ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖƏНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ А.Ə.БАЙМҰХАМЕТОВ, Қ.А.ҚАРАЖАНОВА ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА (ЭКОНОМИСТЕРГЕ АРНАЛҒАН ДƏРІСТЕР) 2 бөлім

Transcript

1 ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫ БІЛІМ ЖƏНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ Еуразиялық нарық институты А.Ə.БАЙМҰХАМЕТОВ, Қ.А.ҚАРАЖАНОВА ЖОҒАРЫ МАТЕМАТИКА (ЭКОНОМИСТЕРГЕ АРНАЛҒАН ДƏРІСТЕР) бөлім Оқулық Алматы 005

2 УДК 57 Баймұхаметов А.Ə., Қаражанова Қ.А. Жоғары математика (экономистерге арналған дəрістер). б.: Оқулық.- Алматы: ЕурАзНИ, б. Лекциялар материалдары экономистерге арналған математика курсының екінші семестр жоспарына сəйкес құрастырылған. Онда «Ықтималдықтар теориясынан», «Математикалық статистикадан» негізгі ұғымдар мен теоремалар түсінікті деңгейде жазылған. Библиогр. 5 аталымдар. Рецензент Отарбаев Ж.О., техника ғылымдарының докторы, профессор (ҚазҰТУ) Еуразиялық нарық институттың ғылыми кеңесінде 005 жылғы наурыздың 9-шы жұлдызында басылымға бекітілген ISBN

3 МАЗМҰНЫ Кіріспе дəріс. Ықтималдықтар теориясы.. Кездейсоқ оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы.. Ықтималдықтың классикалық жəне статистикалық анықтамасы дəріс... Ықтималдықтарды қосу теоремасы.. Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Тəуелді жəне тəуелсіз оқиғалар 3 дəріс. 3.. Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы 4 дəріс. 4.. Қайталамалы тəжірибелер. Бернулли схемасы. Шектік теоремалар 5 дəріс. 5.. Кездейсоқ шамалар жайында түсіиік. Дискретті кездейсоқ шамалардың үлестірім заңдары 5.. Дискретті кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары жəне олардың қасиеттері 6 дəріс. 6.. Үзіліссіз кездейсоқ шамалар. Кездейсоқ шаманың үлестірім функциясы жəне ықтималдықтардың үлестірмінің тығыздығы 7 дəріс. 7.. Бірқалыпты, көрсеткішті жəне қалыпты үлестірімдер 8 дəріс. 8.. Үлкен сандар заңы 9 дəріс. Математикалық статистиканың негізгі ұгымдары 9.. Бас жиын жəне таңдама. Статистикалық жəне эмпирикалық үлестірімдер, полигон жəне гистограмма 0 дəріс. 0.. Бас жиынның жəне таңдаманың сандық сипаттамалары дəріс... Бас жиынның сипаттамаларын нүктелік бағалау

4 дəріс... Сенімділік интервалдары 3 дəріс. 3.. Моменттер жəне таңдамалық моменттер. Кездейсоқ шаманың параметрлерін бағалайтын моменттер əдісі 4 дəріс. 4.. Статистикалық болжамдарды тексеру. Пирсонның χ - квадрат критерийі 5 дəріс. 5.. Корреляциялық тəуелділіктер Əдебиеттер тізімі

5 Əр ғылымда сонша шындық бар, онда қанша математика болса Леонардо да Винчи КІРІСПЕ Кез келген ғылымның, оның ішінде экономикалық ғылымның негізгі мақсаты өмірдей процесстер бағынатын заңдылықтарды жауып жəне зерттеу. Экономикаға қатысы бар табылған заңдылықтардың тек қана теориялық маңызды емес, онымен қатар олар практикада да жоспарлауда, басқаруда жəне болжауда да қолданылады. Ықтималдықтар теориясы математикалық ғылым, ол кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейді. Көптеген, ең алдымен əлеуметтік экономикалық құбылыстарды зерттегенде тек қана негізгі факторларды ғана емес, кездейсоқ толқынысқа əкелетін жəне нəтижені бұрмалауға соқтыратын, яғни екіұшты күйге келтіретін жағдайларды ескеру керек. Осындай бақылайтын кездейсоқ құбылыстардың спецификалық заңдылықтарын зерттеуге арналған əдістерді жетілдірумен ықтималдық теориясы айналысады. Математикалық статистика математиканың бөлігі, ол статикалық заңдылықты көрсету мақсатынан бақылау нəтижелерін жинау əдістерін зерттеумен, оны жүйелеп жəне өңдеумен айналысады. Математикалық статистика ықтималдық теориясына сүйенеді. Ол кейбір шекті немесе үлкен шексіз генералдық жиыннан алынған таңдаманы көрсететін кездейсоқ шаманы бақылаудан алынған нəтижелермен жұмыс істейді. Ықтималдық теорияны қолдана отырып математикалық статистика көптеген іздестіріп отырған мінездемелерді бағалайды жəне берілген мағлұматтарды өңдегенде шығатын тұжырымдардың дəлдігін анықтайды. Ықтималдық теориядан өткен ғасырлардағы көрнекті математиктер қатарында: Д.Кардано, Б.Паскаль, П.Ферма, Х.Гюйгенс, Я.Бернулли, А.Муавр, П.Лаплас, К.Гаусс, С.Пуассон. Орыс математиктері: А.М.Ляпунов, А.А.Марков. Ықтималдық теория жəне математикалық статистика саласындағы осы кезеңдегі математиктер: С.Н.Бернштейн, В.И.Романовский, А.Н.Колмогоров, А.Я.Хинчин, Ю.В.Линник, Б.В.Гнеденко, Н.В.Смирнов, Ю.В.Прохоров, Стьюдент, Р.Фишер, Э.Пирсон, Е.Нейман, А.Вальд.

6 ДƏРІС. ЫҚТИМАЛДЫҚТАР ТЕОРИЯСЫ.. Кездейсоқ оқиғалар. Оқиғалар алгебрасы Ықтималдықтар теориясында, ең бастапқы ұғымдар - оқиға мен ықтималдық. Оқиға деп жасалған тəжрибеде, бақылауда шығатын нəтижен айтады. Оқиғалар үш түрге бөлнед: ақиқат, мүмкн емес жəне кездейсоқ болады. Егер оқиға сөзсз пайда болатын болса, онда ақиқат деп атайды. Егер оқиға мүлде пайда болмайтын болса, онда оны мүмкн емес деп атайды. Егер оқиғаның пайда болатындығын, не пайда болмайтындығын алдын ала айтуға болмайтын болса, онда оны кездейсоқ деп атайды. Кездейсоқ оқиғалар латынның А, В, С бас əрптермен белгленед. Бртект кездейсоқ оқиғалардың заңдылықтарын зерттейтн математиканың бөлгн, ықтималдықтар теориясы деп атайды. Ықтималдықтарды анықтау үшн қосымша анықтамалар келтрейк. Айталық, А,А,... А саны шектелген оқиғалар болсын. Егер бұл оқиғалардың бреунң пайда болуы, екншснң пайда болуын жоққа шығармайтын болса, онда оқиғаларды үйлесмд деп айтады. Егер бреунң пайда болуы екншсн жоққа шығаратын болса, онда оқиғаларды үйлесмсз деп айтады. Егер бұл оқиғалардың бреунң пайда болуы екншснң пайда болуынан артықшылықта болмайтын болса, онда оларды тең мүмкнд деп атайды. Егер осы оқиғалардың ең болмағанда бреу пайда болатын болса, онда оларды брден-бр мүмкн деп атайды. Егер А, А, А үйлесмз жəне брден-бр мүмкн оқиғалар болса, онда бұларды оқиғалардың толық жүйес деп атайды. Бр-брне үйлесмсз, брден-бр мүмкн ек оқиғаны бр-брне кер деп атайды. Егер А деп оқиғаны белглесе, онда А деп оған кер оқиғаны белглейд. Енд оқиғаларға алгебралық амалдар қалай қолданатынын қарастырайық. Анықтама. Егер А-ның пайда болуы немесе В-ның пайда болуы, немесе екеунң пайда болу оқиғасын С деп белглесек, онда С оқиғасын А мен В-ның қосындысы деп атайды жəне былай белглейд: С A + B немесе C A B Осыдан, А А,... оқиғалардың қосындысы, А

7 A C немесе U C Егер А А,... толық жүйе құрайтын болса, онда A Ω,, А A Ω- бос жиын. Анықтама. Егер С- оқиғасы А жəне В оқиғалардың брдей пайда болуынан қалыптасатын болса, онда С оқиғасын А жəне В-ның көбейтндс (қиылысуы) деп атайды жəне былай белглейд: СA B немесе С A В Ал А, А,... А оқиғаларының көбейтндс: C A A...A A немесе C A. I Анықтама. А оқиғасы болатын, ал В оқиғасы болмайтын оқиғаны С деп белглесек, С оқиғаны А мен В-ның айырмасы деп атайды жəне былай белглейд: СA-B немесе СA\B. Жоғарыда берлген анықтамалардан мынадай теңдктер орындалады: А + A А A A A А + B B + A А B B A A + (B + C) (A + B) + C A + (B C) (A B) C A (B + C) AB + AC ( A + B) (A + C) A + BC A + Ω Ω A + Ω A A Ω A A Ω Ω A + A Ω A A Ω A B A B A A A + B A B AB A + B.. Ықтималдықтың классикалық жəне статистикалық анықтамасы. Комбинаториканың негзг формулалары Кез келген тəжрибеде бр-брне қайшы келетн немесе қолдайтын нəтижелер көп болуы мүмкн. Айталық, жасалатын тəжрибеде бр жəне тең мүмкнд, үйлесмсз w, w,..., w мүмкндктер (жағдайлары) бар болсын. Егер А оқиғасы осының m жағдайында пайда болып, қалған m жағдайда пайда болмайтын болса, онда А оқиғасына m жағдайы қолайлы деп айтады. Анықтама. А оқиғасының пайда болу ықтималдығы деп m қолайлы жағдайлардың санының - барлық бр жəне тең мүмкнд, үйлесмсз жағдайлардың санына қатынасын атайды, яғни m P (A).

8 Бұл анықтаманы брнш француз математиг Лаплас берген жəне оны ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды. Осы анықтамадан шығатын кейбр қасиеттерд атап өтелк.. Ақиқат оқиғаның ықтималдығы брге тең болдады.. Мүмкн емес оқиғаның ықтималдығы нольге тең болады. 3. Кездейсоқ оқиғаның ықтималдығы 0 < P(A) < арасында болады. Жоғарыда берлген ықтималдықтың классикалық анықтамасы көп қолданыла бермейд. Егер оның бр мүмкнд, тең мүмкнд жəне үйлесмсз шарттарының бреу орындалмаса, анықтама жұмыс стемейд. Сондықтан, көп жағдайда басқа анықтамаларға көшед. Соның бр ықтималдықтың статистикалық анықтамасы. Анықтама. Жасалған тəжрибелерде А оқиғаның пайда болған санының, барлық тəжрибенң санына қатынасын А-ның салыстырмалы жилг деп атайды, яғни m W P * (A), m - оқиғаның пайда болған саны, - барлық тəжрибенң саны. Ықтималдық сияқты, 0 P * (A) болады. Осы жерде айтып кетейк; ықтималдықты тəжрибе жасамай тұрып есептейд, ал салыстырмалы жилкт тəжрибеден кейн санайды. Анықтама. А оқиғасының ықтималдығы деп, мейлнше үлкен болғандағы салыстырмалы жилк төңрегнде топталатын P(A) санын атайды. Бұл анықтаманы ықтималдықтың статистикалық анықтамасы деп атайды. Ықтималдықты есептеу үшн, кейбр жағдайда, комбинаториканың формулаларын қолдануға тура келед. Осы комбинаториканың үш түрл формулаларын келтрейк. Анықтама. элементтен дан алынған орналастырулар деп бр-брнен өзгешелктер əр элементтернде, əр элементтердң реттернде болатын қосылыстарды атайды. Орналастырулар табу үшн A ( )( )...( + ) формуласын қолданады. Анықтама. элементтен нен жасалған орналасыруларды элементтен жасалған алмастырулар деп атайды жəне мына формуламен есептейд: P! ( )( )...3. Анықтама. Берлген элементтен дан жасалған терулер деп айырмашылықтары ең болмағанда бр элементте болатын қосылыстарды айтады жəне мына формуламен есептейд:

9 ! ( )( )...( ) C +!( )! 3... Жоғарыдағы анықтамасы берлген өлшемдердң арасында мынадай қатынас бар: A C ; P ДƏРІС... Ықтималдықтарды қосу теоремасы Теорема. Ек үйлесмсз оқиғалардың қосындысының ықтималдығы, олардың ықтималдықтарының қосындысына тең: P (A + B) P(A) + P(B) Дəлелдеу. Бр жəне тең мүмкнд үйлесмсз жағдайлардың жағдайы А оқиғаға, ал жағдайы В оқиғаға қолайлы болсын, онда m P(A) m жəне m P(B) ; А жəне В үйлесмсз болғандықтан А+В оқиғаға m болады m + m ). Сондықтан ( m + m P(A + B) m m + P(A) + P(B) m m + жағдай қолайлы Яғни, теорема дəлелденд. Осы сияқты A, A,... A үйлесмсз оқиғалар үшн P(A + A A ) P(A) + P(A ) P(A ) орындалады. салдар. Толық жүйе жасайтын оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы брге тең болады. салдар. Бр-брне кер оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы брге тең болады... Ықтималдықтарды көбейту теоремасы. Тəуелд жəне тəуелсз оқиғалар -анықтама. Егер А оқиғаның ықтималдығы В оқиғаның пайда болуынан немесе болмауынан тəуелсз болса, онда А оқиғаны В оқиғадан тəуелсз деп атайды. -анықтама. Егер А оқиғасы, В оқиғаның пайда болуынан немесе пайда болмауынан тəуелд болса, онда А оқиғасын В оқиғасына тəуелд деп атайды.

10 3-анықтама. А оқиғасының В оқиғасы пайда болғандағы табылған ықтималдығын А оқиғасының шартты ықтималдығы деп атайды жəне P B (A)деп белглейд. -теорема. Ек тəуелд оқиғалардың ықтималдықтарының көбейтндс мынадай ықтималдықтардың көбейтндсне тең болады; брншс - осы ек оқиғаның бреунң ықтималдығы, екншс - брншс пайда болғандағы екншсң шартты ықтималдығы, яғни P(AB) P(A) PA (B) немесе P(AB) P(B) PB (A) Дəлелдеу. Барлық жағдайлар санын деп белглейк. А-ға қалайлы жағдайлар санып m -деп, ал АВ көбейтндсне қолайлы жағдайлар санын деп белглейк. Сонда m P (A) ; P(AB). (A). Енд А оқиғасы пайда болды деп P B шартты ықтималдықты есептейк. Мұндай оқиғаға барлық жағдайдар саны m болады, қолайлы жағдайлар саны болады, сондықтан Осы теңдктерден P(AB) P A (B). m m P(A) PB (A). m Ескерту. Егер А жəне В үйлесмсз оқиғалар болса, онда P (A B) 0. Бұл теореманы тəуелд A, A,... A оқиғаларға да келтруге болады. Мысалы, A, A, A3 тəуелд оқиғалар үшн (A A A ) P(A ) P (A ) P (A ) болады. P 3 A AA 3 Енд дəлелдеусз мынадай теоремаларды келтрейк теорема. Егер А оқиғасы В оқиғадан тəуелсз болса, онда В оқиға да А-дан тəуелсз болады. 3 теорема. Егер А жəне В тəуелсз оқиғалар болса, онда мынандай пар оқиғалар: А жəне B, A жəне В, A жəне B тəуелсз болады. 4-теорема. Ек немесе брнеше тəуелсз оқиғалардың көбейтндснң ықтималдығы, олардың ықтималдықтарының көбейтндсне тең, яғни немесе P(A A...A ) P(A ) P(A )...P(A ). P(A B) P(A) P(B) 5 теорема. Тəуелсз A, A,... A оқиғалардың кем дегенде бреунң пайда болу ықтималдығы болады. P(A + A A ) P(A) P(A )...P(A ).

11 3 ДƏРІС. 3.. Толық ықтималдық формуласы. Байес формуласы Айталық, В оқиғасы толық жүйе болатын A, A,... A оқиғалардың бреу орындалғанда ғана пайда болатын болсын. Осы оқиғалардың ықтималдықтары P(A ), P(A ),...P(A жəне В оқиғаның шартты ықтималдықтары берлген болсын. Бұл жерде A, A,... A P (B), P A A (B),..., P A ) (B) оқиғаларын гипотеза деп атайды. Осы берлгеннен P(B) P(A ) P (B) (3.) орындалатынын дəлелдейк. Шынында да, В оқиғасы тек қана оқиғалардың бреумен брге пайда болуы мүмкн, сондықтан A B A B + A B +... A B. + A, A,... A A, A,... A оқиғалары үйлесмсз болғандықтан AB, A B,..., A B оқиғалары да үйлесмсз болады, сонда P(B) P(A B) + P(A B) P(A Енд.3 тег -теоремасы бойынша B) P(B) P(A )PA (B) + P(A )PA (B) P(A )P A Теорема дəлелденд. (3.) формуланы толық ықтималдық формуласы деп атайды. Сонымен (3.) теңдг орындалатын болсын. Енд В оқиғасы пайда болды деп, A (,,..., ) оқиғалардың ықтималдықтарын табайық: Осыдан (3.) формуланы пайдаланып: P(A B) P(B)P (A ) P(A )P (B). B A P(A ) PA (B) P (A ) B. P(B) PB (A ) Бұл теңдкт Байес формуласы деп атайды. P(A ) PA (B) P(A ) PA (B). (B) (3.)

12 4 ДƏРІС. 4.. Қайталамалы тəжрибелер. Бернулли схемасы. Шектк теоремалар Айталық, əрбр тəжрибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы брдей жəне P (A) p болсын. Онда P(A) q p болады. Анықтама. Егер ықтималдығы брдей тəжрибелер жасағанда, оқиғаның пайда болуынан немесе пайда болмауынан тəжрибелер тəуелсз болса, онда тəжрибелерд тəуелсз деп атайды. Тəуелсз тəжрибе жүргзгенде А оқиғасының -рет пайда болу ықтималдығы қандай? Бұл сұраққа жауап беру үшн мынадай күрдел оқиғаны қарастырайық: тəжрибеде А оқиғасы пайда болып, келес тəжрибеде пайда болмады делк, яғни A A A... A A A A болсын. Мұның ықтималдығы (көбейтнд теоремасы бойынша) 4 Р443 Р... P q q... q p q 443 болады. Мұндай күрдел оқиғалар А оқиғасына байланысты көп болуы мүмкн. Сондықтан соның санын табу керек. Комбинаторика əдстерне сүйенп, бұл оқиғалардың саны C тең, яғни -нен -рет алынған теруге тең екенн блемз. Сондықтан! P () C P q p q (4.)!( )! Бұл формула тəжрибеде А оқиғасының -рет пайда болу ықтималдығын анықтайды. Осы (4.) теңдкт Бернулли формуласы деп атайды, ал есептеу жолын Бернулли схемасы дейд. Бұл формуланы тəжрибелердң саны аз болғанда ғана пайдаланады. Егер тəжрибе саны -көп болса, онда ықтималдықты бұл формуламен санау қиынға соғады, сондықтан басқа санау əдстерд қарастыру керек. Бұндай жағдайда ең ыңғайлысы Лаплас формулаларымен есептеу. Бұл формулаларды мынадай теоремалар арқылы келтрейк. -теорема (Лапластың локальдық теоремасы). Егер əрбр тəуелсз тəжрибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p -ға тең болса ( 0 < p < ), онда тəжрибеде А оқиғасының -рет пайда ϕ() болу ықтималдығы P () болады, бұл жерде pq ϕ( ) e π p, pq ϕ() -ты Лаплас функциясы деп атайды жəне мұның мəндер кесте арқылы анықталады. -теорема (Лапластың интегралдық теоремасы).

13 Егер əрбр тəуелсз тəжрибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p -ға тең болса ( 0 < p < ), онда тəжрибеде А оқиғасы m -рет ( a m b) пайда болу ықтималдығы болады, бұл жерде b p, pq a p α pq β P (a m b) e d π α (4.) β α β. Φ ( t) e d интегралдың мəндерн есептеу үшн кесте берлед. Φ (t) - функцияны Лаплас функциясы немесе ықтималдық интегралы деп атайды. Сонымен (4.) формуланы мынадай (a P m b) [ Φ( β) Φ( α) ] түрнде есептеулерге қолдануға болады. Енд жоғарыда берлген теоремалардың салдары болатын кейбр теоремаларды қарастырайық. Айталық А оқиғасына байланысты -рет тəжрибелер жүргзлсн жəне пайда болу ықтималдығы р-ге тең болсын ( 0 < p < ). 3-теорема. Егер m жилктң өзне ең ықтимал мəн m 0 p болса, жəне олардың бр-брнен ауытқуы абсолют шамасымен оң санынан үлкен болмаса, онда p < ε) Φ ε pq P ( m болады. 4-теорема. Егер m жилктң, ықтималдық р -дан ауытқуы абсолют шамасымен оң сан ε -нан үлкен болмаса, онда m ε p ε Φ pq P болады. Тағы да бр формулаға тоқталайық. Егер ықтималдықтың мəн өте аз болса, онда жоғарында берлген формулалардың бреу де санауға ыңғайлы болмайды. Бұл жағдайда Пуассон формуласын қолданады. Оны мына теорема арқылы берейк: 5-теорема. Егер əрбр тəжрибеде А оқиғасының пайда болу ықтималдығы p -өте аз болса, ал тəжриибенң саны өте көп болса, онда тəжрибеде А оқиғасының - рет пайда болу ықтималдығы λ λ e P () болады,! Бұл жерде λ p. Осы формуланы Пуассон формуласы деп атайды.

14 5 ДƏРІС. 5.. Кездейсоқ шамалар жайында түснк. Дискретт кездейсоқ шамалардың үлестрм заңдары Анықтама. Мүмкн болатын мəндерден тəжрибе нəтижесне байланысты бр мəнд қабылдайтын айнымалыны кездейсоқ шама деп атайды. Яғни, кездейсоқ шама сан мəндерн қабылдайды, бірақ дəл қандай мəн қабылдайтынын алдын ала айта алмаймыз. Кездейсоқ шамаларды жəне басқа да бас əрптермен, ал олардың қабылдайтын мəндерн жəне басқа да кш əрптермен белглеймз. X, Y, Z, y,z Қабылдайтын мəндер жиынына орай кездейсоқ шамаларды ек топқа бөлед: дискреттк жəне үзлссз. Егер кездейсоқ шамалардың мəнн тзбек түрнде жазуға болса, онда оны дискреттк деп, ал мəндер белгл бр аралықта жатса, онда оны үзлссз деп атайды. Анықтама. Кездейсоқ шаманың мəндер мен олардың ықтималдықтарының арасындағы сəйкесткт дискретт кездейсоқ шаманың үлестрм заңы немесе функциясы деп атайды. Бұл сəйкестк таблица, график жəне аналитикалық түрнде берлу мүмкн. Таблица түрнде функция х х х 3 х p p p 3 p немесе үлестрм заңы осылай берлед. Бұл жерде, брнш жолда кездейсоқ шама -тың мəндер, екнш жолда сол мəндердң қандай ықтималдықтармен қабылданатыны жазылған. Кездейсоқ шама Х-тың мəндер толық жүйе жасайтын болғандықтан, P + P P (P 0,,,...). Үлестрм заңның мысалы ретнде биномиальдық заңдылықты келтрейк. Бұл заңда, ықтималдықтарды Бернулли формуласымен есептейд жəне мына түрде: кестес жазылады. Х 0 Р P p q C p q C p q q

15 5.. Дискретт кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары жəне олардың қасиеттер Кездейсоқ шаманы үлестрм заңы толық сипаттайтынын жоғарыдан блемз. Бірақ кейде заңдылық толық берлмегенде, басқа шамалар арқылы кездейсоқ шаманы зерттеуге болады. Соның бр - кездейсоқ шаманың орта мəнн беретн үмт. Айталық, х кездейсоқ шаманың үлестрм таблицасы берлсн Х х х х 3 х P p p p 3 p Анықтама. х -кездейсоқ шаманың математикалық үмт деп М ( ) p + p p p (5.) қосындыны айтамыз. Теорема. Математикалық үмт х кездесоқ шамасының қабылдайтын мəндернң, жуықтап алғанда, орта мəнне тең болады. Дəлелдеу. Х шамасы х мəнн рет, мəнн рет,, мəнн рет қабылдайтын болсын, мұнда Демек, -тң орта мəн орта теңдлгмен анықталады. Бұдан орта болады. Онда w мəннң салыстырмалы жилг, w мəннң салыстырмалы жилг, т.б., болады, яғни орта w мəннң салыстырмалы жилг w + w болады. Егер тəжрибелердң саны өте көп болса, онда салыстырмалы жилк жуық шамамен ықтималдыққа тең болатынын блемз, сондықтан W P, W P,..., W P Осыдан орта p + p p немесе орта М( ) болады. Теорема дəлелденд. Осыған орай, математикалық үмтт кейде кездейсоқ шаманың орта мəн деп те атайды. Мысал ретнде биномиальдық заңның математикалық үмтн есептейк. w

16 M() p! C p q p q!( )! 0 C p q p! p ( )!( )! q яғни M() p. Математикалық үмттң мынадай қасиеттер бар:. Тұрақтының математикалық үмт өзне тең, яғни M (C) C (С - тұрақты сан).. Тұрақты көбейткшт математикалық үмттң таңбасының алдында көбейткш ретнде шығаруға болады, яғни M(C) C M(). Шынында, да M (C) C p + C p C C( p + p C p ) C M(). p 3. Қосындының математикалық үмт, математикалық үмттердң қосындысы тең, яғни M ( + y) M() + M(y). 4. Егер кездейсоқ шамалар тəуелсз болса, онда көбейтнднң математикалық үмт, көбейткштердң үмттернң көбейтндсне тең, яғни M(y) M() M(y). Анықтама. Х кездейсоқ шамасының дисперсиясы дегенмз, х пен М(х)-тң айырмасы квадратының математикалық үмт, яғни D() M( M()). Егер х кездейсоқ шама дискретт үлестрм заңымен берлсе, онда D () ( M() формуласымен анықталады. Дисперсияның қасиеттер:. Дисперсияны мынандай формуламен анықтауға болады: Дəлелдеу. ) P D() M( ) M D() M( M()) M[ M() + M ()] M( ) M() M() + M () M( ) M () (). (.6). Тұрақтының дисперсиясы нольге тең, яғни D (C) 0, С - тұрақты сан. Шынында да, D(C) M(C ) M (C) C C Тұрақты көбейткшт дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады, яғни D(C) M(C) M (C) C [M( ) M ()] C D(). 4. Егер кездейсоқ шамалар тəуелсз болса, онда қосындының дисперсиясы, дисперсиялардың қосындысына тең, яғни D ( + y) D() + D(y). 5. Қандай да болмасын х үшн дисперсияның мəн терс емес, яғни D() 0. Шынында да, (.5) қосылғыштардың бəр терс емес, осыдан қасиеттң дəлелдеу шығады.

17 Келес айтатынымыз, кездейсоқ шаманың тағы бр сандық сипаттамасы орта квадраттық ауытқуы σ. Бұл сипаттама мына формуламен анықталады σ ( ) D(). 6 ДƏРІС. 6.. Үзлссз кездейсоқ шамалар.кездейсоқ шаманың үлестрм функциясы жəне ықтималдықтардың үлестрмнң тығыздығы Айталық х -үзлссз кездейсоқ шама болсын. Анықтама. Х кездейсоқ шамасының үлестрм функциясы дегенмз, Х шамасының айнымалы х-тен кш мəн қабылдау ықтималдығы, яғни үлестрм функциясы F () P(X < ) (.7) теңдгмен анықталады. Үлестрм функциясы арқылы кездейсоқ шаманың берлген аралықта жату ықтималдылығын тауып алуға болады. Теорема. Х кездейсоқ шаманың мəндер [a,b] аралығында жату ықтималдығы үлестрм функциясының осы аралық қатарындағы өсмшесне тең, яғни P(a < b) F(b) F(a) (.8) Дəлелдеу. А,В, жəне С арқылы "х шамасы а-дан кш", "х шамасы b -ден кш" жəне "х шамасы [a,b) аралығында тист" оқиғаларын белглейк. Сонда BA+C теңдг орындалады, өйткен В-нң пайда болуы А-ның немесе С-ның пайда болуынан тұрады. Бұған қосу теоремасын қолдансақ, P (B) P(A) + P(C), немесе P( < b) P( < a) + P(a b). Бұдан (.7) теңдг бойынша F(b) F(a) + P(a b) осыдан (.8) теңдг шығады. Теорема дəлелденд. Енд үлестрм функцияның қасиеттерн атап өтелк.. Үлестрм функция шектелген функция болады 0 F(). Бұл қасиет F() функцияның ықтималдық екендгнен орындалады.. Үлестрм функциясы кеммейтн функция, яғни болғанда F() F( ) теңсздг орындалады. Дəлелдеу. теңсздг орындалғандықтан, (.8) теңдкт пайдалансақ P( ) F( ) F(). Ал ықтималдық болғандықтан P( ) 0, F( ) F() 0 ендеше F() F( ). 3. Үлестрм функциясы сол жағынан үзлссз, яғни F() F( ). lm 0 0 0

18 Дəлелдеу. Өспел жəне де х 0 нүктесне жинақты { } тзбег құралық. < болғандықтан, [, 0 ) интервалын құруға болады. Сонда ) F( ) F( ). Ықтималдықтар теориясында брнң шне бр P( 0 0 орналасқан сегменттер принципн еске алып қабылдайды. Демек, lm [ F( ) F( )] 0 0 lm P( 0 ) 0 болады деп. Бұдан қасиеттң дəлелдеу келп шығады. 4. Егер кездейсоқ шама х-тың мəндер интервалында жатса, онда ) F () 0, егер a ) F (), егер b Дəлелдеу. ) Айталық a, онда X < оқиғасы мүмкн емес (ондай мəнд кездейсоқ шама қабылдамайды), сондықтан оның ықтималдығы нольге тең. ) b делк. Бұл жағдай ақиқат, неге десеңз, барлық х-тң мəндер -ден кш сондықтан х-тың ықтималдығы брге тең болады. Жоғарыда анықталған F() үлестрм функциясы - үзлссз кездейсоқ шаманың берлунң бр түр болады. Кездейсоқ шаманың басқа бр түр: f () F () (6.) деп жазылады жəне бұл функцияны ықтималдықтардың үлестрм тығыздығы деп атайды. Бұдан үлестрм функциясын үлестрм тығыздығы арқылы да анықтауға болады, өйткен (6.) теңдктен F () f (t)dt (6.) болады (алғашқы функция жоғары шег айнымалы интеграл арқылы жазылған). Ықтималдықтар тығыздығы туынды, ал үлестрм функциясы интеграл амалдарына байланысты болғандықтан, тығыздықты дифференциалдық заң, үлестрм функциясын интегралдық заң деп атайды. (6.) жəне (6.) теңдктерн жəне үлестрм функциясының қасиеттерн пайдаланып, ықтималдық тығыздығының мынандай қасиеттерн келтруге болады:. Ықтималдықтар тығыздығы f () 0.. f ()d 3. х кездейсоқ шаманың (а,в) интервалында жату ықтималдығы b P (a < < b) f ()d (6.3) болады. Егер кездейсоқ шама х-тң f () -тығыздығы берлген болса, онда математикалық үмт a

19 дисперсия. формулаларымен анықталады. Дисперсия санау үшн мына формула M () f () d, (6.4) ( ) M() f () (6.5) D() d D () f ()d [ M() ] (6.6) кейбр жағдайда қолайлы болады. Математикалық үмт пен дисперсияның дискреттк кездейсоқ шама үшн дəлелденген қасиеттер сол қалпында өзгерместен үзлссз кездейсоқ шамаға да көшрлед. Дəлелдеулердег айырмашылық: мұнда қосындылардың орнына интегралдар жəне олардың қасиеттер пайдаланылады. 7 ДƏРІС. 7.. Брқалыпты, көрсеткшт жəне қалыпты үлестрмдер. Брқалыпты үлестрм заңдылығы. Анықтама. ( a, b) аралығынан мəн қабылдайтын жəне үлестрм тығыздығы осы интервалдың ұзындығында тұрақты болатын х кездейсоқ шаманы брқалыпты үлестрм деп атайды. Анықтама бойынша f () 0, c, 0, Тығыздықтын қасиетт бойынша a a < < b > b b Cd a, осыдан брқалыпты үлестрмнң заңдылығын былай жазуға болады: f ( ) 0,, b a 0, егер егер егер a a < b > b C b a, онда Берлген тығыздықты пайдаланып, қалыпты кездейсоқ шаманың үлестрм функциясын табуға болады: F ( 0, a ), b a, егер егер егер < a a b > b Қалыпты үлестрмнң сандық сипаттамалары:

20 M () D () b b a + b d ; b a b a a a b b 3 d + b a b a 3 6 a a ( a + 4ab b ) осылай анықталады.. Көрсеткштк үлестрм заңдылығы Дифференциалдық функциясы (тығыздығы): 0, < 0 f () λ λe, 0 ( λ 0 тұрақты) λ тең үлестрмд көрсеткштк деп атайды. Осыдан F() e екенн дəлелдеуге болады. Сандық сипаттамалары M() ; D() ; σ() λ λ λ болады. 3. Қалыпты үлестрм заңдылығы. Анықтама. (, + ) аралығынан мəн қабылдайтын жəне ықтималдықтар тығыздығы ϕ ( a) ( ) σ σ (мұндағы а, σ > 0 - нақты параметрлер) теңдгмен анықталатын х кездейсоқ шамасын қалыпты үлестрм деп атайды. Қалыпты үлестрмнң сандық сипаттамалары: a y y ( σ y + a) e dy e dy a π π ( a ) D() σ ( a ) ϕ()d ( a) e σ π e π ( a) a y M() σ ϕ()d e d σ π σ π d σ dy d σ D() σ D() σ Осымен, қалыпты үлестрмнң брнш параметр үмт, ал σ - орта квадраттық ауытқуы болды. a -математикалық

21 8 ДƏРІС. 8.. Үлкен сандар заңы Чебышев жəне Бернулли теоремалары. Ляпунов теоремасына түснк. Ең алдымен, аталған теоремаларды дəлелдеуге керек болатын Чебышев теңсздктерн келтрейк: Теорема. Егер х кездейсоқ шамасының дисперсиясы бар болса, онда кез келген оң саны үшн D() P( M() ε) (8.) ε теңсздг орынды болады, бұл жерде M() кездейсоқ шаманың математикалық үмт. Бұл теңсздкт басқа бр түрн былай жазуға болады: D() P( M() ε) (8.) ε (8.) жəне (8.) теңсздктерд Чебышев теңсздктер деп атайды. Үлкен сандар заңы деп аталатын теоремалар,,... кездейсоқ шамаларының арифметикалық ортасына қатысты теоремалар болып саналады. Мұндай теоремалардың маңызы өте зор. Үлкен сандар заңдарының негзгс жəне де жалпылық маңызы бар Чебышев теоремасын келтрейк: Теорема. Егер,,... тəуелсз кездейсоқ шамаларының тұрақты С санынмен шектелген дисперсиялары бар болса, онда кез келген оң ε саны үшн P M ( ) + M ( ) M ( ) < ε Теорема (Бернулли). Егер тəуелсз тəжрибе жүргзгенде А оқиғасының пайда болу саны m болса, жəне бр тəжрибеден екнш тəжрибеге өткенде P (A) P P (A) q, p + q, ықтималдықтары тұрақты болып қалса, онда кез келген оң саны үшн P m P < ε Келес, маңызды теореманы келтру үшн кездейсоқ шамалардың тзбег,,..., берп, мынадай белглеулер енгзейк: Егер ( a ) b a M( ), b D( ), b b. қосындысына үлестрм функциясының шег қалыпты үлестрмге жинақты болса, онда,,..., тзбег орталық заңға бағынады дейд. Ляпунов теоремасы.,,..., тəуелсз кездейсоқ шамалардың тзбег 3 берлсн. Олардың үшнш ретт абсолюттк момент M ( ) бар болсын жəне шектелген болсын.

22 белглеулер енгзелк. Егер болғанда 3 a M(), b D( ), C M, 3 3 A a, B b, C c C B болғанда 0 болса, онда A P B < t e dt π. 9 ДƏРІС. МАТЕМАТИКАЛЫҚ СТАТИСТИКАНЫҢ НЕГIЗГI ҰҒЫМДАРЫ 9.. Бас жиын жəне таңдама. Статистикалық жəне эмпирикалық үлестрмдер, полигон жəне гистограмма Дүниеде болып жатқан кездейсоқ құбылыстарды зерттеу үшн бақылаулардың нəтижелер статистикалық мəлметтер қажет екенн блемз. Сол статистикалық мəлметтерд жинап, өңдеп, ғылыми анализ жасаумен шұғылданатын ғылымды математикалық статистика деп айтады. Айталық, берлген объектлернң жиынының сапасын сан жағынан зерттеу керек болсын. Зерттеу үшн объектлердң бəрн немесе бр бөлгн тексеред. Егер объектлер өте құнды жəне саны аз болса, онда барлығын тексеруге болады. Ал егер саны көп жəне зерттеуге үлкен шығын кететн болса, онда оның бр бөлгн зерттеумен тоқталады. Кездейсоқ алынған объектлердң жиынын таңдама деп атайды. Ал сол таңдамалар жататын жиынды бас жиын деп атайды.таңдаманың (бас жиынның) көлем деп сол жиындағы объектлердң санын айтады. Егер таңдама объектс, екнш таңдама алынбай, қайтадан бас жиынға қосылатын болса, онда таңдаманы қайталанатын деп айтады. Егер алынған таңдама бас жиынға қайтпайтын болса, онда оны қайталанбайтын таңдама деп айтады. Практикада, көбне қайталанбайтын таңдамалар қарастырылады. Əрине, таңдама алыну үшн, əрбр объектң таңдамаға кру ықтималдығы брдей болу керек, яғни таңдама репрезентантты болсын дейд. Таңдамалар, кездейсоқ, өзне тəн заңдылығымен алынады.

23 Айталық, бас жиыннан бр таңдама алынсын делк. Бұл таңдамада объектс рет, - рет, т.б. - рет байқалған болсын жəне таңдаманың көлем болсын. Сонда, (,,..., N) -лерд варианталар, ал олардың өспел түрде жазған тзбегн вариациялық қатар деп атайды. Байқалған сандарды жилк, ал салыстырмалы жилк деп атайды. Анықтама. Варианталардың өзн жəне оларға сəйкес жилктерд немесе салыстырмалы жилктерд көрсететн кестен статистикалық үлестрм деп атайды. Мысалы, мына кесте 3 3 варианталармен оның жилктернң сəйкестгн көрсетед, яғни статистикалық үлестрм болады. Анықтама. X < оқиғаның салыстырмалы жилгн эмпирикалық үлестрм функциясы деп айтады жəне F * () деп белглейд. Анықтама бойынша F * () Бұл жерде, - х-тен кш варианталардың саны, ал -таңдама көлем. Ықтималдық теориясындағы дифференциялық функция F() ықтималдықты көрсетед, ал F * () -тң мəндер салыстырмалы жилктерд беред. Брақ, екеунң қасиеттер брдей:. Эмпирикалық функцияның мəндер [ 0,] аралығында жатады.. F*() кеммейтн функция. 3. Егер ең кш варианта болса, варианта болса, онда F * () ( > ). F * () 0 ( ) ал ең үлкен Көрнект болу үшн, практикалық есептерде полигон жəне гистограмма дейтн статистикалық үлестрмнң график түрнде берлетн ұғымдарды қарастырады. Анықтама. Мына (,),(, ),...,(, ) нүктелерн кесндлермен қосатын сынық қисық сызықты жилктң полигоны деп атайды.

24 Ал, (, w),(, w ),...,(, w ) нүктелерд кесндлермен қосатын қисық сызықты салыстырмалы жилктң полигоны деп атайды. Мысалы мына график W салыстырмалы жилктң полигонын көрсетед. Анықтама. Табанының ұзындығы h, биктг h W тең тк бұрышты төртбұрыштардан құралған баспалдақ фигураны жилктң (салыстырмалы жилктң) гистограммасы деп атайды. Мысалы, мына графиктег W h h ткбұрышты төртбұрыштың құрамы салыстырмалы жилктң гистограммасы.

25 0 ДƏРІС. 0.. Бас жиынның жəне таңдаманың сандық сипаттамалары Алдымен, N көлемд,,..., варианталардан құралған бас жиынның сипаттамаларын анықтайық. Бас жиынның ортасын б деп белглейд жəне б N Егер,,..., -ларға сəйкес N, N,..., жилктер берлген болса, онда б N + бұл жерде N N + N Nm. Таңдаманың көлемд ортасы T N N N N N N m m N , Егер,,..., таңдаманың мəндерне сəйкес,..., жилктер берлген болса бұл жерде K T N көлемд бас жиынның N m m N m m элементтер берлген болса, онда,,..., N N ( б ) Dб (0.) бас жиынның дисперсиясы дейд. Егер бас жиынның,,..., элементтерне сəйкес жилктер берлген болса, онда болады. Егер,,..., D б таңдаманың дисперсиясы дейд. ( б ) N N көлемд таңдама болса, онда D T N ( T ) N, N,..., N (0.)

26 Ал, егер,, 3,..., варианталарға сəйкес жилктер:,,..., болса, онда, 3 D T ( T ) бұл жерде Дисперсияны (бас жиынның немесе таңдаманың) санау үшн мына формулалар өте қолайлы: D [ ] (0.3) бұл жерде, Кездейсоқ жиындардың тағы бр сипаттамасын анықтайық. Ол орта квадраттың ауытқуы. σ δ б Т D : σ Бұл жерде σ δ - бас жиынның, ал σ Т - таңдаманың орта квадраттық ауытқуы. Практикалық есептерд шығаруға керек болатын ек анықтаманы берейк. Мода деп варианталардың шнде ең жи кездесетн мəнд айтады. Медиана деп вариациялық қатардағы мəндердң дəл ортасы болатын вариантаны айтады. D Т ДƏРІС... Бас жиынның сипаттамаларын нүктелк бағалау Бас жиыннан алынған көлемд,,..., (.) таңдамасын қарастыралық. Анықтама бойынша, (.) таңдамасына қатынасатын (,,...) - кездейсоқ шамалар. Бұл кездейсоқ шамалар тəуелсз жəне олардың үлестрм брдей, яғни тең үлестрмд. Атап айтқанда, х-тң əрқайсысының үлестрм бас жиынға сай келетн х кездейсоқ шамасының үлестрмне тең болады. Бас жиынның θ сипаттамасына баға деп таңдама мүшелернен жасалған θ* θ(,,... ) функциясын айтады. θ * бағасы (.) таңдамасы бойынша құрылғандықтан, таңдама көлемне байланысты болады. Сондықтан, θ * параметрнң бағасы θ * деп белглеймз. Бас жиынның θ параметр үшн нүктелк деп аталатын бағалаудың мақсаты бағалардың шндег ең тəур θ * бағасын сайлап алу.

27 Анықтама. Егер бағаның математикалық үмт бағалайтын параметрге тең болса, яғни, M(θ*) θ теңдг орындалса, онда бағаны ығыспайтын деп атайды. Анықтама. θ параметрнң θ * бағасы үшн кез келген оң саны ε берлгенде lm P( θ * θ < ε) теңдг орындалса, онда θ* бағасын θ параметрнң тыңғылықты бағасы деп атайды. Теорема. х кездейсоқ шаманың a математикалық үмт үшн таңдама ортасы T ығыспайтын жəне тыңғылықты баға болады, яғни ) ) lm P( T a < ε) ( ε > 0) M( T ) a Осындай бағалауды таңдаманың дисперсиясына да қолданатын болсақ, М[ D T ] Dб екенн көремз, яғни таңдаманың дисперсиясы DT бас жиынның дисперсиясы D б үшн ығыспайтын баға болмайды. Бұл жағдайда мынадай формула қолданған қолайлы: S Dб. Сипаттама S - ты "түзетлген" дисперсия деп атайды. Теорема. х кездейсоқ шамасының σ Dб дисперсиясы үшн "түзетлген" дисперсия S ығыспайтын жəне тыңғылықты баға болады. Сонымен, баға ең тəур болу үшн, ол ығыспайтын, тыңғылықты жəне эффектл болу керек. ( )

28 ДƏРІС... Сенмдлк интервалдары Бз θ параметрнң бр ғана θ * бағасы туралы мəселен қарастырдық. Мұндай бағаны нүктелк баға деп атайды. Бр ғана нүктелк бағамен шектелетн болсақ, өрескел қателер болуы мүмкн, сондықтан, бр белгл сенмдлкпен ( α, β) интервалында жататын белгсз параметрд қарастырайық. Анықтама. θ параметрнң θ * бағасы бойынша сенмдлг деп θ θ * < δ теңсздгнң орындалу ықтималдығы γ -ны айтады, яғни P ( θ θ * < δ) γ, бұл жерде δ -бағаның дəлдг. Анықтама. ( θ * δ, θ * + δ) - интервалын γ сенмдлгмен алынған сенмдлк интервалы деп атайды.. Қалыпты үлестрммен берлген сандық сипатты кездейсоқ шаманың белгсз a математикалық үмтн таңдамалық орташа арқылы T γ сенмдлгмен бағалау үшн мынадай сенмдлк интервалын аламыз: а) Егер σ -бас орташа квадраттық ауытқуы белгл болса, онда t -саны γ (t) T σ σ t < a < T + t, Φ теңдеунен табылатын сан, оны Лаплас функциясының мəндер кестеснен аламыз. б) Егер σ - белгсз болса, онда T t γ S < a < T + t γ Мұнда S -түзетлген таңдамалық орташа квадраттық ауытқуы, t γ t( γ, ) -шамасы кестеден анықталады.. Қалыпты үлестрммен берлген х-тың бас орташа квадраттық ауытқуы σ -ны берлген γ сенмдлгмен бағалау үшн мынадай сенмдлк интервалдарын аламыз: S ( q) < σ < S( + q), егер q <, 0 < σ < s( + q), егер q >. Бұл жерде q q(, γ) - кестеден алынады. S

29 3 ДƏРІС. 3.. Моменттер жəне таңдамалық моменттер. Кездейсоқ шаманың параметрлерн бағалайтын моменттер əдс Бзге -кездейсоқ шамасы берлсн жəне M() деп оның математикалық үмт белгленген. Анықтама. M( ) шамасын -ш ретт момент деп, ал M( M()) шамасын -ш ретт центрлк момент деп атайды. Мəселен ретт момент математикалық үмт, -ш ретт центрлк момент - дисперсия болады. Моменттерд былай белглейд m M( ), μ M( M()) (3.) Моменттер арқылы кездейсоқ шаманың түрл сипаттамалары анықталады. Анықтама. кездейсоқ шаманың ассиметрия коэффициент μ3 a s 3 σ теңдгмен анықталады. Бұл жерде σ -тың орта квадраттың ауытқуы. Анықтама. кездейсоқ шаманың эксцесс деп μ4 Es 4 σ теңдгмен анықталған шаманы айтады. Эмпирикалық немесе таңдаманың моменттер де (3.) формулалар сияқты анықталады: 3 * S S * m ; μ ( T ) * Бұл жерде, m центрлк эмпирикалық момент белгленген. * - ретт бастапқы эмпирикалық момент, ал μ - ретт Енд m, μ моменттерд (параметрлерд) бағалайтын моменттер əдсн келтрейк. Егер бас жиынның параметрлер θ, θ,... θs болса, онда теориялық моменттер мына формуламен анықталады m α m ( θ, θ,... θs) M( ) (m,,...s) Таңдауларды бақылау арқылы, таңдаманың моменттерн табамыз * m α m m,,...,s Енд бір-брн теңестру арқылы мынадай жүйеге келемз * α m ( θ, θ,... θ S ) α m (m,,...s) Осы жүйен θ, θ,... θs белгсздер арқылы шығарып, болатын параметрлердң бағаларын табамыз.. ~ ~ ~ θ, θ,... θs -тең

30 4 ДƏРІС. 4.. Статистикалық болжамдарды тексеру. Пирсонның χ -квадрат критерий Статистикалық болжам деп кездейсоқ шаманың үлестрмнң түр немесе үлестрм параметрлер туралы алдын ала жасалатын болжамды айтады. Статистикалық болжам таңдаманың көмегмен тексерлед. Алдымен нөлдк болжам деп аталатын тексерлуге тис H 0 болжамы қарастырылады. Бұл болжамға қарсы болжамды альтернативт деп атап H əрпмен белглейд. Мысалы үлестрмнң белгсз параметр θ тұралы нөлдк болжам θ болса, онда H θ θ болады. H0 : θ 0 : 0 Статистикалық болжамды тексеру барысында ек түрл қате жберлу мүмкн. Брнш тект қате - болжамы жоққа шығарылып, H болжамы H0 қабылданады, бірақ негзнде H 0 дұрыс. Екнш тект қате H0 болжамын қабылдаймыз, бірақ негзнде H болжамы дұрыс. Брнш тект қате жберу ықтималдығын маңыздылық деңгей деймз де, α əрпмен белглеймз. Болжамды тексерудң жалпы схемасы:. Үлестрм белгл статистикалық критерий деп аталатын F кездейсоқ шамасы енгзлед. Бұл шаманың əр түрл еркндк дəрежелер болып, ал үлестрм: қалыпты, χ-квадрат, Стьюдент Фишер-Снедекор үлестрмдермен берлу мүмкн.. Таңдамалық (эмпирикалық) белгл деректерге сүйене отырып, критерийдң бақыланатын мəн F бак анықталады. 3. Берлген α маңыздылық деңгейнде F үлестрмнң сын нүктелер кестес арқылы, критерийдң сындық мəн - F сын анықталады. 4. Егер Fбак < Fсын болса, онда Н0 болжамын жоққа шығаруға негз жоқ, ал егер Fбак > Fсын болса, онда Н0 болжамы қабылданбайды. Егер үлестрм заңы белгсз болса, онда "бас жиын А заңы бойынша үлестрлген", - деген нөлдк болжам келсмдк критерийлер арқылы тексерлед. Олардың брнеше түр бар: Пирсон, Колмогоров, Смирнов критерийлер, т.т. Н 0 : "бас жиын қалыпты үлестрммен" берлген деген болжамды тексеру үшн Пирсонның келсмдк χ критерий қолданылады. Мысал ретнде h қадамымен бркелк орналасқан таңдама қарастырайық:

31 3 m 3 m Мұның теориялық жилктерн табамыз: бұл жерде 0 h ϕ(u ) (,,..., m) σt T u ; σt Осыдан мына кесте анықталады: ϕ(u) u e π Эмпирикалы қ жилктер Теориялық жилктер 3 m m Теориялық жəне эмпирикалық жилктердң бр-брнен ауытқуы кездейсоқ па, бақылаулар саны аз ба, əлде "бас жиын қалыпты үлестрммен берлген" деген нөлдк болжам дұрыс емес пе? Осы сұрақтарға Пирсон критерий жауап беред. Оның тексеру схемасы: ) Статистикалық критерий ретнде мына кездейсоқ шамасын аламыз: χ m 0 ( ) 0 Бұл шама еркндк дəрежес s болатын, χ-квадрат үлестрммен таралған кездейсоқ шама. Мұнда s - таңдамадағы топтар саны, r -үлестрм параметрлернң саны. ) Берлген деректерге сүйене отырып, критерийдң бақыланатын мəнн анықтаймыз χ бак m 0 ( ) 0 3) Берлген α маңыздылық деңгейнде, χ-квадрат үлестрмнң сын нүктелер кестес арқылы χ сын ( α; ) критерийдң сындық мəнн табамыз. 4) Егер χбак < χсын ( α, ) - нөлдк болжамды жоққа шығаруға негз жоқ, ал егер χ > χ ( α, ) - нөлдк болжам қабылданбайды. бак сын

32 5 ДƏРІС. 5.. Корреляциялық тəуелдлктер Тəжрибе нəтижеснде ек X жəне Y кездейсоқ шамалары қарастырылсын. Бұлардың арасындағы тəуелдлкт корреляциялық деп атайды. Корреляциялық тəуелдлкт зерттеу үшн X пен Y шамаларының арасындағы, корреляция коэффициент деп аталатын сипаттама енгзлед. Анықтама. X жəне Y кездейсоқ шамаларының корреляция коэффициент r M(, y) M() M(y) σ() σ(y) теңдгмен анықталады. Корреляция коэффициентнң қасиеттерн атап өтейк: ) Егер X жəне Y кездейсоқ шамалары тəуелсз болса, онда корреляция коэффициент нольге тең. Шынында да егер кездейсоқ шамалар тəуелсз болса, онда M(, y) M() M(y) сондықтан r 0. ) Корреляция коэффициентнң абсолют шамасы брден асып кетпейд, яғни r. 3) Егер X пен Y -тың арасында сызықтық тəуелдлк болса, онда r ±, керснше, r теңдг X пен Y -тң арасында y a + b (a, b cost ) сызықтық тəуелдлгнң бар болатынын көрсетед. 4) Корреляция коэффициент X пен Y -тң қаншалықты "жақын" екенн көрсетед. X пен Y кездейсоқ шамалардың арасындағы сызықтық тəуелдлктердң шнде статистикалық маңызы бар регрессия теңдеулер деп аталатын теңдеулер: Y -тың X -қа регрессиясы: X -тың Y -қа регрессиясы: σ ( y) y M ( y) r ( M ( )) σ ( ) σ() M() r (y M(y)). σ(y) Регрессияның статистикалық мазмұнын блу үшн оның анықтамасын келтрейк. -анықтама. Y y мəнн қабылданғандағы кездейсоқ шамасының математикалық үмтн -тң y -ке регрессиясы деп атайды. -анықтама. X мəнн қабылданғандағы y кездейсоқ шамасының математикалық үмтн y -тң -ке регрессиясы деп атайды. Енд корреляция коэффициентн жəне регрессия теңдеулерн таңдама арқылы жазуға көшелк. кездейсоқ шамасының таңдама мүшелер,,... Y кездейсоқ шамасы үшн таңдама y, y,... болсын. y

33 Тəжрибеде X, Y кездейсоқ шамалары брккен түрде қарастырылады да оның мəн (, y ) түрнде ек өлшемд шама болады. Тəжрибелер -рет бр-брнен тəуелсз жүргзлед деп, -таңдама көлем белглейк. Сонымен брге дара таңдамана орталықтарын жəне y, таңдаманың дара дисперсияларын σ жəне σ y, ал орта квадраттық айытқуларды σ жəне σ y арқылы белглейк. Сонда, таңдаманың корреляциялық коэффициент мына формуламен анықталады: rt y y σ σ y (5.) Кейде (.6) формуладағы σ жəне σ y -тердң орнына ығыспайтын S жəне S y бағалары қолданылады. ( X, Y) кездейсоқ шамаларына сəйкес (, y ), (, y )(, 3, y3 ),......(, y ) таңдамасы бойынша регрессия түзулердң теңдеулер былай жазылады: Х-тң У-ке таңдама регрессия теңдеу: σ y y y rt ( ) σ У-тң Х-ке таңдама регрессия теңдеу: rt σ ( y y) σ y

34 ƏДЕБИЕТТЕР ТІЗІМІ. Высшая математика для экономистов. Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: Банки и биржи. ЮНИТИ, 997г.. Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М. Наука, 987г. 3. Кельтенова Р.Т., Утегалиева Ф.У. Руководство к решению задач по высшей математике Алматы, Мектеп, 989г. 4. Казешев А.К., Нурпеисов С.А. Сборник задач по курсу высшей математики для экономических специальностей, Алматы. Научно-издательский центр «Гылым», 00г. 5. Тунгатаров А.Б. Экономикалық мамандықтарға арналған жоғары математика курсы - бөлім Экономика баспасы, Алматы, 00ж. 6. Қазешев А.К., Нурпеисов С.А. Экономикалық мамандықтарға арналған жоғары математика есептер жинағы, Алматы, «Ғылым баспа орталығы», 003ж. 7. Теория. Методика решений задач «Математика для экономистов». Алматы, «Экономика», 00г. 8. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по ТВ и МС. М., ВШ., 997г. 9. Жанбырбаев Б.С. Ықтималдықтар теориясы жəне математикалық статистика элементтері, Алматы, мектеп, 986ж. 0. Шипачев В.М. Высшая математика, т.,, М. Высшая школа, 985г.. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистка. М., ВШ., 997г.. Қазешев А.Қ., Абенов М.М., Қойлыбаев У.Қ. Ықтималдықтар теориясы жəне математика статистика элементтері. Алматы, 996ж. 3. Қазешев А.Қ. Ықтималдықтар теориясы бойынша есептер шығару. Алматы, 99ж. 4. Нурпеисов С.А., Сатыбалдиев О.С. Экономикалық мамандықтарға арналған ықтималдықтар теориясы жəне математикалық статистика курсы бойынша 0 лекция, Алматы, 003ж. 5. Такабаев М.К. Математика для экономистов в примерах и задачах. Алматы, 003г.