψη χώρου, πολλές φορές χρησιμοποιούμε τις καμπύλες κάλυψης χώρου (Space-filling curves)[16]. Μία τέτοια καμπύλη έχει την ιδιότητα να επαναλαμβάνεται αυτούσια σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης (fractal) ενώ το εύρος της περιέχει ολόκληρο το πλέγμα τετραγώνων του χώρου. Στη συνέχεια παραθέτουμε τρία είδη καμπύλων κάλυψης χώρου, Hilbert, Moore και Peano Καμπύλες Hilbert Μία καμπύλη Hilbert είναι μία συνεχής fractal καμπύλη κάλυψης χώρου και μπορούμε να την κατασκευάσουμε σε χώρο του οποίου το Ευκλείδειο μήκος είναι 2 n. Συγκεκριμένα για χώρο Ευκλείδειου μήκους 2 n αναφερόμαστε στην καμπύλη Hilbert H n, δηλαδή τάξης n. Σχήμα 2.13: Η μορφή της καμπύλης Hilbert στις 2 πρώτες επαναλήψεις. Για να καταλάβουμε τον τρόπο δημιουργίας της καμπύλης Hilbert ας δούμε τις καμπύλες H 1 και H 2 του Σχήματος Για να φτιάξουμε την καμπύλη H 2 αρχικά αντιγράφουμε τέσσερις φορές την H 1 στα τέσσερα τεταρτημόρια ενός τετραγώνου. Στη συνέχεια περιστρέφουμε το κάτω αριστερό αντίγραφο δεξιόστροφα και το κάτω δεξί αντίγραφο αριστερόστροφα. Τέλος, ενώνουμε τα τμήματα που έχουμε δημιουργήσει σε μία ενιαία καμπύλη. Με τον ίδιο τρόπο δημιουργούμε διαδοχικά την καμπύλη H n από την H n 1.Στα παρακάτω Σχήματα βλέπουμε την μορφή της καμπύλης τάξεως 1, 2, 3 και 4.

35 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο 13 Σχήμα 2.14: Η μορφή της καμπύλης Hilbert στις 2 πρώτες επαναλήψεις. Σχήμα 2.15: Η μορφή της καμπύλης Hilbert στις 2 πρώτες επαναλήψεις Καμπύλες Moore Η καμπύλη Moore είναι μία παραλλαγή της καμπύλης Hilbert. Η διαφορά τους είναι πως η καμπύλη Moore δεν ξεκινάει από την ακραία θέση του χώρου. Δημιουργείται αν ενώσουμε τέσσερα αντίγραφα της καμπύλης Hilbert και τα τρία πρώτα βήματα αυτής φαίνονται στο Σχήμα (2.16). Σχήμα 2.16: Η μορφή της καμπύλης Moore στις 2 πρώτες επαναλήψεις Καμπύλες Peano Η καμπύλη Peano, σε αντίθεση με την Hilbert, εφαρμόζεται σε χώρους όπου το Ευκλείδειο μήκος τους είναι 3 n. Η μορφή της καμπύλης Peano είναι η παρακάτω:

36 14 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο Σχήμα 2.17: Η μορφή της καμπύλης Peano στις 2 πρώτες επαναλήψεις. Στο Σχήμα 2.16 βλέπουμε πώς είναι η μορφή της καμπύλης στην περίπτωση που ο χώρος έχει μόνο ένα τετράγωνο και στην περίπτωση που το μέγεθος του πλέγματος των τετραγώνων στο χώρο είναι τάξης 3x3. Στη συνέχεια, στην εικόνα 2.2, βλέπουμε την μορφή της καμπύλης καθώς μεγαλώνει το μέγεθος του χώρου. 2.4 Πλοήγηση ρομπότ με χρήση Δυναμικών πεδίων (Potential Fields) Υποθέτουμε ότι έχουμε ένα χώρο στον οποίο υπάρχουν φορτισμένα σώματα. Τα σώματα αυτά δημιουργούν γύρω τους ένα ηλεκτρικό/μαγνητικό πεδίο. Αν σε κάποιο σημείο A αυτού του πεδίου τοποθετήσουμε ένα σωματίδιο με φορτίο q, το πεδίο θα ασκήσει στο φορτίο μια δύναμη F. Αν μετακινήσουμε το σωματίδιο μέσα στο πεδίο, η δύναμη F παράγει ή καταναλώνει έργο. Ονομάζουμε δυναμικό σε ένα σημείο A το πηλίκο του έργου W A προς το φορτίο q Τεχνητά Δυναμικά Πεδία (Artificial Potential Field) Ένα ρομπότ πρέπει να σχεδιάζεται και να ελέγχεται ώστε να μπορεί να πλοηγηθεί χωρίς να συγκρουστεί με τα εμπόδια που βρίσκονται γύρω από τον εαυτό του, τα οποία μπορεί να είναι στατικά ή δυναμικά. Θεωρούμε λοιπόν ότι έχουμε ένα σημειακό ρομπότ A σε ένα χώρο με συντεταγμένες (x r, y r ) και n το πλήθος των εμποδίων γύρω του, με συντεταγμένες (x i, y i ), i = 1,...n. Η βασική ιδέα είναι να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα εύρεσης μονοπατιού ανάμεσα σε δύο σημεία με την αποφυγή των εμποδίων, θεωρώντας ότι τα εμπόδια είναι φορτισμένα σώματα τα οποία δημιουργούν μία απωστική δύναμη προς το ρομπότ. Λέμε λοιπόν πως τα εμπόδια δημιουργούν γύρω τους δυναμικά όπου η μαθηματική τους έκφραση είναι: V A = F A d 1 i, όπου d i είναι η Eυκλείδια απόσταση μεταξύ του ρομπότ και των εμποδίων d i = (x r x i ) 2 + (y r y i ) 2.

37 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο 15 Παρατηρούμε ότι το δυναμικό είναι αντιστρόφως ανάλογο της απόστασης. Αυτό σημαίνει πως όταν μεγαλώνει η απόσταση του ρομπότ από το εμπόδιο, το δυναμικό που ασκείται στο ρομπότ μικραίνει. Από την άλλη πλευρά, θεωρούμε ότι η θέση-στόχος, με συντεταγμένες x B, y B, που πρέπει να φτάσει το ρομπότ δημιουργεί και αυτή ένα δυναμικό που δίνεται από τη σχέση V B = F B d όπου d είναι η απόσταση της θέσης-στόχου από το ρομπότ d = (x r x B ) 2 + (y r y B ) 2 Καταλαβαίνουμε από τις παραπάνω σχέσεις ότι στο χώρο δημιουργούνται δυναμικά πεδία τα οποία απωθούν το ρομπότ (εμπόδια) και υπάρχει ένα δυναμικό πεδίο που το έλκει (θέση-στόχος). Αυτό που ζητάμε λοιπόν είναι η θέση-στόχος να βρίσκεται σε ένα τοπικό ελάχιστο στο χώρο. Το πιο κοινό πρόβλημα στα Τεχνητά Δυναμικά πεδία είναι σύγκλιση σε τοπικά ελάχιστα. Είναι η περίπτωση που συμβαίνει όταν η συνολική δύναμη που ασκείται στο ρομπότ ισούται με μηδέν, παρόλο που δεν έχει καταλήξει ακόμα στο στόχο θέση. Προκειμένου να λυθεί επιμέρους αυτό το πρόβλημα, εφαρμόζεται ο αλγόριθμος Α* (εύρεση ελάχιστου μονοπατιού) [17], ο οποίος στην πράξη απαιτεί την διαίρεση του περιβάλλοντος σε πλέγμα κάτι που χρειάζεται πολύπλοκους υπολογισμούς. Άλλη λύση είναι η εφαρμογή τυχαίων APF πεδίων το οποίο οδηγεί το ρομπότ σε ένα μεγαλύτερο μονοπάτι, ενώ δεν εξασφαλίζει ότι θα μπορέσει να αποφύγει τα τοπικά ελάχιστα με την πρώτη προσπάθεια. Στο [18] οι συγγραφείς χρησιμοποίησαν κάποια προκαθορισμένα APF μοτίβα, αλλά αυτό έρχεται σε αντίθεση με την ιδέα να υπάρχει μία κοινή λύση σε κάθε κατάσταση στον κόσμο. Ωστόσο, υπάρχει μία μέθοδος που λειτουργεί πολύ καλά για κάθε τοπικό ελάχιστο, η μέθοδος ομαδοποίησης εμποδίων (object grouping method). 2.5 Συνεργατικός έλεγχος(cooperative Control) ομάδας ρομπότ Πρόσφατες μελέτες στις τεχνολογίες επικοινωνίας και υπολογιστών μας έχουν δώσει τα εργαλεία ώστε ένα σύνολο από πράκτορες (agents), όπως είναι τα ρομπότ, να επικοινωνούν και να μοιράζονται πληροφορίες για να εκτελέσουν από κοινού κάποιες εργασίες. Ένα σύνολο από συνεργαζόμενα ρομπότ έχουν περισσότερα πλεονεκτήματα έναντι μίας ομάδας μεμονωμένων ρομπότ, συμπεριλαμβανομένης της ανθεκτικότητας του συνόλου σε

38 16 Κεφάλαιο 2 Μαθηματικό/θεωρητικό Υπόβαθρο αποτυχίες των επιμέρους ρομπότ και της ικανότητας να εκτελεστούν εργασίες όπως η παρακολούθηση ενός χώρου και το πρόβλημα εντοπισμού στόχου (target location)[19]. Ένα σύστημα συνεργατικού ελέγχου αυτόνομων ρομπότ εφοδιασμένων με αισθητήρες και ικανότητες επικοινωνίας, έχει ως στόχο στην παρούσα εργασία την αντιμετώπιση μίας κατάστασης και τη δημιουργία συνόλου συμπεριφορών χρησιμοποιώντας μόνο τοπικές πληροφορίες (local informations) που μπορεί να λάβει το κάθε ρομπότ από τους αισθητήρες του ή από συσκευές επικοινωνίας. Οι πληροφορίες αυτές μπορεί να περιλαμβάνουν την σχετική διάταξη και την κίνηση που λαμβάνεται από τους αισθητήρες ή την επικοινωνία μεταξύ των πρακτόρων, τις μετρήσεις του αισθητήρα του κάθε πράκτορα κ.τ.λ. Για να μπορέσουν να λάβουν τα ρομπότ τις πληροφορίες από τους αισθητήρες τους και να τις μοιραστούν μεταξύ τους, χρειάζεται να δημιουργηθεί μία αρχιτεκτονική ροής πληροφοριών. Κατά συνέπεια, ένα συνεργατικό σύστημα αποτελείται από τέσσερα στοιχεία: το στόχο της ομάδας, τους πράκτορες, την τοπολογία και τους αλγορίθμους ελέγχου κίνησης των πρακτόρων. Στην επόμενη ενότητα αναφέρουμε κάποια βασικά παραδείγματα συνεργατικού ελέγχου. Έλεγχος σχηματισμού (formation control). Ο σκοπός του ελέγχου σχηματισμού είναι η δημιουργία ενός σταθερού σχηματισμού μεταξύ των πρακτόρων, δηλαδή η σταθεροποίηση των αποστάσεων μεταξύ των πρακτόρων για να πετύχουν το επιθυμητό αποτέλεσμα. Η διατήρηση σχηματισμού (formation maintenance) εφαρμόζεται στην κάλυψη χώρου, και κυρίως σε εναέριους σχηματισμούς. Συμφωνία (agreement). Στο πρόβλημα συμφωνίας, ο στόχος της ομάδας είναι η σύγκλιση συγκεκριμένων μεταβλητών ενδιαφέροντος (π.χ. η θέση των ρομπότ) σε μία συγκεκριμένη τιμή. Το πρόβλημα ονομάζεται επίσης πρόβλημα συναίνεσης ή συγχρονισμού. Βέλτιστη αίσθηση (Optimal Sensing). Ο στόχος της βέλτιστης αίσθησης η τοποθέτηση των πρακτόρων σε τέτοιες θέσεις ώστε να μεγιστοποιηθεί η απόκτηση πληροφορίας από τους αισθητήρες των ρομπότ. Ένα παράδειγμα είναι ο εντοπισμός ενός στόχου στον χώρο, δηλαδή θα πρέπει οι πράκτορες να τοποθετηθούν σε τέτοιες θέσεις ώστε να μεγιστοποιήσουν την επιφάνεια του χώρου που μπορούν όλα μαζί να παρακολουθούν και τελικά να εντοπίσουν τον στόχο.

39 Κεφάλαιο 3 Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ 3.1 Βασικές Παραδοχές Πριν ξεκινήσουμε την περιγραφή των στρατηγικών ελέγχου, πρέπει να ορίσουμε κάποιες παραδοχές οι οποίες θα παραμείνουν αμετάβλητες στα πλαίσια αυτής της εργασίας. Δισδιάστατος Χώρος: για να μπορέσουμε να εκτελέσουμε την προσομοίωση χρειαζόμαστε ένα χώρο ο οποίος είναι συγκεκριμένος, δηλαδή ξέρουμε τις διαστάσεις του n m. Ο χώρος αυτός είναι διαιρεμένος σε τετραγωνίδια τα οποία έχουμε αριθμήσει από αριστερά προς τα δεξιά και από κάτω προς τα πάνω, δηλαδή το κάτω αριστερό τετράγωνο είναι το υπ'αριθμόν 1 τετράγωνο, προς τα δεξιά είναι το τετράγωνο υπ'αριθμόν 2, 3, κ.ο.κ. ενώ όταν τελειώσουν τα κάτω τετράγωνα, περνάμε στα αμέσως από πάνω στην αριστερή θέση και συνεχίζουμε την αρίθμηση (Σχήμα 3.1) Σχήμα 3.1: Αρίθμηση Χάρτη. 17

40 18 Κεφάλαιο 3 Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ Θέσεις Χώρου: θεωρούμε πως κάθε pixel στο χάρτη ανήκει σε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις: 1. Τα ελεύθερα τετράγωνα, αυτά από τα οποία δεν έχει ξαναπεράσει το ρομπότ και πρέπει να τα διασχίσει. 2. Τα εμπόδια τετράγωνα (Obstacles), τα οποία δεν μπορεί να διασχίσει το ρομπότ. 3. Τα διαμοιραζόμενα τετράγωνα (shared), τα οποία τα έχει διασχίσει το ρομπότ, όμως αν κριθεί απαραίτητο μπορεί να περάσει ξανά από αυτά. 4. Τα μη-προσδιορισμένα (undefined) τετράγωνα, δηλαδή εκείνα τα τετράγωνα τα οποία είναι ανιχνεύσιμα από τη θέση του ρομπότ, όμως δεν υπάρχει μονοπάτι εντός του ανιχνεύσιμου χώρου, που να καταλήγει σε αυτά. unde ned unde ned shared path Σχήμα 3.2: Μη-προσδιορισμένες θέσεις (undefined). Ρομπότ: τα ρομπότ που θα χρησιμοποιήσουμε είναι σημειακά και μπορούν να κινούνται προς τα γειτονικά τετράγωνα πάνω, δεξιά, αριστερά και κάτω από αυτά, εφόσον δεν είναι εμπόδια. 3.2 Μη Δομημένη Τροχιά και Απεριόριστος Χώρος Ανίχνευσης (Unstructured path and Unlimited sensing) Αρχικά θεωρήσαμε ότι το ρομπότ γνωρίζει όλο το χώρο στον οποίο το έχουμε τοποθετήσει (unlimited sensing). Ο περιορισμός που θέσαμε στην κίνηση είναι μία σειρά προτεραιότητας όσον αφορά την επιλογή της επόμενης θέσης. Αυτή η σειρά προτεραιότητας, με την προϋπόθεση ότι μπορεί να μεταβεί σε αυτές τις θέσεις είναι πάνω, δεξιά, αριστερά, κάτω. Στην περίπτωση που δεν υπάρχει καμία άλλη θέση να μεταβεί, δηλαδή οι γειτονικές θέσεις

41 Κεφάλαιο 3 Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ 19 είναι ή εμπόδια ή σύνορα του χάρτη ή shared τετράγωνα, τότε το ρομπότ ακολουθεί την διαδρομή ανάποδα όπως την έχει διαγράψει, μέχρι να βρει μία θέση η οποία έχει γειτονικά της ελεύθερο τετράγωνο για να συνεχίσει την εξερεύνηση. 1 2 Σχήμα 3.3: Τροχιά με εφαρμογή προτεραιοτήτων (πάνω, δεξιά, αριστερά, κάτω). Στο Σχήμα 3.3 βλέπουμε τη διαδρομή που ακολουθεί το ρομπότ. Ο παραπάνω χώρος είναι μεγέθους 8 8, δηλαδή έχει 64 pixel από τα οποία τα 16 είναι εμπόδια. Το ρομπότ ξεκινάει από τη θέση 1 στο χώρο και καταλήγει στην θέση 2. Αφού διασχίσει τις πρώτες θέσεις (κόκκινη γραμμή) θα πρέπει να τις ξαναπεράσει ανάποδα μέχρι να βρει ελεύθερη θέση (διακεκομμένη γραμμή). Μέχρι να καλύψει όλο το χώρο, το ρομπότ έκανε 180 βήματα. Παρατηρούμε πως η τροχιά που ακολουθεί το ρομπότ δεν έχει καμία δομή. Επιπροσθέτως, το ρομπότ κινείται αγνοώντας πλήρως τις θέσεις που υπάρχουν γύρω του και δεν κρατάει καμία πληροφορία για αυτές, με μοναδικό του στόχο να βρει μία επόμενη θέση να μεταβεί. Ακόμα σημαντική παρατήρηση είναι ότι δεν έχουμε καμία πληροφορία για τη θέση που πρόκειται να καταλήξει το ρομπότ. Η μελέτη της κίνησης του ρομπότ μας οδήγησε στο συμπέρασμα ότι ο περιορισμός των προτεραιοτήτων (πάνω, δεξιά, αριστερά, κάτω) δεν είναι αρκετός για να δημιουργήσουμε μία αποτελεσματική στρατηγική εξερεύνησης του χώρου. Παρατηρήσαμε επίσης πως το ρομπότ διασχίζει συχνά το εσωτερικό του χώρου, κάτι που δεν είναι απαραίτητο και αναγκάζεται να διασχίσει πολλές φορές τις ίδιες θέσεις. Δημιουργήσουμε λοιπόν μία τροχιά η οποία να διατηρείται περιμετρικά του χώρου και μετά να συνεχίζει την εξερεύνηση εσωτερικά. Αυτό που κάναμε αρχικά είναι να αφαιρέσουμε τις προτεραιότητες. Το ρομπότ θα πρέπει να είναι σε θέση να "εκτιμήσει" ποια από τις πιθανές επόμενες ελεύθερες θέσεις είναι καταλληλότερη για να διασχίσει. Θεωρήσαμε λοιπόν πως το ρομπότ βρίσκεται σε μία θέση X i, j και θεωρούμε ότι το ρομπότ μπορεί να μεταβεί στις θέσεις Y 1 = X i 1, j

42 20 Κεφάλαιο 3 Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ Y 2 = X i+1, j Y 3 = X i, j+1 Y 4 = X i, j 1 Υπάρχουν λοιπόν τέσσερις υποψήφιες θέσεις για να μεταβεί το ρομπότ. Στη συνέχεια το ρομπότ υπολογίζει τις κάθετες αποστάσεις της κάθε θέσης από κάθε σύνορο έτσι ώστε να μεταβεί σε αυτή που είναι πιο κοντά στα σύνορα του χώρου. Η μαθηματική σχέση αυτού του υπολογισμού είναι η εξής: X i,i = 1, 2, 3, 4 min(min( X i B j )), j = 1, 2, 3, 4 Η δεύτερη βελτίωση που εισάγαμε, αφορά τον τρόπο που το ρομπότ ενεργεί στην περίπτωση όπου δεν έχει κάποια ελεύθερη θέση γύρω του να μεταβεί, δηλαδή ή είναι εμπόδιο ή είναι διαμοιραζόμενη. Η προηγούμενη μέθοδος με την οποία το ρομπότ ακολουθούσε ανάποδα το μονοπάτι που είχε έως εκείνη την στιγμή διαγράψει, είναι πολύ αργός αφού διασχίζει ξανά περιττές θέσεις. Από το σημείο λοιπόν που δεν μπορεί να προχωρήσει, υπολογίζει την Ευκλείδεια απόσταση της θέσης που βρίσκεται, με όλες τις ελεύθερες θέσεις του χώρου και βρίσκει την κοντινότερη σε αυτό. Αν υπάρχουν περισσότερες θέσεις από μία που βρίσκονται στην ίδια κοντινότερη απόσταση, επιλέγει αυτή που βρήκε πρώτη, προς την οποία κατευθύνεται. Για να το πετύχει αυτό βρίσκει και ακολουθεί την κοντινότερη διαδρομή μεταξύ δύο θέσεων Σχήμα 3.4: Τροχιά με εφαρμογή Ευκλειδείων αποστάσεων από τα όρια του χώρου. Στο παραπάνω πείραμα χρησιμοποιήσαμε ξανά τον χώρο 8 8 του Σχήματος 3.3. Η αρχική θέση του ρομπότ όπως και προηγουμένως είναι η θέση 1 και κατέληξε στη θέση 31. Η κόκκινη γραμμή δείχνει την τροχιά που διέγραψε το ρομπότ. Τα βήματα που χρειάστηκε ήταν 67, δηλαδή πολύ λιγότερα από την πρώτη μας προσπάθεια που χρειάστηκε 180. Επίσης

43 Κεφάλαιο 3 Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ 21 παρατηρούμε πως όντως καταφέραμε το ρομπότ να κινείται στα σύνορα του χώρου ενώ σταδιακά μεταφέρεται στις θέσεις που βρίσκονται στο εσωτερικό του. 3.3 Μη Δομημένη Τροχιά και Περιορισμένος Χώρος Ανίχνευσης (Unstructured path and limited sensing) Σε πραγματικές συνθήκες, ένα ρομπότ είναι εφοδιασμένο με αισθητήρες για να μπορεί να αντιλαμβάνεται το χώρο γύρω του. Για αυτό το λόγο περιορίσαμε το χώρο που μπορεί να ανιχνεύσει το ρομπότ. Σε αυτό το στάδιο, θεωρήσαμε ότι το ρομπότ γνωρίζει ένα τετραγωνικό χώρο γύρω του διαστάσεων n n, όπου n = 2k + 1 και k N αντιστοιχεί στην ακτίνα (range) ανίχνευσης. k n=2k+1 k k k n=2k+1 Σχήμα 3.5: Μέγεθος Χώρου Ανίχνευσης. Αν το ρομπότ βρίσκεται στα σύνορα του χώρου, τότε αναγνωρίζει ένα υποσύνολο του n n χώρου ανίχνευσης. Σε αυτή την περίπτωση δημιουργούμε ένα πίνακα διαστάσεων u v, όπου u, v m είναι οι διαστάσεις του χώρου που ανιχνεύει το ρομπότ. Οι διαστάσεις αυτές θα είναι υποσύνολο των διαστάσεων n n, δηλαδή u v n n. Σε αυτόν τον υπόχωρο δημιουργούμε νέα αρίθμηση στις θέσεις του με ίδιο τρόπο όπως στην αρίθμηση του συνολικού χώρου, δηλαδή από αριστερά προς τα δεξιά και από κάτω προς τα πάνω. Με αυτό το τρόπο δημιουργήσαμε μία απεικόνιση των στοιχείων του πίνακα προς τις θέσεις του χώρου που βλέπει το ρομπότ. Στο παραπάνω παράδειγμα και τα τρία ρομπότ έχουν ακτίνα k = 2. Τα ρομπότ 1 και 3 βρίσκονται στα σύνορα του χώρου και για αυτό τον λόγο δεν αξιοποιούν πλήρως τις δυνατότητες των αισθητήρων τους. Αντίθετα το ρομπότ 3, εκμεταλλεύεται όλο τον χώρο που μπορεί να αναγνωρίσει γύρω του.

44 22 Κεφάλαιο 3 Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ 3x3 1 5x5 2 3x5 3 Σχήμα 3.6: Περιπτώσεις Χώρων Ανίχευσης. Αφού περιορίσαμε τον χώρο ανίχνευσης του ρομπότ αναζητούμε μία μέθοδο εξερεύνησης του υποχώρου. Αρχικά δοκιμάσαμε την τυχαία επιλογή, δηλαδή το ρομπότ εξετάζει ποιες από τις ανιχνεύσιμες θέσεις είναι ελεύθερες και επιλέγει την πρώτη που θα εντοπίσει η οποία βρίσκεται πιο κοντά σε αυτό. Η μετάβαση από την τρέχουσα θέση στην επόμενη γίνεται καλώντας την function bfs. Όταν τελειώσει η εξερεύνηση του ανιχνεύσιμου χώρου, το ρομπότ θεωρεί την θέση στην οποία κατέληξε ως νέα αρχική θέση, η οποία ορίζει τον καινούριο ανιχνεύσιμο χώρο. Κάποιο μέρος αυτού του νέου χώρου, περιέχει θέσεις που έχει διασχίσει ξανά το ρομπότ. Οπότε, αν δεν κριθεί απαραίτητο δεν χρειάζεται να περάσει ξανά από αυτές. Στο Σχήμα 3.7 βλέπουμε ένα παράδειγμα όπου το ρομπότ ξεκινάει την εξερεύνηση από την θέση 26 του χώρου και αφού αρχικά καλύψει τον ανιχνεύσιμο σε αυτό χώρο καταλήγει στη θέση 19. Από αυτήν την θέση ορίζεται ο καινούριος χώρος ανίχνευσης του ρομπότ στον οποίο τις θέσεις 4, 5, 7, 8 το ρομπότ έχει ήδη διασχίσει. position 26 position Σχήμα 3.7: Μετάβαση από έναν ανιχνεύσιμο χώρο στον επόμενο. Σε αυτό το σημείο χρειάζεται να αναφέρουμε πως σε κάθε χώρο ανίχνευσης ίσως υπάρχουν και μη-προσδιορισμένα τετράγωνα, δηλαδή θέσεις οι οποίες ενώ είναι ανιχνεύσιμες

45 Κεφάλαιο 3 Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ 23 από το ρομπότ, δεν υπάρχει μονοπάτι στον χώρο ανίχνευσης από τη θέση του ρομπότ προς αυτές. Σε όλη την πορεία του, το ρομπότ κρατάει σε ένα διάνυσμα WaitingNextRoute τις θέσεις όπου έχει διασχίσει και για τις οποίες υπάρχει ελεύθερη γειτονική θέση. Οπότε σε περίπτωση που δεν υπάρχει κάποια θέση να μεταβεί, ελέγχει τις θέσεις του διανύσματος WaitingNextRoute και πηγαίνει προς την πιο κοντινή από τις θέσεις αυτές. Στο Σχήμα 3.8 φαίνεται πως το ρομπότ ξεκινώντας από τη θέση 7 του χώρου ανίχνευσης, διασχίζει τις πρώτες θέσεις και καταλήγει την θέση 3. Οι θέσεις 2, 3 και 9 αποθηκεύονται στο διάνυσμα WaitingNextRoute ως θέσεις που έχουν γειτονικό ελεύθερο τετραγωνίδιο Σχήμα 3.8: Αποθήκευση θέσεων με γειτονικές ελεύθερες θέσεις. Αφού πλέον έχουμε κατανοήσει την συγκεκριμένη μέθοδο, υπολογίσαμε την τροχιά που θα διανύσει το ρομπότ στο χώρο μεγέθους 8x8 (Σχήμα 3.9). Θυμόμαστε επίσης ότι πλέον έχουμε συγκεκριμένο πεδίο ανίχνευσης για το ρομπότ, άρα θα πρέπει να ορίσουμε a priori πόσο είναι η ακτίνα k του ρομπότ. Στο παρακάτω παράδειγμα ισχύει ότι k = 1, η αρχική θέση του ρομπότ είναι η θέση 1, τερμάτισε στη θέση 12 και τελικά χρειάστηκε 72 βήματα για να καλύψει τον χώρο. Παρατηρούμε ότι είναι πολύ κοντά σε σχέση με τα βήματα που έκανε το ρομπότ στην προηγούμενη μέθοδο. 3.4 Δομημένη Τροχιά και Περιορισμένος Χώρος Ανίχνευσης (Structured path and limited sensing) Σε αυτό το στάδιο αλλάζουμε τον προαναφερθέν αδόμητο (τυχαίο) τρόπο εξερεύνησης ώστε να πετύχουμε μία γρηγορότερη και δομημένη εξερεύνηση του χώρου. Έτσι δημιουργούμε δύο μοντέλα εξερεύνησης που θα τα αναλύσουμε στη συνέχεια.

46 24 Κεφάλαιο 3 Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ 1 12 Σχήμα 3.9: Εξερεύνηση 8x8 περιοχής με τυχαίο τρόπο Εξαντλητική αναζήτηση ελάχιστου μονοπατιού Για να πετύχουμε το καλύτερο αποτέλεσμα στην εξερεύνηση του χώρου, χρησιμοποιούμε το ελάχιστο μονοπάτι εξερεύνησης του χώρου ανίχνευσης του ρομπότ. Δημιουργήσαμε λοιπόν μία συνάρτηση η οποία με εξαντλητική αναζήτηση εντοπίζει το ελάχιστο μονοπάτι. Αν υπάρχουν περισσότερα από ένα ελάχιστα μονοπάτια, το ρομπότ ακολουθεί το πρώτο από αυτά. Το μειονέκτημα αυτού του μοντέλου είναι ο χρόνος υπολογισμού του ελάχιστου μονοπατιού. Αν η ακτίνα που έχουμε ορίσει για το ρομπότ είναι k = 1, ο υπολογισμός είναι γρήγορος. Σε αντίθετη περίπτωση, ο χρόνος αυξάνεται πάρα πολύ με αποτέλεσμα σε χώρους με μεγάλο μέγεθος να μην μπορούμε πρακτικά να βρούμε λύση. Επίσης υπάρχει ακόμα ένα μειονέκτημα το οποίο θα περιγράψουμε με την βοήθεια του Σχήματος B A Σχήμα 3.10: Γειτονικοί χώροι ανίχνευσης.

47 Κεφάλαιο 3 Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ 25 Στο παραπάνω παράδειγμα έχουμε ένα χώρο μεγέθους 8 8, η αρχική θέση του ρομπότ είναι η θέση Α και το πεδίο ανίχνευσης του ρομπότ είναι k = 2. Το ρομπότ αναγνωρίζει ένα τετράγωνο χώρο (συνεχόμενο μαύρο τετράγωνο) το οποίο πρέπει να εξερευνήσει. Ένα από τα ελάχιστα μονοπάτια είναι αυτό που φαίνεται στο Σχήμα, το οποίο καταλήγει στην θέση Β (κόκκινη γραμμή). Αυτό που παρατηρήσαμε είναι πως το ρομπότ κατέληξε σε μία θέση του μαύρου τετραγώνου και μάλιστα δίπλα στο όρια του χώρου με αποτέλεσμα να αναγκαστεί στη συνέχεια να κάνει περιττές κινήσεις ώστε να συνεχίσει την εξερεύνηση ενός νέου τμήματος του χώρου (διακεκομμένες γραμμές). Με απλά λόγια, ιδεατά θα θέλαμε σε κάθε επιμέρους εξερεύνηση ενός υποχώρου, το ρομπότ τα καταλήγει σε μία θέση στα σύνορα αυτού ώστε να είναι έτοιμο για την επόμενη εξερεύνηση. Φαίνεται πως αυτή η παρατήρηση δεν επηρεάζει κατά πολύ το αποτέλεσμα, όμως σε έναν χώρο πολύ μεγάλου μεγέθους συσσωρεύονται πολλά περιττά βήματα Τεχνική Χωρισμού Επιπέδων Όπως παρουσιάσαμε στην προηγούμενη ενότητα εμφανίστηκε η ανάγκη να δημιουργήσουμε μια τεχνική με την οποία θα μπορέσουμε να κατευθύνουμε το ρομπότ στα σύνορα του χώρου ανίχνευσης ώστε να αποφύγουμε περιττές κινήσεις. Έχοντας λοιπόν ως δεδομένο πως το ρομπότ αναγνωρίζει ένα συγκεκριμένο χώρο γύρο του, χωρίσαμε αυτόν το χώρο σε επίπεδα. Σε κάθε ένα από αυτά τα επίπεδα έχουμε αποδώσει διαφορετικό βάρος. Το ρομπότ λοιπόν, πρέπει να εξερευνήσει διαδοχικά τα επίπεδα ξεκινώντας από αυτό που έχει μικρότερο βάρος και καταλήγοντας σε αυτό με το μεγαλύτερο. Για να καταλάβουμε τον τρόπο που δημιουργούνται τα επίπεδα ας παρατηρήσουμε το Σχήμα Σχήμα 3.11: Τεχνική Χωρισμού επιπέδων του χώρου. Ξεκινώντας από τη θέση του ρομπότ αριθμούμε με 1 τις θέσεις που βρίσκονται γύρω του (κάθετα, οριζόντια, διαγώνια). Στη συνέχεια αριθμούμε με 2, τις θέσεις που βρίσκονται

48 26 Κεφάλαιο 3 Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ γύρω από τις θέσεις βάρους 1. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να δημιουργήσουμε το επίπεδο βάρους k και να αντιστοιχίσουμε κάθε θέση του χώρου με κάποιο βάρος. Με αυτό το τρόπο δημιουργήσαμε μία απεικόνιση των στοιχείων του πίνακα προς τις θέσεις που βλέπει το ρομπότ. Το ρομπότ λοιπόν πρέπει να εξερευνήσει πρώτα τα γειτονικά του τετράγωνα, μετά τα αμέσως επόμενα κ.ο.κ. Πρέπει να αναφερθεί πως υπολογίζεται όχι απλά μία τροχιά που διατρέχει τα επίπεδα, αλλά η τροχιά με τα ελάχιστα βήματα για να εξερευνηθούν τα διαδοχικά επίπεδα και τελικά ο χώρος. Αυτό σημαίνει πως μπορεί να υπάρξουν παραπάνω από μία ελάχιστες διαδρομές. Το ρομπότ επιλέγει την πρώτη που έχει υπολογίσει. Αφού κατανοήσαμε τις προϋποθέσεις κίνησης του ρομπότ, τις εφαρμόσαμε για τον γνωστό μας πλέον 8 8 χώρο και πήραμε τα εξής αποτελέσματα: E Σχήμα 3.12: Εφαρμογή τεχνικής χωρισμού επιπέδου με k=1. Ε Σχήμα 3.13: Εφαρμογή τεχνικής χωρισμού επιπέδου, με k=2.

49 Κεφάλαιο 3 Εξερεύνηση χώρου από μεμονωμένο ρομπότ 27 Στα δύο παραπάνω Σχήματα έχουμε πάρει τα αποτελέσματα για την περίπτωση όπου το ρομπότ ξεκίνησε από την θέση 1 και το range ανίχνευσης του ρομπότ είναι k = 1 και την περίπτωση όπου k = 2. Παρατηρούμε ότι και στις δύο αυτές περιπτώσεις το ρομπότ χρειάστηκε 76 κινήσεις για να καλύψει το χώρο, παρόλο που κατέληξε σε διαφορετικές τελικές θέσεις.

50

51 Κεφάλαιο 4 Εξερεύνηση χώρου από λ ρομπότ Στο τελευταίο στάδιο της εργασίας δημιουργήσαμε ένα μοντέλο για την εξερεύνηση ενός χώρου χρησιμοποιώντας περισσότερα από ένα ρομπότ. Το μοντέλο αυτό αφορά τη συνεργασία λ-ρομπότ και τον τρόπο που αυτά κινούνται μέσα στο χώρο. Θεωρούμε αρχικά πως έχουμε ένα χώρο μεγέθους n m και λ το πλήθος ρομπότ, όπου κάθε ένα από αυτά έχει μία αρχική θέση στο χώρο StartPosition(i) = x i (ϕ), με i = 1, 2...λ και 1 < x i (ϕ) < n m, όπου ο δείκτης ανάμεσα στην παρένθεση υποδηλώνει την χρονική στιγμή. Επίσης θεωρούμε ότι όλα τα ρομπότ κινούνται ταυτόχρονα για να μεταβούν από μία θέση σε μία άλλη και στο τέλος το κάθε ρομπότ θα έχει διαγράψει μία τροχιά C ri, με i = 1, 2...λ. Είναι προφανές ότι x i (T ) x j (T ) δηλαδή δεν μπορεί δύο ρομπότ να βρίσκονται ταυτόχρονα στην ίδια θέση. Στο προηγούμενο κεφάλαιο αναλύσαμε την περίπτωση όπου το πεδίο ανίχνευσης του ρομπότ είναι περιορισμένο και πρέπει να καλυφθεί διαχωρίζοντας τα επίπεδα στα οποία τον έχουμε χωρίσει. Κάθε ένα ρομπότ αναγνωρίζει έναν διαφορετικού μεγέθους χώρο γύρω του, δηλαδή τα ρομπότ επιτρέπεται να έχουν διαφορετικές ακτίνες k i. Ξεκινώντας την εξερεύνηση του χώρου, τα ρομπότ αναγνωρίζουν από ένα χώρο με κέντρο την αρχική τους θέση. Πρέπει να διασχίσουν αυτόν τον χώρο και όταν ολοκληρωθεί η διάσχιση αυτού, το τελευταίο σημείο στο οποίο ολοκληρώθηκε το τρέχον μονοπάτι θεωρείται ως το καινούριο αρχικό σημείο, δηλαδή τα ρομπότ πρέπει να διασχίσουν τον καινούριο ανιχνεύσιμο χώρο με κέντρο αυτό το σημείο. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται μέχρι να εξερευνηθεί όλος ο χώρος. Έστω ότι το μήκος των βημάτων που διαγράφει το κάθε ρομπότ κατά μήκος της τροχιάς C ri είναι {C ri }. Τέλος τα βήματα που χρειάζονται για την εξερεύνηση του χώρου είναι: max{c ri }, i = 1,..., λ. 29

52 30 Κεφάλαιο 4 Εξερεύνηση χώρου από λ ρομπότ 4.1 Μη συνεργατική εξερεύνηση χώρου Αρχικά προσεγγίσαμε το πρόβλημα της εξερεύνησης χώρου, χρησιμοποιώντας λ-ρομπότ τα οποία κινούνται ανεξάρτητα το ένα από τα άλλα. Δηλαδή το κάθε ρομπότ ξεκινάει από μία θέση StartPosition(i) με i = 1, 2...λ και εξερευνούν τον χώρο το καθένα ανεξάρτητα, χωρίς να έχουν καμία πληροφορία σχετικά με την διαδρομή που έχουν διαγράψει τα υπόλοιπα ρομπότ ή την θέση στην οποία βρίσκονται. Η εξερεύνηση του χώρου ολοκληρώνεται όταν όλα τα ρομπότ έχουν διασχίσει όλα τα τετράγωνα. Προφανώς, απαγορεύεται δύο ρομπότ να καταλαμβάνουν ταυτόχρονα τον ίδιο χώρο. Σχήμα 4.1: Μη συνεργατική εξερεύνηση του χώρου. Στο Σχήμα 4.1 τα ρομπότ έχουν αρχικές θέσεις 1 και 63 με ακτίνα ανίχνευσης k = 1 και για τα δύο ρομπότ. Το κάθε ένα ρομπότ ξεχωριστά διάνυσε 75 και 76 βήματα, δηλαδή για να εξερευνηθεί ο χώρος χρειάστηκαν 76 βήματα. Τα ρομπότ διάσχισαν μαζί δύο φορές την κάθε θέση, ενώ το πρώτο ρομπότ καθυστέρησε κατά ένα βήμα, περιμένοντας το δεύτερο να ολοκληρώσει τη δική του εξερεύνηση. Ο χώρος τελικά καλύπτεται με τον ίδιο τρόπο που θα καλυπτόταν εάν είχαμε μόνο ένα ρομπότ, ενώ σε περίπτωση που η διαδρομή ενός ρομπότ περνάει από τη θέση κάποιου άλλου, ο χρόνος μεγαλώνει ακόμα περισσότερο (κάτι που δεν συνέβη στο παραπάνω παράδειγμα). Το συγκεκριμένο πείραμα είναι προφανές ότι δεν μας βοηθάει να κερδίσουμε χρόνο για την εξερεύνηση του χώρου, ούτε αξιοποιείται το πλεονέκτημα των πολλών ρομπότ. Από την άλλη πλευρά μας βοηθάει να κατανοήσουμε καλύτερα πώς πρέπει να κατευθύνουμε την κίνηση των ρομπότ και πώς θα ορίσουμε την ανάγκη ανταλλαγής πληροφοριών για την συνεργατική κίνηση αυτών. 4.2 Συνεργατική Εξερεύνηση του χώρου Ιδεατά επιθυμούμε να χωρίσουμε το χώρο σε λ υποσύνολα ίδιου μεγέθους και να αναθέσουμε σε κάθε ρομπότ να εξερευνήσει ένα από αυτά. Φυσικά η ιδιομορφία του χώρου,

53 Κεφάλαιο 4 Εξερεύνηση χώρου από λ ρομπότ 31 δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο είναι τοποθετημένα τα εμπόδια, δεν επιτρέπουν να πραγματοποιηθεί κάτι τέτοιο. Για παράδειγμα στο Σχήμα 4.2, παρατηρούμε πως αν χωρίσουμε το χώρο στα δύο χρησιμοποιώντας Voronoi-διαμοιρασμό, η περιοχή προς εξερεύνηση που αντιστοιχεί στο ρομπότ Β έχει πολύ περισσότερα εμπόδια (18) από την περιοχή του ρομπότ Α (2). B A Σχήμα 4.2: Άνισος διαμοιρασμός χώρου. Η επικοινωνία μεταξύ των ρομπότ είναι απαραίτητη με σκοπό την ανταλλαγή πληροφοριών σχετικά με την τρέχουσα θέση τους και με τις θέσεις που έχουν ήδη διασχίσει, ώστε να αποφευχθεί επανάληψη δημιουργίας μονοπατιού από θέσεις που είχαν προκαταληφθεί. Επίσης, θεωρούμε πως τα ρομπότ κινούνται όλα ταυτόχρονα Συνεργατική εξερεύνηση με τυχαία διάσχιση του χωρισμένα σε επίπεδα χώρου Για την υλοποίηση της προαναφερθείσας στρατηγικής εξερεύνησης, αρχικά διατηρήσαμε τον διαχωρισμό του χώρου σε επίπεδα και την προτεραιότητα εξερεύνησης των θέσεων με μικρό βάρος. Έτσι, σε κάθε χώρο ανίχνευσης, δημιουργήσαμε μία επαναληπτική διαδικασία με την οποία κάθε ρομπότ βρίσκει μόνο την επόμενη θέση στην οποία θα μεταβεί. Αυτή η θέση βρίσκεται στην κοντινότερη απόσταση από το ρομπότ και έχει το μικρότερο βάρος. Όταν το ρομπότ μεταβεί σε αυτήν, το βάρος της αλλάζει και γίνεται ίσο με μία μεγαλύτερη τιμή w = L + 1, όπου L είναι η μεγαλύτερη τιμή που υπάρχει αρχικά στον πίνακα βαρών. Στη συνέχεια όλα τα ρομπότ κινούνται προς τις υπολογισμένες θέσεις τους και μετά επαναλαμβάνουν την διαδικασία. Όταν ολοκληρωθεί η εξερεύνηση του χώρου ανίχνευσης, βρίσκουν τον νέο ανιχνεύσιμο χώρο τον οποίο εξερευνούν με τον ίδιο τρόπο. Στα παραπάνω Σχήματα βλέπουμε τον γνωστό 8 8 χώρο και την διαδρομή που έχουν διαγράψει 2 ρομπότ με αρχικές θέσεις 1 και 63, των οποίων το εύρος ανίχνευσης είναι rangek = 1 και k = 2. Συνολικά στη πρώτη περίπτωση τα ρομπότ χρειάζονται 38 βήματα

54 32 Κεφάλαιο 4 Εξερεύνηση χώρου από λ ρομπότ Σχήμα 4.3: Συνεργατική τυχαία εξερύνηση χώρου ανίχνευσης με k=1. Σχήμα 4.4: Συνεργατική τυχαία εξερύνηση χώρου ανίχνευσης με k=2. για την εξερεύνηση του χώρου (38 βήματα έκανε το κάθε ρομπότ), ενώ στη δεύτερη περίπτωση τα ρομπότ χρειάζονται 35 βήματα για την εξερεύνηση του χώρου (35 βήματα έκανε το κάθε ρομπότ) Συνεργατική εξερεύνηση με βέλτιστη διάσχιση του χωρισμένα σε επίπεδα χώρου Σε αυτή την προσέγγιση, χρησιμοποιούμε το σύστημα που έχει αναφερθεί στην ενότητα Τα ρομπότ δηλαδή βρίσκουν την βέλτιστη διαδρομή στον χώρο ανίχνευσής τους και μετακινούνται ταυτόχρονα. Το κάθε ρομπότ όμως, πρέπει να διασχίσει διαφορετικού μεγέθους χώρο. Για παράδειγμα, μπορεί ένα ρομπότ να ανιχνεύει ένα χώρο 3x3 και ένα άλλο έναν χώρο 5x5. Αυτό σημαίνει ότι το πρώτο ρομπότ έχει υπολογίσει μία τροχιά μικρότερη από την τροχιά του δεύτερου. Επομένως το πρώτο ρομπότ θα τελειώσει πρώτο τα βήματα που έχει υπολογίσει. Σε αυτή την περίπτωση, το δεύτερο ρομπότ θα περιμένει το πρώτο να υπολογίσει την νέα τροχιά που θα ακολουθήσει και μετά θα μπορούν πάλι τα ρομπότ να

55 Κεφάλαιο 4 Εξερεύνηση χώρου από λ ρομπότ 33 κινηθούν ταυτόχρονα. Κάθε φορά λοιπόν όπου ένα ρομπότ τελειώνει την τρέχουσα τροχιά του, τα υπόλοιπα περιμένουν μέχρι να υπολογίσει την νέα τροχιά και μετά συνεχίζουν την εξερεύνηση. Σχήμα 4.5: Συνεργατική εξερεύνηση χώρου με k=1. Σχήμα 4.6: Συνεργατική εξερεύνηση χώρου με k=2. Στα Σχήματα 4.5 και 4.6 παραθέτουμε τον γνωστό 8 8 πίνακα, και βλέπουμε τα αποτελέσματα της παραπάνω προσέγγισης για ακτίνα ανίχνευσης k = 1 και k = 2 αντίστοιχα. Στην πρώτη περίπτωση τα ρομπότ χρειάστηκαν συνολικά 76 βήματα (38-38) ενώ στη δεύτερη περίπτωση χρειάστηκαν 70 βήματα (35-35). Και στις δύο περιπτώσεις βλέπουμε πως τα βήματα που τελικά έκαναν τα ρομπότ είναι τα μισά από το πείραμα της προηγούμενης ενότητας.

56 34 Κεφάλαιο 4 Εξερεύνηση χώρου από λ ρομπότ 4.3 Συνεργατική εξερεύνηση του χώρου με απωθητικές δυνάμεις Στην προηγούμενη ενότητα μειώσαμε αρκετά τα βήματα που χρειάζονται λ ρομπότ για να εξερευνήσουν ένα χώρο. Παρατηρήσαμε όμως πως δεν υπάρχει κανένας έλεγχος όσον αφορά την κατεύθυνση της τροχιάς του κάθε ρομπότ. Δηλαδή, μετά από κάποιον αριθμό βημάτων, τα ρομπότ πλησιάζουν μεταξύ τους με αποτέλεσμα να συγκεντρώνονται όλα στο ίδιο μέρος. Δημιουργήσαμε λοιπόν μία στρατηγική η οποία απομακρύνει τα ρομπότ το ένα από τα άλλα, όσο αυτό είναι εφικτό, με αποτέλεσμα τα ρομπότ να απλώνονται στο χώρο. Αυτός ο έλεγχος επιτυγχάνεται με μία τεχνική απώθησης των τροχιών ανάμεσα στα ρομπότ Τεχνική απώθησης ρομποτικών τροχιών Έστω ότι έχουμε λ ρομπότ και πρέπει να υπολογίσουμε την διαδρομή που θα ακολουθήσει το i ρομπότ. Το i ρομπότ αναγνωρίζει έναν n n χώρο και αφού εκτελέσει τους υπολογισμούς του καταλήγει σε b ελάχιστες διαδρομές για την εξερεύνηση του χώρου, οι οποίες καταλήγουν σε b τελικές θέσεις. Όπως έχουμε αναφέρει, το κάθε ρομπότ γνωρίζει ανά πάσα στιγμή την θέση των υπολοίπων ρομπότ. Το i ρομπότ επιλέγει ποια διαδρομή να ακολουθήσει υπολογίζοντας το εξής: max[min[dist l1 (x j, R cp )]] όπου dis l1 είναι η l 1 μετρική απόσταση, x j με j = 1,...,b είναι η θέση των b τελικών θέσεων των υποψήφιων διαδρομών στον χώρο και R cp είναι η θέση των υπολοίπων ρομπότ την στιγμή του υπολογισμού της διαδρομής (robot current position). Το μονοπάτι που θα επιλεγεί τελικά είναι εκείνο που θα έχει τελική του θέση την x j και θα ικανοποιεί τον παραπάνω κανόνα (Σχήμα 4.7). Στα Σχήματα 4.8 και 4.9 βλέπουμε τα αποτελέσματα χρησιμοποιώντας την τεχνική απώθησης τροχιών για τις περιπτώσεις όπου τα ρομπότ είχαν εύρος ανίχνευσης k = 1 και k = 2, ενώ τα ρομπότ έχουν τις ίδιες αρχικές θέσεις με αυτές της προηγούμενης ενότητας. Τα βήματα που χρειάστηκαν τα ρομπότ για την εξερεύνηση του χώρου στην πρώτη περίπτωση ήταν 35 (34-35) και στην δεύτερη περίπτωση χρειάστηκαν 31 (31-31) βήματα.

57 Κεφάλαιο 4 Εξερεύνηση χώρου από λ ρομπότ 35 robot-3 distl1(xj,rcp) robot-2... robot-1 robot- Σχήμα 4.7: Εφαρμογή της τεχνικής απώθησης τροχιών. Σχήμα 4.8: Συνεργατική εξερεύνηση χώρου με χρήση τεχνικής απώθησης τροχιών και k=1. Σχήμα 4.9: Συνεργατική εξερεύνηση χώρου με χρήση τεχνικής απώθησης τροχιών και k=2.

58

59 Κεφάλαιο 5 Στατιστική Ανάλυση Αποτελεσμάτων Σε αυτό το κεφάλαιο μελετήσαμε τις τρεις στρατηγικές ελέγχου που δημιουργήσαμε, ώστε να μπορέσουμε να βρούμε μία στρατηγική γρήγορη και αποτελεσματική, για την εξερεύνηση ενός χώρου. Αρχικά, επιλέξαμε να εκτελέσουμε τα πειράματα σε χώρους μεγέθους με το 25% των θέσεων αυτού να είναι εμπόδια, τοποθετημένα με τυχαίο τρόπο. Για κάθε μία από τις τρεις στρατηγικές ελέγχου εκτελέσαμε 50 πειράματα για τις περιπτώσεις όπου χρησιμοποιούμε 2, 3 ή 4 ρομπότ για να εξερευνήσουν το χώρο. Επίσης για κάθε μία από αυτές τις περιπτώσεις, θεωρήσαμε ότι το εύρος του χώρου ανίχνευσης των ρομπότ είναι k = 1 ή k = 2 (όλα τα ρομπότ σε κάθε περίπτωση έχουν το ίδιος εύρος ανίχνευσης). Συνολικά για κάθε μία από τα τρεις στρατηγικές εκτελέσαμε 300 πειράματα, τα αποτελέσματα των οποίων φαίνονται στα ιστογράμματα της επόμενης ενότητας. 5.1 Ιστογράμματα και ανάλυση mean=165.5 c=8 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.1: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=1 και λ=2. 37

60 38 Κεφάλαιο 5 Στατιστική Ανάλυση Αποτελεσμάτων mean=113.9 c=10 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.2: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=1 και λ= mean=90.26 c=10 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.3: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=1 και λ= mean= c=18 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.4: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=2 και λ=2.

61 Κεφάλαιο 5 Στατιστική Ανάλυση Αποτελεσμάτων mean= c=13 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.5: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=2 και λ= mean=98.16 c=9 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.6: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με τυχαία κίνηση για k=2 και λ= mean= c=20 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.7: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=1 και λ=2.

62 40 Κεφάλαιο 5 Στατιστική Ανάλυση Αποτελεσμάτων mean=133.1 c=16 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.8: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=1 και λ= mean= c=17 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.9: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=1 και λ= mean= c=26 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.10: ΙΙστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=2 και λ=2.

63 Κεφάλαιο 5 Στατιστική Ανάλυση Αποτελεσμάτων mean= c=27 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.11: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=2 και λ= mean= c=23 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.12: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου Without για k=2 και λ= mean= c=18 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.13: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=1 και λ=2.

64 42 Κεφάλαιο 5 Στατιστική Ανάλυση Αποτελεσμάτων mean= c=16 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.14: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=1 και λ= mean=97.18 c=15 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.15: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=1 και λ= mean= c=21 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.16: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=2 και λ=2.

65 Κεφάλαιο 5 Στατιστική Ανάλυση Αποτελεσμάτων mean= c=24 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.17: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=2 και λ= mean= c=20 (50% of cases) 25 Number of cases Number of steps needed for surveillance Σχήμα 5.18: Ιστόγραμμα Συνεργατικής Στρατηγικής Ελέγχου με απώθηση τροχιών για k=2 και λ=4. Στα Σχήματα 5.1 έως 5.2 παραθέτουμε 18 ιστογράμματα, των βημάτων ανά περίπτωση που χρειάστηκαν τα ρομπότ για να εξερευνήσουν το χώρο και του αριθμού των περιπτώσεων που πραγματοποιήθηκε κάθε σύνολο βημάτων. Τα βήματα της εξερεύνησης τα χωρίσαμε σε σύνολα ίσου πλάτους (10). Επίσης σε κάθε ιστόγραμμα αναφέρεται ο μέσος όρος των βημάτων εξερεύνησης (κόκκινη διακεκομμένη γραμμή) και ένα σύνολο βημάτων (πράσινες γραμμές), μέσα στο οποίο ανήκει το 50% των περιπτώσεων. Το πλάτος του συνόλου αυτού, περιγράφεται από την τιμή της σταθεράς c. Για παράδειγμα, στο Σχήμα 5.1 περιγράφονται τα αποτελέσματα 50 πειραμάτων σε χώρο μεγέθους 16 16, με το 25% των θέσεων να είναι τυχαία τοποθετημένα εμπόδια. Χρησιμοποιήθηκαν 2 ρομπότ για την εξερεύνηση ενώ το εύρος ανίχνευσης των ρομπότ είναι k = 1. Από το ιστόγραμμα παρατηρούμε ότι, σε 10 περιπτώσεις τα ρομπότ χρειάστηκαν από 150 μέχρι 159 βήματα για να εξερευνήσουν το χώρο, σε 28 περιπτώσεις χρειάστηκαν από 160 μέχρι 169 βήματα κ.ο.κ. Ο μέσος όρος των βημάτων εξερεύνησης είναι βήματα και στο σύνολο βημάτων (162,170) (c = 8 ), ανήκει το 50% των περιπτώσεων. Ομοίως περιγράφονται και τα υπόλοιπα ιστογράμματα.

66 44 Κεφάλαιο 5 Στατιστική Ανάλυση Αποτελεσμάτων 5.2 Ανάλυση Συμπερασμάτων Σύγκριση του εύρους ανίχνευσης k=1 και k=2 για κάθε στρατηγική ελέγχου. Αρχικά συγκρίναμε τα αποτελέσματα που έχουμε υπολογίσει ανά στρατηγική ελέγχου, ώστε να βρούμε ποιο από τα δύο εύρη ανίχνευσης που χρησιμοποιήσαμε είναι καλύτερο (k = 1 ή k = 2). Δημιουργήσαμε λοιπόν ένα πίνακα για κάθε στρατηγική όπου περιέχει τις τιμές των μέσων όρων και της σταθεράς c για τις περιπτώσεις όπου k = 1, 2 και για αριθμό ρομπότ λ = 2, 3, 4. Παρατηρούμε ότι για κάθε στρατηγική ελέγχου, τα αποτελέσματα είναι καλύτερα στην περίπτωση που το εύρος ανίχνευσης των ρομπότ είναι k = 1. k=1 k=2 mean c mean c λ= (162,170) (172,190) λ= (109,119) (119,132) λ= (85,95) (94,103) Πίνακας 5.1: Αποτελέσματα συνεργατικής στρατηγικής ελέγχου με τυχαία κίνηση. k=1 k=2 mean c mean c λ= (160,180) (177,203) λ= (125,141) (127,154) λ= (93,110) (97,120) Πίνακας 5.2: Αποτελέσματα συνεργατικής στρατηγικής ελέγχου Without. k=1 k=2 mean c mean c λ= (161,179) (173,194) λ= (114,130) (132,156) λ= (90,115) (100,120) Πίνακας 5.3: Αποτελέσματα συνεργατικής στρατηγικής ελέγχου με απώθηση τροχιών. Στον Πίνακα 5.1 παρατηρούμε ότι εφαρμόζοντας την στρατηγική ελέγχου τυχαίας κίνησης σε χώρους μεγέθους με 25% τυχαία τοποθετημένα εμπόδια, για εύρος ανίχνευσης k = 1 και k = 2, έχουμε καλύτερο μέσο όρο βημάτων στην περίπτωση όπου k = 1. Επίσης η τιμή της σταθεράς c είναι μικρότερη όταν k = 1 που σημαίνει ότι η στρατηγική είναι πιο αποτελεσματική. Επίσης βγάζουμε τα ίδια συμπεράσματα όταν αυξήσουμε τον αριθμό των ρομπότ από 2 σε 3 ή 4. Μόνο στην περίπτωση των τεσσάρων ρομπότ η σταθερά c είναι μικρότερη όταν

67 Κεφάλαιο 5 Στατιστική Ανάλυση Αποτελεσμάτων 45 το εύρος ανίχνευσης είναι k = 2 (9 έναντι 10), όμως αντίθετα ο μέσος όρος είναι αρκετά μεγαλύτερος (90 έναντι 98). Συμπεράνουμε ότι για εύρος ανίχνευσης k = 1 η στρατηγική με τυχαία κίνηση πετυχαίνει καλύτερα αποτελέσματα. Ομοίως για τους Πίνακες 5.1 και 5.2, παρατηρούμε πως έχουμε παρόμοια αποτελέσματα. Δηλαδή, για τις στρατηγικές Without και απώθησης τροχιών και για αριθμό ρομπότ λ = 2, 3, 4 έχουμε καλύτερους μέσους όρους και μικρότερη τιμή στην σταθερά c όταν το εύρος ανίχνευσης είναι k = 1 από όταν k = 2. Οπότε μπορούμε τελικά να ισχυριστούμε ότι, με την προϋπόθεση πως εφαρμόζουμε τα επίπεδα βαρών στους χώρους ανίχνευσης, οι τρεις στρατηγικές ελέγχου φέρουν καλύτερα αποτελέσματα όταν το εύρος ανίχνευσης των ρομπότ είναι k = 1. Επιπλέον, αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε εύρος ανίχνευσης k = 2, δεν θα πρέπει να εφαρμόσουμε τα επίπεδα βαρών στους χώρους ανίχνευσης Σύγκριση των τριών στρατηγικών εξερεύνησης. λ=2 λ=3 λ=4 Τυχαία κίνηση Without Απώθηση Τροχιών mean c 8(162,170) 20(160,180) 18(161,179) mean c 10(109,119) 16(125,141) 16(114,130) mean c 10(85,95) 17(93,110) 15(90,115) Πίνακας 5.4: Αποτελέσματα κάθε στρατηγικής ελέγχου για εύρος ανίχνευσης k=1. Αφού καταλήξαμε στην προηγούμενη ενότητα, ότι το εύρος ανίχνευσης λ = 1 δίνει καλύτερα αποτελέσματα από το k = 2, δημιουργήσαμε τον Πίνακα 5.4 με τα αποτελέσματα και των τριών στρατηγικών ελέγχου για k = 1 και για αριθμό ρομπότ λ = 2, 3, 4, που πήραμε από τα ιστογράμματα. Παρατηρούμε ότι η στρατηγική ελέγχου τυχαίας κίνησης έχει καλύτερα αποτελέσματα από τις άλλες δύο στρατηγικές. Πιο συγκεκριμένα, και για τις τρεις περιπτώσεις, δηλαδή λ = 2,3,4, η στρατηγική τυχαίας κίνησης έχει το χαμηλότερο μέσο όρο βημάτων και την την χαμηλότερη τιμή στην σταθερά c, κάτι που αποδεικνύει την αποτελεσματικότητα της συγκεκριμένης στρατηγικής. Όσον αφορά της στρατηγικές Without και απώθησης τροχιών, διαπιστώσαμε ότι η στρατηγική WithMaxMin είναι καλύτερη από την στρατηγική απώθησης τροχιών.

68

69 Κεφάλαιο 6 Προτάσεις για περαιτέρω Έρευνα Ο στόχος της εργασίας μας ήταν να δημιουργήσουμε μία αποτελεσματική στρατηγική ελέγχου εξερεύνησης χώρου από αυτόνομα ρομπότ. Ξεκινήσαμε λοιπόν την ανάλυση θεωρώντας κάποιες συνθήκες αμετάβλητες, ώστε να μπορούμε να μελετήσουμε αποκλειστικά τις τροχιές που διαγράφουν τα ρομπότ. Αξίζει να αναφέρουμε πως μπορούν να επηρεαστούν τα αποτελέσματά μας, αν αλλάξουμε τις αρχικές μας συνθήκες Χώρος ανίχνευσης. Αρχικά θεωρήσαμε ότι κάθε ρομπότ μπορεί να ανιχνεύσει ένα συγκεκριμένο χώρο γύρω του και πως ανεξάρτητα από την θέση των εμποδίων, το ρομπότ ανιχνεύει τα πάντα εντός αυτού του χώρου. Δηλαδή, το ρομπότ μπορεί να ανιχνεύσει τι υπάρχει πίσω από εμπόδια. Στην πραγματικότητα όμως οι αισθητήρες ενός ρομπότ ίσως να μην δύναται να ανιχνεύσουν τι βρίσκεται πίσω από ένα εμπόδιο. Η ανίχνευση του χώρου πίσω από εμπόδια είναι ένα πραγματικό πρόβλημα και για αυτό το λόγο αξίζει να μελετηθεί σαν επιπλέον συνθήκη στις στρατηγικές που δημιουργήσαμε. Ένας τρόπος να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα αυτό, είναι το ρομπότ, να θεωρεί πως ό,τι υπάρχει πίσω από κάποιο εμπόδιο είναι και αυτό εμπόδιο Περιορισμένο εύρος επικοινωνίας. Η επικοινωνία μεταξύ των ρομπότ θεωρήσαμε πως είναι εφικτή, ανεξάρτητα της απόστασης που υπάρχει μεταξύ τους. Στην πραγματικότητα όμως οι δυνατότητες των ασύρματων συστημάτων επικοινωνίας περιορίζονται σε ένα συγκεκριμένο εύρος απόστασης με αποτέλεσμα η ανταλλαγή πληροφοριών να είναι δυνατή μόνο ανάμεσα σε γειτονικά ρομπότ, δηλαδή ρομπότ που βρίσκονται κοντά το ένα με το άλλο. Θα μπορούσαμε λοιπόν να 47

70 48 Κεφάλαιο 6 Προτάσεις για περαιτέρω Έρευνα λάβουμε υπόψιν αυτόν το παράγοντα κάνοντας τις απαραίτητες αλλαγές στις στρατηγικές ελέγχου. Για να επιλύσουμε το πρόβλημα του περιορισμένου εύρους επικοινωνίας μπορούμε να υπολογίζουμε κάθε φορά την απόσταση ενός ρομπότ από τα υπόλοιπα. Η ανταλλαγή πληροφοριών θα επιτρέπεται μόνο όταν αυτή η απόσταση είναι μικρότερη ή ίση με μία τιμή c. Αφού δύο ρομπότ έχουν ανταλλάξει πληροφορίες μεταξύ τους, αυτές οι πληροφορίες αποθηκεύονται στη μνήμη του κάθε ρομπότ Αποφυγή Deadolck. Κατά την εκτέλεση των πειραμάτων, υπήρξαν περιπτώσεις όπου τα ρομπότ δεν μπόρεσαν να ολοκληρώσουν την εξερεύνηση του χώρου. Συγκεκριμένα, αφού διάσχισαν ένα τμήμα του χώρου, δεν μπορούσαν να μεταβούν σε μία επόμενη θέση, αναγκάζοντάς τα να παραμείνουν ακίνητα. Μελετώντας αυτές τις περιπτώσεις διαπιστώσαμε ότι το πρόβλημα υπήρχε όταν των ρομπότ βρίσκονταν σε γειτονικές θέσεις και συνεχώς υπολόγιζαν την επόμενη θέση τους να είναι θέση κάποιου άλλου ρομπότ. Στο παρακάτω Σχήμα παραθέτουμε μία τέτοια περίπτωση. Σχήμα 6.1: Περίπτωση Deadlock. Ένας τρόπος για να αποφύγουμε τέτοια deadlocks να αποφύγουμε να βρίσκονται τα ρομπότ σε κοινό χώρο ανίχνευσης. Δηλαδή όταν τα ρομπότ πλησιάζουν πολύ το ένα το άλλο, να αναγκάζονται να απομακρύνονται από τον χώρο ανίχνευσης των άλλων ρομπότ. Με αυτόν τον τρόπο δεν υπάρχει κίνδυνος να είναι κατειλημμένη η επόμενη θέση των ρομπότ.

71 Παράρτημα Α Α.1 Γραφικό Περιβάλλον Χρήστη (Graphical User Interface) Για να έχουμε μία οπτική εποπτεία των αποτελεσμάτων και της τροχιάς που ακολουθούν τα ρομπότ δημιουργήσαμε ένα Γραφικό Περιβάλλον Χρήστη (Graphical User Interface) σε γλώσσα προγραμματισμού MATLAB, στο οποίο μπορούμε να αλλάζουμε διάφορες παραμέτρους και να εξετάζουμε τα αποτελέσματα. Το Γραφικό αυτό περιβάλλον το ονομάσαμε GridGui. Α.1.1 Εισαγωγή στο GridGui και είσοδος παραμέτρων Κατά την εκκίνηση του προγράμματος εμφανίζεται ένα παράθυρο το οποίο έχει δύο κάθετες γραμμές εργασιών, αριστερά και δεξιά. Η δεξιά στήλη εργασιών, κατά την εκκίνηση, βρίσκεται σε μία κατάσταση αναμονής μέχρι ο χρήστης να εισάγει τις απαραίτητες παραμέτρους (Σχήμα 5.1). Σχήμα 2: GUI: Παράθυρο εκκίνησης. Αναλύοντας τις επιλογές, από πάνω προς τα κάτω, που υπάρχουν στην αριστερή γραμμή εργασιών, ο χρήστης εισάγει το μέγεθος του χώρου που θέλει να δημιουργήσει. Στα δύο πεδία πληκτρολογεί τις γραμμές και τι στήλες και πατώντας το κουμπί draw, στη θέση της 49

72 50 Παράρτημα κεντρικής εικόνας στο παράθυρο εμφανίζεται ο χώρος διαιρεμένος σε τετράγωνα (Σχήμα 5.2). Ο χώρος αυτός είναι άδειος και πρέπει ο χρήστης, αν το επιθυμεί, να εισάγει εμπόδια. Η εισαγωγεί των εμποδίων μπορεί να γίνει με τρεις τρόπους. rows columns Σχήμα 3: GUI: Εισαγωγή διαστάσεων χώρου. Μπορεί να επιλέξει την επιλογή Random Obstacles όπου μπορεί να πληκτρολογήσει ένα ποσοστό επί του συνολικού πλήθους τετραγώνων του χώρου για να είναι εμπόδια και πατώντας το κουμπί Insert επιλέγονται με τυχαίο τρόπο. Σχήμα 4: GUI: Εισαγωγη εμποδίων - 1ος τρόπος. Επίσης ο χρήστης μπορεί να διαλέξει χειροκίνητα που να τοποθετηθούν τα εμπόδια. Πατώντας το κουμπί Insert/Delete του δίνεται η δυνατότητα να κάνει κλικ με το ποντίκι απάνω στο τετράγωνο που θέλει να γίνει εμπόδιο ή μπορεί να μετατρέψει ένα εμπόδιο σε ελεύθερο τετράγωνο. Αυτή η επιλογή είναι διαθέσιμη ακόμα και αν ο χρήστης έχει επιλέξει να χρησιμοποιήσει τυχαία εμπόδια. Σχήμα 5: GUI: Εισαγωγη εμποδίων - 2ος τρόπος.

73 Παράρτημα 51 Ο τρίτος τρόπος για να εισάγει ο χρήστης εμπόδια είναι μέσω κάποιου αρχείου. Μπορεί δηλαδή πατώντας το κουμπί Load να επιλέξει ένα αρχείο που είναι αποθηκευμένο από πριν και να εισάγει τα εμπόδια. Σχήμα 6: GUI: Εισαγωγη εμποδίων - 3ος τρόπος. Στη συνέχεια ο χρήστης εισάγει την αρχική θέση των ρομπότ έχοντας την δυνατότητα να χρησιμοποιήσει δύο διαφορετικούς τρόπους. Μπορεί να εισάγει τα ρομπότ πατώντας στο κουμπί Insert και μετά κάνοντας κλικ την θέση που επιθυμεί. Για να εισάγει περισσότερα ρομπότ, απλά κάνει κλικ σε περισσότερες από μία θέσεις. Σχήμα 7: GUI: Εισαγωγη αρχικών θέσεων ρομπότ - 1ος τρόπος. Ο δεύτερος τρόπος είναι να πληκτρολογήσει ο χρήστης τον αριθμό ή τους αριθμούς των θέσεων από τις οποίες θέλει να ξεκινήσουν τα ρομπότ. Όποια από τις δύο επιλογές και να χρησιμοποιήσει, ο χρήστης χρειάζεται να το δηλώσει κάνοντας κλικ σε έναν από τα δύο κυκλικά κουμπιά που βρίσκονται στο πεδίο Robots. Μία ακόμα από τις επιλογές που καθορίζει ο χρήστης είναι το εύρος όρασης που έχει το κάθε ρομπότ. Οπότε στο πεδίο Robot Range μπορεί να πληκτρολογήσει 1 ή 2 που σημαίνει πως όλα τα ρομπότ θα έχουν εύρος όρασης 1 ή 2 αντίστοιχα. Αν θέλουμε τα ρομπότ να έχουν

74 52 Παράρτημα Σχήμα 8: GUI: Εισαγωγη αρχικών θέσεων ρομπότ - 2ος τρόπος. διαφορετικό εύρος όρασης, μπορεί να εισάγει ένα διάνυσμα από 1 και 2 όπου η κάθε τιμή αντιστοιχίζεται με σειρά στο εύρος όρασης του πρώτου ρομπότ, του δεύτερου κ.ο.κ. Σχήμα 9: GUI: Εισαγωγη εύρους όρασης ρομπότ. Τελευταία δυνατότητα που δίνουμε στον χρήστη είναι να αποθηκεύσει τον λαβύρινθο που δημιούργησε. Δηλαδή αποθηκεύεται το μέγεθος το χώρου και τα εμπόδια που υπάρχουν σε αυτόν, αλλά όχι οι αρχικές θέσεις των ρομπότ. Επίσης αν ήδη έχουμε έναν αποθηκευμένο χώρο, μπορούμε να τον φορτώσουμε πατώντας Load στο πεδίο Save/Load maze. Σχήμα 10: GUI: Αποθήκευση ή φόρτωση του λαβυρίνθου.

75 Παράρτημα 53 Α.1.2 Υπολογισμός της τροχιάς των ρομπότ Αφού ο χρήστης εισάγει τις παραμέτρους που επιθυμεί, πατώντας το κουμπί Calculate Path υπολογίζονται οι τροχιές των ρομπότ. Αφού ολοκληρωθεί ο υπολογισμός εμφανίζονται στον χώρο οι τροχιές που έχουν διασχίσει τα ρομπότ με διαφορετικό χρώμα και δεξιά του χώρου αναγράφονται οι τροχιές ολογράφως όπως τις διέσχισε το κάθε ρομπότ, όπως επίσης παραθέτονται το πλήθος των βημάτων που έκαναν και ο συνολικός χρόνος υπολογισμού του αλγορίθμου. Τέλος ο χρήστης μπορεί να αποθηκεύσει τις τροχιές αυτές πατώντας το κουμπί Save του πεδίου Save Path στην δεξιά γραμμή εργασιών (). Σχήμα 11: GUI: Έναρξης κάλυψης χώρου και υπολογισμός τροχιών. Σχήμα 12: GUI: Αποτελέσματα κάλυψης χώρου. Α.1.3 Παράδειγμα εκτέλεσης του GridGui Χρησιμοποιώντας το GriGui, δημιουργήσαμε ένα χώρο τετραγωνικού χώρου διαστάσεων 15x15 στον οποίο εισάγαμε τυχαία εμπόδια. Τα εμπόδια αυτά αποτελούν το 35% του συνολικού πλήθους των θέσεων στο χώρο. Εισάγαμε επίσης τις αρχικές θέσεις πέντε ρομπότ (κίτρινο χρώμα) για τα οποία επιλέξαμε να έχουν όλα εύρος όρασης range2. Χωρίς να

76 54 Παράρτημα Σχήμα 13: GUI: Αποθήκευση τροχιών. αποθηκεύσουμε το χώρο, ξεκινήσαμε την κάλυψη της οποίας τα αποτελέσματα φαίνονται στο πεδίο δεξιά (Σχήμα ). Σχήμα 14: GUI: Παράδειγμα κάλυψης χώρου μεγέθους 15x15.