γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t 1, αυτή της

Transcript

1 Βασικές ασκήσεις στις φθίνουσες ταλαντώσεις.. Μικρό σώμα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση =,8e,t (S.I.). Να υπολογίσετε: α. το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t = ln s. β. τη χρονική στιγμή t που το πλάτος της ταλάντωσης ισούται με, m. γ. την απώλεια της ενέργειας μεταξύ των χρονικών στιγμών t και t. Δίνεται η σταθερά της ταλάντωσης D = 4 N/m και για τις πράξεις: ln =,7. α. Για να βρούμε το πλάτος ταλάντωσης του μικρού σώματος τη χρονική στιγμή t, αντικαθιστούμε την τιμή αυτή στη χρονική εξίσωση του πλάτους. Έχουμε:,t, n n n4,8e,8e,8e,8e,8 4 =,m β. Για να βρούμε τη χρονική στιγμή t που το πλάτος αποκτά την τιμή, m, αντικαθιστούμε στη χρονική εξίσωση του πλάτους 8,t,t,t,8e,,8e e n,t 3 n,t 8 = t = 3 ns t = 3,7 t = s γ. Για την απώλεια της ενέργειας αφαιρούμε την ενέργεια που είχε το σώμα τη χρονική στιγμή t, αυτή της χρονικής στιγμής t D D 4(,4,) (t ) (t ) Ε απ = 6J ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

2 . Ένας ταλαντωτής δέχεται δύναμη αντίστασης στην κίνηση του της μορφής F αντ. = bυ (b = θετική σταθερά) και εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις μικρής απόσβεσης, το πλάτος των οποίων μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α = e 4t. Από τη χρονική στιγμή t = έως τη χρονική στιγμή t = 5 s ο ταλαντωτής έχει εκτελέσει πλήρεις ταλαντώσεις. k α. Να υπολογίσετε το πηλίκο, όπου Α k το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t k = kt και Α k k το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t k = (k )T με k =,, 3,,.. β. Να αποδείξετε ότι το ποσοστό επί τοις εκατό της μείωσης του πλάτους στη χρονική διάρκεια μιας οποιασδήποτε περιόδου της ταλάντωσης παραμένει σταθερό και στη συνέχεια να υπολογίσετε την τιμή του. Δίνεται για τις πράξεις: e =,7. α. Αφού ο ταλαντωτής εκτελεί πλήρεις ταλαντώσεις σε χρονική διάρκεια t = 5 s, η περίοδος της φθίνουσας ταλάντωσης είναι ίση με: t = T 5 = T T =,5 s. e (k ) T k (k ) T k T k T 4,5 k T k e k e e e e e. β. Το ποσοστό επί τοις εκατό της μείωσης του πλάτους υπολογίζεται από τη σχέση:, 63. e k k k k k Το πηλίκο k k είναι σταθερό για κάθε τιμή του k, επομένως και το ποσοστό μείωσης του πλάτους στη χρονική διάρκεια κάθε περιόδου της ταλάντωσης παραμένει σταθερό. Είναι: π = 63% ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

3 3. Ένας ταλαντωτής δέχεται δύναμη αντίστασης στην κίνηση του της μορφής F αντ = bυ (b = θετική σταθερά) και εκτελεί φθίνουσες ταλαντώσεις με συχνότητα f = Hz. To πλάτος της ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α = e Λt (Λ = σταθ.) και στο τέλος της πρώτης περιόδου ισούται με Α =,3 m, ενώ στο τέλος της δεύτερης περιόδου ισούται με Α =,5 m. α. Να υπολογίσετε το αρχικό πλάτος Α της ταλάντωσης. β. Να βρείτε τη σταθερά Λ. γ. Αν το πλάτος στο τέλος της 9 ης περιόδου της ταλάντωσης είναι Α 9 =,3 m, να βρείτε το πλάτος στο τέλος της ης περιόδου. Για τις πράξεις δίνεται ότι ln, =,8. α. Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α = e Λt. Επομένως ισχύει:,36 m β. Για να βρούμε τη σταθερά Λ, αντικαθιστούμε στον τύπο Α = e Λt T T,3 - e,3,36e n T n, n, s Λ = 3,6s,36 f 9 9,3,3 γ. Για κάθε ταλάντωση ισχύει:, 5m,36 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 3

4 4. Η αρχική ενέργεια ενός ταλαντωτή που εκτελεί φθίνουσα μηχανική ταλάντωση ισούται με 6 J. Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α = Α e Λt (όπου Λ = θετική σταθερά) και τη χρονική στιγμή t = s ισούται με το μισό αυτού που είχε τη χρονική στιγμή t =. Να υπολογίσετε: α. τη χρονική στιγμή t κατά την οποία το πλάτος της ταλάντωσης ισούται με το /8 του αρχικού, β. τη μείωση της μηχανικής ενέργειας του ταλαντωτή στη χρονική διάρκεια Δt = t t. α. Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης κάθε χρονική στιγμή υπολογίζεται από τη σχέση: Α = Α e Λt e e n t t t Λ = n s - t t n Για τη χρονική στιγμή t έχουμε: e e n8 t 3 n t 8 t = 6s β. Η μηχανική ενέργεια του ταλαντωτή υπολογίζεται από τη σχέση D. Τη χρονική στιγμή t : Τη χρονική στιγμή t : D D 4 4 D D = 4J =,5J Επομένως η μείωση της μηχανικής ενέργειας του συστήματος Ε απ (απώλεια μηχανικής ενέργειας) στη χρονική διάρκεια Δt είναι ίση με: Ε απ = Ε Ε Ε απ = 3,75 J ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 4

5 5. Σώμα μάζας m είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = 4 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο. Τη χρονική στιγμή t = το σώμα αρχίζει να εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση μικρής απόσβεσης με συχνότητα f = 5 Hz και με πλάτος που μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α =,8e (ln)t (S.I.). α. Να υπολογίσετε το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης τη χρονική στιγμή που έχουν ολοκληρωθεί ταλαντώσεις. β. Να υπολογίσετε το ποσοστό επί τοις εκατό της απώλειας της μηχανικής ενέργειας του ταλαντωτή στη χρονική διάρκεια των 5 πρώτων ταλαντώσεων. γ. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της ενέργειας του ταλαντωτή και κατόπιν να υπολογίσετε τον αριθμό των πλήρων ταλαντώσεων από τη χρονική στιγμή t = έως τη χρονική στιγμή που η ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος έχει υποτετραπλασιαστεί. α. Η περίοδος Τ της ταλάντωσης είναι: T T f 5 T =,s Οι ταλαντώσεις θα έχουν ολοκληρωθεί τη χρονική στιγμή: t = Τ t = s Το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης στο τέλος των πλήρων ταλαντώσεων θα είναι:,8e,8e,8e,8e ( n) t ( n) 4 n n6,8 6 =,5m β. Το ποσοστό επί τοις εκατό της απώλειας της μηχανικής ενέργειας του ταλαντωτή υπολογίζεται από τη σχέση D D D. Για τη χρονική διάρκεια των 5 πρώτων ταλαντώσεων είναι: t = 5T = 5, t = 3 s,8e,8e,8e,8e ( n) t ( n) 3 6 n n64,8 64 =,5m Άρα:, 5,9975,8 ή 99,75% ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 5

6 γ. Η ενέργεια της ταλάντωσης υπολογίζεται από τον τύπο: D D t t e e Η αρχική ενέργεια είναι: k 4,64 = 8J Επομένως: -(4 n)t Ε = 8e (S.I.) Σύμφωνα με τη σχέση που αποδείξαμε παραπάνω έχουμε: t t t e e e n t n ( n)t 4 4 t =,5s ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 6

7 6. Σώμα δέχεται δύναμη αντίστασης στην κίνηση του της μορφής F αντ =,υ (S.I.) και εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση μικρής απόσβεσης με πλάτος που μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση =,8e Λt (S.I.), όπου Λ = θετική σταθερά. Στο τέλος της ης περιόδου της ταλάντωσης το πλάτος έχει μειωθεί στην τιμή Α =,6 m και η ενέργεια της ταλάντωσης ισούται με Ε = 36 J. Να υπολογίσετε: α. το πλάτος της ταλάντωσης στο τέλος της ης περιόδου, β. το έργο της δύναμης αντίστασης κατά τη χρονική διάρκεια από τη στιγμή t = έως το τέλος της ης περιόδου της ταλάντωσης, όπως επίσης και κατά τη χρονική διάρκεια από το τέλος της ης έως το τέλος της ης περιόδου, γ. το ρυθμό μεταβολής της ενέργειας της φθίνουσας ταλάντωσης τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα του σώματος ισούται με υ =,5 m/s. α. Σε κάθε φθίνουσα ταλάντωση της οποίας το πλάτος μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α = e Λt, το αρχικό πλάτος (Α ), το πλάτος στο τέλος της πρώτης περιόδου (Α ) και το πλάτος στο τέλος της δεύτερης περιόδου (Α ) ικανοποιούν τη σχέση: =,45m β. Η απώλεια μηχανικής ενέργειας κατά τη διάρκεια της φθίνουσας ταλάντωσης οφείλεται στη δύναμη αντίστασης F αντ. Κατά συνέπεια το έργο της δύναμης αντίστασης εκφράζει την ενέργεια που μεταφέρεται από το ταλαντούμενο σύστημα στο περιβάλλον (απώλεια ενέργειας από το σύστημα). Επομένως το έργο της δύναμης αντίστασης ισούται με τη μεταβολή της ενέργειας ταλάντωσης του συστήματος. Ισχύει: 36 D D D,36 N D = m D, 64 = 64J και D, 5 =,5J Για τη χρονική διάρκεια της ης περιόδου έχουμε: WF W F αντ = 8J Για τη χρονική διάρκεια της ης περιόδου έχουμε: WF, 5 36 W F αντ = 5,75J ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 7

8 Παρατήρηση: Όπως φαίνεται από τους προηγούμενους υπολογισμούς, το έργο της δύναμης αντίστασης (όπως και η απώλεια ενέργειας) δεν είναι ίδιο στη χρονική διάρκεια κάθε περιόδου. Το ποσοστό όμως της μείωσης της ενέργειας του συστήματος (όπως και το ποσοστό μείωσης του πλάτους της ταλάντωσης) είναι ίδιο για τη χρονική διάρκεια οποιασδήποτε περιόδου. γ. Επειδή η απώλεια ενέργειας κατά τη διάρκεια της φθίνουσας ταλάντωσης οφείλεται στη δύναμη αντίστασης στην κίνηση F αντ συμπεραίνουμε ότι ο ρυθμός μεταβολής της μηχανικής ενέργειας της φθίνουσας ταλάντωσης ισούται με την ισχύ της δύναμης αυτής. Συνεπώς: dwf F dx dw dt dt dt F b b,,5 dwf αντ dt J =, 45 s ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 8

9 7. Ένα σώμα μάζας m = kg που κινείται κατά μήκος του άξονα x x δέχεται εξής δυνάμεις: δύναμη επαναφοράς της μορφής F επ = x (S.I.), όπου x η αλγεβρική τιμή της απομάκρυνσης του σώματος από τη θέση ισορροπίας του, και δύναμη αντίστασης στην κίνηση της μορφής F αντ = 8υ (S.I.), όπου υ η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του. Τη χρονική στιγμή t = το σώμα έχει μηδενική ταχύτητα και ξεκινά να εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με χρονική εξίσωση απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του της μορφής Α =,6e 6t συν8t (S.I.). α. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του σώματος τη χρονική στιγμή t =. β. Να βρείτε την περίοδο της φθίνουσας ταλάντωσης. γ. Τη χρονική στιγμή t που το σώμα διέρχεται από τη θέση x η αλγεβρική τιμή της επιτάχυνσης του ισούται με α = 56 m/s και η αλγεβρική τιμή της ταχύτητας του ισούται με υ = m/s. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης αντίστασης (F αντ ) από τη χρονική στιγμή t = έως τη χρονική στιγμή t. α. Όπως βλέπουμε από τις παραπάνω εξισώσεις για τις δυνάμεις οι αποσβέσεις σε αυτή την περίπτωση είναι αρκετά μεγάλες οπότε δεν μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη σχέση α = ω x, αφού η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης (ω = 8 rad/s) διαφέρει αρκετά από αυτή που θα είχε αν το σώμα εκτελούσε αμείωτη ταλάντωση ( k m k m rad ω = ). s Τη χρονική στιγμή t = είναι υ =, ενώ η απομάκρυνση x μπορεί να υπολογιστεί από τη χρονική της εξίσωση. Είναι x =,6e 6t συν8t και για t = προκύπτει: x =,6 m Η συνισταμένη δύναμη που δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια της φθίνουσας ταλάντωσης είναι της μορφής: ΣF = F επ + F αντ ΣF = x 8υ mα = x 8υ α = 6 m/s β. Η γωνιακή συχνότητα της φθίνουσας ταλάντωσης είναι ω = 8 rad/s. Ισχύει: T π Τ = s 4 γ. Το έργο της δύναμης αντίστασης στην κίνηση ισούται με τη μεταβολή της ενέργειας της ταλάντωσης. Δηλαδή: k αρχ = 8J ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U. 9

10 Τη χρονική στιγμή t η ταχύτητα και η επιτάχυνση του σώματος είναι υ = m/s και α = 56 m/s αντίστοιχα. Η απομάκρυνση x την ίδια στιγμή μπορεί να υπολογιστεί από την εξίσωση της συνισταμένης δύναμης. Είναι: mα = x 8υ 56 = x 6 x =,4 m. Τη χρονική στιγμή t είναι υ = m/s και x =,4 m. Με αντικατάσταση των τιμών των μεγεθών προκύπτει m kx 8 τελ = J. Το έργο της δύναμης των αντιστάσεων είναι ίσο με: WF 8 W F αντ = 8J ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.

11 8. To κύκλωμα RLC του σχήματος εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις με περίοδο Τ = 3 s δ και το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τον τύπο Q = 6 6 e (ln)t (S.I.). Η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C = μf. α. Να βρείτε μετά από πόσες πλήρεις ταλαντώσεις το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή έχει υποτετραπλασιαστεί. L R C β. Να υπολογίσετε τη θερμότητα που εκλύεται από τον αντιστάτη R στη χρονική διάρκεια των 5 πρώτων ταλαντώσεων, θεωρώντας ότι οι απώλειες ενέργειας οφείλονται μόνο στο φαινόμενο Joule. α. Το πλάτος του φορτίου του πυκνωτή μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τον τύπο: t Q t t Q Qe Qe e n t n ( n)t 4 4 t = s Επομένως ο αριθμός των ταλαντώσεων είναι: t = NT = N 3 N = ταλ. β. Η θερμότητα που εκλύεται από τον αντιστάτη ισούται με την απώλεια ενέργειας κατά τη διάρκεια των φθίνουσων ταλαντώσεων. Για τις 5 ταλαντώσεις έχουμε t = 5T t =,5 s. Q 6 e 6 e 6 e 6 ( n) t 6 n, ( ) 5 6 n -6 Q = 8 C Η αρχική ενέργεια είναι: Q 56 C 6-6 = 8 J Η ενέργεια του κυκλώματος την χρονική στιγμή t είναι: Q 64 C 6-6 = 3 J Ε απ = Ε Ε Ε απ = Ε απ = 96 6 J ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, W.U.