ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΡΑΞΗΣ Μια συνάρτηση f : A B C αντιστοιχίζει σε κάθε ζεύγος (a,b) (με Γράφουμε τότε a A και b B ) ένα στοιχείο c C f(a,b)c Η συνάρτηση αυτή μπορεί να χαρακτηριστεί και ως πράξη Εσωτερική πράξη σε ένα σύνολο Α είναι μια συνάρτηση : A A A Εξωτερική πράξη στο Α (με συντελεστές στο Κ) είναι μια συνάρτηση : K A A Και στις δύο περιπτώσεις, αντί για ( a, b) συνηθίζουμε να γράφουμε a b ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός στο σύνολο R των πραγματικών αριθμών είναι εσωτερικές πράξεις Αντιστοιχίζουν σε ένα κάθε ζεύγος (x,y) πραγματικών αριθμών έναν νέο πραγματικό αριθμό, το άθροισμά τους x y και γινόμενό τους x y αντίστοιχα M Στο σύνολο των τετραγωνικών πινάκων x, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός πινάκων είναι πράξεις εσωτερικές, ενώ ο πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα είναι πράξη εξωτερική (από το R στο ) M M Στη συνέχεια του κεφαλαίου αυτού θα θεωρούμε μια εσωτερική πράξη που καταχρηστικά θα ονομάζουμε «πρόσθεση» και μια εξωτερική πράξη που θα ονομάζουμε «εξωτερικό πολλαπλασιασμό» ή «βαθμωτό πολλαπλασιασμό» 7

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ Έστω V ένα μη κενό σύνολο εφοδιασμένο με δύο πράξεις, μια εσωτερική και μία εξωτερική: (πρόσθεση) (βαθμωτός πολλαπλασιασμός με συντελεστές στο R) Δηλαδή ισχύουν (i) V / (ii) για κάθε u, v V, u v V (ή όπως αλλιώς λέμε, το V είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση) (iii) για κάθε λ R, u V, u v V (ή όπως αλλιώς λέμε, το V είναι κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό) Το σύνολο V θα λέγεται διανυσματικός χώρος (στο R), αν ισχύουν οι επόμενες οκτώ ιδιότητες Ως προς την πρόσθεση: Α για κάθε u, v V, u v v u (αντιμεταθετική ιδιότητα) Α για κάθε u, v, w V, ( u v) w u ( v w) (προσεταιριστική ιδιότητα) Α υπάρχει ένα στοιχείο V τέτοιο ώστε για κάθε u V u u u, Το λέγεται ουδέτερο στοιχείο του V A4 για κάθε u V, υπάρχει ένα στοιχείο u V, τέτοιο ώστε u u u u Το u ονομάζεται συμμετρικό στοιχείο του u και συμβολίζεται u Ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιαμό: για κάθε λ, μ R και u, v V Β λ ( u v) λ u λ v Β ( λ μ) u λ u μ u Β ( λμ ) u λ ( μ u) Β4 u u Τα στοιχεία ενός διανυσματικού χώρου θα λέγονται και διανύσματα Σημείωση: όταν σε ένα μη κενό σύνολο V με μια εσωτερική πράξη ισχύουν οι ιδιότητες Α-Α4 λέμε ότι το σύνολο αποτελεί ομάδα Εάν επιπλέον ισχύει και η ιδιότητα A λέμε ότι αποτελεί αντιμεταθετική ομάδα 8

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ) Το σύνολο V M όλων των x πινάκων με τις συνηθισμένες πράξεις (πρόσθεση πινάκων) και (πολλαπλασιασμός αριθμού με πίνακα) είναι διανυσματικός χώρος Προφανώς το σύνολο V είναι μη κενό και κλειστό ως προς τις δύο πράξεις Τις ιδιότητες Α-Α4 και Β-Β4 τις έχουμε δει στο Κεφάλαιο Το ουδέτερο στοιχείο είναι ο x μηδενικός πίνακας ) Το σύνολο V P(x) όλων των πολυωνύμων με πραγματικούς συντελεστές έχει στοιχεία της μορφής p( x) a x a x a x a Το άθροισμα πολυωνύμων και το γινόμενο πραγματικού αριθμού με πολυώνυμο ορίζονται με τον συνήθη τρόπο, δηλαδή αν λ R και p( x), q( x) P( x) με και έστω m, τότε p( x) a a x a x ax m m m x bm x b x q( x) b b p ( x) q( x) ( a m m b m b ) x ( a b ) x ( a b ) x ( a ) P(x) (θεωρώντας τους τυχόν επιπλέον συντελεστές b b, b ίσους με ),, m λ p(x) λα x λa x λa x λa P( ) x Εύκολα δείχνεται ότι ισχύουν οι ιδιότητες Α-Α4 και Β-Β4, ενώ το ουδέτερο στοιχείο είναι το μηδενικό πολυώνυμο ( x ) ) Έστω V M το σύνολο όλων των πινάκων στο R Αν Α είναι ένας πίνακας x και Β ένας πίνακας 7x9, τότε δεν ορίζεται το άθροισμα ΑΒ, δηλαδή το Μ δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση πινάκων Συνεπώς το Μ με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού δεν αποτελεί διανυσματικό χώρο 4) Έστω V R R R R {( x, y, z) / x, y, z R}, με τις συνήθεις πράξεις ( x, y, z) ( x, y, z ) ( x x, y y, z z ) λ ( x, y, z) ( λ x, λy, λz) Εύκολα διαπιστώνουμε ότι αποτελεί διανυσματικό χώρο με ουδέτερο στοιχείο το μηδενικό διάνυσμα (,,) 9

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σημείωση: Γενικά, το σύνολο R, όλων των -άδων πραγματικών αριθμών με τις συνήθεις πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού αποτελεί διανυσματικό χώρο 5) Έστω VΖ Ζ Ζ Ζ {( x, y, z) / x, y, z Z}, με τις συνήθεις πράξεις ( x, y, z) ( x, y, z ) ( x x, y y, z z ) λ ( x, y, z) ( λ x, λy, λz) Το σύνολο είναι μη κενό διότι (,,) Z, είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση αλλά όχι ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό, διότι πχ αν λ και u (,,) Z, τότε λu (,, ) Συνεπώς το σύνολο VΖ δεν αποτελεί διανυσματικό χώρο Z 6) Έστω VR {( x, y) / x, y R} Ορίζουμε δύο πράξεις και ως εξής: ( x, y) ( x, y ) ( x x, y y ) λ ( x, y) ( λ x,) Ισχύουν όλες οι ιδιότητες του ορισμού εκτός από την ιδιότητα Β4 (δηλ u u ), διότι πχ αν u (,) τότε u (,) (,) u Συνεπώς το σύνολο R με τις παραπάνω πράξεις δεν αποτελεί διανυσματικό χώρο Σε έναν διανυσματικό χώρο ισχύουν τα εξής: u για κάθε u V λ για κάθε λ R Αν λu όπου λ R και u V, τότε λ ή u ( λ) u λ( u) λu για κάθε λ R και u V Η απόδειξή τους είναι απλή και αφήνεται ως άσκηση ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ Έστω V ένας διανυσματικός χώρος και W V Το W θα λέγεται διανυσματικός υποχώρος του V εάν είναι και το ίδιο διανυσματικός χώρος με τις ίδιες πράξεις Το παρακάτω θεώρημα μας απαλλάσσει από τις 8 ιδιότητες του ορισμού για να αποφανθούμε ότι έχουμε διανυσματικό χώρο 4

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω V ένας διανυσματικός χώρος και διανυσματικός υποχώρος του V εάν και μόνο εάν W V Το W είναι (i) (ii) (iii) W, Το W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση Το W είναι κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό Εύκολα μπορεί να διαπιστωθεί ότι ισχύουν οι οκτώ ιδιότητες του ορισμού του διανυσματικού χώρου Σημείωση: Για κάθε διανυσματικό χώρο V υπάρχουν δύο «στοιχειώδεις» υποχώροι Το ίδιο το V και το {} Το πρώτο είναι προφανές διότι το V είναι υποσύνολο του εαυτού του και είναι διανυσματικός χώρος Για το δεύτερο έχουμε (i) {}, (ii) Αν u, v {}, τότε u v, οπότε u v {}, δηλαδή το {} είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση (iii) Αν λ R και u {}, τότε u, οπότε λu {}, δηλαδή το {} είναι κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ) Έστω V R {( a, c) a, c R} Θα εξετάσουμε αν τα παρακάτω υποσύνολα του R είναι διανυσματικοί υποχώροι: W {( a, ) a, b R} W {( a, ) a, b R} W {( a, ) a, b R} {(,,)} W 4 {( a, a, a) a R} W 5 {( a, a b) a, b R} Το υποσύνολo W είναι διανυσματικός υποχώρος του R διότι (i) (,,) W (για ab) (ii) είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση καθώς για u, v W με u ( a, ) και v ( a, b,), ισχύει u v ( a a, b b,) W (iii) είναι κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό καθώς για λ R και u W με u ( a, ), ισχύει λ u ( λa, λ) W 4

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Το υποσύνολo W δεν είναι διανυσματικός υποχώρος του (,,) W R διότι Το υποσύνολo W δεν είναι διανυσματικός υποχώρος του R διότι παρόλο που (,,) W, το σύνολο δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση (ούτε ως προς τον πολλαπλασιασμό) Πράγματι, αν u ( a, ) και v ( a, b,), τότε u v ( a a, b b,) W Το υποσύνολo W 4 είναι διανυσματικός υποχώρος του R διότι (i) (,,) W 4 (για a) (ii) είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση καθώς για u, v W4 με u ( a, a, a) και v ( a, a, a ), ισχύει u v ( a a, a a, a a ) W4 (iii) είναι κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό καθώς για λ R και u W 4 με u ( a, a, a), ισχύει λ u ( λa, λa, λa) W Το υποσύνολo W 5 είναι διανυσματικός υποχώρος του 4 R διότι (i) (,,) W 5 (για ab) (ii) είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση καθώς για u, v W5 με u ( a, a b) και v ( a, b, a b ), ισχύει u v ( a a, b b, a b a b ) ( a a, b b,( a a ) ( b b )) W5 (iii) είναι κλειστό ως προς τον βαθμωτό πολλαπλασιασμό καθώς για λ R και u W 5 με u ( a, a b), ισχύει λ u ( λ a, λ λ( a b)) ( λ a, λ λa ( λb)) W ) Έστω V M, ο διανυσματικός χώρος των x πινάκων στο R Θα εξετάσουμε αν το υποσύνολο των άνω τριγωνικών πινάκων a b c W { d e a, c, d, e, f R} f είναι διανυσματικός υποχώρος: 5 (i) W (για abcdef) 4

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ a b c Έστω λ R και u, v W, με u d e και f Τότε, a v b d c e f a (ii) u v b d c a b c a a e d e f f b b d d c c e e f f W (iii) λu λa λb λd λc λe λf W Συνεπώς, το W είναι διανυσματικός υποχώρος του V Σημείωση: Όμοια δείχνουμε ότι το σύνολο των κάτω τριγωνικών πινάκων είναι διανυσματικός υποχώρος του Το αποτέλεσμα γενικεύεται φανερά για τον M διανυσματικό χώρο M ) Έστω V P(x), ο διανυσματικός χώρος των πολυωνύμων στο R Θα εξετάσουμε αν το υποσύνολό του P (x), που αποτελείται από όλα τα πολυώνυμα βαθμού το πολύ (συμπεριλαμβανομένου του μηδενικού πολυωνύμου που χαρακτηρίζεται συχνά ως αδιαβάθμητο) είναι διανυσματικός υποχώρος του V (i) Το μηδενικό πολυώνυμο ( x ) ανήκει στο (x) Έστω λ R και p( x), q( x) P ( x) (ii) To πολυώνυμο p ( x) q( x) έχει βαθμό μικρότερο ή ίσο του (είτε είναι το μηδενικό πολυώνυμο) άρα ανήκει στο P (x) (iii) To πολυώνυμο λ p(x) έχει βαθμό μικρότερο ή ίσο του (είτε είναι το μηδενικό πολυώνυμο) άρα ανήκει στο P (x) P Συνεπώς, το P (x) είναι διανυσματικός υποχώρος του V P(x) ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω V ένας διανυσματικός χώρος και W, W δύο υποχώροι του V Το υποσύνολο W W W είναι επίσης διανυσματικός υποχώρος του V Απόδειξη: Θα δείξουμε τις τρεις ιδιότητες του υποχώρου για το W: 4

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ (i) Εφόσον W και W, ισχύει W W W u, v W (ii) Έστω W W Τότε W, W είναι υποχώροι του V θα ισχύει Άρα u v W W W u v W και u, v W και u v W u, v W Εφόσον τα υποσύνολα (iii) Έστω λ R και u W W W Τότε u W και υποσύνολα, W είναι υποχώροι του V θα ισχύει W u W Εφόσον τα λu W και λu W Άρα λu W W W Συνεπώς, το W είναι διανυσματικός υποχώρος του V Σημείωση: Το υποσύνολο W W Για παράδειγμα, έστω V R και δεν είναι απαραίτητα διανυσματικός υποχώρος W {( a,) a }, W {(, b) b } R R Εύκολα διαπιστώνουμε ότι τα υποσύνολα W, W είναι υποχώροι του V Ωστόσο τo W W δεν είναι υποχώρος διότι δεν είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση Πράγματι, για u (,) και v (,5) u W W και v W W ενώ v (,5) W W u 4 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΣ ΧΩΡΟΣ ΠΑΡΑΓΟΜΕΝΟΣ ΑΠΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Έστω V ένας διανυσματικός χώρος και u, u,, u V Κάθε διάνυσμα της μορφής λ u λ u λ u όπου λ, λ,, λ R, λέγεται γραμμικός συνδυασμός των u, u,, u Το σύνολο αυτών των γραμμικών συνδυασμών συμβολίζεται u u,,, u και αποτελεί διανυσματικό υποχώρο του V Λέμε ότι είναι ο χώρος που παράγεται από τα u, u,, u 44

9 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σημείωση: Αν S u, u,, u }, τότε γράφουμε και S αντί για u, u,, u { Ας αποδείξουμε τον ισχυρισμό μας ΘΕΩΡΗΜΑ: Το σύνολο W u,,, u u είναι διανυσματικός υποχώρος του V Απόδειξη: Θα δείξουμε τις τρεις ιδιότητες του υποχώρου: (i) u u u W Έστω λ R και u, v W, με Τότε, u λ u λu λu και v λ u λ u λu (ii) u v ( λ u λ u λ u ) ( λ u λ u λ u ( λ u λ u ) ( λu λ u ) ( λu λ u ) λ λ ) u ( λ λ ) u ( λ ) u W ) ( λ (iii) λ u λ( λ u λ u λ u ) λ ( λ u ) λ ( λ u ) λ ( λ u ) ( λλ ) u ( λλ) u ( λλ ) u W ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω V R {( a, c) a, c R} και u (,, ), u (,, ) Ο χώρος που παράγουν τα δύο διανύσματα είναι u,u { λ u λu λ, λ R} { λ (,,) λ(,,) λ, λ R} {( λ,,) (, λ,) λ, λ R} {( λ, λ,) λ, λ R} Ο υποχώρος μπορεί να γραφεί και u,u { ( a, ) a, b R} Σημείωση: Παραστατικά, ο αρχικός διανυσματικός χώρος είναι ο γνωστός μας τρισδιάστατος χώρος R, τα u,u είναι τα μοναδιαία διανύσματα στους άξονες Οx και Οy αντίστοιχα, ενώ ο υποχώρος που παράγουν είναι το επίπεδο Οxy Πράγματι, κάθε διάνυσμα του επιπέδου Οxy γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των u,u (ουσιαστικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι ο υποχώρος είναι ο δισδιάστατος χώρος R ) 45

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ z u u y x 5 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΕΞΑΡΤΗΣΗ ΚΑΙ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ Έστω V ένας διανυσματικός χώρος Τα διανύσματα u, u,, u V λέγονται γραμμικά εξαρτημένα αν υπάρχουν συντελεστές λ, λ,, λ R, όχι όλοι μηδέν τέτοιοι ώστε λ u λ u λ u ν Διαφορετικά τα διανύσματα θα λέγονται γραμμικά ανεξάρτητα Δηλαδή, τα διανύσματα u, u,, u V είναι γραμμικά ανεξάρτητα αν λ u λu λν u λ λ λ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ) Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο R για τα διανύσματα u (,) και u (,4) παρατηρούμε ότι u u (,) οπότε τα δύο διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα για τα διανύσματα u (,) και u (,) παρατηρούμε ότι λu λu λ (,) λ(,) (,) ( λ,) (, λ) (,) λ, λ ) (,) ( ουσιαστικά είναι γραμμικά εξαρτημένα διότι το ένα εξαρτάται από το άλλο, καθώς u u 46

11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ λ οπότε τα δύο διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα για τα διανύσματα u (,) και u (, ) παρατηρούμε ότι λu λu λ (,) λ(,) (,) ( λ,) ( λ, λ) (,) λ λ, λ ) (,) ( λ λ λ λ λ οπότε τα δύο διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα a ) Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο VM x c διανύσματα: u, u, α) Να βρεθεί ο υποχώρος u, u, u β) Να δειχθεί ότι τα u, u u είναι γραμμικά ανεξάρτητα, u b a, c, d R και τα d γ) Αν u4, να δειχθεί ότι τα u, u, u, u4 είναι γραμμικά εξαρτημένα Έχουμε, α) u, u, u { λ u λu λu λ, λ, λ R} { λ λ λ λ, λ, λ R} λ λ, λ, λ R} λ λ Πρόκειται για τον υποχώρο των x κάτω τριγωνικών πινάκων β) λu λu λu λ λ λ λ λ λ 47

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ λ λ οπότε τα τρία διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα γ) Παρατηρούμε ότι u u u, δηλαδή 4 u u u u 4 άρα τα διανύσματα είναι γραμμικά εξαρτημένα 6 ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΑΙ ΒΑΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΥ ΧΩΡΟΥ Έστω V ένας διανυσματικός χώρος Ένα σύνολο S { u, u,, u} θα λέγεται βάση του διανυσματικού χώρου αν (i) Τα διανύσματα u, u,, u είναι γραμμικά ανεξάρτητα (ii) Κάθε διάνυσμα του V γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των u u,,, δηλ u, u,, u, u V ΘΕΩΡΗΜΑ: Το σύνολο S { u, u,, u} αποτελεί βάση του διανυσματικού χώρου V αν και μόνο αν κάθε διάνυσμα του V γράφεται με μοναδικό τρόπο σαν γραμμικός συνδυασμός των u, u,, u Απόδειξη: Έστω ότι το σύνολο S αποτελεί βάση του διανυσματικού χώρου V και u V Το u γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός της βάσης, δηλαδή υπάρχουν λ, λ,, λ R τέτοια ώστε u λ u λu λu (*) Έστω ότι το u γράφεται και με διαφορετικό τρόπο σαν γραμμικός συνδυασμός της βάσης, δηλαδή υπάρχουν λ, λ,, λ R τέτοια ώστε u λ u λ u λu (**) Αν αφαιρέσουμε τις σχέσεις (*) και (**) κατά μέλη παίρνουμε λ λ ) u ( λ λ ) u ( λ ) u ( λ κι επειδή τα διανύσματα u u,,, u είναι γραμμικά ανεξάρτητα παίρνουμε και τελικά λ λ λ λ λ λ 48

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ λ, λ λ,, λ λ δηλαδή οι εκφράσεις (*) και (**) είναι ταυτόσημες Αντίστροφα, έστω ότι κάθε διάνυσμα του V γράφεται με μοναδικό τρόπο σαν γραμμικός συνδυασμός των u u,, Θα δείξουμε ότι το S u, u,, u, u { } αποτελεί βάση του διανυσματικού χώρου Προφανώς u, u,, u V Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι τα διανύσματα u, u,, u είναι γραμμικά ανεξάρτητα Έστω Ισχύει επίσης λ u λu λu u u u Από τη μοναδικότητα της υπόθεσης παίρνουμε όπως ακριβώς θέλαμε λ, λ,, λ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ) Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο R Τα διανύσματα e (,,), e (,, ), e (,, ) αποτελούν βάση του R : (i) Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα: λ e λ e λ λ,,) λ (,,) (,, ) (,,) e ( λ ( λ, λ, λ (,,) λ λ λ ) (ii) Τα διανύσματα παράγουν το χώρο: Έστω u ( a, c) R Τότε εύκολα διαπιστώνουμε ότι το u γράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των e, e e :, u ae be ce Σημείωση: Η τελευταία έκφραση για το u είναι μοναδική Για παράδειγμα το διάνυσμα u (7,8,9) γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός της βάσης: u 7e 8e e 9 49

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Αντίθετα, αν θεωρήσουμε και το διάνυσμα e 4 (,, ), τα e, e, e, e4 είναι γραμμικά εξαρτημένα (άρα δεν αποτελούν βάση) και το u (7,8,9) δεν γράφεται με μοναδικό τρόπο ως γραμμικός συνδυασμός τους: u 7e 8e 9e e4 6e 7e 8e e 4 5e 6e 7e e4 κλπ ) Στον ίδιο χώρο R θα δείξουμε ότι τα διανύσματα u (,,), u (,, ), u (,, ) αποτελούν βάση (i) Τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα: λ u λ u λ λ,,) λ (,,) (,, ) (,,) u (ii) Τα διανύσματα παράγουν το χώρο: ( λ ( λ λ λ, λ λ, λ ) (,,) λ λ λ λ λ λ λ λ λ Έστω u ( a, c) R Αναζητούμε συντελεστές λ, λ λ R τέτοιους ώστε, ή ή u λ u λu λu ( a, c) λ (,,) λ(,,) λ(,,) ( a, c) λ λ λ, λ λ, ) ( λ Δηλαδή, αναζητούμε τη λύση του συστήματος λ λ λ a λ λ b λ c 5

15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προφανώς έχει τη λύση λ, λ, ) ( a b c, c), άρα το u γράφεται σαν ( λ, u, u γραμμικός συνδυασμός των u ) Θεωρούμε το διανυσματικό χώρο Τα διανύσματα a b c a, c, d, e, f R d e f Μ x e, e, e e 4, e5, e 6 αποτελούν βάση Η απόδειξη γίνεται όπως στο Παράδειγμα Εάν ο διανυσματικός χώρος V έχει μια βάση με διανύσματα, αποδεικνύεται ότι οποιαδήποτε βάση του V έχει επίσης διανύσματα Τότε λέμε ότι ο V έχει διάσταση και γράφουμε dim V Από τα προηγούμενα παραδείγματα συμπεραίνουμε ότι dim R και dimμ x 6 Γενικά, dim R dimμ mx m Πράγματι, η πιο οφθαλμοφανής βάση του R αποτελείται από τα διανύσματα e i e (,,,,), e (,,,,),, e (,,,,) όπου είναι το διάνυσμα που έχει παντού εκτός από την i-στή θέση όπου έχει Η βάση αυτή του R λέγεται κανονική Επίσης, η πιο φανερή βάση του Μ mx αποτελείται από τους m πίνακες e, με i {,,, m}, j {,,, } ij όπου e ij είναι ο πίνακας που έχει στη θέση i,j ενώ σε κάθε άλλη θέση έχει Η βάση αυτή του Μmx λέγεται κανονική η απόδειξη παραλείπεται 5

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω V P ( x) { ax ax ax a a, a, a, a R} Έχουμε δει ότι το V αποτελεί διανυσματικό χώρο Θεωρούμε τα πολυώνυμα e ( x) x, ), e ( x x e ( x) x, e ( x) Θα δείξουμε ότι αποτελούν βάση του V: (i) Τα πολυώνυμα είναι γραμμικά ανεξάρτητα: λ e ( x) λ e ( x) λ e ( x) λ 4 e ( x) [το μηδενικό πολυώνυμο] λ x λ x λ x λ 4 λ λ λ λ 4 (ii) Τα πολυώνυμα παράγουν το χώρο: Έστω p ( x) ax ax ax a V Προφανώς το p(x) γράφεται ως γραμμικός συνδυασμός των 4 πολυωνύμων: p(x) a e ( x ) a e ( x) a e ( x) a e ( x ) Συνεπώς τα 4 πολυώνυμα αποτελούν βάση του V P ( x) και άρα dim P ( x) 4 Γενικά, dim ( x) P Η προφανής βάση του ονομάζεται κανονική P (x) που αποτελείται από τα πολυώνυμα x,, x, x, Όπως έχουμε δει μέχρι τώρα, για να διαπιστώσουμε ότι ένα σύνολο διανυσμάτων αποτελεί βάση δείχνουμε δύο ιδιότητες: ότι είναι γραμμικά ανεξάρτητα και ότι παράγουν το χώρο Η πρώτη ιδιότητα δείχνεται σχετικά εύκολα ενώ η δεύτερη πολλές φορές απαιτεί αρκετές πράξεις Όταν γνωρίζουμε τη διάσταση του χώρου, το 5

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ επόμενο θεώρημα μας επιτρέπει να περιοριστούμε μόνο στη μία από τις δύο ιδιότητες Αναφέρεται χωρίς απόδειξη ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω V ένας διανυσματικός χώρος με dim V Τότε, Α Οποιαδήποτε ή περισσότερα διανύσματα είναι πάντοτε γραμμικά εξαρτημένα Β Οποιαδήποτε - ή λιγότερα διανύσματα δεν αρκούν για να παραγάγουν τον χώρο V Γ Εάν έχουμε ακριβώς διανύσματα τότε αυτά αποτελούν βάση του V αρκεί να ισχύει μόνο ένα από τα παρακάτω: τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα τα διανύσματα παράγουν το χώρο Δ Οποιαδήποτε k γραμμικά ανεξάρτητα διανύσματα, όπου k αποτελούν μέρος μιας βάσης του V, δηλαδή μπορούν να συμπληρωθούν σε μια βάση του V ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ) Τα διανύσματα u (,, ), u (5,,), u (,, ) αποτελούν βάση του R Εφόσον dim R αρκεί να δείξουμε ότι τα διανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα λ u λ u λ u λ (,, ) λ (5,,) λ (,, ) (,,) λ 5λ λ,λ λ,λ ) (,,) ( λ λ 5λ λ λ λ λ λ Το τελευταίο σύστημα έχει μόνο τη μηδενική λύση (αν λύσουμε πχ με επαυξημένο πίνακα) Άρα τα u, u u είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση του R, ) Τα πολυώνυμα p ( x) x, p ( x) x και p ( x) x αποτελούν βάση του P ( x) Εφόσον γνωρίζουμε ότι dim P ( x), αρκεί να δείξουμε ότι τα τρία πολυώνυμα είναι γραμμικά ανεξάρτητα λ p ( x) λ p ( x) λ p ( x) λ ( x ) λ ( x ) λ ( x ) λ x λ ) x λ λ ) ( λ ( λ λ λ λ λ λ λ 5

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ λ λ λ Άρα τα τρία πολυώνυμα είναι γραμμικά ανεξάρτητα και αποτελούν βάση του P ( x) 7 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΕΥΘΥ ΑΘΡΟΙΣΜΑ Έστω W και W δύο υποχώροι του διανυσματικού χώρου V Έχουμε δει ότι η τομή τους W W αποτελεί υποχώρο του V ενώ η ένωσή τους W W τους όχι απαραίτητα Ωστόσο, θα ορίσουμε έναν νέο υποχώρο του V ο οποίος θα περιέχει την ένωση αυτή Το άθροισμα των δύο υποχώρων W W αποτελείται από όλα τα αθροίσματα u v, όπου u W και v W Δηλαδή, W u v u W και v } W { W ΘΕΩΡΗΜΑ: Το άθροισμα W W δύο υποχώρων του διανυσματικού χώρου V αποτελεί επίσης διανυσματικό υποχώρο του V Απόδειξη: Θα δείξουμε τις τρεις ιδιότητες του διανυσματικού υποχώρου (i) Εφόσον και W, ισχύει W W W (ii) Θα δείξουμε ότι το σύνολο W W είναι κλειστό ως προς την πρόσθεση Έστω u v και u v δύο διανύσματά του, όπου u, u W και v, v W Εφόσον W και W είναι διανυσματικοί υποχώροι του V ισχύει ( u u ) W και ( v v ) W Άρα, ( u v) ( u v ) ( u u ) ( v v ) W W (iii) Θα δείξουμε ότι το W W είναι κλειστό ως προς το βαθμωτό πολλαπλασιασμό Έστω λ R και u v W W, όπου u W και v W Εφόσον W και W είναι διανυσματικοί υποχώροι του V ισχύει u W και v W Άρα, λ λ λ( u v) λ u λv W W Συνεπώς, το άθροισμα W W είναι διανυσματικός υποχώρος του V Εύκολα διαπιστώνεται ότι ο υποχώρος W W περιέχει την ένωση W W και μάλιστα είναι ο μικρότερος χώρος που περιέχει την ένωση αυτή Η επόμενη πρόταση συνδέει τις διαστάσεις των υποχώρων W, W, W W και W W ενός διανυσματικού χώρου V Αναφέρεται χωρίς απόδειξη 54

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: Έστω W και W δύο υποχώροι πεπερασμένης διάστασης του διανυσματικού χώρου V Τότε ισχύει dim( W W ) dimw dimw dim( W W ) ( ) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Έστω V M ο διανυσματικός χώρος των πινάκων Θεωρούμε τους δύο υποχώρους a b a W a, b R και W a, b R b b Ισχυριζόμαστε ότι a b W W a, c R b c Πράγματι, κάθε στοιχείο του W W έχει τη μορφή a b b a b a a b b b όπου a, a, b R και προφανώς ανήκει στο δεύτερο σύνολο Επίσης κάθε στοιχείο του δεύτερου συνόλου μπορεί να γραφεί a b b a c b b c όπου a, c R που προφανώς ανήκει στο W W Αρκετά πιο εύκολα μπορεί να δειχτεί ότι W W a a R Από τη μορφή των υποχώρων διαπιστώνουμε ότι dimw, dimw, dim( W W ), dim( W W ) και οι διαστάσεις αυτές επαληθεύουν τη σχέση dim( W W ) dimw dimw dim( W W ) 55

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Προχωράμε ένα βήμα παραπέρα Ο διανυσματικός χώρος V θα λέγεται ευθύ άθροισμα των υποχώρων του W και W εάν V W W και επιπλέον W W { } Τότε γράφουμε V W W Η σημασία του ευθέως αθροίσματος βρίσκεται στην επόμενη πρόταση ΘΕΩΡΗΜΑ: V W W αν και μόνο αν κάθε διάνυσμα v V γράφεται με μοναδικό τρόπο ως v w w, με w W και w W Απόδειξη: Έστω V W W Προφανώς κάθε v V μπορεί να γραφεί ως v w w, με w W και w W Θα δείξουμε ότι η ανάλυση αυτή είναι μοναδική Έστω λοιπόν ότι υπάρχει και δεύτερη ανάλυση v w w, με w W και w W Τότε v w w w w w w w W W { } w w w w w w και w w w Αντίστροφα, έστω ότι κάθε διάνυσμα v V γράφεται με μοναδικό τρόπο ως v w w, με w W και w W Προφανώς V W W Μένει να δείξουμε ότι W { } Έστω λοιπόν v W W Τότε το v μπορεί να γραφεί ως εξής W όπως επίσης v v, όπου v W και W v v, όπου W και v W Εφόσον η ανάλυση αυτή είναι μοναδική ισχύει v και συνεπώς W W { } Προφανώς όταν V W W, η σχέση ( ) του πρώτου θεωρήματος δίνει dimv dimw dimw ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ Γνωρίζουμε ότι κάθε διάνυσμα v ( a, b) του επιπέδου R αναλύεται ως άθροισμα των προβολών του v στους άξονες του καρτεσιανού συστήματος συντεταγμένων και μάλιστα με μοναδικό τρόπο 56

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ w (, b) v ( a, b) w ( a,) Πρόκειται για ένα παράδειγμα ευθέως αθροίσματος Πράγματι, ο διανυσματικός χώρος V R {( a, b) a, b R} είναι το ευθύ άθροισμα των υποχώρων του W {( a,) a } και W {(, b) b } R διότι V W W και W W { }, όπου (,) R Παρατηρούμε επίσης ότι κάθε διάνυσμα v ( a, b) αναλύεται όπου w ( a, W, ) w (, b) W v ( a, b) ( a,) (, b) και η ανάλυση αυτή είναι μοναδική 57