ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Συνέχεια του µαθήµατος 22 Ασκήσεις. 3 η ενότητα 17.

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑ 23 1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Συνέχεια του µαθήµατος 22 Ασκήσεις. 3 η ενότητα 17."

Ξάνθη Μήτζου
8 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 3 η ενότητα 7. ΜΑΘΗΜΑ 3.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συνέχεια του µαθήµατος Ασκήσεις ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : α) Είναι συνεχής β) 3 f () + f () = + +, για κάθε R Να αποδείξετε ότι i) Η f δεν έχει ρίζες ii) f () > 0 για κάθε R i) Έστω ότι η f έχει ρίζα ρ, τότε f (ρ) = 0 Η υπόθεση (β), για = ρ 3ρ f (ρ) + f (ρ) = ρ + ρ + 0 = ρ + ρ + άτοπο, αφού = 4 = 3 < 0 ii) Η f λοιπόν είναι συνεχής στο διάστηµα (, + ) και δε µηδενίζεται σ αυτό, άρα διατηρεί σταθερό πρόσηµο για κάθε R. Η υπόθεση (β), για = f (ρ) + f (0) = f (0) = f (0) = > Άρα το σταθερό πρόσηµο είναι (+), δηλαδή f () > 0 για κάθε R.

Να αποδείξετε ότι i) Η f δεν έχει ρίζες ii) f () > 0 για κάθε R i) Έστω ότι η f έχει ρίζα ρ, τότε f (ρ) = 0 Η υπόθεση (β), για = ρ 3ρ f (ρ) + f (ρ) = ρ + ρ +

2 8. ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : α) Είναι συνεχής β) f (α) > 0 για κάποιο α R γ) f () = +, για κάθε R Να βρείτε τον τύπο της f. f () = + f () = + ή f () = + για κάθε R. () Για να επιλέξουµε χρειαζόµαστε το πρόσηµο της f, το οποίο εξαρτάται από τις ρίζες της, εφόσον βέβαια υπάρχουν. Ρίζες της f : f () = 0 f () = 0 + = 0 αδύνατη. Άρα η f δεν έχει ρίζες. Η f, λοιπόν, είναι συνεχής στο διάστηµα (, + ) και δε µηδενίζεται σ αυτό, άρα διατηρεί σταθερό πρόσηµο ( θετικό για κάθε R, ή αρνητικό για κάθε R ) Επειδή, όµως, f (α) > 0, το πρόσηµο της f θα είναι θετικό. () f () = +, R

() Για να επιλέξουµε χρειαζόµαστε το πρόσηµο της f, το οποίο εξαρτάται από τις ρίζες της, εφόσον βέβαια υπάρχουν.

3 3 9. ίνεται συνάρτηση f : [, ] R, για την οποία ισχύουν : ii) f (α) < 0 για κάποιο α (, ) iii) f () = 4, για κάθε [, ] Να βρείτε τον τύπο της f. f () = 4 f () = 4 ή f () = 4 για κάθε [, ] () Για να επιλέξουµε, από τις ισότητες της (), χρειαζόµαστε το πρόσηµο της f, το οποίο εξαρτάται από τις ρίζες της, εφόσον βέβαια υπάρχουν. Ρίζες της f : f () = 0 f () = 0 4 = 0 = ή = Η f, λοιπόν, είναι συνεχής στο διάστηµα (, ) και δε µηδενίζεται σ αυτό, άρα διατηρεί σταθερό πρόσηµο. Επειδή όµως f (α) < 0, το πρόσηµο της f θα είναι αρνητικό στο διάστηµα (, ) Άρα, από την () επιλέγουµε f () = 4 για κάθε (, ) () Για =, η υπόθεση f () = 4 f ( ) = 4 ( ) = 0 f ( ) = 0 Εποµένως η ισότητα f () = Οµοίως ισχύει και για =. Άρα f () = 4 για κάθε [, ] f ( ) = 4 ισχύει και για = 4 ( )

Ρίζες της f : f () = 0 f () = 0 4 = 0 = ή = Η f, λοιπόν, είναι συνεχής στο διάστηµα (, ) και δε µηδενίζεται σ αυτό, άρα διατηρεί σταθερό πρόσηµο.

4 4 0. ίνεται συνάρτηση f : [, + ) R, για την οποία ισχύουν : ii) f (α) < 0 για κάποιο α (, + ) iii) f () = ( ) για κάθε [, + ) Να βρείτε τον τύπο της f. f () = ( ) f () = ή f () = ( ), για κάθε [, + ) () Για να επιλέξουµε από τις ισότητες της (), χρειαζόµαστε το πρόσηµο της f, το οποίο εξαρτάται από τις ρίζες της, εφόσον βέβαια υπάρχουν. Ρίζες της f : f () = 0 = 0 = 0 =. Η f, λοιπόν, είναι συνεχής στο διάστηµα (, + ) και δε µηδενίζεται σ αυτό, άρα διατηρεί σταθερό πρόσηµο. Επειδή όµως f (α) < 0, το πρόσηµο της f θα είναι αρνητικό στο διάστηµα (, + ) Αφού (, + ) > > 0 ( ) < 0 Άρα, από την () επιλέγουµε f () = ( ) για κάθε (, + ) f () = + για κάθε (, + ) () Για =, η υπόθεση f () = f () = = 0 f () = 0 f () = + Εποµένως η ισότητα f () = + ισχύει και για = Άρα f () = + για κάθε [, + )

Ρίζες της f : f () = 0 = 0 = 0 =. Η f, λοιπόν, είναι συνεχής στο διάστηµα (, + ) και δε µηδενίζεται σ αυτό, άρα διατηρεί σταθερό πρόσηµο.

5 5. ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : ii) f (0) = iii) f () = ( + 4) + f () + 3 για κάθε R Να βρείτε τον τύπο της f. f () = ( + 4) + f () + 3 για κάθε R 4 f () f () = f () f () + = [ f () ] = ( + ) f () = + ή f () = ( + ) f () = + 3 ή f () = ( +) για κάθε R () Για να επιλέξουµε, από τις ισότητες της (), χρειαζόµαστε το πρόσηµο της f, το οποίο εξαρτάται από τις ρίζες της, εφόσον βέβαια υπάρχουν. Ρίζες της f : f () = = 0 ή ( +) = 0 που είναι αδύνατες. Άρα η f δεν έχει ρίζες Η f, λοιπόν, είναι συνεχής στο R και δε µηδενίζεται σ αυτό, άρα διατηρεί σταθερό πρόσηµο. Επειδή όµως f (0) = < 0, το πρόσηµο της f θα είναι αρνητικό. Άρα, από την () επιλέγουµε f () = ( +) για κάθε R

επιλέξουµε, από τις ισότητες της (), χρειαζόµαστε το πρόσηµο της f, το οποίο εξαρτάται από τις ρίζες της, εφόσον βέβαια υπάρχουν.

6 6. ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : ii) f () e = e για κάθε R Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο στα διαστήµατα (, 0) και (0, + ) και να βρείτε τον τύπο της. f () e = e για κάθε R f () = e + e f () = (e ) () f () = e ή f () = (e ) για κάθε R () Ρίζες της f : f () = 0 f () = 0 (e ) = 0 e = 0 e = = 0 Η µοναδική ρίζα = 0 χωρίζει το πεδίο ορισµού στα διαστήµατα (, 0) και (0, + ), σε καθένα των οποίων η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο µια και είναι συνεχής. Περιπτώσεις : - O e, < 0 f () = (e ), > 0 για < 0 είναι e < άρα e αρνητικό και για > 0 είναι e > άρα e > 0 δηλαδή (e ) αρνητικό () - O f () = e, < 0 e, > 0 O f () = (e ), < 0 (e ), > 0 O f () = (e ), < 0 e, > 0 Για όλες τις περιπτώσεις είναι f () = 0 για = 0

διαστήµατα (, 0) και (0, + ), σε καθένα των οποίων η f διατηρεί σταθερό πρόσηµο µια και είναι συνεχής.

7 7 3. ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : ii) f (0) = iii) f () = e f () για κάθε R Να βρείτε τον τύπο της f. f () = e f () για κάθε R f () e f () = 0 f () e f () + (e ) = (e ) [ f () e ] = f () e = e > 0 ή f () e = e < 0 () Η συνάρτηση, λοιπόν, g() = f () e δε µηδενίζεται στο R και είναι συνεχής σαν διαφορά συνεχών, άρα διατηρεί πρόσηµο στο R. (e ) Και επειδή g(0) = f (0) e 0 = = > 0, θα είναι g() = f () e > 0 για κάθε R. Άρα, από την () επιλέγουµε f () e = e για κάθε R f () = e για κάθε R

συνάρτηση, λοιπόν, g() = f () e δε µηδενίζεται στο R και είναι συνεχής σαν διαφορά συνεχών, άρα διατηρεί πρόσηµο στο R.

8 8 4. ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : ii) f () + f () = + + για κάθε R. Να αποδείξετε ότι α) Η f δεν έχει ρίζες β) Να βρείτε τον τύπο της f α) Έστω ότι η f έχει ρίζα ρ, δηλαδή f (ρ) = 0 Η υπόθεση (ii), θέτοντας όπου το ρ, δίνει f (ρ) + ρ f (ρ) = ρ + ρ + β) f () + f () = f () + f () + = + + [ f () + ] = f () + = + + για κάθε R 0 = ρ + ρ + άτοπο, αφού = 4 = 3 < > 0, αφού = 8 = 7 < ή f () + = + + για κάθε R () Η συνάρτηση, λοιπόν, f () + δε µηδενίζεται στο R και είναι συνεχής σαν άθροισµα συνεχών, άρα διατηρεί πρόσηµο στο R, οπότε, από την () θα έχουµε f () + = + +, R ή f () + = + +, R f () = + +, R ή f () = + +, R 5. ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : ii) f () 6 για κάθε R. iii) f (0) > 4 Να αποδείξετε ότι f () > 4 για κάθε R. Θεωρούµε τη συνάρτηση g() = f () 4, R συνεχής (διαφορά συνεχών) Αρκεί να αποδείξουµε ότι g() > 0 για κάθε R. Ρίζες της g : g() = 0 f () 4 = 0 f () = 4 f () =6 άτοπο από υπόθεση Η συνάρτηση, λοιπόν, g δε µηδενίζεται στο R και είναι συνεχής, άρα διατηρεί πρόσηµο στο R. Επειδή όµως g(0) = f (0) 4 > 0, το παραπάνω πρόσηµο θα είναι (+) Άρα g() > 0 για κάθε R.

f () + f () + = + + [ f () + ] = f () + = + + για κάθε R 0 = ρ + ρ + άτοπο, αφού = 4 = 3 < 0 + + > 0, αφού = 8 = 7 < 0 + + ή f () + = + + για κάθε R () Η συνάρτηση, λοιπόν, f () + δε µηδενίζεται στο

9 9 6. ίνεται συνάρτηση f : R R, για την οποία ισχύουν : ii) f () για κάθε R. iii) f (4) = Να αποδείξετε ότι α) f () > για κάθε R β) f () = + + α) Θεωρούµε τη συνάρτηση g() = f (), R συνεχής (διαφορά συνεχών) Αρκεί να αποδείξουµε ότι g() > 0 για κάθε R. Ρίζες της g : g() = 0 f () = 0 f () = άτοπο από υπόθεση Η συνάρτηση, λοιπόν, g δε µηδενίζεται στο R και είναι συνεχής, άρα διατηρεί πρόσηµο στο R. Επειδή όµως g(4) = f (4) 4 > 0 = 8 = 4 > 0, το παραπάνω πρόσηµο θα είναι (+) Άρα g() > 0 για κάθε R. β) Για κάθε > 0 είναι f () > > 0 0 < < f () 0 < f( ) < Επειδή + επειδή f () > 0, θα είναι = 0, µε το κριτήριο παρεµβολής θα είναι + f( ) + f () = + = 0 και

για κάθε R. Ρίζες της g : g() = 0 f () = 0 f () = άτοπο από υπόθεση Η συνάρτηση, λοιπόν, g δε µηδενίζεται στο R και είναι συνεχής, άρα διατηρεί πρόσηµο στο R.

10 0 4 η ενότητα 7. i) Να δείξετε ότι η εξίσωση = 0 έχει µοναδική ρίζα στο διάστηµα (, ) ii) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο =, τέτοια ώστε για κάθε R να o ισχύει ( f ()) 7 + f () + + = 0. Να αποδείξετε ότι το στο διάστηµα (, ). f () ανήκει i) Θεωρούµε τη συνάρτηση g() = , [, ], η οποία προφανώς είναι συνεχής και γν. αύξουσα g( ) = ( ) 7 + ( ) + 3 = 7 + < 0 g( ) = ( ) 7 + ( ) + 3 = + = > 0 Άρα g( ) g( ) < 0 Κατά το Θ. Bolzano, η συνάρτηση g θα έχει ρίζα στο διάστηµα (, ) και µάλιστα µοναδική αφού είναι γν. αύξουσα. ii) f συνεχής στο = o f () = f () Προσαρµογή στο (i) Αρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι f () (, ), ή ότι η τιµή f () είναι η ρίζα της g, ή ότι g( f ()) = 0 ή ότι ( f ()) 7 + f () + 3 = 0. Η υπόθεση ( f ()) 7 + f () + + = 0, R, για = δίνει ( f ()) 7 + f () + + = 0 ( f ()) 7 + f () + 3 = 0

αύξουσα g( ) = ( ) 7 + ( ) + 3 = 7 + < 0 g( ) = ( ) 7 + ( ) + 3 = + = > 0 Άρα g( ) g( ) < 0 Κατά το Θ. Bolzano, η συνάρτηση g θα έχει ρίζα στο διάστηµα (, ) και µάλιστα µοναδική αφού είναι γν.

11 8. ίνεται η συνάρτηση f () = ln +, > 0. i) Να λύσετε την εξίσωση f () = 0 ii) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση e f() ηµ ( π ) + e = 0 έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, 3). i) Προφανής ρίζα το ο =, αφού f () = ln + = = 0. Η f είναι συνεχής και γν. αύξουσα σαν άθροισµα των f () = ln, f () =, οι οποίες είναι συνεχείς και γν. αύξουσες. Άρα η ρίζα ο = είναι µοναδική. ii) Θεωρούµε τη συνάρτηση g() = e f() ηµ ( π ) + e, [, 3], η οποία είναι συνεχής, αφού προκύπτει από πράξεις συνεχών. Οπότε αναζητάµε µία τουλάχιστον ρίζα της συνάρτησης g. Είναι g() = e f() ηµ ( π ) + e = e e = e < 0 g(3) = e f(3) ηµ ( π 3) + 3 e = e ln e = e ln3 e e = 3 e e = e > 0 Άρα g() g(3) < 0 Κατά το Θ. Bolzano, η συνάρτηση g θα έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα (, 3).

Άρα η ρίζα ο = είναι µοναδική. ii) Θεωρούµε τη συνάρτηση g() = e f() ηµ ( π ) + e, [, 3], η οποία είναι συνεχής, αφού προκύπτει από πράξεις συνεχών.

12 9. ίνεται συνεχής συνάρτηση f : R R, τέτοια ώστε να ισχύει f() + για κάθε R. () i) Να αποδείξετε ότι η C και η ευθεία y = τέµνονται τουλάχιστον σένα f σηµείο µε τετµηµένη ο [0, ]. ii) Να αποδείξετε ότι iii) Να υπολογίσετε το f 0 3 f 0 = +ηµ +ηµ Η () θα µας δώσει όλες τις πληροφορίες i) Αναζητάµε ρίζα της εξίσωσης f() = 0 στο διάστηµα [0, ] αναζητάµε ρίζα της συνάρτησης h() = f() στο διάστηµα [0, ]. Είναι h συνεχής σαν διαφορά συνεχών h(0) = f(0) 0 = f(0) () = 0 0 h() = f() () = f(0) 0 0 f(0) + f() + Από τις (), (3) παίρνουµε h(0) h() 0 0 h(0) () f() f() h() 0 (3) Όταν h(0) h() = 0, δηλαδή όταν h(0) = 0 ή h() = 0, Η ρίζα της h που αναζητάµε είναι ο = 0 ή ο = αντίστοιχα. Όταν h(0) h() < 0, σύµφωνα µε το Θ. Bolzano, η h θα έχει µία τουλάχιστον ρίζα στο διάστηµα [0, ] ii) Για 0, () f Αλλά + 0 ( + ) f ( ) f f f =, οπότε µε το κριτήριο παρεµβολής 0 =

13 3 iii) 3 f 0 +ηµ +ηµ = = f 0 + ηµ ηµ ( + ) f + ηµ 0 + ηµ f ηµ ηµ = = (ii) = 30. Να λύσετε την εξίσωση 4 = = Επιλέγουµε αριθµούς παρατηρώντας τη µορφή της συνάρτησης 4 9 = Θεωρούµε τη συνάρτηση 9 ( ) 6 + = 0 6 f () = ( 4 ) «Προφανής» ρίζα το, αφού f 9 ( ) Η f είναι άθροισµα των συναρτήσεων οι οποίες είναι συνεχείς και γν. φθίνουσες. (Η f είναι εκθετική µε βάση διεύθυνσης < 0) +, R 6 = 4 9 ( + 6 ) = = 3 3 = 0 f () = ( 4 ) 9 Επειδή δε δουλεύουµε σε συγκεκριµένο διάστηµα, πάµε µε προφανή (ή προφανείς) ρίζα και µονοτονία και f () = ( ) +, < και η f είναι ευθεία µε συντελεστή Άρα η f είναι συνεχής και γν. φθίνουσα, εποµένως η ρίζα είναι µοναδική.

ρίζα το, αφού f 9 ( ) Η f είναι άθροισµα των συναρτήσεων οι οποίες είναι συνεχείς και γν. φθίνουσες.

Σχετικά έγγραφα

2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών

2004-2006: Aύξηση φόρου εισοδήµατος, και µείωση µισθών Περίληψη Το Υπουργείο Οικονοµικών έχει κατορθώσει να µειώσει τους πραγµατικούς µας µισθούς, συνδυάζοντας την επίδραση των ακολούθων γεγονότων που