ΜΕΛΕΤΗ ΑΡΧΑΙΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΕΙΜΕΝΩΝ ΚΑΙ H ΕΝΤΑΞΗ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ

Transcript

1 ΜΛΤΗ ΡΧΙΩΝ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΚΙΜΝΩΝ ΚΙ H ΝΤΞΗ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΙΣΚΛΙ ΤΗΣ ΓΩΜΤΡΙΣ Κώστς Μλλιάκς Κθηητής.., ο ΓΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr Τάσος Σωτηράκης, Κθηητής.., ο ΓΛ Ρόδου, tasotirakis@gmail.com ΘΜΤΙΚΗ ΝΟΤΗΤ ιδκτικές προτάσεις διδσκλίς Μθημτικών της /θμις κπίδευσης ΠΡΙΛΗΨΗ Στο άρθρο υτό προτείνουμε ι τους μθητές της Λυκείου ορισμένες δρστηριότητες σισμένες σε ρχιοελληνικά εωμετρικά κείμεν επικεντρωμέν στην έννοι του εμδού. πό υτά τ κείμεν μπορούμε ν ποτυπώσουμε ξιώμτ κι θεωρήμτ κθώς επίσης κι δικρίσεις μετξύ ομοιοτήτων κι διφορών σύμφων με τη θεώρηση των συρφέων. Με υτόν τον τρόπο είμστε σε θέση ν ποδείξουμε στ μθήμτ της εωμετρίς, την χρησιμότητ της Ιστορίς των Μθημτικών στο κεφάλιο των εμδών ABSTRACT In this paper we propose for the students of the second class of the lyceum certain activities based on texts concerning Ancient Greek geometry focused on the concept of the area. For these texts we can depict axioms and theorems as well, distinguishing similarities and differences according to the doctrine of the authors. Thereby we are able to prove the usefulness of the History of Mathematics regarding the Chapter relative to the area in the lectures of geometry. ΙΣΓΩΓΗ πό τη ρχιότητ η έννοι του εμδού ποτελούσε ντικείμενο μελέτης κι έρευνς. Πολλοί Έλληνες Μθημτικοί όπως ο υκλείδης, ο ρχιμήδης, ο Ήρωνς κι άλλοι με διφορετικές προσείσεις λλά κι κοινά σημεί κτόρθωσν ν νπτύξουν σημντικές θεωρίες, τεχνικές κι μεθόδους σιζόμενοι στην έννοι του εμδού. Στόχος της ερσίς μς είνι η υκλείδει Γεωμετρί ν κτστεί πιο ελκυστική κι ευχάριστη στους μθητές όλων των τάξεων κι ειδικότερ στους μθητές της

2 Λυκείου, κθώς πιστεύουμε ότι το μάθημ της Γεωμετρίς έχει υποθμιστεί περισσότερο πό οποιδήποτε άλλη τάξη. Οι σικοί προτεινόμενοι άξονες όπου θ κινηθεί ο «άσκλος των Μθημτικών» ι ν πετύχει υτό τον στόχο ρίσκοντι σε ιστορικά εωμετρικά προλήμτ τ οποί ποκλύπτουν τον τρόπο σκέψης κθώς κι την θεώρηση των ρχίων δημιουρών. ΘΩΡΗΤΙΚΟ ΠΛΙΣΙΟ Θεμελιώδεις έννοιες της Γεωμετρίς ποτελούν η ισότητ, η ομοιότητ, το εμδόν κι ο όκος. Τ πρκάτω ποσπάσμτ πό συνφή κείμεν μς προσφέρουν το θεωρητικό υπόθρο ι ν νπτύξουμε τις θέσεις μς: «Η Γεωμετρί είνι η μελέτη των σχημάτων μέσω των ιερρχημένων ιδιοτήτων τους. Τ σχήμτ μπορεί ν είνι ίσ. Ότν δεν είνι ίσ μπορεί ν μοιάζουν οπότε είνι όμοι κι ότν δεν μοιάζουν, μπορεί ν μετρηθούν κι ν ουν ίσ, δηλδή ν είνι ισεμδικά. Γι ν ίνει υτή η μελέτη πρέπει ν μπουν τ ξιώμτ, πρέπει υτές οι έννοιες ν θεωρητικοποιηθούν κι μετά ν ρούμε κι ερλεί ώστε ν υπόκειντι σε λοισμό. ηλδή σκοπεύουμε στο εμδόν; Πρέπει ν ρεθούν ερλεί τ οποί ν υπολοίζουν το εμδόν. Ο υπολοισμός δεν είνι κτ νάκη ριθμητικός. Μπορεί ν είνι λοριθμικός. ηλδή το εμδόν είνι θεωρητική έννοι. ίνι το διμεριστικό εμδόν. Το εμδόν του τριώνου δεν είνι κτ νάκη ο τύπος έν δεύτερο, άση επί ύψος. ίνι μι ολόκληρη διδικσί, που μπορεί ν συκρίνει τ σχήμτ τεμχίζοντς τ κι συκρίνοντς τ συσττικά τους» (Λάππς., 009). «Η επφή με πρωτότυπες πηές, η ενσχόληση με ερσίες που έχουν προσντολισμό προς την ιστορί κι η προσπάθει νκτσκευής μις μεθόδου ή λύσης ενός προλήμτος άσει πρωτότυπων ή κι δευτεροενών πηών, προσομοιώνει την διδικσί δημιουρίς στον χώρο των Μθημτικών με ευερετικά ποτελέσμτ τόσο ι τον διδάσκοντ, όσο κι ι τον διδσκόμενο. Μέσω της Ιστορίς των Μθημτικών ο δάσκλος των Μθημτικών μπορεί ν έχει μι ευρεί δεξμενή προλημάτων, ερωτημάτων, κτστάσεων κλπ ι τον εμπλουτισμό της διδσκλίς του κι την κινητοποίηση των μθητών του» (Τζνάκης Κ., 009) Έτσι λοιπόν ο διδάσκων έχει την δυντότητ νάλο με την τάξη κι το επίπεδο των μθητών ν επιλέει δρστηριότητες που θ προσφέρουν το έλτιστο ποτέλεσμ.

3 Η ΝΝΟΙ ΤΟΥ ΜΟΥ ΜΣ ΠΟ ΡΧΙ ΚΙΜΝ Ο υκλείδης στ «Στοιχεί» χρησιμοποιούσε την λέξη «περιεχόμενο» ντί ι «εμδό» σχήμτος κι μάλιστ θεωρούσε πολύ νωστή κι προφνή υτή την έννοι ώστε δεν χρειάστηκε ν την ορίσει, όπως επίσης δεν όρισε την ισότητ εμδών κθώς κι τις ιδιότητες της ν κι τις χρησιμοποιεί (Κ.Κ.Κ., 00). πίσης δεν ενδιφερότν ι τον ριθμητικό υπολοισμό των εμδών λλά ι την νωή των εμδών, σε εμδά νωστών σχημάτων όπως ι πράδειμ σε εμδά τετρώνων (τετρωνισμός). Η νωή υτή ινότν συκρίνοντς τ εμδά ενώ ι κμπυλόρμμ σχήμτ ο ρχιμήδης χρησιμοποιούσε μι σύνθεση σύκρισης κι υπολοισμού. Τ εμδά δύο ευθυράμμων σχημάτων θεωρούντν ίσ, ν το κθέν πό υτά μπορούσε ν διιρεθεί σε υπο-σχήμτ τ οποί ήτν δυντό ν ντιστοιχηθούν έτσι ώστε τ ντίστοιχ μετξύ τους υπο-σχήμτ ν είνι ίσ (ισεμδικά) (Στράντζλος Χ., 987). Οι σχετικές με τ εμδά «κοινές έννοιες - ξιώμτ» που νφέρει ο υκλείδης στ «Στοιχεί» κι χρησιμοποιούντι σήμερ στην δευτεροάθμι εκπίδευση είνι:. ύο ίσ σχήμτ είνι ισεμδικά.. Το άθροισμ κι η διφορά ισεμδικών σχημάτων ορίζει ισεμδικά σχήμτ. 3. Τ μισά ισεμδικών σχημάτων είνι ισεμδικά σχήμτ. 4. Το εμδόν σχήμτος είνι μελύτερο πό το εμδόν μέρους του σχήμτος. 5. ύο ισεμδικά τετράων έχουν ίσες πλευρές. 6. Το εμδόν τετρώνου πλευράς είνι τετρωνική μονάδ. Πρέπει ν τονίσουμε ότι δύο ισεμδικά σχήμτ δεν είνι πρίτητ ίσ. Μάλιστ σικά θ κολουθήσουμε την τεχνική μεττροπής ενός σχήμτος σε άλλο ισοδύνμο νωστού τύπου ι την πόδειξη των εμδών σικών πολυώνων ξιοποιώντς έτσι κι τις πρπάνω έννοιες. Πιστεύουμε ότι η προυσίση κάποιων προτάσεων πό τ «Στοιχεί» θ κινήσει το ενδιφέρον των μθητών κι θ διευκολύνει την κτνόηση τεχνικών ι ποδείξεις θεωρημάτων ή ι επίλυση νάλοων σκήσεων. ιδικά η λοική της λληλουχίς των προτάσεων 34 μέχρι 4 είνι εντυπωσική κι χρήσιμη σε μι πόδειξη του πυθορείου θεωρήμτος το οποίο υπάρχει στο ιστορικό σημείωμ του σχολικού ιλίου της υκλείδεις Γεωμετρίς. Οι προτάσεις υτές των «Στοιχείων» είνι: Π.34: Τ εμδά τριώνων στ οποί διιρείτι έν πρλληλόρμμο πό μι διώνιο του είνι ίσ.

4 Π.35-36: ύο πρλληλόρμμ που έχουν ίδι άση (ίσες άσεις στην ίδι ευθεί) κι τις πράλληλες σε υτή πλευρές στην ίδι ευθεί, έχουν ίσ εμδά. Π.37-38: ύο τρίων που έχουν ίδι άση (ίσες άσεις στην ίδι ευθεί) κι κορυφές σε ευθεί πράλληλη στην ευθεί της άσης, έχουν ίσ εμδά. Π : ντίστροφες των Π4: ν έν πρλληλόρμμο κι έν τρίωνο έχουν ίδι άση κι ρίσκοντι μετξύ πρλλήλων, τότε το εμδόν του πρλληλοράμμου είνι διπλάσιο πό το εμδόν του τριώνου. Γ Γ Γ3 Γ4 υτές οι προτάσεις χρκτηρίζοντι πό τον Πρόκλο, σχολιστή των «Στοιχείων» του υκλείδη, ως θεωρήμτ «τόπου» κι ως «πράδοξ» θεωρήμτ φού ι πράδειμ έν τρίωνο μπορεί ν έχει περίμετρο η οποί ν «τείνει στο άπειρο», κι το εμδόν του ν πρμένει «νλλοίωτο». Πρέπει ν υπορμμίσουμε ότι υτό το πράδειμ εμπλουτίζετι με θεμελιώδεις Μθημτικές έννοιες, όπως «όριο», «άπειρο», «νλλοίωτη». πίσης η πόδειξη της πρότσης 35 που χρησιμοποίησν ο υκλείδης κι ο ρχιμήδης περιέχει σικές έννοιες της θεωρίς των ισοδιχωρίσιμων σχημάτων (Θεώρημ Bolyai Gerwin: ν δύο επίπεδ σχήμτ είνι ισοδιχωρίσιμ τότε είνι ισεμδικά κι ντιστρόφως (Κ.Κ.Κ.,00). Οι προτάσεις 43 μέχρι κι 45 είνι εξιρετικά χρήσιμες. Στην θεωρί των εμδών υτές έδωσν την δυντότητ στους ρχίους Έλληνες Μθημτικούς κι κυρίως στους Πυθορείους ν δημιουρήσουν υτό που ονομάσθηκε «Γεωμετρική Άλερ». ιδικότερ η πρότση 44 νφερόμενη στην κτσκευή ενός πρλληλοράμμου με δοθείσ πλευρά, με ωνί δοθείσ κι εμδόν ίσο με το εμδόν δοθέντος τριώνου, χρκτηρίστηκε πό πολλούς μελετητές όπως πχ. πό τον Heath(Κ.Κ.Κ.,00) ως η εντυπωσικότερη της Γεωμετρίς. Ο Πρόκλος νφέρει ότι ο ύδημος κι οι μθητές του («οι περί τον ύδημον») πέδιδν την πρότση υτή στην «Πυθόρει

5 Μούσ» κι σημειώνει ότι η ισότητ εμδών (προλή) κι η νισότητ εμδών (υπερολή ή έλλειψη), στάθηκν η φορμή ι την ονομσί των ντίστοιχων κωνικών τομών. (Κ.Κ.Κ.,00). Στ έρ του Ήρων πό την λεξάνδρει «Ονόμτ εωμετρικών όρων Γεωμετρικά Μετρικά ιόπτρ» (Κηπουρός Χ., 995) τονίζετι ότι ντικείμεν της μέτρησης επιφνειών ποτελούν: τ τετράων, τρίων, ρόμοι, τρπέζι κι κύκλοι. Ισχύουν ι υτά 8 θεωρήμτ πό τ οποί νφέροντι σε τετράπλευρ (το ισόπλευρο ορθοώνιο κι το ορθοώνιο πρλληλόρμμο), 6 σε τρίων (ισόπλευρο, ισοσκελές, σκληνό, ορθοώνιο, οξυώνιο, μλυώνιο), σε ρόμους (ρόμος κι ρομοειδές), 4 σε τρπέζι (ορθοώνιο τρπέζιο, ισοσκελές, οξυώνιο, μλυώνιο) κι 4 σε κύκλους (κύκλος, ψίς, ημικύκλιο κι τμήμτ μικρότερ ή μελύτερ του ημικυκλίου). Στ έρ υτά προυσιάζει λύσεις ι διάφορ υπολοιστικά προλήμτ συνδεόμεν με την μέτρηση εμδών των πρπάνω σχημάτων, τ οποί έχουν επιλεεί όμως με κτάλληλες διστάσεις ι πρκτικούς, λλά κι πιδωικούς λόους ώστε ν είνι δυντόν ν ξιοποιηθούν στην διδσκλί μς. Στο σημείο υτό οφείλουμε ν υπορμμίσουμε την διφορά νάμεσ στον υκλείδη ο οποίος δεν ενδιφερότν τόσο ι ριθμητικούς υπολοισμούς κι στον Ήρων, που σικά υπολόιζε εμδά. ν μελετήσουμε προσεκτικά την λοική την σχετιζόμενη με την επιλοή των διστάσεων των σχημάτων υτών μπορούμε ν προσδώσουμε στην διδσκλί μς τόσο μι χροιά νκάλυψης όσο κι έν διθεμτικό χρκτήρ. Συνήθως ο Ήρωνς επιλέει τ σχήμτ με τέτοιο τρόπο ώστε οι διστάσεις λλά κι άλλ στοιχεί τους κθώς κι το εμδό τους ν είνι κέριοι ριθμοί. 5 5 κμετλλεύετι τις 4 πυθόρειες τριάδες κι τους 3 3 συνδυσμούς τριώνων οι οποίοι ικνοποιούν το Πυθόρειο Θεώρημ, όπως τ πρκάτω σχήμτ. ρχικά υπολοίζει το ύψος του τριώνου χρησιμοποιώντς υτό που 30 6 σήμερ ονομάζουμε ενίκευση του

6 πυθορείου θεωρήμτος. ηλδή υπολοίζει την προολή μις πλευράς κι κτόπιν χρησιμοποιεί το πυθόρειο θεώρημ ι ν υπολοίσει το ύψος κι μετά το εμδόν. Σε επόμεν όμως προλήμτ του, δείχνει τον υπολοισμό του εμδού χωρίς ν υπολοίζει το ύψος, δηλδή το νωστό τύπο του Ήρων με τον οποίο 5 9 υπολοίζει το εμδό μόνο πό τις πλευρές. δώ υπάρχει η δυντότητ ν εκμετλλευτούμε κι την ομοιότητ κι ν πρκινήσουμε τους μθητές ν χρησιμοποιήσουν τ ποτελέσμτ εμδών ενός σχήμτος ι ν υπολοίσουν κάποιου όμοιου με υτό έχοντς λόο εμδών ομοίων τριώνων. Πρτηρούμε ότι χρησιμοποιεί τρίων με ίδιες διστάσεις κι στ πρλληλόρμμ κι στ τρπέζι τ οποί επιλέει. πίσης χρησιμοποιείτι κι η μέθοδος τεμχισμού ι τον υπολοισμό του εμδού πό τ υπο-σχήμτ στ οποί διιρείτι Η επιλοή υτών των σχημάτων τοποθετημέν σε πλέμ ευνοεί επίσης την πληροφόρηση των μθητών Ο πλήθος σημείων πλέμτος σε πλευρές = 7 πλήθος εσωτερικών σημείων πλέμτος = 8 εμδό (με Θ. Pick) = 8 + 7/ - = 94,5 εμδό με τεμχισμό Γ (Γ) = (Γ) + (Γ) = (9+5) ,5 = 94,5 =

7 ι το θεώρημ του Pick: «το εμδόν ενός πολυώνου του οποίου οι κορυφές του είνι σημεί ενός πλέμτος εξρτάτι πό το πλήθος των σημείων του πλέμτος που υπάρχουν τόσο στο εσωτερικό του πολυώνου όσο κι πάνω στην περίμετρο του.» Συκεκριμέν ν Μ το πλήθος των σημείων στο εσωτερικό του πολυώνου κι Ν το πλήθος των σημείων στην περίμετρο του, τότε το εμδόν του πολυώνου δίνετι πό την σχέση = Μ + Ν/ -. δώ πρέπει ν επισημίνουμε κι την πιθνή δισύνδεση της διδσκλίς με έννοιες σχετικές με την θεωρί ριθμών, με άση την εωμετρική πόδειξη των σχέσεων ν = ν(ν+)/ κι (ν ) = ν που πεικονίζοντι στ πρκάτω σχήμτ (Κολέζ., Σούρλς Κ., 990) ή την εωμετρική πόδειξη της νισότητς Cauchy ι ν = (ννώστου Κ., 990). ρμ. = ορθο = 5 (5 + ) = 3 45 o (ΖΓ) + () > (Γ) 45 o οπότε + > x + y κι ν θέσουμε = x κι = y τότε > x y Ζ Γ Μετά την διδσκλί νφορικά με τους τύπους υπολοισμού εμδών σικών σχημάτων, κολουθούν στην Λυκείου οι διάφοροι τύποι υπολοισμού εμδού τριώνου οι οποίοι προφνώς προέρχοντι πό τ σημντικότερ εωμετρικά σχήμτ με τ οποί σχολούμστε. Στο σημείο υτό το μάθημ ίνετι ρκετά λερικό, φού χωρίς ν υπάρχει σχήμ μπορούμε ν ρούμε διάφορους συμμετρικούς κι κομψούς τύπους οι οποίοι συνδέουν στοιχεί ενός τριώνου κι προκύπτουν με κτάλληλο συνδυσμό υτών των τύπων. Στ σχολικά ιλί υπάρχουν νάλοες σκήσεις λλά πιστεύουμε ότι σε υτές χάνετι λίο η οητεί της εωμετρίς κι πρέπει ν χρησιμοποιούντι με μέτρο. νδεικτικά νφέρουμε τους πρκάτω τύπους σκήσεις.

8 3 ) μ μ μ ( ) ) =4τρR 4 τ(τ ) 3) δ 4) υ υ υ ρ Το επόμενο μέρος φορά θεωρήμτ σχετικά με λόους εμδών κυρίως ι τρίων, που έχουν είτε μι πλευρά ίση ή έν ίσο ύψος ή είνι όμοι ή έχουν μι ωνί τους ίση ή πρπληρωμτική. ποτελεί μι πολύ ενδιφέρουσ ενότητ ν σκεφτούμε ότι ο υκλείδης στ «Στοιχεί» σικά ενδιφέρετι ι σύκριση εμδών η οποί ίνετι με λόους κι όχι ι υπολοισμό. πίσης τόσο στον υκλείδη όσο κι στον Ήρων λλά κι σε άλλους συρφείς μι σειρά εωμετρικών προλημάτων νφέρετι στον χωρισμό σχήμτος σε μέρη τ οποί ικνοποιούν μι νλοί πρόλημ το οποίο πηάζει κι πό πρκτικούς λόους κθώς πολλοί λοί χρειάζοντν ν διμερίσουν εκτάσεις με δίκιο τρόπο κι όχι τυχίο. Πρέπει ν τονίσουμε την χρησιμότητ της πρότσης ότι η διάμεσος τριώνου το χωρίζει σε δύο ισοδύνμ τρίων, νκί ι την επίλυση ρκετών σκήσεων. Μι ενδιφέρουσ σχετική δρστηριότητ είνι κι η διερεύνηση διμέρισης ενός τριώνου σε ή 3 ή 4 ή 6 ισοδύνμ χωρί με διάφορους τρόπους. Προλήμτ χωρισμού ενός τριώνου σε μέρη με συκεκριμένο λόο κι με διάφορους τρόπους συνντάμε επίσης κι στον Ήρων (Κηπουρός Χ., 000). Πρόλημ: Ν διιρεθεί τριωνικό χωρίο σε δύο τριωνικά χωρί τ οποί έχουν κοινή κορυφή κι τ εμδά τους έχουν δοθέντ λόο. Ο Ήρωνς λύνει το πρόλημ διίρεσης του ίδιου τριώνου σε δύο χωρί με δοθέντ λόο με μι ευθεί πράλληλη στη άση ή με ευθεί που τέμνει δύο πλευρές. Γ B Γ Στο πρώτο πρόλημ ο Ήρωνς επιλέει πάλι τρίωνο με πλευρές 3, 4, 5 (το οποίο έχει κι κέριο εμδό 84) κι λόο 5/3. Η τεχνική του, σίζετι σε μι ιδιότητ νλοιών (την οποίν κλεί σύνθεση) κι που μεττρέπει τον λόο σε σχέση με το ρχικό τρίωνο δηλδή εκτελεί την μεττροπή: ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 5 ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) 3 5 ( ) 8 8 A Γ

9 πίσης ι την εύρεση των σημείων, χρησιμοποιεί την τεχνική διίρεσης τμήμτος σε δοθέντ λόο. δώ οφείλουμε ν υπορμμίσουμε την ξί κι την λοική της πρπάνω ιδιότητς νλοιών στ προλήμτ που συχνά χρησιμοποιεί ο Ήρωνς κι ο υκλείδης, η οποί δικιολοεί κι την έντξη τους στην υκλείδει Γεωμετρί ν κι φίνετι σν Άλερ. ρστηριότητες οι οποίες συμάλουν στην κτνόηση της θεωρίς των λόων εμδών ποτελεί Ζ Γ Γ κι η άλλη πόδειξη του Πυθορείου Ζ Θεωρήμτος ή του θεωρήμτος της Θ Ι Λ Η Γ Ζ 3 Κ = + 3 = ( + ) - 4 ( ) (Γ) = (ΛΚ) + (ΛΓΚ) = (ΙΘ) + (ΓΖΗ) οπότε = + εσωτερικής διχοτόμου, το ο Θεώρημ Πτολεμίου, τ Θεωρήμτ Μενελάου κι Ceva, ο Γνώμονς του νξίμνδρου, η ερφή τριώνου ή τετρώνου σε τρίωνο με σημεί που διιρούν τις πλευρές εσωτερικά εξωτερικά σε δοσμένο λόο κθώς κι ο υπολοισμός του εμδού του κι άλλες νάλοες με υτές. νδιφέρουσες δρστηριότητες οι οποίες μπορούν ν πρμτοποιηθούν κι υπό μορφή πινίου ποτελούν επίσης το «τάνκρμ», το οποίο σημίνει «επτά ευμετάλητ σχήμτ» κι το «στομάχιον». Το «Τάνκρμ» είνι έν Κινέζικο πινίδι που πίζετι ως εξής: Πίρνουμε έν τετράωνο κι το χωρίζουμε όπως στο λ. J. Needham, Science and Civilization in China Vol.3 Cambridge University Press 959 σ.

10 σχήμ Στη συνέχει συνδυάζοντς τις 7 επιφάνειες προσπθούμε ν σχημτίσουμε διάφορες μορφές νθρώπων, ζώων ή πρμάτων. Το πιχνίδι «στομάχιον» 3 ήτν επινόηση του ρχιμήδη. ποτελείτι πό 4 6 διφορετικού σχήμτος κομμάτι κι στόχευε 4 στην άσκηση της πρτηρητικότητς, της 48 μνήμης κι της ντίληψης των μθητών του ρχιμήδη. Η διδικσί ήτν: φού πρώτ ο ίδιος έφτιχνε κάποι σχέδι με όλ τ κομμάτι του «στομχίου», έζε τους μθητές του ν τ νσυνθέσουν λέποντς 4 όμως μόνο το περίρμμά τους. Ένς δεύτερος τρόπος πιξίμτος είνι κι το νωστό πρόλημ του ρχιμήδη, δηλδή πόσες φορές μπορεί κάποιος ν σχημτίσει το συκεκριμένο τετράωνο τοποθετώντς τ κομμάτι του με διφορετική διάτξη. νδιφέρουσ δρστηριότητ ποτελεί κι η περιρφή κι η κτσκευή του «στομχίου», κθώς κι ο υπολοισμός του μέρους του τετρώνου με το οποίο ισούτι κθέν πό τ κομμάτι του. (Κτσιιάννης Κ., 00). ΣΥΜΠΡΣΜ Πιστεύουμε ότι η Ιστορί των Μθημτικών κι η κτάλληλη επιλοή δρστηριοτήτων, σιζόμενες σε ρχί λληνικά κείμεν, μπορούν ν οηθήσουν τον διδάσκοντ ν δημιουρήσει έν ευχάριστο κλίμ στην τάξη. Θ ωθήσει τους μθητές σε μι πιο δομημένη ντιμετώπιση του μθήμτος της Γεωμετρίς, όπως της ξίζει, νπτύσσοντς πράλληλ κι το ενδιφέρον τους ι τη έρευν. ΙΛΙΟΓΡΦΙ ννώστου Κ., (990). νισότητες κι Γεωμετρί. υκλείδης Γ, Τόμος 7, Τεύχος 7,.Μ.., θήν. Κτσιιάννης Κ., (00). πό το «στομάχιο» του ρχιμήδη μέχρι το Θεώρημ του Pick.Μι ιστορική διδρομή κι διδκτικές προεκτάσεις. ιπλωμτική ερσί, ιπνεπιστημικό ιτμημτικό Πρόρμμ Γι την επίδρση που είχε στους Λτίνους όπως υσόνιος, άσσος, Μάριος ικτωρινός λ.. Στμάτη, ρχιμήδους Άπντ Τόμος σ. 8, μρτυρί 03, μρτυρί 04 3 Φυσικά σήμερ μετά πό την,μελέτη του πλίμψηστου θεωρείτι πως το στομάχιον ποτελεί πρόλημ συνδυστικής

11 Μετπτυχικών Σπουδών, «ιδκτική κι Μεθοδολοί των Μθημτικών», πιλέπων: Λάππς., θήν. Κέντρο Έρευνς πιστήμης κι κπίδευσης (Κ.Κ.Κ.), (00). υκλείδη «Στοιχεί». Σύχρονη πόδοση με εισωή, επεξηήσεις κι σχολισμό. Τόμος, ιλί I, II, III, IV, V, VI, θήν. Κηπουρός Χ., (995). Ήρωνος λεξνδρέως, Ονόμτ Γεωμετρικών όρων Γεωμετρικά,.Μ.., θήν. Κηπουρός Χ., (000). Ήρωνος λεξνδρέως, Μετρικά - ιόπτρ,.μ.., θήν. Κολέζ., Σούρλς Κ., (990). σκήσεις κι προλήμτ. Μι λειτουρική τξινόμηση. υκλείδης Γ, Τόμος 7, Τεύχος 7,.Μ.., θήν. Λάππς., (009). Θεμελιώδεις Γεωμετρικές Έννοιες (Μι ενετική προσέιση). πιστημονική Ένωση ι την ιδκτική των Μθημτικών, κδόσεις Ζήτη, Θεσσλονίκη. Τζνάκης Κ., (009). Η ξιοποίηση των σχέσεων μετξύ Ιστορίς των Μθημτικών μι Μθημτικής κπίδευσης: Συζήτηση σχετικά με τ υπέρ κι τ κτά, άσει της διεθνούς εμπειρίς. πιστημονική Ένωση ι την ιδκτική των Μθημτικών, κδόσεις Ζήτη, Θεσσλονίκη. Στράντζλος Χ., (987). Η εξέλιξη των υκλείδειων κι των μη υκλείδειων Γεωμετριών (Μέρος πρώτο). κδόσεις Κρδμίτσ, θήν.