w w w.k z a c h a r i a d i s.g r

Transcript

1 Πως αποδεικνύουμε ότι ένα σώμα εκτεί απλή αρμονική ταλάντωση Μεθοδολογία i) Βρίσκουμε την θέση ισορροπίας του σώματος και σχεδιάζουμε το σώμα σε αυτή την θέση. ii) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ενεργούν στο σώμα στην θέση ισορροπίας. Προσδιορίζουμε την θετική φορά (όταν δεν μας δίνεται από την άσκηση). Γράφουμε την συνθήκη ισορροπίας, δηλαδή ΣF=0. iii) Απομακρύνουμε το σώμα κατά από την θέση ισορροπίας προς την θετική φορά (>0). Δηλαδή σχεδιάζουμε το σώμα σε νέα θέση που απέχει τυχαία απόσταση από την θέση ισορροπίας, με >0. iv) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ενεργούν στο σώμα στη θέση. v) Βρίσκουμε την ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣF στη θέση. Αν προκύψει ότι ΣF = (σταθ.), τότε το σώμα κάνει απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D=σταθ. ΑΣΚΗΣΗ Σώμα μάζας m ισορροπεί δεμένο στο εύθερο άκρο κατακόρυφου ατηρίου σταθεράς k=00. Το άλλο άκρο του ατηρίου είναι δεμένο σε οροφή. Απομακρύνουμε το ατήριο από την θέση ισορροπίας κατακόρυφα προς τα κάτω και στη συνέχεια το αφήνουμε εύθερο. Να αποδείξετε όταν το σώμα αφεθεί εύθερο θα εκτέσει απλή αρμονική ταλάντωση. Λύση. Όταν σε ασκήσεις μας ζητούν να αποδείξουμε ότι ένα σώμα εκτεί απλή αρμονική ταλάντωση τότε ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα (μεθοδολογία) : i) Σχεδιάζουμε το ατήριο στην θέση του φυσικού του μήκους (ισχύει μόνο σε ασκήσεις με ατήρια). Βρίσκουμε την θέση ισορροπίας του σώματος και σχεδιάζουμε το σώμα σε αυτή την θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα.

2 Σχήμα ii) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ενεργούν στο σώμα στην θέση ισορροπίας. Προσδιορίζουμε την θετική φορά. Επιλέγουμε θετική φορά προς τα κάτω γιατί η άσκηση μας λέει ότι απομακρύνουμε το σώμα από την θέση ισορροπίας κατακόρυφα προς τα κάτω. Στη συνέχεια γράφουμε την συνθήκη ισορροπίας, δηλαδή ΣF=0. Στην θέση ισορροπίας θα έχουμε : Σ = 0 w F = 0 mg - k = 0 mg = k () F Σημείωση : Τα κείμενα με τα μπλε γράμματα πρέπει να τα γράφετε στην άσκηση. iii) Σχεδιάζουμε το σώμα σε νέα θέση που απέχει τυχαία απόσταση από την θέση ισορροπίας, με >0. iv) Σχεδιάζουμε τις δυνάμεις που ενεργούν στο σώμα στη θέση (Σχήμα ). v) Βρίσκουμε την ΣFστη θέση. Σε τυχαία απομάκρυνση του σώματος από την θέση ισορροπίας θα έχουμε: Σ F = w F = mg - k( + ) = mg k () k ΣF = mg mg k ΣF = k Άρα το σώμα εκτεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = k = 00

3 ΑΣΚΗΣΗ Έστω ατήριο σταθεράς k=00 το οποίο βρίσκεται στην κορυφή κεκλιμένου επιπέδου γωνίας φ=30 0 με το ένα άκρο του δεμένο σε τοίχο. Στο άλλο του άκρο είναι δεμένο σώμα μάζας m= kg το οποίο ισορροπεί πάνω στο κεκλιμένο επίπεδο. Φέρουμε το σώμα στη θέση που το ατήριο έχει το φυσικό του μήκος και την χρονική στιγμή t=0 το αφήσουμε εύθερο. α) Να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτέσει απλή αρμονική ταλάντωση. β) Να βρείτε το πλάτος και την περίοδο της ταλάντωσης. α ) Σχεδιάζουμε το σχήμα. Σχήμα Στην θέση ισορροπίας Θ.Ι. σχεδιάζουμε κατάλληλο ορθογώνιο σύστημα αξόνων Oy. Αναλύουμε το r βάρος σε δύο συνιστώσες : Την w που είναι παράλληλη στη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου (άξονας Χ), και την r w y που είναι κάθετη στην διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου (άξονας Y). 3

4 Η γωνία κλίσης φ του κεκλιμένου επιπέδου είναι ίση με την γωνία που σχηματίζουν οι δυνάμεις r w και r w y επειδή οι αντίστοιχες πλευρές των αυτών των γωνιών είναι κάθετες μεταξύ τους. Άρα : w = wημφ w = mgημφ και w y = wσυνφ w y = mgσυνφ. Στον άξονα yy (κατακόρυφη διεύθυνση) το σώμα είναι ακίνητο. Άρα σύμφωνα με τον ο νόμο του Νεύτωνα θα έχουμε : ΣF y = 0 N w = 0 N = w N mgσυνφ y y = Στην θέση ισορροπίας θα έχουμε : Σ = 0 F w = 0 F = w k = mgημφ () F Σε τυχαία απομάκρυνση του σώματος από την θέση ισορροπίας θα έχουμε: Σ F = F w = k( ) mgημφ = k k mgημφ = k k k Άρα το σώμα εκτεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς ΣF = k () D = k = 00 β) Εφόσον το σώμα φέρεται από την θέση ισορροπίας στην θέση φυσικού μήκους και αφήνεται εύθερο, η αρχική επιμήκυνση ισούται με το πλάτος της ταλάντωσης. Δηλαδή : A = 0 0 mgημφ mgημ30 () = = = m k k 00 Επίσης : 0, m =. Άρα : A = 0, m m m π T = π = π = π s = π s T = s D k ΑΣΚΗΣΗ 3 Σώμα μάζας m βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο και έχει συνδεθεί στα εύθερα άκρα δυο οριζοντίων ατηρίων με σταθερές k =00 και k =50 Ν/m. Το σώμα αρχικά ισορροπεί. Αν εκτρέψουμε το σώμα προς τα δεξιά και στη συνέχεια το αφήσουμε εύθερο, να αποδείξετε ότι το σώμα θα εκτέσει απλή αρμονική ταλάντωση 4

5 Σχήμα 3 Στον άξονα yy (κατακόρυφη διεύθυνση) το σώμα είναι ακίνητο. Άρα σύμφωνα με τον ο νόμο του Νεύτωνα θα έχουμε : ΣF y = 0 N w = 0 N = w Στην θέση ισορροπίας θα έχουμε : Σ = 0 F F = 0 F = F k = k () F Σε τυχαία απομάκρυνση του σώματος από την θέση ισορροπίας θα έχουμε: ΣF = F ΣF F = (k + k = k ) ( ) k ( + ) = k k k k = k Άρα το σώμα εκτεί απλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς k k k () D = k + k = 50 5