Τ.Ε.Ι. ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ

Transcript

1 Τ.Ε.Ι. ΗΠΕΙΡΟΥ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΓΕΩΠΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΡΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΕΡΜΟΚΗΠΙΑΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΓΕΩΡΓΙΚΕΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Πολιτικός Μηχανικός Ε.Μ.Π. MSc. Γεωπ. Παν/μίου Θεσσαλίας Διδάκτορας Α.Π.Θ. Αναπληρωτής Καθηγητής ΤΕΙ Ηπείρου Άρτα Οκτώβριος 04

2

3 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Οι Μονάδες Μέτρησης των Φυσικών Μεγεθών.. Γενικά.. Τα συστήματα μονάδων μέτρησης των φυσικών μεγεθών Το Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI)..3.. Ορισμοί των βασικών μονάδων του SI..3.. Προθέματα των μονάδων του SI Αποδεκτές μονάδες εκτός του SI Τα υπόλοιπα συστήματα μονάδων 7.5. Συσχέτιση - ισοδυναμία των διαφόρων μονάδων Ασκήσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Χαράξεις Σημείων και Γραμμών στο Έδαφος.. Εντοπισμός σημείου 5... Ορθογωνικές συντεταγμένες Πολικές συντεταγμένες. 6.. Ευθυγραμμία δύο σημείων Διαδικασία χάραξης Ειδικές περιπτώσεις χάραξης Εφαρμογές Χάραξη καθέτων ευθειών ή ορθών γωνιών Γενικά Χάραξη κάθετης από σημείο μιας ευθυγραμμίας Μέθοδος του ορθογωνίου τριγώνου Μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου Τριγωνομετρική μέθοδος Χάραξη κάθετης από σημείο εκτός ευθυγραμμίας Μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου Τριγωνομετρική μέθοδος Χάραξη καθέτων ευθειών με ορθόγωνα Ασκήσεις... 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. Μετρήσεις Γωνιών και Μηκών στο Έδαφος 3.. Μέτρηση γωνιών Μέτρηση οριζοντίων γωνιών Μέτρηση κατακόρυφης γωνίας ευθυγραμμίας ως προς τον ορίζοντα Ασκήσεις Μέτρηση υψομετρικών διαφορών Μέτρηση με το αλφαδολάστιχο Μέτρηση με λέιζερ αλφαδιάσματος Μέτρηση οριζοντίων αποστάσεων Ορισμοί Μέθοδοι μετρήσεως οριζοντίων αποστάσεων Άμεση μέτρηση α) Μέτρηση οριζοντίων αποστάσεων με μετροταινίες β) Μέτρηση των αποστάσεων με Laser.. 40 β ). Γενικά 40 β ). Η «εξαναγκασμένη εκπομπή ακτινοβολίας».. 40 β 3 ). Χαρακτηριστικά του φωτός laser Έμμεση μέτρηση. 43 α) Μέτρηση της οριζόντιας απόστασης μεταξύ δύο σημείων με αμοιβαία ορατότητα.. 43 α ) Γεωμετρική επίλυση 43

4 ii Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών α ) Τριγωνομετρική επίλυση 43 β) Μέτρηση της οριζόντιας απόστασης μεταξύ δύο σημείων που δεν έχουν αμοιβαία ορατότητα 44 β ) Γεωμετρική επίλυση 44 β ) Τριγωνομετρική επίλυση 44 γ) Μέτρηση της οριζόντιας απόστασης μεταξύ δύο σημείων που έχουν αμοιβαία ορατότητα μεσολαβεί όμως μεταξύ τους αδιάβατο έδαφος σε πολύ μεγάλη έκταση 44 γ ) Γεωμετρική επίλυση γ ) Τριγωνομετρική επίλυση 45 δ) Μέτρηση της οριζόντιας απόστασης μεταξύ δύο σημείων δεν είναι προσιτά 45 δ ) Γεωμετρική επίλυση 45 δ ) Τριγωνομετρική επίλυση Ασκήσεις. 48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4. Εμβαδομετρία 4.. Γενικά Εμβαδά γεωμετρικών σχημάτων Ορθογώνιο Παραλληλόγραμμο Τρίγωνο Τραπέζιο Κύκλος Κυκλικός τομέας Κυκλικό τμήμα Ασκήσεις. 55

5 . ΟΙ ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΜΕΓΕΘΩΝ.. Γενικά Τα μεγέθη είναι ποσότητες που αντιστοιχούν σε φυσικά φαινόμενα, διακρίνονται σε μονόμετρα (για να οριστούν χρειάζονται μόνο ένα αριθμό και μια μονάδα μέτρησης) και διανυσματικά (απαιτούν διεύθυνση, φορά και σημείο εφαρμογής). Για παράδειγμα μονόμετρα είναι το μήκος, η απόσταση, η μάζα ενώ τα διανυσματικά είναι η ταχύτητα και η επιτάχυνση. Επιπρόσθετα τα μεγέθη μπορούν να χωριστούν σε συνεχή και διακριτά. Για παράδειγμα η θερμοκρασία είναι συνεχές μέγεθος, ενώ οι σφυγμοί ανά λεπτό ενός ανθρώπου είναι διακριτό μέγεθος. Η τιμή ενός μεγέθους εκφράζεται συνήθως ως το γινόμενο ενός αριθμού και μίας μονάδος. Η μονάδα μέτρησης είναι απλά μια συγκεκριμένη ποσότητα του μεγέθους η οποία χρησιμοποιείται ως τιμή αναφοράς και ο αριθμός είναι το πηλίκο της μετρούμενης ποσότητας με την μονάδα μέτρησης. Σχεδόν όλες οι χώρες στον κόσμο έχουν κανονισμούς σχετικά με την υιοθέτηση και την χρήση των μονάδων μέτρησης. Εξαιτίας της σημασίας και της ανάγκης ύπαρξης μίας ομάδας από καλά καθορισμένες και εύχρηστες μονάδες, παγκοσμίως αποδεκτές, για όλες τις πολυδιάστατες και πολύπλοκες εφαρμογές στη σημερινή μας κοινωνία, οι μονάδες μέτρησης να επιλέγονται έτσι ώστε να είναι άμεσα διαθέσιμες σε όλους, να είναι σταθερές στο χώρο και στο χρόνο, και να είναι δυνατόν να υλοποιούνται με υψηλή ακρίβεια... Τα συστήματα μονάδων μέτρησης των φυσικών μεγεθών Για να ορισθεί ένα μέγεθος εκτός από ένα αριθμό απαιτείται και μία μονάδα μέτρησης γιατί χωρίς αυτήν θα επικρατούσε μία σύγχυση. Από πολύ παλιά οι άνθρωποι δημιούργησαν συστήματα μονάδων μέτρησης. Υπάρχει το Βαβυλωνιακό σύστημα, το Αιγυπτιακό σύστημα, το Ελληνικό, το Ρωμαϊκό, το Κινέζικο, το Βρετανικό και δεκάδες άλλα συστήματα. Τα κυριότερα συστήματα μονάδων τα οποία εξακολουθούν να χρησιμοποιούνται σήμερα είναι τα εξής : α. Το διεθνές σύστημα, SI. β. To C.G.S. γ. Το τεχνικό σύστημα. δ. Το απόλυτο Αγγλικό σύστημα ( FPS ) ε. Το Αγγλικό πρακτικό σύστημα. στ. Το Αμερικάνικο πρακτικό σύστημα ζ. Εκτός από τα παραπάνω συστήματα υπάρχουν και κάποιες ανεξάρτητες μονάδες, όπως η ατμόσφαιρα (atm) για την πίεση, ή η θερμίδα (cal) για την θερμότητα.

6 Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών.3. Το Διεθνές Σύστημα Μονάδων (SI) Στην η Γενική Διάσκεψη Μέτρων και Σταθμών (960) υιοθετήθηκε το όνομα Systeme International d'unites (Διεθνές Σύστημα Μονάδων, με διεθνή συντομογραφία SI) ως το συνιστώμενο σύστημα μονάδων μέτρησης, και καθόρισε μεταξύ άλλων τις βασικές μονάδες του, τους ορισμούς των παραγώγων μονάδων και τους κανόνες για τη χρήση των προθεμάτων των μονάδων. Οι βασικές μονάδες είναι μια ομάδα από επτά σαφώς καθορισμένες μονάδες που κατά συνθήκη, θεωρούνται ως διαστασιακά ανεξάρτητες οι οποίες δίνονται στον πίνακα. Παραγόμενες μονάδες είναι αυτές που σχηματίζονται από συνδυασμό των βασικών μονάδων, σύμφωνα με τις αλγεβρικές σχέσεις που συνδέουν τις αντίστοιχες ποσότητες. Τα ονόματα και τα σύμβολα από τις μονάδες που έχουν σχηματιστεί μπορούν να αντικατασταθούν από ειδικά ονόματα και σύμβολα τα οποία μπορούν με τη σειρά τους να χρησιμοποιηθούν για να σχηματίσουν εκφράσεις και σύμβολα άλλων παραγόμενων μονάδων. Στους πίνακες έως 7 δίνονται οι παραγόμενες μονάδες του μονάδες SI και στον πίνακα 8 δίνονται οι αποδεκτές μονάδες εκτός SI. To SI δεν είναι ένα στατικό σύστημα, αλλά εξελίσσεται ώστε να ανταποκρίνεται στις εκάστοτε παγκόσμιες μετρητικές απαιτήσεις και ανάγκες. Τα Διεθνή πρότυπα των επτά βασικών μονάδων του SI, που κατέχουν τη μεγαλύτερη αποδεκτή ακρίβεια, υλοποιούνται είτε μέσω πειραματικών διατάξεων είτε μέσω υλικών σταθμών. Τηρούνται στους εργαστηριακούς χώρους του Διεθνούς Γραφείου Μέτρων και Σταθμών (Bureau International des Poids et Mesures) στο Παρίσι και συστήθηκε για την υποστήριξη και λειτουργία της Σύμβασης του Μέτρου. Πίνακας. Οι Βασικές μονάδες του SI Α/Α Βασικό μέγεθος Μονάδα μέτρησης Όνομα Σύμβολο Μήκος (length) Μέτρο (meter) m Μάζα (mass) Χιλιόγραμμο (kilogram) kg 3 Χρόνος (time) Δευτερόλεπτο (second) s 4 Ηλεκτρικό ρεύμα (electric urrent) Αμπέρ (ampere) A 5 Θερμοδυναμική θερμοκρασία (thermodynamic temperature) Βαθμός Kelvin (kelvin) Κ 6 Ποσότητα ύλης (amount of substance) Γραμμομόριο (mole) mol 7 Φωτεινή ένταση (luminous intensity) Κηρίον (candela) cd.3.. Ορισμοί των βασικών μονάδων του SI Το Μέτρο είναι η απόσταση την οποία διανύει το φως στο κενό σε χρονικό διάστημα ίσο με / δευτερόλεπτα. Το Χιλιόγραμμο είναι η μάζα του πρότυπου χιλιόγραμμου, ενός κυλίνδρου από ιριδιούχο λευκόχρυσο που φυλάσσεται στο Διεθνές Γραφείο Μέτρων και Σταθμών των Σεβρών στη Γαλλία.

7 Δρ. ΜενέλαοςΘεοχάρης 3 Το Δευτερόλεπτο είναι η χρονική διάρκεια περιόδων της ακτινοβολίας που αντιστοιχεί στην μετάβαση δύο υπέρλεπτων ενεργειακών σταθμών της κατάστασης ελάχιστης ενέργειας του ατόμου του καισίου -33 (33Cs) σε θερμοκρασία 0 Κ. Το Αμπέρ είναι το σταθερό ηλεκτρικό ρεύμα το οποίο όταν διατηρείται σε δύο ευθύγραμμους παράλληλους αγωγούς απείρου μήκους και αμελητέας διατομής, τοποθετημένους σε απόσταση μέτρου στο κενό, θα παρήγαγε μεταξύ αυτών των αγωγών μία δύναμη ίση με x07 Νιούτον ανά μέτρο μήκους. Το Κέλβιν είναι το κλάσμα /73,6 της απόλυτης θερμοκρασίας του τριπλού σημείου του νερού. Παρατήρηση: Τριπλό σημείο ονομάζεται το σημείο όπου τέμνονται οι τρεις καμπύλες ισορροπίας αέριο υγρό, υγρό στερεό και αέριο στερεό. Στο τριπλό σημείο, οι τρεις καταστάσεις αέρια, υγρή και στερεά της ίδιας ουσίας βρίσκονται σε ισορροπία. Το τριπλό σημείο του νερού συμβαίνει για Τ = 0,0098 C και Ρ = 0,00603 atm. Το Μολ είναι η ποσότητα μίας ουσίας που περιέχει τόσες στοιχειώδεις οντότητες όσα είναι τα άτομα σε 0,0 χιλιόγραμμα καθαρού άνθρακα - (C). Η Καντέλα είναι η φωτεινή ένταση, σε μία δεδομένη διεύθυνση, μίας πηγής που εκπέμπει μονοχρωματική ακτινοβολία με συχνότητα 540x0 Hz και έχει ένταση ακτινοβολίας στην κατεύθυνση αυτή ίση με /683 Watt ανά στερακτίνιο. Περισσότερες λεπτομέρειες υπάρχουν στην ιστοσελίδα : Πίνακας. Παράγωγες μονάδες του SI οι οποίες προκύπτουν από τις βασικές μονάδες του SI και δεν έχουν ειδικές ονομασίες και σύμβολα. Α/Α Παράγωγο μέγεθος Μονάδα μέτρησης Όνομα Σύμβολο Επιφάνεια (area) Τετραγωνικό μέτρο m Όγκος (volume) Κυβικό μέτρο m 3 3 Ταχύτητα (speed, velocity) Μέτρο ανά δευτερόλεπτο m/s 4 Επιτάχυνση (acceleration) Μέτρο ανά δευτερόλεπτο στο τετράγωνο m/s 5 Συχνότητα (wave number) Δευτερόλεπτο στην - (αντίστροφο του δευτερόλεπτου) s - 6 Πυκνότητα (mass density) Χιλιόγραμμο ανά κυβικό μέτρο kg/m 3 7 Ειδικός όγκος (specific volume) Κυβικό μέτρο ανά χιλιόγραμμο m 3 /kg 8 Πυκνότητα ηλεκτρικού ρεύματος (current density) Αμπέρ ανά τετραγωνικό μέτρο A/m 9 Ένταση μαγνητικού πεδίου (magnetic field strength) Αμπέρ ανά μέτρο A/m 0 Συγκέντρωση ύλης (amount of substance concentration) Γραμμομόριο ανά κυβικό μέτρο mol/m 3 Φωτεινότητα (luminance) Κηρίον ανά τετραγωνικό μέτρο cd/m

8 4 Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών Πίνακας 3. Παράγωγες μονάδες του SI οι οποίες προκύπτουν από τις βασικές μονάδες του SI και έχουν ειδικές ονομασίες και σύμβολα. Μονάδα μέτρησης Α/Α Παράγωγο μέγεθος Όνομα Σύμβολο Συσχέτιση με τις βασικές μονάδες Γωνία επίπεδη (plane angle) radian rad m. m - Γωνία στερεά (solid angle) steradian sr m. m - 3 Συχνότητα (frequency) hertz Hz s - 4 Δύναμη (force) newton Ν m. kg. s - 5 Ηλεκτρικό φορτίο (electric charge, quantity of electricity) coulomb C s. A 6 Βαθμός Κελσίου (Celsius temperature) Βαθμός Κελσίου C Κ 7 Ενέργεια ραδιονουκλιδίου (activity of a radionuclide) becquerel Bq s - 8 Καταλυτική δράση (catalytic activity) katal kat s -. mol Πίνακας 4. Παράγωγες μονάδες του SI οι οποίες προκύπτουν από άλλες παράγωγες μονάδες του SI και έχουν ειδικές ονομασίες και σύμβολα. Μονάδα μέτρησης Συσχέτιση Α/Α Παράγωγο μέγεθος Όνομα Σύμβολο Με τις παράγωγες μονάδες Με τις βασικές μονάδες Πίεση, τάση (pressure, stress) pascal Pa N/m m -. kg.s - Ενέργεια, έργο, ποσό θερμότητας (energy, work, quantity of heat) joule J N.m m. kg. s - 3 Ισχύς (power, radiant flux) watt W J/s m. kg. s -3 4 Διαφορά ηλεκτρικού δυναμικού (electric potential difference) volt V W/A m. kg. s -3. A - 5 Χωρητικότητα (capacitance) farad F C/V m -. kg -. s 4 A 6 Αντίσταση ηλεκτρική (electric resistance) ohm Ω V/A m. kg. s -3. A - 7 Αγωγιμότητα ηλεκτρική (electric conductance) Siemens S A/V m -. kg -. s 3.A 8 Μαγνητική ροή (magnetic flux) weber Wb V.s m. kg. s -. A - 9 Πυκνότητα μαγνητικής ροής (magnetic flux density) tesla Τ Wb/m Kg. s -. A -

9 Δρ. ΜενέλαοςΘεοχάρης 5 0 Επαγωγή (inductance) henry Η Wb/A m. kg. s -. A - Φωτεινή ροή (luminous flux) lumen lm Cd. sr m.m -.sr = cd Φωτεινότητα (illuminance) lux lx lm/m m. m -4.cd = m -.cd 3 Απορροφούμενη δόση ακτινοβολίας (absorbed dose,specific energy (imparted), kerma) gray Gy J/kg m. s - 4 Ισοδύναμη δόση ακτινοβολίας (dose equivalent) sievert Sv J/kg m. s - Πίνακας 5. Παράγωγες μονάδες του SI οι οποίες προκύπτουν από άλλες παράγωγες μονάδες του SI και δεν έχουν ειδικές ονομασίες και σύμβολα. Α/Α Παράγωγο μέγεθος Μονάδα μέτρησης Σύμβολο Ιξώδες δυναμικό (dynamic viscosity) Pa. s Ροπή (moment offeree) N.m 3 Τάση επιφανειακή (surface tension) N/m 4 Ταχύτητα γωνιακή (angular velocity) rad/s 5 Επιτάχυνση γωνιακή (angular acceleration) rad/s 6 Πυκνότητα ροής θερμότητας (heat flux density, irradiance) W/m 7 Ειδική θερμότητα, ειδική εντροπία (specific heat capacity, specific entropy) J/(kg.K) 8 Αγωγιμότητα θερμική (thermal conductivity) W/(m. K) 9 Πυκνότητα ενέργειας (energy density) J/m 3 0 Ισχύς ηλεκτρικού πεδίου (electric field strength) V/m Πυκνότητα ηλεκτρικού φορτίου (electric charge density) C/m 3 Πυκνότητα ηλεκτρικής ροής (electric flux density) C/m.3.. Προθέματα των μονάδων του SI Στο SI υπάρχει ένα σύστημα προθεμάτων το οποίο επιτρέπει να χρησιμοποιούνται μονάδες της τάξης μεγέθους που μας απασχολεί. Έτσι, για να αποφύγουμε σε κάποιες μετρήσεις τους πολύ μεγάλους ή πολύ μικρούς αριθμούς χρησιμοποιούμε προθέματα (π.χ. δεν χρειάζεται να γράψουμε ότι ο σκληρός δίσκος έχει χωρητικότητα Bytes αλλά λέμε ότι έχει 00 GBytes. Με το πρόθεμα πριν το όνομα της μονάδας έχουμε ένα πολλαπλάσιο ή μια υποδιαίρεση της μονάδας κατά μία δύναμη τού 0. Έτσι χρησιμοποιήθηκαν Ελληνικά προθέματα για τα πολλαπλάσια (deca, hecto, kilo) και Λατινικά για τις υποδιαιρέσεις (deci, centi, milli) των μονάδων.

10 6 Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών Πίνακας 6. Το σύστημα προθεμάτων στο SI, για τα υποπολλαπλάσια και τα πολλαπλάσια των μεγεθών. Διεθνές όνομα Σύμβολο Προφορά Συντελεστής yotta Υ γιόττα 0 4 zetta Ζ ζέττα 0 exa Ε έξα 0 8 peta Ρ πέτα 0 5 tera Τ τέρα 0 giga G γίγα 0 9 mega Μ μέγα 0 6 kilo k χίλιο ή κίλο 0 3 hecto h εκατό ή έκτο 0 deca da δέκα = deci d δέκατο ή ντέσι 0 - centi c εκατοστό ή σέντι 0 - milli m χιλιοστό ή μίλι 0-3 micro μ Μικρό ή μάικρο 0-6 nano n νάνο 0-9 pico p πίκο 0 - femto f φέμτο 0-5 atto a άττο 0-8 zepto z ζέπτο 0 - yocto y γιόκτο 0-4 Παρατήρηση: Το χιλιόγραμμο (kilogram) είναι η μόνη μονάδα του SI που περιλαμβάνει στο όνομα και στο σύμβολο της ένα πρόθεμα (k). Συνεπώς, όταν χρειάζεται να χρησιμοποιηθεί πρόθεμα, τότε χρησιμοποιούμε το σύμβολο του γραμμαρίου (g), π.χ. 0-6 kg = mg ( χιλιοστογραμμάριο, ή μιλιγράμ = milligram) Αποδεκτές μονάδες εκτός του SI Πίνακας 7. Μονάδες εκτός του SI Α/Α Όνομα Σύμβολο Τιμή σε μονάδες του SI Λεπτό (minute) min min = 60 s Ώρα (hour) h h = 3600 s 3 Ημέρα (day) d d = s 4 Μοίρα (γωνία) (degree, angle) ο l = (π/80) rad 5 Λεπτό μοίρας (γωνία) = (/60) = (π/0800) rad 6 Δευτερόλεπτο μοίρας = (/60) = (π/648000) rad

11 Δρ. ΜενέλαοςΘεοχάρης 7 7 Λίτρο L L=0-3 m 3 8 Μετρικός τόννος t l t = 0 3 kg 9 Μίλι ναυτικό nautical mile nautical mile = 85 m 0 Κόμβος ναυτικός knot nautical mile per hour = (85/3600) m/s Are a a =0 m Εκτάριο (hectare) ha ha =0 4 m 3 bar bar bar =00 kpa 4 Angstrom Å l Å =0-0 m 5 Ηλεκτρονιοβόλτ (electronvolt) ev ev =,608 x 0-9 J περίπου 6 Μονάδα ατομικής μάζας (unified atomic mass unit) u u =,66054 x 0-7 kg περίπου 7 Αστρονομική μονάδα (astronomical unit) Ua Ua =,49598 x 0 m περίπου 8 barn b b =00 fm =0-8 m 9 curie Ci l C i = 3,7 x l0 0 Bq 0 roentgen R R =,58 x l0-4 C/kg.4. Τα υπόλοιπα συστήματα μονάδων Οι θεμελιώδεις και οι παράγωγες μονάδες μέτρησης, των κυριοτέρων συστημάτων, παραθέτονται στον παρακάτω πίνακα. Πίνακας 8. Μονάδες μέτρησης των κυριοτέρων συστημάτων Μονάδες μέτρησης Συστήματα μονάδων Μήκος L Χρόνος S Μάζα Μ Δύναμη F Ενέργεια Ε S.I. m sec kgr Ν J C.G.S. cm sec gr dyn erg Απόλυτο Αγγλικό ή FPS ft sec lb pauntal ft. pauntal Θερμοκρασία Τ Πίεσ η Ρ 0 K Pa 0 C, 0 K dyn/cm 0 F, 0 R pauntal/ ft Αγγλικό πρακτικό ft sec slug Ibm (Λίμπρα βάρους) btu 0 F, 0 R lbf/ft Αμερικάνικο πρακτικό ft sec lbm (Λίμπρα μάζας) lbf (Λίμπρα δύναμης) hp.h 0 F, 0 R lbf/ft

12 8 Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών Τεχνικό σύστημα m sec kgr kp kg.m 0 C, 0 K bar.5. Συσχέτιση - ισοδυναμία των διαφόρων μονάδων Στους πίνακες που ακολουθούν δίνεται η συσχέτιση - ισοδυναμία των διαφόρων μονάδων του ίδιου φυσικού μεγέθους για τα συνηθέστερα φυσικά μεγέθη. Πίνακας 9. Μονάδες μήκους Όνομα/Σύμβολο m cm mm km ml in ft yrd Μέτρο (m) , ,37 3,8,0936 Εκατ/τρο (cm) ,.0-6 0,394 3,8.0 -,.0 - Χιλιοσ/τρο (mm) 0-3 0, 0-6 6, ,94.0-3,8.0-3,.0-3 Χιλιόμετρο (Κm) , ,7 09,9 Μίλι (ml) , , ,5 Ναυτικό μίλι (nautical ml) ,85, , ,55 05,37 Ίντσα (in), ,54 5,40, , ,3. 0 -, Πόδι (ft) 0,305 30, , , ,333 Γυάρδα (yrd) 0,94 9, , , Λεύγα 488, , , Έτος φωτός 9, , , ,46.0 5,88.0 3, ,0.0 6, Άνγκστρομ (Å) , , ,8.0-0, Πίνακας 0. Μονάδες όγκου Μονάδα m 3 It cm 3 gal ft 3 m ,8 35,35 It ,7 3, cm , ,5 0-5 ft 3, ,37 836,84 7,4805 Βαρέλι υγρών ΗΠΑ Γαλόνι υγρών ΗΠΑ (gal) 0,59 58, , ,646 3, , ,4 0,337 Πίνακας. Μονάδες μάζας Μονάδα kgr gr tn lb kgr gr , 0-3 tn ,6

13 Δρ. ΜενέλαοςΘεοχάρης 9 lb 0, , Κοινή ουγκιά (oz) 0,0835 8,35 8, /6 Ευγενής ουγκιά (οz) 0,030 3,0 3, / Πίνακας. Μονάδες δύναμης Μονάδα Ν kp Ρ dyn Ν 0, kp 9, p 9, Δίνη (dyn) 0-5,0. 0-6, Λίβρα (lb) 4,448 0, , ,446 Πίνακας 3. Μονάδες πίεσης Μονάδα Pa MPa bar atm tor psi Pa , ,5-0", MPa , ,638 45,0377 bar , 0, ,0638 4,50377 mbar 00 0,000 0,00 0, , ,04504 atm 035 0,035, ,0097 4,69594 at 98066,5 0, , , ,5647 4,334 psi , ,9. 0-6,8. 0-5,57 mmhg (tor) 33,399 0, , , ,09337 mh Ο 9806,383 0, , , ,099997,495 Πίνακας 4. Μονάδες ενέργειας Μονάδα j Wh cal btu erg lb.ft j 0,778x0-3 0,388 9,48x , Wh ,844 3, ,95 cal 4,868, , ,47 3,088 btu 055,056,93 l. 0-5, , 778,7697 erg 0" 5, , , , lb.ft,356 3, ,338, ,838 Πίνακας 5. Μονάδες ισχύος Μονάδα W kw hp cv btu/h kp/s w 0,00 0,003 0,004 3,4 0,0937 kw 000,34, ,0 0,9368

14 0 Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών hp 745,699 0,7457, , cv 735,499 0,7355 0,9863 0, btu/h 0,93 0, , , ,09878 kp/s 9,8 0,0098 0,0358 0, ,4699 Πίνακας 6. Μονάδες γωνιών Μονάδα Ακτίνιο (rad) Μοίρα ( ) Λεπτό της μοίρας ( ) Δευτερόλεπ το της μοίρας ( ) Βαθμός (grad) Ακτίνιο (rad) 57, , ,8 63,6698 Μοίρα ( ) 0, , Λεπτό της μοίρας (') 0,0009 0, ,0859 Δευτερόλεπτο της μοίρας (") 4, , Βαθμός (grad) ,

15 Δρ. ΜενέλαοςΘεοχάρης.6. Ασκήσεις Άσκηση Η γωνία ω = (7+N) (48-0,5.N)' (46,5-0,.N)" να μετατραπεί σε: α) ακτίνια (rad), β) λεπτά της μοίρας ('), γ) δευτερόλεπτα της μοίρας (") και δ) βαθμούς (grad). Δίδεται Ν=3 Λύση Είναι ω = 75 μοίρες 46,5 λεπτά 45,9 δευτερόλεπτα Επειδή η γωνία ω είναι συμμιγής αριθμός πρέπει μα μετατραπεί σε δεκαδικό αριθμό. Η μετατροπή γίνεται ως εξής: (). Μετατρέπονται τα πρώτα λεπτά σε μοίρες: 46,5 λεπτά = 46,5/60 = 0,775 μοίρες. (). Μετατρέπονται τα δευτερόλεπτα σε μοίρες: 45,9 δευτ/τα = 45,9/3600 = 0,075 μοίρες. (3). Αθροίζοναι οι τρεις επιμέρους ποσότητες που είναι εκφρασμένες σε μοίρες και προκύπτει ω = 75+0,775+0,075=75,78775 μοίρες Επομένως : α) ω =75 46,5' 45,9 =75,78775 μοίρες = 75,78775x (3,459/80 rad/μοίρα) =,375 rad β) ω = 75,78775 μοίρες x 60 λεπτά /μοίρα = 4547,65 γ) ω = 75,78775 μοίρες x 3600 δευτερόλεπτα /μοίρα = 7835,9 δ) ω = 75,78775 μοίρες = 75,78775 x (400/360 grad/μοίρα) = 84,086 grad Τα ίδια αποτελέσματα προκύπτουν αν χρησιμοποιηθούν οι συντελεστές του πίνακα 6: α) ω = 7 48' 46,5=75,78775 μοίρες = 75,78775x (0,07453 rad/μοίρα) =,374 rad β) ω = 75,78775 μοίρες x 60 λεπτά /μοίρα = 4547,65 γ) ω = 75,78775 μοίρες x 3600 δευτερόλεπτα /μοίρα = 4547,65 δ) ω = 75,78775 μοίρες = 75,78775 x (, grad/μοίρα) = 84,009 grad Άσκηση Η γωνία ω = (3,5 +0,.N) rad να μετατραπεί σε: α) μοίρες ( ), β) λεπτά της μοίρας ('), γ) δευτερόλεπτα της μοίρας (") και δ) βαθμούς (grad). Δίδεται Ν=3 Λύση Είναι: ω=3,5+0, x 3 = 3,8 rad ## Σύμφωνα με τις αντιστοιχίες των μονάδων προκύπτει: α) ω =3,8 rad =3,8x (80/3,459 μοίρες/rad) =7,74 μοίρες β) ω =3,8 rad =3,8x (60 x 80/3,459 λεπτά/rad) =3063,4377 λεπτά

16 Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών γ) ω =3,8 rad =3,8x (3600 x 80/3,459 δευτερόλεπτα/rad) =783806,637 δευτερόλεπτα δ) ω =3,8 rad =3,8x (00/3,459 grad/rad) =4,955 grad Αν χρησιμοποιηθούν οι συντελεστές του πίνακα 6 προκύπτουν : α) ω =3,8 rad =3,8x (57,9578 μοίρες/rad) =7,73964 μοίρες β) ω =3,8 rad =3,8x (3437,747 λεπτά/rad) =3063,4386 λεπτά γ) ω =3,8 rad =3,8x (0664,8 δευτερόλεπτα/rad) =783806,78 δευτερόλεπτα δ) ω =3,8 rad =3,8x (63,6698 grad/rad) = 4,9554 grad Άσκηση 3 Να μετατραπεί ισχύς Ν= (50+,5.N) kw σε α) W, β) hp, γ) cv, δ) btu/h και ε) kpm/s. Δίδεται Ν=3 Λύση Είναι: Ν=50+,5 x 3 = 57,5 kw ## Σύμφωνα με τις αντιστοιχίες των μονάδων: α) Ν =57,5kW =57,5 kw x 000 W/kW = W β) Ν =57,5 kw =57,5 kw x [000 /(76 x 9,8)] hp/kw =345,378 hp γ) Ν =57,5 kw =57,5 kw x [000 /(75 x 9,8)] cv/kw =349,983 cv δ) Ν =57,5 kw =57,5 kw x 34,0 (btu/h)/kw =87865,75 btu/h ε) Ν =57,5 kw =57,5 kw x 000/9,8 (kp/s)/kw =648,758kpm/s Αν χρησιμοποιηθούν οι συντελεστές του πίνακα 5 προκύπτουν : α) Ν =57,5kW =57,5 kw x 000 W/kW = W β) Ν =57,5 kw =57,5 kw x,34 hp/kw =345,3075 hp γ) Ν =57,5 kw =57,5 kw x,35957 cv/kw =349,989 cv δ) Ν =57,5 kw =57,5 kw x 34,0 (btu/h)/kw =87865,75 btu/h ε) Ν =57,5 kw =57,5 kw x 0,9368 (kp/s)/kw =648,76kp/s Άσκηση 4 Να μετατραπεί ενέργεια Η = ( N) Wh σε α) j, β) cal, γ) btu, δ) erg και ε) lb.ft Δίδεται Ν=3 Λύση Είναι H= = Wh ## Αν χρησιμοποιηθούν οι συντελεστές του πίνακα 4 προκύπτουν : α) Η =35003 Wh =35003 Wh x 3600 j/wh = j β) Η =35003 Wh =35003 Wh x 859,844 cal/wh = ,553 cal

17 Δρ. ΜενέλαοςΘεοχάρης 3 γ) Η =35003 Wh =35003 Wh x 3,4 btu/wh =9430,36 btu δ) Η =35003 Wh =35003 Wh x 36 x0^9 erg/wh = erg =,60 5 erg ε) Η =35003 Wh =35003 Wh x 655,95 lb.ft/wh =994390,885 lb.ft Άσκηση 5 Να μετατραπεί πίεση p =(38 +0,8.N) atm σε: α) Pa, β) MPa, γ) bar, δ) mbar, ε) at, στ) psi, ζ) mmhg (tor) και η) mη Ο. Δίδεται Ν=3 Λύση Είναι p =38+ 0,8 x 3 = 40,4 Wh 40 Αν χρησιμοποιηθούν οι συντελεστές του πίνακα 3 προκύπτουν : α) p = 40,4 atm =40,4 atm x 035 Pa/atm = Pa β) p = 40,4 atm =40,4 atm x 0,035 MPa/atm = 4,0935 MPa γ) p = 40,4 atm =40,4 atm x,035 bar/atm =40,9353 bar δ) p = 40,4 atm =40,4 atm x03,5 mbar/atm =40935,3 mbar ε) p =40,4 atm =40,4 atm x [/0,96784] at/atm = 4,744 at στ) p =40,4 atm =40,4 atm x 4,69594 psi/atm = 593,76 psi ζ) p =40,4 atm =40,4 atm x 735,5647 tor/atm = 976,6834 tor η) p =40,4 atm =40,4 atm x [/0,09678] mhο/atm = 47,433 mhο Άσκηση 6 Να μετατραπεί μήκος L=(5 +,5.N)km σε: α) μέτρα (m), β) εκατόμετρα (cm), γ) χιλιοστόμετρα (mm), δ) μίλια (ml), ε) Ναυτικά μίλια (nautical ml), στ) Ίντσες (in), ζ) Πόδια (ft), η) Γυάρδες (yrd), θ) Λεύγες, ι) Έτη φωτός, και ια) Άνγκστρομ (Α). Δίδεται Ν=3. Λύση Είναι : L=5+,5 x 3 = 55,75 Wh 56 Αν χρησιμοποιηθούν οι συντελεστές του πίνακα 9 προκύπτουν : α) L =55,75 km =55,75 km x 000 m/km = m. β) L =55,75 km =55,75 km x cm/km = cm. γ) L =55,75 km =55,75 km x mm/km = mm. δ) L =55,75 km =55,75 km x (/,609) ml/km = 34,6489 ml. ε) L =55,75 km =55,75 km x (/,85) nautical ml/km = 30,06 nautical ml. στ) L =55,75 km =55,75 km x in/km = 94877,5 in.

18 4 Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών ζ) L =55,75 km =55,75 km x 378,7 ft/km = 8787,55 ft. η) L =55,75 km =55,75 km x 09,9 yrd/km = 6099,75 yrd. θ) L =55,75 km =55,75 km x (/4,88) λεύγες/km =,547 λεύγες. ι) L =55,75 km =55,75 km x (/(9,46 x 0 ) έτη φωτός/km = 0, έτη φωτός = 5,893 - έτη φωτός. ια) L =55,75 km =55,75 km x (0^3) Å/km = Å = 5,575 4 Å

19 . ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΗΜΕΙΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ Χάραξη είναι ο προσδιορισμός στο ύπαιθρο της ακριβούς θέσης σημείων και γραμμών, που περιγράφονται σε κάποια μελέτη. Η χάραξη είναι η αντίστροφη διαδικασία, από εκείνη που γίνεται για την αποτύπωση μιας έκτασης. Κατά την αποτύπωση είναι δεδομένα τα σημεία, που πρόκειται να αποτυπωθούν. Γίνονται οι απαραίτητες μετρήσεις των συντεταγμένων τους και συντάσσεται ο σχετικός πίνακας στοιχείων υπαίθρου. Στη συνέχεια, στο γραφείο, θα σχεδιαστεί η έκταση και θα γίνουν όλοι οι υπολογισμοί, που απαιτούνται για τη μελέτη. Κατά τη χάραξης υλοποιούνται στο έδαφος τα σημεία και οι γραμμές, που προκύπτουν από τη μελέτη κατασκευής του έργου... Εντοπισμός σημείου Για να ορισθεί ένα σημείο στην επιφάνεια της γης είναι αναγκαίο αφ' ενός να υπάρχει υλοποιημένο το Σύστημα Συντεταγμένων και αφ' ετέρου να είναι γνωστές τις συντεταγμένες του σημείου. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις ορισμού της θέσης ενός σημείου:... Ορθογωνικές συντεταγμένες Αν έχουν μετρηθεί οι ορθογώνιες συντεταγμένες του σημείου τότε πρέπει να υπάρχουν στο έδαφος υλοποιημένα τα ενδεικτικά σημεία του Συστήματος Ορθογωνικών Συντεταγμένων. Δηλαδή πρέπει να υπάρχουν τουλάχιστον δύο σημεία του άξονα Χ και άλλο ένα τουλάχιστον σημείο του άξονα Ψ. Επίσης πρέπει να είναι γνωστές οι Ορθογώνιες Συντεταγμένες του ζητούμενου σημείου ως προς αυτό το υλοποιημένο σύστημα. Σε αυτή την περίπτωση μετρούνται από τους δύο υλοποιημένους άξονες αποστάσεις ίσες με τις συντεταγμένες του σημείου και εντοπίζεται η θέση του στο οριζόντιο επίπεδο. Σχήμα.. Εντοπισμός σημείου (α) από τις ορθογωνικές και (β) από τις πολικές συντεταγμένες του. Η υλοποίηση των συντεταγμένων ενός σημείου Π γίνεται ως εξής (Σχήμα.α)): Έστω ότι είναι γνωστή η θέση δύο σημείων (έστω Α και Β) του άξονα Χ και ενός σημείου (έστω Γ) του άξονα Ψ. Στις θέσεις των σημείων Α, Β και Γ τοποθετούνται ακόντια, για την επισήμανση των σημείων. Από το σημείο Γ χαράσσεται η κάθετος προς την ευθυγραμμία ΑΒ (βλέπε παραγρ..3.). Ο πόδας της καθέτου που θα βρεθεί (έστω Ο) είναι η αρχή του Συστήματος Συντεταγμένων, διότι στο σημείο αυτό τέμνονται κάθετα οι δύο άξονες. Στο σημείο Ο τοποθετείται επίσης ακόντιο.

20 6. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών Από το σημείο Ο μετράται πάνω στην ευθυγραμμία ΟΑΒ (άξονας Χ) απόσταση ίση με την τετμημένη Χ Π του σημείου Π. Εντοπίζεται έτσι το σημείο Χ Π, στο οποίο τοποθετείται επίσης ακόντιο. Από το σημείο Χ Π χαράσσεται η κάθετος ευθυγραμμία πάνω στην ΑΒ και επισημαίνεται με ακόντιο ένα τυχαίο σημείο της Ψ. Πάνω στην ευθυγραμμία ΧΨ μετράται απόσταση ίση με την τεταγμένη Ψ Π και επισημαίνεται το σημείο που θα βρεθεί με ακόντιο. Το σημείο αυτό είναι το ζητούμενο σημείο Π.... Πολικές συντεταγμένες Ο εντοπισμός ενός σημείου Π στην επιφάνεια της γης, αν είναι γνωστές οι πολικές του συντεταγμένες γίνεται ως εξής: Έστω ότι είναι υλοποιημένη η θέση του πόλου Ο και της μηδενικής διεύθυνσης του συστήματος πολικών συντεταγμένων. Έστω επίσης ότι είναι γνωστές οι πολικές συντεταγμένες (S, θ) ενός σημείου Π. Η θέση του σημείου Ο επισημαίνεται με ακόντιο. Για τη χάραξη της ευθυγραμμίας της μηδενικής διεύθυνσης αρκεί να επισημανθεί με ακόντιο ένα τυχόν σημείο της, έστω το Γ. Από το σημείο Ο μετράται γωνία ΓΟΑ = θ. Ο τρόπος χάραξης γωνιών περιγράφεται στην παράγραφο 3... Στο σημείο Α τοποθετείται ακόντιο. Μετράται πάνω στην ευθυγραμμία ΟΑ απόσταση OΠ=S και στη θέση του σημείου Π τοποθετείται ακόντιο. Το σημείο Π είναι το ζητούμενο, διότι η ευθυγραμμία ΟΠ σχηματίζει γωνία θ με τη μηδενική διεύθυνση και το σημείο Π απέχει απόσταση S από τον πόλο Ο... Ευθυγραμμία δύο σημείων Ευθυγραμμία δύο σημείων Α και Β της επιφάνειας του εδάφους λέγεται η γραμμή που προκύπτει από την τομή του κατακόρυφου επιπέδου των δύο σημείων με την επιφάνεια του εδάφους. Η τομή αυτή είναι μια νοητή γραμμή. Για να υλοποιηθεί πρέπει να προσδιοριστούν διάφορα σημεία της Μ. Χάραξη της ευθυγραμμίας, σχήμα., είναι ο προσδιορισμός των σημείων Μ. Όταν τα σημεία Μ βρίσκονται μεταξύ του Α και Β πρόκειται για πύκνωση της ευθυγραμμίας, ενώ όταν τα σημεία Μ βρίσκονται πέρα από το Α και το Β πρόκειται για επέκταση της ευθυγραμμίας. Σχήμα.. Ευθυγραμμία δύο σημείων Α και Β Ο αριθμός των σημείων Μ που χρειάζεται να προσδιορισθούν κατά τη χάραξη μιας ευθυγραμμίας εξαρτάται από τη μορφή του εδάφους και από το σκοπό για τον οποίο χαράσσεται η ευθυγραμμία. Γενικά χρειάζονται λιγότερα σημεία, όταν το έδαφος έχει ομοιόμορφη κλίση και περισσότερα, όταν η κλίση κατά μήκος της ευθυγραμμίας μεταβάλλεται. Στη δεύτερη περίπτωση πρέπει να συμπεριληφθούν μεταξύ των σημείων Μ και τα σημεία αλλαγής της κλίσης (σχ..).

21 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 7... Διαδικασία χάραξης Η χάραξη μιας ευθυγραμμίας, δηλαδή ο προσδιορισμός των σημείων Μ, γίνεται με τα ακόντια. Στην περίπτωση αυτή τα ακόντια παίζουν διπλό ρόλο. Χρησιμοποιούνται δηλαδή ταυτόχρονα και για τη σήμανση και για την επισήμανση των σημείων της ευθυγραμμίας γιατί, όπως είναι αντιληπτό, τα σημεία Μ πρέπει να είναι ορατά από μακριά. Επισημαίνονται πρώτα τα δύο άκρα της ευθυγραμμίας, δηλαδή τοποθετείται από ένα ακόντιο επάνω ακριβώς στα κέντρα σημάνσεως των σημείων Α και Β. Τα δύο ακόντια πρέπει να είναι τελείως κατακόρυφα. Έπειτα ο παρατηρητής στέκεται σε απόσταση έως 3 m από το ακόντιο Α και σκοπεύει με γυμνό μάτι προς το ακόντιο Β. Κατά τη σκόπευση πρέπει το ακόντιο Α να καλύπτει τελείως το Β. Αφού με τον τρόπο αυτό εξασφαλιστεί ότι το μάτι βρίσκεται επάνω στην ευθυγραμμία Α - Β, δίνει σήμα στο βοηθό του να μετακινηθεί κάθετα προς τη διεύθυνση της ευθυγραμμίας, προκειμένου να τοποθετήσει το πρώτο ενδιάμεσο ακόντιο Μχ. Η σηματοδότηση γίνεται με τα χέρια όπως φαίνεται στο σχήμα.3. Όταν, ύστερα από μερικές μικρομετακινήσεις του βοηθού, δεν φαίνεται το ακόντιο Μ, γιατί θα έχει καλυφθεί από το ακόντιο Α, ενώ συγχρόνως δεν θα φαίνεται και το ακόντιο Β, συμπεραίνεται ότι το Μ βρίσκεται επάνω στην ευθυγραμμία Α - Β. Δίνεται τότε σήμα στο βοηθό να εμπήξει το ακόντιο στο έδαφος. Εάν το έδαφος είναι τόσο σκληρό, ώστε να μη είναι δυνατή η έμπηξη, ο βοηθός τοποθετεί το ακόντιο όρθιο με τη βοήθεια του τρίποδα. Οπωσδήποτε μετά την τοποθέτηση το ακόντιο πρέπει να είναι κατακόρυφο. Η κατακορύφωσή του ελέγχεται συνήθως με το μάτι, εκτός εάν πρόκειται να γίνει μέτρηση μεγάλης ακρίβειας, οπότε χρησιμοποιείται το νήμα της στάθμης. Με τον ίδιο τρόπο τοποθετούνται και τα άλλα ενδιάμεσα ακόντια και επομένως προσδιορίζονται τα Μ, Μ, Μ 3,..., Μ ν, της ευθυγραμμίας Α - Β. Σχήμα.3. Σηματοδότηση ευθυγραμμίας Ιδιαίτερη προσοχή πρέπει να δοθεί από το βοηθό για τον τρόπο, με τον οποίο θα κρατά το ακόντιο κατά τις μικρομετακινήσεις του κάθετα προς τη διεύθυνση της ευθυγραμμίας. Πρέπει δηλαδή να το κρατά μόνο με το δείκτη και τον αντίχειρα από κάποια θέση, που θα βρίσκεται

22 8. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών ψηλότερα από το κέντρο βάρους του ακοντίου και όπως δείχνει το σχήμα.4. Έτσι το ακόντιο αιωρούμενο ελαφρά τηρείται περίπου κατακόρυφο και αυτό διευκολύνει την τελική του κατακορύφωση. Σχήμα.4. Τρόπος με τον οποίο ο βοηθός κρατά το ακόντιο. Επίσης δεν πρέπει οι σκοπεύσεις να γίνονται από πολύ μικρή απόσταση π.χ. m, από το σημείο Α, γιατί τότε τα ενδιάμεσα ακόντια Μ, Μ, Μ 3,..., Μ ν, θα καλύπτονται μεν από το ακόντιο Α, δεν θα κείνται όμως επάνω στην ευθυγραμμία Α - Β. Αυτό βέβαια συμβαίνει και όταν η σκόπευση γίνεται και από την κανονική απόσταση ( έως 3 m). Τότε όμως οι αποκλίσεις των σημείων Μ ως προς την ευθυγραμμία είναι πολύ μικρές και τα σφάλματα των μετρήσεων είναι ανεπαίσθητα. Εάν τέλος λόγω της μορφής του εδάφους δεν είναι δυνατή η τήρηση της κανονικής αποστάσεως, τότε η σκόπευση γίνεται από τη μέγιστη δυνατή απόσταση.... Ειδικές περιπτώσεις χάραξης Η χάραξη μιας ευθυγραμμίας δεν παρουσιάζει δυσκολία, όταν το έδαφος είναι οριζόντιο ή έχει ομοιόμορφη κλίση. Σχήμα.5. Χάραξη ευθυγραμμίας σε κοίλωμα Όταν όμως μεταξύ των σημείων Α και Β μεσολαβεί κοίλωμα, ενδέχεται να μη είναι δυνατός ο προσδιορισμός όλων των σημείων της ευθυγραμμίας με σκόπευση μόνο από το ένα άκρο της. Π.χ. στο σχήμα.5. τα ακόντια, που πρέπει να τοποθετηθούν στις θέσεις Μ 3 και Μ 4, δεν είναι ορατά από το άκρο Α. Συνεπώς η σκόπευση για τα σημεία αυτά πρέπει να γίνει

23 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 9 από το άκρο Β. Το αντίστροφο ισχύει για τα αντίστοιχα σημεία της απέναντι πλαγιάς. Ιδιαίτερη δυσκολία παρουσιάζει η περίπτωση, κατά την οποία μεταξύ των σημείων Α και Β μεσολαβεί κύρτωμα, σχήμα.6., γιατί τα άκρα της ευθυγραμμίας δεν είναι αμοιβαία ορατά και συνεπώς δεν είναι δυνατή η σκόπευση από το ένα άκρο προς το άλλο. Τότε χρησιμοποιούνται τα βοηθητικά ακόντια και, που τα τοποθετούνται περίπου επάνω στην ευθυγραμμία και έτσι, ώστε να φαίνονται και από το Α και από το Β. Σχήμα.6. Χάραξη ευθυγραμμίας σε κύρτωμα. Ένας παρατηρητής σκοπεύει από το ακόντιο Α προς το ακόντιο και τοποθετεί το ακόντιο στη θέση Γ επάνω στην ευθυγραμμία Α - (σχήμα.7.). Ένας δεύτερος παρατηρητής σκοπεύει από το ακόντιο Β προς το ακόντιο ' και τοποθετεί το ακόντιο στη θέση ' επάνω στην ευθυγραμμία Β -. Οι δύο παρατηρητές επαναλαμβάνουν τις διαδοχικές σκοπεύσεις και μικρομετακινήσεις των ακοντίων και στις θέσεις ", Γ", κλπ. και ", "' κλπ., ώσπου κατά τη νιοστή σκόπευση π.χ. από το ακόντιο Α προς το ακόντιο, να διαπιστωθεί ότι το βρίσκεται επάνω στην ευθυγραμμία Α - και εν συνεχεία κατά τη σκόπευση από το Β προς το να διαπιστωθεί ομοίως ότι και το βρίσκεται επάνω στην ευθυγραμμία Β -. Σχήμα.7. Χάραξη ευθυγραμμίας σε κύρτωμα. Ο προσδιορισμός των σημείων Μ είναι η Η τελική τοποθέτηση των ακοντίων και πρέπει να γίνει με τη βοήθεια τριπόδων. Τα υπόλοιπα ενδιάμεσα ακόντια τοποθετούνται με ευχέρεια επάνω στις ευθυγραμμίες Α - και Β -. Σχήμα.8. Χάραξη ευθυγραμμίας όταν είναι αδύνατη η σκόπευση από τα ένα άκρο της ευθυγραμμίας προς το άλλο. Υπάρχει και άλλη περίπτωση, όπου χρειάζεται να χρησιμοποιηθούν τα ενδιάμεσα ακόντια και. Αυτή η περίπτωση παρουσιάζεται, όταν τα άκρα της ευθυγραμμίας είναι γωνίες δύο

24 0. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών σπιτιών (σχήμα.8.), οπότε είναι αδύνατη η σκόπευση από τα ένα άκρο της ευθυγραμμίας προς το άλλο. Τότε τοποθετούνται και πάλι τα ακόντια και κοντά στη μέση της αποστάσεως και περίπου επάνω στην ευθυγραμμία Α - Β, αλλά αυτή τη φορά ακολουθείται αντίστροφη πορεία, δηλαδή σκοπεύεται από το σημείο το Α και από το το Β. Οι σκοπεύσεις και οι μικρό μετακινήσεις των σημείων και διαδέχονται η μια την άλλη, όπως στην προηγούμενη περίπτωση, έως ότου τα ακόντια και τοποθετηθούν επάνω στην ευθυγραμμία Α - Β. Τα υπόλοιπα ενδιάμεσα ακόντια τοποθετούνται επάνω στις ευθυγραμμίες - Β και - Α...3. Εφαρμογές Η χάραξη μιας ευθυγραμμίας έχει άμεση και έμμεση εφαρμογή. Άμεση είναι η εφαρμογή της, όταν πρόκειται να χαραχθεί ο άξονας ενός ευθύγραμμου τμήματος δρόμου ή οι θέσεις των δομικών στοιχείων (τοίχων, υποστυλωμάτων, κλπ) ενός εκτεταμένου κτηρίου. Έμμεση είναι η εφαρμογή της, όταν πρόκειται να μετρηθεί η οριζόντια απόσταση δύο σημείων, οπότε προηγουμένως πυκνώνεται η ευθυγραμμία, που ορίζουν τα δύο σημεία. Μια ευθυγραμμία χαράσσεται ταχύτερα και ακριβέστερα αν, αντί να γίνει η σκόπευση των ακοντίων με γυμνό μάτι, να γίνει με κάποια τηλεσκοπική διάταξη, π.χ. με ένα θεοδόλιχο ή με ένα ταχύμετρο..3. Χάραξη καθέτων ευθειών ή ορθών γωνιών.3. Γενικά Η χάραξη καθέτων ευθειών ή ορθών γωνιών είναι μία βοηθητική τοπογραφική εργασία, που εφαρμόζεται σε δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση, από ένα σημείο μιας ευθυγραμμίας πρόκειται να υψωθεί κάθετη προς αυτή και στη δεύτερη περίπτωση από ένα σημείο της επιφάνειας του εδάφους, που κείται έξω από μία ευθυγραμμία πρόκειται να υψωθεί κάθετη προς αυτή. Θα περιγραφούν τρεις μέθοδοι χάραξης καθέτων: α) η γεωμετρική μέθοδος του ορθογωνίου τριγώνου, β) η γεωμετρική μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου και γ) η τριγωνομετρική μέθοδος..3.. Χάραξη κάθετης από σημείο μιας ευθυγραμμίας.3... Μέθοδος του ορθογωνίου τριγώνου Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στην παρατήρηση ότι εάν οι κάθετες πλευρές ορθογωνίου τριγώνου είναι 3 m και 4 m αντιστοίχως, η υποτείνουσα του τριγώνου, θα ισούται με 5 m (5 = ). Από την παρατήρηση αυτή προκύπτει η ακόλουθη μέθοδος χαράξεως ορθών γωνιών. Έστω ότι πρόκειται να υψωθεί κάθετη στο σημείο Γ της ευθυγραμμίας ΑΒ. Ορίζεται το σημείο Ε της ευθυγραμμίας σε απόσταση 3 m από το Γ (σχήμα.9.α). Έπειτα στερεώνονται τα άκρα ενός ράμματος (σχοινιού) μήκους 9 m στα σημεία Γ και Ε, τεντώνεται το ράμμα με ένα καρφί και μετακινείται το καρφί έτσι ώστε κατά τη μετακίνηση του τα δύο σκέλη, που σχηματίζει το ράμμα, να είναι διαρκώς τεντωμένα. Όταν το καρφί φθάσει στη θέση Δ ώστε να απέχει από μεν το Γ 4,00 m από δε το Δ 9-4 = 5,00 m, τότε το τρίγωνο ΓΕΔ θα είναι ορθογώνιο στο Γ και άρα ΔΓ ΑΒ. Με μεγαλύτερη ακρίβεια χαράσσεται η κάθετη ΓΔ, εάν το σημείο Ε απέχει από το Γ 6 m και το μήκος του ράμματος είναι 8 m, δηλαδή εάν οι πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου ΔΓΕ είναι 8,6 και 0 m (0 = ).

25 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Σχήμα.9. Χάραξη κάθετης από σημείο μίας ευθυγραμμίας α) με τη μέθοδο του ορθογωνίου τριγώνου και β) με τη μέθοδο του ισοσκελούς τριγώνου Μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου Η μέθοδος αυτή στηρίζεται στις ιδιότητες των ισοσκελών τριγώνων. Έστω ότι πρόκειται να υψωθεί κάθετη στο σημείο Γ της ευθυγραμμίας ΑΒ. Ορίζονται τα σημεία Ε, και Ζ της ευθυγραμμίας ΑΒ έτσι ώστε ΕΓ = ΓΖ = Χ (σχήμα.9.α). Κατόπιν στερεώνονται τα άκρα ενός ράμματος στα σημεία Ε και Ζ κρατιέται το ράμμα από το μέσο του Δ και τεντώνεται. Μετά το τέντωμα τα δύο σκέλη του ράμματος ΔΕ και ΔΖ θα είναι ίσα. Λόγω όμως της ισότητας αυτής έπεται ότι η διάμεσος ΔΓ θα είναι συγχρόνως και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΕΖΔ. Άρα ΔΓ ΑΒ. Σχήμα.0. Χάραξη κάθετης από σημείο ευθυγραμμίας με την τριγωνομετρική μέθοδο Τριγωνομετρική μέθοδος Ζητείται να χαραχθεί κάθετος προς την ευθεία ΑΒ από το σημείο Γ. Από το τυχαίο σημείο Ε της ΑΒ το οποίο απέχει απόσταση Χ από Γ χαράσσεται μια

26 . Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών τυχαία ευθυγραμμία, η ΕΖ και μετράται η γωνία φ. X Πάνω στην ΕΖ μετράται απόσταση S και προσδιορίζεται έτσι το σημείο Δ. συνφ Χαράσσεται η ΔΓ η οποία είναι κάθετος στην ΑΒ Χάραξη κάθετης από σημείο εκτός ευθυγραμμίας Μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου Ζητείται να χαραχθεί κάθετος προς την ευθυγραμμία ΑΒ από το σημείο Δ το οποίο βρίσκεται εκτός αυτής. Με κέντρο το σημείο Δ και ακτίνα R μεγαλύτερη από την απόσταση του Δ από την ΑΒ γράφεται κύκλος ο οποίος τέμνει την ΑΒ στα σημεία Ε και Ζ. Προσδιορίζεται το μέσον της ΕΖ, το Γ. Η ΔΓ είναι η ζητούμενη κάθετος στην ΑΒ επειδή το τρίγωνο ΕΖΔ είναι ισοσκελές και η ΔΓ είναι διάμεσος αυτού. Σχήμα.. Χάραξη κάθετης από σημείο εκτός ευθυγραμμίας με τη μέθοδο του ισοσκελούς τριγώνου Τριγωνομετρική μέθοδος Σχήμα.. Χάραξη κάθετης από σημείο εκτός ευθυγραμμίας με την τριγωνομετρική μέθοδο.

27 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 3 Ζητείται να χαραχθεί κάθετος προς την ευθεία ΑΒ από το σημείο Δ. Από τυχαίο σημείο Ζ χαράσσεται μια τυχαία ευθυγραμμία, η ΖΔΕ η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε. Μετρείται απόσταση ΔΕ = S και η γωνία φ της ΖΔΕ και της ΑΒ. Στη συνέχεια υπολογίζεται η απόσταση Χ από τη σχέση X Sσυνφ. Μετρείται πάνω στην ΕΑ απόσταση ΕΓ=Χ και προσδιορίζεται έτσι το σημείο Γ. Χαράσσεται η ΔΓ η οποία είναι κάθετος στην ΑΒ Χάραξη καθέτων ευθειών με ορθόγωνα Το ορθόγωνο είναι όργανο, με το οποίο χαράσσονται ορθές γωνίες. Τα ορθόγωνα είναι τριών ειδών: Τα διοπτρικά, τα κατοπτρικά (ή ανακλαστικά) και τα πρισματικά (ή διαθλαστικά). Από τους τρεις αυτούς τύπους χρησιμοποιείται σήμερα σχεδόν αποκλειστικά μόνο ο τρίτος.

28 4. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών.4. Ασκήσεις Παρατηρήσεις:. Η επίλυση των ασκήσεων θα γίνει από ομάδες των δυο φοιτητών, σε διαφορετικά σημεία του προαυλίου χώρου των εγκαταστάσεων του ΤΕΙ Ηπείρου. Η ομάδα θα χρησιμοποιήσει ως Ν το ημιάθροισμα των Ν των δύο φοιτητών.. Για τις μετρήσεις θα χρησιμοποιηθούν μετροταινίες, ράμματα και ακόντια (λόγω ελλείψεως υλικού αντί ακοντίων θα χρησιμοποιηθούν πάσσαλοι ξύλινοι ή από καλάμια). 3. Τα σημεία θα επισημανθούν και θα γίνει επίδειξη από την κάθε ομάδα. Άσκηση Να ορισθεί ένα σύστημα ορθωγωνικών συντεταγμένων και να εντοπιστεί το σημείο Π με συντεταγμένες Χ= (3,00+0, *Ν) m και Ψ = (,00-0, *Ν) m. Δίδεται Ν=3. Λύση. Δεδομένα: Χ = (3,00+0, x 3) m =3,3 m, Ψ = (-0, x 3) m =,7 m.. Ορίζονται δύο τυχαία σημεία στο έδαφος τα Α (,00, 0,00) και Β ( 5,00, 0,00) ως σημεία του άξονα Χ-Χ και το σημείο Γ ( 0,00, 3,00) ως σημείο του άξονα Ψ - Ψ. Από το Γ γράφεται η κάθετος στην ΑΒ, ήτοι με κέντρο το Γ και ακτίνα σαφώς μεγαλύτερη από την απόσταση του Γ από την ΑΒ γράφεται κύκλος ο οποίος τέμνει την προέκταση της ΑΒ στα σημεία Δ και Ε 3. Προσδιορίζεται το μέσον Ο του ΔΕ το οποίο είναι ο πόδας της καθέτου από το Γ στην ΑΒ, και το οποίο είναι η αρχή του συστήματος συντεταγμένων Ο, ΑΒ, Γ. 4. Εντοπισμός του Π ( 3,00,,00). Από το Ο επί των ΟΑΒ και ΟΓ μετρώται μήκη ΟΖ = X Π = 3,3 m και ΟΗ = Ψ Π =,7 m αντίστοιχα και ορίζονται έτσι τα σημεία Ζ και Η. 5. Mε κέντρα το Z και Η ακτίνες Ry = Ψ Π =,7 και Rx = Χ Π = 3,3 γράφoνται κύκλοι οι οποίοι τέμνονται στο σημείο Π το οποίο είναι το ζητούμενο.

29 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 5 Άσκηση Να ορισθεί ένα σύστημα πολικών συντεταγμένων και να εντοπιστεί το σημείο Π με συντεταγμένες (θ = 30+ 0,.N ) μοίρες, S = (,50 + 0,*N)m. Δίδεται Ν=3. Λύση. Δεδομένα: θ =(30 +0, x 3) μοίρες =30,3 μοίρες, S = (,5+0, x 3) m =,8 m. Έστω ότι είναι υλοποιημένη η θέση του πόλου Ο και της μηδενικής διεύθυνσης του συστήματος πολικών συντεταγμένων. Η θέση του σημείου Ο επισημαίνεται με ακόντιο. 3. Για τη χάραξη της ευθυγραμμίας της μηδενικής διεύθυνσης αρκεί να επισημανθεί με ακόντιο ένα τυχόν σημείο της, έστω το Γ και έ στω ΟΓ=0 m 4. Από το σημείο Ο χαράσσεται γωνία θ =30,3 μοίρες ως εξής: Με κέντρο Ο και ακτίνα τυχούσα, έστω ΟΡ = m γράφεται κύκλος. Με κέντρο Γ και ακτίνα R = ((ΟΓ)^ + (ΟΡ)^ - *(ΟΓ)*(ΟΡ)*συνθ)^0,5 = (0^ + ^ - *0*συν(30,3))^0,5 = 6,065 m, γράφεται κύκλος. Το σημείο τομής των δύο κύκλων είναι το σημείο Ρ στο οποίο τοποθετείται ακόντιο. 5. Μετράται πάνω στην ευθυγραμμία ΟΡ απόσταση OΠ=S =,8 m και στη θέση του σημείου Π τοποθετείται ακόντιο. 6. Το σημείο Π είναι το ζητούμενο, διότι η ευθυγραμμία ΟΠ σχηματίζει γωνία θ με τη μηδενική διεύθυνση και το σημείο Π απέχει απόσταση S από τον πόλο Ο.

30 6. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών Άσκηση 3 Να οριστούν δύο σημεία Α και Β στο έδαφος τα οποία να απέχουν μεταξύ τους περίπου (AB) = (50, ,3N) m και να γίνει πύκνωση της ευθυγραμμίας ανά 0, 00 m Λύση. Δεδομένα: (ΑΒ) =(50 +0,3 x 3) m = 50,9 m.. Ορίζονται τα σημεία Α και Β στο έδαφος και επισημαίνεται με ακόντια. 3. Με κέντρο Α και ακτίνα R= 0,00 m, γράφεται κύκλος. 4. Πάνω στον κύκλο, που χαράχθηκε, κινείται ο στοχοφόρος και προσδιορίζεται η τομή Μ του κύκλου με την ευθυγραμμία ΑΒ. Στη θέση του σημείου Μ τοποθετείται ακόντιο. 5. Με κέντρο Μ και ακτίνα R= 0,00 m, γράφεται κύκλος και ορίζεται η τομή του με την ευθυγραμμία ΑΒ, Μ. 6. Με τον ίδιο τρόπο ορίζονται και τα υπόλοιπα σημεία Μ3, Μ4.

31 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 7 Άσκηση 4 Στην προηγούμενη ευθυγραμμία: α) να υψωθεί κάθετος σε σημείο Γ αυτής που να απέχει ΑΓ= (5,00 +0,3 Ν) m από το Α. Να γίνει εφαρμογή και των τριών μεθόδων. β) από ένα σημείο του εδάφους εκτός της ευθυγραμμίας να χαραχθεί κάθετη στην ευθυγραμμία και με τις δύο μεθόδους. Λύση α. Κάθετος στο σημείο Γ της ευθυγραμμίας Δεδομένα: (ΑΓ) = (5 +0,3 x 3) m = 5,9 m. Ορίζεται το σημείο Γ στο έδαφος και επισημαίνεται με ακόντιο. Αυτό μπορεί να γίνει τεντώνοντας ένα ράμα, ή μια μετροταινία, από τα δύο σημεία Μi και Μ(i+) μεταξύ των οποίων βρίσκεται το Γ και στη συνέχεια παίρνοντας την απόσταση Μi - Γ ή την απόσταση Μ(i+) - Γ. (). Μέθοδος του ορθογωνίου τριγώνου Ορίζεται το σημείο Ε της ευθυγραμμίας ΑΒ σε απόσταση (ΓΕ) = 6,00 m από το Γ. Έπειτα στερεώνονται τα άκρα ενός ράμματος (σχοινιού) μήκους 8,00 m στα σημεία Γ και Ε, τεντώνεται το ράμμα με ένα καρφί και μετακινείται το καρφί έτσι ώστε κατά τη μεταμετακίνηση του τα δύο σκέλη, που σχηματίζει το ράμμα, να είναι διαρκώς τεντωμένα. Όταν το καρφί φθάσει στη θέση Δ ώστε να απέχει από μεν το Γ απόσταση (ΔΓ) = 8,00 m από δε το Ε απόσταση (ΔΕ) = 8,00-8,00 = 0,00 m, τότε το τρίγωνο ΓΕΔ θα είναι ορθογώνιο στο Γ επειδή (ΓΕ) + (ΓΔ) = 6,00 + 8,00 = 00 = (ΔΕ). Επομένως η ΔΓ κάθετη στην ΑΒ. (). Μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου Ορίζονται τα σημεία Ε, και Ζ της ευθυγραμμίας ΑΒ έτσι ώστε (ΕΓ) = (ΓΖ) = π.χ. 5,00 m. Κατόπιν στερεώνονται τα άκρα ενός ράμματος στα σημεία Ε και Ζ κρατιέται το ράμμα από το μέσο του Δ και τεντώνεται. Μετά το τέντωμα τα δύο σκέλη του ράμματος (ΔΕ) και (ΔΖ) θα είναι ίσα. Λόγω όμως της ισότητας αυτής έπεται ότι η διάμεσος ΔΓ θα είναι συγχρόνως και ύψος του ισοσκελούς τριγώνου ΕΖΔ. Άρα η ΔΓ είναι κάθετη στην ΑΒ.

32 8. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών (3). Τριγωνομετρική μέθοδος Από το τυχαίο σημείο Ε της ΑΒ το οποίο απέχει απόσταση έστω (ΓΕ) =,00 m. Από το σημείο Ε χαράσσεται τυχαία γωνία έστω φ = 45,45 μοίρες ως εξής: Με κέντρο Ε και ακτίνα τυχούσα, έστω ΕΖ =0 m γράφεται κύκλος. Με κέντρο Γ και ακτίνα R = ((ΓΕ)^ + (ΕΖ)^ - *(ΓΕ)*(ΕΖ)*συνφ)^0,5 = (3^ + 0^ - *3*0*συν(45,45))^0,5 = 8,8 m, γράφεται κύκλος. Το σημείο τομής των δύο κύκλων είναι το σημείο Ζ στο οποίο τοποθετείται ακόντιο. Πάνω στην ΕΖ μετράται απόσταση (ΕΔ) =3/συν45,45 = 4,8 m και προσδιορίζεται έτσι το σημείο Δ. Χαράσσεται η ΓΔ η οποία είναι κάθετος στην ΑΒ. β. Κάθετος από το σημείο Δ εκτός της ευθυγραμμίας (). Μέθοδος του ισοσκελούς τριγώνου Ορίζεται το σημείο Δ στο έδαφος και επισημαίνεται με ακόντιο. Με κέντρο το σημείο Δ και ακτίνα R σαφώς μεγαλύτερη από την απόσταση του Δ από την ΑΒ γράφεται κύκλος ο οποίος τέμνει την ΑΒ στα σημεία Ε και Ζ. Προσδιορίζεται το μέσον της ΕΖ, το Γ. Η ΔΓ είναι η ζητούμενη κάθετος στην ΑΒ επειδή το τρίγωνο ΕΖΔ είναι ισοσκελές και η ΔΓ είναι διάμεσος αυτού. (). Τριγωνομετρική μέθοδος Από τυχαίο σημείο Ζ χαράσσεται μια τυχαία ευθυγραμμία, η ΖΔΕ η οποία τέμνει την ΑΒ στο σημείο Ε. Μετρείται απόσταση ΔΕ = S και η γωνία φ της ΖΔΕ και της ΑΒ. Στη συνέχεια υπολογίζεται η απόσταση Χ από τη σχέση Χ= S*συνφ. Μετρείται πάνω στην ΕΑ απόσταση ΕΓ=Χ και προσδιορίζεται έτσι το σημείο Γ. Χαράσσεται η ΔΓ η οποία είναι κάθετος στην ΑΒ.

33 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 9 3. ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ ΓΩΝΙΩΝ ΚΑΙ ΜΗΚΩΝ ΣΤΟ ΕΔΑΦΟΣ 3.. Μέτρηση γωνιών Στην Τοπογραφία χρησιμοποιούνται δύο είδη γωνιών αφ ενός οι οριζόντιες γωνίες, που στην πραγματικότητα είναι δίεδρες γωνίες δύο κατακόρυφων επιπέδων και αφ ετέρου οι κατακόρυφες γωνίες διευθύνσεων από ένα οριζόντιο επίπεδο. Οι κατακόρυφες γωνίες μετρούνται πάντα από το οριζόντιο επίπεδο μέχρι τη θέση της διεύθυνσης. Τα διάφορα τοπογραφικά όργανα δεν έχουν τη δυνατότητα να μετρούν όλες τις παραπάνω γωνίες. Η πυξίδα χρησιμοποιείται μόνο για τις μετρήσεις των οριζόντιων γωνιών που σχηματίζουν οι ευθυγραμμίες με τη διεύθυνση του μαγνητικού βορρά οι οποίες ονομάζονται αζιμούθιες γωνίες. Το κλισίμετρο μετρά μόνο κατακόρυφες γωνίες. Δηλαδή μετρά τις γωνίες διευθύνσεων ως προς ένα οριζόντιο επίπεδο, το οποίο διέρχεται από το σημείο αρχής τους. Το θεοδόλιχο είναι το κατ εξοχήν χρησιμοποιούμενο όργανο για τις ακριβείς μετρήσεις οριζόντιων γωνιών και ζενιθίων αποστάσεων. Η ζενίθια απόσταση μιας ευθυγραμμίας είναι η γωνία, που σχηματίζει αυτή με την κατακόρυφο του τόπου που είναι η αρχή της ευθυγραμμίας. Η ομάδα των θεοδόλιχων, η οποία δίνει τη μεγαλύτερη ακρίβεια μετρήσεων, συμπεριλαμβάνει και τα συμβατικά ταχύμετρα καθώς και τα ηλεκτρονικά ταχύμετρα Μέτρηση οριζοντίων γωνιών Δίνονται τρία σημεία τα Α, και, τα κατακόρυφα επίπεδα των σημείων Α, και Α, (σχήμα 3. ), καθώς και οι οριζόντιες ευθείες α και α, που διέρχονται από το σημείο Α και κείνται η μεν α στο κατακόρυφο επίπεδο Α, η δε α στο κατακόρυφο επίπεδο Α,. Σχήμα 3.. Η οριζόντια γωνία α Αα Ονομάζεται οριζόντια γωνία των σημείων και ως προς το σημείο Α τη γωνία που σχηματίζουν οι ευθείες α και α. Τα δύο κατακόρυφα επίπεδα τέμνονται κατά την κατακόρυφη ευθεία ΑΚ του σημείου. Επομένως οι α και α είναι κάθετες προς την ΑΚ. Άρα, η οριζόντια γωνία α Α α ισούται με την τιμή της δίεδρης γωνίας που σχηματίζουν τα κατακόρυφα επίπεδα Α, και Α,. Η μέτρηση μιας οριζόντιας γωνίας μπορεί να γίνει με διάφορα τοπογραφικά όργανα κυριότερα από τα οποία είναι το θεοδόλιχο και η γωνιομετρική πυξίδα. Κατά τη μέτρηση με την πυξίδα, η πυξίδα τοποθετείται έτσι ώστε μέσα από το φακό να φαίνεται σε ευθυγραμμία η κατακόρυφη χαραγή που υπάρχει στο αντιδιαμετρικό στέλεχος, και το ακόντιο που τοποθετήθηκε στο σκοπευόμενο σημείο. Σε αυτή τη θέση βλέπουμε ταυτόχρονα, μέσα από το φακό, την ένδειξη του μαγνητικού δίσκου. Η ένδειξη αυτή μας δίνει απ' ευθείας την αζιμούθια γωνία της σκοπευόμενης διεύθυνσης.

34 30. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών Για απλές περιπτώσεις η μέτρηση μπορεί να γίνει με την ακόλουθη τριγωνομετρική μέθοδο για την εφαρμογή της οποίας απαιτούνται μόνο ακόντια και μετροταινία. Σχήμα 3.. Μέτρηση οριζόντιας γωνίας Δίδονται οι ευθυγραμμίες ΑΒ και ΑΓ οι οποίες τέμνονται στο σημείο Α και ζητείται να μετρηθεί η οριζόντια γωνία που σχηματίζουν. Ορίζονται δύο τυχαία σημεία Δ και Ε πάνω στις ευθυγραμμίες ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα και μετρώνται οι αποστάσεις ΑΔ = ε, ΑΕ = δ και ΔΕ = α. Από το νόμο του συνημίτονου, δ φ τοξσυν ε α δε α δ ε δε. συνφ, υπολογίζεται η γωνία φ : Για να είναι ακριβής η μέτρηση πρέπει ληφθούν διάφορες αποστάσεις δ i υπολογιστεί το φ από τη σχέση i n i φ i φ όπου n είναι ο αριθμός των μετρήσεων. n 3... Μέτρηση κατακόρυφης γωνίας ευθυγραμμίας ως προς τον ορίζοντα. και ε i και να Δίδονται η ευθυγραμμία ΑΒ και ζητείται να μετρηθεί η κατακόρυφη γωνία που σχηματίζει με το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το Α. Σχήμα 3.3. Μέτρηση κατακόρυφης γωνίας Στο σημείο Β τοποθετείται ένα ακόντιο κατακόρυφα και πάνω σε αυτό ορίζεται ένα τυχαίο σημείο Γ. Κατόπιν μετρώνται οι αποστάσεις ΑΒ = γ, ΑΓ = β και ΒΓ = α. Από το νόμο του συνημίτονου στο τρίγωνο ΑΒΓ υπολογίζεται η γωνία φ: α φ τοξσυν γ β α γ Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΟ προκύπτει ότι ζητούμενη γωνία ω = φ - 90.

35 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Ασκήσεις Παρατηρήσεις:. Η επίλυση των ασκήσεων θα γίνει από ομάδες των δυο φοιτητών, σε διαφορετικά σημεία του προαυλίου χώρου των εγκαταστάσεων του ΤΕΙ Ηπείρου. Η ομάδα θα χρησιμοποιήσει ως Ν το ημιάθροισμα των Ν των δύο φοιτητών.. Για τις μετρήσεις θα χρησιμοποιηθούν μετροταινίες, ράμματα και ακόντια (λόγω ελλείψεως υλικού αντί ακοντίων θα χρησιμοποιηθούν πάσσαλοι ξύλινοι ή από καλάμια). 3. Τα σημεία θα επισημανθούν και θα γίνει επίδειξη από την κάθε ομάδα. Άσκηση Για τη μέτρηση της γωνίας φ που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθυγραμμίες ΑΒ και ΑΓ μετρήθηκαν μήκη (ΑΔ) = ε = (4,00+0,*Ν), (ΑΕ) = δ = (5,00+0,*Ν) και (ΔΕ) = α = (3,00+0,*Ν). Να υπολογιστεί η γωνία φ. Δίδεται Ν=3. Λύση Δεδομένα: (ΑΔ) = ε = (4,00 +0, x 3) m = 4,3 m, (ΑΕ) = δ = (5,00+0, x 3) m = 5,6 m και (ΔΕ) = α = (3,00+0, x 3) m = 3,3 m. Από το νόμο του συνημίτονου υπολογίζεται η γωνία φ : δ φ τοξσυν ε α δε α δ ε δ ε συνφ :, 5,60 4,30 3,30 φ τοξσυν τοξσυν(0,809) *5,60*4,30 ήτοι φ =0,684rad = 36,0046 μοίρες = 36 μοίρες, 0 λεπτά, 6,56 δευτερόλεπτα Άσκηση Για τη μέτρηση της κατακόρυφης γωνίας ω που που σχηματίζει η ευθυγραμμία ΑΒ με το οριζόντιο επίπεδο που διέρχεται από το Α, τοποθετήθηκε σημείο Β ένα ακόντιο κατακόρυφα και πάνω σε αυτό ορίστηκε ένα τυχαίο σημείο Γ. Κατόπιν μετρήθηκαν τα μήκη (ΑΒ) = γ = (44,00+0,*Ν) m, (ΑΓ) = β = (45,00+0,*Ν) m και (ΒΓ) = α = (,00+0,0*Ν) m. Ζητούνται : α) Η κατακόρυφη γωνία ω, β) Η οριζόντια απόσταση (ΑΟ) μεταξύ των σημείων Α και Β και γ ) Η κατακόρυφη απόσταση (ΟΒ) μεταξύ των σημείων Α και Β.

36 3. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών Λύση Δεδομένα: (ΑΒ) = γ = (44,00 +0, x 3) m = 44,3 m, (ΑΓ) = β = (45,00+0, x 3) m = 45,3 m και (ΒΓ) = α = (,00 + 0,0 x 3) m =,03 m. α) Υπολογισμός της κατακόρυφης γωνίας ω Από το νόμο του συνημίτονου στο τρίγωνο ΑΒΓ υπολογίζεται η γωνία φ : α φ τοξσυν γ β α γ,03 44,30 45,30 φ τοξσυν *,03* 44,30 τοξσυν( 0,970) ήτοι φ =,8969 rad = 65,9773 μοίρες = 65 μοίρες, 58 λεπτά, 38,8 δευτερόλεπτα Από το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΟ προκύπτει ότι ζητούμενη γωνία ω = φ ήτοι ω =,8969-3,459/ =,36 rad = 75,9773 μοίρες = 75 μοίρες, 58 λεπτά, 38,8 δευτερόλεπτα β) Υπολογισμός της οριζόντιας απόστασης (ΑΟ) Είναι (ΑΟ) = (ΑΒ) συνω = ( 44,3) x συν(75,9773) =0,73 m γ) Υπολογισμός της κατακόρυφης απόστασης (ΟΒ) Είναι (ΑΟ) = (ΑΒ) ημω = ( 44,3) x ημ(75,9773) = 4,98 m

37 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Μέτρηση υψομετρικών διαφορών 3... Μέτρηση με το αλφαδολάστιχο Η μέθοδος αυτή είναι η πιο συχνή. Γεμίζουμε με νερό ένα διαφανές λάστιχο που ονομάζεται αλφαδολάστιχο. Κατά το γέμισμα του νερού θέλει προσοχή να μην εγκλωβιστούν φυσαλίδες αέρα οι οποίες μπορούν να δώσουν πλασματική αλφαδιά λόγω της ελαστικότητάς τους. Σχήμα 3.4. Αλφαδολάστιχο Ένας τρόπος για την αποφυγή σχηματισμού φυσαλίδων αέρα είναι να αφήσουμε να τρέξει αρκετό νερό, παρασύροντάς τες στην ουσία και διώχνοντάς τες από το λάστιχο. Ένας δεύτερος κίνδυνος που μπορεί να μας δώσει λάθος αλφαδιά είναι να έχει «γωνιάσει» κάπου το αλφαδολάστιχο. Γι αυτό χρειάζεται πάντα να ελέγχουμε αν έχει συμβεί κάτι τέτοιο. Η μέθοδος που συνήθως ακολουθείται είναι η ακόλουθη. Παίρνουμε το μέτρο και σημαδεύουμε σε ύψος ενός μέτρου πάνω από το αρχικό σημείο. Κατόπιν με ένα συνεργάτη μας και αφού αδειάσομε 60 περίπου cm νερού (δηλαδή 30cm από τη μία πλευρά του λάστιχου χωρίς νερό και 30 cm από την άλλη) ο ένας στέκεται σταθερά στην αρχική αλφαδιά και ο δεύτερος μετακινείται στο χώρο παίρνοντας αλφαδιές σ όσα σημεία θεωρούνται αναγκαία για την ορθή εκτέλεση του έργου. Προσοχή: Κατά τη διάρκεια της μετακίνησης, επειδή ποσότητα από το νερό μπορεί να φύγει μέσα από το λάστιχο, δυσχεραίνοντας το έργο του αλφαδιάσματος, σφραγίζουμε και τις δύο άκρες τις με τον αντίχειρά μας πιέζοντάς τις σταθερά. Τον αντίχειρά μας τον βγάζουμε, απελευθερώνοντας στην ουσία την κίνηση του νερού, μόνο όταν ο συνεργάτης μας έχει φτάσει στο σημείο που θέλει να καταγράψει μια αλφαδιά. Τότε είτε με το μέτρο του είτε με περίπου υπολογισμό (προτιμάται το μέτρο) σταθεροποιεί το λάστιχό του περίπου σ ένα ύψος,3 έως,5 m από το δάπεδο και φωνάζει «δώσε». Για να πάρουμε τη σταθερή αλφαδιά φωνάζουμε «δίνω» κι οι δύο τότε (και μόνο τότε) απελευθερώνουμε τους αντίχειρές μας. Πριν πούμε «δίνω» έχουμε κι εμείς τοποθετήσει την άκρη του λάστιχου 30 cm περίπου πιο πάνω από το σημείο της αρχικής αλφαδιάς. Με την απελευθέρωση η στάθμη του νερού μετακινείται (παλαντζάρει). Με κατάλληλες κινήσεις, μετακινώντας το αλφαδολάστιχο πάνω ή κάτω σταθεροποιούμε τη στάθμη στο σημείο του σημαδιού. Καθ όλη αυτή την διαδικασία ο συνεργάτης μας παραμένει σταθερός και δεν μετακινεί τη δική του άκρη από το λάστιχο. Αφού βεβαιωθούμε πως η στάθμη του νερού σταθεροποιήθηκε στο σημείο που είχαμε σημαδέψει φωνάζουμε «εκεί».

38 34. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών Τότε ο συνεργάτης μας, έχοντας σκύψει στο ύψος της σταθεροποιημένης στάθμης με το μολύβι του και από αριστερά πάντα προς τα δεξιά, σημειώνει μια γραμμή στον τοίχο ακριβώς στο ύψος της στάθμης ξεκινώντας mm από το αλφαδολάστιχο. Αν ο συνεργάτης μας είναι αριστερόχειρας ή από έλλειψη χώρου δεν μπορεί να τραβήξει τη γραμμή ξεκινώντας από το αλφαδολάστιχο και σημαδεύοντας μετακινώντας το μολύβι του προς τα δεξιά, τότε συστήνεται, για να μπορεί να αναγνωρίζεται με ακρίβεια το επίπεδο της στάθμης, από το σημείο της γραμμής που βρισκόταν πιο κοντά στο αλφαδολάστιχο (και άρα στην αλφαδιά μας) με το μολύβι να σχεδιάζουμε μια γραμμή προς τα κάτω και υπό γωνία (π.χ. 45 ο ). Τώρα η αλφαδιά βρίσκεται στην ακμή της γωνίας. Αφού λοιπόν γίνει η καταγραφή της νέας αλφαδιάς ο συνεργάτης μας κλείνει με τον αντίχειρά του την έξοδο της δικής του άκρης (προσεκτικά χωρίς να μετακινήσει το λάστιχό του) και φωνάζει «κλείσε». Το ίδιο προσεκτικά σφραγίζουμε τη δική μας άκρη και φωνάζουμε «έκλεισα». Μόνο αν ο συνεργάτης μας ακούσει «έκλεισα» μπορεί να μετακινηθεί και να πάει στο επόμενο σημείο για μια νέα αλφαδιά. Για τη νέα αλφαδιά ακολουθείται ακριβώς η ίδια διαδικασία. Σημείωση: Πάντα οι αλφαδιές παίρνονται από ένα σημείο. Εμείς συνεπώς μένουμε σταθεροί και δεν μετακινούμαστε από το σημείο αυτό. Αυτό σημαίνει ότι αν ο χώρος που θέλουμε να αλφαδιάσουμε είναι μεγάλος, έχουμε φροντίσει από πριν να αγοράσουμε επαρκώς μακρύ αλφαδολάστιχο. Συμβουλή: Αν για κάποιο λόγο θέλουμε να διακόψουμε προσωρινά την εργασία μας, και για να μην επαναλαμβάνουμε την εργασία πλήρωσης του αλφαδολάστιχου με νερό, καρφώνουμε δύο σαρανταπεντάρες πρόκες κάθετα στον τοίχο σε απόσταση 0-30 cm τη μια από την άλλη και στο ίδιο περίπου ύψος αφήνοντας ένα μήκος πρόκας 6-7cm περίπου. Τότε με προσοχή τοποθετούμε ταυτόχρονα, χρησιμοποιώντας και τα δύο μας χέρια, τις άκρες του αλφαδολάστιχου έτσι ώστε κάθε πρόκα να εισχωρεί μέσα σε μία του άκρη. Αφού κάθε άκρη ακουμπήσει στον τοίχο αφήνουμε το αλφαδολάστιχο να κρεμαστεί μέχρι την επόμενη χρήση του. Όταν ολοκληρώσουμε το έργο του αλφαδιάσματος του χώρου που μας ενδιαφέρει μπορούμε πλέον να προσδιορίσουμε τα υψόμετρα των διαφόρων σημείων του εδάφους τα οποία προκύπτουν αν από το υψόμετρο του αρχικού σταθερού σημείου αφαιρούμε την κατακόρυφη απόσταση από το έδαφος για κάθε σημείο που χωροσταθμήσαμε. Επίσης αν θέλουμε να προσδιορίσουμε ένα νέο οριζόντιο επίπεδο το οποίο να βρίσκεται π.χ. 0,50 m πάνω από το αρχικό σταθερό σημείο, κρατάμε σταθερά το μέτρο στην ένδειξη,00 m και ο συνεργάτης μας είτε σημειώνει ή καρφώνει πρόκες (συνήθως ατσαλόπροκες) στην ένδειξη 0,50 m του μέτρου ώστε να μπορούν να δεθούν τα ράμματα. Τα ράμματα με τη σειρά τους θα παίξουν το ρόλο του οδηγού για το ύψος και την επιπεδότητα του γηπέδου μας 3... Μέτρηση με λέιζερ αλφαδιάσματος Το λέιζερ περιορίζει σημαντικά το χρόνο που χάνουμε με το αλφαδολάστιχο στην καταγραφή ενός πλήθους αλφαδιών σημαδιών στο χώρο. Παράλληλα εξασφαλίζει ποιότητα και μη αστοχία στο αλφάδιασμα. Έχοντας τη δυνατότητα να αλφαδιάζεται (γυροσκοπικά) μόνο του, περιστρέφει με ταχύτητα στο χώρο μια δέσμη λέιζερ στο ύψος που του έχουμε προσδιορίσει. Ο άνθρωπος λόγω της ταχύτητας περιστροφής βλέπει μια κόκκινη γραμμή μέσα στο χώρο που είναι το ύψος του γεμίσματος που ζητάμε. Η αρχική αλφαδιά χωρίς τη χρήση του αλφαδολάστιχου γίνεται με τη μεταφορά του λέιζερ από χώρο σε χώρο έχοντας σημειώσει, μέσα από τα ανοίγματα στις πόρτες, αλφαδιές με βάση τις οποίες μπορούμε να ισοσταθμίσουμε την η δέσμη λέιζερ στη νέα θέση της μετά τη μετακίνηση του μηχανήματος.

39 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Μέτρηση οριζοντίων αποστάσεων Ορισμοί Μέγιστος κύκλος δύο σημείων Α και Β της επιφάνειας μιας σφαίρας είναι η τομή της σφαίρας από το επίπεδο, που ορίζουν τα δύο σημεία και το κέντρο Κ της σφαίρας (σχ. 3.5.). Σχήμα 3.5. Μέγιστος κύκλος δύο σημείων σφαίρας Απόσταση δύο σημείων Α και Β της επιφάνειας μιας σφαίρας ονομάζεται το ανάπτυγμα του τόξου ΑΤΒ του μέγιστου κύκλου των δύο σημείων (σχ. 3.6.). Το τόξο ΑΤΒ έχει το μικρότερο ανάπτυγμα από όλες τις γραμμές της σφαιρικής επιφάνειας που καταλήγουν στα Α και Β. Κατακόρυφο επίπεδο των Α και Β γεωειδές Μέγιστος κύκλος των Α και Β Σχήμα 3.6. Απόσταση δύο σημείων Α και Β μιας σφαίρας Οριζόντια απόσταση δύο σημείων Α και Β της επιφάνειας του εδάφους ονομάζεται η απόσταση ανάμεσα στις ορθές προβολές Α και Β των δύο σημείων επάνω στο γεωειδές. Το γεωειδές όμως, σύμφωνα με την παραδοχή που έχομε κάνει, είναι σφαιρική επιφάνεια. Εάν

40 36. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών συνεπώς θεωρήσομε το μέγιστο κύκλο του γεωειδούς, που διέρχεται από τα σημεία Α και Β προκύπτει ότι η οριζόντια απόσταση των Α και Β ισούται με το ανάπτυγμα του τόξου Α T Β του μέγιστου αυτού κύκλου (σχ. 3.6.). Σημειώνεται ότι ο μέγιστος κύκλος των Α και Β λαμβάνεται ως τομή του γεωειδούς από το κατακόρυφο επίπεδο των Α και Β. Σχήμα 3.7. Το ανάπτυγμα του τόξου Α T Β Προσδιορισμός του αναπτύγματος του τόξου Α T Β'. Εάν το τόξο Α T Β' είναι πολύ μικρό σχετικά με την ακτίνα του γεωειδούς, τότε, χωρίς να διαπράττομε αισθητό σφάλμα, είναι δυνατό να δεχθούμε ότι το ανάπτυγμα του ισούται με τη χορδή Α Β (σχ. 3.7.). (Το σχήμα αυτό παριστάνει την τομή του κατακόρυφου επιπέδου των Α και Β με την επιφάνεια του εδάφους και με το γεωειδές στην περιοχή των Α και Β). Επίσης εάν από ένα σημείο της κατακόρυφης ΑΑ, έστω το Α, φέρομε την ευθεία Α Β παράλληλη προς την Α Β, είναι δυνατόν να δεχθούμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα Α Β ισούται προς το Α Β, αρκεί το μήκος του Α Β να μη υπερβαίνει ένα ορισμένο όριο, περίπου τα 00 m, και η απόσταση ΑΑ να είναι σχετικά μικρή. Στην πράξη το Α ή συμπίπτει με το Α ή απέχει το πολύ ένα έως ενάμισι μέτρο από αυτό, ανάλογα με τη μέθοδο μετρήσεως, που θα ακολουθήσομε. Τελικά, ύστερα από τις υποθέσεις, που κάναμε, ο προσδιορισμός της οριζόντιας αποστάσεως των σημείων Α και Β ανάγεται στη μέτρηση του ευθύγραμμου τμήματος Α Β. Τι γίνεται όμως, όταν η απόσταση μεταξύ των Α και Β είναι μεγάλη, π.χ. 500 m; Τότε επάνω στην ευθυγραμμία των Α και Β, δηλαδή επάνω στην τομή της επιφάνειας του εδάφους από το κατακόρυφο επίπεδο των δύο σημείων, παρεμβάλλομε τα σημεία Σ,, Σ, Σ 3... Σ ν (σχ.. δ) έτσι ώστε τα ευθύγραμμα τμήματα Α Σ, Σ Σ, Σ Σ 3,... Σ ν Β να είναι όλα μικρότερα από 00 m. Σχήμα 3.8. Το ολικό μήκος της ευθυγραμμίας των Α και Β Η οριζόντια απόσταση L των σημείων Α και Β λαμβάνεται τότε ίση προς το ολικό μήκος της τεθλασμένης γραμμής Α Σ Σ Σ 3,...,Σ νβ ή προς το άθροισμα των ευθυγράμμων τμημάτων Α Σ, Σ Σ, Σ Σ 3,... Σ ν Β. Εάν δηλαδή τεθεί l = Α Σ, l = Σ Σ, l 3 = Σ Σ 3,... l ν + = Σ ν Β προκύπτει L= l +l + l l ν+

41 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Μέθοδοι μετρήσεως οριζοντίων αποστάσεων Υπάρχουν δύο είδη μετρήσεως μιας οριζόντιας αποστάσεως, η άμεση και η έμμεση. Άμεση λέγεται η μέτρηση κατά την οποία μετρούμε την ίδια την οριζόντια απόσταση, για την οποία ενδιαφερόμαστε. Η άμεση μέτρηση όμως δεν είναι πάντοτε εφικτή. Σε ορισμένες περιπτώσεις δυσχεραίνεται η παρεμποδίζεται τελείως από τις συνθήκες του εδάφους. Τότε συσχετίζομε την οριζόντια απόσταση L, που θέλομε να προσδιορίσομε, με διάφορα άλλα μεγέθη, μετράμε τα μεγέθη αυτά και βρίσκομε το L με υπολογισμό. Η συσχέτιση γίνεται με κατάλληλες γεωμετρικές ή τριγωνομετρικές σχέσεις. Αυτού του είδους η μέτρηση ονομάζεται έμμεση γιατί μεσολαβεί η άμεση μέτρηση άλλων μεγεθών Άμεση μέτρηση α) Μέτρηση οριζοντίων αποστάσεων με μετροταινίες Η μετροταινία είναι το βασικό Τοπογραφικό όργανο, που χρησιμοποιείται στη μέτρηση των αποστάσεων. Είναι ένα όργανο απλό. Αποτελείται από μια ταινία μεγάλης αντοχής και μικρού συντελεστή γραμμικής διαστολής, πλάτους ενός περίπου εκατοστού. Το μήκος της δεν είναι προκαθορισμένο. Υπάρχουν μετροταινίες 0m, 30m, 50m και 00m. Η ταινία στη μια άκρη της είναι κολλημένη πάνω σε ένα άξονα, γύρω από τον οποίο είναι σφικτά περιελιγμένη, ώστε να καταλαμβάνει μικρό όγκο. Το όλο σύστημα βρίσκεται μέσα σε μια πλαστική ή μεταλλική θήκη. Από μια μικρή σχισμή της θήκης προεξέχει ένα τμήμα της ταινίας. Το ελεύθερο άκρο της ταινίας καταλήγει σε ένα κρίκο, που χρησιμεύει στο να διευκολύνει το τέντωμα. Περνάμε δηλαδή μέσα από τον κρίκο μια μικρή ράβδο από ξύλο ή σίδερο και τη χρησιμοποιούμε ως λαβή. Στο σχήμα 3.9. φαίνονται δύο τύποι μετροταινίας, στα αριστερά μια μετροταινία από λεπτό έλασμα και στα δεξιά μια μετροταινία από πλαστική ουσία μεγάλης αντοχής. Σχήμα 3.9. Τύποι μετροταινίας. Η μέτρηση της οριζόντιας αποστάσεως δύο σημείων, έστω των Α και Β γίνεται με την ακόλουθη διαδικασία. Έστω ότι η απόσταση αυτή είναι κατά πολύ μεγαλύτερη από το μήκος, μ, της ταινίας. Η μέτρηση γίνεται από δύο μετρητές, που καθένας τους είναι εφοδιασμένος με ένα νήμα της στάθμης. Ο πρώτος κρατά το ελεύθερο άκρο της ταινίας και συγκεκριμένα τη ράβδο, που χρησιμεύει ως λαβή.

42 38. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών Ο δεύτερος κρατά την ταινία από τη θήκη της και κινείται στην ευθυγραμμία. Όταν ξετυλιχθεί όλο το μήκος της ταινίας, την τεντώνουν. Με το τέντωμα οι μετρητές επιδιώκουν ο πρώτος να κρατά το νήμα της στάθμης σε επαφή με την αρχή των διαιρέσεων και επάνω ακριβώς από το σημείο Α (σχ. 3.0), και ο δεύτερος να κρατά το νήμα της στάθμης σε επαφή με το τέλος των διαιρέσεων και να βρίσκεται ακριβώς στην ευθυγραμμία. Και οι δύο μετρητές επιδιώκουν να κρατούν την ταινία οριζόντια. (α) Σχήμα 3.0. Χρήση της μετροταινίας Όταν η μετροταινία τεντώσει καλά, ο δεύτερος μετρητής αφήνει το μεταλλικό σώμα του νήματος να αγγίζει το έδαφος και προσδιορίζει έτσι το πρώτο ενδιάμεσο σημείο Σ, δηλαδή το Σ (σχ. 3..). (β) Σχήμα 3.. Μέτρηση της οριζόντιας αποστάσεως δύο σημείων, με μετροταινία Για τον προσδιορισμό του Σ αρκεί ο πρώτος μετρητής να μετακινηθεί στο σημείο Σ, και να επαναληφθεί η ίδια εργασία. Με τον ίδιο τρόπο προσδιορίζονται και τα άλλα ενδιάμεσα σημεία μέχρι και το τελευταίο, δηλαδή το Σ ν. Η οριζόντια απόσταση l ν+ μεταξύ του Σ ν και του άκρου Β της ευθυγραμμίας θα είναι προφανώς μικρότερη από το μήκος μ της ταινίας. Η ολική οριζόντια απόσταση L μεταξύ των σημείων Α και Β θα προκύψει από τη σχέση: L = ν. μ + μ* όπου μ το μήκος της ταινίας, μ* η διαίρεση της ταινίας, με την οποία συνέπεσε το νήμα της στάθμης επάνω από το Β, και ν σημαίνει πόσες φορές χρησιμοποιήθηκε η ταινία σε όλο το μήκος της.

43 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 39 Αυτή η μέθοδος μετρήσεως, κατά την οποία ξετυλίγεται όλο το μήκος της ταινίας, μπορεί να εφαρμοσθεί, όταν το έδαφος είναι σχεδόν οριζόντιο ή έχει πολύ μικρή κλίση, γιατί τότε μόνο είναι δυνατό να κρατάμε την ταινία οριζόντια. Εάν μάλιστα το έδαφος είναι και οριζόντιο και ομαλό, αποθέτομε κατά τη μέτρηση την ταινία πάνω στο έδαφος, οπότε εξουδετερώνομε το βέλος κάμψεως. Σε ορεινά εδάφη όμως, όπου η κλίση κατά μήκος της ευθυγραμμίας είναι και μεγάλη και ποικίλη, αναγκαζόμαστε να μετράμε με μειωμένο μήκος ταινίας. Όσο μάλιστα αυξάνει η κλίση της ευθυγραμμίας μεταξύ των διαδοχικών σημείων Σ, τόσο ελαττώνεται το μήκος μ. Αυτό έχει το μειονέκτημα να χρονοτριβούμε κατά τη μέτρηση, έχει όμως και το πλεονέκτημα ότι λόγω του μειωμένου μήκους της ταινίας το τέντωμα είναι πιο καλό και συνεπώς η μέτρηση γίνεται με μεγαλύτερη ακρίβεια. Σχήμα 3.. Μέτρηση της οριζόντιας αποστάσεως σε ορεινά εδάφη με μεγάλη και ποικίλη κλίση κατά μήκος της ευθυγραμμίας Όταν οι κλίσεις της ευθυγραμμίας Α Β είναι πολύ μεγάλες, μπορεί να εφαρμοστεί και μια άλλη μέθοδος μετρήσεως. Αντί να κρατάμε την ταινία οριζόντια, την κρατάμε παράλληλη προς την κλίση της ευθυγραμμίας. Αυτό επιτυγχάνεται, εάν κατά το τέντωμα τα άκρα της ταινίας απέχουν εξίσου από το έδαφος (σχ. 3..). Κατά τα άλλα ο προσδιορισμός των ενδιαμέσων σημείων Σ γίνεται όπως στην περίπτωση πεδινού εδάφους. l Σ i Σχήμα 3.3. Μέτρηση της οριζόντιας αποστάσεως σε εδάφη με μεγάλη κλίση κατά μήκος της ευθυγραμμίας Ο προσδιορισμός της πρώτης τμηματικής αποστάσεως, l, και ανάλογα οι άλλες, υπολογίζεται με δύο τρόπους είτε από τη μέτρηση της υψομετρικής διαφοράς δ, είτε από τη μέτρηση της κατακόρυφης γωνίας ωˆ II I. Με τον πρώτο τρόπο το l υπολογίζεται από τη σχέση: ( A II) δ

44 40. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών Με το δεύτερο τρόπο υπολογίζεται πρώτα η ωˆ II I σύμφωνα με την παράγραφο 3... και κατόπιν το l από τη σχέση (A II) ημωˆ Ο τρόπος με τον οποίο προσδιορίζονται οι διαφορές υψομέτρων δ, λέγεται χωροστάθμηση, και γίνεται με διαφόρους τρόπους. α ) Ακρίβεια μετρήσεως Εκείνο, που πρέπει να τονίσομε για τις μετρήσεις μικρής ή μέσης ακρίβειας, είναι η ανάγκη να τεντώνεται η μετροταινία όσο γίνεται περισσότερο. Αυτό δεν είναι και τόσο εύκολο, όσο φαίνεται εκ πρώτης όψεως, ιδίως μάλιστα όταν φυσά δυνατός άνεμος. Ένας άλλος σοβαρός συντελεστής της ακρίβειας της μετρήσεως είναι η οριζοντιότητα της μετροταινίας. Επειδή συνήθως η οριζοντιότητα αυτή ελέγχεται με το μάτι, οι μετρητές πρέπει να είναι αρκετά εξασκημένοι, ώστε να μη διαπράττουν σοβαρά σφάλματα κατά τη μέτρηση. Στις συνηθισμένες μετρήσεις με μετροταινία η ακρίβεια μετρήσεως κυμαίνεται από 5 έως 3 cm στα 00 m. Στις μετρήσεις μεγάλης ακρίβειας μπορεί να φθάσει το cm στα 00 m. Η μέτρηση μιας οριζόντιας απόστασης δεν γίνεται μία φορά αλλά επαναλαμβάνεται 3 έως 6 φορές ανάλογα με την επιθυμητή ακρίβεια, και βγαίνει ο μέσος όρος των μετρήσεων. Η κάθε νέα μέτρηση γίνεται με την αντίθετη κατεύθυνση από τυην προηγούμενη (aller-retour). β) Μέτρηση των αποστάσεων με Laser β ) Γενικά Τα lasers είναι διατάξεις παραγωγής (οπτικών) ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων με τη μέθοδο της «εξαναγκασμένης εκπομπής ακτινοβολίας». Η λέξη laser (λέιζερ) προέρχεται από τα αρχικά των λέξεων «Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation» που στα ελληνικά σημαίνει «ενίσχυση φωτός με εξαναγκασμένη εκπομπή ακτινοβολίας». Όπως γίνεται λοιπόν αντιληπτό, το laser είναι ένας ενισχυτής φωτός. Ιστορικά αναφέρεται ότι ο Albert Einstein είχε αποδείξει τη δυνατότητα ύπαρξης της «εξαναγκασμένης εκπομπής ακτινοβολίας» από το 97. Το 958 υποδείχθηκε η αρχή λειτουργίας του laser από τους C. H. Towns (Τάουνς) και A. L. Schawlow (Σάλοου). Το 960 κατασκευάστηκε από τον Τ. Η. Maiman (Μέιμαν) το πρώτο laser ρουμπινιού (ρουβιδίου). β ) Η «εξαναγκασμένη εκπομπή ακτινοβολίας» Όταν ένα φωτόνιο κατάλληλης ενέργειας που ανήκει σε ευθύγραμμη δέσμη φωτός, χτυπήσει άτομο που βρίσκεται στη θεμελιώδη του κατάσταση, το διεγείρει σε μια κατάσταση υψηλότερης ενέργειας, και όταν το άτομο αυτό ξαναγυρίζει στη θεμελιώδη του κατάσταση, κατευθείαν από την διεγερμένη, εκπέμπει πάλι φωτόνιο ίδιας συχνότητας με το αρχικό (δηλαδή ιδίου χρώματος), αλλά προς τυχαία κατεύθυνση. Έτσι στην αρχική κατεύθυνση του φωτός, η δέσμη μετά το πέρασμά της από την περιοχή που βρίσκονται τα άτομα της ύλης, δεν περιέχει πια την συγκεκριμένη συχνότητα, η οποία φαίνεται ότι απορροφήθηκε από την ύλη. Ο Einstein όμως έδειξε ότι αν ένα φωτόνιο χτυπάει ένα άτομο ήδη διεγερμένο,(σχ.3.4.), μοιάζει σαν να αφήνει το άτομο να περνάει το αρχικό φωτόνιο στην ίδια κατεύθυνση που πήγαινε,

45 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 4 ενώ συγχρόνως εκπέμπει και αυτό ένα όμοιο φωτόνιο προς την ίδια εμπρόσθια κατεύθυνση. Αυτό είναι ακριβώς το κλειδί που εξηγεί την λειτουργία του λέιζερ. Όταν ένα φωτόνιο χτυπήσει ένα ήδη διεγερμένο άτομο, το άτομο εκπέμπει ένα νέο φωτόνιο, που είναι απόλυτα όμοιο με το προσπίπτον: ίδιο χρώμα, και ίδια κατεύθυνση. Ονομάζουμε αυτή τη διαδικασία, "εξαναγκασμένη εκπομπή". Σχήμα 3.4. Ένα φωτόνιο χτυπάει ένα διεγερμένο άτομο (αριστερά) και το άτομο εκπέμπει ένα ακριβώς όμοιο φωτόνιο (δεξιά) Από ένα λοιπόν αρχικό φωτόνιο έχουμε δύο όμοια φωτόνια "κλώνους", και αν αυτά χτυπήσουν νέα άτομα γίνονται 4 όμοια φωτόνια κ.οκ. Είναι φανερό ότι έτσι πετυχαίνουμε ενίσχυση του φωτός, με απολύτως όμοια φωτόνια. Αλλά για να διεγείρομε ένα άτομο πρέπει προηγουμένως να έχομε χρησιμοποιήσει πάλι ένα φωτόνιο για το σκοπό αυτό. Αν λοιπόν για να πάρομε φωτόνια χρησιμοποιούμε άλλα δύο, ποιό το όφελος; Πως θα πετύχομε την ενίσχυση του φωτός; Σωστά μέχρι εδώ, γι αυτό ξεκινάμε τη διαδικασία με ένα σωρό από διεγερμένα άτομα, που δεν τα έχουμε διεγείρει με φωτόνια, και στη συνέχεια, ένα φωτόνιο που περνάει μέσα από την περιοχή των ατόμων, ξεκινάει τη διαδικασία της χιονοστιβάδας. Το θέμα λοιπόν είναι πως πετυχαίνουμε την αρχική μαζική διέγερση των ατόμων, αφού είναι γνωστό ότι τα άτομα στη συνηθισμένη τους κατάσταση βρίσκονται στη θεμελιώδη τους στάθμη. Κάτι τέτοιο δεν είναι και τόσο εύκολο, αλλά πάντως το πετυχαίνουμε είτε με "αντλίες ηλεκτρικής ενέργειας" επί των ατόμων, είτε φωτίζοντάς τα με φως διαφορετικών συχνοτήτων από τη συχνότητα του φωτός που θα ενισχυθεί και θα μας δώσει το λέιζερ. Και με τις δύο διαδικασίες, διεγείρουμε τα άτομα σε αρκετά υψηλότερες ενεργειακές στάθμες, και μετά αυτά - κάτω από ειδικές συνθήκες μεταπηδούν και συσσωρεύονται σε κάποια ενδιάμεση διεγερμένη στάθμη, αντί να πάνε ξανά πίσω στη θεμελιώδη. Αυτό ονομάζεται "αντιστροφή πληθυσμών." Στο παρακάτω εικονικό πείραμα, δείτε πως δουλεύει όλη αυτή η διαδικασία. Πως όμως θα τα καταφέρουμε ώστε οι δεσμίδες των φωτονίων που θα εκπεμφθούν από τις ομάδες των διεγερμένων ατόμων να αποκτήσουν αφ' ενός την ίδια κατεύθυνση όλες τους και αφ' ετέρου να ενισχυθούν στο βαθμό που εμείς επιθυμούμε; Το κόλπο είναι να βάλουμε μια τέτοια δεσμίδα φωτονίων να ταξιδέψει πολλές φορές εμπρός-πίσω σε μια ευθεία, μέχρι να αποκτήσει την επιθυμητή ένταση. Αυτό το πετυχαίνουμε χρησιμοποιώντας καθρέφτες που ανακλούν τα φωτόνια εμπρός-πίσω σε μια ευθεία δια μέσω της περιοχής των ατόμων. Το επόμενο εικονικό πείραμα μας δείχνει τη διαδικασία αυτή χρησιμοποιώντας είτε την κυματική, είτε τη σωματιδιακή υπόσταση του φωτός. Ουσιαστικά όμως πρόκειται για το ίδιο πράγμα. Στην κυματική εικόνα βέβαια, το φως του λέιζερ που παριστάνεται ανάμεσα στους καθρέφτες, έχει τα χαρακτηριστικά του στάσιμου κύματος. Παρατηρούμε ότι αν η ενεργειακή άντληση των σταθμών είναι αρκετά υψηλή, δημιουργείται προοδευτικά, μια αρκετά ισχυρή δεσμίδα φωτονίων μεταξύ των κατόπτρων. Παρατηρούμε επίσης ότι ο δεξιός καθρέφτης είναι ημιπερατός και μια ποσότητα φωτονίων διαφεύγει μέσω αυτού προς τα δεξιά. Με τον τρόπο αυτό ωφελούμαστε από τη δέσμη λέιζερ. Θα ήταν άχρηστη αν βρισκόταν μόνιμα μεταξύ των κατόπτρων. Στις πραγματικές συσκευές λέιζερ, όπως π.χ. στα λέιζερ-δείκτες που χρησιμοποιούμε για

46 4. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών να δείχνουμε, η όλη διαδικασία γίνεται μερικά δισεκατομμύρια φορές ταχύτερα απ' ότι δείξαμε στα παραπάνω εικονικά πειράματα. Επίσης στα πραγματικά λέιζερ, τα άτομα είναι περίπου ένα δισεκατομμύριο φορές μικρότερα και υπάρχουν περίπου μερικά δισεκατομμύρια από αυτά στη διεγερμένη κατάσταση κατά την αντιστροφή του πληθυσμού. To Laser (ενίσχυση φωτός με εξαναγκασμένη εκπομπή ακτινοβολίας) είναι διάταξη παραγωγής ακτινοβολιών στο ορατό μέρος της Η/Μ περιοχής. Στην πραγματικότητα το λέιζερ είναι ένας ενισχυτής φωτός που μετατρέπεται σε πηγή όταν μέρος της ισχύος εξόδου επαναφέρεται με κατάλληλη φάση στην είσοδο. Έτσι στο λέιζερ συναντώνται και η πηγή και ο ενισχυτής. Σε ένα laser ρουβιδίου, λευκό φως από τη λυχνία ξένου που αναβοσβήνει φωτίζει το ρουβίδιο (οξείδιο του αργιλίου), και δημιουργεί τη λεγόμενη "οπτική άντληση", διεγείροντας έτσι τα μόρια στη ράβδο ρουβιδίου ώστε να εκπέμψουν ένα βαθύ κόκκινο παλμό. Ανάμεσα στα άκρα του ρουβιδίου υπάρχουν δύο κάτοπτρα (οπτικά αντηχεία- το ένα ημιπερατό και το άλλο ανακλά όλο το φως), ανάμεσα στα οποία ταλαντώνεται το φως έως ότου ενισχυθεί μέχρι ενός σημείου και στο τέλος το φως ξεφεύγει από την κοιλότητα ενισχυμένο. β 3 ) Χαρακτηριστικά του φωτός laser Το φως laser, που εκπέμπεται, έχει τα παρακάτω χαρακτηριστικά, που το διαφοροποιούν από το φως άλλων φωτεινών πηγών: Κατευθυντικότητα. Η δέσμη φωτός είναι πολύ λεπτή και μένει παράλληλη, ακόμα και αν ταξιδέψει μεγάλες αποστάσεις, όπως από τη Γη στη Σελήνη. Μονοχρωματικότητα. Το φως που εκπέμπεται από μία πηγή laser έχει μια συγκεκριμένη συχνότητα (χρώμα). Λαμπρότητα. Η δέσμη laser συγκεντρώνει μεγάλη οπτική ισχύ και, επειδή είναι πολύ λεπτή, είναι χιλιάδες φορές λαμπρότερη από τον Ήλιο. Γι' αυτό το λόγο δεν πρέπει να κατευθύνεται η δέσμη στα μάτια. Συμφωνία φάσης. Το φωτόνιο που προκαλεί την αποδιέγερση αναδύεται μαζί με το φωτόνιο που εκπέμπεται. Αυτό συμβαίνει σε όλες τις διαδοχικές αποδιεγέρσεις. Εστίαση. Επειδή έχει μεγάλη κατευθυντικότητα και είναι μονοχρωματική, μπορεί να εστιαστεί με κατάλληλους φακούς. Σχήμα 3.9. Εργαστηριακά "κανόνια" lasers με διαφορετικά χρώματα. Σχήμα 3.0. Συσκευή μέτρησης των απόστάσεων με ακτίνες lasers.

47 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης Έμμεση μέτρηση Η έμμεση μέτρηση μιας οριζόντιας απόστασης εφαρμόζεται, όταν το έδαφος παρουσιάζει διάφορα εμπόδια, που δεν επιτρέπουν την άμεση μέτρηση της απόστασης αυτής. Κατά την έμμεση μέτρηση συσχετίζεται η οριζόντια απόσταση L, που πρέπει να μετρηθεί, με διάφορα άλλα μεγέθη τέτοια, ώστε να μπορούν να μετρηθούν αμέσως. Τα μεγέθη με τα οποία συσχετίζεται το L είναι είτε μόνο οριζόντιες αποστάσεις, οπότε η συσχέτιση γίνεται γεωμετρικώς, είτε οριζόντιες αποστάσεις και οριζόντιες γωνίες, οπότε η συσχέτιση γίνεται τριγωνομετρικώς. α) Μέτρηση της οριζόντιας απόστασης μεταξύ δύο σημείων με αμοιβαία ορατότητα Μεταξύ των σημείων Α και Β υπάρχει αμοιβαία ορατότητα (δηλαδή, αν κάποιος σταθεί στο ένα σημείο, έχει τη δυνατότητα να δει το άλλο), αλλά μεσολαβεί αδιάβατο έδαφος. α ) Γεωμετρική επίλυση Στα δύο σημεία Α και Β υψώνονται οι κάθετες ΑΑ και ΒΒ επί την ευθυγραμμία ΑΒ όπως φαίνεται στο σχήμα 3.. Στις κάθετες αυτές ορίζονται τα σημεία Α και Β ούτως ώστε AΑ = BΒ καθώς επίσης να είναι δυνατή η άμεση μέτρηση της οριζόντιας απόστασης Α Β Από το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ABB Α προκύπτει ότι ΑΒ = Α Β. Επομένως αντί της οριζόντιας αποστάσεως των σημείων Α και Β μετράται η οριζόντια απόσταση των σημείων Α και Β. Άλλος τρόπος έμμεσης μετρήσεως είναι να σχηματιστεί αντί του ορθογώνιου παραλληλόγραμμου ABB Α το ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, σχήμα 3.., στο οποίο μετρώνται οι οριζόντιες αποστάσεις ΒΓ και ΑΓ και με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος προκύπτει: AB AΓ BΓ Σχήμα 3.. Σχήμα 3.. α ) Τριγωνομετρική επίλυση Ορίζεται το σημείο Γ τέτοιο ώστε ώστε και να υπάρχει αμοιβαία ορατότητα μεταξύ αυτού και των σημείων Α και Β και να είναι δυνατή η άμεση μέτρηση μιας από τις οριζόντιες αποστάσεις ΑΓ και Β Γ, έστω της Β Γ, σχήμα 3.3. Σχήμα 3.3.

48 44. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών Μετράται στη συνέχεια η οριζόντια απόσταση ΒΓ και οι οριζόντιες γωνίες ΒΑΓ και ΑΓΒ. Στο τρίγωνο ΑΒΓ από το νόμο του ημίτονου προκύπτει: BΓ AB BΓημΓ. Επομένως AB ημa ημγ ημa β) Μέτρηση της οριζόντιας απόστασης μεταξύ δύο σημείων που δεν έχουν αμοιβαία ορατότητα β ) Γεωμετρική επίλυση Χαράσσεται επάνω στο έδαφος μία ευθυγραμμία, έστω η αβ, σχήμα 3.4. Από τα σημεία Α και Β υψώνονται οι κάθετες ΑΑ και ΒΒ προς την ευθυγραμμία αυτή. Έπειτα μετρώνται οι οριζόντιες αποστάσεις ΑΑ, ΒΒ και Α Β. Από το διαγραμμισμένο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος προκύπτει: AB AA B B A B β ) Τριγωνομετρική επίλυση Ορίζεται το σημείο Γ τέτοιο ώστε από αυτό να είναι ορατά και τα δύο σημεία Α και Β. Κατόπιν μετράται η οριζόντια γωνία ΑΓΒ και οι οριζόντιες αποστάσεις ΑΓ και ΒΓ. Από το τρίγωνο ΑΒΓ προκύπτει: (ΑB) (ΑΓ) (BΓ) - (ΑΓ) (BΓ) συνγ Σχήμα 3.4. Σχήμα 3.5. γ) Μέτρηση της οριζόντιας απόστασης μεταξύ δύο σημείων που έχουν αμοιβαία ορατότητα μεσολαβεί όμως μεταξύ τους αδιάβατο έδαφος σε πολύ μεγάλη έκταση γ ) Γεωμετρική επίλυση Στο σημείο Β υψώνεται η κάθετος προς την ευθυγραμμία ΑΒ και επάνω σε αυτή ορίζεται τυχόν σημείο Γ, σχήμα Ατο σημείο Γ υψώνεται η κάθετος προς την ευθυγραμμία ΒΓ και επάνω σε αυτή ορίζεται τυχόν σημείο Δ. Κατόπιν ορίζεται το σημείο τομής των ευθυγραμμιών ΑΔ και ΒΓ, δηλαδή το σημείο Ε με διαδοχικές σκοπεύσεις από το Γ προς το Β και από το Δ προς το Α. Στη συνέχεια μετρώνται οριζόντιες αποστάσεις BE, ΕΓ και ΓΔ. Τα τρίγωνα ABE και ΓΔΕ είναι όμοια. Επομένως: (ΓΔ) (AB) (ΓE) οπότε (BE) (ΓΔ) (ΓE) ( AB) (BE)

49 Δρ. Μενέλαος Θεοχάρης 45 γ ) Τριγωνομετρική επίλυση Ορίζεται το τυχόν σημείο Γ και μετρώνται οι γωνίες ΑΓΒ και ΑΒΓ και η απόσταση ΒΓ, σχήμα 3.7. Υπολογίζεται η γωνία ΓΑΒ =80 0 ΑΓΒ ΑΒΓ. Από το νόμο του ημίτονου προκύπτει: (BΓ)ημΓ ( AB) ημa Σχήμα 3.6. Σχήμα 3.7. δ) Μέτρηση της οριζόντιας απόστασης μεταξύ δύο σημείων δεν είναι προσιτά σ' αυτούς που διεξάγουν τη μέτρηση (είναι όμως καλά επισημασμένα). δ ) Γεωμετρική επίλυση Χαράσσεται στο έδαφος η τυχούσα ευθυγραμμία αβ, σχήμα 3.8. Από τα σημεία Α και Β υψώνονται οι κάθετες ΑΑ και ΒΒ επί την αβ. Η χάραξη της καθέτου σε μία ευθεία από ένα σημείο εκτός αυτής το οποίο είναι ορατό αλλά όχι προσιτό, γίνεται με την ακόλουθη διαδικασία: Α Μ Ν α Κ Μ Α Ν Λ β Σχήμα 3.8. Από δύο τυχόντα σημεία Κ και Λ της αβ σκοπεύομε προς το σημείο Α και μετράμε τις γωνίες ΑΚΛ και ΑΛΚ, σχήμα 3.8. Από δύο τυχόντα σημεία Μ και Ν των ΑΚ και ΑΛ φέρονται οι κάθετες προς την αβ, οι ΜΜ και ΝΝ. Μετρώνται τα μήκη ΚΜ, ΜΜ, ΓΝ και ΝΝ. Από τα όμοια τρίγωνα ΑΚΑ και ΜΚΜ καθώς και από τα ΑΛΑ και ΝΛΝ προκύπτει:

50 46. Εργαστηριακές Ασκήσεις Γεωργικών & Θερμοκηπιακών Κατασκευών (KM ) (MM ) (MM )(KA ) (AA ) και (KA ) (AA ) (KM ) (ΛN ) (NN ) (NN )(ΛA ) (AA ) (ΛA ) (AA ) (ΛN ) Επομένως (MM )(KA ) (NN )(ΛA ) και επειδή ΚΑ +Α Λ = ΚΛ προκύπτει ότι: (KM ) (ΛN ) (MM )(KA ) (NN )(KΛ KA ) (MM ) (NN ) (NN )(KΛ) KA (KM ) (ΛN ) (KM ) (ΛN ) (ΛN ) και τελικά: KA (NN )(KΛ) (ΛN ) (MM ) (NN ) (ΛN (KM ) (ΛN ) (NN )(KΛ) (MM ) (NN ) ) (KM ) (ΛN ) Άρα αν από το σημείο Κ μετρηθεί πάνω στην ΚΛ απόσταση ίση με ΚΑ προκύπτει το σημείο Α το οποίο είναι ο πόδας της κάθετης που άγεται από σημείο Α προς την ευθεία αβ. Μετά την χάραξη των καθέτων ΑΑ και ΒΒ, ορίζεται το τυχόν το σημείο Γ πάνω στην ευθυγραμμία Α Β και έπειτα τα τυχόντα σημεία Δ και Ε πάνω στις ευθυγραμμίες ΓΑ και ΓΒ αντιστοίχως, σχήμα 3.9. Κατόπιν από τα σημεία Δ και Ε φέρονται οι κάθετες ΔΔ και ΕΕ επί την ευθυγραμμία αβ. Από τα όμοια τρίγωνα ΓΑΑ και ΓΔΔ θα προκύπτει: Σχήμα 3.9. (AA ) (ΔΔ ) (A Γ) οπότε (Δ Γ) (AA ) (A Γ) (ΔΔ (Δ Γ) ) Επίσης από τα όμοια τρίγωνα ΓΒΒ και ΓΕΕ προκύπτει: (BB ) (EE ) (B Γ) οπότε (E Γ) (BB ) (B Γ) (EE (E Γ) )